2013年浙江省高考数学(理科)试题精校版(word版)(含答案)

2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题，第二部分为非选择题.。

2. 考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.。

3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 设全集为R, 函数的定义域为M, 则为(A) [－1,1] (B) (－1,1)(C)(D)【答案】D【解析】,所以选D输入xIf x≤50 Theny=0.5 * xElsey=25+0.6*(x-50)End If输出y2. 根据下列算法语句, 当输入x为60时,输出y的值为(A) 25(B) 30(C) 31(D) 61【答案】C【解析】,所以选C3. 设a, b为向量, 则“”是“a//b”的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若,为真；相反，若，则。

所以“”是“a//b”的充分必要条件。

另：当为零向量时，上述结论也成立。

所以选C4. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为(A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14【答案】B【解析】使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人。

,所以从编号1～480的人中，恰好抽取24人，接着从编号481～720共240人中抽取12人。

故选B5. 如图, 在矩形区域ABCD的A, C两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无信号的概率是(A)(B)(C)(D)【答案】A【解析】该地点信号的概率=所以该地点无信号的概率是。

准考证号 姓名（在此卷上答题无效）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

满分150分，考试时间120分钟。

考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与本人的准考证号、姓名是否一致。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他的答案标号。

第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。

若在试题卷上作答，答案无效。

3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。

1.已知集合{}=1,2,M zi ，i 为虚数单位，{}3,4N =，{}4MN =，则复数z =A.2i -B.2iC.4i -D.4i2.函数()1y x =-的定义域为A.()0,1B.[)0,1C.(]0,1D.[]0,1 3.等比数列,33,66,x x x ++…的第四项等于A.24-B.0C.12D.244.总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为A.08 5.5232x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为A.80B.80-C.40D.40- 6.若2211S x dx =⎰，2211S dx x=⎰，231x S e dx =⎰，则123,,S S S 的大小关系为A. 123S S S <<B.213S S S <<C.231S S S <<D.321S S S <<7.阅读如下程序框图，如果输出5i =，那么在空白矩形框中应填入的语句为A. 2*2S i =-B.2*1S i =-C. 2*S i =D. 2*4S i =+8.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，正方体的六个面所在的平面与直线,CE EF 相交的平面个数分别记为,m n ，那么mn +=A.8B.9C.10D.119.过点）引直线l 与曲线y =,A B 两点，O 为坐标原点，当AOB ∆的面积取最大值时，直线l 的斜率等于A.B. C. 10.如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线12,l l 之间，1l ∥2l ，l 与半圆相交于,F G 两点，与三角形ABC 两边相交于,E D 两点。

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、设集合S={x|x>-2},T={x|-4≤x≤1},则S∩T=A、[-4,+∞）B、（-2, +∞）C、[-4,1]D、(-2,1]2、已知i是虚数单位，则(2+i)(3+i)=A、5-5iB、7-5iC、5+5iD、7+5i3、若αR，则“α=0”是“sinα<cosα”的A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件4、设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，A、若m∥α，n∥α,则m∥nB、若m∥α，m∥β,则α∥βC、若m∥n，m⊥α,则n⊥αD、若m∥α，α⊥β,则m⊥β5、已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是A、108cm3B、100 cm3C、92cm3D、84cm36、函数f(x)=sin xcos x+32cos 2x的最小正周期和振幅分别是A、π，1B、π，2C、2π，1D、2π，27、已知a、b、c R，函数f(x)=ax2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1)，则A、a>0,4a+b=0B、a<0,4a+b=0C、a>0,2a+b=0D、a<0,2a+b=08、已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y=f’(x)的图像如右图所示，则该函数的图像是9、如图F1、F2是椭圆C1：x24+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是A、 2B、 3C、32D、6210、设a，bR，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨若正数a、b、c、d满足ab≥4,c+d≤4,则（第9题图）A 、a ∧b ≥2,c ∧d ≤2B 、a ∧b ≥2,c ∨d ≥2C 、a ∨b ≥2,c ∧d ≤2D 、a ∨b ≥2,c ∨d ≥2非选择题部分（共100分）注意事项：1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

20XX 普通高等学校招生全国统一考试〔卷〕数学〔理科〕第一部分〔选择题共40分〕一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．〔1〕[20XX ，理1，5分]已知集合{}101A =-，，，{}|11B x x =-<≤，则A B =〔〕 〔A 〕{0}〔B 〕{}10-，〔C 〕{}01，〔D 〕{}101-，， [答案]B[解析]1,0,11{11,}{|}{}0x x --≤<-＝，故选B ．〔2〕[20XX ，理2，5分]在复平面内，复数()22i -对应的点位于〔〕 〔A 〕第一象限〔B 〕第二象限〔C 〕第三象限〔D 〕第四象限 [答案]D[解析]2()2i 34i --＝，∴该复数对应的点位于第四象限，故选D ．〔3〕[20XX ，理3，5分]“πϕ=〞是“曲线()sin 2y x ϕ=+过坐标原点〞的〔〕〔A 〕充分而不必要条件〔B 〕必要而不充分条件〔C 〕充分必要条件〔D 〕既不充分也不必要条件 [答案]A[解析]∵ϕπ=，∴sin 2sin2()y x x π=+=-，∴曲线过坐标原点，故充分性成立；∵(sin 2)y x ϕ=+过原点，∴sin 0ϕ=，∴k ϕπ=，k ∈Z ．故必要性不成立，故选A ．〔4〕[20XX ，理4，5分]执行如图所示的程序框图，输出的S 值为〔〕〔A 〕1〔B 〕23〔C 〕1321〔D 〕610987[答案]C[解析]依次执行的循环为1S =，i 0=；23S =，i 1=；1321S =，i 2=，故选C ．〔5〕[20XX ，理5，5分]函数()f x 的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线e x y =关于y 轴对称，则()f x =〔〕〔A 〕1e x +〔B 〕1e x -〔C 〕1e x -+〔D 〕1e x -- [答案]D[解析]依题意，()f x 向右平移1个单位之后得到的函数应为x y e -=，于是()f x 相当于x y e -=向左平移1个单位的结果，∴()1x f x e --=，故选D ．〔6〕[20XX ，理6，5分]若双曲线22221x y a b-=〔A 〕2y x =±〔B 〕y =〔C 〕12y x =±〔D 〕y =[答案]B[解析]c =，∴b ．∴渐近线方程为by x a=±=，故选B ．〔7〕[20XX ，理7，5分]直线l 过抛物线2:4C x y =的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于〔〕〔A 〕43〔B 〕2〔C 〕83〔D [答案]C[解析]由题意可知，l 的方程为1y =．如图，B 点坐标为()2,1，∴所求面积232200842424123x x S dx ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰，故选C ．〔8〕[20XX ，理8，5分]设关于x ，y 的不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩，表示的平面区域内存在点()00P x y ，，满足0022x y -=，求得m 的取值X 围是〔〕〔A 〕43⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，〔B 〕13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，〔C 〕23⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，〔D 〕53⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，[答案]C[解析]图中阴影部分表示可行域，要求可行域内包含112y x =-上的点，只需要可行域的边界点()m m -，在112y x =-下方，也就是112m m <--，即23m <-，故选C ．第二部分〔非选择题共110分〕二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．〔9〕[20XX ，理9，5分]在极坐标系中，点π26⎛⎫ ⎪⎝⎭，到直线sin 2ρθ=的距离等于．[答案]1[解析]在极坐标系中，点π2,6⎛⎫⎪⎝⎭对应直角坐标系中坐标为)，直线2sin ρθ=对应直角坐标系中的方程为2y =，所以点到直线的距离为1．〔10〕[20XX ，理10，5分]若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比q =；前n 项和n S =． [答案]2；122n +-[解析]由题意知352440220a a q a a +===+．由222421())10(12a a a q a q q +=+=+=，∴12a =．∴12122212n n n S +(-)==--．〔11〕[20XX ，理11，5分]如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，若3PA =，:9:16PD DB =，则PD =________；AB =______． [答案]95，4[解析]设9PD k =，则0()16DB k k =>．由切割线定理可得，2·PA PD PB =，即23925k k =⋅，可得15k =．∴95PD =，5PB =．在Rt APB ∆中，AB=4AB ==．〔12〕[20XX ，理12，5分]将序号分别为1，2，3，4，5的5X 参观券全部分给4人，每人至少1X ，如果分给同一人的2X 参观券连号，那么不同的分法种数是________． [答案]96[解析]连号有4种情况，从4人中挑一人得到连号参观券，其余可以全排列，则不同的分法有1343496C A ⨯=(种)．〔13〕[20XX ，理13，5分]向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若()c a b λμλμ=+∈R ，，则λμ=_______．[答案]4[解析]可设=-+a i j ，i ，j 为单位向量且⊥i j ，则62=+b i j ，3=--c i j ．由()()62λμμλλμ=+=-++c a b i j ，∴6123μλλμ-=-⎧⎨+=-⎩，解得212λμ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴4λμ=． 〔14〕[20XX ，理14，5分]如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P在线段1D E 上，点P 到直线1CC 的距离的最小值为________．1A[答案[解析]过E 点作1EE 垂直底面1111A B C D ，交11B C 于点1E ，连接11D E ，过P 点作PH 垂直于底面1111A B C D ，交11D E 于点H ，P 点到直线CC 1的距离就是1C H ，故当1C H 垂直于11D E 时，P 点到直线1CC 距离最小，此时，在111Rt D C E ∆中，111C H D E ⊥，1111111··D E C H C D C E =，∴1C H ==． 三、解答题：共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．〔15〕[20XX ，理15，13分]在ABC △中，3a =，b =2B A ∠=∠．〔1〕求cos A 的值； 〔2〕求c 的值． 解：〔1〕因为3a =，b =2B A ∠=∠，所以在ABC ∆中，由正弦定理得3sin A =．所以2sin cos sin A A A．故cos A ． 〔2〕由〔1〕知，cos Asin A ==．又因为2B A ∠=∠，所以2cos 2cos 131B A =-=．n s i B ．在ABC ∆中，sin sin sin cos cos sin ()C A B A B A B =+=+=sin 5sin a Cc A==． 〔16〕[20XX ，理16，13分]下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天到达该市，并停留2天． 〔1〕求此人到达当日空气重度污染的概率； 〔2〕设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期 望；〔3〕由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？〔结论不要求证明〕解：设i A 表示事件“此人于3月i 日到达该市〞1,2)13(i =⋯，，．根据题意，()113i P A =，且()i j A A i j =∅≠．〔1〕设B 为事件“此人到达当日空气重度污染〞，则58B A A =．()()()58582()13P B P A A P A P A ==+=．〔2〕由题意可知，X 所有可能取值为0,1,2，且0115()()()123P X P X P X ==-=-==；()()()()36711367114()()113P X P A A A A P A P A P A P A ===+++=；()()()()1212131212134()()132P X P A A A A P A P A P A P A ===+++=．所以X 的分布列为：故X 的期望5401213131313EX =⨯+⨯+⨯=．〔3〕从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大． 〔17〕[20XX ，理17，14分]如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA C C 是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面11AA C C ，3AB =，5BC =． 〔1〕求证：1AA ⊥平面ABC ；〔2〕求证二面角111A BC B --的余弦值．〔3〕证明：在线段1BC 上存在点D ，使得1AD A B ⊥，并求1BDBC 的值． 空气质量指数日期C 1B 1A 1ABC解：〔1〕因为11AA C C 为正方形，所以1AA AC ⊥．因为平面ABC ⊥平面11AA C C ，且1AA 垂直于这两个平面的交线AC ，所以1AA ⊥平面ABC ．〔2〕由〔1〕知1AA AC ⊥，1AA AB ⊥．由题知3AB =，5BC =，4AC =，所以AB AC ⊥．如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,3,0B ，()10,0,4A ，()10,3,4B ， ()14,0,4C ．设平面11A BC 的法向量为()x y z =n ，，，则1110A B AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即34040y z x -=⎧⎨=⎩．令3z =，则0x =，4y =，所以()0,4,3=n ．同理可得，平面11B BC 的法向量为()3,4,0=m ．所以cos 〈n ，m 〉=16cos ,||||25⋅=n m n mn m ．由题知二面角111A BC B --为锐角， 所以二面角111A BC B --的余弦值为1625．〔3〕设()D x y z ，，是直线1BC 上一点，且1BD BC λ=，所以343,4()()x y z λ-=-，，，．解得4x λ=，33y λ=-，4z λ=．所以4()334AD λλλ=-，，．由10AD A B ⋅=，即9250λ-=，解得 925λ=．因为[]9250,1∈，所以在线段1BC 上存在点D ，使得1AD A B ⊥．此时，1925BD BC λ==． 〔18〕[20XX ，理18，13分]设l 为曲线ln :xC y x=在点()1,0处的切线．〔1〕求l 的方程；〔2〕证明：除切点()1,0之外，曲线C 在直线l 的下方．解：〔1〕设()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=．所以()11f '=．所以L 的方程为1y x =-． 〔2〕令()()1g x x f x =--，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于()()001g x x x >>≠∀，．()g x 满足()10g =，且()()22ln 11x x x xg f x'=-+'-=．当01x <<时，210x -<，ln 0x <，所以()0g x '<， 故()g x 单调递减；当1x >时，210x ->，ln 0x >，所以()0g x '>，故()g x 单调递增． 所以，()()1001()g x g x x ∀>=>≠，．所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．〔19〕[20XX ，理19，14分]已知,,A B C 是椭圆22:14x W y +=上的三个点，O 是坐标原点．〔1〕当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；〔2〕当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由．解：〔1〕椭圆2214x W y +=：右顶点B 的坐标为()2,0．因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．所以可设()1A m ，，代入椭圆方程得2114m +=，即m =．所以菱形OABC的面积是1·22212OB AC m =⨯⨯=〔2〕假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为0)0(y kx m k m =+≠≠，．由2244x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩，消y 并整理得222()148440k x kmx m +++-=． 设11()A x y ，，22()C x y ，，则1224214x x km k +=-+，121222214y y x x mk m k ++=⋅+=+． 所以AC 的中点为224,1414km m M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．因为M 为AC 和OB 的交点，所以直线OB 的斜率为14k -． 因为114k k ⎛⎫⋅-≠- ⎪⎝⎭，所以AC 与OB 不垂直．所以OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．〔20〕[20XX ，理20，13分]已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，第n项之后各项12,n n a a ++的最小值记为n B ，n n n d A B =-．〔1〕若{}n a 为2,1,4,3,2,1,4,3…，是一个周期为4的数列〔即对任意*n ∈N ，4n n a a +=〕，写出1234,,,d d d d 的 值；〔2〕设d 是非负整数，证明：()1,2,3n d d n =-=的充分必要条件为{}n a 是公差为d 的等差数列；〔3〕证明：若12a =，()11,2,3,n d n ==，则{}n a 的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．解：〔1〕121d d ==，343d d ==． 〔2〕〔充分性〕因为{}n a 是公差为d 的等差数列，且0d ≥，所以12n a a a ≤≤⋯≤≤⋯．因此n n A a =，1n n B a +=，11,2,3()n n n d a a d n +=-=-=⋯，． 〔必要性〕因为(01,2,3)n d d n =-≤=⋯，，所以n n n n A B d B =+≤．又因为n n a A ≤，1n n a B +≥，所以1n n a a +≤．于是，n n A a =，1n n B a +=，因此1n n n n n a a B A d d +-=-=-=，即{}n a 是公差为d 的等差数列． 〔3〕因为12a =，11d =，所以112A a ==，1111B A d =-=．故对任意1n ≥，11n a B ≥=．假设{}()2n a n ≥中存在大于2的项．设m 为满足2m a >的最小正整数，则2m ≥，并且对任意1k m ≤<，2k a ≤．又因为12a =，所以12m A -=，且2m m A a =>．于是，211m m m B A d =->-=， 1{}2m m m B min a B -=≥，．故111220m m m d A B ---=-≤-=，与11m d -=矛盾．所以对于任意1n ≥，有2n a ≤，即非负整数列{}n a 的各项只能为1或2． 因为对任意1n ≥，12n a a ≤=，所以2n A =．故211n n n B A d =-=-=．因此对于任意正整数n ，存在m 满足m n >，且1m a =，即数列{}n a 有无穷多项为1．。