复杂网络上的聚类同步与疾病传播
- 格式：pdf
- 大小：141.03 KB
- 文档页数：4
具有社团结构的复杂网络上的聚类同步与疾病传播
(讲稿大纲)
傅新楚，李科赞
(上海大学数学系，上海200444)
(November15,2009)
随机图与复杂网络研讨会，华东师大，
2009.11.13-15.
1
引言
几乎所有已有的研究工作都是把网络同步和网络传播分开来进行讨论的。
若同步和传播在同一个网络上进行：
考虑同步时：节点↔动力系统，边↔耦合关系；
考虑传播时：节点↔个体，边↔接触关系。
猜测：在同一网络拓扑结构下，网络越容易实现同步或者同步的速度越快⇔传播越容
易爆发或爆发的程度越强。
网络同步动力学模型
首先，为了检测网络的同步性能（或同步化能力），我们引入一类线性耗散耦合的复
杂连续动力网络，它可描述为
˙xi(t)=f(xi(t))+c(t)Nj=1aijHxj(t),i=1,2,...,N,(0.1)
其中xi(t)∈Rn表示t时刻节点i的检测状态变量，函数f(·)刻画了单个节点的局部动力
学行为，这里我们假设它是混沌的。系数c(t)>0表示耦合强度，矩阵H∈Rn×n表示
节点之间的内部耦合矩阵。整个网络的拓扑结构由耦合矩阵A=(aij)N×N给出，如果
节点i与节点j有连接，则a
ij=1；否则aij
=0。并且耦合矩阵满足行和为零的耗散条
件，从而对任意的i∈{1,2,...,N}，都有aii=−Nj=1,j=iaij。在这些假设条件之下，
矩阵A的特征值可表示为0=λ1≥λ2≥···λN。
网络上的SIS模型
标准的SIS网络传播模型为
˙
Ik(t)=λk[1−Ik(t)]Θ(t,k)−Ik(t),(0.2)
其中k=1,2,...,dm，这里dm表示网络中最大的节点度。我们知道，系统(0.2)是基于
2
平均场理论建立起的描述网络传播行为的宏观模型。
Θ(t,k)=kp(k|k)Ik(t),
条件概率p(k|k)表示随机选择一个度为k的节点的一条边，它连向度为k的节点的概
率。
SIS混合模型
˙c(t)=αI(t)Ll=11Nl−1j∈Clxil(t)−xj(t)1+xil(t)−xj(t),(0.3)
其中i=1,2,...,N，k=1,2,...,dm，参数α>0以及I(t)=dmk=1p(k)Ik(t)。Cl为
第l个Cluster，Nl≥2为社团Cl中的节点数，il∈Cl为Cl中节点序号最小者。当L=
1时，即整个网络为一个社团，而此时的同步即为完全同步。
对于网络(0.1)，由[5]有如下结果：
Lemma1对于由混沌节点构成的网络(0.1)，设耦合强度c(t)随时间变化。记函数f
的
最大Lyapunov指数为hmax。如果H=IN，并且存在T>0，当t>T时，有
c(t)>hmax|λ2|,
那么网络(0.1)的聚类同步态是指数稳定的。
主要结果
Theorem1对于SIS混合模型(0.1),(0.2),(0.3)，如果λ>λc，那么xi(t),i=1,2,...,N
可
达到聚类同步；并且在同一初始条件下，
λ越大，x
i
(t),i=1,2,...,N
就能越快达到同
步，其中λc为系统(0.2)的
epidemicthreshold.
⇒在同一网络拓扑结构和时间尺度下，如果传播网络越容易出现爆发或者爆发的程
度越强，则动力学网络就越容易实现同步或者同步的速度越快；反之亦然。
♦网络拓扑结构、网络同步和网络传播这三者之间存在紧密的联系！
3
References
[1]R.M.AndersonandR.M.May,Infectiousdiseasesofhumans,Oxford:OxfordUniversityPress,1992.
[2]A.-L.Barab´asiandR.Albert,Emergenceofscalinginrandomnetworks,Science,286(1999)509-512.
[3]M.Bogu˜n´a,R.P.SatorrasandA.Vespignani,Absenceofepidemicthresholdinscale-freenetworkswith
degreecorrelations,Phys.Rev.Lett.,90(2003)028701.
[4]D.H.KimandA.E.Motter,Ensembleaverageabilityinnetworkspectra,Phys.Rev.Lett.,98(2007)248701.
[5]X.LiandG.Chen,Synchronizationanddesynchronizationofcomplexdynamicalnetworks:anengineering
viewpoint,IEEETrans.Circ.Syst.-I,50(2003)1381-1390.
[6]A.L.LloydandR.M.May,Howvirusspreadamongcomputersandpeople,Science,292(2001)1316-1317.
[7]R.M.MayandA.L.Lloyd,Infectiondynamicsonscale-freenetworks,Phys.Rev.E,64(2001)066112.
[8]Y.Moreno,J.B.G´omezandA.F.Pacheco,Epidemicincidenceincorrelatedcomplexnetworks,Phys.Rev.
E,68(2003)035103(R).
[9]Y.Moreno,R.Pastor-SatorrasandA.Vespignani,Epidemicoutbreaksincomplexheterogeneousnetworks,
Eur.Phys.J.B,26(2002)521-529.
[10]J.D.Murray,MathematicalBiology,SpringerVerlag,Berlin,1993.
[11]R.Pastor-SatorrasandA.Vespignani,Epidemicdynamicsandendemicstatesincomplexnetworks,Phys.
Rev.E,63(2001)066117.
[12]
R.Pastor-SatorrasandA.Vespignani,Epidemicspreadinginscale-freenetworks,Phys.Rev.Lett.,86(2001)
3200-3203.
[13]R.Pastor-SatorrasandA.Vespignani,Epidemicdynamicsinfinitesizescale-freenetworks,Phys.Rev.E,
65(2002)035108(R).
[14]C.J.Tessone,M.CenciniandA.Torcini,Synchronizationofextendedchaoticsystemswithlong-range
interactions:ananalogytol´evy-flightspreadingofepidemics,Phys.Rev.Lett.,97(2006)224101.
[15]G.Yan,Z.Q.Fu,J.RenandW.X.Wang,Collectivesynchronizationinducedbyepidemicdynamicson
complexnetworkswithcommunities,Phys.Rev.E,75(2007)016108.
4
