第二十三讲 圆的有关概念及性质专题训练质
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第二十三讲 圆的有关概念及性质专题训练
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【基础知识回顾】
一、 圆的定义及性质：
1、 圆的定义：
⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点
A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫 线段OA叫做
⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于 的点的集合
2、弦与弧：
弦：连接圆上任意两点的 叫做弦
弧：圆上任意两点间的 叫做弧，弧可分为 、 、 三类
3、圆的对称性：
⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有 条对称轴， 的直线都是它的对称轴
⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是
【名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的 半径决定圆的
2、直径是圆中 的弦，弦不一定是直径；3、圆不仅是中心对称图形，而且具有旋
转 性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】
二、 垂径定理及推论：
1、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分弦所对的 。
2、垂径定理的推论：平分弦（ ）的直径 ，并且平分弦所对的 。
【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分
弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其余三个，注
意解题过程中的灵活运用 2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的 线（即弦心距）。3、
垂径定理常用作计算，在半径r、弦a、弦心距d和弓高h中已知其中两个量可求另外两个
量。】
三、圆心角、弧、弦之间的关系：
1、圆心角定义：顶点在 的角叫做圆心角
2、定理：在 中，两个圆心角、两个圆周角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距
中有一组量 它们所对应的其余各组量也分别
【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】
四、 圆周角定理及其推论：
1、圆周角定义：顶点在 并且两边都和圆 的角叫圆周角
2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 都等于这条弧所对的
圆心角的
推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角 那么它们所对的弧
推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是 ，900的圆周角所对的弦是
【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角
有 个，它们的关系是 ，2、作直径所对的圆周角是圆中常作的辅助线】
五、 圆内接四边形：
定义：如果一个四边形的所有顶点都在圆上，这个四边形叫做 ，这个圆叫
做 。性质：圆内接四边形的对角 。
【名师提醒：圆内接平行四边形是 圆内接梯形是 】
六、弦切角、相交弦定理、切割弦定理、割线定理（略）
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【重点考点例析】
考点一：垂径定理
例1（2013•舟山）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，
连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（ ）
A．215 B．8 C．210 D．213
（例1） （第1题）
思路分析：先根据垂径定理求出AC的长，设⊙O的半径为r，则OC=r-2，由勾股定理即
可得出r的值，故可得出AE的长，连接BE，由圆周角定理可知∠ABE=90°，在Rt△BCE
中，根据勾股定理即可求出CE的长．
1．（2013•南宁）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，∠BAC=
1
2
∠BOD，则⊙O的半径为（ ）
A．42 B．5 C．4 D．3
考点二：圆周角定理
例2 （2013•自贡）如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y
轴交于B、C两点，已知B（8，0），C（0，6），则⊙A的半径为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．8
（例2） （第2题）
思路分析：连接BC，由90度的圆周角所对的弦为直径，得到BC为圆A的直径，在直角
三角形BOC中，由OB与OC的长，利用勾股定理求出BC的长，即可确定出圆A的半径．
2．（2013•珠海）如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，
∠ADC=54°，连接AE，则∠AEB的度数为（ ）
A．36° B．46° C．27° D．63°
【聚焦中考】
1．（2013•泰安）如图，点A，B，C，在⊙O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，则∠BOC
等于（ ）
A．60° B．70° C．120° D．140°
（第1题） （第2题）
3
2．（2013•滨州）如图，已知圆心角∠BOC=78°，则圆周角∠BAC的度数是（ ）
A．156° B．78° C．39° D．12°
3．（2013•潍坊）如图，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且
BP：AP=1：5，则CD的长为（ ）
A．42 B．82 C．25 D．4
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（第3题）（第4题）
4．（2013•莱芜）如图，在⊙O中，已知∠OAB=22.5°，则∠C的度数为（ ）
A．135° B．122.5° C．115.5° D．112.5°
5．（2013•临沂）如图，在⊙O中，∠CBO=45°，∠CAO=15°，则∠AOB的度数是（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
（第5题） （第6题）
6．（2013•日照）如图，在△ABC中，以BC为直径的圆分别交边AC、AB于D、E两点，
连接BD、DE．若BD平分∠ABC，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．BD⊥AC B．AC2=2AB•AE
C．△ADE是等腰三角形 D．BC=2AD
7．（2013•厦门）如图所示，在⊙O中，弧AB等于弧AC，∠A=30°，则∠B=（ ）
A．150° B．75° C．60° D．15°
（第7题） （第8题）
8．（2013•湛江）如图，AB是⊙O的直径，∠AOC=110°，则∠D=（ ）
A．25° B．35° C．55° D．70°
9．（2013•徐州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD=8，OP=3，则
⊙O的半径为（ ）
A．10 B．8 C．5 D．3
（第9题） （第10题）
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10．（2013•南通）如图．Rt△ABC内接于⊙O，BC为直径，AB=4，AC=3，D是弧AB的
中点，CD与AB的交点为E，则 CEDE等于（ ）A．4 B．3.5 C．3 D．2.8
11．（2013•安徽）如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不
正确的是（ ）
A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形 B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥AC
C．当PO⊥AC时，∠ACP=30° D．当∠ACP=30°时，△BPC是直角三角形
（第11题）（第12题）
二、填空题
12．（2013•盐城）如图，将⊙O沿弦AB折叠，使»AB经过圆心O，则∠OAB= ．
13．（2013•株洲）如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC
的度数是 度．
（第13题） （第14题）（第15题）
14．（2013•扬州）如图，已知⊙O的直径AB=6，E、F为AB的三等分点，M、N为»AB上
两点，且∠MEB=∠NFB=60°，则EM+FN= ．
15．（2013•广州）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P
与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为13，则点P的坐标为 ．
三、解答题
16．（2013•贵阳）已知：如图，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为10，OE、OF分别交AB
于点E、F，OF的延长线交⊙O于点D，且AE=BF，∠EOF=60°．
（1）求证：△OEF是等边三角形；（2）当AE=OE时，求阴影部分的面积．（结果保留根
号和π）
（第16题） （第17题）
17．（2013•黔西南州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠
1=∠C，
（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=3，sin∠P= 35，求⊙O的直径．
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16．（1）证明：作OC⊥AB于点C，
∵OC⊥AB，
∴AC=BC，
∵AE=BF，
∴EC=FC，
∵OC⊥EF，
∴OE=OF，
∵∠EOF=60°，
∴△OEF是等边三角形；
（2）解：∵在等边△OEF中，∠OEF=∠EOF=60°，AE=OE，
∴∠A=∠AOE=30°，
∴∠AOF=90°，
∵AO=10，
∴OF=1033，
∴S△AOF=12×1033×10=5033，S扇形AOD=90360×102=25π，
∴S阴影=S扇形AOD-S△AOF=25π-5033．
17．（1）证明：∵∠C=∠P
又∵∠1=∠C
∴∠1=∠P
∴CB∥PD；
（2）解：如图，连接AC，
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∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°
又∵CD⊥AB，
∴»»BCBD，
∴∠P=∠CAB，
∴sin∠CAB=35，
即BCAB=35，
又知，BC=3，
∴AB=5，
∴直径为5．
