2006年高考数学试题及答案(全国卷)
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2006年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学（全国卷Ⅰ）
一．选择题
（1）已知向量a、b满足|a|=1，|b|=4，且ab=2，则a与b的夹角为
（A）6 （B）4 （C）3 （D）2
（2）设集合M={x|x2-x<0},N={x||x|<2},则
（A）MN （B）MMN
（C）MNM （D）RNM
（3）已知函数y=ex的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称，则
（A）f(2x)=e2x(x)R （B）f(2x)=ln2lnx(x>0)
（C）f(2x)=2e2x(x)R （D）f(2x)= lnx+ln2(x>0)
（4）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m=
（A）-41 （B）-4 (C)4 （D）41
（5）设Sn是等差数列{an}的前n项和,若S7=35,则a4=
（A）8 （B）7 （C）6 （D）5
（6）函数f(x)=tan(x+4)的单调递增区间为
（A）(k-2, k+2),kZ （B）(k, (k+1)),kZ
(C) (k-43, k+4),kZ （D）(k-4, k+43),kZ
（7）从圆x2-2x+y2-2y+1=0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为
（A）21 （B）53 （C）23 （D）0
（8）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c，且c=2a，则cosB=
（A）41 （B）43 （C）42 （D）32
（9）已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥高为4，体积为16，则这个球的表面积是
（A）16 （B）20 （C）24 （D）32
（10）在（x-x21）10的展开式中，x4的系数为
（A）-120 （B）120 （C）-15 （D）15
（11）抛物线y=-x2上的点到4x+3y-8=0直线的距离的最小值是
（A）34 （B）57 （C）58 （D）3
（12）用长度分别为2、3、4、5、6(单位:cm)的细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到期的三角形面积的最大值为
（A）85cm2 （B）610cm2 （C）355cm2 （D）20cm2 第Ⅱ卷
（13）已知函数f(x)=a-121x,若f(x)为奇函数，则a = 。
（14）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26,则侧面与底面所成的二面角等于 。
（15）设z=2y-x,式中x、y满足下列条件
1232312yyxyx
则z的最大值为__________
(16)安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班,每人值班一天,其中甲乙二人都不安排5月1日和5月2日.不同的安排方法共有__________种(用数字作答)
三．解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本大题满分12分）
已知{an}为等差数列,a3=2,a2+a4=320,求{an}的通项公式.
（18）（本大题满分12分）
ABC的三个内角为A、B、C,求当A为何值时,cosA+cos2CB取得最大值,并求出这个最大值
（19）（本大题满分12分）
A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效.若在一组试验中，服用A有郊的小白鼠只数比服用B有郊的多，就称该组试验为甲类组.设每只小白鼠服用A有郊的概率为32，服用B有郊的概率为21.
（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率; 得分 评卷人
得分 评卷人
得分 评卷人
（Ⅱ）观察3个试验组,求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率.
（20）（本大题满分12分）
如图,l1、l2是互相垂直的两条异面直线，MN是它们的公垂线段，点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN
（I）证明ACNB
（II）若60ACB，求NB与平面ABC所成角的余弦值
（21）（本大题满分12分）
设P为椭圆1222yax(a>1)短轴上的一个端点,Q为椭圆上的一个动点,求|PQ|的最大值
（22）（本大题满分14分）
设a为实数,函数f(x)=x3-ax2+(a2-1)x在(-,0)和(1, )都是增函数,求a的最值范围
2005全国卷I（河北、河南、安徽、山西）
文科数学参考答案
一．选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分。
1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D
7.C 8.B 9.C 10.B 11.B 12.D
二．填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。
13．155 14. 70 15.100 16. ①③④
三．解答题
（17）本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。满分12分。
解：（I）
∵x=8是函数y=f(x)的图像的对称轴， 得分 评卷人
得分 评卷人
得分 评卷人
A
B C
M N l1 l2
∴sin(2³8+)=±1，
∴4+=kπ+2，k∈Z.
∵-π<<0,
∴=-43.
（II）由（I）知=-43，因此
y=sin(2x-43).
由题意得
2kπ-2≤2x-43≤2kπ+2, k∈Z.
所以函数y=sin(2x-43)的单调增区间为
[kπ+8,kπ+85], k∈Z.
(III)由y=sin(2x-
43)知
x 0 8 83 85 87 π
y -22 -1 0 1 0 -22
故函数y=f(x)在区间[0，π]上的图像是
（18）本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力，满分12分。
方法一：
（I）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，
∴由三垂线定理得：CD⊥PD.
因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，
∴CD⊥面PAD.
又CD面PCD，∴面PAD⊥PCD.
（II）解：过点B作BE∥CA，且BE=CA，则∠PBE是AC与PB所成的角.
连结AE，可知AC=CB=BE=AE=2，又AB=2，
所以四边形ACBE为正方形.
由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°，
在Rt△PEB中BE=2，PB=5，
cos∠PBE=,510PBBE
∴AC与PB所成的角为arccos510.
(III)解：作AN⊥CM，垂足为N，连结BN.
在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，
∴△AMC≌△BMC，
∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角。
∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，
在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM.
在等腰三角形AMC中，AN²MC=ACACCM22)2(.
∴AN=5625223.
∵AB=2，
∴cos∠ANB=.322222BNANABBNAN
故所求的二面角为arccos(-32).
方法二：因为PA⊥AD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点，AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为
A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,21).
(I)证明：因AP=(0,0,1),DC=(0,1,0),故AP·DC=0,所以AP⊥DC.
又由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD。
又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD.
（II）解：因AC=(1,1,0),PB=(0,2,-1),
故|AC|=2，|PB|=5，AC²PB=2，所以
cos=||||PBACPBAC=.510
由此得AC与PB所成的角为arccos.510
（III）解：在MC上取一点N(x,y,z),则存在λ∈R，使
NC=λMC，
NC=(1-x,1-y,-z), MC=(1,0,-21),
∴x=1-λ,y=1,z=21λ.
要使AN⊥MC只需AN·MC=0,即
x-21z=0,解得λ=54.
可知当λ=54时,N点坐标为(51,1,52),能使AN·MC=0.
此时, AN=(51,1,52),BN=(51,-1,52),有BN·MC=0.
由AN·MC=0, BN·MC=0得AN⊥MC,BN⊥MC.所以∠ANB为所求二面角的平面角.
∵|AN|=530,|BN|=530,AN·BN=-54.
∴cos=.32||||BNANBNAN
故所求的二面角为arccos(-32).
(19)本小题主要考查二次函数、方程的根与系数关系，考查运用数学知识解决问题的能力.满分12分。
解：（I）∵f(x)+2x>0的解集为（1，3），
∴f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a<0.因而
f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a. ①
由方程f(x)+6a=0得
ax2-(2+4a)x+9a=0. ②
