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全国课标卷 (文科)高考数学学科分析新课标数学试卷的知识分布与覆盖上保持相对稳定，选择填空题都比较平和，属于中低档题目，解答题数列和立体几何不难，统计数据题运算量稍大，多数学生会耗点时间，导数和圆锥曲线后两问有难度。
总体看今年高考数学试题从试题的结构与难度与整体变化不大，但总体难易有一定的区分度，学生考及格容易得高分难。
试卷有非常明显的特点：重基础、图创新；讲传承、保稳定；顾全面，求综合；重思维、考能力。
一考查目的形式整体保持稳定试题在题型、题量、分值、难度、知识分布与覆盖上保持相对稳定，避免了大起大落，试卷重点考查高中主干模块知识，并加以交汇。
试题以考查高中基础知识为主线，在基础中考查能力。
重视对教材的理解和挖掘，很多试题和教材中的例题习题有相似之处，又不尽相同。
二突出基础知识，注重数学思想方法的考查数学作为基础学科在每年考试中约40%的题目以考查学生的基础知识，基本方法和基本技能的熟练程度为主，通过对试题解答的速度和正确率来区分不同考生，如试题中圆锥曲线的题目不论小题还是解答题运算量都比较小，这有利于考生有一个良好的心态去解决后面的解答题，并充分发挥自己的真实水平。
仍然保持“多考一点想，少考一点算”的特点。
三坚持能力立意，突出能力考查重点以能力立意培养数学的应用意识也是非常重要的，如何将已有的数学知识应用到我们面临的实际问题中，如何利用我们已掌握的数学知识，处理我们面对的实际问题，这都是很重要的，另外，几种重要的数学思想在试卷中都有考查，例如数形结合的思想，函数与方程的思想，分类讨论的思想，转化与化归的思想。
四追求创新仍是改革的热点创新是高考改革的一个永恒的主题，命题以创新型试题为载体，强调了高考对考生的学习方式和学习潜能的关注，力图使得试卷的选拔功能得以全面体现。
总体来看：重基础、图创新；凸应用、先价值，顾全面、求综合；重思维、考能力。
新课标高考数学文科试题对我们今后数学教学和复习的启示为：注重回归课本、扎实基础，降低难度，注重交叉，综合，注重数学背景，注重数学应用，努力提高学生的思维能力。
近五年高考文科数学试卷及答案解析(全国1卷)（2016年—2020年）说明：含有2016年—2020年的全国1卷高考文科数学试题以及答案详细解析（客观题也有答案详解）目录2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（I卷）答案详解 (3)2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（I卷） (19)2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学1卷 (29)2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学1卷答案详解 (39)2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学1卷 (50)2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学1卷答案详解 (60)2017年普通高等学校招生全国统一考试文科数学1卷 (71)2017年普通高等学校招生全国统一考试文科数学I卷答案详解 (81)2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学1卷 (93)2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学1卷答案详解 (103)2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（I 卷）答案详解一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（集合）已知合集{}2340A x x x =--<，{}4,1,3,5B =-，则A B = A.{}4,1- B.{}1,5C.{}3,5 D.{}1,3【解析】∵{}14A x x =-<<，∴{1,3}A B = .【答案】D2.（复数）若312z i i =++，则z =A.0 B.1C. D.2【解析】∵3i i =-，∴1z i =+，∴z 【答案】C3.（立体几何）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A.514- B.512C.514+ D.512【解析】如图A3所示，设正四棱锥底面的边长为a ，则有22221212h am a h m ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩整理得22420m am a --=，令mt a=，则有24210t t --=，∴114t +=，214t -=（舍去），即14m a +=.图A3【答案】C4.（概率统计）设O 为正方形ABCD 的中心，在O,A ,B,C,D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为A.15B.25C.12D.45【解析】如图A4所示，从O,A ,B,C,D 中任取3点的所有情况数为35C =10，取到的3点共线的情况有：AOC 、BOD ，共2种情况，所以所求的概率为51102==P.图A4【答案】A5.（概率统计）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子的发芽实验，由实验数据,)(i i x y i =（1,2,…,20)得到下面的散点图：由此散点图，在10C 至40C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A.y a bx=+ B.2y a bx =+ C.xy a be =+ D.ln y a b x=+【解析】根据散点图的趋势和已学函数图象可知，本题的回归方程类型为对数函数，故选D选项.【答案】D6.（解析几何）已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为A.1B.2C.3D.4【解析】222(3)3x y -+=，设直线方程为2(1)y k x -=-，∴20kx y k -+-=，∴圆心(3,0)到该直线的距离为d ==，∴2max 8d =，故弦的长度的最小值为2==.【答案】B7.（三角函数）设函数()cos()6f x x πω=+在[]ππ-，的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为A.109π B.76π C.43π D.32π【解析】∵函数过点4π,09⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴4ππcos()=096x ω-+，∴4πππ=962x ω-+-，解得23=ω，∴()f x 的最小正周期为3π4π2==ωT .【答案】C8.（函数）设3log 42a =，则4a -A.116B.19C.18D.16【解析】∵33log 4log 42a a ==，∴2439a ==，∴11449a a -==.【答案】B9.（算法框图）执行右面的程序框图，则输出的n =A.17B.19C.21D.23【解析】①输入10n S ==，，得1S S n =+=，100S ≤成立，继续；②输入31n S ==，，得4S S n =+=，100S ≤成立，继续；③输入54n S ==，，得9S S n =+=，100S ≤成立，继续；……由上述规律可以看出，S 是一个以a 1=1为首项，d =2为公差的等差数列的前m 项和，且21n m =-，故有21(1)2m m m S ma d m -=+=.当2100m S m =>，即11n >时，程序退出循环，此时2121n m =-=.【答案】C10.（数列）设{}n a 是等比数列，且123+1a a a +=，2342a a a ++=，则678+a a a +=A.12B.24C.30D.32【解析】设{}n a 的公比为q ，∵234123(+)2a a a q a a a ++=+=，∴2q =，∴55678123+(+)232a a a q a a a +=+==．【答案】D11.（解析几何）设1F ，2F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP |=2，则∆12PF F 的面积为A.72B.3C.52D.2【解析】由题可知1,2a b c ===，12(2,0),(2,0)F F -，解法一：设(,)P m n ，∵||2OP =，故有224m n +=，又∵点P 在C 上，故有2213n m -=，联立方程2222413m n n m ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得3||2n =，故∆12PF F 的面积为12113||||43222n F F ⋅=⨯⨯=．解法二：∵||2OP =，故点P 在以F 1、F 2为直径的圆上，故PF 1⊥PF 2，则22212||||(2)16PF PF c +==，又∵12||||22PF PF a -==，即222121212||||||||2||||4PF PF PF PF PF PF -=+-=，∴12||||6PF PF =，∴∆12PF F 的面积为1211||||6322PF PF =⨯=．图A11【答案】B12.（立体几何）已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点， 1O 为△ABC 的外接圆.若 1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π【解析】由题意可知， 1O 为的半径r =2，由正弦定理可知，2sin =ABr C，则12sin 2sin 6023==== OO AB r C r O 的半径2214R r OO =+=，∴球O 的表面积为24π64πR =．图A12【答案】A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
新课标全国Ⅰ卷文科数学2011-2019年高考分析及2020年高考预测话说天下大势，合久必分，分久必合，中国高考也是如此．2000年，教育部决定实施分省命题．十多年后，由分到合．2019年，除了保留北京、天津、上海、江苏、浙江实行全科自主命题外，大陆其他省区全部使用全国卷．研究发现，新课标全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和连续性．每个题型考查的知识点、考查方法、考查角度、思维方法等相对固定．掌握了全国卷的各种题型，就把握住了全国卷命题的灵魂．基于此，笔者潜心研究近9年全国高考理科数学Ⅰ卷(乙卷)和高考数学考试说明，精心分类汇总了全国卷近9年所有题型．为了便于读者使用，所有题目分类（共16类）列于表格之中，按年份排序．高考题的小题（填空和选择）的答案都列在表格的第三列，便于同学们及时解答对照答案，所有解答题的答案直接列在题目之后，方便查看．本文档是第五次修订，这次修订在第四次修订的基础上为了适应不同基础的考生使用，特别新增了选择题和填空题的解法，解法大都体现“小题小做”．已经删去算法、框图、线性规划、极坐标、不等式选修。
为了帮助同学们研究解答题的压轴题，在文档末，附有函数导数和解析几何这两个重要模块的经典题的解题研究．12一、集合与简易逻辑小题：1．集合小题：9年9考，每年1题，都是交并补子运算为主，多与解不等式（一般是解一元二次不等式）等交汇，新定义运算也有较小的可能，但是难度较低；基本上是每年的送分题，相信命题小组对集合题进行大幅变动的决心不大．UA =．{}1,6 解析： 1{=U B =D.{2,-（1）已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则A ．AB =3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ B ．AB =∅C ．A B 3|2x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭D ．A B=RB ={1,7}DB2BN=2,3){|=，即选B．N x2,=∈x n n{9,16} D，∴A∩B＝{1,4}=Bφx-x<1{<N，则PD．8{1,3N=2．简易逻辑小题：9年 1考，只有2013年考了一个复合命题（现在已经删去，但是我们可以只学习真假的判断）真假判断．这个考点包含的小考点较多，并且容易与函数，不等式、数列、三角函数、立体几何交汇，热点就是“充要条件”；难点：否定与否命题；冷点：全称与特称，思想：逆否．要注意，这类题可以分为两大类，一类只涉3及形式的变换，比较简单，另一类涉及命题真假判断，比较复杂．二、复数小题：9年9考，每年1题，以四则运算为主，偶尔与其他知识交汇，难度较小．一般涉及考查概念：实部、虚部、共轭复数、复数的模、对应复平面的点坐标等．56三、平面向量小题：8年8考，每年1题，向量题考的比较基本，突出向量的几何运算或代数运算，不侧重于与其它知识交汇，难度不大．我认为这样有利于考查向量的基本运算，符合考试说明．EB=14AB AC - 34AB AC - 14AB AC + 34AB AC + 131(),444EB AB AE AB AB AC AB AC =-=-+=-解析：选A72017年 （13）已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）.若向量a +b 与a 垂直，则m =______________ 解析：由题得，因为，所以，解得。
近5年来高考数列题分析（以全国卷课标Ⅰ为例）单的裂项相消法和错位相减法求解数列求和即可。
纵观全国新课标Ⅰ卷、Ⅱ卷的数列试题，我们却发现，新课标卷的数列题更加注重基础，强调双基，讲究解题的通性通法。
尤其在选择、填空更加突出，常常以“找常数”、“找邻居”、“找配对”、“构函数”作为数列问题一大亮点.从2011年至2015年，全国新课标Ⅰ卷理科试题共考查了8道数列题，其中6道都是标准的等差或等比数列，主要考查等差或等比数列的定义、性质、通项、前n项和、某一项的值或某几项的和以及证明等差或等比数列等基础知识。
而文科试题共考查了9道数列题，其中7道也都是标准的等差或等比数列，主要考查数列的性质、求通项、求和、求数列有关基本量以及证明等差或等比数列等基础知识。
1．从试题命制角度看，重视对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的考查。
2．从课程标准角度看，要求学生“探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和的公式，能在具体问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题”。
3．从文理试卷角度看，尊重差异，文理有别，体现了《普通高中数学课程标准（实验）》的基本理念之一“不同的学生在数学上得到不同的发展”。
以全国新课标Ⅰ卷为例，近五年理科的数列试题难度整体上要比文科的难度大一些。
如2012年文科第12题“数列 满足 ，求的前60项和”是一道选择题，但在理科试卷里这道题就命成了一道填空题，对考生的要求自然提高了。
具体来看，全国新课标卷的数列试题呈现以下特点：●小题主要考查等差、等比数列的基本概念和性质以及它们的交叉运用，突出了“小、巧、活”的特点，难度多属中等偏易。
●大题则以数列为引线，与函数、方程、不等式、几何、导数、向量等知识编织综合性强，内涵丰富的能力型试题，考查综合素质，难度多属中等以上，有时甚至是压轴题，难度较大。
（一）全国新课标卷对数列基本知识的考查侧重点1．考查数列的基本运算，主要涉及等差、等比数列的通项公式与前项和公式。
近5年高考数学全国卷2、3试卷分析．3试卷分析年高考全国卷2、2013----2017数 2012年云南进入新课标高考至今，已有六年时间，从可以说是我省考生最为害怕的加上难度变幻不定，学因为容易拉分，第一天下午开考的数学考得如何直接决定着考生第二天的一个学科，年全国卷数学试题从试卷的结构和试卷的难度上逐渐5考试情绪。
近趋于平稳，稳中有新，难度都属于较为稳定的状态。
选择、填空题会填空题在前选择题在前六题的位置，以基础题呈现，属于中等难度。
解答题属于中等难度，且基本定位在前三题和最后一题;二题的位置的位置。
一、近五年高考数学考点分布统计表20132014201520162017集集集集集合（交集（（选择集集集集1等式等式等式元个复数复数复数、复数、选择题（性运算共轭复数、复数质及2 模运算）回归选择题向量三角向量、折线图数量方程（数恒等3变换乘、积坐标公模）式识等二框余展定选择数列式性4三概分向双函数函选择（线弦角5互三三三幂三函图图较函数选择周图6平性称性选择题框图排列圆、弦框图框图7 组合长线性导数、框图三角球、体选择题积形8 切线规划等差三视选择题表三视球、线性数列图9 面积规划图抛物抛物函数、球、体椭圆、线图像选择题线积圆、直线、10离心函立双椭圆函选择离几线命零11心定函导数立几（圆选择（取数12积值范围不二向量线线填空规展式性规13解等三双线三角填空题线函数、规划函数、数列平移最值通项14公式概率函数、二项导数、分段填空题统计单调式定奇偶函数15不等切性、求理、性（正．态分参线方式程布）数列、三角直线圆与函解答线项圆16等数解解数数数角形通项通角通解答公公余17定理项面求统线概线回概率的解答平行字体期18面线线面线面垂直解答题回归平行、角垂直、二面19线面角角椭圆、椭圆、直线抛物解答题抛物与椭线直线、圆的20线、圆圆离心半径、．圆的率方程导数函数导数函数单解解答导性式21数调选考22坐坐坐直系系坐系坐与化化化系选考度点坐度23化间值程化不等不等绝对绝对值不值不式证绝对式证选考题等式、明、基等式、值不明参数本不恒成24等式、有解范围等式分立、段函数从近五年数学试题知识点分布及分值分布统计表不难看出，试题坚持对基础知识、数学思想方法进行考查，重点考查了高中数学的主体内容，兼顾考查新课标的新增内容，在此基础上，突出了对考生数学思维能力和数学应用意识的考查，体现了新课程改革的理念。
A ．24B ．264．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是（）A ．10πB ．5π5．已知e ()e 1xax x f x =-是偶函数，则a(1)求证：EF //平面ADO ；(2)若120POF ∠=︒，求三棱锥-P 20．已知函数()(1ln 1f x a x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(1)当1a =-时，求曲线()y f x =在点(2)若函数()f x 在()0,∞+单调递增，求21．已知椭圆2222:1(C b b x a a y +>=(1)求C 的方程；(2)过点()2,3-的直线交C 于,P Q 两点，直线线段MN 的中点为定点．【选修4-4】（10分）该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少7．C【分析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解【详解】因为区域(){}22,|14x y x y ≤+≤表示以的圆环，则直线OA 的倾斜角不大于π4的部分如阴影所示，结合对称性可得所求概率π2142π4P ⨯==.故选：C.8．B【分析】写出2()3f x x a '=+，并求出极值点，转化为极大值大于【详解】3()2f x x ax =++，则f '若()f x 要存在3个零点，则()f x 令2()30f x x a '=+=，解得x =-且当,,33a ax ⎛⎫⎛⎫--∈-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当,33a a x ⎛⎫--∈- ⎪ ⎪⎝⎭，()0f x '<，故()f x 的极大值为3f a ⎛⎫⎪ ⎪-⎭-⎝，极小值为若()f x 要存在3个零点，则f f ⎧⎛-⎪ ⎪⎝⎨⎛⎪ ⎪ ⎝⎩故选：B.9．A【分析】根据古典概率模型求出所有情况以及满足题意得情况，即可得到概率【详解】甲有6种选择，乙也有6若甲、乙抽到的主题不同，则共有则其概率为305366=，故选：A.16．2【分析】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球以及求的性质运算求解【详解】如图，将三棱锥S ABC -转化为直三棱柱设ABC 的外接圆圆心为1O ，半径为r ，则3223sin 32AB r ACB ===∠，可得3r =，设三棱锥S ABC -的外接球球心为O ，连接OA 因为22211OA OO O A =+，即21434SA =+，解得故答案为：2.【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解；来源：高三答案公众号（2）若球面上四点P 、A 、B 、C 构成的三条线段b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据61=3320．(1)()ln 2ln 20x y +-=；(2)1|2a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭.【分析】（1）由题意首先求得导函数的解析式，点坐标，最后求解切线方程即可；（2）原问题即()0f x '≥在区间(0,()()()21ln 10g x ax x x x =+-++≥【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；（3）得出结论．22．(1)()[][]2211,0,1,1,2x y x y +-=∈∈(2)()(),022,-∞+∞-；23．(1)[2,2](2)6.【分析】（1）分段去绝对值符号求解不等式作答（2）作出不等式组表示的平面区域，再求出面积作答由326y x x y =-+⎧⎨+=⎩，解得(2,8)A -所以ABC 的面积12ABC S =。
2023年高考数学真题完全解读（全国甲卷文科）适用省份四川、广西、贵州、西藏整I试卷总评2023年高考数学全国卷全面考查了数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等学科核心素养，体现基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求，突出理性思维，发挥出数学学科在人才选拔中的重要作用。
一、 题型与分值分布题型：（1）单选题12道，每题5分共60分；（2）填空题4道，每题5分共20分；（3）解答题三道，每题12分共60分；（4）选做题2道，每题10分。
二、 题目难度和复杂度三、知识点覆盖详细情况说明难度级别具体试题总分值整体评价★ ☆☆☆☆第1题、第2题、第4题、第13题、第15题25分整体试卷难度偏 易，整体复杂度不高，综合知识点大多都是2个左右★ ★☆☆☆第3题、第5题、第6题、第14题、第17题、第22题、第23题42分★ ★★☆☆第7题、第8题、第9题、第10题、第18题、第19题44分★ ★★★☆第11题、第20题、第21题29分★ ★★★★第12题、第16题10分知识点题型题目数量总分值整体评价集合单选题1个15分复数单选题1个15分平面向量单选题1个15分程序框图单选题1个15分主干知识考查全而，题目数量设置均衡；与课程标准保持了一致性。
数列单选题1个填空题1个210分三角函数单选题1个解答题1个217分概率与统计单选题1个解答题1个217分立体几何单选题1个填空题1个解答题1个322分圆锥曲线单选题2个解答题1个322分函数与导数单选题2个填空题1个解答题1个427分极坐标与参数方程选做题1个110分不等式填空题1个（线性规划问题）选做题1个215分四、高考试卷命题探究2023年高考数学全国卷在命制情境化试题过程中，通过对阅读题的分析，可以发现今年的高考命题在素材使用方而，对文字数量加以控制，阅读理解雄度也有所降低：在抽象数学问题方而，力图设置合理的思维强度和抽象程度；在解决问题方面，通过设置合适的运算过程和运算量，力求使情境化试题达到试题 要求层次与考生认知水平的契合与贴切。
新课标全国Ⅰ卷文科数学历届高考分析及年高考预测2016年，越来越多的省份加入全国卷的行列……,2016年使用全国卷Ⅰ的省份有：安徽、湖北、湖南、福建、山西、河北、河南、江西、广东研究发现，新课标全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和连续性．每个题型考查的知识点、考查方法、考查角度、思维方法等相对固定．掌握了全国卷的各种题型，就把握住了全国卷命题的灵魂．基于此，笔者潜心研究近6年全国高考文科数学Ⅰ卷和高考数学考试说明，精心分类汇总了全国卷近6年所有题型．为了便于读者使用，所有题目分类（共21类）列于表格之中，按年份排序．高考题的小题（填空和选择）的答案都列在表格的第三列，便于同学们及时解答对照答案，所有解答题的答案直接列在题目之后，方便查看．一、集合与简易逻辑小题：1．集合小题：6年6考，每年1题，都是交并补子运算为主，多与二次不等式等交汇，新定义运算也有较小的可能，但是难度较低；基本上是每年的送分题，相信命题小组对集合题进行大年份 题目 答案 2016年B2015年 (1)已知集合{|32,}A x x n n N ==+∈,{6,8,10,12,14}B =,则集合A B 中元素的个数为 （A ）5 （B ）4（C ）3 （D ）2 D 2014年 (1)已知集合{}13M x x =-<<， {}21N x x =-<<，则M N = A. (2,1)- B ． (1,1)- C ． (1,3) D ． (2,3)-B2013年 (1)已知集合A ＝{1,2,3,4}，2{|,}B x x n n A ==∈，则A ∩B ＝ A ．{1,4} B ．{2,3} C ．{9,16} D ．{1,2} A2012年 (1)已知集合2{|20}A x x x =--<，{|11}B x x =-<<，则 A ．A B B ．B A C ．A B = D ．A B φ= B2011年 (1)已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M N ，则P 的子集共有A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个B 2．简易逻辑小题：6年 1考，只有2013年考了一个复合命题真假判断．这个考点包含的小考点较多，并且容易与函数，不等式、数列、三角函数、立体几何交汇，热点就是“充要条件”；难点：否定与否命题；冷点：全称与特称，思想：逆否．要注意，这类题可以分为两大类，一类只涉及形式的变换，比较简单，另一类涉及命题真假判断，比较复杂．已经两年没考，该回归了吧？年份 题目 答案 2013年 （5）已知命题p ：∀x ∈R,2x ＜3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )．A ．p ∧qB ．⌝p ∧qC ．p ∧⌝qD ．⌝p ∧⌝qB二、复数小题：6年6考，每年1题，四则运算为主，偶尔与其他知识交汇，难度较小．主要考查概念：实部、虚部、共轭复数、复数的模、对应复平面的点坐标等．年份 题目 答案 2016年A2015年 （3）已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（A ） 2i --（B ）2i -+ （C ）2i - （D ）2i +C 2014年 （3）设i iz ++=11，则=||z A ．21 B ． 22 C ． 23 D ． 2 B 2013年 （2）212i 1i +(-)＝ A ．11i 2-- B ．11+i 2- C ．11+i 2 D ．11i 2- B 2012年 （2）复数32i z i -+=+的共轭复数是 A ．2i +B ．2i -C ．1i -+D ．1i --D2011年 （2）复数512i i =- A ．2i - B ．12i - C ． 2i -+ D ．12i -+C 三、平面向量小题：6年6考，每年1题，向量题考的比较基本，突出向量的几何运算或代数运算，不侧重于与其它知识交汇，难度不大（与全国其它省份比较）．我认为这样有利于考查向量年份 题目 答案2016年 23- 2015年 (2)已知点(0,1)A ，(3,2)B ，向量(4,3)AC =-，则向量BC =（A ）(7,4)--（B ）(7,4) （C ）(1,4)- （D ）(1,4)A(13)已知两个单位向量(15)已知向量b 夹角为°，且||1a =，|10b =，则b 为两个不共线的单位向量，6年6考，每年1题，全国卷线性规划题考的比较基本，一般不与其它知识结合，不象部分省区的高考向量题侧重于与其它知识交汇，如和平面向量、基本不等式、解析几何等交汇．我觉得这种组合式交汇意义不大，不利于考查基本功．由于线性规划的运算量相对较大，我觉得难度不宜太大，不过为了避免很多同学解出交点代入的情况估计会加大“形’的考察力度，有可能通过目标函数的最值作为条件反求可行域内的参数问题，如2014年新课标11题．(还有近年线性规划应用题较少考查，是否再考？这是我写5年高考分析时的预测，果然2016年考了线性规划应用题，2017年不会再考了吧？)题目点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z x y =-+的取值范围是（ ）A ．（13-，2）B ．（0，2）C ．（31-，2）D ．（0，13+）2011年 14．若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值是_________．-6 五、三角函数小题：6年13考，每年至少1题，有时2题或3题，当考2小题或3小题时，就不再考三角大题了．题目难度较小，主要考察公式熟练运用，平移，由图像性质、化简求值、解三角形等问题（含应用题），基本属于“送分题”．小心平移（重点+难点+几乎年年考）．2013年16题对化简要求较年份 题目 答案2016年 D2016年 D2016年43-2015年 （8）函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ） 13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ （C ）13(,),44k k k Z -+∈ （D ）13(2,2),44k k k Z -+∈D 2014年 （2）若0tan >α，则A. 0sin >α B ． 0cos >α C ． 02sin >α D ． 02cos >αC2014年 （16）如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒．已知山高100BC m =，则山高MN =________m ．1502013年 9．函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图像大致为( )．C2013年 10．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )．A ．10B ．9C ．8D ．5D2013年 16．设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝______．255- 2012年 9．已知0ω>，0ϕπ<<，直线4x π=和54x π=是函数 ()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=A ．4πB ．3πC ．2π D ．34π A 2011年 7．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=A ． 45-B ．35-C ．35D ．45B2011年 11．设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则 A ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线4x π=对称 B ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线2x π=对称 C ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线4x π=对称 D ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线2x π=对称 D2011年 15．ABC ∆中，120,7,5B AC AB =︒==，则ABC ∆的面积为_________． 4315六、立体几何小题:6年11考，一般考三视图和球，主要计算体积和表面积．其中，我认为“点线面”也有可能出现在小题，但是难度不大，立体几何是否会与其它知识交汇？如：几何概型？有可能．但是，根据全国卷的命题习惯，交汇可能性不大．线面角，二面角这个知识点文科近年没有考，一般不会考了吧，但是异面直线所成的角是否可以考（对2016年预测）年年考三视图，是否也太稳定了吧？球体是基本的几何体，是发展空间想象能力的很好载体，是新课标的热点．（果然2016年11题考了线线角，虽然没有提到异面直线，但是在发展空间想象能力和解题思路上与异年份 题目 答案2016年A2016年A2015年 （6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1．62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛B2015年（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r=（A）1 (B) 2(C) 4 (D) 8B2014年8．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是A．三棱锥 B．三棱柱C．四棱锥 D．四棱柱B2013年11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A．16＋8πB．8＋8πC．16＋16πD．8＋16πA2013年15．已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为______．9π22012年7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6 B．9C．12 D．15B2012年8．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为（）A．6πB．43πC．46πD．63πB2011年8．在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为D2011年16．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为______________．31七、推理证明小题：全国Ⅰ文数中，6年1考，实在是个冷点，而且这1考也不是常规的数学考法，倒是很像一道公务员考试的逻辑推理题，但这是个信号，虽然这个信号在2015年并没有连续出现．2003年全国高考曾经出过一道把直角三角形的勾股定理类比到四面体的小题，这个题已经是教材的一个例题；上海市是最喜欢考类比推理的，上海市2000年的那道经典的等差数列与等比数列性质的类比题也早已进入教材习题．这类题目不会考察“理论概念”问题，估计是交汇其他题目命题，难度应该不大．适当出一道“类比推理”的小题是值得所期待的．年份题目答案2014年（13）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为________．A八、概率小题：6年5考，2012年没考小题，但是在大题中考了，就是那道“玫瑰花”的题目，这足见古典概型的重要．几何概型5年都没有考（2007年后新增）！其它省份高考及各地模拟较多出现几年份题目答案2016年 C2015年（4）如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为（A）310（B）15（C）110（D）120C九、统计小题：6年1考，只在2012年考了一个相关系数概念，这个考法在我看是没有什么价值的．以后相信也不会再出现了吧！但是统计在文科解答题里可是每年必考的，属于热点题！其实统计考小题比较好的，各地高考及模拟高考小题居多．这个考点内容实在太多：频率分布表、直方图、抽样方法、样本平均数、方差、标准差、散点图、线性回归、回归分析、独立性检验等．全国Ⅰ文数的数列解答题和三角函数解答题每年只考一个，考解答题时一般不再考小题，不考解答题时，就考两个小题，下表中列出了2015年和2012年各考了两个数列小题，其它四年没有考小题，而是考的大题．交错考法不一定分奇数年或偶数年2012年 12．数列{n a }满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{n a }的前60项和为（ ）A ．3690B ．3660C ．1845D ．1830 D2012年 14．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3230S S +=，则公比q =___________． -2 十一、框图小题：6年6考！考含有循环体的较多，都比较简单，一般与数列求和联系较多．题目 年份答案 2016年C2015年 （9）执行右面的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n =（A ）5 （B ）6（C ）7 （D ）8C2014年 9．执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M = DA ．203 B ．165 C ．72 D ．1582013年 7．执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]A2012年 6．若执行右边和程序框图，输入正整数N （2N ≥）和实数1a ，2a ，…，N a ，输出A ，B ，则（ ）A ．AB +为1a ，2a ，…，N a 的和B ．2A B +为1a ，2a ，…，N a 的算术平均数C ．A 和B 分别是1a ，2a ，…，N a 中最大的数和最小的数D ．A 和B 分别是1a ，2a ，…，N a 中最小的数和最大的数C2011年5．执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是A．120 B． 720C． 1440 D． 5040B十二、圆锥曲线小题：6年12考，每年2题！太稳定了！太重要了！！全国卷注重考查基础知识和基本概念，综合一点的小题侧重考查圆锥曲线与直线位置关系，多数题目比较单一．年份题目答案2016年 B2016年4π2015年（5）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线C：28y x=的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个焦点，则|AB|=（A）3 （B）6 （C）9 （D）12B2015年（16）已知F是双曲线C：2218yx-=的右焦点，P是C的左支上一点，A（0,6126周期性、对称性、平移、导数、切线、定积分（理科）、零点等，分段函数是重要载体！绝对值函数也是重要载体！函数已经不是值得学生“恐惧”的了吧？ 2016年B 2016年D2016年C2015年（10）已知函数f (x )={2x−1−2,x ≤1−log 2(x +1),x >1，且()3f a =-，则(6)f a -=（A ）74- （B ）54- （C ）34- （D ）14-A 2015年（12）设函数()y f x =的图象与2x a y +=的图象关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =（A ）1- （B ）1 （C ）2 （D ）4C2015年（14）已知函数3()1f x ax x =++的图象在点(1,(1))f 处的切线过点(2,7)，则_______a =．12014年（5）设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是C2012年16．设函数22(1)sin()1x xf xx++=+的最大值为M，最小值为m，则M m+=____________．22011年3．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是A．3y x=B．||1y x=+C．21y x=-+D．||2xy-=B2011年10．在下列区间中，函数()43xf x e x=+-的零点所在的区间为A．1(,0)4-B．1(0,)4C．11(,)42D．13(,)24C2011年12．已知函数()y f x=的周期为2，当[1,1]x∈-时2()f x x=，那么函数()y f x=的图象与函数|lg|y x=的图象的交点共有A．10个B．9个C．8个D．1个A十四、三角函数大题和数列大题：在全国Ⅰ卷中每年只考一个，不考的那一个一般用两道小题代替．三角函数大题侧重于考解三角形，重点考查正、余弦定理，小题中侧重于考查三角函数的图象和性质．数列一般考求2016年2015年（17）（本小题满分12分）已知,,a b c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC（Ⅰ）若a b =，求cosB ；（Ⅱ）设B=90°，且2a =，求△ABC 的面积．2014年（17）（本小题满分12分）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根． （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和． 解： （I ）方程2560x x -+=的两根为2,3,由题意得22a =，43a =，设数列{}n a 的公差为 d ,，则422a a d -=，故d=12，从而132a =， 所以{}n a 的通项公式为：112n a n =+ …………6 分 (Ⅱ)设求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为S n ,由(Ⅰ)知1222n nn a n ++=， 则：23413451222222n n n n n S +++=+++++ 34512134512222222n n n n n S ++++=+++++ 两式相减得 341212131112311212422224422n n n n n n n S ++++++⎛⎫⎛⎫=++++-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以1422n n n S ++=- ………12分2013年17．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5． (1)求{a n }的通项公式；23n +-c 分别为△2nn(+十五、立体几何大题：6年6考，每年1题．第1问多为证明垂直问题，第2问多为体积计算问题（2014年是求高）；第2问都涉及计算问题．特点：证明中一般要用到初中平面几何的重要定理．2015年（18）（本小题满分12分）如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E ACD的体积为63，求该三棱锥的侧面积．2014年 （19）(本题满分12分)如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11．（I ）证明：;1AB C B ⊥（II ）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB 求三棱柱111C B A ABC -的高．解：（I ）连结1BC ，则O 为1BC 与1B C 的交点，因为侧面11BB C C 为菱形，所以1B C 1BC ⊥，又AO ⊥平面11BB C C ，故1B C AO⊥1B C ⊥平面ABO ，由于AB ⊂平面ABO ，故1B C ⊥AB ………6分 （II ）作OD ⊥BC,垂足为D,连结AD,作OH ⊥AD,垂足为H,由于BC ⊥AO,BC ⊥OD,故BC ⊥平面AOD,所以OH ⊥BC ． 又OH ⊥AD,所以OH ⊥平面ABC ．因为1,601==∠BC CBB,所以△1CBB 为等边三角形,又BC=1,可得OD=34，由于1AB AC ⊥，所以11122OA B C ==，由 OH ·AD=OD ·OA,且2274AD OD OA =+=，得OH=2114 又O 为B 1C 的中点,所以点B 1 到平面ABC 的距离为217,故三棱柱ABC-A 1B 1C 1 的高为217………………………．12 分2013年19．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°． (1)证明：AB ⊥A 1C ； (2)若AB ＝CB ＝2，A 1C ＝6，求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积．，所以1DC BC⊥平面1BDC ，故平面）由已知AC=BC=12AA a =，2011年18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ． （I ）证明：PA BD ⊥；（II ）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC 的高．解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=︒=， 由余弦定理得3BD AD =从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面P AD ． 故 P A ⊥BD（Ⅱ）如图，作DE ⊥PB ，垂足为E ．已知PD ⊥底面ABCD ，则PD ⊥BC ．由（Ⅰ）知BD ⊥AD ，又BC//AD ，所以BC ⊥BD ． 故BC ⊥平面PBD ，BC ⊥DE ． 则DE ⊥平面PBC ．由题设知，PD=1，则BD=3，PB=2，根据BE·PB=PD·BD ，得DE=23， 即棱锥D —PBC 的高为.23十六、概率统计大题：6年6考，每年1题．第1问多为统计问题，第2问多为概率计算问题；特点：实际生活背景在加强．冷点：回归分析，独立性检验．2015课标全国Ⅰ已经非常灵活地考了回归分析，独立性检验在2010年课标卷考过，还会再来吗？2017年第一问是写函数解析式，这个考法回归到（19）（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费1x 和年销售量1y （i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．x y ω 821()ii x x =-∑821()ii ωω=-∑81()()iii x x y y =--∑ 81()()ii i y y ωω=--∑46．6 5636．8289．8 1．6 1469 108．8表中i i x ω=，8118i i ωω==∑．（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =+与y c d x =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与,x y 的关系为0.2z y x =-．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i ） 年宣传费49x =时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ） 年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数据11(,)u v ，22(,)u v ，…，(,)n n u v ,其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：2014年(18)（本小题满分12分） 从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：质量指标值分组 [75，85) [85，95) [95，105) [105，115) [115，125) 频数 6 26 38 22 8 （II ）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （III ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？解：（I ）…………4分（II ）质量指标值的样本平均数为800.06900.261000.381100.221200.08100x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．质量指标值的样本方差为()()()()22222200.06100.2600.38100.22200.08104s =-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=…10 分(Ⅲ)质量指标值不低于95 的产品所占比例的估计值为 0．38+0．22+0．08=0．68． 由于该估计值小于0．8,故不能认为该企业生产的这种产品“质量指标值不低于95 的产品至少要占全图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？药观测数据的平均数为y．＋1．8＋2．2＋2．3＋2．3＋2．4＋2．5＋2．6＋2．7从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有710的叶集中在茎2,3上，而的叶集中在茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好．…………12分]（19）（本小题12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质产品，现用两种新配方（分别称为A 分配方和B 分配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：（Ⅰ）分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；（Ⅱ）已知用B 配方生产的一件产品的利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B 配方生产的上述100件产品平均一件的利润．（19）解：（Ⅰ）由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质的频率为228=0.3100+，所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0．3．…………3分 由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为32100.42100+=，所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0．42．…………6分（Ⅱ）由条件知用B 配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值t≥94，由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为0．96，所以用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0．96．用B 配方生产的产品平均一件的利润为68.2)442254)2(4(1001=⨯+⨯+-⨯⨯（元）…………12分十七、解析几何大题：6年6考，每年1题．特点：全国Ⅰ卷中，2011-2015载体连续5年都是圆！年全国Ⅰ卷在小题中已经考查了椭圆、双曲线、抛物线，大题中一般不再考查；全国Ⅰ卷用圆作为载体，更利于考查数形结合，圆承担的使命就是“形”，尽量不要对圆像椭圆一样运算！2016年终于不（20）（本小题满分12分）2014年20.（本小题满分12分）已知点)2,2(P ，圆C :0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点． （I ）求M 的轨迹方程；（II ）当OM OP =时，求l 的方程及POM ∆的面积．解：（I ）圆C 的方程可化为()22416x y +-=,所以圆心为 C(0,4),半径为 4．设M(x,y),则(,4)CM x y =-，(2,2)MP x y =--，,由题设知0CM MP =,故()()()2420x x y y -+--=，即()()22132x y -+-=由于点P 在圆C 的内部,所以M 的轨迹方程是()()22132x y -+-= ………… 6 分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知M 的轨迹是以点N(1,3)为圆心, 2 为半径的圆．由于|OP|=|OM|,故O 在线段PM 的垂直平分线上,又P 在圆N 上,从而ON ⊥PM ．十八、函数与导数大题：函数与导数大题6年6考，每年1题．第1问一般考查导数的几何意义，第2问考查利用导数讨论函数性质．若是在小题中考查了导数的几何意义，则在大题中一般不再考查（如2015年全国、2012年全国）．函数载体上：无论文科理科，基本放弃纯3次函数，对数函数很受“器重”！指数函数也较多出现！两种函数也会同时出现！（2015年全国Ⅰ卷）．全国Ⅰ卷第2问：2015年证明不等式，2014年不等式有解问题（存在性），2013年单调性、极值，2012年不等式恒成立问题，2011年证明不等式．但是，无论怎么考，讨论单调性永远是考查的重点，而且仅仅围绕分类整合思想的考查．在考查分离参数还是考查不分离参数上，命题者会大做文章！分离（分参）还是不分离（部参），的确是一个问题！！一般说来，主要考查不分离问题（部参）．另外，函数与方程的转化也不容忽视，如函数零点的讨论．函数题设问灵活，多数考生做到此题，时间紧，若能分类整合，抢一点分就很好了．还有，灵活性问题：有些情况下函数性质是不用导数就可以“看出”的，如增函数+增函数=增函数，复合函数单调性，显然成立的不等式，放缩法等等，总之，导数是很重要，但是有些解题环节，不要“吊死”在导数上，不要过于按部就班！还有，数形结合有时也是可以较快得到答案的，虽然应为表达不严谨不得满分，但是在时间紧的情况下可以适当使用．2017年的函数载体和2013年的函数载体相同，都是一次函数与指数函数的积与一个二次函数的积，它们的导数有相同的结构，我在考前曾经改变了一个导数为(1)()x x e a --的题目，和高考题的导数(1)(2)x x e a -+完全类似.2015年（21）（本小题满分12分） 设函数2()ln x f x e a x =-．（Ⅰ）讨论()f x 的导函数'()f x 零点的个数；（Ⅱ）证明：当0a >时，2()2lnf x a a a≥+．2014年21(本题满分12分)设函数()()21ln 12a f x a x x bx a -=+-≠，曲线()()()11y f x f =在点，处的切线斜率为0 （I ）求b;十九、不等式大题：6年6考，而且是作为3个选做大题之一出现的，主要考绝对值不等式的解法（出现频率太高了，应当高度重视），偶尔也考基本不等式．全国卷很少考不等式小题，如果说考的话，可以认为在其它小题中考一些解法之类的问题．不等式作为一种工具，解题经常用到，不单独命小题显然也是合理的．不等式的证明一般考在函数导数综合题中出现．题目（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲2014年 （24）（本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲若,0,0>>b a 且ab ba =+11 （I ）求33b a +的最小值；（II ）是否存在b a ,，使得632=+b a ？并说明理由．解：(Ⅰ) 由112ab a b ab=+≥，得2ab ≥，且当2a b ==时等号成立， 故3333342a b a b +≥=，且当2a b ==时等号成立，∴33a b +的最小值为42． ………5分（Ⅱ）由62326a b ab =+≥，得32ab ≤，又由(Ⅰ)知2ab ≥，二者矛盾， 所以不存在,a b ，使得236a b +=成立． ……………10分2013年 24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3．(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈1[,)22a -时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0．设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立．故2a -≥a －6年6考，而且是作为3个选做大题之一出现的，主要考查两个方面：一是极坐标方程题目2015年 （23）（本小题满分10分）选修4-4；坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C :2x =-，圆222:(1)(2)1C x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求1C ，C 2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C 3的极坐标为θ=4π（ρ∈R ）,设C 2与C 3的交点为M ，N,求△C 2MN 的面积．2014年 （23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线194:22=+y x C ，直线⎩⎨⎧-=+=ty t x l 222:（t 为参数） （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值．（3）解：(Ⅰ) 曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数）， 直线l 的普通方程为：260x y +-= ………5分（Ⅱ）（2）在曲线C 上任意取一点P (2cos θ,3sin θ)到l 的距离为54cos 3sin 65d θθ=+-，则()025||5sin 6sin 305d PA θα==+-，其中α为锐角．且4tan 3α=．当()sin 1θα+=-时，||PA 取得最大值，最大值为2255； 当()sin 1θα+=时，||PA 取得最小值，最小值为255． …………10分）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=．射线3πθ=与1C 的交点A 的极径为14sin3πρ=，射线3πθ=与2C 的交点B 的极径为28sin 3πρ=． 所以21||||23AB ρρ-==．二十一、几何证明选讲大题：6年6考，而且是作为3个选做大题之一出现的，主要考查直线与圆的位置关系，切线年份 题目2016年2015年 （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点E ．（Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线；（Ⅱ）若CA=3CE ，求∠ACB 的大小．解：（Ⅰ）连接AF ，由已知得，AE BC ⊥，AC AB ⊥，在Rt △AEC 中，DE DC =，故DEC DCE ∠=∠．连接OE ，则OBE OEB ∠=∠，又90ACB ABC ∠+∠=，所以90DEC OEB ∠+∠=，故90OED ∠=，即OE DE ⊥，又OE 为⊙O 的半径，所以DE 是⊙O 的切线． ………5分2014年 （22）（本小题满分10分）选修4-1，几何证明选讲如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB CE =．（I ）证明：D E ∠=∠；（II ）设AD 不是O 的直径，AD 的中点为M ，且MB MC =，证明：ABC ∆为等边三角形．解：．(Ⅰ) 由题设知得A 、B 、C 、D 四点共圆，所以∠D=∠CBE ，由已知得，∠CBE=∠E ,所以∠D=∠E ……………5分 （Ⅱ）设BCN 中点为，连接MN,则由MB=MC ,知M N ⊥BC所以O 在MN 上，又AD 不是O 的直径，M 为AD 中点，故O M ⊥AD ， 即MN ⊥AD ， 所以AD//BC,故∠A=∠CBE ， 又∠CBE=∠E ，故∠A=∠E由(Ⅰ)（1）知∠D=∠E ， 所以△ADE 为等边三角形． ……………10分2013年 （22）．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D ．(1)证明：连结DE ，交BC 于点G ．由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE ．而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE ．又因为DB ⊥BE ，所以DE 为直径，∠DCE ＝90°，由勾股定理可得DB ＝DC ．(2)解：由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ，故DG 是BC 的中垂线，所以BG ＝32．设DE 的中点为O ，连结BO ，则∠BOG ＝60°．从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°，所以CF ⊥BF ，故Rt△BCF 外接圆的半径等于32． 2012年 22． (本小题满分10分) 选修4—1：几何证明选讲 如图，D ，E 分别为ABC ∆边AB ，AC 的A N。
2024年高考文科数学全国甲卷+答案详解（试题部分）一、单选题1．集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B =（ ） A ．{}1,2,3,4B ．{}1,2,3C ．{}3,4D ．{}1,2,92．设z =，则z z ⋅=（ ） A ．-iB ．1C ．-1D ．23．若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y −−≥⎧⎪−−≤⎨⎪+−≤⎩，则5z x y =−的最小值为（ ）A ．5B ．12C ．2−D ．72−4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（ ） A ．2−B ．73C ．1D ．295．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ） A ．14 B ．13C ．12D ．236．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b−=>>的上、下焦点分别为()()120,4,0,4F F −，点()6,4P −在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） A ．4B ．3C ．2D7．曲线()631f x x x =+−在()0,1−处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）A ．16BC ．12D． 8．函数()()2e e sin x xf x x x −=−+−在区间[ 2.8,2.8]−的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知cos cos sin ααα=−πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A．1 B．1 CD．110．设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ=.下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥ 其中所有真命题的编号是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①③④11．在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ） A ．32BCD二、填空题12．函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是 ． 13．已知1a >，8115log log 42a a −=−，则=a ． 14．曲线33y x x =−与()21y x a =−−+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为 ． 三、解答题15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=−. (1)求{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n S 的通项公式.16．如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB =M 为AD 的中点.(1)证明：//BM 平面CDE ； (2)求点M 到ABF 的距离.17．已知函数()()1ln 1f x a x x =−−+． (1)求()f x 的单调区间；(2)若2a ≤时，证明：当1x >时，()1e xf x −<恒成立．18．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．(1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴． 19．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.(1)写出C 的直角坐标方程；(2)设直线l ：x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于AB 、两点，若2AB =，求a 的值. 20．实数,a b 满足3a b +≥． (1)证明：2222a b a b +>+；(2)证明：22226a b b a −+−≥．2024年高考文科数学全国甲卷+答案详解（答案详解）一、单选题1．集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B =（ ） A ．{}1,2,3,4 B ．{}1,2,3C ．{}3,4D ．{}1,2,9【答案】A【解析】根据题意得，对于集合B 中的元素x ，满足11,2,3,4,5,9x +=， 则x 可能的取值为0,1,2,3,4,8，即{0,1,2,3,4,8}B =，于是{1,2,3,4}A B ⋂=. 故选A2．设z =，则z z ⋅=（ ） A ．-i B ．1C ．-1D ．2【答案】D【解析】根据题意得，z =，故22i 2zz =−=. 故选D3．若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y −−≥⎧⎪−−≤⎨⎪+−≤⎩，则5z x y =−的最小值为（ ）A ．5B ．12C ．2−D ．72−【答案】D【解析】实数,x y 满足43302202690x y x y x y −−≥⎧⎪−−≤⎨⎪+−≤⎩，作出可行域如图：由5z x y =−可得1155y x z =−，即z 的几何意义为1155y x z =−的截距的15−， 则该直线截距取最大值时，z 有最小值，此时直线1155y x z =−过点A ， 联立43302690x y x y −−=⎧⎨+−=⎩，解得321x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即3,12A ⎛⎫⎪⎝⎭，则min 375122z =−⨯=−. 故选D.4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（ ） A ．2− B ．73C ．1D ．29【答案】D【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成1a 和d 来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理.【解析】方法1：利用等差数列的基本量 由91S =，根据等差数列的求和公式，911989193612S a d a d ⨯=+=⇔+=， 又371111222628(936)99a a a d a d a d a d +=+++=+=+=.故选D方法2：利用等差数列的性质根据等差数列的性质，1937a a a a +=+，由91S =，根据等差数列的求和公式， 193799()9()122a a a a S ++===，故3729a a +=. 故选D方法3：特殊值法不妨取等差数列公差0d =，则9111199S a a ==⇒=，则371229a a a +==. 故选D5．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ） A ．14 B ．13C ．12D ．23【答案】B【分析】分类讨论甲乙的位置，得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解. 【解析】当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种； 当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意；基本事件总数显然是44A 24=，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为81243=. 故选B6．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b−=>>的上、下焦点分别为()()120,4,0,4F F −，点()6,4P −在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）A．4 B ．3 C ．2 D 【答案】C【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率. 【解析】根据题意，()10,4F −、()20,4F 、()6,4P −，则1228F F c ==，110PF =，26PF ，则1221064a PF PF =−=−=，则28224c e a ===. 故选C.7．曲线()631f x x x =+−在()0,1−处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）A ．16B C ．12D ． 【答案】A【分析】先求出切线方程，再求出切线的截距，从而可求面积.【解析】()563f x x ='+，所以()03f '=，故切线方程为3(0)131y x x =−−=−，故切线的横截距为13，纵截距为1−，故切线与坐标轴围成的面积为1111236⨯⨯=故选A.8．函数()()2e e sin x xf x x x −=−+−在区间[ 2.8,2.8]−的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D.【解析】()()()()()22e e sin e e sin x x x xf x x x x x f x −−−=−+−−=−+−=，又函数定义域为[]2.8,2.8−，故该函数为偶函数，AC 错误， 又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42e f ⎛⎫⎛⎫=−+−>−+−=−−>−> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， D 错误.故选B.9．已知cos cos sin ααα=−πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．1CD ．1【答案】B 【分析】先将cos cos sin αα−α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【解析】因为cos cos sin ααα=−11tan =−α，tan 1⇒α=，所以tan 1tan 11tan 4α+π⎛⎫==α+ ⎪−α⎝⎭， 故选B.10．设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ=.下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥ 其中所有真命题的编号是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①③④【答案】A【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③. 【解析】①，当n ⊂α，因为//m n ，m β⊂，则//n β，当n β⊂，因为//m n ，m α⊂，则//n α， 当n 既不在α也不在β内，因为//m n ，,m m αβ⊂⊂，则//n α且//n β，①正确； ②，若m n ⊥，则n 与,αβ不一定垂直，②错误；③，过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ，因为//n α，过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知//n s ，同理可得//n t ，则//s t ，因为s ⊄平面β，t ⊂平面β，则//s 平面β，因为s ⊂平面α，m αβ=，则//s m ，又因为//n s ，则//m n ，③正确；④，若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等，如果//,//αβn n ，则//m n ，④错误； ①③正确， 故选A.11．在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ）A ．32BC．2D【答案】C【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =，再利用余弦定理有22134a c ac +=，再利用正弦定理得到22sin sin A C +的值，最后代入计算即可. 【解析】因为29,34B b ac π==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==. 根据余弦定理可得:22294b a c ac ac =+−=，即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=， 因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin A C +. 故选C. 二、填空题12．函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是 ． 【答案】2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【解析】()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫==− ⎪⎝⎭，当[]0,πx ∈时，ππ2π,333x ⎡⎤−∈−⎢⎥⎣⎦，当ππ32x −=时，即5π6x =时，()max 2f x =.答案为：2 13．已知1a >，8115log log 42a a −=−，则=a ． 【答案】64【分析】将8log ,log 4a a 利用换底公式转化成2log a 来表示即可求解. 【解析】由题28211315log log log 4log 22a a a a −=−=−，整理得()2225log 60log a a −−=， 2log 1a ⇒=−或2log 6a =，又1a >，所以622log 6log 2a ==，故6264a ==答案为：64.14．曲线33y x x =−与()21y x a =−−+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为 ．【答案】()2,1−【分析】将函数转化为方程，令()2331x x x a −=−−+，分离参数a ，构造新函数()3251,g x x x x =+−+结合导数求得()g x 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.【解析】令()2331x x x a −=−−+，即3251a x x x =+−+，令()()32510,g x x x x x =+−+>则()()()2325351g x x x x x =+−=+−'，令()()00g x x '=>得1x =，当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()1,x ∞∈+时，()0g x '>，()g x 单调递增，()()01,12g g ==−，因为曲线33y x x =−与()21y x a =−−+在()0,∞+上有两个不同的交点，所以等价于y a =与()g x 有两个交点，所以()2,1a ∈−.答案为：()2,1− 三、解答题15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=−. (1)求{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n S 的通项公式.【答案】(1)153n n a −⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)353232n⎛⎫− ⎪⎝⎭ 【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项； （2）利用等比数列的求和公式可求n S .【解析】（1）因为1233n n S a +=−,故1233n n S a −=−，所以()12332n n n a a a n +=−≥即153n n a a +=故等比数列的公比为53q =，故1211523333533a a a a =−=⨯−=−，故11a =，故153n n a −⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）根据等比数列求和公式得5113353523213n nnS ⎡⎤⎛⎫⨯−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==− ⎪⎝⎭−. 16．如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB =M 为AD 的中点.(1)证明：//BM 平面CDE ； (2)求点M 到ABF 的距离. 【答案】(1)见详解；【分析】（1）结合已知易证四边形BCDM 为平行四边形，可证//BM CD ，进而得证；（2）作FO AD ⊥，连接OB ，易证,,OB OD OF 三垂直，结合等体积法M ABF F ABM V V −−=即可求解. 【解析】（1）因为//,2,4,BC AD BC AD M ==为AD 的中点，所以//,BC MD BC MD =，四边形BCDM 为平行四边形，所以//BM CD ，又因为BM ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//BM 平面CDE ； （2）如图所示，作BO AD ⊥交AD 于O ，连接OF ，因为四边形ABCD 为等腰梯形，//,4,BC AD AD =2AB BC ==，所以2CD =，结合（1）BCDM 为平行四边形，可得2BM CD ==，又2AM =，所以ABM 为等边三角形，O 为AM 中点，所以OB =ADEF 为等腰梯形，M 为AD 中点，所以,//EF MD EF MD =，四边形EFMD 为平行四边形，FM ED AF ==，所以AFM △为等腰三角形，ABM 与AFM △底边上中点O 重合，OF AM ⊥，3OF ==，因为222OB OF BF +=，所以OB OF ⊥，所以,,OB OD OF 互相垂直，等体积法可得M ABF F ABM V V −−=，2112333F ABM ABM V S FO −=⋅=⋅=△，2222222cos2FA AB FBFAB FAB FA AB+−+−∠===∠=⋅11sin 222FAB S FA AB FAB =⋅⋅∠==△，设点M 到FAB 的距离为d ，则1133M FAB F ABM FAB V V S d d −−==⋅⋅==△解得d =M 到ABF17．已知函数()()1ln 1f x a x x =−−+．(1)求()f x 的单调区间；(2)若2a ≤时，证明：当1x >时，()1e x f x −<恒成立．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性； （2）先根据题设条件将问题可转化成证明当1x >时，1e 21ln 0x x x −−++>即可.【解析】（1）()f x 定义域为(0,)+∞，11()ax f x a x x'−=−= 当0a ≤时，1()0ax f x x −'=<，故()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，1,x a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减. 综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；0a >时，()f x 在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）2a ≤，且1x >时，111e ()e (1)ln 1e 21ln x x x f x a x x x x −−−−=−−+−≥−++，令1()e 21ln (1)x g x x x x −=−++>，下证()0g x >即可.11()e 2x g x x −'=−+，再令()()h x g x '=，则121()e x h x x−'=−，显然()h x '在(1,)+∞上递增，则0()(1)e 10h x h ''>=−=，即()()g x h x ='在(1,)+∞上递增，故0()(1)e 210g x g ''>=−+=，即()g x 在(1,)+∞上单调递增， 故0()(1)e 21ln10g x g >=−++=，问题得证18．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴． (1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．【答案】(1)22143x y += (2)见解析【分析】（1）设(),0F c ，根据M 的坐标及MF ⊥x 轴可求基本量，故可求椭圆方程. （2）设:(4)AB y k x =−，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，用,A B 的坐标表示1Q y y −，结合韦达定理化简前者可得10Q y y −=，故可证AQ y ⊥轴.【解析】（1）设(),0F c ，由题设有1c =且232b a =，故2132a a −=，故2a =，故b = 所以椭圆方程为22143x y +=. （2）直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x =−，()11,A x y ，()22,B x y ，由223412(4)x y y k x ⎧+=⎨=−⎩可得()2222343264120k x k x k +−+−=， 故()()422Δ102443464120k k k =−+−>，故1122k −<<，又22121222326412,3434k k x x x x k k −+==++， 而5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故直线225:522y BN y x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭−，故22223325252Q y y y x x −−==−−， 所以()1222112225332525Q y x y y y y y x x ⨯−+−=+=−− ()()()12224253425k x x k x x −⨯−+−=−()222212122264123225825834342525k k x x x x k k k k x x −⨯−⨯+−++++==−− 2222212824160243234025k k k k k x −−+++==−，故1Q y y =，即AQ y ⊥轴.19．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.(1)写出C 的直角坐标方程；(2)设直线l ：x t y t a=⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值. 【答案】(1)221y x =+ (2)34a =【分析】（1）根据cos xρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩C 的直角方程. （2）将直线的新的参数方程代入C 的直角方程，法1：结合参数s 的几何意义可得关于a 的方程，从而可求参数a 的值； 法2：将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求a 的值.【解析】（1）由cos 1ρρθ=+，将cos x ρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩cos 1ρρθ=+，1x =+，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为221y x =+. （2）对于直线l 的参数方程消去参数t ，得直线的普通方程为y x a =+. 法1：直线l 的斜率为1，故倾斜角为π4，故直线的参数方程可设为x y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，s ∈R . 将其代入221y x =+中得()221)210s a s a +−+−=设,A B 两点对应的参数分别为12,s s，则)()212121,21s s a s s a +=−−=−，且()()22Δ818116160a a a =−−−=−>，故1a <，12AB s s ∴=−2=，解得34a =. 法2：联立221y x a y x =+⎧⎨=+⎩，得22(22)10x a x a +−+−=，()22Δ(22)41880a a a =−−−=−+>，解得1a <，设()()1122,,,A x y B x y ,2121222,1x x a x x a ∴+=−=−，则AB =2=， 解得34a = 20．实数,a b 满足3a b +≥．(1)证明：2222a b a b +>+；(2)证明：22226a b b a −+−≥．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）直接利用22222()a b a b +≥+即可证明.（2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明.【解析】（1）因为()()2222222022a b a ab b a b b a −+=−−++=≥， 当a b =时等号成立，则22222()a b a b +≥+，因为3a b +≥，所以22222()a b a b a b +≥+>+;（2）222222222222()a b b a a b b a a b a b −+−≥−+−=+−+ 22222()()()()(1)326a b a b a b a b a b a b =+−+≥+−+=++−≥⨯=。
