2012学年嘉定区高三年级第一次质量调研 数学试卷(理科)

南京市2025届高三年级学情调研数学2024.09注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.已知集合{}30A x x =->，{}2540B x x x =-+>，则A B = （）A.(,1)-∞ B.(,3)-∞ C.(3,)+∞ D.(4,)+∞2.已知4xa =，log 3a y =，则x ya +=（）A.5B.6C.7D.123.已知||a = ，||1b = .若(2)a b a +⊥，则cos ,a b = （）A.32-B.33-C.33D.324.已知数列{}n a 为等差数列，前n 项和为n S .若36S =，63S =，则9S =（）A.18- B.9- C.9D.185.若α是第二象限角，4sin 2tan αα=，则tan α=（）A. B.77-C.776.甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名（没有并列名次）.甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”.从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为（）A.4B.6C.8D.127.若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（）A.24B.32C.96D.1288.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 在C 上，点Q 在l 上.若2PF QF =，PF QF ⊥，则PFQ △的面积为（）A.254 B.25 C.552D.55二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分.9.已知复数z ，下列命题正确的是（）A.若1z +∈R ，则z R ∈B.若i z +∈R ，则z 的虚部为1-C.若||1z =，则1z =± D.若2z ∈R ，则z ∈R10.对于随机事件A ，B ，若2()5P A =，3()5P B =，()14P B A =，则（）A.3()20P AB =B.()16P A B =C.9()10P A B +=D.1()2P AB =11.设函数18()|sin ||cos |f x x x =+，则（）A.()f x 的定义域为π,2k x x k ⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭Z B.()f x 的图象关于π4x =对称C.()f x 的最小值为D.方程()12f x =在(0,2π)上所有根的和为8π三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上12.01x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项是___________.13.与圆柱底面成45°角的平面截圆柱得到如图所示的几何体，截面上的点到圆柱底面距离的最大值为4，最小值为2，则该几何体的体积为___________.14.已知椭圆C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为B ，直线2BF 与C 相交于另一点A .当1cos F AB ∠最小时，C 的离心率为___________.四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）小王早晨7：30从家出发上班，有A ，B 两个出行方案供其选择，他统计了最近100天分别选择A ，B 两个出行方案到达单位的时间，制成如下表格：8点前到（天数）8点或8点后到（天数）A 方案2812B 方案3030（1）判断并说明理由：是否有95%的把握认为在8点前到单位与方案选择有关；（2）小王准备下周一选择A 方案上班，下周二至下周五选择B 方案上班，记小王下周一至下周五这五天中，8点前到单位的天数为随机变量X .若用频率估计概率，求()3P X =.附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++，()0P x χ≥0.100.050.0250.0100.0110x 2.7063.8415.0246.63510.82816.（本小题满分15分）如图，在四面体ABCD 中，ACD △是边长为3的正三角形，ABC △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，E ，F 分别为线段AB ，BC 的中点，2AM MD = ，2CN ND =.（1）求证：//EF 平面MNB ；（2）若平面ACD ⊥平面ABC ，求直线BD 与平面MNB 所成角的正弦值.17.（本小题满分15分）已知数列{}n a ，{}n b ，(1)2n n n a =-+，1(0)n n n b a a λλ+=->，且{}n b 为等比数列.（1）求λ的值；（2）记数列{}2n b n ⋅的前n 项和为n T .若()*2115N i i i T T T i ++⋅=∈，求i 的值.18.（本小题满分17分）已知1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，12F F =点T 在C 上.（1）求C 的方程（2）设直线l 过点(1,0)D ，且与C 交于A ，B 两点.①若3DA DB =，求12F F A △的面积；②以线段AB 为直径的圆交x 轴于P ，Q 两点，若||2PQ =，求直线l 的方程.19.（本小题满分17分）已知函数2()e31x af x ax ax -=+-+，a ∈R .（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处切线的方程；（2）当1a >时，试判断()f x 在[1,)+∞上零点的个数，并说明理由；（3）当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.南京市2025届高三年级学情调研数学参考答案2024.09一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.12345678DDABACCB二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分.91011ABBCDACD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.12.24013.3π14.33四、解答题：本大题共5小题，共77分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）解：（1）假设0:8H 点前到单位与方案选择无关，则22100(28301230)40604258χ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯.8003.94 3.841203=≈>，所以有95%的把握认为8点前到单位与路线选择有关.（2）选择A 方案上班，8点前到单位的概率为0.7，选择B 方案上班，8点前到单位的概率为0.5.当3X =时，则分两种情况：①若周一8点前到单位，则22214210.7C (10.5)0.580P =⨯-⨯=.（2）若周一8点前没有到单位，则33246(10.7)(10.5)0.580P C =-⨯-⨯=.综上，1227(3)80P X P P ==+=.16.（本小题满分15分）解：（1）因为E ，F 分别为线段AB ，BC 中点，所以//EF AC .因为2AM MD = ，2CN ND = ，即13DM DN DA DC ==，所以//MN AC ，所以//EF MN .又MN ⊂平面MNB ，EF ⊄平面MNB ，所以//EF 平面MNB .（2）取AC 中点O ，连接DO ，OE 因为ACD △为正三角形，所以DO AC ⊥.因为平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD 平面ABC AC =，DO ⊂平面ACD ，所以DO ⊥平面ABC .因为O ，E 分别为AC ，AB 中点，则//OE BC .又因为AC BC ⊥，所以OE AC ⊥.以O 为坐标原点，OE ，OC ，OD 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则330,0,2D ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，33,,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,2M ⎛- ⎝，10,2N ⎛ ⎝，故(3,BM =-- ，(0,1,0)MN = ，3333,,22BD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ .设平面MNB 的法向量为(,,)n x y z =，直线BD 与平面MNB 所成角为θ，则0,0,n BM n MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即320,0.x y y ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩取n = .则332sin cos ,8BD n BD n BD nθ⋅===，所以BD 与平面MNB 所成角的正弦值为28.17.（本小题满分15分）解：（1）因为(1)2nnn a =-+，则11a =，25a =，37a =，417a =.又1n n n b a a λ+=-，则1215b a a λλ=-=-，23275b a a λλ=-=-，343177b a a λλ=-=-.因为{}n b 为等比数列，则2213b b b =⋅，所以2(75)(5)(177)λλλ-=--，整理得220λλ--=，解得1λ=-或2.因为0λ>，故2λ=.当2λ=时，1112(1)22(1)2n n n nn n n b a a +++⎡⎤=-=-+--+⎣⎦11(1)(1)22(1)23(1)n n n n n ++=-⨯-+-⨯--=-⨯-.则113(1)13(1)n n nn b b ++-⨯-==--⨯-，故{}n b 为等比数列，所以2λ=符合题意.（2）223(1)n n b n n ⋅=-⨯-⋅当n 为偶数时，222222223123456(1)n T n n ⎡⎤=-⨯-+-+-+---+⎣⎦33(12)(1)2n n n =-⨯+++=-+ 当n 为奇数时221133(1)(1)(2)3(1)(1)22n n n T T b n n n n n n ++=-+=-++++=+.综上，3(1),, 23(1),. 2n n n n T n n n ⎧+⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩为奇数为偶数因为20i i T T +⋅>，又2115i i i T T T ++⋅=，故10i T +>，所以i 为偶数.所以333(1)(2)(3)15(1)(2)222i i i i i i ⎡⎤⎡⎤-+⋅-++=⨯++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，整理得23100i i +-=，解得2i =或5i =-（舍），所以2i =.18.（本小题满分17分）解：（1）由题意可知c =，点T 在C 上，根据双曲线的定义可知122TF TF a -=，即24a =-=，所以2a =，则2222b c a =-=，所以C 的方程为22142x y -=.（2）①设()00,B x y ，()001,DB x y =-.因为3DA DB = ，所以()0033,3DA x y =-，所以A 点坐标为()0032,3x y -，因为A ，B 在双曲线C 上，所以()()220022001,423231,42x y x y ⎧-=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩解得03x =，0102y =±，所以A点坐标为7,2⎛± ⎝⎭，所以121211222F F A A S y F F =⨯=⨯⨯=△②当直线l 与y 轴垂直时，此时4PQ =不满足条件.设直线l 的方程为1x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，(),0P P x ，(),0Q Q x .直线l 与C 联立221,421,x y x ty ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩消去x ，得()222230t y ty -+-=，所以12222t y y t +=--，12232y y t =--.由()22241220,20.t t t ⎧∆=+->⎪⎨-≠⎪⎩，得232t >且22t ≠.以AB 为直径的圆方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--=，令0y =，可得()21212120x x x x x x y y -+++=，则P x ，Q x 为方程的两个根，所以12P Q x x x x +=+，1212P Q x x x x y y =+，所以P Q PQ x x =-======2==.解得22t =-（舍）或253t =，即153t =±，所以直线l 的方程为：330x ±-=.19.（本小题满分17分）解：（1）当1a =时，12()e31x f x x x -=+-+，则1()e 23x f x x -=+-，所以曲线()y f x =在1x =处切线的斜率(1)0k f '==.又因为(1)0f =，所以曲线()y f x =在1x =处切线的方程为0y =.（2）1(1)e21af a -=-+，()e 23x a f x ax a -'=+-，则1(1)e a f a -'=-，当1a >时，()e 20x af x a -''=+>，则()f x '在(1,)+∞上单调递增.因为111(1)ee 10af a --'=-<-=，2()123(21)(1)0f a a a a a '=+-=-->，所以存在唯一的0(1,)x a ∈，使得()00f x '=.当()01,x x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在[)01,x 上单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()0,x +∞上单调递增.又因为10(1)e21e 210af a -=-+<-+=，所以()0(1)0f x f <<.又因为3(3)e10af -=+>，所以当1a >时，()f x 在[1,)+∞上有且只有一个零点.（3）①当1a >时，10(1)e 21e 210af a -=-+<-+=，与当0x ≥时，()0f x ≥矛盾，所以1a >不满足题意.②当1a ≤时，(0)e10af -=+>，()e 23x a f x ax a -'=+-，()e 2x a f x a -''=+，(0)e 2a f a -''=+.记函数()e 2xq x x -=+，1x ≤，则()e2xq x -'=-+，当(ln 2,1)x ∈-时，()0q x '>，所以()q x 在(ln 2,1)-单调递增；当(,ln 2)x ∈-∞-时，()0q x '<，所以()q x 在(,ln 2)-∞-单调递减，所以()(ln 2)22ln 20q x q ≥-=->，所以(0)0f ''>.又因为()f x ''在[0,)+∞上单调递增，所以()(0)0f x f ''''≥>，所以()f x '在[0,)+∞上单调递增.（i ）若(0)e30af a -'=-≥，则()(0)0f x f ''≥≥，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增，则()(0)0f x f ≥>，符合题意；（ii ）若(0)e30af a -'=-<，可得0a >，则01a <≤.因为1(1)e 0af a -'=-≥，且()f x '在[0,)+∞上单调递增，所以存在唯一的1(0,1]x ∈，使得()10f x '=.当()10,x x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()10,x 上单调递减，当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()1,x +∞上单调递增，其中1(0,1]x ∈，且11e 230x a ax a -+-=.所以()12111()e 31x af x f x ax ax -≥=+-+()22211111113231531531a ax ax ax ax ax a a x x =-+-+=-++=-++，因为1(0,1]x ∈，所以21153[1,3)x x -+∈-.又因为(0,1]a ∈，所以()211531a x x -+≥-，所以()0f x ≥，满足题意.结合①②可知，当1a ≤时，满足题意.综上，a 的取值范围为(,1]-∞.。

2021学年嘉定区九年级第一次质量调研数学试卷（满分150分，考试时间100分钟）（2017.1）同学们注意：1.本试卷含三个大题，共25题；2.答题时，同学们务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1.已知线段a 、b 、c 、d ，如果a cb d=，那么下列式子中不一定正确的是………（▲） （A ）bc ad =； （B ）c a =，d b =；（C ）d c c b a a +=+；（D ）bad b c a =++．2.在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，5=AB ，3=AC .下列选项中正确的是………（▲） （A ）53sin =A ； （B ）53cos =A ； （C ）53tan =A ； （D ）53cot =A ． 3.将抛物线23x y =向右平移1个单位长，再向上平移2个单位长，所得到的抛物线的表达式为…………………………………………………………………………………………（▲） （A ）2)1(32++=x y ； （B ）2)1(32-+=x y ； （C ）2)1(32+-=x y ； （D ）2)1(32--=x y ．4.抛物线4)1(22-+=x y 与y 轴的交点坐标为………………………………………（▲）（A ）(0，4-)； （B ）(1-，4-)； （C ）(0，2-)； （D ）(2-，0) . 5.在△ABC 中，点D 、E 分别在边BA 、CA 的延长线上（如图1），下列四个选项中，能判定DE ∥BC 的是………………………………………………………………………(▲) （A ）AC CE AB BD =； （B ）AC AE AD AB =； （C ）DE BC AD AB =； （D ）ADAE AC AB =． 6.下列四个命题中，真命题是………………………………………………………………(▲) （A ）垂直于弦的直线平分这条弦；（B ）平分弦的直径垂直于这条弦；（C ）如果两个圆心角相等，那么这两个圆心角所对的弧相等； （D ）如果两条弧相等，那么这两条弧所对的圆心角相等. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）A BCDE【请直接将结果填入答题纸的相应位置】 7.计算：=-a a2 ▲ ．8.已知线段2=AB ，如果点P 是线段AB 的黄金分割点， 且BP AP >，那么AP 的长为 ▲ ．9.如果△ABC ∽△DEF ，且相似比为2:1，那么它们的面积之比为 ▲ ．10.如图2，在平面直角坐标系xOy 内有一点Q ，5=OQ ，射线OQ 与x 轴正半轴的夹角为α（︒<<︒900α），如果54sin =α，那么点Q 的坐标为 ▲ ． 11.在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，如果21tan =∠A ，那么A ∠sin = ▲ ．12.如果一个斜坡的坡角为︒30，那么该斜坡的坡度i 为 ▲ ．13.如果抛物线2)1(x m y -=的最高点是原点，那么实数m 的取值范围是 ▲ ． 14.抛物线322+=x y 的对称轴是 ▲ ．15.抛物线x x y 22-=在直线1=x 右侧的部分是 ▲ （从“上升的”或“下降的”中选择）． 16.如果正多边形的一个外角为︒30，那么这个正多边形的边数是 ▲ .17.已知⊙1O 的半径长为3，⊙2O 的半径长为5,当⊙1O 与⊙2O 内切时，圆心距21O O 的长为 ▲ ．18.在Rt △ABC 中，D 是斜边AB 的中点（如图3），点M 、N 分别在边AC 、BC 上，将△CMN 沿直线MN 翻折，使得点C 的对应点E 落在射线CD 上.如果α=∠B ，那么∠AME 的度数为 ▲ （用含α的代数式表示）. 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：︒⋅︒+︒⋅︒30cot 60cos 30tan 30sin . 20．（本题满分10分）用长为20米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过21米），围成 一个矩形花圃ABCD ，为了便于管理，拟决定在与墙平行的边BC上预留出长度为1米的出口（如图4中的EF ）.设AB 边的长为x 米，花圃面积为y 平方米，求y 关于x 的函数解析式及函数的定义域.21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）ABC D图3A BC D出口 图4E F如图5，已知梯形ABCD 中，EF ∥AD ∥BC ，点E 、F 分别在 腰AB 、DC 上，且AE = 3，EB = 5.（1）求DCDF的值； （2）当AD = 4，BC = 12时，求EF 的长.22．（本题满分10分）如图6，用高度为1.5米的测角仪分别在A 处、E 处测得电线杆上的C 处的仰角分别为︒30、︒60（点B 、F 、D 在同一条直线上）.如果4=BF 米，求电线杆CD 的高度. 23．（本题满分12分，每小题6分）在△ABC 中，点D 在BC 边上，且满足CB CD CA ⋅=2（如图7）. （1）求证：BCACAB AD =； （2）如图8，以点A 为圆心，AB 为半径画弧交AC 的延长线于点E ，联结BE ，延长AD 交BE 于点F .求证：BDADBF EF =.24．（本题满分12分，每小题4分）已知在平面直角坐标系xOy （如图9）中，已知抛物线42++-=bx x y 与x 轴的一个交点为A (1-，0)，与y 轴的交点记为点C . （1）求该抛物线的表达式以及顶点D 的坐标；（2）如果点E 在这个抛物线上，点F 在x 轴上，且以点O 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点F 的坐标（写出两种情况即可）；（3）点P 与点A 关于y 轴对称，点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称，点Q 在抛物线ABCD图7ABC D EF 图8y 图5A BCD EF 图6A BCD E FG上，且∠PCB=∠QCB，求点Q的坐标.25．（满分14分，第（1）、（2）小题各4分，第（3）小题6分）已知：点P不在．．⊙O上，点Q是⊙O上任意．．一点.定义：将线段PQ的长度中最小的值称为点P到⊙O的“最近距离”；将线段PQ的长度的最大的值称为点P到⊙O的“最远距离”.（1）（尝试）已知点P到⊙O的“最近距离”为2，点P到⊙O的“最远距离”为6，求⊙O的半径长（不需要解题过程，直接写出答案）.（2）（证明）如图10，已知点P在⊙O外，试在⊙O上确定一点Q，使得PQ最短，并简要说明PQ最短的理由.（3）（应用）已知⊙O的半径长为5，点P到⊙O的“最近距离”为1，以点P为圆心，以线段PO为半径画圆.⊙P交⊙O于点A、B，联结OA、PA.求OAP的余弦值.PP备用图1P备用图2。

一．基础题组1. 【上海市黄浦区2014届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，若6a 是7a 和8a 的等比中项，则n a =________.2. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】已知数列}{n a 的前n 项和2n S n =（*N ∈n ），则8a 的值是__________．3. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】若nn r r ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→12lim 存在，则实数r 的取值范围是_____________．4. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】在n n n C B A ∆中，记角n A 、n B 、n C 所对的边分别为n a 、n b 、n c ，且这三角形的三边长是公差为1的等差数列，若最小边1+=n a n ，则=∞→n n C lim （ ）．.A 2π .B 3π .C 4π .D 6π5. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】221lim 2n n n n→∞+=-___________.6. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】若圆1)1(22=-+y x 的圆心到直线:n l 0=+ny x （*N n ∈）的距离为n d ，则=∞→n n d lim .【答案】1 【解析】试题分析：圆心为(0,1)，21nd n =+，22limlim1111n n n n→∞→∞==++． 考点：点到直线距离公式，极限．7.【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】计算：2(1)(13)lim(2)(1)n n n n n n →∞+-=-++________．8. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】已知数列{}n a 中，11a =，*13,(2,)n n a a n n N -=+≥∈，则n a =___________.9. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】设正项数列}{n a 的前n 项和是n S ,若}{n a 和}{n S 都是等差数列,且公差相等,则1a =_______________. 【答案】14【解析】试题分析：等差数列}{n a 的公差为d ，则21()22n d dS n a n =+-，21()22n d dS n a n =+-，数列}{n S 是等差数列，则n S 是关于n 的一次函数（或者是常函数），则102da -=，2n d S n =，从而数列}{n S 的公差是2d ，那么有2d d =，0d =（舍去）或12d =，114a =． 考点：等差数列的通项公式．10. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】计算：2211lim[()]12n n n n n →+∞--++=_________．11. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】设正数数列{}n a 的前n 项和是n S ,若{}n a 和{n S }都是等差数列,且公差相等,则=+d a 1__ _.12. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】计算：210lim323xnn→∞++=.【答案】23【解析】试题分析：这属于“∞∞”型极限问题，求极限的方法是分子分母同时除以n（n的最高次幂），化为一般可求极限型，即210lim323xnn→∞++1022lim2333nnn→∞+==+．考点：“∞∞”型极限13.【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】如果()1111112312nf nn n=++++++++L L(*n N∈)那么()()1f k f k+-共有项.14.【上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科）】计算：=+∞→133limnnn．15.【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科）】已知数列{}{}n n b a ,都是公差为1的等差数列,其首项分别为11,b a ,且,511=+b a,,11N b a ∈设),(N n a c n b n ∈=则数列{}n c 的前10项和等于______.【答案】85 【解析】试题分析：数列{}n c 到底是什么暂时不知，因此我们试着把其前10项的和10S 表示出来，1210b b S a a =++L10b a +11121[(1)][(1)][(1)]n a b a b a b =+-++-+++-L 1121010()10a b b b =++++-L =111091010102a b ⨯++-1110()451085a b =++-=. 考点：等差数列的通项公式与前n 和公式.二．能力题组1. 【上海市黄浦区2014届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】已知数列{}na 满足()()*+∈=-+N n n a a n nn ,11，则数列{}na 的前2016项的和2016S 的值是___________．可行，由此我们可得2016S =12344342414()()k k k k a a a a a a a a ---+++++++++L L 20132014(a a ++2015a + 2016)a +(222)(226)(22(42))(222014)k =+⨯++⨯+++⨯-+++⨯L L 25044(13=⨯+⨯++5+L 1007)+=1017072．考点：分组求和．2. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】某种平面分形图如下图所示，一级分形图是一个边长为1的等边三角形（图（1））；二级分形图是将一级分形图的每条线段三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边（图（2））；将二级分形图的每条线段三等边，重复上述的作图方法，得到三级分形图（图（3））；…；重复上述作图方法，依次得到四级、五级、…、n 级分形图．则n 级分形图的周长为__________．3. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知函数2sin)(2πn n n f =，且)1()(++=n f n f a n ，则=++++2014321a a a a Λ ． 【答案】4032- 【解析】试题分析：考虑到sin2n π是呈周期性的数列，依次取值1,0,1,0,-L ，故在122014a a a +++L 时要分组求和，又由n a 的定义，知1352013a a a a ++++L (1)(2)(3)(4)(2013)(2014)f f f f f f =++++++L2222221357200920112013=-+-++-+L 1(53)(53)(97)(97)=+-++-++L (20132011)+-⋅(20132011)+12(357920112013)=+++++++L 110062016=+⨯，242014a a a +++L(2)(3)(4)f f f =+++(5)(2014)(2015)f f f +++L 22223520132015=-+++-L 22(352013)2015=+++-L 2100620062015=⨯-，从而122014a a a +++L 1210062016=+⨯⨯图（1）图（2）图（3）……22015-4032=-．考点：周期数列，分组求和．4. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且1a 与5a 的等比中项为2，则42a a +的最小值等于 ．5. 【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科）】数列{}n a 满足*,5221...2121221N n n a a a n n ∈+=+++，则=n a .6. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】已知函数,1)(22+=x x x f 则 ()()()111112(2013)20142320132014f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭K L （ ）(A) 201021 (B) 201121 (C) 201221 (D) 2013217. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】数列}{n a 中，若11=a ，n n n a a 211=++（*N n ∈），则=+++∞→)(lim 221n n a a a Λ .8. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2cos 1πn n a n +=（*N n ∈），则=2014S . 【答案】1006 【解析】试题分析：组成本题数列的通项公式中，有式子cos2n π，它是呈周期性的，周期为4，因此在求和2014S 时，想象应该分组，依次4个为一组，12341(12)1(14)a a a a +++=+-+++6=，56781(16)1(18)6a a a a +++=+-+++=，43424141[1(42)]1(14)k k k k a a a a k k ---+++=+--+++6=，最后还剩下20131a =，2014120142013a =-=-，所以20146503120131006S =⨯+-=．考点：分组求和．9. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】若数列{}n a 满足：111,2()n n a a a n N *+==∈，则前6项的和6S= .（用数字作答）10. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】等差数列{}n a 中，1102,15a S ==，记2482n n B a a a a =++++L ，则当n =____时，n B 取得最大值.11. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】已知函数()(2318,3133,3x tx x f x t x x ⎧-+≤⎪=⎨-->⎪⎩，记()()*n a f n n N =∈，若{}n a 是递减数列，则实数t 的取值范围是______________.12. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】已知无穷数列{}n a 具有如下性质:①1a 为正整数；②对于任意的正整数n ,当n a 为偶数时,12nn a a +=;当n a 为奇数时,112n n a a ++=.在数列{}n a 中，若当n k ≥时，1n a =，当1n k ≤<时，1n a >（2k ≥，*k N ∈），则首项1a 可取数值的个数为 （用k 表示）三．拔高题组1. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】数列{}n a 是递增的等差数列，且661-=+a a ，843=⋅a a ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值； （3）求数列{}n a 的前n 项和n T ．【答案】(1) 210n a n =-；（2）20-；（3）229,15,*,940,6,*,n n n n n N T n n n n N ⎧-+≤≤∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩．【解析】2.【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】已知数列{}a中，n13a =，132n n n a a ++=⋅，*n N ∈.（1）证明数列{}2n n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）在数列{}n a 中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；（3）若1r s <<且r ，*s N ∈，求证：使得1a ，r a ，s a 成等差数列的点列(),r s 在某一直线上.（2）假设在数列{}n a 中存在连续三项成等差数列，不妨设连续的三项依次为1k a -，k a ，1k a +（2k ≥，*k N ∈），由题意得，112+-+=k k k a a a ，将1)1(2--+=k k k a ，211)1(2----+=k k k a ，kk k a )1(211-+=++代入上式得……7分])1(2[])1(2[])1(2[21211k k k k k k -++-+=-++---………………8分化简得，21)1(42---⋅=-k k ，即11)1(42---⋅=k k ，得4)2(1=--k ，解得3=k所以，存在满足条件的连续三项为2a ，3a ，4a 成等比数列。

2022—2023学年度高三年级第一次调研测试数学试题2023.01注意事项：1.考试时间120分钟，试卷满分150分.2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.3.请用2B 铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若非空且互不相等的集合M ，N ，P 满足：M ∩N =M ，N ∪P =P ，则M ∪P =（ ）A.MB.NC.PD.O2.已知i 5=a +b i （a ，b ∪R ），则a +b 的值为（ ）A.-1B.0C.1D.23.设p ：4x -3<1；q ：x -（2a +1）<0，若p 是q 的充分不必要条件，则（ ）A.a >0B.a >1C.a ≥0D.a ≥14.已知点Q 在圆C ：x 2-4x +y 2+3=4上，点P 在直线y =x 上，则PQ 的最小值为（ ）1 B.1 D.25.某次足球赛共8支球队参加，分三个阶段进行.（1）小组赛：经抽签分成甲､乙两组，每组4队进行单循环比赛，以积分和净胜球数取前两名；（2）半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名进行主､客场交叉淘汰赛（每两队主､客场各赛1场），决出胜者；（3）决赛：两个胜队参加，比赛1场，决出胜负.则全部赛程共需比赛的场数为（ ）A.15B.16C.17D.186.若()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间[],t t -上单调递增，则实数t 的取值范围为（ ） A.,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦ C.,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦7.足球是由12个正五边形和20个正六边形组成的.如图，将足球上的一个正六边形和它相邻的正五边形展开放平，若正多边形边长为2，A ，B ，C 分别为正多边形的顶点，则AB AC ⋅=（ ）A.()23a B.)2cos18aC.()23aD.()23cos18a8.在某次数学节上，甲､乙､丙､丁四位通项分别写下了一个命题：甲：ln3::ln π<<乙12<；丁：3ln2e >所写为真命题的是（ ）A.甲和乙B.甲和丙C.丙和丁D.甲和丁二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.连续抛掷一枚骰子2次，记事件A 表示“2次结果中正面向上的点数之和为奇数”，事件B 表示“2次结果中至少一次正面向上的点数为偶数”，则（ ）A.事件A 与事件B 不互斥B.事件A 与事件B 相互独立C.P （AB ）=34D.P （A |B ）=2310.长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1=3，底面ABCD 是边长为2的正方形，底面A 1B 1C 1D 1中心为M ，则（ ）A.C 1D 1∥平面ABMB.向量AM 在向量AC 上的投影向量为12ACC.棱锥M -ABCD 的内切球的半径为10D.直线AM 与BC 所成角的余弦值为1111.公元前60.618⎫≈⎪⎪⎝⎭称为黄金数.离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线.若黄金双曲线222:1(0)x E y a a-=>的左､右顶点分别为A 1，A 2，虚轴的上端点为B ，左焦点为F ，离心率为e ，则（ ）A.a 2e =1B.20A B FB ⋅=C.顶点到渐近线的距离为eD.∪A 2FB 12.设函数f （x ）的定义域为R ，f （2x +1）为奇函数，f （x +2）为偶函数，当x ∪[0，1]时，f （x ）=a x +b ，若f （0）+f （3）=-1，则（ ）A.b =-2B.f （2023）=-1C.f （x ）为偶函数D.f （x ）的图象关于1,02⎛⎫= ⎪⎝⎭对称 三､填空题：全科免费下载公众号《高中僧课堂》本题共4小题，每小题5分，共计20分. 13.若（1-2x ）5（x +2）=a 0+a 1x +…+a 6x 6，则a 3=___________.14.某学校组织1200名学生进行“防疫知识测试”.测试后统计分析如下：学生的平均成绩为x =80，方差为s 2=25.学校要对成绩不低于90分的学生进行表彰.假设学生的测试成绩X 近似服从正态分布N （μ，σ2）（其中μ近似为平均数x ，σ2近似为方差s 2，则估计获表彰的学生人数为___________.（四舍五入，保留整数） 参考数据：随机变量X 服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ-σ<X <μ+σ）=0.6827，P （μ-2σ<X <μ+2σ）=0.9545，P （μ-3σ<X <μ+3σ）=0.9973.15.已知抛物线y 2=2x 与过点T （6，0）的直线相交于A ，B 两点，且OB ∪AB （O 为坐标原点），则∪OAB 的面积为___________.16.已知函数1,1()|ln(1)|,1x e x f x x x -⎧=⎨->⎩则函数1()[()]2()2F x f f x f x =--的零点个数为___________. 四､解答题：本题共6小题，共计70分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知∪ABC 为锐角三角形，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos B +b cos A =2c cosC.（1）求角C ；（2）若c =2，求∪ABC 的周长的取值范围.18.（本小题满分12分）已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3=14，S 6=126.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）当n ∪N *时，a n b 1+a n -1b 2+…+a 1b n =4n -1，求数列{b n }的通项公式.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥S -ABCD 中，侧面SAD ∪底面ABCD ，SA ∪AD ，且四边形ABCD 为平行四边形，AB =1，BC =2，∪ABC =3π，SA =3.（1）求二面角S -CD -A 的大小；（2）点P 在线段SD 上且满足SP SD λ=，试确定λ的值，使得直线BP 与面PCD 所成角最大.20.（本小题镇分12分）设椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左､右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -E 上的点到直线2:a l x c=的最小距离为3. （1）求椭圆E 的方程；（2）过F 1作直线交椭圆E 于A ，B 两点，设直线AF 2，BF 2与直线l 分别交于C ，D 两点，线段AB ，CD 的中点分别为M ，N ，O 为坐标原点，若M ，O ，N 三点共线，求直线AB 的方程.21.第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办.在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军.（1）扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有23的可能性扑不到球.不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X 的分布列和期望；（2）好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住.记第n 次传球之前球在甲脚下的概率为p n ，易知p 1=1，p 2=2.∪试证明：{p n -13}为等比数列； ∪设第n 次传球之前球在乙脚下的概率为q n ，比较p 10与q 10的大小.22.（本小题满分12分） 已知函数21()cos 2x f x ae x x =++，其中a 为实数，e 是自然对数的底数. （1）当a =0时，求曲线f （x ）在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程； （2）若g （x ）为f （x ）的导函数，g （x ）在（0，π）上有两个极值点，求a 的取值范围.2022-2023学年度高三年级第一次调研测试数学试题2023.01注意事项：1.考试时间120分钟，试卷满分150分.2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.3.请用2B 铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C【解析】M N M ⋂=，则,M N N P P ⊂⋃=，则,N P M P ⊂∴⊂，M P P ⋃=，选C.2.50i i i,,11a a b a b b =⎧==+∴+=⎨=⎩，选C 3.【答案】A【解析】:1,:21,p x q x a p <<+是q 的充分不必要条件，则211,0a a +>∴>，选A.4.【答案】A【解析】圆()22:(2)1,2,0C x y C -+=到直线0x y -=的距离，d ==min 1PQ ∴=，选A.5.【答案】C【解析】242C 4117++=，选C.6.【答案】D【解析】2,26236x x πππππ-≤+≤-≤≤，所以函数()f x 的单调递增区间为,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则06t π<，故答案选D.7.【答案】A【解析】22222,2cos10822cos108AB BC a a a a a a ==+-⋅⋅=-()2222221cos10822sin 544sin 54,2sin54a a a BC a =-=⋅=∴=， 180108120301262ABC ∠-=-+=， 222234sin 54232sin54cos126AC a a a a =+-⋅⋅222234sin 5443sin54cos54a a a =++222222cos 22AB AC BC AB AC BC AB AC AB AC A AB AC AB AC +-+-⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅ 2225443sin54cos544sin 54a a +-= ()222223sin10833cos1833cos18a a a a ==+=+，选A.8.【答案】B【解析】法一：令()()()2ln 1ln ,0,e,x x f x f x x f x x x -===='在()()0,e ,e,∞+，()ln22e,2,2ff <<∴<<ln2<即ln3<，甲对.,lne f fπ<<>>=∴>乙错ln2ln2ln412ln12124<⇔<⇔<⇔<⇔<(4)4f f⇔<⇔> B.方法二ln2:ln32<⇔<⇔<令()()ln,xf x f xx=在()0,e上();e,∞+上(),2f f∴<⇒甲正确lnπ<⇔<()e f fπ<⇒>，乙错.对于丙，ln2ln412ln1224<⇔<=⇔<⇔<而()4e,4f f>>∴<，芮正确.对于丁，3eln2eln8>⇔>⇔>⇔ln ee>e>，所以()ef f<，故丁错；综上，答案选B.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.【答案】AD【解析】事件,A B可共同发生不互斥，A对.()()3321333,1,362364P A P B⨯⨯⨯===-=()()()12P AB P A P B=≠，即,A B不独立，B错，C错.()()()122,334P ABP A B DP B===∣对，选AD.10.【答案】ABD【解析】1111,C D AB C D ⊄∥平面,ABM AB ⊂平面11,ABM C D ∴∥平面,A ABM 对.AM AC CM AM ====在ACAM ∴在AC1,2AC AC B =对. 1322322MAB MBC MCD MAD S S S S =⨯⨯====设棱锥M ABCD -的内切球半径为R ，则()114434,,C 3310R R+=⨯⨯≠错.2,11AM ADDM DAM ∠=====，AM ∴与AD 所成角余弦值为11，则AM 与BC所成角余弦值为,D 11对，选ABD . 11.ABD 【解折】方法一：242211110a e aca a a =⇔=⇔=⇔+-=⇔=212e e A ⇔====⇔=对.()()222,,,,10,A B a b FB c b A B FB ac b ac =-=⋅=-+=-+=B 对.顶点到渐近线距离1,C ab a d c c e===错. 设2A FB 的外接圆220x y Dx Ey F ++++=，22200,0,01a aD F D c a c cD F E b bEF F ac ⎧++==-⎧⎪⎪-+=∴=⎨⎨⎪⎪++==-=-⎩⎩212222a c a r a a ++=====22,r S r π====D 对. 22a c =⇒=∴=， 21,A a e ac ∴==正确.()()()()()2222,0,0,,,0,,,,,0A a B bF c A B a b FB c b A B FB b ac -=-=∴⋅=-=，B 正确. 对于C ，顶点到渐近线距离1,C ab a d c c e====错. 对于2,D A FB 为直角三角形，且2290,A BF A F a c ∠==+，2A FB 外接球面积()2222,D 24a c S a c ac ππ+⎛⎫=⋅=++= ⎪⎝⎭正确. 选：ABD.12.【答案】AC【解析】方法一：()21f x +为奇函数，()10f ∴=，()()()()212111f x f x f x f x -+=-+⇒-+=-+，又()2f x +为偶函数， ()f x ∴关于2x =对称，()()()()13,31f x f x f x f x ∴-=+∴+=-+()()()()2,31f x f x f f ⇒+=-∴=-且()f x 一个周期为4()()()10203112f a b a f f b b ⎧=+==⎧⎪⇒⇒⎨⎨+=+=-=-⎪⎩⎩，A 正确. ()()202330,B f f ∴==错.由()()()4f x f x f x -=+=知()f x 为偶函数，C 正确.对于D ，[]0,1x ∈时，()()122,20,2x f x f f x ⎛⎫=-=≠∴ ⎪⎝⎭不关于1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称， D 错，选：AC.方法二：()2f x +为偶函数关于0x =对称，则()f x 关于2x =对称，则()()31f f =， ()()()()001,31,21f a b b f f a b f x ∴=+=+==++为偶函数关于()0,0对称，D 错. 则()f x 关于()1,0对称，()10,0,11,2,2,A f a b b a b =∴+=+=-∴==-对. ()f x 关于2x =对称，()()()4,f x f x f x -=关于()1,0对称，()()20f x f x -+= ()()420f x f x ∴-+-=即()()()()42,2,4f x f x f x f x T -=--∴+=-=， ()()()2023310,B f f f ===错.()f x 关于()1,0对称关于2x =对称，则()f x 也关于0x =对称，()f x 为偶函数，则选项C 正确；综上，答案选AC .三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13.【答案】120-【解析】5(12)x -展开式第1r +项155C (2)C (2)r r r r rr T x x +=-=-， 2r =时，22235C (2)40;3x x x r ⋅-==时，333352C (2)160x x -=-，33340160120,120x x a -=-∴=-.14【答案】.27【解析】1180,5,902,(90)(2)0.954522P X P X μσμσμσ===+>=>+=-⨯ 0.02275,12000.0227527=⨯≈.15.【答案】【解析】令()()112226:6,,,,,2x my AB x my A x y B x y y x=+⎧=+⎨=⎩ 消x 可得22120y my --=，则22121212122,12,3622y y y y m y y x x +==-=⋅=，()()()()222212122122122,,2240OB AB x y x x y y x x x y y y x x ⋅=--=-+-=+-=，2224,8x y ==，不妨设2y =219y x =-=，12ABOOB AB S=====⨯= 16.【答案】5【解析】方法一：()f x 大致图象如下令()()()()*11,20222f x t f t t f t t =--=⇒=+()()()*11501,12,22f f e =+>=<∴式方程的一个根()10,1t ∈再由()21,2x ∈，且当2t >时，1()ln(1)22,22f t t t t t =-<-<+∴>时，（*）式无解 而()1f x t =有2个实根，()2f x t =有3个实根，()F x ∴共有5个零点 应填：5.方法二：令()()()()11,0202122f x t F x f t t f t t t ==⇔--=⇔=+≤时，1111312,2,2222t t m e t e t e m --+=+=-=+，()()()32,0,20,2m m g m e m m g m e g m '=--≤=-<在(],0∞-，()()()11100,10,22g g g m e =-<-=+>在(],0∞-有且仅有一个零点0m ，其中()01,0m ∈-，则11e22t t -=-有且仅有一个零点0t ，其中()00,1t ∈.1t >时，()1ln 12,122t t t -=+<<时，()1ln 1202t t -++=()()1ln 122h t t t =-++在()1,2,1t →时，()()9,202h t h ∞→-=> ()h t 在()1,2有且仅有一个零点1t .2t >时，()1ln 122t t -=+无解，t ∴有两个根01,,t t()0f x t =三个根，()1f x t =两个根，()F x 有5个零点.四､解答题：本题共6小题，共计70分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分） 【解析】（1）由正弦定理，得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=， 即()sin 2sin cos A B C C +=，即sin 2sin cos C C C =，又()0,C π∈，所以sin 0C ≠， 所以1cos 2C =，故3C π=. （2）由正弦定理，得sin ,sin c A a A b B C ===， 所以ABC的周长)sin sin 2L a b c A B =++=++21sin sin 24sin cos 2322A A A A π⎛⎫⎡⎤⎛⎫=+-+=++ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭4sin 26A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭由ABC 为锐角三角形可知，0,220,32A B A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩得62A ππ<<，所以2363A πππ<+<，所以sin 6A π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦. 所以ABC的周长的取值范围为(2⎤+⎦. 18.（本小题满分12分） 【解析】（1）设数列{}n a 的公比为q .31236345614,,112,S a a a S S a a a =++=⎧⎨-=++=⎩①②②①得38q =，所以2q =， 有31231112414S a a a a a a =++=++=，得12a =， 则数列{}n a 的通项公式为2nn a =.（2）由11222241,1n n n n b b b n -+++=-=时123b =，得132b =. 所以2n ≥时，12112122241n n n n b b b ----+++=-()112121212222222241n n n n n n n n b b b b b b b ----+++=++++=-有()1241241n n n b --+=-，得2n ≥时，1142n n b -=+又132b =，故1142n n b -=+.19.（本小题满分12分） 【解析】（1）连接,AC 在,1,2,3ABC AB BC ABC π∠===，由余弦定理得AC =2BAC π∠=因为侧面SAD ⊥底面ABCD ，面SAD ⋂底面,ABCD AD SA AD =⊥， 所以SA ⊥面ABCD ，所以SA AC ⊥.（2）方法一：以为原点建立如图所示空间直角坐标系.则()()()()()()1,0,0,,0,0,3,,1,0,0,0,3,3B C S D CD SC -=-=-. 设平面SCD 的法向量为(),,n x y z =，由00n CD n SC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得030x z =⎧⎪-=，可取()0,3,1n =.易知()0,0,1m =为面ABCD 的法向量. 所以11cos 213n m n m θ⋅===+. 因为二面角S CD A --为锐角，所以3πθ=.即二面角S CD A --的大小为3π.方法二：因为SA ⊥面ABCD ，所以SA CD ⊥. 因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AC CD ⊥， 又SA AC A ⋂=，所以CD ⊥面SAC ，所以CD SC ⊥.又面ACD ⋂面SCD CD =，所以ACS ∠为二面角S CD A --的平面角，因为tan ACS ∠==S CD A --为锐角，所以3πθ=. 即二面角S CD A --的大小为3π. 设()111,,,P x y z SP SD λ=，得()()111,,33x y z λ-=--，111,,33x y z λλ=-==-，所以(),33P λλ--，所以(),33BP λλ=---.由（1）知平面PCD 的法向量为()0,3,1n =.因为cos 2(BP n BP nαλ⋅===+所以当813λ=时，cos α值最大，即当813λ=时，BP 与平面PCD 所成角最大 20.（本小题镇分12分） 【解析】法一：（1）由题意知222233c aa a c abc ⎧=⎪⎪⎪-=-⎨⎪=+⎪⎪⎩a b ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩ ∴椭圆E 的方程为22132x y +=.（2）设直线AB 方程为：()()()()()1122003321,,,,,,,,,1,0x my A x y B x y M x y N x y F =-()()2222222122136,23440236x my m y my y m y my x y =-⎧⇒-++=+--=⎨+=⎩212002222222332,1,,22323232323y y m m m y x M m m m m m +--⎛⎫===-=∴ ⎪+++++⎝⎭2AF 方程：()111121,3,11y y y x C x x ⎛⎫=-∴ ⎪--⎝⎭，同理2223,1y D x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭121212121122N y y y y y x x my my ∴=+=+---- ()()()1212122222my y y y my my -+=--()()2212122212122244222223234424242323mm my y y y m m m m y y m y y m m m m -⋅-⋅-+++==--++⋅-⋅+++ 221641243m mm m -==--243,3m N m ⎛⎫∴ ⎪-⎝⎭由,,M O N 三点共线()2240333OM ON m mk k m m ⇒=⇒-=⇒=-或1m =± ∴直线AB 方程为：1x =-或10x y ±+=.法二：（1）由条件知，23c a a a c ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得1,a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩2222b a c =-=，所以椭圆E 的方程为22132x y +=.（2）由（1）知，()()121,0,1,0F F -， 由题意知，直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为1x my =-，联立221,321,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去x 并整理得，()2223440m y my +--= 设()()1122,,,A x y B x y ，则12122244,2323m y y y y m m -+==++.所以2223,12323M M M m y x my m m -==-=++， 所以直线OM 的斜率为23M OM M y mk x ==-. 直线2AF 的方程为()1111y y x x =--，直线l 的方程为3x =，则1123,1y C x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭， 直线2BF 的方程为()2211y y x x =--，同理有2223,1y D x ⎛⎫⎪-⎝⎭. 所以121212121122N y y y y y x x my my =+=+---- ()()()()()()12211212212121222222224y my y my my y y y my my m y y m y y -+--+==---++222222442242323443242323mm m m m m m m m m m -⋅-⨯++==--⋅-⋅+++. 所以直线ON 的斜率为()2433N ON N y mk x m ==-.由,,M O N 三点共线可得，OM ON k k =，即()224333m mm -=-，所以0m =或1m =±.故直线AB 的方程为1x =-或10x y -+=或10x y ++=. 21.（本小题满分12分） 【解析】法一：（1）X 的所有可能取值为0,1,2,3， 在一次扑球中，扑到点球的概率111133339P =⨯⨯⨯=， ()()3238512181920,1C 972999729P X P X ⎛⎫⎛⎫∴=====⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()23231824112C ,3997299729P X P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⨯====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，X ∴的分布列如下：()19248324317297293E X ++===或由13,9X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭的二项分布()11393E X ⇒=⨯=. （2）∪由题意知()111111*********n n n n n P P P P P ++⎛⎫=-⇒-=-=-- ⎪⎝⎭，而11P= 11210,333n P P ⎧⎫∴-=≠∴-⎨⎬⎩⎭成首项为23，公比为12-的等比数列. ∪由∪知11121211332323n n nn P P --⎛⎫⎛⎫-=⋅-⇒=⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 易知()11111112323n n n n q q q q ++⎛⎫=-⇒-=-- ⎪⎝⎭且10q =，11111111332332n n n n q q --⎛⎫⎛⎫-=-⋅-⇒=-⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭991010821111111111,3233233323p q ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⋅-+=-<=+⋅> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1010p q ∴<.法二：（1）依题意可得，门将每次可以扑到点球的概率为111339p =⨯=， 门将在前三次扑到点球的个数X 可能的取值为0,1,2,3，易知13,9X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以()3318C ,0,1,2,399k kkP X k k -⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故X 的分布列为：所以X 的期望()11393E X =⨯=. （2）∪第n 次传球之前球在甲脚下的概率为n p ，则当2n ≥时，第1n -次传球之前球在甲脚下的概率为1n p -， 第1n -次传球之前球不在甲脚下的概率为11n p --， 则()11111101222n n n n p p p p ---=⨯+-⨯=-+， 即1111323n n p p -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，又11233p -=， 所以13n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以23为首项，公比为12-的等比数列.∪由∪可知1211323n n p -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以91021113233p ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭， 所以()910101122111223323q p ⎡⎤⎛⎫=-=-->⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故1010p q <.22.（本小题满分12分） 【解析】（1）当0a =时，()()21cos ,sin 2f x x x f x x x =-'=++， 122k f ππ⎛⎫==-+ ⎪⎝'⎭，切点2,28ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴切线方程为21228y x πππ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即21228y x πππ⎛⎫=-+-⎪⎝⎭. （2）()()e sin ,e cos 1xxg x a x x g x a x '=-+=-+由()g x 在()0,π上有两个极值点知()g x '在()0,π上有两个变号零点， 当0a ≥时，()0,x π∈时，()()0,g x g x '''>在()0,π上，()g x '不可能有两个零点，舍去.当0a <时，()1cos e e x xx g x a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭' 令()()()2e sin e 1cos 1cos sin cos 1,e e ex x x x xx x xx x x a x ϕϕ---+-=+=='14e xx π⎛⎫+- ⎪⎝⎭=，令()02x x πϕ=⇒='， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,;x x ϕϕ>'当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,x x ϕϕ<'，()()2max212()e ,0,2e e x a a a a ππππϕϕϕϕπ-⎛⎫∴==+=+==+ ⎪⎝⎭，要使()x ϕ在()0,π上有两个变号零点，22e 0e 2e 20e a a a ππππ---⎧+>⎪∴⇒-<<-⎨⎪+<⎩.。