选修4-2 矩阵与变换 第二节 矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量

第二节 矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量

1．矩阵的逆矩阵

(1)一般地，设ρ是一个线性变换，如果存在线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝I，则称变换ρ可逆，并且称σ是ρ的逆变换．

(2)设A是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B，使得BA＝AB＝E，则称矩阵A可逆，或称矩阵A是可逆矩阵，并且称B是A的逆矩阵．

(3)(性质1)设A是一个二阶矩阵，如果A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的，A的逆矩阵记为A－1.

(4)(性质2)设A，B是二阶矩阵，如果A，B都可逆，则AB也可逆，且(AB)－1＝B－1A－1.

(5)二阶矩阵A＝a bc d可逆，当且仅当det A＝ad－bc≠0时，A－1＝ddet A －bdet A－cdet A adet A.

2．二阶行列式与方程组的解

对于关于x，y的二元一次方程组 ax＋by＝m，cx＋dy＝n，我们把a bc d称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值，记为det A＝a bc d＝ad－bc.

若将方程组中行列式a bc d记为D，m bn d记为Dx，a mc n记为Dy，则当D≠0时，方程组的解为 x＝DxD.y＝DyD.

3．矩阵特征值、特征向量的相关概念

(1)定义：设矩阵A＝a bc d，如果存在实数λ以及非零向量ξ，使得Aξ＝λξ，则称λ是矩阵A的一个特征值，ξ是矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量．

(2)一般地，设ξ是矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量，则对任意的非零常数k，kξ也是矩阵A的属于特征值λ的特征向量．

(3)一般地，属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线．

(4)设矩阵A＝a bc d，称f(λ)＝λ－a －b－c λ－d为矩阵A的特征多项式，方程λ－a －b－c λ－d＝0为矩阵A的特征方程．

4．特征向量的应用

(1)设A是一个二阶矩阵，α是矩阵A的属于特征值λ的任意一个特征向量，则Anα＝λnα(n∈N*)．

(2)性质1 设λ1，λ2是二阶矩阵A的两个不同特征值，ξ1，ξ2是矩阵A的分别属于特征值λ1，λ2的特征向量，对于任意的非零平面向量α，设α＝t1ξ1＋t2ξ2(其中t1，t2为实数)，则对任意的正整数n，有Anα＝t1λn1ξ1＋t2λn2ξ2.

1．矩阵0 －11 0的逆矩阵是________．

答案：0

1－1 0

2．若矩阵2 35 k可逆，则k的值不可能是________．

答案：152

3．若矩阵A＝2 1－a21 a＋1不可逆，则实数a的值为________．

解析：由题意|A|＝2 1－a21 a＋1

＝2×(a＋1)－1×(1－a2)＝a2＋2a＋1＝0，∴a＝－1.

答案：－1 4．对任意实数x，矩阵x 3＋m2－m 2总存在特征向量，则m的取值范围是________．

解析：由条件得f(λ)＝λ－x －3－mm－2 λ－2

＝(λ－x)(λ－2)－(m－2)(－3－m)

＝λ2－(x＋2)λ＋2x＋(m＋3)(m－2)＝0有实数根，

所有Δ1＝(x＋2)2－4(2x＋m2＋m－6)≥0对任意实数x恒成立，

所以Δ2＝16＋4(4m2＋4m－28)≤0，

解得m的取值范围是－3≤m≤2.

答案：－3≤m≤2.

5．已知矩阵M的特征值λ1＝8及对应的一个特征向量e1＝11，并有特征值λ2＝2及对应的一个特征向量e2＝1－2.则矩阵M＝________.

解析：设M＝a bc d，则a bc d11＝811＝88，

故 a＋b＝8，c＋d＝8，a bc d 1－2＝2 1－2＝ 2－4，

故 a－2b＝2，c－2d＝－4，联立以上两个方程组解得a＝6，b＝2，c＝4，d＝4，故M＝6 24 4.

答案：6 24 4

热点考向一

求逆矩阵

例1 求矩阵A＝3 22 1的逆矩阵．

【解析】 法一：设矩阵A的逆矩阵为x yz w，

则3 22 1 x yz w＝1 00 1，

即3x＋2z 3y＋2w2x＋z 2y＋w＝1 00 1， 故 3x＋2z＝1，2x＋z＝0，且 3y＋2w＝0，2y＋w＝1，

解得x＝－1，z＝2，y＝2，w＝－3，

从而矩阵A的逆矩阵A－1＝－1 2 2 －3.

法二：∵A＝3 22 1，∴detA＝－1.

∴A－1＝1－1 －2－1－2－1 3－1＝－1 22 －3.

【点评】 方法一是待定系数法；方法二是公式法．

1．已知变换矩阵A把平面上的点P(2，－1)、Q(－1,2)分别变换成点P1(3，－4)、Q1(0,5)．

(1)求变换矩阵A；

(2)判断变换矩阵A是否可逆，如果可逆，求矩阵A的逆矩阵A－1：如不可逆，请说明理由．

【解析】 (1)假设所求的变换矩阵A＝a bc d，依题意，可得a bc d  2－1＝ 3－4及a bc d －1 2＝05，

即 2a－b＝3，2c－d＝－4，－a＋2b＝0，－c＋2d＝5，解得： a＝2，b＝1，c＝－1，d＝2

所以所求的变换矩阵A＝2 1－1 2

(2)∵detA＝2×2－(－1)×1＝5，

∴A可逆

A－1＝25 －15－1－15 25＝25 1－515 25.

热点考向二 利用矩阵解二元一次方程组

步骤-求a1 b1a2 b2的逆矩阵-求方程组的解

例2 (1)求矩阵A＝2 31 2的逆矩阵；

(2)利用逆矩阵知识，

解方程组 2x＋3y－1＝0，x＋2y－3＝0.

【解析】 (1)法一：设矩阵A的逆矩阵为A－1＝a bc d，

则由2 31 2 a bc d＝1 00 1，

知 2a＋3c＝1，2b＋3d＝0，a＋2c＝0，b＋2d＝1.

解之得 a＝2，b＝－3，c＝－1，d＝2.

∴A－1＝ 2 －3－1 2.

法二：∵A＝2 31 2，

∴|A|＝4－3＝1，

∴A－1＝21 －31－11 21＝ 2 －3－1 2.

(2)二元一次方程组的系数矩阵为A＝2 31 2，

由(1)知A－1＝ 2 －3－1 2.

因此方程 2x＋3y＝1，x＋2y＝3

有唯一解xy＝A－113. ∴xy＝ 2 －3－1 2 13＝－7 5.

即 x＝－7，y＝5.

【点评】 二元一次方程组 a1x＋b1y＝c1a2x＋b2y＝c2(a1，b1不同时为零，a2，b2不同时为零)的系数矩阵为A＝a1 b1a2 b2，只有当|A|≠0时，方程组有唯一解A－1c1c2，若|A|＝0，则方程组有无数解或无解．

2．用矩阵方法求解二元一次方程组 2x＋y＝8，4x－5y＝2.

解析：原方程组可以写成2 14 －5xy＝82，

记M＝2 14 －5，

其行列式2 14 －5＝2×(－5)－1×4＝－14≠0，

∴M－1＝514 11427 －17.

∴xy＝M－182＝32，即方程组的解为 x＝3，y＝2

热点考向三

矩阵的特征值与特征向量

例3 给定矩阵A＝1 2－1 4，B＝32.

(1)求A的特征值λ1，λ2及对应特征向量α1，α2；

(2)求A4B.

【解析】 (1)设A的一个特征值为λ，由题意知： λ－1 －21 λ－4＝0，即(λ－2)(λ－3)＝0，解得λ1＝2，λ2＝3，

当λ1＝2时，由1 2－1 4xy＝2xy，得A属于特征值2的特征向量α1＝21；

当λ2＝3时，由1 2－1 4xy＝3xy，得A属于特征值3的特征向量α2＝11

(2)由于B＝32＝21＋11＝α1＋α2.

故A4B＝A4(α1＋α2)＝(24α1)＋(34α2)＝16α1＋81α2＝3216＋8181＝11397.

【点评】 求矩阵的特征值及对应的特征向量是矩阵与变换的重点和难点，解决此类问题首先要利用行列式求出特征徝，然后求出相应的特征向量．请注意每一个特征值对应无数个特征向量，选择坐标为整数的解就能使后面计算简单、方便．

3．已知矩阵A＝3 3c d，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝11，属于特征值1的一个特征向量α2＝ 3－2，求矩阵A，并写出A的逆矩阵．

解析：由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝11可得，3 3c d11＝611，

即c＋d＝6；

由矩阵A属于特征值1的一个特征向量α2＝ 3－2，

可得3 3c d 3－2＝ 3－2，即3c－2d＝－2，

解得 c＝2，d＝4，即A＝3 32 4.

A的逆矩阵是23 －12－13 12.

一、填空题