一类具有常数避难所的功能反应Ⅲ的食铒-捕食模型动力学性态

第３２卷第２期　四川兵工学报　２０１１年２月　【其他研究】　一类具有常数避难所的功能反应Ⅲ的食铒一捕食　模型动力学性态　况玲丽，彭　结，张　芳　（长江师范学院，数学与计算机学院，４０８１００）　摘要：在深入分析具有功能反应的食饵一捕食者２种群模型的基础上，在功能反应Ⅲ的２种群模型中引入了食饵种　群具有躲避功能的捕食与被捕食模型，运用微分方程稳定性研究了模型平衡点的存在性、局部稳定性，并通过构造　Ｄｕｌａｃ函数，在一定条件下得到了该模型正平衡点的全局渐近稳定性。　关键词：食饵一捕食者模型；功能反应ｍ；正平衡点；全局渐近稳定性；躲避　中图分类号：０１９３　文献标识码：Ａ　文章编号：１００６—０７０７（２０１１）０２—０１４２—０２　对于具有功能反应ｍ的食饵一捕食者２种群模型　—　～聋，　，　ｔ　一ｃ，，　其中：　（ｔ），Ｙ（ｔ）分别表示ｔ时刻食饵种群和捕食者种群的密　度；。，ｂ，ｃ，ｋ，　，口均为正常数。文献［１］中对此模型的稳定　性进行了系统分析，得到了该模型无极限环以及极限环存在　唯一的一些条件。　Ｔａｐａｎ　ＫｕｍａｒＫａｒ在文献［２］中，针对具有ＨｏｌｌｉｎｇＩＩ类功　能性反应的食铒一捕食系统　一ｋ）Ｘ－　【警＝　＋　其中：　（ｔ），Ｙ（ｔ）分别表示ｔ时刻食饵种群和捕食者种群的密　度；０，ｃ，ｄ，　，卢均为正常数。引入了食铒具有躲避捕食者捕　食的功能的常数避难所（通常避难所有按食铒比例的避难所　和一定数量的避难所，也就是常数避难所），其模型为　ｆ　ｃ１一｝，ｃ　一仇，一　。　【　＝一　＋　并且讨论了躲避系数在该模型中的作用。Ｇｏｎｚａｌｅｚ—Ｏｌｉｖａｒｅｓ　ａｎｄ　Ｒａｍｏｓ—Ｊｉｌｉｂｅｒｔｏ在文献［３］中对模型（１）中的食铒引人了　具有比例避难所，并加入常数收获进行了改进，同时研究了　改进后模型的稳定性。在模型（１）中对食铒引进常数躲避系　数得到模型（４）为　ｆ　ｄｘ　ａｘ－ｂｘ２一　Ｉ　＝一　＋　鲁　１模型有界性　（４）　

引理１系统（４）满足初始条件　（０）＞０，ｙ（０）＞０．的　解是正的，且最终有界。　证明：显然，对于满足初始条件　（０）＞０，Ｙ（０）＞０．的模　型（４），当ｔ＞／０时解为正的。　定义：　＝ｋｘ＋Ｙ　＝　鲁＋鲁＝　［。　一　一　］一　ｃｙ＋　：　（。　—　）一ｃｙ＝　～ｃｙ一　ｃ　＋　ｃ　＋ｋａｘ—ｋｂｘ　＝　一ＣＯ）一ｋｂｘ　十ｋｆ０＋Ｃ）Ｘ≤一ｃ　＋Ａ　其中，Ａ是二次函数　（。＋ｃ）　一　。的最大值，则警≤　一砌＋Ａ　∞≤　。因此，当ｔ充分大，满足初始条件的模型　（４）的解是正的，且最终有界。　２　系统边界平衡点的存在性和局部稳定性　为了方便，对模型（４）进行无纲量变换：　令　＝　—ｍ，　＝ａｙ，ｄｔ：［　。＋（　—ｍ）　］ｄ　则　收稿日期：２０１０—１１—２５　基金项目：国家自然科学基金计划资助（３Ｏ７７Ｏ５５５）　作者简介：况玲丽（１９８７一），女，主要从事计算机技术与应用数学研究。

　况玲丽，等：一类具有常数避难所的功能反应ＩＩＩ　二塑鱼　兰竺查　竺　ｆ鲁＝（　＋ｍ）［。＿６（　＋训（｜８　）　【　ｄｒ：一ｃ（　＋　）　＋　ｆ鲁＝（　＋ｍ）［ｎ一６（　＋ｍ）］（　＋　）一　）　Ｉ　＝一ｃ（／３２　）　＋　ｙ：　１）当Ｙ＝０时，令ｃ　（　）＝（　＋ｍ）［。一ｂ（　＋，ｎ）］＝一　（舍去），　：詈一ｍ‘　ａ　ｍ），所以当詈＞ｍ时边界平衡点　

：［。一６（　＋ｍ）］（卢　＋　）一ｂ（ｘ＋ｍ）（　＋Ｘ２）＋　：一　ｚ，　：一２　Ｏｙ一　’ａ　…　’　警：一ｃ（卢　＋　）＋ｋａ　盼　『一。［　（＿一ｍ）　］一。　：　ａ　＋　：］　

定理ｌ　当詈＞ｍ时，模型（５）存在边界平衡点　（詈　一ｍ，０），当　（詈一ｍ）　＜　＋ｃ（—ａ　一ｍ）　时该边界平衡　３模型正平衡点的存在性和稳定性　以下讨论正平横点的存在性与局部稳定性。　……当　撇…　正平衡点Ｅ　（　，Ｙ　），且该正平衡点在满足一定条件时是　证明：经过计算得模型的正解为　一　（　）　（　＋Ｘ２　）　（　２）　其中，　（　）＝｛（　＋　）［（。一６（　：＋ｍ）］（　＋　；）。　，　＞ｃ　衔怔　脯枷　ｉ　－Ｃ　下面讨论正平衡点的稳定性，正平衡点的局部稳定满足　的条件为　Ａ　一ｃ芸＋　，Ａ＋ｃ　监Ｏｙ一芸蒡　＝。，　ＡｌＡ２＝２ｘ　ｙ（　一ｃ）　由ｏｔｋ＞ｃ得ＡｌＡ２＞０　Ａｌ＋Ａ　ｌ　［２ｂｘ￣　ｍ　＋（２６　一２ｂ　一２　）ｍ＋　ｎ　。一０　一２ｂｘ　］　设Ｒ（ｍ）：２６　Ｂ　ｍ。＋（２６　８２—２ｂｘ　一２ｑ　）ｍ＋ａｘ　一　０　一２ｂｘ　△：（２　一２ｂｘ　一２　）　＋　８　（。　。一ａｘ　＋２ｂｘ　）：　８６　＋８ｂ　＋４６　。＋４　＞０　经过计算得ｍ　＝二　二　茏　，　ｍ２　：二　二　望：！±　。　４６８２　令Ａ（　）：　一ａｘ。＋２ｂｘ。，Ｂ（　）＝２ｂｘ１３２—２ｂｘ。一　２　，Ｒ（ｏ）：一ｘＡ（　）　１）若Ａ（　）＜０，ｍｌ＜ｍ＜ｍ２，Ｒ（　）＜０ｊＡｌ＋Ａ２＜０。　２）若ａ（ｘ）＜０，Ｂ（　）＞０，当０＜ｍｌ时，Ｒ（　）＞０　Ａ１＋　Ａ２＞０。　３）若Ａ（ｘ）＞０，当０＜ｍ＜ｍ１时，Ｒ（　）＜０　Ａｌ＋Ａ２＜０，　ｍ＞ｍ　时，Ｒ（　）＞０　Ａｌ＋Ａ２＞０。　由Ｈｕｒｗｉｔｚ判据￣４　３，Ｐ２（　，　定的。　定理３　ｆ｜ｃ匿　ｐ２　，＼／　，　当系统（５）的正平衡点　旦：±　：　、　生　）是稳　Ｘ２　为局部稳定时，并且当　ｒａ＞ｂｍ　Ｊ　ｎ—ｂｍ—ｎｂ（ｏ　时，　：在Ｇ＝｛（　，ｙ）Ｉ　ｘ＞０，Ｙ＞０｝　【ｂ　＋口　（ａ一６，ｎ—ａｂ）＜０　内无极限环，即此正平衡点为全局稳定的。　证明：当系统（５）的正平衡点　（下转第１５６页）

　１５６　四川兵工学报　证明：当Ｅ（Ｘ２）＝０时，　＝ｏ（ａ一），此时ＸＹ：ｏ（。一），故Ｅ（ＸＹ）＝０，不等式成立；当　（　）＞０时，令，（ｔ）＝Ｅ［（　一　ｙ）。］＝ｔ２Ｅ（Ｘ２）一２ｔＥＸＹ＋Ｅ（　）恒≥０，于是△＝４（ＥＸＹ）。一４Ｅ（Ｘ２）　（　）ＧＯ，即［　（　ｙ）］。≤Ｅ（　）Ｅ（ｙ２）。　类似地可以证明另一个关于协方差的不等式：Ｃｏｙ　（Ｘ，Ｙ）￣＜Ｃｏｙ（Ｘ，Ｘ）Ｃｏｖ（Ｙ，Ｙ）＝（ＤＸ）（ＤＹ）。　４　Ｃａｕｃｈｙ—Ｓｃｈｗａｒｚ在矩阵论中的应用　４．１应用ｌ　定理４已知Ａ，Ｂ∈Ｍ…（Ｒ），则有［ｔｒ（ＡＢ）］　＜￣ｔｒ（ＡＡ　）ｔｒ（ＢＢ　）。　证明：若ｔｒ（ＡＡ　）：０，则有Ａ：０，故ＡＢ＝０，即打（Ａ　＝０，此时不等式成立；当ｔｒ（ＡＡ　）＞０时，令　ｔ）：ｔｒ［（　一　（　一　）　］＝ｔ２ｔｒ（ＡＡ　）一ｔ［ｔｒ（ＡＢ　）＋　（ＢＡ　）］＋打（ＢＢ　）恒＞１０，注意到ｔｒ（ＡＢ　）＝打（　），于是Ａ＝４ｔｒ２（ＡＢ　）一４ｔｒ（ＡＡ　）打（肋　）≤　０，所以Ｂ　变成曰即可　［ｔｒ（Ａ曰，）＿　≤ｔｒ（ＡＡ　）ｔｒ（ＢＢ　）　（１）　最后由Ｂ的任意性，将式（１）中曰　换成Ｂ，即得［ｔｒ（ＡＢ）］　＜￣ｔｒ（ＡＡ　）ｔｒ（ＢＢ　）。　４．２应用２　定理５已知Ｘ，ｌ，∈Ｒ　，Ａ是ｎ阶正定矩阵，则有（　ＡＹ）　≤（　ＡＸ）（Ｙ　ＡＹ）。　证明：当　＝０时，必有Ｘ＝０，此时两边都为０，成立；当Ｘ　ＡＸ＞Ｏ时，令＿厂（ｔ）＝（　＋１，）　Ａ（　＋Ｙ）＝ｔ２Ｘ　ＡＸ＋ｔ（Ｘ　ＡＹ＋　Ｙ　Ａ　）＋ｙ　Ａｙ：ｔ２Ｘ　Ａ　＋２ｔＸ　Ａｙ＋Ｙ　Ａｙ恒＞１０，于是△＝４（Ｘ　Ａｌ，）　～４（　）（ｙ　Ａｌ，）≤０，从而（　Ａｙ）　≤（　Ａ　）（１，　Ａｙ）。　参考文献：　［１］　陈纪修．数学分析［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９９．　［２］　杨春德．线性代数［Ｍ］．北京：科学技术文献出版社，２００３．　［３］　盛骤．概率论与数理统计［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００８　（责任编辑周Ｕ）ｌ１）　（上接第１４３页）　＾ｌ　．　）为局部稳定时，　参考文献：　Ｘ２　取杜拉克（Ｄｕｌａｃ）函数Ｄ（　，Ｙ）＝　Ｙ。。，经过计算得：　＋　＝　一２　一　］一　２，　（ａ—ｂｍ）ｘ。　ｒａ＞ｂｍ　所以，当｛　一６ｍ一　＜ｏ　时，对Ｖ（　，，，）　Ｇ，警＋　【ｂ　＋ｒｅ（口一ｂｍ—ａｂ）＜０　…　＜０　于是得到：当　＞ｃ，口＞ｂｍ时，系统（５）的正平衡点　ｐ２（层，　）为稳定的，它在Ｇ＝　／（ｘ，ｙ）　ｆ　＞０，Ｙ＞０｝内无极限环，且为全局稳定的。　４结束语　由上述讨论知，具有常数避难所功能反应Ⅲ捕食与被捕　食模型的正平衡点是存在的，且为全局渐近稳定性的。这说　明在具有常数避难所的功能反应ｇＩ捕食与被捕食系统中的２　种群能长期共存并保持生态平衡。　马知恩．种群生态学的数学建模与研究［Ｍ］．合肥：安　徽教育出版社，１９９６．　Ｇｏｎｚａｌｅｚ—Ｏｌｉｖａｒｅｓ　Ｅ。Ｒａｍｏｓ—Ｊｉｌｉｂｅｒｔｏ　Ｒ．Ｄｙｎａｍｉｃ　ｃｏｎｓｅ．　ｑｕｅｎｃｅｓｏｆ　ｐｒｅｙ　ｒｅｆｕｇｅｓｉｎ　ａｓｉｍｐｌｅ　ｍｏｄｅｌ　ｓｙｓｔｅｍ：Ｍｏｒｅｐｒｅｙ，　ｆｅｗｅｒ　ｐｒｅｄａｔｏｒｓ　ａｎｄ　ｅｎｈａｎｃｅｄ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ［Ｊ］．Ｅｃｏｌｏｇｉｃａｌ　Ｍｏｄｅｌｌｉｎｇ，２００３（１６６）。１３５—１４６．　ＬｉｌｉＪｉ，ＣｈｅｎｇｑｉａｎｇＷｕ．Ｑｕａｌｉｔａｔｉｖｅ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ａ　ｐｒｅｄａｔｏｒ－　ｐｒｅｙ　ｍｏｄｅｌ　ｗｉｔｈ　ｃｏｎｓｔａｎｔ—ｒａｔｅ　ｐｒｅｙ　ｈａｒｖｅｓｔｉｎｇ　ｉｎｃｏｒｐｏｒａｔｉｎｇ　ａ　ｃｏｎｓｔａｎｔ　ｐｒｅｙ　ｒｅｆｕｇｅ［Ｊ］．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ａｎａｌｙｓｉｓ：Ｒｅａｌ　Ｗｏｒｌｄ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２０１０（１１），２２８５—２２９５．　张锦炎，冯贝叶．常微分方程几何理论与分支问题　［Ｍ］．北京：北京大学出版社，１９８１．　马知恩，周义仓．常微分方程定性与稳定性方法［Ｍ］．　北京：北京科学出版社，２００１．　廖晓昕．稳定性的数学理论及应用［Ｍ］．２版．武汉：华　中科技大学出版社，２００１．　（责任编辑周＂２．ｒ－）ｔＩ）　］　］　］　二Ｊ