2016年南京市玄武区中考二模数学试卷含答案解析

2０1７年江苏省南京市玄武区中考数学二模试卷一、选择题(本大题共6小题，每小题2分,共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上)1.（2分)２的相反数是（）A．2ﻩＢ. C.﹣2ﻩD.﹣２．（2分）氢原子的半径大约是0.０00 0０７7m，将数据０．0０0 0０77用科学记数法表示为（)Ａ.０.77×10﹣５ﻩB.0.７7×10﹣6 C.７.７×1０﹣５ﻩD．7.7×１0﹣63．（2分）﹣介于( ）A．﹣4与﹣3之间ﻩB．﹣3与﹣2之间 C.﹣2与﹣1之间ﻩD.﹣１与0之间４.(２分）下列平面图形，既是中心对称图形,又是轴对称图形的是( ）Ａ.等腰三角形 B.正五边形ﻩC．平行四边形ﻩD.矩形5．（2分)如图是一个几何体的三视图,这个几何体是（)A.四棱柱ﻩＢ．三棱柱 C.三棱锥ﻩD.圆锥６．（２分)如图，正六边形ＡBCDEF的边长为6cｍ,Ｐ是对角线ＢE上一动点,过点P作直线ｌ与ＢE垂直，动点P从B点出发且以１ｃm/s的速度匀速平移至E 点．设直线l扫过正六边形ABCDＥF区域的面积为S(cm2），点P的运动时间为t(ｓ),下列能反映Ｓ与t之间函数关系的大致图象是（)A． B.ﻩＣ. D.二、填空题(本大题共10小题,每小题２分,共20分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上）７．(2分）8的算术平方根是;8的立方根是．8.（２分）要使式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是．9．（２分）计算=．1０.(2分)已知反比例函数y=的图象经过点A（﹣2，3），则当x=﹣1时,y= .11.（2分）某班的中考英语口语考试成绩如表：考试成绩／分3０２9２8２7２６学生数/人3151363则该班中考英语口语考试成绩的众数比中位数多分．1２.(2分)若方程x2﹣1２x＋5=0的两根分别为a,b，则ａ2b+ab２的值为.13.（2分）若圆锥的高是8cm，母线长是10cｍ，则这个圆锥的侧面积是cm2（结果保留π）．14．（2分)若一个正多边形的每一个外角都是30°，则这个正多边形的边数为．1５．(2分）如图,在⊙O的内接六边形ABＣDEF中,∠A+∠C=22０°，则∠E= °.16.(2分)如图,在△ＡBC中，∠A=４5°,∠B=６0°，AＢ＝4,P是BC边上的动点(不与B,Ｃ重合），点P关于直线AB,AＣ的对称点分别为Ｍ,Ｎ,则线段ＭN长的取值范围是．三、解答题（本大题共11小题,共88分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)１7.(10分）(1)解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来．(2)解方程＝1﹣.１8．（６分）先化简代数式1﹣÷,并从﹣1，0,1，3中选取一个合适的数代入求值．19.（8分)某学校为了了解本校学生采用何种方式上网查找所需要的学习资源，随机抽取部分学生了解情况，并将统计结果绘制成频数分布表及频数分布直方图．上网查找学习资源方式频数分布表查找方式频数频率搜索引擎163２％专题网站１5a在线网校４8％试题题库1020%其他ｂ1０%（１)频数分布表中a，b的值：ａ=；b=;（2)补全频数分布直方图；（３）若全校有１00０名学生，估计该校利用搜索引擎上网查找学习资源的学生有多少名？20.(6分）从2名男生和3名女生中随机抽取运动会志愿者．求下列事件的概率：(1)抽取1名,恰好是女生的概率为;（2）抽取2名，恰好是1名男生和1名女生.21.(8分）如图,在四边形ABCD中，BE⊥ＡC,DF⊥AC,垂足分别为Ｅ,F,BE=DF，AE ＝CF.(1)求证：△AFD≌△CEB；(2）若∠CBE＝∠ＢAC,四边形ＡBＣＤ是怎样的四边形?证明你的结论.22．（6分）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售,增加盈利,商场采取了降价措施．假设在一定范围内,衬衫的单价每降1元,商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1２５０元，那么衬衫的单价降了多少元？23．(8分)如图,小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC,并测得B,C 两点的俯角分别为60°和３5°,已知大桥BC的长度为10０m,且与地面在同一水平面上.求热气球离地面的高度.（结果保留整数,参考数据:ｓin3５°≈,ｃos35°≈,tan35°≈,≈１.７)2４．（8分)已知二次函数y＝x2﹣(a﹣1）x+a﹣2,其中a是常数．(１)求证：不论a为何值,该二次函数的图象与x轴一定有公共点；（2)当a＝4时,该二次函数的图象顶点为Ａ，与x轴交于B，D两点，与y轴交于C点,求四边形ABCD的面积．2５．（９分)如图①,在一条笔直的公路上有M、P、N三个地点,Ｍ、P两地相距20km,甲开汽车,乙骑自行车分别从M、P两地同时出发，匀速前往N地，到达N 地后停止运动．已知乙骑自行车的速度为２0km/h,甲,乙两人之间的距离y（km）与乙行驶的时间t（h)之间的关系如图②所示.(１）M、N两地之间的距离为kｍ;（2)求线段BC所表示的ｙ与t之间的函数表达式;(３）若乙到达Ｎ地后，甲,乙立即以各自原速度返回Ｍ地，请在图②所给的直角坐标系中补全函数图象.26.(９分)如图,点A在⊙O上,点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，连接ＯＰ交⊙O于点D，作ＡB⊥OＰ于点C,交⊙O于点Ｂ，连接PＢ．(1）求证:ＰB是⊙O的切线;(２）若PC=9，ＡB=6，①求图中阴影部分的面积；②若点E是⊙O上一点，连接AE,BE，当AE=６时，BE= ．27.(10分）（1)问题背景如图①，BC是⊙O的直径,点A在⊙Ｏ上，ＡB=AＣ，Ｐ为ＢｍC上一动点（不与B,C重合)，求证:PＡ=PB+PC．小明同学观察到图中自点A出发有三条线段AＢ，ＡP,ＡC，且AＢ＝AＣ，这就为旋转作了铺垫.于是,小明同学有如下思考过程：第一步：将△ＰAC绕着点A顺时针旋转90°至△ＱAＢ（如图①)；第二步:证明Q，B,P三点共线，进而原题得证.请你根据小明同学的思考过程完成证明过程.（2）类比迁移如图②，⊙Ｏ的半径为3,点Ａ，B在⊙Ｏ上,C为⊙Ｏ内一点，ＡＢ＝ＡＣ，AB ⊥AC，垂足为A，求OＣ的最小值.(3）拓展延伸如图③，⊙O的半径为3,点A,B在⊙O上，Ｃ为⊙O内一点，AB=ＡC，AB⊥ＡＣ,垂足为A,则OC的最小值为.2017年江苏省南京市玄武区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共６小题,每小题2分,共12分.在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.(2分）2的相反数是（)A.2 B．ﻩC.﹣2ﻩＤ．﹣【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，据此解答即可．【解答】解：根据相反数的含义，可得2的相反数是:﹣２．故选:C.【点评】此题主要考查了相反数的含义以及求法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的,不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”.2．（２分)氢原子的半径大约是0.000 00７7m，将数据0．00000７7用科学记数法表示为（)A．0.77×10﹣5ﻩB.0．77×１0﹣6ﻩC．７.7×１0﹣５Ｄ.7.７×10﹣6【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×１0﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.【解答】解：０．0００0077用科学记数法表示为7.7×１０﹣６,故选:D．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为a×10﹣ｎ，其中1≤|a｜＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．３.（2分)﹣介于( ）A．﹣４与﹣3之间ﻩB．﹣3与﹣2之间Ｃ.﹣2与﹣1之间ﻩD．﹣1与0之间【分析】首先由4<7<9,可估算出的取值范围，易得结果.【解答】解:∵4＜７＜９，∴２，∴﹣3＜<﹣2，故选：B．【点评】本题考查了估算无理数的大小，利用“夹逼法”是解答此题的关键.4．（2分）下列平面图形,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是（)A.等腰三角形ﻩB．正五边形C．平行四边形D.矩形【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形,以及轴对称图形的定义即可判断出．【解答】解:A、∵等腰三角形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，但它是轴对称图形，故此选项错误；B、∵正五边形旋转1８０°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形,故此选项错误；Ｃ、平行四边形旋转180°后能与原图形重合,此图形是中心对称图形,但不是轴对称图形,故此选项错误;D、∵矩形旋转18０°后能与原图形重合,∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形,故此选项正确.故选：Ｄ．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键.5．(２分)如图是一个几何体的三视图，这个几何体是（)Ａ．四棱柱Ｂ.三棱柱C．三棱锥 D.圆锥【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解:由于主视图和俯视图为长方形可得此几何体为柱体，由左视图为三角形可得为三棱柱.故选：B．【点评】此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．6．（2分)如图,正六边形ＡBCDEF的边长为6cm,P是对角线BＥ上一动点，过点P 作直线l与ＢE垂直，动点P从B点出发且以１ｃm/s的速度匀速平移至E点.设直线l扫过正六边形ＡＢCDEＦ区域的面积为S（cm2）,点Ｐ的运动时间为t（s），下列能反映S与ｔ之间函数关系的大致图象是(）Ａ．Ｂ． C.ﻩＤ．【分析】从给出的图象中看，中间位置的图象一致,只要计算两边取值中的图象即可作出判断;先计算点P从B到G时扫过的面积Ｓ，发现是二次函数,且开口向下,可以否定A 和B,再计算点P从9≤t≤1２时扫过的面积为正六边形的面积﹣△EMN的面积，计算得到一个开口向下的二次函数,由此作判断．【解答】解：由题意得：ＢP=t，如图1,连接ＡC，交ＢE于Ｇ，Rt△ABＧ中，ＡＢ＝6,∠ＡBG＝60°,∴∠ＢAG=30°,∴BＧ=AB＝３，由勾股定理得：ＡG＝=3，∴AC=２AG=６,当０≤t≤3时，ＰＭ=t,∴ＭN=2t，S=S△BMN＝MＮ•PB＝＝,所以选项A和B不正确;如图2,当9≤t≤12时，PＥ＝12﹣t,∵∠MEP＝6０°，∴taｎ∠MEP＝，∴PM=（12﹣t），∴MＮ=2PM=2（1２﹣t),∴Ｓ=Ｓ正六边形﹣S△EMN，=２×（AF+BE）×AＧ﹣MN•PE，=（6+1２)×3﹣×（12﹣ｔ）（12﹣t），=5４﹣（144﹣2４t＋ｔ2),＝﹣+24t﹣9０,此二次函数的开口向下,所以选项C正确,选项D不正确；故选:C.【点评】本题考查了动点所在直线的运动问题，利用数形结合的思想，确定动直线扫过区域面积的几种可能，通过计算其解析式来判断.二、填空题(本大题共10小题，每小题２分,共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（２分)８的算术平方根是2；８的立方根是2 .【分析】依据算术平方根的性质和立方根的性质解答即可.【解答】解:8的算术平方根是２;8的立方根是2．故答案为:２；２．【点评】本题主要考查的是算术平方根、立方根的性质，熟练掌握算术平方根、立方根的性质是解题的关键．８.(2分)要使式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是ｘ≥２．【分析】根据被开方数是非负数，可得答案.【解答】解:由题意，得x﹣２≥0，解得x≥2，故答案为:x≥2.【点评】此题考查了二次根式的意义和性质.概念：式子(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数,否则二次根式无意义．9．(２分）计算= 2．【分析】直接利用二次根式乘运算法则计算得出答案．【解答】解：原式====2.故答案为：2．【点评】此题主要考查了二次根式的乘法运算,正确化简二次根式是解题关键．１0.(2分）已知反比例函数y=的图象经过点A（﹣2,3)，则当ｘ＝﹣1时,y= 6.【分析】直接把A(2,3)代入反比例函数y＝求出k的值,进而可得出反比例函数的解析式,再把x=1代入求出ｙ的值即可．【解答】解：∵反比例函数ｙ=的图象经过点A(﹣2，３），∴3=,解得ｋ＝﹣6,∴反比例函数的解析式为y=﹣，∴当ｘ=﹣1时，y=﹣=6．故答案为：6．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键.１１．(2分)某班的中考英语口语考试成绩如表:考试成绩／分30292827２6学生数／人3151363则该班中考英语口语考试成绩的众数比中位数多 1 分.【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．【解答】解：这组数出现次数最多的是２9;∴这组数的众数是２9．∵共42人,∴中位数应是第21和第22人的平均数,位于最中间的数是28，28，∴这组数的中位数是28.∴该班中考英语口语考试成绩的众数比中位数多２9﹣28=1分，故答案为：1．【点评】本题属于基础题,考查了确定一组数据的中位数和众数的能力.要明确定义,一些学生往往对这个概念掌握不清楚,计算方法不明确而误选其它选项,注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求,如果是偶数个则找中间两位数的平均数．12.(２分)若方程x2﹣12x+5=0的两根分别为a,b,则a2b+ab2的值为60.【分析】先根据根与系数的关系得到a+b=12，ab=5，再把a2b+ａｂ２变形为ab(ａ+ｂ),然后利用整体代入的方法计算.【解答】解:根据题意得a+b=１2，aｂ=5，所以a２ｂ+ab２＝ab（a＋b）＝5×12=60.故答案为60.【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(ａ≠0)的两根时,x1+x2=﹣，x１x2＝.13.(2分）若圆锥的高是８cm，母线长是10cm,则这个圆锥的侧面积是６0πcm ２（结果保留π)．【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的底面圆的半径,然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积.【解答】解：圆锥的底面圆的半径==６，所以这个圆锥的侧面积=×２π•6•10=６0π（cm２)．故答案为６０π.【点评】本题考查了圆锥的计算:圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.1４.(2分）若一个正多边形的每一个外角都是3０°，则这个正多边形的边数为1２．【分析】根据正多边形的每一个外角都相等，多边形的边数=3６0°÷3０°，计算即可求解．【解答】解：这个正多边形的边数:360°÷3０°=1２,故答案为：１２.【点评】本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键．15．（2分)如图,在⊙O的内接六边形ABCDEF中，∠A+∠Ｃ＝2２0°,则∠E= 140°．【分析】连接ＢF，BD,根据已知条件得到的度数＋的度数=４４0°，得到的度数=４4０°﹣360°＝80°,根据圆内接四边形的性质即可得到结论.【解答】解：连接BF,BD，∵∠A＋∠C＝22０°,∴的度数＋的度数=440°,∴的度数=440°﹣360°=80°，∴∠DＢＦ=４０°,∴∠Ｅ=1８0°﹣∠ＤBF＝14０°,故答案为:140．【点评】本题考查了圆周角定理,多边形的内角与外角，正确的作出辅助线是解题的关键．１6.(２分)如图，在△ABC中,∠A=45°，∠B=60°,AＢ=4，P是ＢC边上的动点(不与B，C重合）,点P关于直线ＡB,AＣ的对称点分别为M，N,则线段ＭN长的取值范围是2≤MN<4.【分析】连接ＡM、ＡN、AＰ,过点A作AD⊥MN于点D，由对称性可知AM=ＡP=AN、△ＭＡN等腰直角三角形,进而即可得出ＭN＝ＡP,再根据AP的取值范围即可得出线段MN长的取值范围．【解答】解:连接AＭ、AN、AP,过点A作ＡＤ⊥MN于点Ｄ，如图所示．∵点P关于直线AB,AC的对称点分别为Ｍ,N，∴ＡM＝AP=AＮ，∠MAB=∠ＰAB,∠NAＣ=∠PAC，∴△ＭＡＮ等腰直角三角形，∴∠AMD=4５°,∴AD=MD＝AＭ，MN=AM．∵AB=4，∠Ｂ=60°,∴２≤AP<4,∵AＭ=AP，∴2≤MＮ＜4．故答案为:2≤MN<4．【点评】本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是证得△AＭN是等腰直角三角形.三、解答题(本大题共１1小题,共88分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.(1０分)（１)解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来．（2）解方程=1﹣.【分析】（１）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集,表示在数轴上即可;(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：(１）,解不等式①•，得x≤１，解不等式 ②，得x>﹣1,则不等式组的解集是﹣1<x≤1;(2）方程两边同乘x﹣3得：3ｘ=(x﹣3)＋1,解得：x=﹣1,检验:当ｘ=﹣1时，x﹣3≠0,所以x=﹣1是原方程的解．【点评】此题考查了解分式方程,以及解一元一次不等式组,熟练掌握运算法则是解本题的关键．１8.（6分）先化简代数式1﹣÷，并从﹣１,0，1，3中选取一个合适的数代入求值.【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后在﹣１,0，1,３中选取一个使得原分式有意义的x的值代入即可解答本题．【解答】解:1﹣÷=＝1﹣==,当ｘ=3时,原式=﹣．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．19.(８分)某学校为了了解本校学生采用何种方式上网查找所需要的学习资源,随机抽取部分学生了解情况，并将统计结果绘制成频数分布表及频数分布直方图.上网查找学习资源方式频数分布表查找方式频数频率搜索引擎1632%专题网站15a在线网校48%试题题库10２0％其他b10％（1)频数分布表中a,ｂ的值:ａ= 30%;ｂ= 5 ;（2)补全频数分布直方图;(３)若全校有1０00名学生,估计该校利用搜索引擎上网查找学习资源的学生有多少名?【分析】（1）由统计图和统计表可以分别求得a、b的值；（2)根据b的值即可画出直方图；（3)用样本估计总体的思想，即可解决问题;【解答】解：（１）16÷32%=５０，a=×10０％=30％，b=50×10%=5,故答案为30%;5;(2）频数分布直方图,如图所示，(3）10００×32%=320（名）答：该校利用搜索引擎查找学习资源的学生有320名.【点评】本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体,解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答问题.2０.(6分)从２名男生和3名女生中随机抽取运动会志愿者．求下列事件的概率：(１）抽取１名，恰好是女生的概率为；(2）抽取2名,恰好是1名男生和1名女生.【分析】（1）根据概率的意义写出即可；(２）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．【解答】解：（1）Ｐ(女)=；故答案为:；（２）画出树状图如下:共有20种情况，其中“恰好是1名男生和1名女生”的情况有1２种，所以，Ｐ（恰好是１名男生和１名女生B）==．【点评】本题考查了列表法和树状图法,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.21.(８分）如图,在四边形ＡBＣD中，BE⊥AC，DF⊥AＣ,垂足分别为E,Ｆ，BE=DF，AＥ=ＣF．(1)求证：△ＡFD≌△ＣEB；(２)若∠CBＥ=∠ＢAC,四边形ＡＢＣD是怎样的四边形？证明你的结论.【分析】(1)求出AF=CE，再利用“边角边”证明即可；(2）根据全等三角形对应边相等可得ＡD＝BＣ，全等三角形对应角相等可得∠BCE ＝∠DＡF,再根据内错角相等,两直线平行证明AD∥BC,然后判断出四边形ABCD 是平行四边形,求出∠ＡBC＝９0°，最后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明.【解答】证明：(1)∵BE⊥AC，DＦ⊥ＡC，∴∠AFD=∠CEB=９0°.∵AE=FC，∴AE+EＦ=FC+EＦ,∴AF=CE,又∵BＥ=ＤF,∴△AFD≌△CEB;(２)四边形ＡBCD为矩形.∵△AＦD≌△CＥＢ,∴AD=ＢC,∠ＢＣE=∠ＤAＦ.∴AＤ∥BC,∴四边形ABCD为平行四边形，∵∠CBE=∠BＡＣ,又∵∠CBE＋∠ACB=90°,∴∠BAＣ+∠ACB=９0°,∴∠ABC=９０°,∴四边形ＡBCD为矩形．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定,熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键.２２．(６分）某商场销售一批衬衫,平均每天可售出2０件，每件盈利40元．为了扩大销售,增加盈利，商场采取了降价措施.假设在一定范围内,衬衫的单价每降1元,商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利１２5０元，那么衬衫的单价降了多少元?【分析】设衬衫的单价降了x元.根据题意等量关系:降价后的销量×每件的利润=1250，根据等量关系列出方程即可．【解答】解：设衬衫的单价降了x元.根据题意，得(20+２x）(40﹣x)=125０,解得:x1＝x2=15，答：衬衫的单价降了１5元．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程.23.(8分)如图,小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得Ｂ,C 两点的俯角分别为6０°和35°，已知大桥BC的长度为10０ｍ,且与地面在同一水平面上.求热气球离地面的高度．(结果保留整数,参考数据:ｓin35°≈，coｓ35°≈，taｎ35°≈,≈１.7）【分析】作AＤ⊥CB交CB所在直线于点Ｄ，利用锐角三角函数的定义求出ＣＤ及BD的长，利用ＢC=ＣＤ﹣BＤ即可得出结论．【解答】解：作AD⊥ＣB交CB所在直线于点Ｄ，由题知,∠ACD=35°,∠ＡBD＝60°,∵在Rｔ△ACD中,∠ACＤ=3５°，tan35°＝≈，∴CＤ=ＡD．∵在Ｒt△ＡBＤ中，∠ＡBD=６0°,tan60°=＝≈1．7,∴ＢD=AD,∴ＢC=CD﹣BD=AD﹣AD，∴ＡD﹣AＤ=1０0，解得AＤ=119m．答:热气球离地面的高119m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.2４．（８分）已知二次函数y=x2﹣（a﹣1)ｘ＋a﹣２，其中a是常数．（１）求证:不论a 为何值，该二次函数的图象与x 轴一定有公共点;(2）当a=4时，该二次函数的图象顶点为A,与x 轴交于B,Ｄ两点，与y 轴交于C 点，求四边形ABCD 的面积.【分析】(1)利用根的判别式符号进行证明；(2)由抛物线解析式求得点B 、C 、D 的坐标，然后利用分割法来求四边形ABCD 的面积．【解答】(1）证明:ｙ＝x 2﹣（a ﹣1）ｘ＋a ﹣2. 因为[﹣（a ﹣1）]２﹣4（a ﹣2)=(ａ﹣3)2≥0． 所以，方程x ２﹣（a ﹣1）x +a ﹣２=0有实数根． 所以,不论a 为何值,该函数的图象与x 轴总有公共点；(2)由题可知:当a=4时，y=x 2﹣3ｘ+2，因为y=ｘ２﹣3x ＋2＝（x ﹣)2﹣，所以A （，﹣),当y=0时，x 2﹣３x ＋２＝0，解得x 1＝1，x 2=2,所以B(1,0),D(2,０), 当x=０时,ｙ=2,所以C （0，2), 所以Ｓ四边形ABCD =S △ABD +S △BDC =+1＝．【点评】本题考查了待定系数法,抛物线和坐标轴的交点、顶点坐标，四边形的面积的求法等,（2)利用分割法求四边形的面积是本题的关键.２5.（9分）如图①,在一条笔直的公路上有M 、P 、Ｎ三个地点,M 、P 两地相距20km,甲开汽车,乙骑自行车分别从Ｍ、P 两地同时出发，匀速前往N 地,到达N 地后停止运动.已知乙骑自行车的速度为20km ／ｈ,甲，乙两人之间的距离ｙ(km)与乙行驶的时间t （h ）之间的关系如图②所示.(１)M、N两地之间的距离为80 kｍ；（2)求线段BＣ所表示的ｙ与ｔ之间的函数表达式；(３）若乙到达Ｎ地后,甲，乙立即以各自原速度返回M地,请在图②所给的直角坐标系中补全函数图象.【分析】（１)根据路程＝速度×时间，可求PM，再计算20即可求解；（2）由题意可知B（,0)，C（1，40）,根据待定系数法可求线段BC所表示的y 与t之间的函数表达式；（３）当甲开汽车返回Ｍ地时,甲,乙两人之间的距离y（kｍ)最大为60；依此补全函数图象.【解答】解:（1）20×3+20=60＋20=80(ｋｍ)．答:M、N两地之间的距离为８0km；（２)由题意可知B（,０),C（1，40),设y与x之间的函数表达式为y=ｋx+b．根据题意得,当x=时,y=0;当x=1时,ｙ=40.所以，解得.所以，y与x之间的函数表达式为y=60ｘ﹣20;（３)如图所示:故答案为：80.【点评】此题主要考查了一次函数的应用,利用图表中数据得出汽车速度是解题关键.26.(９分）如图，点A在⊙O上,点Ｐ是⊙O外一点,ＰA切⊙Ｏ于点A，连接ＯP 交⊙O于点D,作AB⊥OP于点Ｃ,交⊙O于点B，连接PＢ.(1)求证:PＢ是⊙O的切线；（2）若PC=9，AB＝６,①求图中阴影部分的面积;②若点E是⊙Ｏ上一点，连接AE,BE，当ＡＥ=6时,BE＝3﹣3或3＋3．【分析】（1)由PA切⊙Ｏ于点A得:∠ＰAO=90°,再证明△APO≌△ＢPO，所以∠ＰBO=∠PAO=9０°,可得结论；（2)①先根据垂径定理得:BＣ=3，根据勾股定理求圆的半径ＯＢ的长,利用三角函数得:∠COB=６0°，利用三角形的面积公式和扇形的面积公式分别求S和△OPＢS扇形DＯB的值,最后利用面积差得结论；②②分两种情况：ｉ)当点E在上时,如图２，作辅助线,构建直角三角形和等腰直角三角形,利用同弧所对的圆周角与半径及勾股定理分别计算ＥH和BH的长,相加即可得ＢE的长;ｉi)当点E在劣弧上时，如图3，作辅助线,同理计算EH和ＢH的长,最后利用勾股定理求BＥ的长.【解答】（1）证明:如图１，连接OB，∵OP⊥AB,OP经过圆心Ｏ,∴ＡＣ＝BＣ,∴ＯP垂直平分AB,∴AP=BP，∵ＯA=OB，OＰ=OP，∴△APO≌△ＢＰO（ＳSS),∴∠PAＯ＝∠PＢO,∵PA切⊙O于点A，∴AP⊥OA，∴∠PAＯ=９０°,∴∠PＢＯ=∠PＡO=90°，∴ＯB⊥BP，又∵点B在⊙O上,∴PB与⊙O相切于点Ｂ;(2）①解：如图1，∵OP⊥AB,OP经过圆心O，∴BC=AB=3,∵∠PBO=∠BCO=90°，∴∠PＢC+∠ＯBC=∠ＯBC＋∠ＢＯC=90°,∴∠ＰBC=∠BOC, ∴△PBC ∽△ＢOC, ∴∴OC===3,∴在R ｔ△ＯC Ｂ中，O Ｂ===6，tan ∠ＣOB==,∴∠C ＯB=60°，∴Ｓ△OPB =×ＯＰ×B Ｃ=×＝1８，S 扇DOB ==6π,∴S 阴影=S △OPB ﹣Ｓ扇ＤOB ＝18﹣6π；②分两种情况: ｉ)当点Ｅ在上时,如图２,作直径AF,交⊙O 于F,连接EF 、E Ｂ，过Ｏ作OG ⊥ＡE 于G,过F 作FH ⊥EB 于H, ∴EG=AG ＝AE=×=３，∵∠AOB=120°，OA ＝OB, ∴∠OA Ｂ=30°，∴∠BE Ｆ=∠ＯA Ｂ=30°， Ｒt △OGE 中，由①知：O Ａ＝6, ∴O Ｇ＝==3,∴ＡＧ=OG,∴△OGA 是等腰直角三角形， ∴∠OAE=45°,∴∠E ＢＦ＝∠OAE=４5°, ∵ＡF 是⊙Ｏ的直径, ∴∠ＡEF=９０°，∴△ＡE Ｆ是等腰直角三角形， ∴ＥF=A Ｅ=6，Rt △E ＨＦ中,∠B ＥＦ=３0°, ∴FH ＝EF=3,∴EＨ===３，Rt△BHＦ中，∵∠EBF＝45°,∴△BHF是等腰直角三角形,∴BH＝FH=3，∴BＥ=3＋3,iｉ)当点E在劣弧上时,如图３,作直径ＡＦ,并⊙O于F，连接OB、OE、BF,过Ｂ作BH⊥OE于H，∵AF为⊙O的直径,∴∠AＢF=9０°,∵∠ＢAF＝３0°,∴∠Ｆ=∠BOF＝60°,∵OＡ=OＥ=6，ＡE＝６,∴ＯＡ2+OE2=AE２，∴∠ＡOＥ=90°，∴∠EOF=90°，∴∠EOB＝30°,Rｔ△OＨB中,BH=ＯB＝3，∴OＨ==３，∴EH＝6﹣3，∴BE====3﹣3；综上所述，BＥ的长为3＋３或３﹣３；故答案为：3﹣3或３+3．【点评】本题考查了切线的性质和判定、垂径定理、三角函数、扇形的面积、三角形相似的性质和判定、圆周角定理，第2小问构建辅助线是关键,同时要采用分类讨论的思想．27．（1０分)(1)问题背景如图①,BＣ是⊙O的直径，点A在⊙Ｏ上,AB=AC，P为ＢmC上一动点(不与B，C 重合）,求证:ＰＡ=ＰＢ+PC.小明同学观察到图中自点A出发有三条线段AＢ,AP,ＡC，且AB=AC，这就为旋转作了铺垫.于是，小明同学有如下思考过程:第一步：将△PＡC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB(如图①）;第二步:证明Ｑ，B,P三点共线，进而原题得证．请你根据小明同学的思考过程完成证明过程．（2）类比迁移如图②,⊙O的半径为3,点A,Ｂ在⊙O上，C为⊙O内一点，AB=AC,AB⊥AC,垂足为A,求OC的最小值．(3）拓展延伸如图③,⊙Ｏ的半径为3,点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点,ＡB=AC，AB⊥AＣ,垂足为A,则OC的最小值为．【分析】（１）将△ＰAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①）,只要证明△APQ是等腰直角三角形即可解决问题；(2)如图②中，连接OA,将△OAC绕点Ｏ顺时针旋转90°至△ＱAB,连接OＢ,OQ,在△BＯQ中,利用三边关系定理即可解决问题;(３)如图③构造相似三角形即可解决问题．作AQ⊥OA,使得ＡQ=OA,连接ＯQ，BQ,OB．由△ＱＡB∽OAＣ,推出BＱ=OC,当BQ最小时，ＯC最小;【解答】（１)证明:将△PAＣ绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①）;∵BC是直径，∴∠BAＣ＝９0°,∵AB＝ＡC，∴∠ACＢ＝∠AＢＣ=４5°，由旋转可得∠QＢA=∠PCA，∠ＡCＢ＝∠ＡＰB=４５°,PC=QB,∵∠PＣA＋∠PBＡ＝18０°,∴∠QBA+∠PBＡ＝１80°，∴Q,B，P三点共线,∴∠QAB＋∠BAP=∠BAＰ＋∠PAＣ=90°,∴QP２=AＰ2+AQ2=２ＡP2，∴QP＝ＡP=QB+BP＝ＰC+PB，∴AＰ=PＣ+ＰB.(2)解:如图②中,连接OA，将△OＡC绕点Ａ顺时针旋转９0°至△QAB,连接ＯＢ,OQ，∵AB⊥ＡC∴∠ＢAC=90°由旋转可得QB=OC,AQ=OA，∠QAＢ=∠ＯＡC∴∠QＡB+∠BAＯ=∠BＡO+∠OAC=90°∴在Rt△ＯAＱ中，OQ＝３，ＡＯ=3∴在△OQB中,ＢQ≥OQ﹣OB=3﹣3即OC最小值是3﹣３（3）如图③中，作ＡQ⊥OA，使得AQ=OA，连接OQ，BＱ,ＯＢ.∵∠QAO=∠BAＣ=９0°，∠ＱAB=∠OＡＣ，∵=＝,∴△QAB∽OAC，∴BＱ=ＯＣ，。

2016年江苏省南京市溧水区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2分）计算（﹣3x）2的结果是（）A．6x2B．﹣6x2C．9x2D．﹣9x23．（2分）若△ABC∽△A′B′C′，AB＝2，A′B′＝4，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（）A．1：2B．2：1C．1：4D．4：14．（2分）无理数a满足：2＜a＜3，那么a可能是（）A．B．C．2.5D．5．（2分）把如图中的三棱柱展开，所得到的展开图是（）A．B．C．D．6．（2分）如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标（2，），底边OB在x轴上．将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B，点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，4）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）﹣5的绝对值是，4的算术平方根是．8．（2分）新亚欧大陆桥东起太平洋西岸中国连云港，西达大西洋东岸荷兰鹿特丹等港口，横贯亚欧两大洲中部地带，总长约为10900公里，10900用科学记数法表示为．9．（2分）若二次根式有意义，则x的取值范围是．10．（2分）某地区连续5天的最高气温（单位：℃）分别是30，33，24，29，24，这组数据的中位数是．11．（2分）反比例函数y＝的图象过点P（2，6），那么k的值是．12．（2分）如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线AF∥CD，则∠EAF的度数为°．13．（2分）如图，在⊙O中，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，OD＝13cm，AB＝24cm，则CD＝cm．14．（2分）已知圆心角为150°的扇形面积是15πcm2，则此扇形的半径为．15．（2分）小宏准备用50元钱买甲、乙两种饮料共10瓶，已知甲饮料每瓶7元，乙饮料每瓶4元，则小宏最多能买瓶甲饮料．16．（2分）如图，抛物线C1是二次函数y＝x2﹣10x在第四象限的一段图象，它与x轴的交点是O、A1；将C1绕点A1旋转180°后得抛物线C2；它与x轴的另一交点为A2；再将抛物线C2绕A2点旋转180°后得抛物线C3，交x轴于点A3；如此反复进行下去…，若某段抛物线上有一点P（2016，a），则a＝．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）解方程：x2﹣3x﹣4＝0．18．（6分）化简，求值：÷﹣1，其中a＝﹣．19．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，点F是AC上一点，连结BF，DF．（1）证明：△ABF≌△ADF；（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形．20．（8分）甲、乙、丙三位歌手进入“我是歌手”冠、亚、季军决赛，他们通过抽签来决定演唱顺序，（1）求甲第一位出场的概率；（2）求甲比乙先出场的概率．21．（8分）我区积极开展“体育大课间”活动，引导学生坚持体育锻炼，某校根据实际情况，决定主要开设A：乒乓球，B：篮球，C：跑步．D：足球四种运动项目．为了解学生最喜欢哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调査，并将调查结果绘制成如下统计图．请你结合图中信息解答下列问题：（1）求样本中最喜欢B项目的人数百分比和其所在扇形图中的圆心角的度数；（2）请把条形统计图补充完整；（3）已知该校有2000人，请根据样本估计全校最喜欢足球的人数是多少？22．（8分）据报道，溧水到南京的轻轨将于2017年建成通车．通车前，客运汽车从溧水到南京南站的路程约为50km；通车后，轻轨从溧水到南京南站的路程比原来缩短5km．预计，轻轨的平均速度是客运汽车的平均速度的1.5倍，轻轨的运行时间比客运汽车的运行时间要缩短15min，试求轻轨的平均速度．23．（8分）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道L上确定点D，使CD与L垂直，测得CD的长等于24米，在L上点D 的同侧取点A、B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝60°．（1）求AB的长（结果保留根号）；（2）已知本路段对校车限速为45千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．（参考数据：≈1.73，≈1.41）24．（8分）已知二次函数y＝x2+mx+m﹣5（m是常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴一定有两公共点；（2）若该二次函数的图象过点（0，﹣3），则将函数图象沿x轴怎样平移能使抛物线过原点？25．（9分）某水电站兴建了一个最大蓄水容量为12万米3的蓄水池，并配有2个流量相同的进水口和1个出水口．某天从0时至12时，进行机组试运行．其中，0时至2时打开2个进水口进水；2时，关闭1个进水口减缓进水速度，至蓄水池中水量达到最大蓄水容量后，随即关闭另一个进水口，并打开出水口，直至12时蓄水池中的水放完为止．若这3个水口的水流都是匀速的，水池中的蓄水量y（万米3）与时间t（时）之间的关系如图所示，请根据图象解决下列问题：（1）蓄水池中原有蓄水万米3，蓄水池达最大蓄水量12万米3的时间a的值为；（2）求线段BC、CD所表示的y与t之间的函数关系式；（3）蓄水池中蓄水量维持在m万米3以上（含m万米3）的时间有3小时，求m的值．26．（10分）已知，如图，△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于E，过点E作EG⊥AC于G，交BC的延长线于F．（1）求证：AE＝BE；（2）求证：FE是⊙O的切线；（3）若FE＝4，FC＝2，求⊙O的半径及CG的长．27．（9分）我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”．（1）已知：四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A＝70°，∠B＝80°．求∠C、∠D的度数．（2）如图1，在Rt△ACB中，∠C＝90°，CD为斜边AB边上的中线，过点D作DE⊥CD 交AC于点E，求证：四边形BCED是“等对角四边形”．（3）如图2，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，CD平分∠ACB，点E在AC 上，且四边形CBDE为“等对角四边形”，则线段AE的长为．2016年江苏省南京市溧水区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、是中心对称图形，故本选项符合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；故选：C．2．（2分）计算（﹣3x）2的结果是（）A．6x2B．﹣6x2C．9x2D．﹣9x2【解答】解：（﹣3x）2＝9x2，故选：C．3．（2分）若△ABC∽△A′B′C′，AB＝2，A′B′＝4，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（）A．1：2B．2：1C．1：4D．4：1【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为2：4＝1：2，∴，故选：C．4．（2分）无理数a满足：2＜a＜3，那么a可能是（）A．B．C．2.5D．【解答】解：∵，，∴无理数a可能是，故选：B．5．（2分）把如图中的三棱柱展开，所得到的展开图是（）A．B．C．D．【解答】解：根据两个全等的三角形，在侧面三个长方形的两侧，这样的图形围成的是三棱柱．把图中的三棱柱展开，所得到的展开图是B．故选：B．6．（2分）如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标（2，），底边OB在x轴上．将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B，点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，4）【解答】解：如图，过点A作AC⊥OB于C，过点O′作O′D⊥A′B于D，∵A（2，），∴OC＝2，AC＝，由勾股定理得，OA＝＝＝3，∵△AOB为等腰三角形，OB是底边，∴OB＝2OC＝2×2＝4，由旋转的性质得，BO′＝OB＝4，∠A′BO′＝∠ABO，∴O′D＝4×＝，BD＝4×＝，∴OD＝OB+BD＝4+＝，∴点O′的坐标为（，）．故选：C．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）﹣5的绝对值是5，4的算术平方根是2．【解答】解：﹣5的绝对值是5，4的算术平方根2，故答案为：5，2．8．（2分）新亚欧大陆桥东起太平洋西岸中国连云港，西达大西洋东岸荷兰鹿特丹等港口，横贯亚欧两大洲中部地带，总长约为10900公里，10900用科学记数法表示为 1.09×104．【解答】解：10900＝1.09×104．故答案为：1.09×104．9．（2分）若二次根式有意义，则x的取值范围是x≥2．【解答】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，解得x≥2；故答案为：x≥2．10．（2分）某地区连续5天的最高气温（单位：℃）分别是30，33，24，29，24，这组数据的中位数是29．【解答】解：数据从小到大排列为：24，24，29，30，33，则最中间为：29，故这组数据的中位数是：29．故答案为：29．11．（2分）反比例函数y＝的图象过点P（2，6），那么k的值是12．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象过点P（2，6），∴k＝2×6＝12，故答案为：12．12．（2分）如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线AF∥CD，则∠EAF的度数为36°．【解答】解：连接BE，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BAE＝108°，AB＝AE，∴∠AEB＝∠ABE＝36°，∵BE∥CD，AF∥CD，∴BE∥AF，∴∠F AE＝∠AEB＝36°．故答案为：36．13．（2分）如图，在⊙O中，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，OD＝13cm，AB＝24cm，则CD＝8cm．【解答】解：由垂径定理，AC＝AB＝12cm．由半径相等，得OA＝OD＝13cm．由勾股定理，得OC＝＝＝5．由线段的和差，得CD＝OD﹣OC＝13﹣5＝8cm，故答案为：8．14．（2分）已知圆心角为150°的扇形面积是15πcm2，则此扇形的半径为6cm．【解答】解：∵扇形的圆心角为150°，它的面积为15πcm2，∴设扇形的半径为：r，则：15π＝，解得：r＝6．故答案为：6cm．15．（2分）小宏准备用50元钱买甲、乙两种饮料共10瓶，已知甲饮料每瓶7元，乙饮料每瓶4元，则小宏最多能买3瓶甲饮料．【解答】解：设小宏能买x瓶甲饮料，则可以买（10﹣x）瓶乙饮料，由题意得：7x+4（10﹣x）≤50，解得：x≤，∵x为整数，∴x＝0，1，2，3，则小宏最多能买3瓶甲饮料．故答案为：3．16．（2分）如图，抛物线C1是二次函数y＝x2﹣10x在第四象限的一段图象，它与x轴的交点是O、A1；将C1绕点A1旋转180°后得抛物线C2；它与x轴的另一交点为A2；再将抛物线C2绕A2点旋转180°后得抛物线C3，交x轴于点A3；如此反复进行下去…，若某段抛物线上有一点P（2016，a），则a＝24．【解答】解：当y＝0时，x2﹣10x＝0，解得x1＝10，x2＝0，则A1（10，0）所以OA1＝10，所以A1A2＝A2A3＝10，而2010＝10×201，∴P（2016，a）在抛物线C202上，抛物线C202的开口向下，与x轴的两交点坐标为（2010，2020），所以抛物线C202的解析式为y＝﹣（x﹣2010）（x﹣2020），当x＝2016时，y＝﹣（2016﹣2010）（2016﹣2020）＝24，即a＝24．故答案为24．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）解方程：x2﹣3x﹣4＝0．【解答】解：∵原方程可化为：（x+1）（x﹣4）＝0，∴x+1＝0或x﹣4＝0，解得，x1＝4，x2＝﹣1．18．（6分）化简，求值：÷﹣1，其中a＝﹣．【解答】解：原式＝•﹣1＝﹣1＝﹣．当a＝﹣时，则原式＝﹣2．19．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，点F是AC上一点，连结BF，DF．（1）证明：△ABF≌△ADF；（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形．【解答】（1）证明：在△ABC和△ADC中∵，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC＝∠DAC，在△ABF和△ADF中∵，∴△ABF≌△ADF（SAS）；（2）解：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，∵∠BAF＝∠ADC，∴∠DAC＝∠DCA，∴AD＝DC，由（1）得：AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形．20．（8分）甲、乙、丙三位歌手进入“我是歌手”冠、亚、季军决赛，他们通过抽签来决定演唱顺序，（1）求甲第一位出场的概率；（2）求甲比乙先出场的概率．【解答】解：（1）∵甲、乙、丙三位歌手进入“我是歌手”冠、亚、季军决赛，∴甲第一位出场的概率为；（2）∵出场情况为：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲共6种情况，∴甲比乙先出场的情况有：甲乙丙，甲丙乙，丙甲乙，∴甲比乙先出场的概率为：＝．21．（8分）我区积极开展“体育大课间”活动，引导学生坚持体育锻炼，某校根据实际情况，决定主要开设A：乒乓球，B：篮球，C：跑步．D：足球四种运动项目．为了解学生最喜欢哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调査，并将调查结果绘制成如下统计图．请你结合图中信息解答下列问题：（1）求样本中最喜欢B项目的人数百分比和其所在扇形图中的圆心角的度数；（2）请把条形统计图补充完整；（3）已知该校有2000人，请根据样本估计全校最喜欢足球的人数是多少？【解答】解：（1）样本中最喜欢B项目的人数百分比是1﹣44%﹣28%﹣8%＝20%，其所在扇形图中的圆心角的度数是20%×360°＝72°；（2）总人数是8÷8%＝100（人），B的人数是：100×20%＝20（人），如图：；（3）根据题意得：2000×28%＝560（人），答：全校最喜欢足球的人数是560人．22．（8分）据报道，溧水到南京的轻轨将于2017年建成通车．通车前，客运汽车从溧水到南京南站的路程约为50km；通车后，轻轨从溧水到南京南站的路程比原来缩短5km．预计，轻轨的平均速度是客运汽车的平均速度的1.5倍，轻轨的运行时间比客运汽车的运行时间要缩短15min，试求轻轨的平均速度．【解答】解：设客运汽车的平均速度是xkm/h，则轻轨的平均速度是1.5xkm/h．根据题意，得：﹣＝，解得：x＝80．经检验，x＝80是原方程的解．1.5x＝120；答：轻轨的平均速度为120km/h．23．（8分）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道L上确定点D，使CD与L垂直，测得CD的长等于24米，在L上点D 的同侧取点A、B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝60°．（1）求AB的长（结果保留根号）；（2）已知本路段对校车限速为45千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．（参考数据：≈1.73，≈1.41）【解答】解：（1）由題意得，在Rt△ADC中，AD＝＝＝24≈36.33（米），在Rt△BDC中，BD＝＝＝8，则AB＝AD﹣BD＝16；（2）超速．理由：∵汽车从A到B用时2秒，∴速度为16×1.73÷2＝13.84米/秒13.84×3.6＝49.824千米/时＞45千米/小时．∴此校车在AB路段超速．24．（8分）已知二次函数y＝x2+mx+m﹣5（m是常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴一定有两公共点；（2）若该二次函数的图象过点（0，﹣3），则将函数图象沿x轴怎样平移能使抛物线过原点？【解答】解：（1）令y＝0得关于x的一元二次方程：x2+mx+m﹣5＝0，则△＝b2﹣4ac＝m2﹣4（m﹣5）＝m2﹣4m+20＝（m﹣2）2+16．∵不论m为何值，（m﹣2）2≥0，∴（m﹣2）2+16＞0．∴不论m为何值，一元二次方程x2+mx+m﹣5＝0一定有两个不相等的实数根，∴不论m为何值，该函数的图象与x轴一定有两公共点．（2）∵函数图象过点（0，﹣3），∴m﹣5＝﹣3，m＝2，∴二次函数表达式为y＝x2+2x﹣3，∵令y＝0得：x2+2x﹣3＝0解得：x1＝1，x2＝﹣3．∴函数的图象与x轴的两个交点为：（1，0）和（﹣3，0）．∴将函数图象沿x轴向右平移3个单位或向左平移1个单位就能使抛物线过原点．25．（9分）某水电站兴建了一个最大蓄水容量为12万米3的蓄水池，并配有2个流量相同的进水口和1个出水口．某天从0时至12时，进行机组试运行．其中，0时至2时打开2个进水口进水；2时，关闭1个进水口减缓进水速度，至蓄水池中水量达到最大蓄水容量后，随即关闭另一个进水口，并打开出水口，直至12时蓄水池中的水放完为止．若这3个水口的水流都是匀速的，水池中的蓄水量y（万米3）与时间t（时）之间的关系如图所示，请根据图象解决下列问题：（1）蓄水池中原有蓄水4万米3，蓄水池达最大蓄水量12万米3的时间a的值为6；（2）求线段BC、CD所表示的y与t之间的函数关系式；（3）蓄水池中蓄水量维持在m万米3以上（含m万米3）的时间有3小时，求m的值．【解答】解：（1）由图象可知，蓄水池中原有蓄水4万米3，蓄水池达最大蓄水量12万米3的时间a的值为：2+（12﹣8）÷（）＝6，故答案为：4，6；（2）∵B（2，8），C（6，12），设直线BC的函数关系式为y＝k1t+b1，由题意，得解得：即直线BC所对应的函数关系式为y＝t+6（2≤t≤6），∵C（6，12），D（12，0），设直线CD的函数关系式为y＝k2t+b2，由题意，得解得：即直线CD所对应的函数关系式为y＝﹣2t+24（6≤t≤12）；（3）设在BC上蓄水量达到m万米3的时间为t，则在CD上蓄水量达到m万米3的时间为（t+3）h，由题意，得t+6＝﹣2（t+3）+24，解得：t＝4，∴当t＝4时，y＝4+6＝10即m的值是10．26．（10分）已知，如图，△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于E，过点E作EG⊥AC于G，交BC的延长线于F．（1）求证：AE＝BE；（2）求证：FE是⊙O的切线；（3）若FE＝4，FC＝2，求⊙O的半径及CG的长．【解答】（1）证明：连接CE，如图1所示：∵BC是直径，∴∠BEC＝90°，∴CE⊥AB；又∵AC＝BC，∴AE＝BE．（2）证明：连接OE，如图2所示：∵BE＝AE，OB＝OC，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC，AC＝2OE＝6．又∵EG⊥AC，∴FE⊥OE，∴FE是⊙O的切线．（3）解：∵EF是⊙O的切线，∴FE2＝FC•FB．设FC＝x，则有2FB＝16，∴FB＝8，∴BC＝FB﹣FC＝8﹣2＝6，∴OB＝OC＝3，即⊙O的半径为3；∴OE＝3，∵OE∥AC，∴△FCG∽△FOE，∴，即，解得：CG＝．27．（9分）我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”．（1）已知：四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A＝70°，∠B＝80°．求∠C、∠D的度数．（2）如图1，在Rt△ACB中，∠C＝90°，CD为斜边AB边上的中线，过点D作DE⊥CD 交AC于点E，求证：四边形BCED是“等对角四边形”．（3）如图2，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，CD平分∠ACB，点E在AC上，且四边形CBDE为“等对角四边形”，则线段AE的长为1或．【解答】（1）解：①若∠A＝∠C，∠B≠∠D，则∠C＝70°，∠D＝360°﹣70°﹣70°﹣80°＝140°；②若∠B＝∠D，∠A≠∠C，则∠D＝80°，∠C＝360°﹣80°﹣80°﹣70°＝130°；（2）证明：如图1，在Rt△ABC中，∵CD为斜边AB边上的中线，∴AD＝DB＝DC，∴∠DCB＝∠B，∵∠ACB＝90°，∴∠DCB+∠ACD＝90°，∴∠B+∠ACD＝90°．∵DE⊥CD，∴∠CED+∠ACD＝90°，∴∠CED＝∠B，且∠ECB≠∠EDB，∴四边形BCED是“等对角四边形”；（3）解：①若∠B＝∠DEC，∠BCE≠∠BDE，如图2．在△CDE与△CDB中，，∴△CDE≌△CDB，∴EC＝BC＝3，∴AE＝AC﹣EC＝4﹣3＝1；②若∠BCE＝∠BDE＝90°，∠B≠∠DEC，如图3．∵在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝＝5，∵CD平分∠ACB，∴＝＝，∴AD＝AB＝．在△ADE与△ACB中，，∴△ADE∽△ACB，∴＝，即＝，∴AE＝．综上所述，线段AE的长为1或．故答案为1或．。

2016年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）下列运算正确的是（）A．a3+a3=a6 B．2（a+1）=2a+1 C．（ab）2=a2b2D．a6÷a3=a22．（2分）下列各数中，是无理数的是（）A．cos30°B．（﹣π）0 C．﹣ D．3．（2分）计算2﹣1×8﹣|﹣5|的结果是（）A．﹣21 B．﹣1 C．9 D．114．（2分）体积为80的正方体的棱长在（）A．3到4之间B．4到5之间C．5到6之间D．6到7之间5．（2分）如图，将等边△ABC的边AC逐渐变成以B为圆心、BA为半径的，长度不变，AB、BC的长度也不变，则∠ABC的度数大小由60°变为（）A．（）°B．（）°C．（）°D．（）°6．（2分）如图，正方形OABC的边长为6，A，C分别位于x轴、y轴上，点P在AB上，CP交OB于点Q，函数y=的图象经过点Q，若S△BPQ =S△OQC，则k的值为（）A．﹣12 B．12 C．16 D．18二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）使式子1+有意义的x的取值范围是．8．（2分）计算：﹣=．9．（2分）有一组数据：1，3，3，4，4，这组数据的方差为．10．（2分）设x1，x2是方程x2+4x+3=0的两根，则x1+x2=．11．（2分）今年清明假期全国铁路发送旅客约41000000人次，将41000000用科学记数法表示为．12．（2分）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是．13．（2分）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，OH=8，则菱形ABCD的周长等于．14．（2分）如图，正五边形ABCDE绕点A顺时针旋转后得到正五边形AB′C′D′E′，旋转角为α（0°≤α≤90°），若DE⊥B′C′，则∠α=°．15．（2分）如图，三个全等的小矩形沿“横﹣竖﹣横”排列在一个边长分别为5.7，4.5的大矩形中，图中一个小矩形的周长等于．16．（2分）若﹣2≤a＜2，则满足a（a+b）=b（a+1）+a的b的整数值有个．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）（1）解方程：3（x﹣1）=x（1﹣x）；（2）化简：﹣；（3）解不等式组：，并将解集在数轴上表示．18．（7分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE=CF．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若BD=EF，连接DE、BF，判断四边形EBFD的形状，无需说明理由．19．（7分）从甲、乙、丙3名同学中随机抽取环保志愿者，求下列事件的概率；（1）抽取1名，恰好是甲；（2）抽取2名，甲在其中．20．（7分）元宵节那天，李老师给他的微信好友群发了一个小调查：“元宵节，你选择吃大汤圆，还是小元宵呢？”12小时内好友回复的相关数据如图：（1）回复时间为5小时～12小时的人数为；（2）既选择大汤圆，又选择小元宵的人数为；（3）12小时后，又有40个好友回复了，如果重新制作“好友回复时间扇形统计图”，加入“12小时后”这一项，求该项所在扇形的圆心角度数．21．（7分）如图，点P、M、Q在半径为1的⊙O上，根据已学知识和图中数据（0.97、0.26为近似数），解答下列问题：（1）sin60°=；cos75°=；（2）若MH⊥x轴，垂足为H，MH交OP于点N，求MN的长．（结果精确到0.01，参考数据：≈1.414，≈1.732）22．（8分）二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（0，3），（3，6），（﹣2，11）．（1）求该二次函数的关系式；（2）证明：无论x取何值，函数值y总不等于1；（3）如何平移该函数图象使得函数值y能等于1？23．（7分）如图，已知△ABC，△DCE是两个全等的等腰三角形，底边BC、CE 在同一直线上，且AB=，BC=1，BD与AC交于点P．（1）求证：△BED∽△DEC；（2）求△DPC的周长．24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点D、E在⊙O上，连接AE、ED、DA，连接BD并延长至点C，使得∠DAC=∠AED．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点E是的中点，AE与BC交于点F，①求证：CA=CF；②当BD=5，CD=4时，DF=．25．（7分）随着“互联网+”时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎．该打车方式的计价规则如图①所示，若车辆以平均速度vkm/h行驶了skm，则打车费用为（ps+60q•）元（不足9元按9元计价）．小明某天用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车费用y（元）与行驶里程x（km）的函数关系也可由如图②表示．（1）当x≥6时，求y与x的函数关系式．（2）若p=1，q=0.5，求该车行驶的平均速度．26．（8分）某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如表．与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x（0＜x＜0.5）．项目第一次锻炼第二次锻炼步数（步）10000①平均步长（米/步）0.6②距离（米）60007020注：步数×平均步长=距离．（1）根据题意完成表格填空；（2）求x；（3）王老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好为24000步，求王老师这500米的平均步长．27．（10分）如图①，现有长度分别为a、b、1的三条线段．【加、减】图②所示为长为a+b的线段，请用尺规作出长为a﹣b的线段．【乘】在图③中，OA=a，OC=b，点B在OA上，OB=1，AD∥BC，交射线OC于点D．求证：线段OD的长为ab．【除】请用尺规作出长度为的线段．【开方】任意两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）仍然是有理数，而开方运算则打开了通向无理数的一扇门．请用两种不同的方法，画出长度为的线段．注：本题作（画）图不写作（画）法，需标明相应线段长度．2016年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）下列运算正确的是（）A．a3+a3=a6 B．2（a+1）=2a+1 C．（ab）2=a2b2D．a6÷a3=a2【解答】解：A、a3+a3=2a3，故A选项错误；B、2（a+1）=2a+2≠2a+1，故B选项错误；C、（ab）2=a2b2，故C选项正确；D、a6÷a3=a3≠a2，故D选项错误．故选：C．2．（2分）下列各数中，是无理数的是（）A．cos30°B．（﹣π）0 C．﹣ D．【解答】解：A、cos30=是无理数，B、（﹣π）0=1是有理数，C、﹣是有理数，故C错误；D、=8是有理数，故D错误；故选：A．3．（2分）计算2﹣1×8﹣|﹣5|的结果是（）A．﹣21 B．﹣1 C．9 D．11【解答】解：原式=×8﹣5=4﹣5=﹣1．故选：B．4．（2分）体积为80的正方体的棱长在（）A．3到4之间B．4到5之间C．5到6之间D．6到7之间【解答】解：∵，∴4＜＜5，故选：B．5．（2分）如图，将等边△ABC的边AC逐渐变成以B为圆心、BA为半径的，长度不变，AB、BC的长度也不变，则∠ABC的度数大小由60°变为（）A．（）°B．（）°C．（）°D．（）°【解答】设∠ABC的度数大小由60变为n，则AC=，由AC=AB，解得n=，故选D．6．（2分）如图，正方形OABC的边长为6，A，C分别位于x轴、y轴上，点P在AB上，CP交OB于点Q，函数y=的图象经过点Q，若S△BPQ =S△OQC，则k的值为（）A．﹣12 B．12 C．16 D．18【解答】解：∵PB∥OC（四边形OABC为正方形），∴△PBQ∽△COQ，∴==，∴PB=PA=OC=3．∵正方形OABC的边长为6，∴点C（0，6），点P（6，3），直线OB的解析式为y=x①，∴设直线CP的解析式为y=ax+6，∵点P（6，3）在直线CP上，∴3=6a+6，解得：a=﹣，故直线CP的解析式为y=﹣x+6②．联立①②得：，解得：，∴点Q的坐标为（4，4）．将点Q（4，4）代入y=中，得：4=，解得：k=16．故选C．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）使式子1+有意义的x的取值范围是x≠1．【解答】解：由题意知，分母x﹣1≠0，即x≠1时，式子1+有意义．故答案为：x≠1．8．（2分）计算：﹣=．【解答】解：原式=﹣=．故答案为：．9．（2分）有一组数据：1，3，3，4，4，这组数据的方差为 1.2．【解答】解：这组数据的平均数是：（1+3+3+4+4）÷5=3，则这组数据的方差为：[（1﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+2（4﹣3）2]=1.2．故答案为：1.2．10．（2分）设x1，x2是方程x2+4x+3=0的两根，则x1+x2=﹣4．【解答】解：根据题意得x1+x2=﹣4．故答案为﹣4．11．（2分）今年清明假期全国铁路发送旅客约41000000人次，将41000000用科学记数法表示为 4.1×107．【解答】解：41 000 000=4.1×107，故答案为：4.1×107．12．（2分）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是5．【解答】解：过O作OC⊥AB于C，∴AC=BC=AB=12，在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC==5，故答案为：5．13．（2分）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，OH=8，则菱形ABCD的周长等于64．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，∴AC⊥BD，AB=AD=CD=BC．∵H为AD边中点，OH=8，∴AD=16，∴菱形ABCD的周长=4AD=64．故答案为：64．14．（2分）如图，正五边形ABCDE绕点A顺时针旋转后得到正五边形AB′C′D′E′，旋转角为α（0°≤α≤90°），若DE⊥B′C′，则∠α=54°．【解答】解：DE与B′C′相交于O点，如图，∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠B=∠BAE=∠E==108°，∵正五边形ABCDE绕点A顺时针旋转后得到正五边形AB′C′D′E′，旋转角为α（0°≤α≤90°），∴∠BAB′=α，∠B′=∠B=108°，∵DE⊥B′C′，∴∠B′OE=90°，∴∠B′AE=360°﹣∠B′﹣∠E﹣∠B′OE=360°﹣108°﹣108°﹣90°=54°，∴∠BAB′=∠BAE﹣∠B′AE=108°﹣54°=54°，即∠α=54°．故答案为54．15．（2分）如图，三个全等的小矩形沿“横﹣竖﹣横”排列在一个边长分别为5.7，4.5的大矩形中，图中一个小矩形的周长等于 6.8．【解答】解：设小矩形的长为xm，宽为ym，由题意得：，解得：x+y=3.4．一个小矩形的周长为：3.4×2=6.8，故答案为：6.8．16．（2分）若﹣2≤a＜2，则满足a（a+b）=b（a+1）+a的b的整数值有7个．【解答】解：由a（a+b）=b（a+1）+a可得b=a2﹣a=（a﹣）2﹣，∵﹣2≤a＜2，∴﹣≤b≤6，则满足条件的b的整数值有0、1、2、3、4、5、6这7个，故答案为：7．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）（1）解方程：3（x﹣1）=x（1﹣x）；（2）化简：﹣；（3）解不等式组：，并将解集在数轴上表示．【解答】解：（1）3（x﹣1）=﹣x（x﹣1）3（x﹣1）+x（x﹣1）=0（x﹣1）（x+3）=0x1=1，x2=﹣3．（2）﹣=﹣===．（3）解不等式3x+1≤2，得x≤解不等式，得x＜﹣1，将解集表示在数轴上如下：故不等式组的解集为x＜﹣1．18．（7分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE=CF．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若BD=EF，连接DE、BF，判断四边形EBFD的形状，无需说明理由．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AE=CF，∴OE=OF，在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（SAS）；（2）解：四边形EBFD是矩形；理由如下：∵OB=OD，OE=OF，∴四边形EBFD是平行四边形，∵BD=EF，∴四边形EBFD是矩形．19．（7分）从甲、乙、丙3名同学中随机抽取环保志愿者，求下列事件的概率；（1）抽取1名，恰好是甲；（2）抽取2名，甲在其中．【解答】解：（1）∵从甲、乙、丙3名同学中随机抽取环保志愿者，∴抽取1名，恰好是甲的概率为：；（2）∵抽取2名，可得：甲乙，甲丙，乙丙，共3种等可能的结果，甲在其中的有2种情况，∴抽取2名，甲在其中的概率为：．20．（7分）元宵节那天，李老师给他的微信好友群发了一个小调查：“元宵节，你选择吃大汤圆，还是小元宵呢？”12小时内好友回复的相关数据如图：（1）回复时间为5小时～12小时的人数为10；（2）既选择大汤圆，又选择小元宵的人数为30；（3）12小时后，又有40个好友回复了，如果重新制作“好友回复时间扇形统计图”，加入“12小时后”这一项，求该项所在扇形的圆心角度数．【解答】解：（1）回复时间为5小时～12小时的人数为：200×（1﹣50%﹣30%﹣15%）=10（人）；故答案为：10；（2）既选择大汤圆，又选择小元宵的人数为：（150+80）﹣200=30（人）故答案为：30；（3）根据题意得：×360°=60°．答：“12小时后”这一项所在扇形的圆心角度数为60°．21．（7分）如图，点P、M、Q在半径为1的⊙O上，根据已学知识和图中数据（0.97、0.26为近似数），解答下列问题：（1）sin60°=；cos75°=0.26；（2）若MH⊥x轴，垂足为H，MH交OP于点N，求MN的长．（结果精确到0.01，参考数据：≈1.414，≈1.732）【解答】解：（1）由图可知，sin60°=，cos75°==0.26，故答案为：；0.26；（2）在Rt△MHO中，sin∠MOH=，即MH=MO•sin∠MOH=1×=．∴OH=，设PA⊥x轴，垂足为A，如右图所示，∵∠NHO=∠PAO=90°，∴NH∥PA，∴△ONH∽△OPA，∴=，即=，∴NH≈0.134．∴MN=MH﹣MN=≈0.73．22．（8分）二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（0，3），（3，6），（﹣2，11）．（1）求该二次函数的关系式；（2）证明：无论x取何值，函数值y总不等于1；（3）如何平移该函数图象使得函数值y能等于1？【解答】（1）解：由题意得：，解得：，∴该函数的函数关系式为：y=x2﹣2x+3．（2）证明：∵y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，∴当x=1时，y取最小值2，∴无论x取何值，函数值y总不等于1．（3）将该函数图象向下平移的距离大于等于1个单位长度．23．（7分）如图，已知△ABC，△DCE是两个全等的等腰三角形，底边BC、CE 在同一直线上，且AB=，BC=1，BD与AC交于点P．（1）求证：△BED∽△DEC；（2）求△DPC的周长．【解答】（1）证明：∵△ABC，△DCE是两个全等的等腰三角形，且底边BC、CE 在同一直线上，∴AB=AC=DC=DE=，BC=CE=1，∴BE=2BC=2，∵=，=，∴=．又∵∠BED=∠DEC，∴△BED∽△DEC；（2）解：∵△ABC，△DCE是两个全等的等腰三角形，且底边BC、CE在同一直线上，∴∠ACB=∠DEC，∴AC∥DE．∴==，∴PC=，PD=BD，过D作DM⊥CE于M，∵DC=DE，∴CM=ME=，在Rt△DMC中，由勾股定理得：DM==，在Rt△DMB中，由勾股定理得：BD==2，∴PD=BD=1，∴△DPC的周长=PC+PD+DC=+1+=+1．24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点D、E在⊙O上，连接AE、ED、DA，连接BD并延长至点C，使得∠DAC=∠AED．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点E是的中点，AE与BC交于点F，①求证：CA=CF；②当BD=5，CD=4时，DF=2．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∴∠ABC+∠DAB=90°．∵∠DAC=∠AED，∠AED=∠ABC，∴∠DAC+∠DAB=90°，∴AC是⊙O的切线．（3分）（2）①证明：∵点E是的中点，∴=，∴∠BAE=∠DAE．∵∠DAC+∠DAB=90°，∠ABC+∠DAB=90°，∴∠DAC=∠ABC．∵∠CFA=∠ABC+∠BAE，∠CAF=∠DAC+∠DAE，∴∠CFA=∠CAF．∴CA=CF．②解：∵∠BAC=∠ADB=90°，∴∠ACD=∠BCA，∴△ADC∽△BAC．∴=．即AC2=BC×CD=（5+4）×4=36．解得AC=6．∴CA=CF=6，∴DF=CA﹣CD=2．故答案为2．25．（7分）随着“互联网+”时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎．该打车方式的计价规则如图①所示，若车辆以平均速度vkm/h行驶了skm，则打车费用为（ps+60q•）元（不足9元按9元计价）．小明某天用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车费用y（元）与行驶里程x（km）的函数关系也可由如图②表示．（1）当x≥6时，求y与x的函数关系式．（2）若p=1，q=0.5，求该车行驶的平均速度．【解答】解：（1）当x≥6时，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b．根据题意，当x=6时，y=9；当x=8时，y=12．所以，解得，所以，y与x之间的函数关系式为y=1.5x．（2）根据图象可得，当x=8时，y=12，又因为p=1，q=0.5，可得12=1×8+60×0.5×，解得：v=60．经检验，v=60是原方程的根．所以该车行驶的平均速度为60km/h．26．（8分）某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如表．与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x（0＜x＜0.5）．项目第一次锻炼第二次锻炼步数（步）10000①10000（1+3x）平均步长（米/步）0.6②0.6（1﹣x）距离（米）60007020注：步数×平均步长=距离．（1）根据题意完成表格填空；（2）求x；（3）王老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好为24000步，求王老师这500米的平均步长．【解答】解：（1）①根据题意可得：10000（1+3x）；②第二次锻炼的平均步长（米/步）为：0.6（1﹣x）；故答案为：10000（1+3x）；0.6（1﹣x）；（2）由题意：10000（1+3x）×0.6（1﹣x）=7020解得：x1=＞0.5（舍去），x2=0.1．则x=0.1，答：x的值为0.1；（3）根据题意可得：10000+10000（1+0.1×3）=23000，500÷（24000﹣23000）=0.5（m）．答：王老师这500米的平均步幅为0.5米．27．（10分）如图①，现有长度分别为a、b、1的三条线段．【加、减】图②所示为长为a+b的线段，请用尺规作出长为a﹣b的线段．【乘】在图③中，OA=a，OC=b，点B在OA上，OB=1，AD∥BC，交射线OC于点D．求证：线段OD的长为ab．【除】请用尺规作出长度为的线段．【开方】任意两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）仍然是有理数，而开方运算则打开了通向无理数的一扇门．请用两种不同的方法，画出长度为的线段．注：本题作（画）图不写作（画）法，需标明相应线段长度．【解答】解：【加、减】如图①，线段AB长为a﹣b．【乘】证明：∵AD∥BC，∴=，即=．∴OD=ab．【除】如图②，OA=a，OC=b，点B在OC上，OB=1，BD∥AC，交OA于点D．则OD=．证明：∵BD∥AC，∴=，∴=，∴OD=．【开方】图③和图④中的MN均为．理由：如图3中，BM是直径，BM=a+b，AM=1，AN⊥BM，∵∠M=∠M，∠MAN=∠MNB=90°，∴△MAN∽△MNB，∴=，∴MN2=a+b，∴MN=．如图4中，AB是直径，AB=a+b+1，BM=1，MN⊥AB，由△AMN∽△NMB，∴=，∴MN2=a+b，∴MN=．析，能在头脑里形成生动而清晰的物理情景，找到解决问题的简捷办法，才能顺利地、准确地完成解题的全过程。

2016~2017学年第二学期期末调研试卷七年级数学注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分100分．考试时间为100分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．3．答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡．．．相应位置．．．．上） 1．据报道，自2017年5月5日印度电影《摔跤吧，爸爸》在中国内地上映以来，累计票房 已达12.8亿人民币，用科学记数法表示12.8亿元是A ．0.128×1010元B ．1.28×109元C ．12.8×108元D ．128×107元2．下列运算正确的是A ．a 6÷a 3＝a 2B ．(－2ab 2)2＝4ab 4C ．(a －2)2＝a 2－4D ．(a －3)(a ＋2)＝a 2－a －63．已知a ，b ，c 都是实数，且a ＜b ，则下列不等关系中一定正确的是A ．ac 2＜bc 2B ．a c ＜b cC ．c ＋a ＜c ＋bD ．c －a ＜c －b4．下列命题是真命题的是A ．如果|a |＝|b |，那么a ＝bB ．如果AC ＝BC ，那么点C 是线段AB 的中点 C ．如果a ＞b ，那么a 2＞b 2D ．如果直线l 1∥l 2，l 1∥l 3，那么l 2∥l 35．一块长方形菜园，长是宽的3倍，如果长减少3米，宽增加4米，这个长方形就变成一个正方形．设这个长方形菜园的长为x 米，宽为y 米，根据题意，得A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ，x －3＝y ＋4．B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ，x ＋3＝y －4．C ．⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝y ，x －3＝y ＋4．D ．⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝y ，x ＋3＝y －4．6．若某n 边形的每个内角都比其外角大120°，则n 等于A ．15B ．12C ．10D ．67．甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需315元钱，购甲1件、乙2件、丙3件，共需285元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需多少钱A ．128元B ．130元C ．150元D ．160元则四边形ADOE 的面积为A ．13B ．14C ．15D ．16二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡．．．相应位置．．．．上） 9．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是方程2x －y ＋3k ＝0的解，那么k 的值是 ▲ ．10．命题“互为倒数的两个数的积为1”的逆命题是 ▲ ．11．一个等腰三角形的两边长分别是2cm 、5cm ，则它的周长为 ▲ cm ． 12．如图，∠3＝40°，直线b 平移后得到直线a ，则∠1＋∠2＝ ▲ °．13．如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且AE ⊥EF ．若∠BAE ＝58°，∠CEF ＝18°，则∠C ＝ ▲ °.14．如图，五边形ABCDE 的两个内角平分线相交于点O ，∠1，∠2，∠3是五边形的3个外角，若∠1＋∠2＋∠3＝220°，则∠AOB ＝ ▲ ． 15．已知s ＋t ＝3，则s 2－t 2＋6t ＝ ▲ ．16．[x ]表示不超过x 的最大整数.如，[π]＝3，[2]＝2，[－2.1]＝－3.则下列结论： ①[－x ]＝－[x ]；②若[x ]＝n ，则x 的取值范围是n ≤x ＜n ＋1； ③当－1＜x ＜1时，[1＋x ]＋[1－x ]的值为1或2； ④x ＝－2.75是方程4x －2[x ]＋5＝0的唯一一个解. 其中正确的结论有 ▲ （写出所有正确结论的序号）．三、解答题（本大题共68分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）计算：（1）－22×2－1－⎝⎛⎭⎫－852 ÷⎝⎛⎭⎫－45－(3－π)0 ； （2）⎝⎛⎭⎫34ab 2－3ab ·⎝⎛⎭⎫13ab（第8题）（第14题） 1 2 3A B C DE O （第12题） 12 3a bE（第13题） B C DA F18．（6分）分解因式：（1）4x 2y －4y ； （2）(x 2＋4)2－16x 2．19．（5分）先化简，再求值：(x ＋3)(x －1)＋(x ＋2)(x －2)－2(x －1)2，其中x ＝12．20．（5分）解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －13y ＝53 ．21．（6分）（1）解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧1－3(x －1)＜8－x ，x －32＋3≥x ＋1，并写出该不等式组的整数解．（2）若关于x 的一元一次不等式x ≥a 只有2个负整数解，则a 的取值范围是 ▲ ．22．（5分）把下面的证明过程补充完整．已知：如图，△ABC 中，FG ⊥AB 于点G ，CD ⊥AB 于点D ，且∠1＝∠2．求证：∠CED ＋∠ACB ＝180°．证明：∵FG ⊥AB 于点G ，CD ⊥AB 于点D ，（已知） ∴∠FGB ＝90°，∠CDB ＝90°．（垂直定义） ∴∠FGB ＝∠CDB ．（等量代换） ∴FG ∥CD ．（ ①▲ ） ∴∠2＝∠BCD ．（ ②▲ ） 又∵∠1＝∠2，（已知） ∴∠1＝∠BCD ．（ ③▲ ） ∴ ④▲ ．∴∠CED ＋∠ACB ＝180°．（ ⑤▲ ）C（第22题）23．（6分）若关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2k ＋1，x －y ＝4k －5的解满足x ＜0，y ＞0，求k 的取值范围．24．（6分）如图， 点C 、D 分别在射线OA 、OB 上，不与点O 重合，CE ∥DF （1）如图1，探究∠ACE 、∠AOB 、∠ODF 的数量关系，并证明你的结论；（2）如图2，作CP ⊥OA ，与∠ODF 的平分线交于点P ，若∠ACE ＝α，∠AOB ＝β，请用 含α，β的式子表示∠P ＝ ▲ ．（直接写出结果）25．（7分）某校两次购买足球和篮球的支出情况如下表：（1．．．．．．．） （2）学校准备给帮扶的贫困学校送足球、篮球共计60个，恰逢市场对两种球的价格进 行了调整，足球售价提高了10%，篮球售价降低了10%，如果要求一次性购得这批 球的总费用不超过4000元，那么最多可以购买多少个足球？ （第24题）BAOCDE FCDPBA OE F图1图226．（7分）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的边长为a 的小正方形，长为b 、宽为a 的长方形以及 边长为b 的大正方形．利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，例如图2可以解释 整式乘法：(2a ＋b )(a ＋b )＝2a 2＋3ab ＋b 2，也可以解释因式分解：2a 2＋3ab ＋b 2＝(2a ＋b )(a ＋b )．（1）若用4个B 类材料围成图3的形状，设外围大正方形的边长为x ，内部小正方形的边长 为y ，观察图案，指出下列关系式中正确的是 ▲ （写出所有正确结论的序号）． ①a ＋b ＝x ；②(x －y )2＝2a 2；③ab ＝x 2－y 24；④b 2＝a 2＋xy ；⑤a 2＋b 2＝x 2＋y 22．（2）若取其中的若干个(三种图形都要取到)拼成一个长方形，使其面积为2a 2＋5ab ＋2b 2，在 虚框中画出图形，并根据所画图形，将多项式2a 2＋5ab ＋2b 2分解因式为 ▲ ．（3）若取其中的若干个(三种图形都要取到)拼成一个长方形，使其面积为4a 2＋mab ＋5b 2 则m 的值为 ▲ ．（直接写出结果）A 类B 类C 类 图1ab bb 图2 a aba b a b 图327．（9分）问题1：如图，我们将图1所示的凹四边形称为“镖形”．在“镖形”图中，∠AOC 与∠A 、∠C 、∠P 的数量关系为 ①▲ ．问题2：如图2，已知AP 平分∠BAD ，CP 平分∠BCD ，∠B =28º ，∠D =48º，求∠P 的大小；小明认为可以利用“镖形”图的结论解决上述问题：由问题1结论得：∠AOC ＝∠P AO ＋∠PCO ＋∠APC ， 所以 2∠AOC ＝2∠P AO ＋2∠PCO ＋2∠APC ， 即 2∠AOC ＝∠BAO ＋∠DCO ＋2∠APC ； 根据“ ②▲ ”得：∠AOC ＝∠BAO ＋∠B ，∠AOC ＝∠DCO ＋∠D ． 所以 2∠AOC ＝∠BAO ＋∠DCO ＋∠B ＋∠D ． 所以 2∠APC ＝ ③▲ ．请帮助小明完善上述说理过程，并尝试解决下列问题（问题1、问题2中得到的结论可以直接使用，不需说明理由）解决问题1：如图3，已知直线AP 平分∠BAD 的外角∠F AD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，猜想∠P 与∠B 、∠D 的关系，并说明理由；解决问题2：如图4，已知直线AP 平分∠BAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，则∠P 与∠B 、∠D 的关系为 ④▲ ．（直接写出结果） ABCDEPO图4OCAP图1O PFEDC BA图3ABCDPO图22016~2017学年七年级数学第二学期期末调研试卷参考答案及评分标准说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）9．－1 10．乘积为1的两个数互为倒数 11．12 12．220 13．130 14．70° 15．9 16．②③ 三、解答题（本大题共11小题，共68分） 17．（本题6分）解：（1）原式＝－4×12－6425×（－54）－1……………………………………1分＝－2＋165－1…………………………………………………2分＝15……………………………………………………………3分（2）原式＝34ab 2·13ab －3ab ·13ab ……………………………………… 4分＝14ab 3－a 2b 2 ………………………………………………6分18．（本题6分）解：（1）原式＝4y (x 2－1)……………………………………1分＝4y (x ＋1)(x －1)……………………………………………3分 （2）原式＝(x 2－4x ＋4)(x 2＋4x ＋4) ………………………………… 5分 ＝(x －2)2(x ＋2)2………………………………………………6分 19．（本题5分）解：(x ＋3)(x －1)＋(x ＋2)(x －2)－2(x －1)2＝x 2＋2x －3＋x 2－4－2(x 2－2x ＋1)……2分＝x 2＋2x －3＋x 2－4－2x 2＋4x －2 ……………………………………………3分 ＝6x －9………………………………………………………………………… 4分 当x ＝12时，原式＝6×12－9＝－6. ………………………………………… 5分20．（本题5分）解法一：由①，得x ＝2－y ．③ ………………………………………………………1分将③代入②，得2(2－y )－13y ＝4 …………………………………………………2分解这个方程，得y ＝1．………………………………………………………………3分 将y ＝1代入③，得x ＝1． ………………………………………………………4分所以原方程组的解是⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1．…………………………………………………………5分解法二：①×2，得2x ＋2y ＝4．③ ……………………………………………………… 1分 77解这个方程，得y ＝1． ………………………………………………………3分将y ＝1代入①，得x ＝1． ………………………………………………………4分所以原方程组的解是⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1． (5)21．（本题6分）（1）解：解不等式①，得x ＞－2．……………………………………………………1分 解不等式②，得x ≤1． ……………………………………………………2分 在数轴上表示不等式①、②的解集．(数轴略)∴原不等式组解集是－2＜x ≤1．……………………………………………3分 ∴整数解为－1,0,1……………………………………………4分（2）－3＜a ≤－2．………………………………………………………………………6分 22．（本题5分）①：同位角相等，两直线平行；………………………………………………………1分 ②：两直线平行，同位角相等；………………………………………………………2分 ③：等量代换；…………………………………………………………………………3分 ④：DE ∥BC ……………………………………………………………………………4分 ⑤：两直线平行，同旁内角互补．……………………………………………………5分 23．（本题6分）解：①＋②得，2x ＝6k －4∴ x ＝3k －2………………………………1分 ①－②得，2y ＝－2k ＋6∴ y ＝－k ＋3………………………………2分 ∵x ＜0，y ＞0∴⎩⎪⎨⎪⎧3k －2＜0，－k ＋3＞0………………………………3分解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＜23，………………………………4分k ＜3………………………………5分∴k ＜23………………………………6分24．（本题6分）解：(1)∠ODF ＋∠AOB ＋∠ACE=360°．……………………1分 证明：解法一：过点O 作直线OG ∥FD ； ∵OG ∥FD∴∠ODF ＋∠DOG ＝180°；……………………2分 又∵OG ∥FD ，CE ∥FD ∴OG ∥CE ∴∠GOC ＝∠OCE 又∵∠ACE ＋∠OCE ＝180°∴∠ACE ＋∠GOC ＝180°；……………………3分 ∴∠ODF ＋∠DOG ＋∠ACE ＋∠GOC=360°BAO CDEFG解法二：延长BO 交CE 于点G ； ∵CE ∥FD∴∠ODF ＝∠DGE ；……………………2分 又∵∠ACE 、∠DGE 、∠AOB 是△COG 的外角 ∴∠ACE ＋∠DGE ＋∠AOB ＝360° ………3分 ∴∠ACE ＋∠ODF ＋∠AOB=360°．………4分（2）∠P ＝90°＋12α－12β．…………………………………………………………6分25．（本题7分）解：（1）设购买一个足球和一个篮球的花费各需要x 和y 元，根据题意，得： ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝310，5x ＋2y ＝500． …………………………………… 2分解得：⎩⎨⎧ x ＝80，y ＝50．答：购买一个足球和一个篮球的花费各需要80和50元．……………………4分 （2）设购买a 个足球，根据题意，得：（1＋10％）×80a ＋（1－10％）×50（60－a ）≤4000……………………5分解得：a ≤130043 ………………………………………………………………6分又∵a 为正整数， ∴a 的最大值为30.答：最多可以购买30个足球.…………………………………………………………7分 26．（本题7分）（1）①，③，④，⑤…………………………………………………………2分（2）2a 2＋5ab ＋2b 2＝（2a ＋b ）（a ＋2b ）.…………………………………………… 3分……………………………………………………… 5分（3）9或12或21. ……………………………………………………………………… 7分 27．（本题9分）问题1：①：∠AOC ＝∠A ＋∠C ＋∠P . ………………………………………1分 问题2：②：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和…………………2分 ③：∠B ＋∠D ………………………………………………………3分 解决问题1：如图，分别作∠BAP 、∠BCD 的角平分线AP’、CP’交于点P’. ∵AP 平分∠F AD ，A P’平分∠BAD ， ∴∠DAP ＝12∠F AD ，∠P’AD ＝12∠BAD .∴∠P’AD ＝∠DAP ＋∠P’AD ＝12(∠F AD ＋∠BAD)＝90° …………………… 4分GBAOCDE Fb b b aa a∴∠P ＋∠P’＝360°－∠PCP’－∠P’AD ＝180° …………………… 5分由问题（2）结论可知：2∠AP’C ＝∠B ＋∠D …………………… 6分 ∴∠AP’C ＝∠B+∠D2，∴∠APC ＝180°－ ∠B +∠D 2 …………………… 7分解决问题2：∠APC ＝90°＋∠B+∠D2………………………9分。