勾股定理在中考中的几种新题型

（苏科版）八年级上册数学《第3章 勾股定理》3.1 勾股定理●勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2.◆1、勾股定理的应用条件：勾股定理只适用于直角三角形；◆2、勾股定理揭示的是直角三角形三边的关系，已知直角三角形中的任意两边可以求出第三边.◆3、勾股定理的几种变形式：勾股定理将“数”与“形”联系起来，体现了直角三角形三边之间的等量关系.如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，则a 2 + b 2 = c 2、 a 2 = c 2 - b 2、b 2 = c 2 - a 2；22b a c +=、22b c a -=、22a c b -=.【拓展】◎1、锐角三角形的三边关系是：在锐角三角形中，若三边长分别为a ，b ，c ，其中c 为最大边，则a 2+b 2＞c 2.◎2、钝角三角形的三边关系是：在钝角三角形中，若三边长分别为a ，b ，c ，其中c 为最大边，则a 2+b 2＜c 2.●通过拼图证明勾股定理的思路：（1）图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不会改变.（2）根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式.（3）利用等式性质变化验证结论成立，即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导命题结论.●下面列举几种证明方法：◆1、“赵爽弦图”证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即c2=12ab×4+（b﹣a）2，化简得：a2+b2＝c2．◆2、我国数学家邹元治的证明方法证明：在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即（a+b）2＝c2+12ab×4，化简得：a2+b2＝c2．◆3、美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”证明：在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即12（a+b）（a+b）=12ab×2+12c2，化简得：a2+b2＝c2．【例题1】在直角三角形中，两条直角边的长分别为9和12，则斜边的长为 ．【分析】根据勾股定理直接求出斜边的长即可．【解答】解：∵在直角三角形中，两条直角边的长分别为9和12，=15．故答案为：15．【点评】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．【变式1-1】已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b．（1）如果a＝7，b＝24，求c；（2）如果a＝12，c＝13，求b．【分析】（1）利用勾股定理计算c=（2）利用勾股定理计算b=【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理得：c==＝25；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：b==＝5．【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．即：如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2＝c 2．注意勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．【变式1-2】（2022秋•东方期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，AD 平分∠BAC ，则AD 等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【分析】根据等腰三角形的三线合一得到AD ⊥BC ，BD ＝DC =12BC ＝6，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，∴AD ⊥BC ，BD ＝DC =12BC ＝6，在Rt △ABD 中，AD 8，故选：C ．【点评】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2＝c 2．【变式1-3】（2022秋•新泰市期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，则点C 到直线AB 的距离是（ ）A ．185B ．3C ．125D ．2【分析】作CD⊥AB于点D，根据勾股定理可以求得AB的长，然后根据面积法，可以求得CD的长．【解答】解：作CD⊥AB于点D，如右图所示，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB=5，∵AC⋅BC2=AB⋅CD2，∴3×42=5CD2，解得CD＝2.4，故选：C．【点评】本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用勾股定理和面积法解答．【变式1-4】（2021春•连州市期中）如图所示，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE＝∠DEC＝60°，AB＝3，CE＝4，则AD等于（ ）A．10B．12C．24D．48【分析】本题主要考查勾股定理运用，解答时要灵活运用直角三角形的性质．【解答】解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∠BAE＝∠DEC＝60°∴∠AEB＝∠CDE＝30°∵30°所对的直角边是斜边的一半∴AE＝6，DE＝8又∵∠AED ＝90°根据勾股定理∴AD ＝10．故选：A ．【点评】解决此类题目的关键是熟练掌握运用直角三角形两个锐角互余，30°所对的直角边是斜边的一半，勾股定理的性质．【变式1-5】如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，分别以点A 和点B 为圆心，以相同的长（大于12AB ）为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交AB 于点D ，连接CD ，则CD 的长为 ．【分析】根据勾股定理可以求得AB 的长，然后根据线段垂直平分线的判定方法可以得到MN 为线段AB 的垂直平分线，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到CD 的长．【解答】解：∵∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，∴AB ==5，连接NA ，NB ，MA ，MB ，如图所示，∵分别以点A 和点B 为圆心，以相同的长（大于12AB ）为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，∴NA ＝NB ，MA ＝MB ，∴直线MN 垂直平分AB ，∵直线MN 交AB 于点D ，∴点D 为AB 的中点，∴CD 为Rt △ACB 斜边上的中线，∴CD =12AB =52，故答案为：52．【点评】本题考查勾股定理、线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式1-6】（2022春•河北区期末）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CD＝12，BD＝9．求AB与BC的长．【分析】根据勾股定理求出BC即可；根据勾股定理求出AD，求出AB即可．【解答】解：∵CD⊥AB，AC＝20，CD＝12，BD＝9，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，在Rt△CDB中，由勾股定理得：BC=15，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD=16，∴AB＝AD+DB＝16+9＝25．答：AB的长为25，BC的长为15．【点评】本题考查了勾股定理的应用，关键是对定理的掌握和运用．【变式1-7】如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，CE是AB边上的中线，CD是AB边上的高，且AE＝5．（1）求CD的长；（2）求DE的长．【分析】（1）先证明三角形ABC是直角三角形，再根据等面积法即可求解；（2）根据勾股定理求出BD的长即可求解．【解答】解：（1）∵CE是AB边上的中线，∴AE＝BE＝5，∴AB＝10，又∵AC＝8，BC＝6，∴AC2+BC2＝82+62＝100＝AB2，∴△ABC是直角三角形，又∵CD是△ABC的高，∴S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，∴CD=AC⋅BCAB=4.8；（2）在Rt△BDC中，由勾股定理得，BD=3.6，∴DE＝BE﹣BD＝5﹣3.6＝1.4．【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【例题2】勾股定理的验证方法很多，用面积（拼图）证明是最常见的一种方法．如图所示，一个直立的长方体在桌面上慢慢地倒下，启发人们想到勾股定理的证明方法，设AB＝c，BC＝a，AC＝b，证明中用到的面积相等关系是（ ）A．S△ABC+S△ABD＝S△AFG+S△AEFB．S梯形BCEF＝S△ABC+S△ABF+S△AEFC．S△BDH＝S△FGHD．S梯形BCEF＝S△ABC+S△ABF+S△AEF+S△FGH【分析】通过用两种方法计算梯形BCEF的面积即可证明勾股定理．【解答】解：∵矩形ACBD旋转得出矩形AGFE，∴△ABC≌△FAE，∴AB＝AF，∠BAC＝∠AFE，∵∠AFE+∠EAF＝90°，∴∠BAC+∠EAF＝90°，∴△ABF是等腰直角三角形，由题意知：S梯形BCEF =12（a+b）•（a+b）=12(a+b)2=12a2+ab+12b2，S△ABC+S△ABF+S△AEF=12ab+12ab+12c2=ab+12c2，∴12a2+ab+12b2=ab+12c2，∴a2+b2＝c2，故选：B．【点评】本题主要考查了勾股定理的证明，等腰直角三角形的判定，表示出图形面积的不同表达形式，建立等量关系是解题的关键．【变式2-1】（2022春•三门峡期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明．古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】由正方形面积公式、三角形面积公式以及梯形面积公式分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A 、大正方形的面积为：c 2，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：12ab ×4+（b ﹣a ）2＝a 2+b 2，∴a 2+b 2＝c 2，故A 选项能证明勾股定理；B 、大正方形的面积为：（a +b ）2，也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a 2+b 2+2ab ，∴（a +b ）2＝a 2+b 2+2ab ，∴B 选项不能证明勾股定理．C 、大正方形的面积为：（a +b ）2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：12ab ×4+c 2＝2ab +c 2，∴（a +b ）2＝2ab +c 2，∴a 2+b 2＝c 2，故C 选项能证明勾股定理；D、梯形的面积为：12（a+b）（a+b）=12（a2+b2）+ab，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：12ab×2+12c2＝ab+12c2，∴12（a2+b2）+ab＝ab+12c2，∴a2+b2＝c2，故D选项能证明勾股定理；故选：B．【点评】本题考查了勾股定理的证明、正方形面积公式、三角形面积公式以及梯形面积公式，熟练掌握内弦图、外弦图是解题的关键．【变式2-2】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ）A．9B．6C．4D．3【分析】分析题意，首先根据已知条件易得，中间小正方形的边长为：a﹣b；接下来根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：12ab=12×8＝4，从图形中可得，大正方形的面积是4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，∴4×12ab+（a﹣b）2＝25，∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，∴a﹣b＝3．故选：D．【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式．【变式2-3】（2022春•高安市期中）勾股定理被誉为“几何明珠”，如图是我国古代著名的“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形拼成，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a、b表示直角三角形的两直角边（a＞b），则下列说法：①a2+b2＝25，②a﹣b＝1，③ab＝12，④a+b＝7．正确的是（ ）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④【分析】根据勾股定理和大正方形面积为25，可以判断①；根据小正方形面积为1，可以判断②；根据大正方形面积为25，小正方形面积为1，可以得到四个直角三角形的面积，从而可以得到ab的值，即可判断③；根据完全平方公式可以判断④．【解答】解：由图可得，a2+b2＝c2＝25，故①正确；∵小正方形面积为1，∴小正方形的边长为1，∴a﹣b＝1，故②正确；∵大正方形面积为25，小正方形面积为1，∴12ab＝（25﹣1）÷4，解得ab＝12，故③正确；∵a2+b2＝25，ab＝12，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝49，∴a+b＝7，故④正确；故选：D．【点评】本题考查勾股定理的证明、正方形的性质、直角三角形的面积，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．【变式2-4】如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC ＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）A ．36B ．76C ．66D ．12【分析】由题意∠ACB 为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC 延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x ，则x 2＝122+52＝169，所以x ＝13，所以这个风车的外围周长是：（13+6）×4＝76．故选：B ．【点评】此题考查了勾股定理的证明，本题是勾股定理在实际情况中的应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．【变式2-5】用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题：（1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理c 2＝a 2+b 2．（2）如图2，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，AC ＝4，BC ＝3，求CD 的长度；（3）如图1，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求（a +b ）2的值（a ＜b ）．【分析】（1）根据大正方形的面积的两种表示方法求解即可；（2）根据直角三角形的面积公式求解即可；（3）根据小正方形的为1得出2ab ＝12，再结合c 2＝13即可求解．【解答】解：（1）如图1，大正方形的面积＝c 2＝4×12ab +(b ―a )2，整理得，c2＝a2+b2；（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB=5，∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，∴CD=AC⋅BCAB=125；（3）∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，∴c2＝13，（b﹣a）2＝1，∴a2+b2﹣2ab＝1，∴2ab＝12，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝13+12＝25，即（a+b）2的值为25．【点评】本题考查了勾股定理的证明，正确表示出大正方形的面积的两种表示方法是解题的关键．【变式2-6】（2022春•巢湖市校级期中）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．【分析】连接BF，由图1可得正方形ACDE的面积为b2，由图2可得四边形ABDF的面积为三角形ABF 与三角形BDF面积之和，再利用正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等即可证明．【解答】证明：如图，连接BF，∵AC ＝b ，∴正方形ACDE 的面积为b 2，∵CD ＝DE ＝AC ＝b ，BC ＝a ，EF ＝BC ＝a ，∴BD ＝CD ﹣BC ＝b ﹣a ，DF ＝DE +EF ＝a +b ，∵∠CAE ＝90°，∴∠BAC +∠BAE ＝90°，∵∠BAC ＝∠EAF ，∴∠EAF +∠BAE ＝90°，∴△BAE 为等腰直角三角形，∴四边形ABDF 的面积为：12c 2+12（b ﹣a ）（a +b ）=12c 2+12（b 2﹣a 2），∵正方形ACDE 的面积与四边形ABDF 的面积相等，∴b 2=12c 2+12（b 2﹣a 2），∴b 2=12c 2+12b 2―12a 2，∴12a 2+12b 2=12c 2，∴a 2+b 2＝c 2．【点评】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练掌握勾股定理的证明方法，一般利用拼图的方法，再利用面积相等证明．【例题3】如图，当正方形B的面积为64，正方形C的面积为100时，正方形A的面积为（ ）A．36B．25C．16D．6【分析】直接根据勾股定理进行解答即可．【解答】解：由图可知，△DEF是直角三角形，∴DE2+DF2＝EF2，∵正方形B的面积＝DF2，正方形C的面积＝EF2，正方形A的面积＝DF2，正方形B的面积为64，正方形C的面积为100，∴正方形A的面积＝100﹣64＝36．故选：A．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．【变式3-1】（2022秋•渠县期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为（ ）A．8B．9C．10D．12【分析】根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可．【解答】解：由勾股定理，得正方形E的面积＝正方形C的面积+正方形D的面积，正方形E的面积＝正方形A的面积+正方形B的面积，则正方形B的面积＝18﹣6﹣4＝8，故选：A．【点评】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．【变式3-2】（2022秋•南京期末）如图，在等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，且AB＝AB、AC、BC为直径画半圆，其中所得两个月形图案AFCD和BGCE（图中阴影部分）的面积之和等于（ ）A．8B．4C．2D．【分析】由等腰三角形的性质及勾股定理可求解AC＝CB＝2，进而可求得S△ACB＝2，再利用阴影部分的面积＝以AC为直径的圆的面积+△ACB的面积﹣以AB为直径的半圆的面积计算可求解．【解答】解：在等腰Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AB ＝∴AC 2+BC 2＝AB 2＝8，∴AC ＝CB ＝2，∴S △ACB =12AC •BC ＝2，∴S 阴影＝π（AC 2）2+S △ACB ―12π（AB 2）2＝π+2﹣π＝2，故选：C ．【点评】本题主要考查等腰直角三角形，勾股定理，理清阴影部分的面积＝以AC 为直径的圆的面积+△ACB 的面积﹣以AB 为直径的半圆的面积是解题的关键．【变式3-3】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中S A ＝4，S B ＝2，S c ＝2，S D ＝1，则S ＝（ ）A ．25B ．20C ．9D ．5【分析】根据正方形的性质和勾股定理的几何意义解答即可．【解答】解：如图，根据勾股定理的几何意义，可知：S＝S F+S G＝S A+S B+S C+S D＝4+2+2+1＝9；即S＝9；故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理的几何意义，关键是掌握两直角边的平方和等于斜边的平方．【变式3-4】如图，Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为S1、S2、S2．如果S2+S1﹣S3＝18，则阴影部分的面积为　．【分析】由勾股定理得出S2﹣S3＝S1，再根据S2+S1﹣S3＝18即可得出S1的值，即为图中阴影部分的面积．【解答】解：由勾股定理得，BC2﹣AC2＝AB2，即S2﹣S3＝S1，∵S2+S1﹣S3＝18，∴S 1＝9，由图形可知，阴影部分的面积=12S 1，∴阴影部分的面积=92，故答案为：92．【点评】本题考查了勾股定理，由勾股定理得出S 2﹣S 3＝S 1，是解题的关键．【变式3-5】（2022秋•绿园区校级期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为16cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为 cm 2．【分析】如图根据勾股定理有S 正方形2+S 正方形3＝S 正方形1，S 正方形C +S 正方形D ＝S 正方形3，S 正方形A +S 正方形B ＝S 正方形2，等量代换即可求四个小正方形的面积之和．【解答】解：如右图所示，根据勾股定理可知，S 正方形2+S 正方形3＝S 正方形1，S 正方形C +S 正方形D ＝S 正方形3，S 正方形A +S 正方形B ＝S 正方形2，∴S 正方形C +S 正方形D +S 正方形A +S 正方形B ＝S 正方形2+S 正方形3＝S 正方形1＝162＝256（cm 2）．故答案为：256．【点评】本题考查了勾股定理的几何意义，关键是掌握两直角边的平方和等于斜边的平方．【变式3-6】如图，直角三角形ACB，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E．（1）求证：∠DAC＝∠BCE；（2）如果AC＝BC．①求证：CD＝BE；②若设△ADC的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理．【分析】（1）根据直角三角形的定义和垂直的定义，可以证明结论成立；（2）①根据AAS可以证明结论成立；②根据S梯形ADEB＝S△ADC+S△ACB+S△CEB，代入字母计算即可证明结论成立．【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，AD⊥DE于点D，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∠ADC+∠BCE＝90°，∴∠DAC＝∠BCE；（2）①∵AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，由（1）知：∠DAC＝∠BCE，在△ADC和△CEB中，∠ADC=∠CEB∠DAC=∠ECB，AC=CB∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CD＝BE；②由图可知：S 梯形ADEB ＝S △ADC +S △ACB +S △CEB ，∴(a b )(a b )2=ab 2+c 22+ab 2，化简，得：a 2+b 2＝c 2．【点评】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【例题4】（2022秋•门头沟区期末）已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8．求BC 边上的高的长．【分析】过点A 作AD ⊥BC 于点D ，根据等腰三角形的性质求出BD =12BC ＝4，根据勾股定理求出AD 的长即可．【解答】解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∵AB ＝AC ＝5，BC ＝8，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD =12BC ＝4，∴AD==3，即BC 边上的高的长为3．【点评】此题考查了等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、勾股定理是解题的关键．【变式4-1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于D，E两点，若BE＝5，CE＝3，则AC的长为 ．【分析】先根据线段垂直平分线的性质可得BE＝AE＝5，然后在Rt△ACE中，利用勾股定理进行计算，即可解答．【解答】解：连接AE，∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE＝5，∵∠C＝90°，CE＝3，∴AC==4，故答案为：4．【点评】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【变式4-2】（2021春•齐齐哈尔月考）已知：△ABC中，AC＝2，∠C＝30°，∠B＝45°，求AB和BC的长．【分析】作AD⊥BC，得∠ADC＝∠ADB＝90°，根据勾股定理和直角三角形30°所对的直角边是斜边的一半计算即可．【解答】解：作AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∵∠C＝30°，∴AD=12AC＝1，在Rt△ACD，根据勾股定理得，CD=∵∠B＝45°，∴∠DAB＝∠B＝45°，∴BD＝AD＝1，则BC＝1∴AB=【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握勾股定理和直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半，这两个定理的应用是解题关键．【变式4-3】（2022春•阳新县期末）△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝12，则BC的长为（ ）A．14B．4C．14或4D．以上都不对【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC＝BD+CD，在钝角三角形中，BC＝CD﹣BD．【解答】解：（1）如图，锐角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12，在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，则BD＝5，在Rt△ABD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，则CD＝9，故BC＝BD+DC＝9+5＝14；（2）钝角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12，在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，则BD＝5，在Rt△ACD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，则CD＝9，故BC的长为DC﹣BD＝9﹣5＝4．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理，把三角形边的问题转化到直角三角形中用勾股定理解答．【变式4-4】如图，Rt△ABC中，AC⊥CB，AC＝15，AB＝25，点D为斜边上动点．连接CD，在点D的运动过程中，当△ACD 为等腰三角形时，AD 的长为 ．【分析】分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质，分别求解即可解决问题．【解答】解：①当AD ＝AC 时，△ACD 为等腰三角形，∵AC ＝15，∴AD ＝AC ＝15．②当CD ＝AD 时，△ACD 为等腰三角形，∵CD ＝AD ，∴∠DCA ＝∠CAD ，∵∠CAB +∠B ＝90°，∠DCA +∠BCD ＝90°，∴∠B ＝∠BCD ，∴BD ＝CD ，∴CD ＝BD ＝DA ＝12.5；③当CD ＝AC 时，△ACD 为等腰三角形，如图，作CH ⊥BA 于点H ，则12×AB ×CH =12×AC ×BC ，∵AC ＝15，BC ＝20，AB ＝25，∴CH ＝12，在Rt △ACH 中，AH =9，∵CD ＝AC ，CH ⊥BA ，∴DH ＝HA ＝9，∴AD ＝18，综上所述：AD 的值为15或12.5或18．故答案为：15或12.5或18．【点评】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．【例题5】如图，阴影部分表示以Rt △ABC 的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S 1和S 2．若S 1+S 2＝7，AB ＝6，则△ABC 的周长是（ ）A ．12.5B ．13C ．14D ．15【分析】根据勾股定理得到AC 2+BC 2＝AB 2，根据扇形面积公式、完全平方公式计算即可．【解答】解：由勾股定理得，AC 2+BC 2＝AB 2，∵S 1+S 2＝7，∴12×π×（AC 2）2+12×π×（BC 2）2+12×AC ×BC ―12×π×（AB 2）2＝7，∴AC ×BC ＝14，∴（AC +BC ）2＝AC 2+BC 2+2AC •BC ＝62+2×14＝64，∴AC +BC ＝8（负值舍去），∴△ABC 的周长＝AB +AC +BC ＝8+6＝14，故选：C ．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2＝c 2．【变式5-1】如图，三角形ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于D，DE⊥AB于E，已知CD=3，BD=5，求三角形ABC的周长．【分析】根据角平分线的性质得到DE=CD=3，根据勾股定理求出BE的长，再根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD=3，AC=AE，∵DE⊥AB，DE=3，BD=5，根据勾股定理得，BE=4，∴AC2+82=（AE+4）2，解得AE=6，则AC=6，∴三角形ABC的周长=AC+AB+BC=24．【点评】本题考查的是角平分线的性质和勾股定理的应用，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．【变式5-2】如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于E，若AB＝10cm，AC＝6cm，则△BED周长为（ ）A．10cm B．12cm C．14cm D．16cm【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，再利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC＝AE，可求出BE，再利用勾股定理列式求出BC，最后根据三角形的周长列式计算即可得解．【解答】解：∵AD是∠CAB的平分线，∠C＝90°，DE⊥AB于E，∴CD＝DE，在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=ADDC=DE，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE＝6，∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4，由勾股定理得，BC==8，∴△BDE的周长＝BE+BD+CD＝BE+BD+CD＝BE+BC＝4+8＝12（cm）．故选：B．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟记性质并求出三角形全等是解题的关键．【变式5-3】在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，连接AC，点E为AC的中点，连接BE，DE．若DE=132，BC＝12，则△ABE的周长为 ．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一边得到AC＝2BE＝2DE＝2AE＝13，再利用勾股定理求出AB＝5即可得到答案．【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E为AC的中点，∴AC＝2BE＝2DE＝2AE＝13，∵BC＝12，∴AB=5，∴△ABE的周长为AE+BE+AB=5+2×132=18，故答案为：18．【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．【例题6】（2022春•范县期中）如图，正方形ABCD中，AE⊥BE，且AE＝3，AB＝5，则阴影部分的面积是（ ）A．13B．15C．18D．19【分析】利用正方形的面积减去三角形的面积即可求出阴影部分的面积．【解答】解：∵AE⊥BE，且AE＝3，AB＝5，∴BE=4，∴S△ABE=12AE⋅BE=12×3×4=6，∵四边形ABCD是正方形，AB＝5，∴S正＝5×5＝25，∴S阴影＝S正﹣S△ABE＝25﹣6＝19．故选：D．【点评】本题主要考查正方形的性质与勾股定理，解题的关键是用割补法求阴影部分的面积．【变式6-1】如图，在△ABC中，AC＝BC＝17，AB＝16，求△ABC的面积．【分析】过C作CD⊥AB于D，根据等腰三角形的性质和勾股定理，以及三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：过C作CD⊥AB于D，∵AC＝BC＝17，AB＝16，∴AD＝BD=12AB＝8，∵AD2+CD2＝AC2，∴CD=15，∴S△ABC =12AB•CD=12×16×15=120．【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【变式6-2】（2022春•桐城市期末）如图2，在△ABC 中，AC ＝8，AB ＝4，∠BAC ＝120°，求△ABC 的面积．【分析】过点C 作CD ⊥AB ，交BA 的延长线于点D ，由勾股定理求出CD 的长，利用三角形面积公式可求出答案．【解答】解：过点C 作CD ⊥AB ，交BA 的延长线于点D ，∵∠BAC ＝120°，∴∠DAC ＝60°，∴∠ACD ＝30°，∵AC ＝8，∴AD =12AC ＝4，∴CD =∴S △ABC =12AB •CD =12×=【点评】此题主要考查了勾股定理，三角形面积公式，求得出AB ，CD 的长是解题的关键．【变式6-3】如图在四边形ABCD 中，∠ABC ＝120°，AB ⊥AD ，BC ⊥CD ，AB ＝4，CD ＝5，求该四边形的面积．【分析】延长DA 和CB 交于O ，求出∠O ＝30°，根据含30度角的直角三角形性质求出OB 和OD ，根据勾股定理求出OA 和OC ，根据三角形面积公式求出即可．【解答】解：延长DA 和CB 交于O ，∵AB ⊥AD ，BC ⊥CD ，∴∠DAB ＝∠C ＝∠OAB ＝90°，∵∠D ＝60°，∴∠O ＝30°，∵AB ＝4，DC ＝5，∴OB ＝2AB ＝8，OD ＝2DC ＝10，由勾股定理得：OA ==OC =∴四边形ABCD 的面积是:S △OCD ﹣S △OAB =12×OC ×CD ―12×OA ×AB =12×5―12×【点评】本题考查了含30度角的直角三角形性质，勾股定理，三角形的面积的应用，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．【变式6-4】如图，已知在四边形ABCD 中，∠BCD ＝90°，BD 平分∠ABC ，AB ＝4，BD ＝10，BC ＝8，求四边形ABCD 的面积．【分析】过点D 作DE ⊥BA 的延长线于点E ，利用勾股定理和角平分线的性质可得出DE ＝DC ＝6，再利用三角形的面积公式结合S 四边形ABCD ＝S △ABD +S △BCD 可求出四边形ABCD 的面积．【解答】解：过点D 作DE ⊥BA 的延长线于点E ，如图所示．∵∠BCD＝90°，BD＝10，BC＝8，∴BD=6，∵BD平分∠ABC，∴DE＝DC＝6，∴S四边形ABCD ＝S△ABD+S△BCD，=12AB•DE+12BC•CD，=12×4×6+12×8×6，＝36．【点评】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，利用角平分线的性质，找出DE＝8是解题的关键．【例题7】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2+CD2＝2AB2．（1）求证：AB＝BC；（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE+CD．【分析】（1）根据勾股定理AB2+BC2＝AC2，得出AB2+BC2＝2AB2，进而得出AB＝BC；（2）首先证明CDEF是矩形，再根据△BAE≌△CBF，得出AE＝BF，进而证明结论．【解答】证明：（1）连接AC．∵∠ABC＝90°，∴AB2+BC2＝AC2．∵CD⊥AD，∴AD2+CD2＝AC2．∵AD2+CD2＝2AB2，∴AB2+BC2＝2AB2，∴BC2＝AB2，∵AB＞0，BC＞0，∴AB＝BC．（2）过C作CF⊥BE于F．∵BE⊥AD，CF⊥BE，CD⊥AD，∴∠FED＝∠CFE＝∠D＝90°，∴四边形CDEF是矩形．∴CD＝EF．∵∠ABE+∠BAE＝90°，∠ABE+∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，∴在△BAE与△CBF中∴∠AEB=∠BFC ∠BAE=∠CBF AB=BC，∴△BAE≌△CBF．（AAS）∴AE＝BF．∴BE＝BF+EF＝AE+CD．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及三角形的全等证明，根据已知得出四边形CDEF是矩形以及△BAE≌△CBF是解决问题的关键．【变式7-1】已知AD是△ABC的中线，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，试说明AC2＝AE2﹣BE2．【分析】根据直角三角形的性质和勾股定理可得AE2﹣BE2＝（AD2﹣DE2）﹣（BD2﹣DE2）＝AD2﹣BD2＝AD2﹣CD2＝AC2，从而证明结论．【解答】证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD．∵∠C＝90°，DE⊥AB于E，∴AE2﹣BE2＝（AD2﹣DE2）﹣（BD2﹣DE2）＝AD2﹣BD2＝AD2﹣CD2＝AC2．故AC2＝AE2﹣BE2．【点评】考查了直角三角形的性质和勾股定理，注意线段相互间的转化．【变式7-2】已知，如图，△ABC中，AB＞AC，AD为BC边上的高，M是AD边上任意一点．求证：AB2﹣AC2＝MB2﹣MC2．。

中考数学频考点突破--勾股定理的应用一、综合题1．已知Rt△ABC中，△C=90˚，AC=4，BC=8.动点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿射线．．CB方向运动，连接AP.设运动时间为t s.（1）求斜边AB的长.（2）当t为何值时，△PAB的面积为6？（3）若t＜4，请在所给的图中画出△PAB中AP边上的高BQ，问：当t为何值时，BQ长为4？并直接写出此时点Q到边BC的距离.2．如图，AB为△O的直径，弦CD△AB于E，点F在DC的延长线上，AF交△O于G．（1）求证：△FGC＝△ACD；（2）若AE=CD=8，试求△O的半径．3．数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这种思想叫“算两次”．“算两次”也称作富比尼原理，是一种重要的数学思想，由它可以推导出很多重要的公式．（1）如图1，是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形．①用“算两次”的方法计算图2中阴影部分的面积：第一次列式为▲ ，第二次列式为▲ ，因为两次所列算式表示的是同一个图形的面积，所以可以得出等式▲ ；②在①中，如果a+b=7，ab=10，请直接用①题中的等式，求阴影部分的面积；（2）如图3，两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形，用“算两次”的方法，探究a，b，c之间的数量关系．4．关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．5．如图，在等边△ABC的AC，BC上各取一点D，E，使AD=CE，AE，BD相交于点M，过点B作直线AE的垂线BH，垂足为H.（1）求证：△ACE△△BAD；（2）若BE=2EC=4.①求△ABC的面积；②求MH的长.6．如图1，有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形．（1）拼成的正方形的面积是，边长是．（2）把10个小正方形组成的图形纸（如图2），剪开并拼成正方形．①请在4×4方格图内画出这个正方形．②以小正方形的边长为单位长度画一条数轴，并在数轴上画出表示- √10的点．（3）这种研究和解决问题的方式，主要体现了的数学思想方法．A．数形结合B．代入C．换元D．归纳7．如图，已知AB为⊙O的直径，点C为⊙O外一点，AC=BC，连接OC，DF是AC的垂直平分线，交OC于点F，垂足为点E，连接AD、CD，且∠DCA=∠OCA．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若CD=6，OF=4，求cos∠DAC的值．8．（1）如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，若AP=2，PC=2DP，则BC=；（2）如图2，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=8，AD=10，点E在线段BC上且BE=6，连接DE，作FE⊥ED，交AB于点F，则四边形ADEF的面积是多少？（3）如图3，四边形ABCD中，AB=8，点C到AB的距离为10，∠C=90°，且BC=2CD．当四边形ABCD的面积是61时，求CD的长度是多少？9．如图，AD是▱ABDE的对角线，∠ADE=90°，延长ED至点C，使DC= ED，连接AC交BD于点O，连接BC．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）连接OE，若AD=4，AB=2，求OE的长．10．阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分△BAC，则AB AC＝BDCD．下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过C作CE△DA．交BA的延长线于E．…任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）填空：如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，△ABC＝90°，AD平分△BAC，则△ABD的周长是．11．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，若CD=3，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求证：△CDE为等边三角形；（2）求EF的长．12．如图，（1）作△ABC的外接△O（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）若AB=6cm，AC=BC=5cm，求△O的半径．13．如图，在四边形ABCD中，AB=CD=6，BC=10，AC=8，∠ABC=∠BCD.过点D作DE⊥BC，垂足为点E，延长DE至点F，使EF=DE，连接BF，CF．（1）求证：四边形ABFC是矩形；（2）求DE的长．14．（1）如图所示，Rt△ABC中，△BAC ＝90 °，AB＝√3，AC＝√6，点D是斜边BC的中点，连接AD，求AD的长．（2）如图，在平行四边形ABCD中，DE△AB，BF△CD，垂足分别是E、F．求证：△ADE△△CBF15．平面直角坐标系中，直线y＝12x﹣1的图象如图所示，它与直线y＝﹣2x+4的图象都经过A （2，0），且两直线与y轴分别交于B、C两点.（1）直接画出一次函数y＝﹣2x+4的图象；（2）直接写出B、C两点的坐标；（3）判断△ABC的形状，并说明理由.16．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，作CE⊥AB于点E，AB= 6OE，延长AB至点D，使得BD=AB，P是弧AB（异于A，B）上一个动点，连接AC，BC，CD，PD，PE．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AO=3，求AC的长度．答案解析部分1．【答案】（1）解：在Rt△ABC 中，△C=90˚，AC=4，BC=8，AB =√AC 2+BC 2=√16+64=4√5.（2）解：AC=4，BC=8， ∵△PAB 的面积为6， ∴PB=3. ∵CP=2t ，∴当点P 在点B 的左侧时，PB=8−2t ；当点P 在点B 的右侧时，PB=2t ，∴t =52或 t =112.（3）解：作△PAB 中AP 边上的高BQ ，在△ACP 与△BQP 中，{∠ACP =∠BQP ∠APC =∠BPQ AC =BQ ， ∴△ACP ≌△BQP(AAS)，∴AP =BP. 在 Rt △ACP 中，∵CP 2+CA 2=AP 2 ,即 42+(2t)2=(8−2t)2, 解得 t =32，∴当 t =32时， PQ =3.BQ =4,BP =5,根据等面积法求出点Q 到边BC 的距离： PQ⋅BQ BP=125.【知识点】三角形的面积；勾股定理；一元一次方程的实际应用-几何问题；三角形全等的判定（AAS ）【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求出.（2）分点 P 在 B 点左侧与右侧两种情况进行讨论即可；（3）作△PAB 中AP 边上的高BQ ，先根据 AAS 定理得出 △ACP ≌△BQP ， 再由勾股定理得出 t 的值，进而可得出结论.2．【答案】（1）证明：∵AB 为△O 的直径，CD△AB ，∴AB垂直平分CD，∴AC=AD，∴△ACD=△D，∵四边形AGCD内接于△O，∴△AGC+△D=180°，∵△AGC+△FGC=180°，∴△D=△FGC，∴△ACD=△FGC；（2）解：连接OC，∵AB为△O的直径，CD△AB，AE=CD=8，∴CE=ED=4，设OA=OC=r，则OE=8-r，在Rt△COE中，OE2+CE2=OC2，即(8−r)2+42=r2，解得r=5，即△O的半径为5.【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；垂径定理；圆内接四边形的性质【解析】【分析】（1）利用垂径定理可证得AB垂直平分CD，利用垂直平分线的性质可得到AC=AD；利用等边对等角可知△ACD=△D；再利用圆内接四边形的性质及补角的性质可证得△D=△FGC，由此可证得结论.（2）连接OC，利用垂径定理求出CE的长；设OA=OC=r，可表示出OE的长；在Rt△COE，利用勾股定理可得到关于r的方程，解方程求出r的值.3．【答案】（1）解：①因为小正方形的边长为：a−b，所以第一次计算的面积为：(a−b)2，第二次计算的面积为：(a+b)2−4ab，所以：(a−b)2=(a+b)2−4ab；或(a+b)2−4ab，(a−b)2，(a+b)2−4ab=(a−b)2②∵a+b=7，ab=10∴(a−b)2=(a+b)2−4ab=72−4×10=9（2）解：第一次利用梯形的面积公式图形面积为：12(a+b)2，第二次利用图形的面积和计算为：2×12ab+12c2，∴12(a+b)2=2×12ab+12c2整理得：a2+2ab+b2=2ab+c2∴a2+b2=c2【知识点】列式表示数量关系；完全平方公式的几何背景；勾股定理的证明【解析】【分析】（1）①利用所给图形，再结合完全平方公式求解即可；②根据a+b=7，ab=10，计算求解即可；（2）先求出12(a+b)2=2×12ab+12c2，再整理计算求解即可。

历年中考数学直角三角形与勾股定理题型精选一,选择题1,（2018•江苏淮安•3分）如图,菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别为6和8,则这个菱形的周长是（）A．20 B．24 C．40 D．48【分析】由菱形对角线的性质,相互垂直平分即可得出菱形的边长,菱形四边相等即可得出周长．【解答】解：由菱形对角线性质知,AO=AC=3,BO=BD=4,且AO⊥BO.则AB==5,故这个菱形的周长L=4AB=20．故选：A．【点评】本题考查了菱形面积的计算,考查了勾股定理在直角三角形中的运用,考查了菱形各边长相等的性质,本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键,难度一般．2,（2018•山东东营市•3分）如图所示,圆柱的高AB=3,底面直径BC=3,现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食,则它爬行的最短距离是（）A．B．C．D．【分析】要求最短路径,首先要把圆柱的侧面展开,利用两点之间线段最短,然后利用勾股定理即可求解．【解答】解：把圆柱侧面展开,展开图如右图所示,点A,C的最短距离为线段AC的长．在Rt△ADC中,∠ADC=90°,CD=AB=3,AD为底面半圆弧长,AD=1,5π.所以AC=.故选：C．【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题,解题的关键是会将圆柱的侧面展开,并利用勾股定理解答．3,(2018•湖州•3分）如图,已知在△ABC中,∠BAC＞90°,点D为BC的中点,点E 在AC上,将△CDE沿DE折叠,使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处,连结AD,则下列结论不一定正确的是（）A, AE=EF B, AB=2DEC, △ADF和△ADE的面积相等 D, △ADE和△FDE的面积相等【答案】C【解析】分析：先判断出△BFC是直角三角形,再利用三角形的外角判断出A正确,进而判断出AE=CE,得出CE是△ABC的中位线判断出B正确,利用等式的性质判断出D正确．详解：如图,连接CF.∵点D是BC中点.∴BD=CD.由折叠知,∠ACB=∠DFE,CD=DF.∴BD=CD=DF.∴△BFC是直角三角形.∴∠BFC=90°.∴∠B=∠BFD.∴∠EAF=∠B+∠ACB=∠BFD+∠DFE=∠AFE.∴AE=EF,故A正确.由折叠知,EF=CE.∴AE=CE.∵BD=CD.∴DE是△ABC的中位线.∴AB=2DE,故B正确.∵BD=DF.∵AE=CE.∴S△ADE=S△CDE.由折叠知,△CDE≌△△FDE.∴S△CDE=S△FDE.∴S△ADE=S△FDE,故D正确.∴C选项不正确.故选：C．点睛：此题主要考查了折叠的性质,直角三角形的判定和性质,三角形的中位线定理,作出辅助线是解本题的关键．B.C.D.4, （2018•广西北海•3分）如图,矩形纸片 ABCD ,AB ＝4,BC ＝3,点 P 在 BC 边上,将△CDP 沿 DP 折叠,点 C落在点 E 处,PE,DE 分别交 AB 于点 O 、F ,且 OP ＝OF ,则 cos ∠ADF 的值为1113151713151719【答案】C【考点】折叠问题：勾股定理列方程,解三角形,三角函数值 【解析】由题意得：Rt△DCP ≌Rt△DEP ,所以 DC ＝DE ＝4,CP ＝EP 在 Rt△OEF 和 Rt△OBP 中,∠EOF ＝∠BOP ,∠B ＝∠E ,OP ＝OF Rt△OEF ≌Rt△OBP (AAS ),所以 OE ＝OB ,EF ＝BP 设 EF 为 x ,则 BP ＝x ,DF ＝DE －EF ＝4－x .又因为 BF ＝OF ＋OB ＝OP ＋OE ＝PE ＝PC ,PC ＝BC －BP ＝3－xA.所以,AF＝AB－BF＝4－(3－x)＝1＋x在Rt△DAF 中,AF2＋AD2＝DF2,也就是(1＋x)2＋32＝(4－x)23 3 3 17解之得,x＝5,所以EF＝5,DF＝4－5＝5AD 15最终,在Rt△DAF 中,cos∠ADF＝DF＝17【点评】本题由题意可知,Rt△DCP≌Rt△DEP 并推理出Rt△OEF≌Rt△OBP,寻找出合适的线段设未知数,运用勾股定理列方程求解,并代入求解出所求cos 值即可得。

中考数学勾股定理历年真题解析一、简介勾股定理是数学中的一条重要定理，它描述了直角三角形中三边之间的关系。

在中考数学中，勾股定理经常被用来求解与直角三角形相关的问题。

本文将通过历年中考真题，对勾股定理进行解析和应用。

二、基本形式勾股定理的基本形式如下：在直角三角形中，设直角边分别为a、b（a < b），斜边长度为c，则有：a² + b² = c²三、真题解析1. 2015年中考真题已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3cm和4cm，求斜边的长度。

解析：根据勾股定理，设斜边长度为c，则有3² + 4² = c²，化简得到c² = 9 + 16 = 25，故c = √25 = 5。

因此，斜边的长度为5cm。

2. 2017年中考真题一个直角三角形的斜边长度为10cm，另外两边的长度分别是6cm 和x cm，求x的值。

解析：根据勾股定理，设直角边长分别为6cm和x cm，则有6² + x²= 10²，化简得到x² = 100 - 36 = 64，故x = √64 = 8。

因此，x的值为8。

3. 2019年中考真题一个直角三角形的斜边长为13cm，一直角边长为5cm，求另一直角边的长度。

解析：根据勾股定理，设另一直角边的长度为x，则有x² + 5² = 13²，化简得到x² = 169 - 25 = 144，故x = √144 = 12。

因此，另一直角边的长度为12cm。

四、应用拓展除了直接求解直角三角形的边长外，勾股定理还可以应用于其他角度的三角形。

通过将三角形根据已知条件转化为直角三角形，再利用勾股定理即可求解问题。

五、总结勾股定理是数学中的一条重要定理，可以帮助我们求解直角三角形的边长。

通过分析历年中考真题，我们可以发现勾股定理在中考数学中的重要性和应用广泛性。