中考数学勾股定理知识点-+典型题及解析

中考数学勾股定理复习题及答案一、选择题1．如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（ ）A ．600mB ．500mC ．400mD ．300m 2．△ABC 的三边的长a 、b 、c 满足：2(1)250a b c -+-+-=，则△ABC 的形状为（ ）．A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形3．在直角三角形中，自两锐角所引的两条中线长分别为5和210，则斜边长为（ ）A ．10B ．410C ．13D ．2134．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是△ABC 的一条角平分线．若AC ＝6，AB ＝10，则点D 到AB 边的距离为（ ）A ．2B ．2.5C ．3D ．45．棱长分别为86cm cm ，的两个正方体如图放置，点A ，B ，E 在同一直线上，顶点G 在棱BC 上，点P 是棱11E F 的中点.一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A 爬到点P ，它爬行的最短距离是( )A ．(3510)cmB ．513cmC 277cmD ．583)cm6．将6个边长是1的正方形无缝隙铺成一个矩形，则这个矩形的对角线长等于（ ）A．37B．13C．37或者13D．37或者137 7．如图,A、B两点在直线l的两侧,点A到直线l的距离AC=4,点B到直线l的距离BD=2,且CD=6,P为直线CD上的动点, 则PA PB的最大值是（）A．62B．22C．210D．68．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈＝10尺）（）A．3 B．5 C．4.2 D．49．已知直角三角形纸片ABC的两直角边长分别为6，8，现将ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点B重合，则BE的长是（）A．72B．74C．254D．15410．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（）A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC 是直角三角形B．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC 是直角三角形C．如果 a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC 是直角三角形D．如果 a2＝b2﹣c2，那么△ABC 是直角三角形且∠A＝90°二、填空题11．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝10，BC＝5，若点 M、N 分别是线段 AC、AB上的两个动点，则 BM+MN 的最小值为_____________________．12．如图所示的网格是正方形网格，则ABC ACB ∠+∠=__________°（点A ，B ，C 是网格线交点）．13．如图，在ABC △中8,4,AB AC BC AD BC ===⊥于点D ，点P 是线段AD 上一个动点，过点P 作PE AB ⊥于点E ，连接PB ，则PB PE +的最小值为________.14．以直角三角形的三边为边向外作正方形P ，Q ，K ，若S P =4，S Q =9，则K S =___15．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，BC=CD=10，AC=17，AD=9，则AB=_____.16．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=，DE 垂直平分AC ，垂足为F ，//AD BC ，且3AB =，4BC =，则AD 的长为______．17．如图,在四边形ABCD 中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,AD=4,AB=3,则CD=_________18．如图，在□ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，且AB =3，BC =5．①线段OA的取值范围是______________；②若BD-AC=1，则AC•BD= _________．19．如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为MN，连接CN．若△CDN的面积与△CMN的面积比为1：3，则22MNBM的值为______________．20．四边形ABCD中AB＝8，BC＝6，∠B＝90°，AD＝CD＝52，四边形ABCD的面积是_______．三、解答题21．（1）计算：1312248233⎛⎫-+÷⎪⎪⎝；（2）已知a、b、c满足2|23|32(30)0a b c+-+--=．判断以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，说明此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．22．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E为CD边上一点，将△ADE沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．（1）求BF的长；（2）求CE的长．23．在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且点D、E、C三点在同一条直线上，连接BD．（1）如图1，求证：△ADB ≌△AEC（2）如图2，当∠BAC ＝∠DAE ＝90°时，试猜想线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，当∠BAC ＝∠DAE ＝120°时，请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系式为： （不写证明过程）24．在等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°（1）如图1，D ，E 是等腰Rt △ABC 斜边BC 上两动点，且∠DAE ＝45°，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90后，得到△AFC ，连接DF①求证：△AED ≌△AFD ；②当BE ＝3，CE ＝7时，求DE 的长；（2）如图2，点D 是等腰Rt △ABC 斜边BC 所在直线上的一动点，连接AD ，以点A 为直角顶点作等腰Rt △ADE ，当BD ＝3，BC ＝9时，求DE 的长．25．如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，点D 在边AB 上，点E 在边AC 的左侧，连接AE ．（1）求证：AE ＝BD ；（2）试探究线段AD 、BD 与CD 之间的数量关系；（3）过点C 作CF ⊥DE 交AB 于点F ，若BD ：AF ＝1：2，CD 36，求线段AB 的长．26．如图，ABC ∆是等边三角形，,D E 为AC 上两点，且AE CD =，延长BC 至点F ，使CF CD =，连接BD ．（1）如图1，当,D E 两点重合时，求证：BD DF =；（2）延长BD 与EF 交于点G ．①如图2，求证：60BGE ∠=︒；②如图3，连接,BE CG ，若30,4EBD BG ∠=︒=，则BCG ∆的面积为______________．27．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，把△ABC 沿直线DE 折叠，使△ADE 与△BDE 重合．(1)若∠A ＝35°，则∠CBD 的度数为________；(2)若AC ＝8，BC ＝6，求AD 的长；(3)当AB ＝m(m>0)，△ABC 的面积为m ＋1时，求△BCD 的周长．(用含m 的代数式表示)28．菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，BD 是对角线，点E 、F 分别是边AB 、AD 上两个点，且满足AE ＝DF ，连接BF 与DE 相交于点G ．（1）如图1，求∠BGD 的度数；（2）如图2，作CH ⊥BG 于H 点，求证：2GH ＝GB +DG ；（3）在满足（2）的条件下，且点H 在菱形内部，若GB ＝6，CH ＝43，求菱形ABCD 的面积．29．阅读下列材料，并解答其后的问题：我国古代南宋数学家秦九韶在其所著书《数学九章》中，利用“三斜求积术”十分巧妙的解决了已知三角形三边求其面积的问题，这与西方著名的“海伦公式”是完全等价的．我们也称这个公式为“海伦•秦九韶公式”，该公式是：设△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a、b、c，△ABC的面积为S＝()()()()4a b c a b c a c b b c a+++-+-+-．（1）（举例应用）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a＝4，b ＝5，c＝7，则△ABC的面积为；（2）（实际应用）有一块四边形的草地如图所示，现测得AB＝（26+42）m，BC＝5m，CD＝7m，AD＝46m，∠A＝60°，求该块草地的面积．30．在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（m，0）在坐标轴上，点C，O关于直线AB 对称，点D在线段AB上．（1）如图1，若m＝8，求AB的长；（2）如图2，若m＝4，连接OD，在y轴上取一点E，使OD＝DE，求证：CE＝2DE；（3）如图3，若m＝43，在射线AO上裁取AF，使AF＝BD，当CD+CF的值最小时，请在图中画出点D的位置，并直接写出这个最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】由于BC∥AD，那么有∠DAE=∠ACB，由题意可知∠ABC=∠DEA=90°，BA=ED，利用AAS可证△ABC≌△DEA，于是AE=BC=300，再利用勾股定理可求AC，即可求CE，根据图可知从B到E的走法有两种，分别计算比较即可．【详解】解：如右图所示，∵BC∥AD，∴∠DAE=∠ACB，又∵BC ⊥AB ，DE ⊥AC ，∴∠ABC=∠DEA=90°，又∵AB=DE=400m ，∴△ABC ≌△DEA ，∴EA=BC=300m ，在Rt △ABC 中，AC=22AB BC +=500m ，∴CE=AC-AE=200，从B 到E 有两种走法：①BA+AE=700m ；②BC+CE=500m ，∴最近的路程是500m ．故选B ．【点睛】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是证明△ABC ≌△DEA ，并能比较从B 到E 有两种走法．2．D解析：D【分析】 由等式可分别得到关于a 、b 、c 的等式，从而分别计算得到a 、b 、c 的值，再由222+=a b c 的关系，可推导得到△ABC 为直角三角形．【详解】 ∵2(1)250a b c --= 又∵()2102050a b c ⎧-≥-≥-≥⎪⎩∴()21=02=05a b c ⎧-⎪⎪-⎨⎪⎪⎩∴125a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩∴222+=a b c∴△ABC 为直角三角形故选：D ．【点睛】本题考察了平方、二次根式、绝对值和勾股定理逆定理的知识；求解的关键是熟练掌握二次根式、绝对值和勾股定理逆定理，从而完成求解．3．D解析：D【分析】根据已知设AC ＝x ，BC ＝y ，在Rt △ACD 和Rt △BCE 中，根据勾股定理分别列等式，从而求得AC ，BC 的长，最后根据勾股定理即可求得AB 的长．【详解】如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 、BE 为△ABC 的两条中线，且AD ＝210，BE ＝5，求AB 的长．设AC ＝x ，BC ＝y ，根据勾股定理得：在Rt △ACD 中，x 2+（12y ）2＝（210）2， 在Rt △BCE 中，（12x ）2+y 2＝52， 解之得，x ＝6，y ＝4，∴在Rt △ABC 中，2264213AB =+= ，故选：D ．【点睛】此题考查勾股定理的运用，在直角三角形中，已知两条边长时，可利用勾股定理求第三条边的长度.4．C解析：C【分析】作DE ⊥AB 于E ，由勾股定理计算出可求BC=8，再利用角平分线的性质得到DE=DC ，设DE=DC=x ，利用等等面积法列方程、解方程即可解答.【详解】解：作DE ⊥AB 于E ，如图，在Rt △ABC 中，BC 22106-8，∵AD 是△ABC 的一条角平分线，DC ⊥AC ，DE ⊥AB ，∴DE ＝DC ，设DE ＝DC ＝x ，S △ABD ＝12DE •AB ＝12AC •BD ， 即10x ＝6（8﹣x ），解得x ＝3，即点D 到AB 边的距离为3．故答案为C ．【点睛】本题考查了角平分线的性质和勾股定理的相关知识，理解角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答本题的关键..5．C解析：C【分析】当E 1F 1在直线EE 1上时，，得到AE=14，PE=9，由勾股定理求得AP 的长；当E 1F 1在直线B 2E 1上时，两直角边分别为17和6，再利用勾股定理求AP 的长,两者进行比较即可确定答案【详解】① 当展开方法如图1时，AE=8+6=14cm ，PE=6+3=9cm ， 由勾股定理得2222149277AP AE PE cm =+=+=② 当展开方法如图2时，AP 1=8+6+3=17cm ，PP 1=6cm ， 由勾股定理得222211176325AP AP PP cm =+=+= 277<325277cm,【点睛】此题考察正方体的展开图及最短路径，注意将正方体沿着不同棱线剪开时得到不同的平面图形，路径结果是不同的6．C解析：C【分析】如图1或图2所示，分类讨论，利用勾股定理可得结论．【详解】当如图1所示时，AB=2，BC=3，∴AC=22+；23=13当如图2所示时，AB=1，BC=6，∴221+6=37故选C．【点睛】本题主要考查图形的拼接，数形结合，分类讨论是解答此题的关键．7．C解析：C【解析】试题解析：作点B关于直线l的对称点B',连接AB'并延长,与直线l的交点即为使得-取最大值时对应的点.PPA PB此时.PA PB PA PB AB -=-'='过点B '作B E AC '⊥于点,E 如图,四边形B DCE '为矩形，6, 2.B E CD EC B D BD ∴=====''2.AE ∴=22210.AB AE B E ''=+=PA PB -的最大值为：210.故答案为：210.8．C解析：C【分析】根据题意可设折断处离地面的高度OA 是x 尺，折断处离竹梢AB 是（10－x ）尺，结合勾股定理即可得出折断处离地面的高度．【详解】设折断处离地面的高度OA 是x 尺，则折断处离竹梢AB 是（10－x ）尺，由勾股定理可得：222=OA OB AB +即：()2224=10x x +-，解得：x ＝4.2故折断处离地面的高度OA 是4.2尺．故答案选：C ．【点睛】本题主要考查直角三角形勾股定理的应用，解题的关键是熟练运用勾股定理．9．C解析：C【分析】根据图形翻折变换的性质可知，AE=BE，设AE=x，则BE=x，CE=8-x，再在Rt△BCE中利用勾股定理即可求出BE的长度．【详解】解：∵△ADE翻折后与△BDE完全重合，∴AE＝BE，设AE＝x，则BE＝x，CE＝8﹣x，在Rt△BCE中，BE2＝BC2+CE2，即x2＝62+（8﹣x）2，解得，x＝254，∴BE＝254．故选：C．【点睛】本题考查了图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．10．D解析：D【分析】根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可．【详解】选项A中如果∠A﹣∠B＝∠C，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确；选项B中如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确；选项C中如果 a2：b2：c2＝9：16：25，满足a2+b2＝c2，那么△ABC 是直角三角形，选项正确；选项D中如果 a2＝b2﹣c2，那么△ABC 是直角三角形且∠B＝90°，选项错误；故选D．【点睛】考查直角三角形的判定，学生熟练掌握勾股定理逆定理是本题解题的关键，并结合直角三角形的定义解出此题．二、填空题11．8【解析】如图作点B关于AC的对称点B′，连接B′A交DC于点E，则BM+MN的最小值等于的最小值作交于，则为所求；设,,由，，h+5=8，即BM+MN的最小值是8.点睛：本题主要是利用轴对称求最短路线，题中应用了勾股定理与用不同方式表示三角形的面积从而求出某条边上的高，利用轴对称得出M点与N点的位置是解题的关键．12．45【分析】∠+∠=∠，只需证△ADC是如下图,延长BA至网络中的点D处,连接CD. ABC ACB DAC等腰直角三角形即可【详解】如下图,延长BA至网络中的点D处,连接CD设正方形网络每一小格的长度为1则根据网络，AB=5，AD=5，CD=5，BC=5，∴BD=25其中BD 、DC 、BC 边长满足勾股定理逆定理∴∠CDA=90°∵AD=DC∴△ADC 是等腰直角三角形∴∠DAC=45°故答案为：45°【点睛】本题是在网格中考察勾股定理的逆定理，解题关键是延长BA ，构造处△ABC 的外角∠CAD 13．15【分析】根据题意点B 与点C 关于AD 对称，所以过点C 作AB 的垂线，与AD 的交点即点P ，求出CE 即可得到答案【详解】∵8,AB AC AD BC ==⊥∴点B 与点C 关于AD 对称过点C 作CE ⊥AB 于一点即为点P ，此时PB PE +最小∵8,4,AB AC BC AD BC ===⊥∴BD=2在Rt △A BC 中， 222282215AD AB BD =-=-= ∵S △ABC=1122BC AD AB CE ⋅⋅=⋅⋅ ∴42158CE ⨯=得15CE =故此题填15【点睛】此题考察最短路径，根据题意找到对称点，作直角三角形，利用勾股定理解决问题 14．5或13【分析】根据已知可得题意中的图是一个勾股图，可得S P +S Q =S K 为从而易求S K ．【详解】解：如下图所示，若A=S P =4．B=S Q =9，C=S K ，根据勾股定理，可得A+B=C ，∴C=13．若A=S P =4．C=S Q =9，B=S K ，根据勾股定理，可得A+B=C ，∴B=9-4=5．∴S K 为5或13．故答案为：5或13．【点睛】本题考查了勾股定理．此题所给的图中，以直角三角形两直角边为边所作的正方形的面积和等于以斜边为边所作的正方形的面积．15．21【分析】在AB 上截取AE=AD ，连接CE ，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，先证明△ADC ≌△AEC ，得出AE=AD=9，CE=CD=BC ＝10的长度，再设EF=BF=x ，在Rt △CFB 和Rt △CFA 中，由勾股定理求出x ，再根据AB=AE+EF+FB 求得AB 的长度．【详解】如图所示，在AB 上截取AE=AD ，连接CE ，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，∵AC 平分∠BAD ，∴∠DAC=∠EAC ．在△AEC 和△ADC 中，AE AD DAC EACAC AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ADC ≌△AEC （SAS ），∴AE=AD=9，CE=CD=BC =10，又∵CF ⊥AB ，∴EF=BF ，设EF=BF=x ．∵在Rt △CFB 中，∠CFB=90°，∴CF2=CB2-BF2=102-x2，∵在Rt△CFA中，∠CFA=90°，∴CF2=AC2-AF2=172-（9+x）2，即102-x2=172-（9+x）2，∴x=6，∴AB=AE+EF+FB=9+6+6=21，∴AB的长为21．故答案是：21.【点睛】考查全等三角形的判定和性质、勾股定理和一元二次方程等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，再运用用方程的思想解决问题．16．25 8【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据DE垂直平分AC得出FA的长，根据相似三角形的判定定理得出△AFD∽△CBA，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．【详解】∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC=2222AB+BC=3+4=5；∵DE垂直平分AC，垂足为F，∴FA=12AC=52，∠AFD=∠B=90°，∵AD∥BC，∴∠A=∠C，∴△AFD∽△CBA，∴ADAC=FABC，即AD5=2.54，解得AD=258；故答案为258．【点睛】本题考查的是勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．17．【解析】【分析】延长BC，AD交于E点，在直角三角形ABE和直角三角形CDE中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理即可解答.【详解】如图，延长AD 、BC 相交于E ，∵∠A=60°,∠B=∠ADC=90°,∴∠E=30°∴AE=2AB ，CE=2CD∵AB=3，AD=4,∴AE=6, DE=2设CD=x,则CE=2x ，DE=x 即x=2 x=即CD=故答案为：【点睛】 本题考查了勾股定理的运用，含30°角所对的直角边是斜边的一半的性质，本题中构建直角△ABE 和直角△CDE ，是解题的关键．18．①1＜OA ＜4． ②672． 【解析】(1)由三角形边的性质5-3<2OA <5+3,1＜OA ＜4.(2)过A 作AF BC ,F ⊥于过D 作DE BC ⊥于E,可知，ABF 全等DCE ,由题意知，22BD DE =+()2BC CE +=2DE +()24CE +， ()()222225AC DE BC CE DE CE ∴=+-=+-，2AC ∴+ 2BD=2DE +()()22245CE DE CE +++-=2(22)5018DE CE ++=+50=68，BD -AC =1，两边平方2AC ∴+ 2BD -2AC •BD =1， ∴AC •BD =672.19．12【解析】如图，过点N 作NG ⊥BC 于点G ，连接CN ，根据轴对称的性质有：MA=MC ，NA=NC ，∠AMN=∠CMN.因为四边形ABCD 是矩形，所以AD ∥BC ，所以∠ANM=∠CMN.所以∠AMN=∠ANM，所以AM=AN.所以AM=AN=CM=CN.因为△CDN 的面积与△CMN 的面积比为1：3，所以DN:CM=1:3.设DN=x ，则CG=x ，AM=AN=CM=CN=3x ，由勾股定理可得()22322x x x -=， 所以MN 2=()()2222312x x x x +-=，BM 2=()()22232x x x -=.所以222212MN x BM x==12. 枚本题应填12.点睛：矩形中的折叠问题，其本质是轴对称问题，根据轴对称的性质，找到对应的线段和角，也就找到了相等的线段和角，矩形中的折叠一般会伴随着等腰三角形(也就是基本图形“平行线+角平分线→等腰三角形”)，所以常常会结合等腰三角形，勾股定理来列方程求解. 20．49【解析】连接AC ，在Rt △ABC 中，∵AB =8，BC =6，∠B =90°，∴AC 22AB BC +10． 在△ADC 中，∵AD =CD =52AD 2+CD 2=（522+（522=100．∵AC 2=102=100，∴AD 2+CD 2=AC 2，∴∠ADC =90°，∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =12AB •BC +12AD •DC =12×8×6+12×525224+25=49．点睛：本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，不规则几何图形的面积，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．三、解答题21．（1）423；（2）以a、b、c为边能构成三角形，此三角形的形状是直角三角形，6【分析】（1）根据二次根式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质求出即可；（2）先根据绝对值，偶次方、算术平方根的非负性求出a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再求出面积即可.【详解】解：（1）1312248233⎛÷⎝=2(63343)233÷=28(3)(23) 3÷＝423；（2）以a、b、c为边能构成三角形，此三角形的形状是直角三角形，理由是：∵a、b、c满足2|a2332b(c30)0-+-=，∴a﹣3＝0，2﹣b＝0，c300，∴a＝3，b＝2，c30∵32303302，3302，∴以a、b、c为边能组成三角形，∵a＝3，b＝2，c30∴a2+b2＝c2，∴以a、b、c为边能构成直角三角形，直角边是a和b，则此三角形的面积是12⨯. 【点睛】 此题考查了计算能力，掌握二次根式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质，绝对值，偶次方、算术平方根的非负性，勾股定理的逆定理是解题的关键.22．（1）BF 长为6；（2）CE 长为3，详细过程见解析．【分析】（1）由矩形的性质及翻折可知，∠B=90°，AF=AD=10，且AB=8，在Rt △ABF 中，可由勾股定理求出BF 的长；（2）设CE=x ，根据翻折可知，EF=DE=8-x ，由（1）可知BF=6，则CF=4，在Rt △CEF 中，可由勾股定理求出CE 的长．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 为矩形，∴∠B=90°，且AD=BC=10， 又∵AFE 是由ADE 沿AE 翻折得到的，∴AF=AD=10，又∵AB=8，在Rt △ABF 中，由勾股定理得：，故BF 的长为6．（2）设CE=x ，∵四边形ABCD 为矩形，∴CD=AB=8，∠C=90°，DE=CD-CE=8-x ，又∵△AFE 是由△ADE 沿AE 翻折得到的，∴FE=DE=8-x ，由（1）知：BF=6，故CF=BC-BF=10-6=4，在Rt △CEF 中，由勾股定理得：222CF +CE =EF ，∴2224+x =(8-x)，解得：x=3，故CE 的长为3．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，利用勾股定理求解是本题的关键．23．（1）见解析；（2）CD AD +BD ，理由见解析；（3）CD +BD【分析】（1）由“SAS ”可证△ADB ≌△AEC ；（2）由“SAS ”可证△ADB ≌△AEC ，可得BD ＝CE ，由直角三角形的性质可得DE AD ，可得结论；（3）由△DAB ≌△EAC ，可知BD ＝CE ，由勾股定理可求DH ，由AD ＝AE ，AH⊥DE，推出DH＝HE，由CD＝DE+EC＝2DH+BD＝3AD+BD，即可解决问题；【详解】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；（2）CD＝2AD+BD，理由如下：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；∴BD＝CE，∵∠BAC＝90°，AD＝AE，∴DE＝2AD，∵CD＝DE+CE，∴CD＝2AD+BD；（3）作AH⊥CD于H．∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；∴BD＝CE，∵∠DAE＝120°，AD＝AE，∴∠ADH＝30°，∴AH＝12 AD，∴DH22AD AH32AD，∵AD＝AE，AH⊥DE，∴DH＝HE，∴CD＝DE+EC＝2DH+BD3+BD，故答案为：CD3+BD．【点睛】本题是结合了全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识的综合问题，熟练掌握知识点，有简入难，层层推进是解答关键.24．（1）①见解析；②DE ＝297；（2）DE 的值为 【分析】（1）①先证明∠DAE ＝∠DAF ，结合DA ＝DA ，AE ＝AF ，即可证明；②如图1中，设DE ＝x ，则CD ＝7﹣x ．在Rt △DCF 中，由DF 2＝CD 2+CF 2，CF ＝BE ＝3，可得x 2＝（7﹣x ）2+32，解方程即可；（2）分两种情形：①当点E 在线段BC 上时，如图2中，连接BE ．由△EAD ≌△ADC ，推出∠ABE ＝∠C ＝∠ABC ＝45°，EB ＝CD ＝5，推出∠EBD ＝90°，推出DE 2＝BE 2+BD 2＝62+32＝45，即可解决问题；②当点D 在CB 的延长线上时，如图3中，同法可得DE 2＝153．【详解】（1）①如图1中，∵将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°后，得到△AFC ，∴△BAE ≌△CAF ，∴AE ＝AF ，∠BAE ＝∠CAF ，∵∠BAC ＝90°，∠EAD ＝45°，∴∠CAD +∠BAE ＝∠CAD +∠CAF ＝45°，∴∠DAE ＝∠DAF ，∵DA ＝DA ，AE ＝AF ，∴△AED ≌△AFD （SAS ）；②如图1中，设DE ＝x ，则CD ＝7﹣x ．∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠B ＝∠ACB ＝45°，∵∠ABE ＝∠ACF ＝45°，∴∠DCF ＝90°，∵△AED ≌△AFD （SAS ），∴DE ＝DF ＝x ，∵在Rt △DCF 中， DF 2＝CD 2+CF 2，CF ＝BE ＝3，∴x 2＝（7﹣x ）2+32，∴x ＝297， ∴DE ＝297； （2）∵BD ＝3，BC ＝9，∴分两种情况如下：①当点E 在线段BC 上时，如图2中，连接BE ．∵∠BAC ＝∠EAD ＝90°，∴∠EAB ＝∠DAC ，∵AE＝AD，AB＝AC，∴△EAB≌△DAC（SAS），∴∠ABE＝∠C＝∠ABC＝45°，EB＝CD＝9-3=6，∴∠EBD＝90°，∴DE2＝BE2+BD2＝62+32＝45，∴DE＝35；②当点D在CB的延长线上时，如图3中，连接BE．同理可证△DBE是直角三角形，EB＝CD＝3+9=12，DB＝3，∴DE2＝EB2+BD2＝144+9＝153，∴DE＝317，综上所述，DE的值为35或317．【点睛】本题主要考查旋转变换的性质，三角形全等的判定和性质以及勾股定理，添加辅助线，构造旋转全等模型，是解题的关键．25．（1）见解析；（2）BD2+AD2＝2CD2；（3）AB＝2+4．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质证明△ACE≌△BCD即可得到结论；（2）利用全等三角形的性质及勾股定理即可证得结论；（3）连接EF，设BD＝x，利用（1）、（2）求出EF=3x，再利用勾股定理求出x，即可得到答案.【详解】（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝90°∴∠ACB﹣∠ACD＝∠ECD﹣∠ACD∴∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD．（2）解：由（1）得△ACE≌△BCD，∴∠CAE＝∠CBD，又∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠CAB ＝∠CBA ＝∠CAE ＝45°，∴∠EAD ＝90°，在Rt △ADE 中，AE 2+AD 2＝ED 2，且AE ＝BD ，∴BD 2+AD 2＝ED 2，∵ED ＝2CD ，∴BD 2+AD 2＝2CD 2，（3）解：连接EF ，设BD ＝x ，∵BD ：AF ＝1：2AF ＝2x ，∵△ECD 都是等腰直角三角形，CF ⊥DE ，∴DF ＝EF ，由 （1）、（2）可得，在Rt △FAE 中，EF 22AF AE +22(22)x x +3x ， ∵AE 2+AD 2＝2CD 2，∴222(223)2(36)x x x ++=，解得x ＝1，∴AB ＝2+4．【点睛】此题考查三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理.26．（1）见解析；（2）①见解析；②2．【分析】（1）当D 、E 两点重合时，则AD=CD ，然后由等边三角形的性质可得∠CBD 的度数，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质可得∠F 的度数，于是可得∠CBD 与∠F 的关系，进而可得结论；（2）①过点E 作EH ∥BC 交AB 于点H ，连接BE ，如图4，则易得△AHE 是等边三角形，根据等边三角形的性质和已知条件可得EH=CF ，∠BHE =∠ECF =120°，BH =EC ，于是可根据SAS 证明△BHE ≌△ECF ，可得∠EBH =∠FEC ，易证△BAE ≌△BCD ，可得∠ABE =∠CBD ，从而有∠FEC =∠CBD ，然后根据三角形的内角和定理可得∠BGE =∠BCD ，进而可得结论； ②易得∠BEG =90°，于是可知△BEF 是等腰直角三角形，由30°角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质易求得BE 和BF 的长，过点E 作EM ⊥BF 于点F ，过点C 作CN ⊥EF 于点N ，如图5，则△BEM 、△EMF 和△CFN 都是等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性质和30°角的直角三角形的性质可依次求出BM 、MC 、CF 、FN 、CN 、GN 的长，进而可得△GCN 也是等腰直角三角形，于是有∠BCG =90°，故所求的△BCG 的面积=12BC CG ⋅，而BC 和CG 可得，问题即得解决． 【详解】 解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC =∠ACB =60°，当D 、E 两点重合时，则AD=CD ，∴1302DBC ABC ∠=∠=︒， ∵CF CD =，∴∠F =∠CDF ， ∵∠F +∠CDF =∠ACB =60°，∴∠F =30°，∴∠CBD =∠F ，∴BD DF =；（2）①∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC =∠ACB =60°，AB=AC ，过点E 作EH ∥BC 交AB 于点H ，连接BE ，如图4，则∠AHE =∠ABC =60°，∠AEH =∠ACB =60°，∴△AHE 是等边三角形，∴AH=AE=HE ，∴BH =EC ，∵AE CD =，CD=CF ，∴EH=CF ，又∵∠BHE =∠ECF =120°，∴△BHE ≌△ECF （SAS ），∴∠EBH =∠FEC ，EB=EF ，∵BA=BC ，∠A =∠ACB =60°，AE=CD ，∴△BAE ≌△BCD （SAS ），∴∠ABE =∠CBD ，∴∠FEC =∠CBD ，∵∠EDG =∠BDC ，∴∠BGE =∠BCD =60°；②∵∠BGE =60°，∠EBD =30°，∴∠BEG =90°，∵EB=EF ，∴∠F =∠EBF =45°，∵∠EBG =30°，BG =4，∴EG =2，BE 3∴BF 226BE =232GF =，过点E 作EM ⊥BF 于点F ，过点C 作CN ⊥EF 于点N ，如图5，则△BEM 、△EMF 和△CFN 都是等腰直角三角形，∴6BM ME MF ===∵∠ACB =60°，∴∠MEC =30°，∴2MC =， ∴62BC =266262CF ==∴262312CN FN ===，∴()2323131GN GF FN CN =-=---=-=， ∴45GCN CGN ∠=∠=︒，∴∠GCF =90°=∠GCB ， ∴62CG CF ==-，∴△BCG 的面积=()()116262222BC CG ⋅=+-=． 故答案为：2．【点睛】本题考查了等腰三角形与等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、30°角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，涉及的知识点多、难度较大，正确添加辅助线、熟练掌握全等三角形的判定与性质是解①题的关键，灵活应用等腰直角三角形的性质和30°角的直角三角形的性质解②题的关键．27．（1）∠CBD=20°；（2）AD=164；(3) △BCD 的周长为m+2 【分析】（1）根据折叠可得∠1=∠A=35°，根据三角形内角和定理可以计算出∠ABC=55°，进而得到∠CBD=20°；（2）根据折叠可得AD=DB ，设CD=x ，则AD=BD=8-x ，再在Rt △CDB 中利用勾股定理可得x 2+62=（8-x ）2，再解方程可得x 的值，进而得到AD 的长；（3）根据三角形ACB 的面积可得112AC CB m =+， 进而得到AC •BC=2m+2，再在Rt △CAB 中，CA 2+CB 2=BA 2，再把左边配成完全平方可得CA+CB 的长，进而得到△BCD 的周长．【详解】（1）∵把△ABC 沿直线DE 折叠，使△ADE 与△BDE 重合，∴∠1=∠A=35°，∵∠C=90°，∴∠ABC=180°-90°-35°=55°，∴∠2=55°-35°=20°，即∠CBD=20°；（2）∵把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合，∴AD=DB，设CD=x，则AD=BD=8-x，在Rt△CDB中，CD2+CB2=BD2，x2+62=（8-x）2，解得：x= 74，AD=8-74=164；（3）∵△ABC 的面积为m+1，∴12AC•BC=m+1，∴AC•BC=2m+2，∵在Rt△CAB中，CA2+CB2=BA2，∴CA2+CB2+2AC•BC=BA2+2AC•BC，∴（CA+BC）2=m2+4m+4=（m+2）2，∴CA+CB=m+2，∵AD=DB，∴CD+DB+BC=m+2．即△BCD的周长为m+2．【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理，完全平方公式，关键是掌握勾股定理，以及折叠后哪些是对应角和对应线段．28．（1）∠BGD＝120°；（2）见解析；（3）S四边形ABCD＝【解析】【分析】（1）只要证明△DAE≌△BDF，推出∠ADE=∠DBF，由∠EGB=∠GDB+∠GBD=∠GDB+∠ADE=60°，推出∠BGD=180°-∠BGE=120°；（2）如图3中，延长GE到M，使得GM=GB，连接BD、CG．由△MBD≌△GBC，推出DM=GC，∠M=∠CGB=60°，由CH⊥BG，推出∠GCH=30°，推出CG=2GH，由CG=DM=DG+GM=DG+GB，即可证明2GH=DG+GB；（3）解直角三角形求出BC即可解决问题；【详解】（1）解：如图1﹣1中，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝AB ，∵∠A ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∴AB ＝DB ，∠A ＝∠FDB ＝60°，在△DAE 和△BDF 中，AD BD A BDF AE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAE ≌△BDF ，∴∠ADE ＝∠DBF ，∵∠EGB ＝∠GDB+∠GBD ＝∠GDB+∠ADE ＝60°，∴∠BGD ＝180°﹣∠BGE ＝120°．（2）证明：如图1﹣2中，延长GE 到M ，使得GM ＝GB ，连接CG ．∵∠MGB ＝60°，GM ＝GB ，∴△GMB 是等边三角形，∴∠MBG ＝∠DBC ＝60°，∴∠MBD ＝∠GBC ，在△MBD 和△GBC 中，MB GB MBD GBC BD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MBD ≌△GBC ，∴DM ＝GC ，∠M ＝∠CGB ＝60°，∵CH ⊥BG ，∴∠GCH＝30°，∴CG＝2GH，∵CG＝DM＝DG+GM＝DG+GB，∴2GH＝DG+GB．（3）如图1﹣2中，由（2）可知，在Rt△CGH中，CH＝43，∠GCH＝30°，∴tan30°＝GH CH，∴GH＝4，∵BG＝6，∴BH＝2，在Rt△BCH中，BC＝22213BH CH+=，∵△ABD，△BDC都是等边三角形，∴S四边形ABCD＝2•S△BCD＝2×3×（213）2＝263．【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．29．（1）46（2）（123+24+510）m2【分析】（1）由已知△ABC的三边a=4，b=5，c=7，可知这是一个一般的三角形，故选用海伦-奏九韶公式求解即可；（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接BD.将所求四边形的面积转化为三个三角形的面积的和进行计算．【详解】（1）解：△ABC的面积为S＝()()()()a b c a b c a c b b c a+++-+-+-＝(457)(457)(475)(574)+++-+-+-＝46故答案是：46；（2）解：如图：过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接BD（如图所示）在Rt△ADE中，∵∠A＝60°，∴∠ADE＝30°，∴AE＝12AD＝26∴BE＝AB﹣AE＝26+42﹣26＝42DE＝2222(46)(26)62AD AE-=-=∴BD＝2222BE DE(42)(62)226+=+=∴S△BCD＝1(57226)(57226)(22675)(22657)510 4+++-+-+-=∵S△ABD＝11(2642)6212324 22AB DE⋅=⨯+⨯=+∴S四边形ABCD＝S△BCD+S△ABD＝12324510++答：该块草地的面积为（12324510++）m2．【点睛】本题考查了勾股定理的应用和三角形面积的求解方法.此题难度不大，注意选择适当的求解方法是关键.30．（1）AB＝45；（2）见解析；（3）CD+CF的最小值为47.【分析】（1）根据勾股定理可求AB的长；（2）过点D作DF⊥AO，根据等腰三角形的性质可得OF＝EF，根据轴对称的性质等腰直角三角形的性质可得AF＝DF，设OF＝EF＝x，AE＝4﹣2x，根据勾股定理用参数x表示DE，CE的长，即可证CE＝2DE；（3）过点B作BM⊥OB，在BM上截取BM＝AO，过点C作CN⊥BM，交MB的延长线于点N，根据锐角三角函数可得∠ABO＝30°，根据轴对称的性质可得AC＝AO＝4，BO＝BC ＝43，∠ABO＝∠ABC＝30°，∠OAB＝∠CAB＝60°，根据“SAS”可证△ACF≌△BMD，可得CF＝DM，则当点D在CM上时，CF+CD的值最小，根据直角三角形的性质可求CN，BN的长，根据勾股定理可求CM的长，即可得CF+CD的最小值．【详解】（1）∵点A（0，4），B（m，0），且m＝8，∴AO＝4，BO＝8，在Rt△ABO中，AB＝2245AO BO+=（2）如图，过点D作DF⊥AO，∵DE＝DO，DF⊥AO，∴EF＝FO，∵m ＝4，∴AO ＝BO ＝4，∴∠ABO ＝∠OAB ＝45°，∵点C ，O 关于直线AB 对称，∴∠CAB ＝∠CBA ＝45°，AO ＝AC ＝OB ＝BC ＝4，∴∠CAO ＝∠CBO ＝90°，∵DF ⊥AO ，∠BAO ＝45°，∴∠DAF ＝∠ADF ＝45°，∴AF ＝DF ，设OF ＝EF ＝x ，AE ＝4﹣2x ，∴AF ＝DF ＝4﹣x ，在Rt △DEF 中，DE ＝()2222242816EF DF x x x x +=+-=-+ 在Rt △ACE 中，CE ＝()()2222164222816AC AE x x x +=+-=-+ ∴CE ＝2DE ，（3）如图，过点B 作BM ⊥OB ，在BM 上截取BM ＝AO ，过点C 作CN ⊥BM ，交MB 的延长线于点N ，∵m ＝3，∴OB ＝3∴tan ∠ABO ＝343AO BO ==， ∴∠ABO ＝30°∵点C ，O 关于直线AB 对称，∴AC ＝AO ＝4，BO ＝BC ＝3，∠ABO ＝∠ABC ＝30°，∠OAB ＝∠CAB ＝60°， ∴∠CAF ＝120°，∠CBO ＝60°∵BM ⊥OB ，∠ABO ＝30°，∴∠ABM ＝120°，∴∠CAF ＝∠ABM ，且DB ＝AF ，BM ＝AO ＝AC ＝4，∴△ACF ≌△BMD （SAS ）∴CF ＝DM ，∵CF +CD ＝CD +DM ，∴当点D在CM上时，CF+CD的值最小，即CF+CD的最小值为CM的长，∵∠CBO＝60°，BM⊥OB，∴∠CBN＝30°，且BM⊥OB，BC＝∴CN＝BN CN＝6，∴MN＝BM+BN＝4+6＝10，在Rt△CMN中，CM=，∴CD+CF的最小值为.【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，最短路径问题等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．。

中考勾股数知识点总结一、勾股定理在讨论勾股数之前，首先需要了解勾股定理。

勾股定理是古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前6世纪提出的一个重要定理，它表明在直角三角形中，直角三角形的斜边的平方等于两条直角边的平方之和，即a² + b² = c²。

这个定理对于解决数学和几何问题都有很大的帮助，也为勾股数的研究奠定了基础。

二、勾股数的性质1. 勾股数的分类根据勾股定理，我们可以将勾股数分为两种情况：（1）素勾股数：如果a、b、c互质（即它们的最大公因数为1），则称这组勾股数为素勾股数。

（2）合成勾股数：如果a、b、c不互质（即它们的最大公因数大于1），则称这组勾股数为合成勾股数。

2. 勾股数的性质勾股数有着一些特殊的性质，这些性质对于中考数学的学习和解题都有一定的帮助：（1）勾股数的性质1：一个数的平方如果是勾股数，那么这个数一定是偶数。

这可以通过反证法来证明：假设一个数n的平方是勾股数，且n是奇数，那么n可以表示为2m+1，其中m是整数。

那么n的平方就可以表示为(2m+1)²=4m²+4m+1=2(2m²+2m)+1，这样n的平方就变成了奇数，与勾股数必为偶数的性质相矛盾。

所以一个数的平方如果是勾股数，那么这个数一定是偶数。

（2）勾股数的性质2：3、4、5是最小的一组勾股数。

根据勾股定理，3²+4²=5²，所以3、4、5就是最小的一组勾股数。

这也是勾股数的一个重要性质。

（3）勾股数的性质3：所有的勾股数都可以表示成m²-n²、2mn、m²+n²的形式。

这是勾股数的三角形形式，通过这个公式，我们可以求得无数个勾股数。

三、勾股数的判定方法判定一个数是否是勾股数是中考数学的重要考点之一，下面将介绍几种判定勾股数的方法：1. 枚举法：对于一个较小的数，可以通过暴力枚举的方法判断它是否是勾股数。

CABcb a 专题1：勾股定理及其证明知识讲解（一）勾股定理如果直角三角形的两直角边分别是a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=． 即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 注：勾——较短的边、股——较长的直角边、弦——斜边．（二）勾股定理的证明勾股定理是几何学中的明珠，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法，这是任何定理无法比拟的。

在此我们介绍一种以赵爽的“弦图”为代表的数形结合的证法DC BAGF E H内弦图 外弦图221()42ABCD S a b c ab =-=+⨯正方形 221()42EFGH S c a b ab ==-+⨯正方形∴222a b c += ∴222a b c +=典型例题【例1】 图1和图2中的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为 ，该定理的结论其数学表达式是 ．其中图1是中国数学史上有名的 （数学家的名字）弦图．简单写出证明过程．图2图1ab c abc abcab cab cab c a b cc ba【解析】 勾股定理，222a b c +=（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．）赵爽（中国数学家，主要贡献是深入研究了《周髀算经》，涉及了勾股定理的理论和证明．） 证明：大正方形面积=四个全等直角三角形面积+中间小正方形面积．图1：22224()2abc b aa b =⨯+-=+ 图2：22()42aba b c +=⨯+，即222a b c +=．【例2】 如图， 已知Rt ABC △的面积为20，以其三边作半圆，得到两个月牙图形（阴影部分），则月牙图形的面积 ．C B A【解析】 由例题知道大半圆的面积=两个小的半圆面积之和，从而月牙面积=直角三角形的面积20．巩固练习1. 若把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（ ）．A ．1倍B ．2倍C ．3倍D ．4倍【解析】 B2. 若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为________．【解析】 可知三边为3，4，5，所以周长为12；3. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ） A ．9 B ．6 C ．4 D ．3【解析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a-b ， ∵每一个直角三角形的面积为：21ab=21×8=4，∴4×21ab+（a-b ）2=25，∴（a-b ）2=25-16=9，∴a-b=3，故选：D ．4. 如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD 、正方形EFGH 、正方形MNPQ 的面积分别为S 1、S 2、S 3．若S 1+S 2+S 3=60，则S 2的值是（ ） A ．12 B ．15 C ．20 D ．30【解析】设每个小直角三角形的面积为m，则S1=4m+S2，S3=S2-4m，因为S1+S2+S3=60，所以4m+S2+S2+S2-4m=60，即3S2=60，解得S2=20．故选：C．5.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为__________．【解析】49cm26.阅读理解：【问题情境】教材中小菁用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，从而得数学等式：；（用含字母a、b、c的式子表示）化简证得勾股定理：a2+b2=c2【初步运用】（1）如图1，若b=2a，则小正方形面积：大正方形面积= ；（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a=4，b=6此时空白部分的面积为；【迁移运用】如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，峰峰拼出图3的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．知识补充：如图4，含60°的直角三角形，对边y：斜边x=定值k．【解答】【探索新知】由题意：大正方形的面积=（a+b ）2=c 2+4×21ab ，∴a 2+2ab+b 2=c 2+2ab ，∴a 2+b 2=c 2 【初步运用】（1）由题意：b=2a ，c=5a ，∴小正方形面积：大正方形面积=5a 2：9a 2=5：9，故答案为5：9． （2）空白部分的面积为=52-2×21×4×6=28．故答案为28．【迁移运用】结论：a 2+b 2-ab=c 2．理由：由题意：大正三角形面积=三个全等三角形面积+小正三角形面积可得：21（a+b ）×k （a+b ）=3×21×b×ka+21×c×ck ， ∴（a+b ）2=3ab+c 2， ∴a 2+b 2-ab=c 2．7. 如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，BC=a ，AC=b ，AB=c ，正方形IECF 中，IE=EC=CF=FI=x （1）小菁发明了求正方形边长的方法： 由题意可得BD=BE=a-x ，AD=AF=b-x因为AB=BD+AD ，所以a-x+b-x=c ，解得x=2cb a -+ （2）峰峰也发现了另一种求正方形边长的方法：利用S △ABC =S △AIB +S △AIC +S △BIC 可以得到x 与a 、b 、c 的关系，请根据峰峰的思路完成他的求解过程：（3）请结合小菁和峰峰得到的结论验证勾股定理．【解答】（2）因为S △ABC =S △ABI +S △BIC +S △AIC ， ∴21ab=21cx+21ax+21bx ，∴x=cb a ab ++． 答：x 与a 、b 、c 的关系为x=c b a ab++．（3）根据（1）和（2）得：x=2c b a -+=cb a ab++．即2ab=（a+b+c ）（a+b-c ）， 化简得a 2+b 2=c 2．8. 如图1，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用1S 、2S 、3S 表示，则不难证明123S S S =+．⑴ 如图2，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用1S 、2S 、3S 表示，那么1S 、2S 、3S 之间有什么关系？（不必证明）⑵ 如图3，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用1S 、2S 、3S 表示，请你确定1S 、2S 、3S 之间的关系并加以证明．⑶ 四边形ABCD 的对角线互相垂直，现以四边形的边长为边长向外作四个正方形，面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ．则1S 、2S 、3S 和4S 之间的关系是 ．ABC S 1S 3S 2图3ABC S 1S 3S 2图2图1S 2S 3S 1CBA S 4S 3S 2S 1DB CA【解析】 设Rt ABC △的三边BC 、CA 、AB 的长分别为a 、b 、c ，则222c a b =+．⑴ 123S S S =+ ．⑵ 123S S S =+．证明如下：显然，213S =，223S ，233S =， ∴22223133)S S a b S ++=．⑶ 1324S S S S +=+9. ⑴ 如图1是一个重要公式的几何解释．请你写出这个公式；⑵ 如图2，Rt Rt ABC CDE △≌△，90B D ∠=∠=︒，且B C D ，，三点共线，试证明90ACE ∠=︒； ⑶ 伽菲尔德（Garfield ，1881年任美国第20届总统）利用1中的公式和图2证明了勾股定理（1876年4月1日，发表在《新英格兰教育日志》上），现请你尝试该证明过程．【解析】 ⑴ 这个公式为222()2a b a ab b +=++．⑵ ∵ABC CDE △≌△，∴BAC DCE ∠=∠．90ACB DCE ACB BAC ∠+∠=∠+∠=∴°． 由于B C D ，，共线， 所以()180ACE ACB DCE ∠=︒-∠+∠1809090=︒-︒=︒．⑶ 梯形ABDE 的面积为()()()()2111222AB ED BD a b a b a b +⋅=++=+；另一方面，梯形ABDE 可分成三个直角三角形，其面积又可以表示成2111222ab ab c ++∴()2211112222a b ab ab c +=++，即222a b c +=10. 勾股证明的方法成百上千种，其中《几何原本》中的证法非常经典，是在一个我们非常熟悉的几何图形中实现的（如图所示），如果直角三角形ABC 的三边长为a ，b ，c （c 为斜边），以这三边向外作三个正方形，试利用此图证明222a b c +=．cbaNMHFE DCBA【解析】（1）如上图可知：ACF ADB △△≌，a bba 图1abcc A EDC Bb a图22ACED ADB S S =正方形△，2AFGP ACF S S =矩形△，∴2AFGP b S =矩形，同理2GHBP a S =矩形，∴222a b c +=．ABCE FHMNP。

中考数学频考点突破--勾股定理的应用一、综合题1．已知Rt△ABC中，△C=90˚，AC=4，BC=8.动点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿射线．．CB方向运动，连接AP.设运动时间为t s.（1）求斜边AB的长.（2）当t为何值时，△PAB的面积为6？（3）若t＜4，请在所给的图中画出△PAB中AP边上的高BQ，问：当t为何值时，BQ长为4？并直接写出此时点Q到边BC的距离.2．如图，AB为△O的直径，弦CD△AB于E，点F在DC的延长线上，AF交△O于G．（1）求证：△FGC＝△ACD；（2）若AE=CD=8，试求△O的半径．3．数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这种思想叫“算两次”．“算两次”也称作富比尼原理，是一种重要的数学思想，由它可以推导出很多重要的公式．（1）如图1，是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形．①用“算两次”的方法计算图2中阴影部分的面积：第一次列式为▲ ，第二次列式为▲ ，因为两次所列算式表示的是同一个图形的面积，所以可以得出等式▲ ；②在①中，如果a+b=7，ab=10，请直接用①题中的等式，求阴影部分的面积；（2）如图3，两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形，用“算两次”的方法，探究a，b，c之间的数量关系．4．关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．5．如图，在等边△ABC的AC，BC上各取一点D，E，使AD=CE，AE，BD相交于点M，过点B作直线AE的垂线BH，垂足为H.（1）求证：△ACE△△BAD；（2）若BE=2EC=4.①求△ABC的面积；②求MH的长.6．如图1，有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形．（1）拼成的正方形的面积是，边长是．（2）把10个小正方形组成的图形纸（如图2），剪开并拼成正方形．①请在4×4方格图内画出这个正方形．②以小正方形的边长为单位长度画一条数轴，并在数轴上画出表示- √10的点．（3）这种研究和解决问题的方式，主要体现了的数学思想方法．A．数形结合B．代入C．换元D．归纳7．如图，已知AB为⊙O的直径，点C为⊙O外一点，AC=BC，连接OC，DF是AC的垂直平分线，交OC于点F，垂足为点E，连接AD、CD，且∠DCA=∠OCA．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若CD=6，OF=4，求cos∠DAC的值．8．（1）如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，若AP=2，PC=2DP，则BC=；（2）如图2，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=8，AD=10，点E在线段BC上且BE=6，连接DE，作FE⊥ED，交AB于点F，则四边形ADEF的面积是多少？（3）如图3，四边形ABCD中，AB=8，点C到AB的距离为10，∠C=90°，且BC=2CD．当四边形ABCD的面积是61时，求CD的长度是多少？9．如图，AD是▱ABDE的对角线，∠ADE=90°，延长ED至点C，使DC= ED，连接AC交BD于点O，连接BC．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）连接OE，若AD=4，AB=2，求OE的长．10．阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分△BAC，则AB AC＝BDCD．下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过C作CE△DA．交BA的延长线于E．…任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）填空：如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，△ABC＝90°，AD平分△BAC，则△ABD的周长是．11．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，若CD=3，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求证：△CDE为等边三角形；（2）求EF的长．12．如图，（1）作△ABC的外接△O（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）若AB=6cm，AC=BC=5cm，求△O的半径．13．如图，在四边形ABCD中，AB=CD=6，BC=10，AC=8，∠ABC=∠BCD.过点D作DE⊥BC，垂足为点E，延长DE至点F，使EF=DE，连接BF，CF．（1）求证：四边形ABFC是矩形；（2）求DE的长．14．（1）如图所示，Rt△ABC中，△BAC ＝90 °，AB＝√3，AC＝√6，点D是斜边BC的中点，连接AD，求AD的长．（2）如图，在平行四边形ABCD中，DE△AB，BF△CD，垂足分别是E、F．求证：△ADE△△CBF15．平面直角坐标系中，直线y＝12x﹣1的图象如图所示，它与直线y＝﹣2x+4的图象都经过A （2，0），且两直线与y轴分别交于B、C两点.（1）直接画出一次函数y＝﹣2x+4的图象；（2）直接写出B、C两点的坐标；（3）判断△ABC的形状，并说明理由.16．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，作CE⊥AB于点E，AB= 6OE，延长AB至点D，使得BD=AB，P是弧AB（异于A，B）上一个动点，连接AC，BC，CD，PD，PE．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AO=3，求AC的长度．答案解析部分1．【答案】（1）解：在Rt△ABC 中，△C=90˚，AC=4，BC=8，AB =√AC 2+BC 2=√16+64=4√5.（2）解：AC=4，BC=8， ∵△PAB 的面积为6， ∴PB=3. ∵CP=2t ，∴当点P 在点B 的左侧时，PB=8−2t ；当点P 在点B 的右侧时，PB=2t ，∴t =52或 t =112.（3）解：作△PAB 中AP 边上的高BQ ，在△ACP 与△BQP 中，{∠ACP =∠BQP ∠APC =∠BPQ AC =BQ ， ∴△ACP ≌△BQP(AAS)，∴AP =BP. 在 Rt △ACP 中，∵CP 2+CA 2=AP 2 ,即 42+(2t)2=(8−2t)2, 解得 t =32，∴当 t =32时， PQ =3.BQ =4,BP =5,根据等面积法求出点Q 到边BC 的距离： PQ⋅BQ BP=125.【知识点】三角形的面积；勾股定理；一元一次方程的实际应用-几何问题；三角形全等的判定（AAS ）【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求出.（2）分点 P 在 B 点左侧与右侧两种情况进行讨论即可；（3）作△PAB 中AP 边上的高BQ ，先根据 AAS 定理得出 △ACP ≌△BQP ， 再由勾股定理得出 t 的值，进而可得出结论.2．【答案】（1）证明：∵AB 为△O 的直径，CD△AB ，∴AB垂直平分CD，∴AC=AD，∴△ACD=△D，∵四边形AGCD内接于△O，∴△AGC+△D=180°，∵△AGC+△FGC=180°，∴△D=△FGC，∴△ACD=△FGC；（2）解：连接OC，∵AB为△O的直径，CD△AB，AE=CD=8，∴CE=ED=4，设OA=OC=r，则OE=8-r，在Rt△COE中，OE2+CE2=OC2，即(8−r)2+42=r2，解得r=5，即△O的半径为5.【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；垂径定理；圆内接四边形的性质【解析】【分析】（1）利用垂径定理可证得AB垂直平分CD，利用垂直平分线的性质可得到AC=AD；利用等边对等角可知△ACD=△D；再利用圆内接四边形的性质及补角的性质可证得△D=△FGC，由此可证得结论.（2）连接OC，利用垂径定理求出CE的长；设OA=OC=r，可表示出OE的长；在Rt△COE，利用勾股定理可得到关于r的方程，解方程求出r的值.3．【答案】（1）解：①因为小正方形的边长为：a−b，所以第一次计算的面积为：(a−b)2，第二次计算的面积为：(a+b)2−4ab，所以：(a−b)2=(a+b)2−4ab；或(a+b)2−4ab，(a−b)2，(a+b)2−4ab=(a−b)2②∵a+b=7，ab=10∴(a−b)2=(a+b)2−4ab=72−4×10=9（2）解：第一次利用梯形的面积公式图形面积为：12(a+b)2，第二次利用图形的面积和计算为：2×12ab+12c2，∴12(a+b)2=2×12ab+12c2整理得：a2+2ab+b2=2ab+c2∴a2+b2=c2【知识点】列式表示数量关系；完全平方公式的几何背景；勾股定理的证明【解析】【分析】（1）①利用所给图形，再结合完全平方公式求解即可；②根据a+b=7，ab=10，计算求解即可；（2）先求出12(a+b)2=2×12ab+12c2，再整理计算求解即可。

勾股定理知识点归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定cb aHG F EDCB A bacbac cabcab a bc c baE D CBA理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：ABC30°D C BA ADB C10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

2023年中考九年级数学高频考点专题训练--勾股定理的应用一、综合题1．如图1，对称轴为直线x= 12的抛物线经过B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与x轴的另一交点为A（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；（3）如图2，若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE 2．如图①，在△ABC中，△A＝90°，AB＝AC＝13√22，连接DE，把△ADE绕点A顺时针方向旋转α（0°＜α＜360°）.＝7√22（1）如图②，当0°＜α＜180°时，判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由；（2）如图③，若180°＜α＜360°，当C、D、E三点在同一直线时，BD与CE具有怎样的位置关系，请说明理由，并求出此时线段BE的长；（3）在旋转过程中，求△BCD的面积的最大值，并写出此时的旋转角α的度数.3．问题提出（1）如图①，AD是△ABC的中线，则AB+AC 2AD；（填“>”“<”或“=”）（2）问题探究如图②，在矩形ABCD中，CD=3，BC=4，点E为BC的中点，点F为CD上任意一点，当△AEF的周长最小时，求CF的长；（3）问题解决如图③，在矩形ABCD中，AC=4，BC=2，点O为对角线AC的中点，点P为AB上任意一点，点Q为AC上任意一点，连接PO、PQ、BQ，是否存在这样的点Q，使折线OPQB的长度最小？若存在，请确定点Q的位置，并求出折线OPQB的最小长度；若不存在，请说明理由。

4．如图，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A（-3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC。

点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m。

一、选择题1．如图，ABC 是等边三角形，点D ．E 分别为边BC ．AC 上的点，且CD AE =，点F 是BE 和AD 的交点，BG AD ⊥，垂足为点G ，已知75∠=︒BEC ，1FG =，则2AB 为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．72．如图，等边ABC ∆的边长为1cm ，D ，E 分别是AB ，AC 上的两点，将ADE ∆沿直线DE 折叠，点A 落在点'A 处，且点'A 在ABC ∆外部，则阴影部分图形的周长为（ ）A ．1cmB ．1.5cmC ．2cmD ．3cm3．如图，在ABC 中，90A ∠=︒，6AB =，8AC =，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点O ，过点O 作⊥OD AB 于点D ，若则AD 的长为( )A ．2B ．2C ．3D ．44．如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM=2，N 是AC 上的一动点，则DN+MN 的最小值是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．125．在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD 的点A （0，﹣2）、点B （3m ，4m +1）（m ≠﹣1），点C （6，2），则对角线BD 的最小值是（ ）A ．2B ．13C ．5D ．66．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈=10尺）一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度是（ ）A ．5.3尺B ．6.8尺C ．4.7尺D ．3.2尺 7．在△ABC 中，AB =10，BC =12，BC 边上的中线AD =8，则△ABC 边AB 上的高为（ ）A ．8B ．9.6C ．10D ．12 8．勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．下列以线段a 、b 、c 的长为边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ） A ．9,41,40a b c ===B ．5,5,52a b c ===C ．::3:4:5a b c =D ．11,12,13a b c === 10．如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，垂足分别是点D 、E ，AD ＝3，BE ＝1，则BC 的长是（ ）A ．32B ．2C ．22D ．10二、填空题11．如图，∠MON ＝90°，△ABC 的顶点A 、B 分别在OM 、ON 上，当A 点从O 点出发沿着OM 向右运动时，同时点B 在ON 上运动，连接OC ．若AC ＝4，BC ＝3，AB ＝5，则OC 的长度的最大值是________．12．如图，在△ABC 中，OA ＝4，OB ＝3，C 点与A 点关于直线OB 对称，动点P 、Q 分别在线段AC 、AB 上(点P 不与点A 、C 重合)，满足∠BPQ ＝∠BAO.当△PQB 为等腰三角形时，OP 的长度是_____．13．等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边的长为________14．在Rt ABC 中，90,30,2C A BC ∠=∠==，以ABC 的边AC 为一边的等腰三角形，它的第三个顶点在ABC 的斜边AB 上，则这个等腰三角形的腰长为_________.15．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°,以AC 为斜边向外作等腰直角三角形COA ，已知BC=8,OB=102,则另一直角边AB 的长为__________.16．已知Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，∠ACB ＝90°，以AC 为一边在Rt △ABC 外部作等腰直角三角形ACD ，则线段BD 的长为_____．17．如图,在四边形ABCD 中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,AD=4,AB=3,则CD=_________18．如图，E 为等腰直角△ABC 的边AB 上的一点，要使AE ＝3，BE ＝1，P 为AC 上的动点，则PB ＋PE 的最小值为____________．19．如图所示，四边形ABCD 是长方形，把△ACD 沿AC 折叠到△ACD′，AD′与BC 交于点E ，若AD ＝4，DC ＝3，求BE 的长．20．已知：如图，等腰Rt OAB ∆的直角边OA 的长为1，以AB 边上的高1OA 为直角边，按逆时针方向作等腰11Rt OA B ∆，11A B 与OB 相交于点2A ，若再以2OA 为直角边按逆时针方向作等腰22Rt OA B ∆，22A B 与1OB 相交于点3A ，按此作法进行下去，得到33OA B ∆，44OA B ∆，…，则66OA B ∆的周长是______.三、解答题21．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=10，E 为CD 边上一点，将△ADE 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处．（1）求BF 的长；（2）求CE 的长．22．定义：如图1，平面上两条直线AB 、CD 相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线AB 、CD 的距离分别为p 、q ，则称有序实数对(p ，q )是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”为（0，0）的点有1个，即点O ．（1）“距离坐标”为(1，0)的点有 个；（2）如图2，若点M 在过点O 且与直线AB 垂直的直线l 上时，点M 的“距离坐标”为(p ，q )，且∠BOD = 150︒，请写出p 、q 的关系式并证明；（3）如图3，点M 的“距离坐标”为(1,3)，且∠DOB = 30︒，求OM 的长．23．在等腰△ABC 与等腰△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，且点D 、E 、C 三点在同一条直线上，连接BD ．（1）如图1，求证：△ADB ≌△AEC（2）如图2，当∠BAC ＝∠DAE ＝90°时，试猜想线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，当∠BAC ＝∠DAE ＝120°时，请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系式为： （不写证明过程）24．如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 点在边BC 上运动（不与B ，C 重合），点E 在边AB 的延长线上，点F 在边AC 的延长线上，AD DE DF ==． （1）若30AED ∠=︒，则ADB =∠______．（2）求证：BED CDF △≌△．（3）试说明点D 在BC 边上从点B 至点C 的运动过程中，BED 的周长l 是否发生变化？若不变，请求出l 的值，若变，请求出l 的取值范围．25．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，若点P 从点A 出发，以每秒2cm 的速度沿折线A ﹣C ﹣B ﹣A 运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）．（1）若点P 在AC 上，且满足PA ＝PB 时，求出此时t 的值；（2）若点P 恰好在∠BAC 的角平分线上，求t 的值；（3）在运动过程中，直接写出当t 为何值时，△BCP 为等腰三角形．26．如图，△ABC 中AC =BC ，点D ，E 在AB 边上，连接CD ，CE ．(1)如图1，如果∠ACB =90°，把线段CD 逆时针旋转90°，得到线段CF ，连接BF ， ①求证：△ACD ≌△BCF ；②若∠DCE =45°， 求证：DE 2=AD 2+BE 2；(2)如图2，如果∠ACB =60°，∠DCE =30°，用等式表示AD ，DE ，BE 三条线段的数量关系，说明理由．27．我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在ABC ∆中，AO 是BC 边上的中线，AB 与AC 的“广益值”就等于22AO BO -的值，可记为22AB AC OA BO ∇=-（1）在ABC ∆中，若90ACB ∠=︒，81AB AC ∇=，求AC 的值．（2）如图2，在ABC ∆中，12AB AC ==，120BAC ∠=︒，求AB AC ∇，BA BC ∇的值．（3）如图3，在ABC ∆中，AO 是BC 边上的中线，24ABC S ∆=，8AC =，64AB AC ∇=-，求BC 和AB 的长．28．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2BC AC =.(1)如图1，点D 在边BC 上，1CD =，5AD =ABD ∆的面积.(2)如图2，点F 在边AC 上，过点B 作BE BC ⊥，BE BC =，连结EF 交BC 于点M ，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连结BG .求证：2EG BG CG =+.29．如图，△ABC 中，90BAC ∠=︒，AB=AC ，P 是线段BC 上一点,且045BAP ︒<∠<︒.作点B 关于直线AP 的对称点D, 连结BD ，CD ，AD ．（1）补全图形.（2）设∠BAP 的大小为α.求∠ADC 的大小(用含α的代数式表示).（3）延长CD与AP交于点E,直接用等式表示线段BD与DE之间的数量关系.30．问题情境：综合实践活动课上，同学们围绕“已知三角形三边的长度，求三角形的面积”开展活动，启航小组同学想到借助正方形网格解决问题问题解决：图（1）、图（2）都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，操作发现，启航小组同学在图（1）中画出△ABC，其顶点A，B，C都在格点上，同时构造长方形CDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边EF经过点A，ED经过点B．同学们借助此图求出了△ABC的面积．（1）在图（1）中，△ABC的三边长分别是AB＝，BC＝，AC＝．△ABC 的面积是．（2）已知△PMN中，PM＝17，MN＝25，NP＝13．请你根据启航小组的思路，在图（2）中画出△PMN，并直接写出△RMN的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】结合等边三角形得性质易证△ABE≌△CAD，可得∠FBG＝30°，BF＝2FG＝2，再求解∠ABE ＝15°，进而两次利用勾股定理可求解．【详解】∵△ABC为等边三角形∴∠BAE＝∠C＝60°，AB＝AC，CD＝AE∴△ABE≌△CAD（SAS）∴∠ABE=∠CAD∴∠BFD＝∠ABE+∠BAD＝∠CAD+∠BAF＝∠BAC＝60°，∵BG⊥AD，∴∠BGF＝90°，∴∠FBG＝30°，∵FG＝1，∴BF＝2FG＝2，∵∠BEC＝75°，∠BAE＝60°，∴∠ABE＝∠BEC﹣∠BAE＝15°，∴∠ABG＝45°，∵BG⊥AD，∴∠AGB＝90°，∴=AB2=AG2+BG22)2=6．故选C．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，证明△ABG为等腰直角三角形是解题关键．2．D解析：D【分析】根据折叠的性质可得AD=A'D，AE=A'E，易得阴影部分图形的周长为=AB+BC+AC，则可求得答案．【详解】解：因为等边三角形ABC的边长为1cm，所以AB=BC=AC=1cm，因为△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，所以AD=A'D，AE=A'E，所以阴影部分图形的周长=BD+A'D+BC+A'E+EC=BD+AD+BC+AE+EC=AB+BC+AC=1+1+1=3（cm）．故选：D．【点睛】此题考查了折叠的性质与等边三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用以及折叠前后图形的对应关系．3．B解析：B【分析】过点O作OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，由角平分线的性质得到OD=OE=OF，根据勾股定理求出BC的长，易得四边形ADFO为正方形，根据线段间的转化即可得出结果.【详解】解：过点O作OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，∵BO,CO分别为∠ABC，∠ACB的平分线，所以OD=OE=OF，又BO=BO,∴△BDO≌△BEO,∴BE=BD.同理可得，CE=CF.又四边形ADOE为矩形，∴四边形ADOE为正方形.∴AD=AF.∵在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，∴BC=10.∴AD+BD=6①,AF+FC=8②，BE+CE=BD+CF=10③，①+②得，AD+BD+AF+FC=14，即2AD+10=14，∴AD=2.故选：B.【点睛】此题考查了角平分线的定义与性质，以及全等三角形的判定与性质，属于中考常考题型．4．C解析：C【解析】【分析】要求DN＋MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN，MN的值，从而找出其最小值求解．【详解】解：∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点，∴连接BN，BD，则直线AC即为BD的垂直平分线，∴BN＝ND∴DN＋MN＝BN＋MN连接BM交AC于点P，∵点 N为AC上的动点，由三角形两边和大于第三边，知当点N运动到点P时，BN＋MN＝BP＋PM＝BM，BN＋MN的最小值为BM的长度，∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝CD＝8，CM＝8−2＝6，BCM＝90°，∴BM＝＝10，∴DN＋MN的最小值是10．故选：C．【点睛】此题考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，解题的难点在于确定满足条件的点N的位置：利用轴对称的方法．然后熟练运用勾股定理．5．D解析：D【分析】先根据B（3m，4m+1），可知B在直线y=43x+1上，所以当BD⊥直线y=43x+1时，BD最小，找一等量关系列关于m的方程，作辅助线：过B作BH⊥x轴于H，则BH=4m+1，利用三角形相似得BH2=EH•FH，列等式求m的值，得BD的长即可．【详解】解：如图,∵点B(3m，4m+1)，∴令341m xm y=⎧⎨+=⎩，∴y=43x+1，∴B在直线y=43x+1上，∴当BD⊥直线y=43x+1时，BD最小，过B作BH⊥x轴于H，则BH=4m+1，∵BE在直线y=43x+1上，且点E在x轴上，∴E(−34，0)，G(0，1)∵F是AC的中点∵A(0，−2)，点C(6，2)，∴F(3，0)在Rt△BEF中，∵BH2=EH⋅FH，∴(4m+1)2=(3m+34)(3−3m)解得：m1=−14(舍)，m2=15，∴B(35，95)，∴BD=2BF=2×2239(3)55⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=6，则对角线BD的最小值是6；故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，利用待定系数法求一次函数的解析式，三角形相似的判定，圆形与坐标特点，勾股定理等知识点.本题利用点B的坐标确定其所在的直线的解析式是关键．6．D解析：D【分析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．【详解】解：设折断处离地面的高度OA是x尺，根据题意可得：x2+62=（10-x）2，解得：x=3.2，答：折断处离地面的高度OA是3.2尺．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．7．B解析：B【分析】如图，作CE AB ⊥与E,利用勾股定理的逆定理证明AD BC ⊥,再利用面积法求出EC 即可.【详解】如图，作CE AB ⊥与E.AD 是ABC ∆的中线,BC =12,∴BD=6,10,8,6,AB AD BD ===∴ 222AB AD BD =+,90,ADB ∴∠=,AD BC ∴⊥ 11,22ABC S BC AD AB CE ∆== 1289.6.10CE ⨯∴== 故选B.【点睛】 本题主要考查勾股定理的逆定理,三角形的面积等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,学会面积法求三角形的高.8．B解析：B【分析】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．【详解】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示：【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．9．D解析：D【分析】根据直角三角形的判定，符合a 2+b 2＝c 2即可；反之不符合的不能构成直角三角形．【详解】解：A 、因为92+402＝412，故能构成直角三角形；B 、因为52+52=(2，故能构成直角三角形； C 、因为()()()222345x x x +=，故能构成直角三角形；D 、因为112+122≠152，故不能构成直角三角形；故选：D ．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，当三角形中三边满足222a b c +=关系时，则三角形为直角三角形．10．D解析：D【分析】根据条件可以得出∠E ＝∠ADC ＝90°，进而得出△CEB ≌△ADC ，就可以得出AD ＝CE ，再利用勾股定理就可以求出BC 的值．【详解】解：∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴∠E ＝∠ADC ＝90°，∴∠EBC ＋∠BCE ＝90°．∵∠BCE ＋∠ACD ＝90°，∴∠EBC ＝∠DCA ．在△CEB 和△ADC 中，E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△CEB ≌△ADC （AAS ），∴CE ＝AD ＝3，在Rt △BEC中，，故选D ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．二、填空题11．5【解析】试题分析：取AB 中点E ，连接OE 、CE ，在直角三角形AOB 中，OE=AB ，利用勾股定理的逆定理可得△ACB 是直角三角形，所以CE=AB ，利用OE+CE≥OC ，所以OC 的最大值为OE+CE ，即OC 的最大值=AB=5．考点：勾股定理的逆定理，12．1或78【分析】 分为三种情况：①PQ BP =，②BQ QP =，③BQ BP =，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解．【详解】解：分为3种情况：①当PB PQ =时，4=OA ，3OB =， ∴22435BC AB ==+=， C 点与A 点关于直线OB 对称，BAO BCO ∴∠=∠，BPQ BAO ∠=∠，BPQ BCO ∴∠=∠，APB APQ BPQ BCO CBP ∠=∠+∠=∠+∠，APQ CBP ∴∠=∠，在APQ 和CBP 中，BAO BCP APQ B PQ B P C P ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨=⎪⎩， ()APQ CBP AAS ∴△≌△，∴5AP BC ==，1OP AP OA ∴=-=；②当BQ BP =时，BPQ BQP ∠=∠，BPQ BAO ∠=∠，BAO BQP ∴∠=∠，根据三角形外角性质得：BQP BAO ∠>∠，∴这种情况不存在；③当QB QP =时，QBP BPQ BAO ∠=∠=∠，PB PA ∴=，设OP x =，则4PB PA x ==-在Rt OBP △中，222PB OP OB =+，222(4)3x x ∴-=+， 解得：78x =； ∴当PQB △为等腰三角形时，1OP =或78； 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题，注意分类讨论．13．310或10【详解】分两种情况：（1）顶角是钝角时，如图1所示：在Rt △ACO 中，由勾股定理，得AO 2=AC 2-OC 2=52-32=16，∴AO=4，OB=AB+AO=5+4=9，在Rt △BCO 中，由勾股定理，得BC 2=OB 2+OC 2=92+32=90，∴10；（2）顶角是锐角时，如图2所示：在Rt △ACD 中，由勾股定理，得AD 2=AC 2-DC 2=52-32=16，∴AD=4，DB=AB-AD=5-4=1．在Rt △BCD 中，由勾股定理，得BC 2=DB 2+DC 2=12+32=10，∴BC=10 ； 综上可知，这个等腰三角形的底的长度为310或10．【点睛】本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质，难度适中，分情况讨论是解题的关键．14．23或2【分析】先求出AC 的长，再分两种情况：当AC 为腰时及AC 为底时，分别求出腰长即可.【详解】在Rt ABC 中，90,30,2C A BC ∠=∠==，∴AB=2BC=4，∴22224223AC AB BC =-=-=,当AC 为腰时，则该三角形的腰长为23；当AC 为底时，作AC 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如图，此时△ACD 是等腰三角形，则AE=3,设DE=x ，则AD=2x ，∵222AE DE AD +=,∴222(3)(2)x x +=∴x=1（负值舍去），∴腰长AD=2x=2，故答案为：32【点睛】此题考查勾股定理的运用，结合线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解题时注意：“AC 为一边的等腰三角形”没有明确AC 是等腰三角形的腰或底，故应分为两种情况解题，这是此题的易错之处.15．12【分析】延长BA 至E ，使AE=BC ，并连接OE.证∆BCO ≅∠EAO ，再证三角形BOE 是等腰直角三角形，利用勾股定理可得BE=()()222210210220BO EO +=+=，可得AB=BE-AE.【详解】如图，延长BA 至E ，使AE=BC ，并连接OE.因为三角形COA 是等腰直角三角形所以CO=AO,∠AOC=∠BOC+∠AOB=90°因为∠ABC=90°，∠AOC=90°，所以∠BAO+∠BCO=180°,又∠BAO+∠OAE=180° 所以∠BCO=∠OAE所以∆BCO ≅∠EAO所以BO=EO, ∠BOC=∠EOA所以，∠BOE=∠EOA+∠AOB=90°所以三角形BOE 是等腰直角三角形所以()()222210210220BO EO +=+=所以AB=BE-AE=20-8=12故答案为：12【点睛】考核知识点：全等三角形，勾股定理.构造全等三角形是关键.16．72965【分析】分三种情形讨论：（1）如图1中，以点C 所在顶点为直角时；（2）如图2中，以点D 所在顶点为直角时；（3）如图3中，以点A 所在顶点为直角时．【详解】（1）如图1中，以点C 所在顶点为直角时．∵AC =CD =4，BC =3，∴BD =CD +BC =7；（2）如图2中，以点D 所在顶点为直角时，作DE ⊥BC 与E ，连接BD ．在Rt△BDE中DE=2，BE=5，∴BD2229=+=；DE BE（3）如图3中，以点A所在顶点为直角时，作DE⊥BC于E，在Rt△BDE中，DE=4．BE=7，∴BD2265=+=．DE BE故答案为：7或29或65．【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．17．【解析】【分析】延长BC，AD交于E点，在直角三角形ABE和直角三角形CDE中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理即可解答.【详解】如图，延长AD、BC相交于E，∵∠A=60°,∠B=∠ADC=90°,∴∠E=30°∴AE=2AB，CE=2CD∵AB=3，AD=4,∴AE=6, DE=2设CD=x,则CE=2x，DE=x即x=2x=即CD=故答案为：【点睛】 本题考查了勾股定理的运用，含30°角所对的直角边是斜边的一半的性质，本题中构建直角△ABE 和直角△CDE ，是解题的关键．18．5【解析】试题分析：作点B 关于AC 的对称点F ，构建直角三角形，根据最短路径可知：此时PB +PE 的值最小，接下来要求出这个最小值，即求EF 的长即可，因此要先求AF 的长，证明△ADF ≌△CDB ，可以解决这个问题，从而得出EF =5，则PB +PE 的最小值为5．解：如图，过B 作BD ⊥AC ，垂足为D ，并截取DF =BD ，连接EF 交AC 于P ，连接PB 、AF ，则此时PB +PE 的值最小，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AB =CB ,∠ABC =90°，AD =DC ，∴∠BAC =∠C =45°，∵∠ADF =∠CDB ，∴△ADF ≌△CDB ，∴AF =BC ,∠FAD =∠C =45°，∵AE =3，BE =1，∴AB =BC =4，∴AF =4，∵∠BAF =∠BAC +∠FAD =45°+45°=90°,∴由勾股定理得：EF 22AF AE +2243+，∵AC 是BF 的垂直平分线，∴BP =PF ，∴PB +PE =PF +PE =EF =5，故答案为5.点睛：本题主要考查最短路径问题.解题的关键在于要利用轴对称知识，结合两点之间线段最短来求解.19．78【解析】 试题分析：根据矩形性质得AB=DC=6，BC=AD=8，AD ∥BC ，∠B=90°，再根据折叠性质得∠DAC=∠D′AC ，而∠DAC=∠ACB ，则∠D′AC=∠ACB ，所以AE=EC ，设BE=x ，则EC=4-x ，AE=4-x ，然后在Rt △ABE 中利用勾股定理可计算出BE 的长即可．试题解析：∵四边形ABCD 为矩形，∴AB=DC=3，BC=AD=4，AD∥BC，∠B=90°，∵△ACD 沿AC 折叠到△ACD′，AD′与BC 交于点E ，∴∠DAC=∠D′AC，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠D′AC=∠ACB，∴AE=EC，设BE=x ，则EC=4﹣x ，AE=4﹣x ，在Rt△ABE 中，∵AB 2+BE 2=AE 2，∴32+x 2=（4﹣x ）2，解得x=78， 即BE 的长为78．20．28+ 【分析】依次求出在Rt △OAB 中，OA 1Rt △OA 1B 1中，OA 2OA 1）2；依此类推：在Rt △OA 5B 5中，OA 6＝（2）6，由此可求出△OA 6B 6的周长． 【详解】∵等腰Rt OAB ∆的直角边OA 的长为1，∴在Rt △OA 1B 1中OA 1＝2OA ＝2，在22Rt OA B ∆中OA 2＝2OA 1＝（2）2， …故在Rt △OA 6B 6中OA 6＝2OA 5＝（2）6= OB 666A B OB 6故△OA 6B 6+2×（2）6+2×18=28+．【点睛】 本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．三、解答题21．（1）BF 长为6；（2）CE 长为3，详细过程见解析．【分析】（1）由矩形的性质及翻折可知，∠B=90°，AF=AD=10，且AB=8，在Rt △ABF 中，可由勾股定理求出BF 的长；（2）设CE=x ，根据翻折可知，EF=DE=8-x ，由（1）可知BF=6，则CF=4，在Rt △CEF 中，可由勾股定理求出CE 的长．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 为矩形，∴∠B=90°，且AD=BC=10， 又∵AFE 是由ADE 沿AE 翻折得到的，∴AF=AD=10，又∵AB=8，在Rt △ABF 中，由勾股定理得：，故BF 的长为6．（2）设CE=x ，∵四边形ABCD 为矩形，∴CD=AB=8，∠C=90°，DE=CD-CE=8-x ，又∵△AFE 是由△ADE 沿AE 翻折得到的，∴FE=DE=8-x ，由（1）知：BF=6，故CF=BC-BF=10-6=4，在Rt △CEF 中，由勾股定理得：222CF +CE =EF ，∴2224+x =(8-x)，解得：x=3，故CE 的长为3．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，利用勾股定理求解是本题的关键．22．(1)2；(2)q p =；(3)OM =【分析】（1）根据“距离坐标”的定义结合图形判断即可；（2）过M 作MN ⊥CD 于N ，根据已知得出MN q =，OM p =，求出∠MON ＝60°，根据含30度直角三角形的性质和勾股定理求出2232MN MO NO p =-=即可解决问题；（3）分别作点M 关于AB 、CD 的对称点F 、E ，连接EF 、OE 、OF ，连接MF 、ME 分别交AB 、CD 于P 点、Q 点，首先证明OM OE OF EF ===，求出2MF =，23ME =，然后过F 作FG QM ⊥，交QM 延长线于G ，根据含30度直角三角形的性质求出1FG =，3MG =，再利用勾股定理求出EF 即可．【详解】解：（1）由题意可知，在直线CD 上，且在点O 的两侧各有一个，共2个，故答案为：2；（2）过M 作MN CD ⊥于N ，∵直线l AB ⊥于O ，150BOD ∠=︒，∴60MON ∠=︒，∵MN q =，OM p =，∴1122NO MO p ==， ∴2232MN MO NO p =-=， ∴3q p =； （3）分别作点M 关于AB 、CD 的对称点F 、E ，连接EF 、OE 、OF ，连接MF 、ME 分别交AB 、CD 于P 点、Q 点．∴OFP OMP △≌△，OEQ OMQ △≌△，∴FOP MOP ∠=∠，EOQ MOQ ∠=∠，OM OE OF ==，∴260EOF BOD ∠=∠=︒，∴△OEF 是等边三角形，∴OM OE OF EF ===，∵1MP =，3MQ =， ∴2MF =，23ME =，∵30BOD ∠=︒，∴150PMQ ∠=︒，过F 作FG QM ⊥，交QM 延长线于G ，∴30FMG ∠=︒，在Rt FMG △中，112FG MF ==，则3MG =， 在Rt EGF 中，1FG =，33EG ME MG =+=， ∴22(33)127EF =+=，∴27OM =．【点睛】本题考查了轴对称的应用，含30度直角三角形的性质，勾股定理以及等边三角形的判定和性质等，正确理解题目中的新定义是解答本题的关键．23．（1）见解析；（2）CD 2AD +BD ，理由见解析；（3）CD 3+BD【分析】（1）由“SAS ”可证△ADB ≌△AEC ；（2）由“SAS ”可证△ADB ≌△AEC ，可得BD ＝CE ，由直角三角形的性质可得DE 2AD ，可得结论；（3）由△DAB ≌△EAC ，可知BD ＝CE ，由勾股定理可求DH ＝32AD ，由AD ＝AE ，AH ⊥DE ，推出DH ＝HE ，由CD ＝DE +EC ＝2DH +BD 3AD +BD ，即可解决问题；【详解】证明：（1）∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ADB ≌△AEC （SAS ）；（2）CD 2AD +BD ，理由如下：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ADB ≌△AEC （SAS ）；∴BD ＝CE ，∵∠BAC ＝90°，AD ＝AE ，∴DE ＝2AD ，∵CD ＝DE +CE ，∴CD ＝2AD +BD ；（3）作AH ⊥CD 于H ．∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ADB ≌△AEC （SAS ）；∴BD ＝CE ，∵∠DAE ＝120°，AD ＝AE ，∴∠ADH ＝30°，∴AH ＝12AD ， ∴DH 22AD AH -3， ∵AD ＝AE ，AH ⊥DE ，∴DH ＝HE ，∴CD ＝DE +EC ＝2DH +BD 3+BD ，故答案为：CD 3+BD ．【点睛】本题是结合了全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识的综合问题，熟练掌握知识点，有简入难，层层推进是解答关键.24．（1）90°；（2）证明见解析；（3）变化，234l +≤<．【分析】（1）由等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=60°，由等腰三角形的性质可求DAE=∠DEA=30°，由三角形内角和定理可求解；（2）根据等腰三角形的性质，可证得∠CDF=∠DEA 和∠EDB=∠DFA ，由此可利用“ASA”证明全等；（3）根据全等三角形的性质可得l =2+AD ，根据AD 的取值范围即可得出l 的取值范围．解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠ABC=∠ACB=60°，∵AD=DE∴∠DAE=∠DEA=30°，∴∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=90°，故答案为：90°；（2）∵AD=DE=DF ，∴∠DAE=∠DEA ，∠DAF=∠DFA ，∵∠DAE+∠DAF=∠BAC=60°，∴∠DEA+∠DFA=60°，∵∠ABC=∠DEA+∠EDB=60°，∴∠EDB=∠DFA ，∵∠ACB=∠DFA+∠CDF=60°，∴∠CDF=∠DEA ，在△BDE 和△CFD 中∵CDF DEA DE DF EDB DFA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BDE ≌△CFD （ASA ）（3）∵△BDE ≌△CFD ，∴BE=CD ，∴l =BD+BE+DE=BD+CD+AD=BC+AD=2+AD ，当D 点在C 或B 点时，AD=AC=AB=2,此时B 、D 、E 三点在同一条直线上不构成三角形，2+AD=4；当D 点在BC 的中点时，∵AB=AC ，∴BD=112BC =，AD ==此时22l AD =+=综上可知24l +≤<．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．（1）掌握等腰三角形等边对等角是解决此问的关键；（2）中注意角之间的转换；（3）中注意临界点是否可取．25．(1) 2516；（2）83t =或6；（3）当153,5,210t =或194时，△BCP 为等腰三角形．（1）设存在点P ，使得PA PB =，此时2PA PB t ==，42PC t =-，根据勾股定理列方程即可得到结论；（2）当点P 在CAB ∠的平分线上时，如图1，过点P 作PE AB ⊥于点E ，此时72BP t =-，24PE PC t ==-，541BE =-=，根据勾股定理列方程即可得到结论； （3）在Rt ABC 中，根据勾股定理得到4AC cm =，根据题意得：2AP t =，当P 在AC上时，BCP 为等腰三角形，得到PC BC =，即423t -=，求得12t =，当P 在AB 上时，BCP 为等腰三角形，若CP PB =，点P 在BC 的垂直平分线上，如图2，过P 作PE BC ⊥于E ，求得194t =，若PB BC =，即2343t --=，解得5t =，PC BC =③，如图3，过C 作CF AB ⊥于F ，由射影定理得；2BC BF AB =⋅，列方程2234352t --=⨯，即可得到结论． 【详解】 解：在Rt ABC 中，5AB cm =，3BC cm =，4AC cm ∴=，（1）设存在点P ，使得PA PB =，此时2PA PB t ==，42PC t =-，在Rt PCB 中，222PC CB PB +=，即：222(42)3(2)t t -+=，解得：2516t =， ∴当2516t =时，PA PB =； （2）当点P 在BAC ∠的平分线上时，如图1，过点P 作PE AB ⊥于点E ，此时72BP t =-，24PE PC t ==-，541BE =-=，在Rt BEP 中，222PE BE BP +=，即：222(24)1(72)t t -+=-，解得：83t =，当6t =时，点P 与A 重合，也符合条件，∴当83t =或6时，P 在ABC ∆的角平分线上； （3）根据题意得：2AP t =，当P 在AC 上时，BCP 为等腰三角形，PC BC ∴=，即423t -=，12t ∴=， 当P 在AB 上时，BCP 为等腰三角形，CP PB =①，点P 在BC 的垂直平分线上，如图2，过P 作PE BC ⊥于E ，1322BE BC ∴==， 12PB AB ∴=，即52342t --=，解得：194t =， PB BC =②，即2343t --=，解得：5t =，PC BC =③，如图3，过C 作CF AB ⊥于F ，12BF BP ∴=， 90ACB ∠=︒，由射影定理得；2BC BF AB =⋅，即2234352t --=⨯，解得：5310t=，∴当15319,5,2104t=或时，BCP为等腰三角形．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的面积，难度适中．利用分类讨论的思想是解（3）题的关键．26．（1）①详见解析；②详见解析；（2）DE2=EB2+AD2+EB·AD，证明详见解析【分析】（1）①根据旋转的性质可得CF=CD，∠DCF=90°，再根据已知条件即可证明△ACD≌△BCF；②连接EF，根据①中全等三角形的性质可得∠EBF=90°，再证明△DCE≌△FCE得到EF=DE 即可证明；（2）根据（1）中的思路作出辅助线，通过全等三角形的判定及性质得出相等的边，再由勾股定理得出AD，DE，BE之间的关系．【详解】解：（1）①证明：由旋转可得CF=CD，∠DCF=90°∵∠ACD=90°∴∠ACD=∠BCF又∵AC=BC∴△ACD≌△BCF②证明：连接EF，由①知△ACD≌△BCF∴∠CBF=∠CAD=∠CBA=45°，∠BCF=∠ACD，BF=AD∴∠EBF=90°∴EF2=BE2+BF2，∴EF2=BE2+AD2又∵∠ACB=∠DCF=90°，∠CDE=45°∴∠FCE=∠DCE=45°又∵CD=CF，CE=CE∴△DCE≌△FCE∴EF=DE∴DE2= AD2+BE2⑵DE2=EB2+AD2+EB·AD理由：如图2，将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△CBF，过点F作FG⊥AB，交AB 的延长线于点G，连接EF，∴∠CBE=∠CAD，∠BCF=∠ACD， BF=AD∵AC=BC，∠ACB=60°∴∠CAB=∠CBA =60°∴∠ABE=120°，∠EBF=60°，∠BFG=30°∴BG=12BF，FG=32BF∵∠ACB=60°，∠DCE=30°，∴∠ACD+∠BCE=30°，∴∠ECF=∠FCB+∠BCE=30°∵CD=CF，CE=CE∴△ECF≌△ECD∴EF=ED在Rt△EFG中，EF2=FG2+EG2又∵EG=EB+BG∴EG=EB+12 BF，∴EF2=（EB+12BF）2+（3BF）2∴DE2=（EB+12AD）2+（32AD）2∴DE2=EB2+AD2+EB·AD【点睛】本题考查了全等三角形的性质与旋转模型，解题的关键是找出全等三角形，转换线段，并通过勾股定理的计算得出线段之间的关系．27．(1)AC=9;(2)AB∇AC=-72,BA∇BC=73【分析】(1)在Rt AOC∆中,根据勾股定理和新定义可得AO2-OC2=81=AC2;(2)①先利用含30°的直角三角形的性质求出AO=2,OB=23再用新定义即可得出结论;②先构造直角三角形求出BE ,AE ,再用勾股定理求出BD ,最后用新定义即可得出结论;(3)作BD ⊥CD,构造直角三角形BCD,根据三角形面积关系求出BD,根据新定义和勾股定理逆定理得出三角形AOD 是直角三角形,根据中线性质得出OA 的长度,根据勾股定理求出OC,从而得出BC,再根据勾股定理求出CD,再求出AD,再运用勾股定理求出AB.【详解】(1)已知如图:AO 为BC 上的中线,在Rt AOC ∆中,AO 2-OC 2=AC 2因为81AB AC ∇=所以AO 2-OC 2=81所以AC 2=81所以AC=9.(2)①如图2,取BC 的中点D ,连接AO ,∵AB =AC ,∴AO ⊥BC ,在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =120°,∴∠ABC =30°,在Rt △AOB 中,AB =12,∠ABC =30°,∴AO =6,OB 2222126AB AO -=-3∴AB ∇AC =AO 2﹣BO 2=36﹣108=﹣72, ②取AC 的中点D ,连接BD ,∴AD =CD =12AC =6,过点B 作BE ⊥AC 交CA 的延长线于E ,在Rt △ABE 中,∠BAE =180°﹣∠BAC =60°,∴∠ABE =30°, ∵AB =12,∴AE =6,BE 222212663AB AE -=-=, ∴DE =AD +AE =12,在Rt △BED 中,根据勾股定理得,BD ()2222631267BE DE +=+= ∴BA ∇BC =BD 2﹣CD 2=216;(3)作BD ⊥CD,因为24ABC S ∆=,8AC =,所以BD=26ABC S AC ∆÷=,因为64AB AC ∇=-,AO 是BC 边上的中线,所以AO 2-OC 2=-64,所以OC 2-AO 2=64,由因为AC 2=82=64,所以OC 2-AO 2= AC 2所以∠OAC=90°所以OA=24228322ABC S AC ∆⨯÷=⨯÷= 所以OC=22228373AC OA +=+=所以BC=2OC=273,在Rt △BCD 中,CD=()2222276163BC BD -=-=所以AD=CD-AC=16-8=8所以AB=22228610AD BD +=+=【点睛】考核知识点:勾股定理逆定理,含30°直角三角形性质.借助辅助线构造直角三角形,运用勾股定理等直角三角形性质解决问题是关键.28．（1）3；（2）见解析．【分析】（1）根据勾股定理可得AC ，进而可得BC 与BD ，然后根据三角形的面积公式计算即可；（2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则根据余角的性质可得∠CBG =∠EBH ，由已知易得BE ∥AC ，于是∠E =∠EFC ，由于CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，则根据余角的性质得∠EFC =∠BCG ，于是可得∠E =∠BCG ，然后根据ASA 可证△BCG ≌△BEH ，可得BG =BH ，CG =EH ，从而△BGH 是等腰直角三角形，进一步即可证得结论．【详解】解：（1）在△ACD 中，∵90ACB ∠=︒，1CD =，5AD =，∴222AC AD CD =-=，∵2BC AC =，∴BC=4，BD =3，∴1132322ABD S BD AC ∆=⋅=⨯⨯=； （2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则∠CBG +∠CBH =90°， ∵BE BC ⊥，∴∠EBH +∠CBH =90°，∴∠CBG =∠EBH ，∵BE BC ⊥，90ACB ∠=︒，∴BE ∥AC ，∴∠E =∠EFC ，∵CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，∴∠EFC +∠FCG =90°，∠BCG +∠FCG =90°，∴∠EFC =∠BCG ，∴∠E =∠BCG ，在△BCG 和△BEH 中，∵∠CBG =∠EBH ，BC=BE ，∠BCG =∠E ，∴△BCG ≌△BEH （ASA ）， ∴BG =BH ，CG =EH ，∴222GH BG BH BG =+=，∴2EG GH EH BG CG =+=+．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、余角的性质和勾股定理等知识，属于常考题型，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．29．（1）见解析；（2）∠ADC=45α︒+；（3）2BD DE =【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）根据对称的性质，等腰三角形的性质及角与角之间的和差关系进行计算即可； （3）画出图形，结合（2）的结论证明△BED 为等腰直角三角形，从而得出结论.【详解】解：（1）如图所示；。

中考数学复习考点知识与题型归类解析28---直角三角形、勾股定理一、选择题7.(2020·宁波)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 为中线，延长CB 至点E ，使BE ＝BC ，连结DE ，F 为DE 中点，连结BF .若AC ＝8，BC ＝6，则BF 的长为 A ．2B ．2.5C ．3D ．4{答案}B{解析}在Rt △ABC 中， AC ＝8，BC ＝6，根据勾股定理，得AB ＝22AC BC ＝10.∵CD为Rt △ABC 斜边上的中线，∴CD ＝12AB ＝5.∵BE ＝BC ，F 为DE 的中点，∴由中位线定理，得BF ＝12CD ＝12×5＝2.5.因此本题选B ．6．（2020·陕西）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A 、B 、C 都在格点上，若BD 是△ABC 的高，则BD 的长为（ ） A ．101313B ．91313C ．81313D ．71313第6题图{答案}D{解析}本题考查了利用勾股定理求线段长、割补法求三角形面积以及等积法等知识.DBAC首先求出△ABC 的面积为3.5，ACBD ＝3.5×．（2020·包头）8、如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，D 是AB 的中点，BE CD ⊥，交CD 的延长线于点E ．若2AC =，BC =BE 的长为（ ）A．BCD{答案}A{解析}∵∠ACB=90°，∴△ABC 是直角三角形，∴22212AB AC BC =+=,∴AB =又∵点D 是AB 的中点，∴CD =.∴△ABC 的面积等于△BCD 面积的2倍，即11222CD BE BCAC ⨯=，∴BE =.故选A. 12．（2020·河北）如图7，从笔直的公路l 旁一点P 出发，向西走6km 到达l ；从P 出发向北走6km 也到达l .下列说法错误的是A.从点P 向北偏西45°走3km 到达lB.公路l 的走向是南偏西45°C.公路l 的走向是北偏东45°D.从点P 向北走3km 后，再向西走3km 到达lEDBA{答案}A{解析}解析：如图，在Rt△PAB中，∵∠APB=90°，PA=PB=6km，∴∠PAB=∠PBA=45°,AB=km.过点P作PC⊥AB，垂足为C，∴PC=12×=.∴点P向北偏西45°走km到达l，故选项A错误；过点A作DE⊥PA，则∠1=∠2=45°，∴公路l的走向是北偏东45°或南偏西45°，故选项B和C正确；过点C作CF⊥PB，垂足为F.在Rt△PCB中，∵∠PCB=90°，PC=BC，PB=6km，∴CF=PF=12×6=3km，即从点P 向北走3km后，再向西走3km到达l，故选项D正确.16．（2020·河北）图10是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块(可重复选取)按图10的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（）A.1，4，5 B.2，3，5 C.3，4，5 D.2，2，4{答案}B{解析}设选取的三块纸片的面积分别为a,b，c（a≤b＜c）,根据勾股定理可知a+b=c,所以选取的三块纸片可能为：①a=b=1,b=2，此时ab=1；②a=1，b=2，c=3, 此时ab=2；③a=1，b=3，c=4, 此时ab=3；④a=1，b=4，c=5, 此时ab=4；⑤a=2，b=2，c=4, 此时ab=4；⑥a=2，b=3，c=5, 此时ab=6.∴选取的三块纸片的面积分别是2,3，5时，所围成的三角形的面积最大，故答案为B.15．（2020·毕节）如图，在一个宽度为AB 长的小巷内，一个梯子的长为a ，梯子的底端位于AB 上的点P ，将该梯子的顶端放于巷子一侧墙上的点C 处，点C 到AB 的距离BC 为b ，梯子的倾斜角∠BPC 为45° ;将该梯子的顶端放于另一侧墙上的点D 处，点D 到AB 的距离AD 为c ，且此时梯子的倾斜角∠APD 为75°，则AB 的长等于（ ） A ．a B ．b C ．2b cD ．c{答案}D ，{解析}本题考查勾股定理的实际应用．解：如图，∵CB ⊥AB ，∠APD ＝45°，∴∠PBC ＝45°．∴PB ＝PC ． ∵DA ⊥AB ，∠APD ＝75°，∴∠ADP ＝15°． 作∠EPD ＝∠EDP ＝15°，则∠AEP ＝30°． 设AP ＝x ，则EP ＝2x ，EA ＝c －2x ．在Rt △APE 中，由勾股定理，得AP 2＋AE 2＝PE 2，即x 2＋(c －2x )2＝(2x )2，bbc∴x 1＝（c （不合题意，舍去），x 2＝（2c ．∵PD ＝PC ，∴AD 2＋AP 2＝BP 2＋BC 2．即c 2＋[（2c ]2＝2b 2． 整理，得b1）c ．∴AB ＝AP ＋PB ＝（2－c1）c ＝c ． 故选D ．8．（2020·黄石）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点H 、E 、F 分别是边AB 、BC 、CA 的中点，若EF +CH ＝8，则CH 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6{答案} B{解析} 根据三角形的中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解决问题：∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点H ，E ，F 分别是边AB ，BC ，CA 的中点，∴EF ＝12AB ，CH ＝12AB ，∵EF +CH ＝8，∴CH ＝EF ＝12×8＝4，故选：B ．11．（2020·广西北部湾经济区）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读k ǔn ，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2EFCB为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（）A．50.5寸B．52寸C．101寸D．104寸{答案} C{解析}过D作DE⊥AB于E，如图2所示：由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，设OA＝OB＝AD＝BC＝r，CD＝1，AE＝r﹣1，则AB＝2r，DE＝10，OE=12在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得：r＝50.5，∴2r＝101（寸），∴AB＝101寸，因此本题选C．4．（2020•宁夏）如图摆放的一副学生用直角三角板，∠F＝30°，∠C＝45°，AB与DE相交于点G，当EF∥BC时，∠EGB的度数是（）A．135°B．120°C．115°D．105°【解析】过点G作HG∥BC，∵EF∥BC，∴GH∥BC∥EF，∴∠HGB＝∠B，∠HGE＝∠E，∵在Rt△DEF和Rt△ABC中，∠F＝30°，∠C＝45°∴∠E＝60°，∠B＝45°∴∠HGB＝∠B＝45°，∠HGE＝∠E＝60°∴∠EGB＝∠HGE+∠HGB＝60°+45°＝105°故∠EGB的度数是105°，故选：D．二、填空题16．（2020·衢州）图1是由七根连杆链接而成的机械装置，图2是其示意图．已知O，P两点固定，连杆PA＝PC＝140cm，AB＝BC＝CQ＝QA＝60cm，OQ＝50cm，O，P两点间距与OQ长度相等．当OQ绕点O转动时，点A，B，C的位置随之改变，点B恰好在线段MN上来回运动．当点B运动至点M或N时，点A，C重合，点P，Q，A，B在同一直线上（如图3）．（1）点P到MN的距离为cm；（2）当点P，O，A在同一直线上时，点Q到MN的距离为cm．{答案}（1）160，（2）640 9{解析}（1）如图3中，延长PO交MN于T，过点O作OH⊥PQ于H．由题意：OP＝OQ＝50cm，∵P，Q，A，B在同一直线上，∴PQ＝PA－AQ＝140－60＝80（cm），PM＝PA+BC＝140+60＝200（cm）.∵当点B运动至点M或N时，点A，C重合，点P，Q，A，B在同一直线上（如图3），∴当点B运动到点M处的△PCO与点B运动到点N处的△PCO全等，又PM＝PN，∴PT⊥MN.∵OH⊥PQ，∴PH＝HQ＝40（cm），∵cos∠PPH PTOP PM==，∴4050200PT=，解得PT＝160（cm），∴点P到MN的距离为160 cm．（2）如图4中，当O，P，A共线时，过Q作QH⊥PT于H．设HA＝x cm．由题意AT ＝PT ﹣PA ＝160﹣140＝20（cm ），OA ＝PA ﹣OP ＝140﹣50＝90（cm ），OQ ＝50cm ，AQ ＝60cm ，∵QH ⊥OA ，∴QH2＝AQ2﹣AH2＝OQ2﹣OH2，∴602﹣x2＝502﹣（90﹣x ）2，解得x4609=.∴HT ＝AH+AT6409=（cm ），∴点Q 到MN 的距离为6409cm ．因此本题答案为．（1）160 （2）640913．（2020·绍兴）如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中（纸片在结合部分不重叠无缝隙），则图2中阴影部分面积为________． {答案}45．{解析}本题考查了三角形的面积计算，勾股定理．由题意可得，直角三角形的斜边长为3，一条直角边长为2，由勾股定理得直角三角形的另一条直角边长为：22325-=，故阴影部分的面积是1254452⨯⨯⨯=．因此本题答案为45．16．(2020·绥化)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB －AC ＝2，BC ＝8，则AB 的长是______． {答案}17{解析}设AB ＝x ，则AC ＝x －2．由勾股定理，得x2－(x －2)2＝82．解得x ＝17． 13．（2020·江苏徐州）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、CA 的中点，若BF =5，则DE = .（第13题）{答案}5{解析}利用三角形的中位线的性质以及直角三角形斜边上中线的性质进行计算，∵点D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，∠ABC=90˚，∴AC=2DE=2BF,∵BF=5，∴DE=5. 9．（2020·齐齐哈尔）有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为（）A．15°B．30°C．45°D．60°{答案} B{解析}由平行线的性质可得∠CF A＝∠D＝90°，由外角的性质可求∠BAD的度数．如图，设AD与BC交于点F，∵BC∥DE，∴∠CF A＝∠D＝90°，∵∠CF A＝∠B+∠BAD＝60°+∠BAD，∴∠BAD＝30°故选：B．13. （2020·淮安）已知直角三角形斜边长为16，则这个直角三角形斜边上的中线长为_______________.{答案}8AB，代入求出即可．{解析}根据直角三角形斜边上的中线性质得出CD=12∵在△ACB中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，AB＝16，AB＝8，∴CD=12故答案为：8．18．（2020·无锡）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，点D，E分别在边AB，AC 上，且DB=2AD，AE=3EC，连接BE，CD，相交于点O，则△ABO面积最大值为▲．{答案}83{解析}过点D 作DF ∥AC 交BE 于F （如图1），易得△BDF ∽△BAE ，∴DF AE ＝BD AB ＝23，∵AE =3EC ，∴DF =2EC ，∴△COE ∽△DOF ，CO OD ＝CE CF ＝12，∴S ∆AOB ＝23 S ∆ABC ；点C 显然在以AB 为直径的圆弧上运动，AB 中点为M ，∴当CM ⊥AB 时，即点C 在圆弧最高处时，△ABC 面积最大，此时面积为12×4×2＝4，∴S ∆ABC ＝23×4＝83.14．（2020·扬州）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架.如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何?”题意是：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高?答：折断处离地面 尺高.EODBAC ED 图2图 1M C ABOFEOD BAC{答案}9120{解析}本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为（10﹣x ）尺，根据勾股定理得：x 2+32＝(10﹣x )2，解得x =． 12． （2020·岳阳）如图，在ABC Rt ∆中，CD 是斜边AB 上的中线，︒=∠20A ，则=∠BCD °．{答案}70°{解析}在在ABC Rt ∆中，∵CD 是斜边AB 上的中线，∴AB BD AD CD 21===，∴∠ACD ＝∠A＝20°，∴∠BCD ＝∠ACB －∠ACD ＝90°－20°＝70°．15.（2020·湖北孝感）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为1S ,空白部分的面积为2S ，大正方形的边长为m ，小正方形的边长为n ，若1S =2S ，则nm的值为________.（第15题 图1） （第15题 图2）{答案}2. {解析}设图1中三角形较短的直角边的长为x ，则较长的直角边的长为x+n ，由题意可得S 1=2nx+n 2, S 2=2x 2,由题意可得{2nx +n 2=2x 2,m 2=x 2+(x +n)2,解得{x =m2n =√3−12m,,所以nm.. 15.（2020·达州）已知△ABC 的三边a 、b 、c 满足b +|c −3|+a 2-8a =4√b −1-19，则△ABC 的内切圆半径= . {答案}1{解析} 式子b +|c −3|+a 2-8a =4√19可整理为：（a -4）2＋（√b −1−2）2+|c −3|=0，由平方、二次根式、绝对值的非负性可得：a -4=0且√−2=0、c −3=0，所以a =4，b =5，c=3，由勾股定理得逆定理得△ABC 是直角三角形，所以r=12×（3＋4－5）=1．11．（2020·菏泽）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 为AB 边的中点，连接CD ，若BC ＝4，CD ＝3，则cos ∠DCB 的值为______．{答案}32{解析}结合直角三角形斜边中线的性质把∠DCB 等量转化到直角三角形中求余弦值．在Rt △ABC 中，∵点D 为AB 边的中点，∴CD ＝21AB ，∴CD ＝BD ，AB =2CD =6，∴∠DCB =∠B ，∴cos ∠DCB ＝cos B ＝AB BC ＝64＝32． 15．“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步.已知此步道外形近似于如图所示的Rt △ABC ，其中∠C=90°，AB 与BC 间另有步道DE 相连，D 在AB 正中位置，E 地与C 相距1 km .若tan ∠ABC=43，∠DEB=45°，小张某天沿A →C →E →B →D →A 路线跑一圈，则他跑了 km .{答案}24{解析}过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F ，设DF=x ， ∵∠DEB=45°，tan ∠ABC=43， ∴tan ∠ABC=BF DF =43，tan ∠DEF=EF DF=1，∴43BF x ，EF x .∵CE=1，∴471133BCx x x .∵DF ⊥BC ，AC ⊥BC ，∴DF ∥AC ， ∵D 在AB 正中位置，∴DF 是△ABC 的中位线，∴AC=2DF=2x ， 在Rt △ABC 中，∠C=90°，tan ∠ABC=43， ∴tan ∠ABC=BC AC =43，即237413x x ，解得x =3， ∴AC=6，BC=8， ∴226810AB，∴当小张某天沿A →C →E →B →D →A 路线跑一圈时，则他跑了681024AC BC AB km ．15.（2020·安顺）如图，ABC ∆中，点E 在边AC 上，EB EA =，2A CBE ∠=∠，CD 垂直于BE 的延长线于点D ，8BD =，11AC =，则边BC 的长为.{答案}45{解析} 过点C ，作CF ∥AB ，交AB 的延长线于点F,作点F 关于直线CD 的对称点G.则,FCE A F ABE ∠=∠∠=∠，CF=CG,DF=DG.∵EB=EA ，∴A ABE ∠=∠，∴FCE F ∠=∠，∴EF=EC.即AC=BF=11. ∵DF=DG=3，∴BG=5. ∵CF=CG, ∴2FGC F CBE ∠=∠=∠ ，即CG=BG=5，则CD=4.在Rt △BDC 中，224845BC =+=.18．（2020·宜宾）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，连结CD 交BE 于点O ．若AC ＝8，BC ＝6，则OE 的长是 ．{答案}9511{解析}在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，根据勾股定理，得AB ＝22AC BC +＝2286+＝10．∴S △ABC ＝24，∵D 是AB 的中点，∴BD ＝5，S △BCD ＝12，如图，过点E 作EF ⊥AB 于点F ，过点O 分别作OG ⊥AB 于点G ，OH ⊥BC 于点H ，∵BE 平分∠ABC，∴CE＝FE，OG＝OH，设CE＝FE＝m，OG＝OH＝n，∴AE＝8－m，∵S△ABE＝12AE·BC＝12AB·FE，∴AE·BC＝AB·FE，∴6（8－m）＝10m，∴CE＝FE＝m＝3，在Rt△ABC中，∠ECB＝90°，根据勾股定理，得BE＝＝＝3．∵S△BCD＝12BD·OG+12BC·OH，∴12×5×n+12×6×n＝12，∴OG＝OH＝n＝2411，由OH∥BC得BOBE＝OHCE＝24113＝811，∴OE＝311BE．18．（2020·娄底）由4个直角边长分别为,a b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积2c等于小正方形的面积2()a b-与4个直角三角形的面积2ab的和证明了勾股定理222a b c+=，还可以用证明结论：若0a>，0b>，且22a b+为定值，则当a b时，ab取得最大值.{答案}={解析}本题考查了勾股定理的应用和完全平方公式，设22a b+为定值k，则222kc a b+==，由“张爽弦图”可知，2222()()ab c a b k a b=--=--，即2()2k a bab--=，要使ab的值最大，FGH则2()a b -需最小，又2()0a b -≥，∴当a b =时，2()a b -取得最小值，最小值为0，则当a b=时， 16．（2020·通辽）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点P 在斜边AB 上，以PC 为直角边作等腰直角三角形PCQ ，∠PCQ ＝90°，则P A 2，PB 2，PC 2三者之间的数量关系是 ．{答案}AP 2+BP 2=2PC 2{解析}如图，连结BQ ．由题意得：∠ACB =∠PCQ =90°，∴∠ACB －∠PCB =∠PCQ －∠PCB ，即∠ACP =∠BCQ ，∵AC ＝BC ，PC ＝QC ，∴△ACP ≌△BCQ （SAS ），∴AP =BQ ，∠A =∠CBQ =45°，∵∠CBP =45°，∴∠CBP +∠CBQ =90°，∴△PBQ 是直角三角形，∴BQ 2+BP 2=PQ 2，即AP 2+BP 2=PQ 2，∵△PCQ 是等腰直角三角形，∴PQ，故PQ 2=2PC 2，∴AP 2+BP 2=2PC 2．ab 取得最大值，最大值为2k，因此本题填=．18．（2020·邵阳）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°,斜边AB =2,过点C 作CF //AB ,以AB 为边作菱形ABEF ,若∠F =30°,则Rt △ABC 的面积为 .{答案}12{解析}本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质，利用直角三角形中的30°角所对直角边是斜边一半的性质，求出HE ，再利用平行线间的距离处处相等这一知识点得到HE =CG ，最终求出直角三角形面积．如图，分别过点E 、C 作EH 、CG 垂直AB ，垂足为点H 、G ， ∵根据题意四边形ABEF 为菱形，∴AB =BE ， 又∵∠ABE =30°∴在RT △BHE 中，EH =2， 根据题意，AB ∥CF ，根据平行线间的距离处处相等，∴HE =CG =2，∴Rt ABC 的面积为11222．因此本题答案为12．12． （2020•宁夏）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED＝1寸，锯道长AB＝1尺（1尺＝10寸）．问这根圆形木材的直径是26寸．【解析】由题意可知OE⊥AB，∵OE为⊙O半径，∴尺＝5寸，设半径OA＝OE＝r，∵ED＝1，∴OD＝r﹣1，则Rt△OAD中，根据勾股定理可得：（r﹣1）2+52＝r2，解得：r＝13，∴木材直径为26寸；故答案为：26．16．（2020•宁夏）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为27．【解析】由题意可得在图1中：a2+b2＝15，（b﹣a）2＝3，图2中大正方形的面积为：（a+b）2，∵（b﹣a）2＝3a2﹣2ab+b2＝3，∴15﹣2ab＝32ab＝12，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝15+12＝27，故答案为：27．三、解答题22．（2020·哈尔滨）如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，线段AB和线段CD的端点均在小正方形的顶点上.（1）在图中画出以AB为边的正方形ABEF，点E和点F均在小正方形的顶点上；（2）在图中画出以CD为边的等腰△CDG，点G在小正方形的顶点上，且△CDG的周长1010 .连接EG，请直接写出线段EG的长.{解析}本题考查了使用正方形判定等进行尺规作图，等腰三角形的性质；熟练掌握等腰三角形尺规作图方法是解题的关键，（1）以A 和B 为圆心，AB 为半径作圆，格点即为点F 和点E ；（2）因为△CDG 的周长1010 ，CD ＝10，所以腰长是5，以C 或D 为圆心，5个格长为半径作圆，格点即为点G ，最后勾股得出EG ＝51222＝＋． {答案}解：(1)如图所示.(2)如图所示， EG ＝516．（2020·贵阳）（8分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．{答案}解：（1）如图①中，△ABC 即为所求．（2）如图②中，△ABC 即为所求．（3）△ABC 即为所求． FEG23．（2020·随州）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今.(1)①请叙述勾股定理；②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理：(以下图形均满足证明勾股定理所需的条件)(2)①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足321S S S =+的有 个；②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为21S S 、，直角三角形面积为3S ，请判断321S S S 、、的关系并证明；(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”.在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M 的边长为定值m ，四个小正方形A ，B ，C ，D 的边长分别为a ，b ，c ，d ，已知∠1=∠2=∠3=∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：(结果可用含m 的式子表示) ①=+++2222d c b a ；②b 与c 的关系为 ，a 与d 的关系为 .{解析}本题考查了勾股定理及其证明方法、整式的化简、方程组的解法．（1）①按照教材内容叙述勾股定理的内容；②利用各部分图形的面积和等于总面积列出关于a 、b 、c 的等式，然后化简整理即可得到勾股定理的结论；（2）①在每个图形中都可以利用各部分图形的面积公式和勾股定理证明321S S S =+，进而得到答案为3；②首先利用正方形、半圆、等边三角形的面积公式求出321S S S 、、，然后结合勾股定理证明321S S S =+.（3）①首先利用正方形形的面积公式和勾股定理证明正方形A 、B 、C 、D 的面积和等于正方形M 的面积，然后代入数值可以得到=+++2222d c b a 2m .②利用∠1=∠2=∠3=∠α，得到它们的正切值ef c d a b ==，再结合勾股定理解方程组可以确定b=c ，a+d=m.{答案}解：(1)①如果直角三角形的两条直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222c b a =+. （或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.）……1分②证明：(学生只需写出一种证明方法即可，未写文字说明不扣分)在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和. 即22)(421a b ab c -+⋅=，化简得222c b a =+.在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和. 即421)(22⋅+=+ab c b a ，化简得222c b a =+.在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和. 即221221))((21c ab b a b a +⋅=++，化简得222c b a =+.……………3分(2)①3……4分②结论321S S S =+.……5分 证明如下：∵232221)2(21)2(21)2(21c S ba S S πππ-++=+3222)(81S c b a +-+=π∵222c b a =+，∴321S S S =+.…………………7分(3)①如图所示，由（1）②的证明可知：M F E D C B A S S S S S S S =+=+++，∵大正方形M 的边长为定值m ，四个小正方形A ，B ，C ，D 的边长分别为a ，b ，c ，d ， ∴=+++2222d c b a 2m .答案：2m …8分②如图所示，设正方形E 、F 的边长分别为e 、f ，∵∠1=∠2=∠3=∠α，∴ef c d a b ==. 又∵=+++2222d c b a 2m ，222e b a =+，∴222f d c =+，∴b=c ，a+d=m.答案：b=c ，…9分a+d=m.…11分23．（2020·随州）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今.(1)①请叙述勾股定理；②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理：(以下图形均满足证明勾股定理所需的条件)(2)①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足321S S S =+的有 个；②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为21S S 、，直角三角形面积为3S ，请判断321S S S 、、的关系并证明；(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”.在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M 的边长为定值m ，四个小正方形A ，B ，C ，D 的边长分别为a ，b ，c ，d ，已知∠1=∠2=∠3=∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：(结果可用含m 的式子表示) ①=+++2222d c b a ；②b 与c 的关系为 ，a 与d 的关系为 .{解析}本题考查了勾股定理及其证明方法、整式的化简、方程组的解法．（1）①按照教材内容叙述勾股定理的内容；②利用各部分图形的面积和等于总面积列出关于a 、b 、c 的等式，然后化简整理即可得到勾股定理的结论；（2）①在每个图形中都可以利用各部分图形的面积公式和勾股定理证明321S S S =+，进而得到答案为3；②首先利用正方形、半圆、等边三角形的面积公式求出321S S S 、、，然后结合勾股定理证明321S S S =+.（3）①首先利用正方形形的面积公式和勾股定理证明正方形A 、B 、C 、D 的面积和等于正方形M 的面积，然后代入数值可以得到=+++2222d c b a 2m .②利用∠1=∠2=∠3=∠α，得到它们的正切值ef c d a b ==，再结合勾股定理解方程组可以确定b=c ，a+d=m.{答案}解：(1)①如果直角三角形的两条直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222c b a =+. （或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.）……1分②证明：(学生只需写出一种证明方法即可，未写文字说明不扣分)在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和. 即22)(421a b ab c -+⋅=，化简得222c b a =+. 在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和. 即421)(22⋅+=+ab c b a ，化简得222c b a =+.在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和. 即221221))((21c ab b a b a +⋅=++，化简得222c b a =+.……………3分(2)①3……4分②结论321S S S =+.……5分 证明如下：∵232221)2(21)2(21)2(21c S ba S S πππ-++=+3222)(81S c b a +-+=π∵222c b a =+，∴321S S S =+.…………………7分(3)①如图所示，由（1）②的证明可知：M F E D C B A S S S S S S S =+=+++，∵大正方形M 的边长为定值m ，四个小正方形A ，B ，C ，D 的边长分别为a ，b ，c ，d ，∴=+++2222d c b a 2m .答案：2m …8分②如图所示，设正方形E 、F 的边长分别为e 、f ，∵∠1=∠2=∠3=∠α，∴ef c d a b ==. 又∵=+++2222d c b a 2m ，222e b a =+，∴222f d c =+，∴b=c ，a+d=m.答案：b=c ，…9分a+d=m.…11分23.（2020·牡丹江）等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝45°，以AC 为腰作等腰直角三角形ACD ，∠CAD 为90°，请画出图形，并直接写出点B 到CD 的距离.{解析}根据题目条件先画出相应的图形，分点D 在AC 的左侧或右侧两种情况讨论，然后根据特殊的45°角及相关线段长度，结合等腰直角三角形的性质和勾股定理求出点B 到CD 的垂线段的长度，即点B 到CD 的距离.{答案}解：本题有两种情况：点B 到CD 的距离为22；点B 到CD 的距离为4-22.（每图正确得1分，每个答案正确得2分）16. （2020·安顺）如图，在44⨯的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为项点分别按下列要求画三角形.（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数.图①图②图③{解析} 画直角三角形的关键在于利用勾股定理的逆定理，即一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，同时，合理使用格点三角形的特征.（1）显然利用边长为3、4、5即可画出直角三角形；（22的特点画直角三角形；（3画出直角三角形.本题画法不唯一. {答案}（答案不唯一）（1）答图①（2）答图②（3）答图③。

中考数学专题08 勾股定理在动动点题是近年来中考的形存在性问题是这类题目考查数学思想方法，尤其对勾股定基本思路是什么，解答的难点直角三角形是一类特殊三角形在求线段的长度等方面有广泛需掌握以下几个基本图形需掌握以下几个基本图形：题1. 如图1-1，在Rt △ABC 射线BC 以1m /s 的速度移动(1)求BC 边的长；(2)当△ABP 为直角三角形时【答案】（1）4m ；（2）见解析1考数学总复习知识点专题讲解理在动点直角三角形存在性问题中考的一个热点问题也是难点问题，而因动点产目考查的重点. 解这类题目要掌握转化、分类讨论勾股定理的运用炉火纯青，才能准确、快速的解答的难点在哪？我们将通过以下几个例题加以说明三角形，有着丰富的性质，角的关系、边的关系有广泛的应用.：BC 中，∠C ＝90°，AB ＝5m ，AC ＝3m ，动点移动，设运动的时间为t s .图1-1形时，求t 的值．见解析【解析】解：（1）∵∠C ＝90°在Rt △ABC 中，由勾股定理得4BC ==∴BC =4m .（2）由题意可知，∠ABP ≠90①当∠APB =90°时，此时P由（1）知BP =4，所以t =4②当∠BAP =90°时，如图1-由题意得：BP =t ，CP =t －4在Rt △ABP 中，由勾股定理得AP 2=BP 2－AB 2在Rt △ACP 中，由勾股定理得AP 2=AC 2+CP 2所以BP 2－AB 2=AC 2+CP 2即：()2222534t t −=+−解得：254t = 综上所述，当△ABP 为直角三【点睛】直角三角形存在性问和∠BAP 为直角时，进行分类题2. 如图2-1，在四边形ABC 若点P 是线段AD 上一动点【答案】见解析.【解析】解：∵∠D =90°，∴∠A =90°过B 作BE ⊥CD 于E ，如图则四边形ABED 为矩形所以BE =AD =7，DE =AB =3在Rt △BCE 中，由勾股定理得直角三角形时，t =4或254t =. 在性问题，分类讨论的出发角度是直角的位置行分类讨论，准确画出图形，根据勾股定理列方ABCD 中，∠D =90°，AB ∥DC ，AB =3，动点，当AP 为何值时，△BCP 是直角三角形图2-1AB ∥DC ，如图2-2所示.，CE =CD －DE =1图2-2定理得：BA D C E 位置，此题分∠APB 理列方程求解. DC =4，AD =7. 角形？BC2=CE2+BE2=50.因为∠C<90°，P在线段AD两种情况讨论：①当∠BPC=90°时，如图2-设AP=x，则PD=7-x在Rt△ABP中，由勾股定理得BP2=AP2+AB2=x2+9.在Rt△DCP中，由勾股定理得PC2=PD2+CD2= (7-x) 2+16.在Rt△BCP中，由勾股定理得PC2=PB2+BC2=x2+9+50.(7∴-x)2+16= x2+9+50解得：37 x=.即AP=3 7 .②当∠PBC=90°时，如图2-设AP =x ，则PD =7-x在Rt △ABP 中，由勾股定理得BP 2=AP 2+AB 2=x 2+9.在Rt △DCP 中，由勾股定理得PC 2=PD 2+CD 2= (7-x ) 2+16. 在Rt △BCP 中，由勾股定理得PC 2= BC 2-PB 2 = 50-x 2-9.(7∴-x )2+16=50- x 2-9解得：1234x x ==，.即AP =3或4.综上所述，当AP 为37或3【点睛】直角三角形的存在性位置进行讨论，解题方法除了以图2-4为例，是典型的“一线易知△ABP ∽△DPC ，所以即374x x =−，解得13x =因此在日常学习过程中，我们 图2-4定理得：定理得：定理得：或4时，△BCP 是直角三角形. 存在性问题用到的数学方法是分类讨论，针对直法除了利用勾股定理外，也可用相似三角形、一线三直角”模型.所以AB AP DP CD = 24x =，. 我们要针对每一个题多思考，有没有多种求解BA D C P针对直角所在不同的、三角函数等求解. 种求解方法，这样对拓展眼界有很大的好处.题3. 如图3-1，在△ABC 中向B 以1 cm /s 的速度运动，A ，B 同时出发．(1)经过多少秒，△BMN 为等边(2)经过多少秒，△BMN 为直角【答案】见解析.【解析】解：（1）设经过则AM ＝x ，BN ＝2x ，∴BM ＝AB －AM ＝30－x ，根据题意得30－x ＝2x ，解得x ＝10.所以经过10 s ，△BMN 为等边（2）设经过x 秒，△BMN 根据题意分两种情况讨论：中，AB ＝30 cm ，BC ＝35 cm ，∠B ＝60°，，动点N 自B 向C 以2 cm /s 的速度运动. 若点为等边三角形； 为直角三角形．图3-1x 秒，△BMN 为等边三角形，为等边三角形.MN 是直角三角形.：图3-2①当∠NMB =90°时，如图3∵∠B ＝60°，∴∠BNM ＝30°，∴BN ＝2BM ，即2x ＝2 (30－x )，解得x ＝15；②当∠BNM ＝90°时，∵∠B ＝60°，∴∠BMN ＝30°，∴BM ＝2BN ，即30－x ＝解得x ＝6，即经过6秒或15秒，△【点睛】(1)设时间为x ，用解之可得；(2)分①∠BNM 可得；②∠BMN ＝90°时，题4. 已知在Rt △ABC 中，∠(1)如图4-1，点O 是AB 的中点(2)如图4-2，若∠A =30°，AB3-2所示.图3-32×2x ，BMN 是直角三角形．x 表示出AM 、BN 、BM ，根据等边三角形的判＝90°时，即可知∠BMN ＝30°，依据2BN ＝∠BNM ＝30°，依据2BM ＝BNERROR: undefinedOFFENDING COMMAND: F4S63YFF STACK:。

第五部分 图形的性质5.6 勾股定理【一】知识点清单 1、勾股定理勾股定理；勾股定理的证明；两点间的距离公式（补充） 2、勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理；勾股数；勾股定理的应用；平面展开-最短路径问题；原命题与逆命题的概念【二】分类试题汇编一、选择题1．（2003年-9题-2分）如图，E 是边长为1的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE=BC ，P 为CE 上任意一点，PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BE 于点R ，则PQ+PR 的值是（ ）A B ．12 C D ．23 2．（2014年-8题-3分）如图，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n 个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n≠（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．（2015年-16题-2分）如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（ ）A ．甲、乙都可以B ．甲、乙都不可以C ．甲不可以、乙可以D ．甲可以、乙不可以 4．（2017年-11题-2分）如图是边长为10cm 的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据（单位：cm ）不正确．．．的是（ ）A．B．C．D．二、填空题1．（2004年大纲卷-19题-2分）如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为mm．2．（2005年大纲卷-20题-2分）如图，已知圆锥的母线长OA=8，底面圆的半径r=2．若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到了A点，求小虫爬行的最短路线的长：．3．（2006年课标卷-12题-3分）如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A⇒B⇒C所走的路程为m．4．（2008年-18题-3分）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是．三、解答题1．（1999年-22题-7分）已知：如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的高，∠B=45°，∠C=30°，AD=2．求△ABC 的面积．【三】参考答案与解析一、选择题1．（2003年-9题-2分）如图，E 是边长为1的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE=BC ，P 为CE 上任意一点，PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BE 于点R ，则PQ+PR 的值是（ ）A B ．12 C D ．23 【分类目录】5.8特殊的平行四边形，5.6勾股定理【知识考点】正方形的性质．【思路分析】连接BP ，利用面积法求解，PQ+PR 的值等于C 点到BE 的距离，即正方形对角线的一半．【解答过程】解：连接BP ，过C 作CM ⊥BD ，∵S △BCE =S △BPE +S △BPC =12BC×PQ+12BE×PR=12BC×（PQ+PR ）=12BE×CM ，BC=BE ， ∴PQ+PR=CM ，∵BE=BC=1且正方形对角线BD =， 又BC=CD ，CM ⊥BD ，∴M 为BD 中点，又△BDC 为直角三角形，∴CM=12。

中考数学知识点：直角三角形及勾股定理
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直角三角形及勾股定理
在Rt△ABC中，∠ACB=60°，DE 是斜边AC的中垂线，分别交AB、AC 于D、E两点.若BD=2，则AC的长是考点：线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理.
分析：求出∠ACB，根据线段垂直平分线求出AD=CD，求出∠ACD、∠DCB，求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可.
解答：解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=60°，
∴∠A=30°.
∵DE垂直平分斜边AC，
∴AD=CD，
∴∠A=∠ACD=30°，
∴∠DCB=60°﹣30°=30°，
∵BD=2，
∴CD=AD=4，
∴AB=2+4+2=6，
在△BCD中，由勾股定理得：CB=2，
在△ABC中，由勾股定理得：AC==4，
故选：B.
点评：本题考查了线段垂直平分线，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要考查学生运用这些定理进行推理的能力，题目综合性比较强，难度适中.
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《勾股定理》【知识网络】【要点梳理】1.勾股定理：直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=） 2.拼图法验证勾股定理3.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ； （2）验证：22a b +与2c 是否具有相等关系：若222a b c +=，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形； 若222a b c +＞时，△ABC 是锐角三角形； 若222a b c +＜时，△ABC 是钝角三角形． 4.勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.要点诠释：常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数； 2.较长的直角边与对应斜边相差1.5、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 【常考题型】类型一、面积问题1．如图，∠ACB ＝90°，以Rt △ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为S 1，S 2，S 3，且S 1＝1，S 2＝3，则S 3为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．9解析．如图，∠ACB ＝90°，以Rt △ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为S 1，S 2，S 3，且S 1＝1，S 2＝3，则S 3为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．9【分析】先设Rt △ABC 的三边分别为a 、b 、c ，再分别用a 、b 、c 表示S 1、S 2、S 3的值，由勾股定理即可得出S 3的值．【解答】解：设Rt △ABC 的三边分别为a 、b 、c ， ∴S 1＝a 2＝1，S 2＝b 2＝3，S 3＝c 2，∵△ABC是直角三角形，∴a2+b2＝c2，即S1+S2＝S3，∴S3＝S1+S2＝1+3＝4，故选：B．【点评】本题考查的是勾股定理的应用及正方形的面积公式，熟知勾股定理是解答此题的关键．2、如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积．【答案与解析】解：连接AC，如图所示：∵∠B=90°，∴△ABC为直角三角形，又∵AB=3，BC=4，∴根据勾股定理得：AC2=25，又∵CD=12，AD=13，∴AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=144+25=169，∴CD2+AC2=AD2，∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°，则S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB•BC+AC•CD=×3×4+×5×12=36．故四边形ABCD的面积是36．3、在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．【答案与解析】解：如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，设BD=x，则CD=14﹣x，由勾股定理得：AD2=AB2﹣BD2=152﹣x2，AD2=AC2﹣CD2=132﹣（14﹣x）2，故152﹣x2=132﹣（14﹣x）2，解之得：x=9．∴AD=12．∴S△ABC=BC•AD=×14×12=84．4.（2014春•防城区期末）如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ的面积为多少？【答案】解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，∵周长为36cm，AB+BC+AC=36cm，∴3x+4x+5x=36，得x=3，∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，∵AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，过3秒时，BP=9﹣3×1=6（cm），BQ=2×3=6（cm），∴S△PBQ=BP•BQ=×（9﹣3）×6=18（cm2）．故过3秒时，△BPQ的面积为18cm2．5．如图，方格纸上每个小正方形的面积为1个单位．（1）在方格纸上，请你以线段AB为边画正方形并计算所画正方形的面积，解释你的计算方法；（2）请你在图上画出一个面积为5个单位的正方形．解析．如图，方格纸上每个小正方形的面积为1个单位．（1）在方格纸上，请你以线段AB为边画正方形并计算所画正方形的面积，解释你的计算方法；（2）请你在图上画出一个面积为5个单位的正方形．【分析】（1）根据正方形的定义画出图形即可．（2）可以利用数形结合的思想解决问题即可．【解答】解：（1）正方形ABCD如图所示．根据网格和勾股定理可知：AB2＝22+62＝40（个单位），∴正方形ABCD的面积为40个单位；（2）面积为5个单位的正方形如图所示．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．类型二、判断形状1.如图，在正方形ABCD 中，AB=4，AE=2，DF=1，请你判定△BEF 的形状，并说明理由．【答案与解析】解：∵△BEF 是直角三角形，理由是：∵在正方形ABCD 中，AB=4，AE=2，DF=1， ∴∠A=∠C=∠D=90°，AB=AD=DC=BC=4，DE=4﹣2=2，CF=4﹣1=3，∵由勾股定理得：BE2=AB2+AE2=42+22=20，EF2=DE2+DF2=22+12=5，BF2=BC2+CF2=42+32=25， ∴BE2+EF2=BF2， ∴∠BEF=90°，即△BEF 是直角三角形．2、如果ΔABC 的三边分别为a b c 、、，且满足222506810a b c a b c +++=++，判断ΔAB C 的形状.【答案与解析】解：由222506810a b c a b c +++=++，得 ： 2226981610250a a b b c c -++-++-+= ∴ 222(3)(4)(5)0a b c -+-+-=∵222(3)0(4)0(5)0a b c -≥-≥-≥，， ∴ 3,4, 5.a b c === ∵ 222345+=, ∴ 222a b c +=.由勾股定理的逆定理得：△ABC 是直角三角形.类型三、最短路径问题1.【变式】如图所示，正方形ABCD 的AB 边上有一点E ，AE ＝3，EB ＝1，在AC 上有一点P ，使EP ＋BP 最短．求EP ＋BP 的最小值．【答案】解：根据正方形的对称性可知：BP ＝DP ，连接DE ，交AC 于P ，ED ＝EP ＋DP ＝EP ＋BP ， 即最短距离EP ＋BP 也就是ED ．∵ AE ＝3，EB ＝1，∴ AB ＝AE ＋EB ＝4，∴ AD ＝4，根据勾股定理得：222223425ED AE AD =+=+= ．∵ ED ＞0，∴ ED ＝5，∴ 最短距离EP ＋BP ＝5．2、如图所示，牧童在A 处放牛，其家在B 处，A 、B 到河岸的距离分别为AC ＝400米，BD ＝200米，CD ＝800米，牧童从A 处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？【思路点拨】作点A 关于直线CD 的对称点G ，连接GB ，交CD 于点E ，利用“两点之间线段最短”可知应在E 处饮水，再根据对称性知GB 的长为所走的最短路程，然后构造直角三角形，利用勾股定理可解决． 【答案与解析】解：作点A 关于直线CD 的对称点G ，连接GB 交CD 于点E ，由“两点之间线段最短”可以知道在E 点处饮水，所走路程最短．说明如下：在直线CD 上任意取一异于点E 的点I ，连接AI 、AE 、BE 、BI 、GI 、GE ． ∵ 点G 、A 关于直线CD 对称，∴ AI ＝GI ，AE ＝GE ．由“两点之间线段最短”或“三角形中两边之和大于第三边”可得GI ＋BI ＞GB ＝AE ＋BE ，于是得证．最短路程为GB 的长，自点B 作CD 的垂线，自点G 作BD 的垂线交于点H ，在直角三角形GHB 中，∵ GH ＝CD ＝800，BH ＝BD ＋DH ＝BD ＋GC ＝BD ＋AC ＝200＋400＝600，∴ 由勾股定理得222228006001000000GB GH BH =+=+=． ∴ GB ＝1000，即最短路程为1000米．3．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（ ）A ．6B ．8C ．9D ．15【解答】解：将台阶展开，如图， 因为AC ＝3×3+1×3＝12，BC ＝9， 所以AB 2＝AC 2+BC 2＝225， 所以AB ＝15，所以蚂蚁爬行的最短线路为15． 答：蚂蚁爬行的最短线路为15． 故选：D ．【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．4．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿4cm的点A 处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15cm，则该圆柱底面周长为（）cm．A．9 B．10 C．18 D．20解析．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15cm，则该圆柱底面周长为（）cm．A．9 B．10 C．18 D．20【分析】将容器侧面展开，建立A关于EG的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【解答】解：如图：将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半，作A关于EG的对称点A'，连接A'B交EG于F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF的长，即AF+BF＝A'B＝15cm，延长BG，过A'作A'D⊥BG于D，∵AE＝A'E＝DG＝4cm，∴BD＝12cm，Rt△A'DB中，由勾股定理得：A'D＝＝9cm，∴则该圆柱底面周长为18cm．故选：C．【点评】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．5．如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B距离C点5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短距离是25cm．【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．【解答】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD＝CD+BC＝10+5＝15，AD＝20，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB＝；只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD＝CD+BC＝20+5＝25，AD＝10，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB＝；只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴AC＝CD+AD＝20+10＝30，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：∴AB＝；∵25＜5，∴蚂蚁爬行的最短距离是25．故答案为：25【点评】本题主要考查两点之间线段最短，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．类型4：折叠问题1．如图所示，把长方形AOBC放在直角坐标系xOy中，使OB、OA分别落在x轴、y轴上，点C的坐标为（2，1），将△ABC沿AB翻折，使C点落在该坐标平面内的D点处，AD 交x轴于点E，则点D的坐标为．【解答】解：如图，过点D作DH⊥OB于H，∵四边形AOBC是矩形，点C的坐标为（2，1），∴OA＝BC＝1，AC＝OB＝2，∵将△ABC沿AB翻折，使C点落在该坐标平面内的D点处，∴AD＝AC＝2，BD＝BC＝1，在△AOE和△BDE中，，∴△AOE≌△BDE（AAS），∴AE＝BE，OE＝ED，设AE＝BE＝x，则OE＝2﹣x，∵OA2+OE2＝AE2，∴12+（2﹣x）2＝x2，解得x＝，∴BE＝，DE＝OE＝，∵S△DEB＝×DE×BD＝×BE×DH，∴DH＝，∴BH＝＝＝，∴OH＝，∴点D（，﹣），故答案为：（，﹣）．【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，求DH的长是本题的关键．2．如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝8，点E为DC边上的一个动点，把△ADE沿AE 折叠，当点D的对应点D′刚好落在矩形ABCD的对称轴上时，则DE的长为或．【分析】过点D′作MN⊥AB于点N，MN交CD于点M，由矩形有两条对称轴可知要分两种情况考虑，根据对称轴的性质以及折叠的特性可找出各边的关系，在直角△EMD′与△AND′中，利用勾股定理可得出关于DM长度的一元二次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：过点D′作MN⊥AB于点N，MN交CD于点M，如图1所示．设DE＝a，则D′E＝a．∵矩形ABCD有两条对称轴，∴分两种情况考虑：①当DM＝CM时，AN＝DM＝CD＝AB＝4，AD＝AD′＝5，由勾股定理可知：ND′＝＝3，∴MD′＝MN﹣ND′＝AD﹣ND′＝2，EM＝DM﹣DE＝4﹣a，∵ED′2＝EM2+MD′2，即a2＝（4﹣a）2+4，解得：a＝；②当MD′＝ND′时，MD′＝ND′＝MN＝AD＝，由勾股定理可知：AN＝＝，∴EM＝DM﹣DE＝AN﹣DE＝﹣a，∵ED′2＝EM2+MD′2，即，解得：a＝．综上知：DE＝或．故答案为：或．【点评】本题考查了翻转变换、轴对称的性质、矩形的性质以及勾股定理，解题的关键是找出关于DM长度的一元二次方程．本题属于中档题，难度不大，但在做题过程中容易丢失一种情况，解决该题型题目时，结合勾股定理列出方程是关键．类型5：实际应用1．古代著作《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？如图，其大意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深尺．【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知EB′的长为10尺，则B′C＝5尺，设出AB＝AB′＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的水深．【解答】解：依题意画出图形，设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，∵B′E＝10尺，∴B′C＝5尺，在Rt△AB′C中，52+（x﹣1）2＝x2，解之得x＝13，即水深12尺，故答案为：12．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟悉数形结合的解题思想是解题关键．2．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明精彩粉呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE，请用a，b，c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：S梯形ABCD＝a（a+b），S△EBC＝b（a﹣b），S四边形AECD＝c2，则它们满足的关系式为a（a+b）＝b（a﹣b）+c2，经化简，可得到勾股定理．（提示：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半）知识运用：（1）如图2，铁路上A，B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C，D为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD＝25千米，BC＝16千米，则两个村庄的距离为41千米（直接填空）；（2）在（1）的背景下，若AB＝40千米，AD＝24千米，BC＝16千米，要在AB上建造一个供应站P，使得PC＝PD，请用尺规作图在图3中作出P点的位置并求出AP的距离．（3）知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式+的最小值20（0＜x＜16）．【分析】小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积就可表示出．知识运用：（1）连接CD，作CE⊥AD于点E，根据AD⊥AB，BC⊥AB得到BC＝AE，CE＝AB，从而得到DE＝AD﹣AE＝24﹣16＝8千米，利用勾股定理求得CD两地之间的距离．（2）连接CD，作CD的垂直平分线角AB于P，P即为所求；设AP＝x千米，则BP＝（40﹣x）千米，分别在Rt△APD和Rt△BPC中，利用勾股定理表示出CP和PD，然后通过PC＝PD建立方程，解方程即可．（3）知识应用：根据轴对称﹣最短路线的求法即可求出【解答】解：小试牛刀：S梯形ABCD＝a（a+b），S△EBC＝b（a﹣b），S四边形AECD＝c2，它们满足的关系式为：a（a+b）＝b（a﹣b）+c2，故答案为：a（a+b），b（a﹣b），c2，a（a+b）＝b（a﹣b）+c2．知识运用：（1）如图2①，连接CD，作CE⊥AD于点E，∵AD⊥AB，BC⊥AB，∴BC＝AE，CE＝AB，∴DE＝AD﹣AE＝25﹣16＝9千米，∴CD＝＝＝41（千米），∴两个村庄相距41千米．故答案为：41．（2）如图2②所示：设AP＝x千米，则BP＝（40﹣x）千米，在Rt△ADP中，DP2＝AP2+AD2＝x2+242，在Rt△BPC中，CP2＝BP2+BC2＝（40﹣x）2+162，∵PC＝PD，∴x2+242＝（40﹣x）2+162，解得x＝16，即AP＝16千米．知识迁移：如图3，先作出点C关于AB的对称点F，连接DF，过点F作EF⊥AD与E，即：DF就是代数式+的最小值．代数式+的几何意义是线段AB上一点到点D，C的距离之和，而它的最小值就是点C的对称点F和点D的连线与线段AB的交点就是它取最小值时的点，从而构造出了以AB为一条直角边，AD和BC的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是最小的值，∴代数式+的最小值为：＝＝＝20．故答案为：20．【点评】此题是四边形是三角形综合题，主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用，轴对称﹣最短路线问题以及线段的垂直平分线等，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形DEF是解本题的难点．3．随着疫情的持续，各地政府储存了充足的防疫物品．某防疫物品储藏室的截面是由如图所示的图形构成的，图形下面是长方形ABCD，上面是半圆形，其中AB＝1.8m，BC＝2m，一辆装满货物的运输车，其外形高2.3m，宽1.6m，它能通过储藏室的门吗？请说明理由．【分析】本题考查矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．【解答】解：能通过；理由：由题意得，运输车从中间过更容易通过储藏室，能通过的最大高度为EF的长度，如图，设点O为半圆的圆心，点P为运输车的外边沿，则OP＝0.8m，OE＝1m，∠OPE＝90°，在Rt△OPE中，由勾股定理得，EP2＝OE2﹣OP2＝1﹣0.82＝0.36，∴EP＝0.6（m），∴EF＝0.6+1.8＝2.4（m），∵2.4＞2.3，∴运输车通过储藏室的门．【点评】本题考查了勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．类型6：勾股定理的验证1．如图①是一个边长为a+b的正方形，李明将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（）A．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab B．（a﹣b）2+2ab＝a2+b2C．（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2【分析】用代数式分别表示图①、图②的阴影部分面积即可得出答案．【解答】解：如图①，S阴影＝S大正方形﹣S小正方形＝（a+b）2﹣（a2+b2），图②菱形的对角线的长分别为2a，2b，因此S阴影＝S菱形＝×2a×2b＝2ab，所以有（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab，故选：C．【点评】本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，用不同的方法表示阴影部分的面积是得出答案的关键．2．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）A．9 B．6 C．4 D．3【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，∴4×ab+（a﹣b）2＝25，∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，∴a﹣b＝3，故选：D．【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．。

2020年中考数学复习解答题专题练勾股定理1. 如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，求点D到BC的距离.2. 在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，求PD+PE的长.3. 如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE=OD，求AP的长.4. 如图为一个棱长为1的正方体的展开图，A，B，C是展开后小正方形的顶点，则∠ABC的度数为________.5.如图，已知AB=12，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，AD=5，BC=10.点E是CD的中点，求AE的长.6. 如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC=4，CD=5.(1)求DB的长.(2)在△ABC中，求BC边上高的长.7. 如果三角形的三边a，b，c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，试判断三角形的形状.8. 如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.9. 已知，如图，在△ABC中，∠C=90°，∠1=∠2，CD=15，BD=25，求AC的长.10. 如图所示，在△ABC中，AB∶BC∶CA=3∶4∶5，且周长为36cm，点P从点A 开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ的面积为多少？11如图，在四边形ABCD中，AB∶BC∶CD∶DA=2∶2∶3∶1，且∠ABC=90°，求∠DAB的度数.12.在三角形ABC中，D为BC的中点，AB等于5，AD等于6，AC等于13，试判断AD与AB的位置关系.13.如图，已知△ABC，AB=8，BC=10，AC=6.(1)判断△ABC是什么三角形？(2)用尺规作图法作出边BC的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E.(3)连接CE，求CE的长.14. 在某小区的A处有一个凉亭，道路AB，BC，AC两两相交于点A，B，C，并且道路AB与道路BC互相垂直，如图所示.已知点A与点B之间的距离为20m，若有两个小朋友在与点B相距10m的点D处玩耍，玩累了他们分别沿不同的路线D →B→A，D→C→A到凉亭A处喝水休息，已知路线D→B→A与D→C→A路程相等，求AC的长度.15. 如图，是某次机器人创意大赛中一位参赛队员设计的机器人行走的路径，机器人从A处先往东走4m，又往北走1.5m，遇到障碍后又往西走2m，再转向北走4.5m处往东一拐，仅走0.5m就到达了B.问从点A到点B的直线距离是多少？2020年中考数学复习解答题专题练勾股定理（解析版）1. 如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，求点D到BC的距离.【解析】选A.过D点作DE⊥BC于E.因为∠A=90°，AB=4，BD=5，所以AD 2=BD 2-AB 2=52-42=9，所以AD=3，因为BD 平分∠ABC ，∠A=90°，所以点D 到BC 的距离DE=AD=3.2. 在△ABC 中，AB=AC=5，BC=8，点P 是BC 边上的动点，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，PE ⊥AC 于点E ，求PD+PE 的长.【解析】过A 点作AF ⊥BC 于点F ，连接AP ，因为△ABC 中，AB=AC=5，BC=8，所以BF=4，所以在Rt △ABF 中，AF 2=AB 2-BF 2=9，所以AF=3.所以12×8×3=12×5×PD+12×5×PE ，12=12×5×(PD+PE)，PD+PE=4.8.3. 如图，矩形ABCD 中，AB=8，BC=6，P 为AD 上一点，将△ABP 沿BP 翻折至△EBP ，PE 与CD 相交于点O ，且OE=OD ，求AP 的长.【解析】如图：设AP=x ，则DP=AD-AP=6-x ，因为将△ABP 翻折至△EBP ，所以EP=AP=x ，EB=AB=8，∠E=∠A=90°，因为∠D=∠E=90°，OE=OD ，∠DOP=∠EOF ，所以△DOP ≌△EOF ，所以EF=DP=6-x，OP=OF，因为OE=OD，所以DF=PE=x，所以CF=CD-DF=8-x，因为EF=6-x，BE=8，所以BF=BE-EF=8-(6-x)=x+2，在Rt△BCF中，CF2+BC2=BF2，所以(8-x)2+62=(x+2)2，解得x=4.8，所以AP=4.8.答案：4.84. 如图为一个棱长为1的正方体的展开图，A，B，C是展开后小正方形的顶点，则∠ABC的度数为________.【解析】连接AC，则AC2=22+1=5，BC2=22+1=5，AB2=32+1=10.因为AC2+BC2=AB2，所以△ABC为直角三角形.又因为AC2=BC2，所以AC=BC，所以∠CAB=∠ABC=45°.5.如图，已知AB=12，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，AD=5，BC=10.点E是CD的中点，求AE的长.【解析】如图，延长AE交BC于点F.因为AB⊥BC，AB⊥AD，所以AD∥BC所以∠D=∠C，∠DAE=∠CFE，又因为点E是CD的中点，所以DE=CE.因为在△AED与△FEC中，∠D=∠C，∠DAE=∠CFE，DE=CE，所以△AED≌△FEC(AAS)，所以AE=FE，AD=FC.因为AD=5，BC=10.所以BF=5.在Rt△ABF中，AF2=AB2+BF2=122+52=169，AF=6.5.所以AF=13，所以AE=126. 如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC=4，CD=5.(1)求DB的长.(2)在△ABC中，求BC边上高的长.【解析】(1)因为DB⊥BC，BC=4，CD=5，所以BD2=52-42=9，所以BD=3.(2)延长CB，过点A作AE⊥CB延长线于点E，因为DB⊥BC，AE⊥BC，所以AE∥DB，因为D为AC边的中点，所以BD=1AE，所以AE=6，即BC边上高的长为6.27.如果三角形的三边a，b，c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，试判断三角形的形状.【解析】因为a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，所以a2+b2+c2-6a-8b-10c+50=0，即a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0，所以(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0，所以a=3，b=4，c=5，因为a2+b2=c2，所以三角形为直角三角形.8. 如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.【解析】设EC=xcm，则DE=(8-x)cm，由折叠可知，EF=DE，AD=AF，在直角△ABF中，由勾股定理得AB2+BF2=AF2，即82+BF2=102，所以BF=6cm，所以FC=10-6=4(cm).在直角△EFC中，由勾股定理得FC2+CE2=EF2，即42+x2=(8-x)2，解之得x=3，即EC的长度为3cm.9. 已知，如图，在△ABC中，∠C=90°，∠1=∠2，CD=15，BD=25，求AC的长.【解析】过D作DE⊥AB，垂足为E，因为∠1=∠2，所以CD=DE=15，在Rt△BDE中，BE2=BD2-DE2=252-152=202，所以BE=20，因为∠1=2，∠C=∠DEA=90°，AD=AD，所以Rt△ACD≌Rt△AED，又因为AB2=AC2+BC2，即(AC+20)2=AC2+(15+25)2，解得AC=30.10. 如图所示，在△ABC中，AB∶BC∶CA=3∶4∶5，且周长为36cm，点P从点A 开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ的面积为多少？【解析】设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，因为周长为36cm，AB+BC+AC=36，所以3x+4x+5x=36，得x=3，所以AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm.因为AB2+BC2=AC2，所以△ABC是直角三角形，过3秒时，BP=9-3×1=6(cm)，BQ=2×3=6(cm)，所以S△BPQ =12BP·BQ=12×6×6=18(cm2).11如图，在四边形ABCD中，AB∶BC∶CD∶DA=2∶2∶3∶1，且∠ABC= 90°，求∠DAB的度数.【解析】设AB=2a，BC=2a，CD=3a，DA=a.因为∠ABC=90°，AB=BC，所以∠BAC=∠BCA=45°，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=(2a)2+(2a)2=8a2，又AD2=a2，CD2=(3a)2=9a2.所以AC2+AD2=CD2，所以△ACD是以∠CAD为直角的直角三角形，所以∠CAD=90°，所以∠DAB=∠BAC+∠CAD=45°+90°=135°.12.在三角形ABC中，D为BC的中点，AB等于5，AD等于6，AC等于13，试判断AD与AB的位置关系.【解析】延长AD至点E，使DE=AD，并连接BE，因为D为BC的中点，所以CD=BD，因为∠ADC=∠EDB，所以△ADC≌△EDB，所以EB=AC=13，因为AD=6，所以AE=12，因为52+122=132，即AB2+AE2=EB2，所以∠EAB=90°，所以AD⊥AB.13.如图，已知△ABC，AB=8，BC=10，AC=6.(1)判断△ABC是什么三角形？(2)用尺规作图法作出边BC的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E.(3)连接CE，求CE的长.【解析】(1)因为AB=8，BC=10，AC=6，所以102=82+62，即BC2=AB2+AC2，所以△ABC是直角三角形.(2)作图如图1：(3)连接CE，如图2：设CE为x，因为边BC的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，所以CE=BE=x，在Rt△ACE中，CE2=AE2+AC2，即x2=(8-x)2+62，解得x=6.25，所以CE=6.25.14. 在某小区的A处有一个凉亭，道路AB，BC，AC两两相交于点A，B，C，并且道路AB与道路BC互相垂直，如图所示.已知点A与点B之间的距离为20m，若有两个小朋友在与点B相距10m的点D处玩耍，玩累了他们分别沿不同的路线D →B→A，D→C→A到凉亭A处喝水休息，已知路线D→B→A与D→C→A路程相等，求AC的长度.【解析】设AC的距离为xm，则DC的长为(30-x)m，则BC的长为(40-x)m，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2+BC2=AC2，即202+(40-x)2=x2，解得x=25.答：AC之间的距离是25m.15. 如图，是某次机器人创意大赛中一位参赛队员设计的机器人行走的路径，机器人从A处先往东走4m，又往北走1.5m，遇到障碍后又往西走2m，再转向北走4.5m处往东一拐，仅走0.5m就到达了B.问从点A到点B的直线距离是多少？【解析】过点B作BC⊥AD于C，从图中可以看出AC=4-2+0.5=2.5(m)，BC=4.5+1.5=6(m)，在Rt△ABC中，AB为斜边，，则AB2=AC2+BC2=1694所以AB=13m.2答：从点A到点B的直线距离是13m.2。

构造直角三角形巧解题有些几何题，若能仔细观察、把握特征、抓住本质、恰当地构造直角三角形进行转化，就会收到化难为易、事半功倍的效果.下面举例介绍构造直角三角形解题的若干常用方法，供同学们复习时参考.一、利用已知直角构造直角三角形例1：如图1，在四边形ABCD 中，∠A=060，∠B=∠D=090，AB=2，CD=1.则BC 和AD 的长分别为_______和_______.解析:考虑到图中含有090和060的角，若延长AD 、BC 相交于E ，则可以构造出Rt △AEB 和Rt △CED ，易知∠E=030，从而可求出DE=3，AE=4，BE=23，故AD=4-3，BC=23-2.1（2016•益阳）在△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC 的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路， 请你按照他们的解题思路完成解答过程．2如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD 长2米，且与灯柱BC 成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO 与灯臂CD 垂直，当灯罩的轴线DO 通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC 高度应该设计为( ) A ．(11－2)米 B ．(11－2)米 C ．(11－2)米 D ．(11－4)米图13已知：如图，△ABC 中，∠CAB ＝120°，AB ＝4，AC ＝2，AD ⊥BC ，D 是垂足，求AD 的长．二、利用勾股定理构造直角三角形例2：如图2，在四边形ABCD 中，AB=AD=8，∠A=060，∠ADC=0150，已知四边形ABCD 的周长为32，求四边形ABCD 的面积.解析:四边形ABCD 是一个不规则的四边形，要求其面积，可设法变成特殊的三角形求解.连接BD ，则△ABD 是等边三角形， △BDC 是直角三角形，由于AB=AD=BD=8，，求△ABD 的面积不难解决，关键是求△BDC 的面积.可运用周长和勾股定理联合求出DC ，从而求出△BDC 的面积.解答:连接BD.∵AB=AD ，∠A=060，∴△ABD 是等边三角形.∴∠ADB=060，BD=AD=AB=8. 因为∠ADC=0150，∴∠BDC=090， 故△BDC 是直角三角形，因为四边形ABCD 的周长为32， AB=AD=8， ∴BC+DC=32-16=16，BC=16-DC.在Rt △BDC 中，222BC DC BD =+， 即()222168DC DC -=+.解得DC=6.∴248621=⨯⨯=∆BDC S .用勾股定理求出等边△ABD 的高为34823=⨯. 31634821=⨯⨯=∆ABD S .∴24316+=+=∆∆BDC ABD ABCD S S S 四. 说明:⑴求不规则的图形面积应用割补法把图形分解为特殊的图形;⑴四边形中通过添加辅助线构造直角三角形;⑶边长为a 的等边三角形的高为a 23，面积为243a .图21如图，某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ ）A ．450a 元B ．225a 元C ．150a 元D ．300a 元 三、利用高构造直角三角形例3：如图3，等腰△ABC 的底边长为8cm ，腰长为5cm ，一动点P 在底边上从B 向C 以0.25cm/s 的速度移动，请你探究：当P 运动几秒时，P 点与顶点A 的连线PA 与腰垂直.解析：本题是一道探究性的动态问题，假设P 在某一时刻有PA ⊥AC ，此时P 点运动了几秒，这是解决问题的着手点.设BP=x ，PC=8-x ，在Rt △PAC 中，由于PA 不知道，无法建立关系式.考虑△ABC 是等腰三角形，如作底边上的高AD ，则可用x 的代数式表示AP ，用勾股定理便可求出x ，进而求出运动时间.当P 点运动到D 与C 之间时，也存在AP ⊥AB 的情况，故要分类讨论.解答：作底边BC 的高AD ，则AD ⊥BC ，垂足为D. 设BP=xcm ，PA ⊥AC.由等腰三角形的性质知BD=DC=21BC=4cm. 在Rt △ADB 中，222AB BD AD =+， 94522222=-=-=BD AB AD ，∴AD=3 (cm). 在Rt △PAC 中， 222PC AC AP =+，∴()()22228543x x -=+-+.解得x=47，即BP=47(cm). P 点移动的时间为47÷0.25=7(s). 当P 点移动到D 点与C 点之间时，作P 点关于D 点的对称点P '， 则47='C P (cm).425478=-='P B (cm). 此时P 点的运动时间为2525.0425=÷(s). 答：当P 点移动7(s)或25(s)时，PA 与腰垂直.说明：动态探究问题的解答关键是把它在某一瞬间看做不动，即动中求静，抓住运动中的不变量进行探究.本例中等腰三角形“三线合一”的性质与勾股定理是构成解决问题的纽带，由于点P 是运动的，故要分类讨论.图3四、利用勾股定理的逆定理构造直角三角形例4:如图4，在△ABC 中，AB=5，AC=13，BC 边上的中线AD=6，求BC 的长.解析:注意到5，12，13恰为一组勾股数，因此加倍延长中线AD 到E ，连接CE ，将AB ，AC ，2AD 集中到同一△ACE 中，构成直角三角形，运用勾股定理求BC 的长.解答:延长AD 到E ，使DE=AD ，连接CE. ∵AD 是BC 边上的中线， ∴BD=CD.又AD=ED ， ∠ADB=∠EDC ， ∴△ADB ≌△EDC(SAS)， ∴CE=BA=5. 又AC=13，AE=2AD=12， ∴22213169125==+，即222AC AE CE =+， ∴△AEC 是直角三角形且∠E=090.在Rt △DEC 中，222CE DE CD +=， ∴CD=，615622=+BC=2CD=2，61 ∴BC 边的长为261.说明:遇到中线问题往往加倍延长，同时对勾股数应有灵敏的感觉，只要已知三角形三边的长，就应该用勾股定理的逆定理来判断三角形的形状.中考真题3．（2018•泸州）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ）A ．9B ．6C ．4D ．3【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a ﹣b ，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a ﹣b ，∵每一个直角三角形的面积为：ab=×8=4， ∴4×ab+（a ﹣b ）2=25， ∴（a ﹣b ）2=25﹣16=9， ∴a ﹣b=3，故选：D ．8．（2018•吉林）如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C坐标为（﹣1，0）．【分析】求出OA、OB，根据勾股定理求出AB，即可得出AC，求出OC长即可．【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（4，0），（0，3），∴OA=4，OB=3，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB==5，∴AC=AB=5，∴OC=5﹣4=1，∴点C的坐标为（﹣1，0），故答案为：（﹣1，0），9．（2018•玉林）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，则AD的取值范围是2＜AD＜8．【分析】如图，延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F．解直角三角形求出AE、AF即可判断；【解答】解：如图，延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F．在Rt△ABE中，∵∠E=30°，AB=4，∴AE=2AB=8，在Rt△ABF中，AF=AB=2，∴AD的取值范围为2＜AD＜8，故答案为2＜AD＜8．10．（2018•襄阳）已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD=，AD=1，AB=2AC，则BC的长为2或2．【分析】分两种情况：①当△ABC是锐角三角形，如图1，②当△ABC是钝角三角形，如图2，分别根据勾股定理计算AC和BC即可．【解答】解：分两种情况：①当△ABC是锐角三角形，如图1，∵CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∵CD=，AD=1，∴AC=2，∵AB=2AC，∴AB=4，∴BD=4﹣1=3，∴BC===2；②当△ABC是钝角三角形，如图2，同理得：AC=2，AB=4，∴BC===2；综上所述，BC的长为2或2．故答案为：2或2．11、（2016•哈尔滨）在等腰直角三角形ABC中，∠ ACB=90°，AC=3，点P为边BC的三等分点，连接AP，则AP的长为．11、【解答】解：①如图1，∵∠ ACB=90°，AC=BC=3，∵PB=BC=1，∴CP=2，∴AP==，②如图2，∵∠ ACB=90°，AC=BC=3，∵PC=BC=1，∴AP==，综上所述：AP的长为或，3．（2016·山东省东营市·3分）在△ABC中，AB＝10，AC＝210，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于( )A．10B．8C．6或10D．8或10【知识点】勾股定理、分类讨论思想【答案】C.【解析】在图①中，由勾股定理，得BD＝AB2－AD2＝102－62＝8;CD＝AC2－AD2＝(210)2－62＝2;∴BC＝BD＋CD＝8＋2＝10.在图②中，由勾股定理，得BD＝AB2－AD2＝102－62＝8;CD＝AC2－AD2＝(210)2－62＝2;∴BC＝BD―CD＝8―2＝6.故选择C.【点拨】本题考查分类思想和勾股定理，要分两种情况考虑，分别在两个图形中利用勾股定理求出BD和CD，从而可求出BC的长.14．（2018•湘潭）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程为x2+32=（10﹣x）2．【分析】设AC=x，可知AB=10﹣x，再根据勾股定理即可得出结论．【解答】解：设AC=x，∵AC+AB=10，∴AB=10﹣x．∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AC2+BC2=AB2，即x2+32=（10﹣x）2．故答案为：x2+32=（10﹣x）2．7．（2018•东营）如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A 处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（）A．B． C．D．【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．【解答】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A、C的最短距离为线段AC的长．在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD为底面半圆弧长，AD=1.5π，所以AC=，故选：C．3. （2014•山东潍坊，第18题3分）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上'高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处．则问题中葛藤的最短长度是__________尺．考点：平面展开－最短路径问题；勾股定理的应用．分析：这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．解答：解：如图，一条直角边（即木棍的高）长20尺，另一条直角边长5×3=15（尺），因此葛藤长222015 =25（尺）． 故答案为：2515．（2018•黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm ，底面周长为32cm ，在杯内壁离杯底5cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁从外壁A 处到内壁B 处的最短距离为 20 cm （杯壁厚度不计）． 【分析】将杯子侧面展开，建立A 关于EF 的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B 的长度即为所求．【解答】解：如图：将杯子侧面展开，作A 关于EF 的对称点A′，连接A′B ，则A′B 即为最短距离，A′B===20（cm ）．故答案为20．3．（2016•株洲）如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3图形个数有（）A．1 B．2 C．3 D．47．（2015•大连）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=，则BC的长为（）A．﹣1 B．+1 C．﹣1 D．+1类型二：勾股定理的应用2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP ＝160m。

第11讲 勾股定理与锐角三角函数题型一 勾股定理1．（2021·福建·福州十八中九年级期中）若二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图像与x 轴有两个交点A 和B ，顶点为C ，且b 2﹣4ac ＝12，则∠ACB 的度数为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【解析】解：令y ＝0，则ax 2+bx +c ＝0，∴x ＝2b a -，∴AB ＝|． ∵b 2﹣4ac ＝12，∴C （﹣2b a ，﹣3a）．∴AC ．由抛物线的对称性可知BC ＝， ∴AC ＝BC ＝AB ，∴∠ACB ＝60°．故选：C ．2．（2021·内蒙古呼和浩特·九年级期中）已知AB ，CD 是⊙O 的两条平行弦，AB ＝8，CD ＝6，⊙O 的半径为5，则弦AB 与CD 的距离为（ ）A ．1B ．7C ．4或3D ．7或1【答案】D【解析】①当弦AB 和CD 在圆心同侧时，如图①，过点O 作OF ⊥CD ，垂足为F ，交AB 于点E ，连接OA ，OC ，∵AB ∥CD ，∴OE ⊥AB ，∵AB ＝8，CD ＝6，∴AE ＝4，CF ＝3，∵OA ＝OC ＝5，∴由勾股定理得：EO ＝2254-＝3，OF ＝2253-＝4，∴EF ＝OF ﹣OE ＝1；②当弦AB 和CD 在圆心异侧时，如图②，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，反向延长OE 交AD 于点F ，连接OA ，OC ，EF ＝OF +OE ＝7，所以AB 与CD 之间的距离是1或7．故选：D ．3．（2021·河南·洛阳市洛龙区教育局教学研究室九年级期中）如图，在矩形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，连接EF ，G 是EF 的中点，连接DG ．在中，2BE =，，若将绕点B 逆时针旋转，则在旋转的过程中，线段DG 长的最大值是（ ）A 67B ．217C ．10D ．12【答案】C【解析】解：如图，△ BEF 旋转到图中位置，连接BD 、BG ，∵在△BEF 中，∠EBF =90°，BE =2，∠BFE =30°，∴EF =2BE =4，BF 3，∵旋转前点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，∴AB =CD =4，BC 3∴BD =8.∵在Rt △BEF 中，点G 是EF 的中点，∴BG =12EF =2.在△BEF 的旋转过程中，BG 的长不变，∵在△DBG 中，BG+BD >GD ，∴当D ，B ，G 三点共线且B 点在D 、G 之间时，DG 最大，此时，DG=BG+BD =2+8=10，∴DG 的最大值为10.故选C.4．（2021·浙江·杭州市杭州中学九年级期中）如图，点C ，D 在以AB 为直径的⊙O 上，且CD 平分∠ACB ，若CD ＝23，∠CBA ＝15°，则AB 的长是（ ）A ．23B ．4C ．33D ．43【答案】B【解析】解：过点O 作OE CD ⊥交于点E ，连接OC ，则123CE DE CD ， ∵OC OB =，15CBA ∠=︒，∴，∵AB 是⊙O 的直径，∴，∵CD 平分ACB ∠，∴1452BCDACB ，∴，设OE =x ，则OC =2x ，在中，由勾股定理得， 222OC OE CE =+222(2)3x x =+ 2243x x =+233x =21x =解得11x =，21x =-（舍），∴OC =2，∴，故选B ．5．（2021·浙江台州·九年级期中）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC ，点P 在△ABC 内一点，连接P A ，PB ，PC ，若∠BAP =∠CBP ，且AP =6，则PC 的最小值是（ ）A ．B ．3C ．3-3D ． 【答案】D【解析】把△BPC 绕点B 逆时针旋转90°得到△ABP ’，连接PP ’则AP ’=PC ，BP =BP ’，∠PBP ’=90°，∠AP ’B =∠CPB故△PP ’B 是等腰直角三角形∴∠PP ’B =45°∵∠BAP =∠CBP∴∠BAP =∠ABP ’∴BP ’∥AP∴∠APB =90°当P ’、P 、C 在同一直线上，且AP ’⊥P ’C 时，AP ’最短∴∠AP ’B =90°+45°=135°∴∠P AP ’=180°-∠AP ’B =45°∴△APP ’是等腰直角三角形∴AP ’=6∴PC =AP故选D ．6．（2021·陕西师大附中九年级期中）如图所示，在边长为12的正方形中ABCD 中，有一个小正方形EFGH ，其中点E 、F 、G 分别在线段AB 、BC 、FD 上，若3BF ，则小正方形的边长为（ ）A ．6B ．5C ．154D ．【答案】C【解析】解：在△BEF 与△CFD 中∵∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3∵∠B ＝∠C ＝90°，∴△BEF ∽△CFD ，∵BF ＝3，BC ＝12，∴CF ＝BC −BF ＝12−3＝9，又∵DF ＝222212915CD CF +=+=，∴BF EF CD DF =，即31215EF =， ∴154EF =， 故选：C ．7．（2021·江西省临川第二中学九年级期中）如图，在Rt ABC △中，AB AC =，D ，E 是斜边BC 上两点，且，将绕点A 顺时针旋转90°后，得到AFB △，连接EF ，下列结论：①；②ACD ；③BE DC DE +=；④222BE DC DE +=．其中正确的是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】解：∵△ADC 绕A 顺时针旋转90°后得到△AFB ，∴△ABF ≌△ACD ，∴AF =AD ，∠CAD =∠BAF ，∵在直角三角形ABC 中，AB =AC ，∴∠BAC =90°，即∠CAD +∠BAD =90°，∴∠BAF +∠BAD =90°，即∠F AD =90°，∵∠DAE =45°，∴∠DAE =∠F AE =45°，在△AED 和△AEF 中， DA FA DAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AED ≌△AEF （SAS ），故①正确，∵AE 与AD 不一定相等，∴AE AD 不一定与1AB AC=相等 ∴△ABE 与△ACD 不一定相似，②错误；∵△AED ≌△AEF ，∴DE =EF ，由旋转可知：△ADC ≌△AFB ，∴BF =CD ，∵BE +BF ＞EF=DE ，∴BE +DC ＞DE ，③错误；∵在Rt △ABC 中，AB =AC ，∴∠BAC =90°，∠ABC =∠C =45°，由旋转可知：∠ABF =∠C =45°，∴∠EBF =90°，∴BE 2+BF 2=EF 2，∴BE 2+DC 2=DE 2，④正确；故选B ．8．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）九年级期中）如图，⊙O 是以坐标原点O 为圆心，半径的圆，点P 的坐标为（2，2），弦AB 经过点P ，则图中阴影部分面积的最小值为（ ）A ．8πB ．323πC ．8π﹣16D ．323π-【答案】D【解析】解：由题意当OP ⊥A'B'时，阴影部分的面积最小，∵P （2，2），∴OP ，∵OA '=OB '=∴P A'=PB '= ，∴tan ∠A'OP =tan ∠B'OP ， ∴∠A'OP =∠B'OP =60°，∴∠A'OB'=120°，∴S阴=S 扇形OA'B'-S △A'OB''=()212042132462236023ππ-=-， 故答案为：D ．9．（2021·福建省福州第十九中学九年级期中）如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 是对角线AC 上的两点，AB ＝EF ＝BC ，点G 是边AB 上的中点，连接GE 、DF ．当GE +DF 取最小值时，线段CF 的长是（ ）A ．1BC ．43D ．【答案】C【解析】解：取BC 的中点H ，连接GH 、HF 、HD ，∵在矩形ABCD 中， AB EF =BC ，∴BC =2，EF =BC =2，∴AC 4，∵点G 是边AB 上的中点，点H 是边BC 上的中点，∴GH =12AC =2，GH ∥AC ，∴GH = EF =2，GH ∥EF ，∴四边形EGHF 是平行四边形，∴EG =HF ，∴GE +DF = HF +DF ≥DH ，∴当H 、F 、D 共线时，GE +DF 有最小值，最小值为DH ，如图：在矩形ABCD 中，CH ∥AD ，CH =12BC =12AD ，∠DAC =∠HCF ，∴△CFH △AFD ，∴12CF CHAF AD ==，∵AC =4，∴CF =43， 故选：C ．10．（2021·江苏·无锡市江南中学九年级期中）如图1，若△ABC 内一点P 满足∠P AC ＝∠PBA ＝∠PCB ，则点P 为△ABC 的布洛卡点，已知在等腰直角三角形DEF 中，如图2，∠EDF ＝90°，若点Q 为△DEF 的布洛卡点，DQ EQ +FQ ＝（ ）A ．4B ．C ．D ．【答案】D【解析】解：如图2，在等腰直角△DEF 中，∠EDF =90°，DE =DF ， ∠1=∠2=∠3，∴∠1+∠QEF =∠3+∠DFQ =45°，∴∠QEF =∠DFQ ，且∠2=∠3，∴△DQF ∽△FQE ， ∴DQ FQ DF FQ QE EF ===∵DQ∴2,FQ EQ ==∴EQ +FQ =2+，故选：D ．11．（2021·广东·深圳市龙岗区百合外国语学校九年级期中）如图，在四边形ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为E ，∠BAE ＝∠ADC ，BE ＝CE ＝2，CD ＝5，AD ＝kAB （k 为常数），则BD 的长为____．（用含k 的式子表示）【解析】解：如图，连接AC ，∵AE ⊥BC ，BE ＝CE ＝2，∴BC =4，AE 垂直平分BC ，AB =AC ，将△ABD 绕点A 逆时针旋转至△ACG ，如图所示，连接DG ，则AD =AG ，BD =CG ，由旋转的性质可得：∠BAC =∠DAG ，∵AB=AC，AD=AG，∴△ABC∽△ADG，∴AD DG AB BC=，∵AD＝kAB，∴DG=kBC=4k，∵∠BAE+∠ABC=90°，∠BAE=∠ADC，∴∠ABC+∠ADC=90°，∵△ABC∽△ADG，∴∠ABC=∠ADG，∴∠ADG+∠ADC=90°，即：∠CDG=90°，∴，∴．12．（2021·四川·中江县凯江中学校九年级期中）在⊙O中，AB、CD是两条弦，AB＝6，CD＝8，且AB∥CD，⊙O的半径为5，则AB、CD之间的距离是____．【答案】1【解析】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图①，过点O作OF⊥AB，垂足为F，交CD于点E，连接OA，OC，∵AB∥CD，∴OE⊥CD，∵AB=6，CD=8，∴CE=4，AF=3，∵OA=OC=5，∴由勾股定理得：EO3=，OF4，∴EF=OFOE=1；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图②，过点O 作OE ⊥CD 于点E ，反向延长OE 交AB 于点F ，连接OA ，OC ，EF =OF +OE =7，所以AB 与CD 之间的距离是1或7．故答案为：1或7．13．在等边△ABC 中，AB ＝6，BD ＝4，点E 为AC 边上一个动点，连接DE ，将△CDE 沿着DE 翻折得到△FDE ，则点F 到AB 距离的最小值是_____．【答案】2【解析】解：如图，过点D 作DT AB ⊥于T ．ABC ∆是等边三角形，，6BC AB ==，90DTB ∠=︒，4BD =，2CD DF ∴==，sin 60DT BD =︒=观察图象可知，当点F 落在DT 上时，点F 到AB 距离的最小，最小值为2，故答案为：2．14．（2021·山东李沧·九年级期中）如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，AD DGH 是AF 的中点，那么CH 的长是 __________________．【解析】如图，连接AC 、CF ，∵正方形ABCD 和正方形CEFG 中，AD =DG =2AC ∴=，CG =， 143CF ∴=，∠ACD ＝∠GCF ＝45°， ∴∠ACF ＝90°，由勾股定理得，2222142582()33AF AC CF =+=+=， ∵H 是AF 的中点，11258582233CH AF ∴==⨯=． 故答案为：583． 15．（2021·浙江·温州市第四中学九年级期中）如图，在中，AD BC ⊥，BE AC ⊥交AD 于点F ，且BD AD =．（1）求证：．（2）若F 为AD 的中点，且1DC =．求AC 的长．【答案】（1）见解析；（2）5AC =【解析】（1）证：∵AD BC ⊥，BE AC ⊥，∴∠BDF =∠ADC =∠FEA =90°，∵∠AFB =∠CAD +∠FEA =∠FBD +∠BDF ，∴∠CAD =∠FBD ，在△BDF 和△ADC 中，∴；（2）∵，∴DF =DC ，∵F 为AD 的中点，1DC =，∴AD =2DF =2DC =2，∴在Rt △ADC 中，225AC AD DC =+=∴5AC =16．（2021·北京教育学院附属中学九年级期中）如图，点M ，N 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，且∠MAN ＝45°．把△ADN 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABE ．（1）求证：△AEM ≌△ANM ．（2）若BM ＝3，DN ＝2，求正方形ABCD 的边长．【答案】（1）见解析（2）6【解析】（1）证明：由旋转的性质得，△ADN≌△ABE，∴∠DAN＝∠BAE，AE＝AN，∠D＝∠ABE＝90°，∴∠ABC＋∠ABE＝180°，∴点E，点B，点C三点共线，∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°，∴∠MAE＝∠BAE＋∠BAM＝∠DAN＋∠BAM＝45°，∴∠MAE＝∠MAN，∵MA＝MA，∴△AEM≌△ANM（SAS）．（2）解：设CD＝BC＝x，则CM＝x−3，CN＝x−2，∵△AEM≌△ANM，∴EM＝MN，∵BE＝DN，∴MN＝BM＋DN＝5，∵∠C＝90°，∴MN2＝CM2＋CN2，∴25＝（x−2）2＋（x−3）2，解得，x＝6或−1（舍弃），∴正方形ABCD的边长为6．17．（2021·天津河西·九年级期中）如图，已知BC为⊙O的直径，BC=5，AB=3，点A点B点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求BD，CD的长．．【答案】（Ⅰ）4；（Ⅱ）CD BD【解析】解：（Ⅰ）连接OD，∵BC为直径，∴．在Rt CAB △中， 2222534AC BC AB =-=-=．（Ⅱ）∵ AD 平分CAB ∠，∴ ∠CAD =∠BAD ，∴CD BD =．在中，5BC =，222CD BD BC +=，∴ 522BD CD ==． 18．（2021·河南·永城市实验中学九年级阶段练习）如图，在正方形ABCD 中，点,E F 分别在AB 和BC 上，4BE =．1AE BF ==，将绕点F 顺时针旋转，当点H 落在CD 边上时，得到GHF △．（1）求证：．（2）求,E H 两点之间的距离．【答案】（1）见解析；（2）34【解析】（1）将绕点F 顺时针旋转得到GHF △，，四边形ABCD 是正方形，1AE BF ==， 4CF BE ∴==，22(17)41CH ∴=-=，，在EBF △与FCH △中，，，；（2）如图，连接EH ，作EM CD ⊥交于点M ，，，225334EH ∴+19．（2021·四川江油·九年级期中）如图1，将两块全等的直角三角形纸片和叠放在一起，其中，6BC DE ==，8AC FE ==，顶点D 与边AB 的中点重合．（1）若DE 经过点C ，DF 交AC 于点G ，求重叠部分（DCG △）的面积：（2）合作交流：“希望”小组受问题（1）的启发，将绕点D 旋转，使DE AB ⊥交AC 于点H ，DF 交AC 于点G ，如图2，求DH 的长．【答案】（1）6；（2）154【解析】（1）∵，D 是AB 的中点，∴DC DB DA ==．∴∠B =∠DCB ．又∵ABC FDE △≌△，∴FDE B ∠=∠．∴．∴DG BC ∥．∴，∴DG AC ⊥．又∵DC DA =，∴G 是AC 的中点． ∴118422CG AC ==⨯=，116322DG BC ==⨯=． ∴1143622DCG SCG DG =⨯⋅=⨯⨯=．（2）如图2所示：∵ABC FDE △≌△，∴1B ∠=∠．∵90C ∠=︒，ED AB ⊥，∵，，∴2B ∠=∠，∴12∠=∠，∴GH GD =，∵，1390∠+∠=︒，∴3A ∠=∠，∴AG GD =，∴AG GH =，∴点G 为AH 的中点；在Rt ABC △中，10AB ==，∵D 是AB 中点， ∴152AD AB ==， 连接BH ．∵DH 垂直平分AB ，∴AH BH =．设AH x =，则BH x =，8CH x =-，由勾股定理得：()22286x x -+=， 解得254x =，∴154DH =． 20．（2021·北京师范大学第二附属中学西城实验学校九年级期中）如图，在△ABC 中，AC ＝ BC ，∠ACB ＝ 90°，D 是线段AC 延长线上一点，连接BD ，过点A 作AE ⊥BD 于E ．（1）求证：∠CAE ＝∠CBD ；（2）将射线AE 绕点A 顺时针旋转45°后，所得的射线与线段BD 的延长线交于点F ，连接CE ． ①依题意补全图形；②用等式表示线段EF ，CE ，BE 之间的数量关系，并证明．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②EF BE =，见解析【解析】（1）如图1，∵，AE BD ⊥，∴，又∵12∠=∠，∴CAE CBD ∠=∠；（2）①补全图形如图2；②EF BE =.理由如下：在AE 上截取AM ，使AM BE =.又∵AC CB =，CAE CBD ∠=∠，∴ACM BCE ∆∆≌，∴CM CE =，，又∵，∴，∴ME =，又∵射线AE 绕点A 顺时针旋转45︒，后得到AF ，且，∴.题型二 锐角三角函数1．（2021·上海市金山初级中学九年级期中）已知在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＜∠A ，设sin B ＝n ，那么n 的取值范围是（ ）A ．0＜n ＜1B ．102n <<C ．0n <<D ．0n < 【答案】C【解析】解：在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＜∠A ，且，∴0°＜∠B ＜45°，∴0sin B <<，即0n << 故选C ．2．（2021·吉林·长春市净月实验中学九年级期中）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，下列三角函数表示正确的是（ ）A ．sin A ＝45B ．tan A ＝43C ．cos A ＝45D ．tan B ＝34【答案】C【解析】解：∵∠ACB ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，∴BC3，∴sin A ＝35，故选项A 错误； tan A ＝34，故选项B 错误； cos A ＝45，故选项C 正确； tan B ＝43，故选项D 错误． 故选：C ．3．（2021·安徽省马鞍山市第七中学九年级期中）如图，将AOB ∠放在正方形网格中，则cos AOB ∠的值为（ ）A ．B C ．2 D ．12 【答案】A【解析】解：如图所示，在直角三角形OBE 中，OE =2，BE =4，∠OEB =90°， ∴OB∴，故选A ．4．如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC =3，AB ＝5，则cos A 的值为（ ）A ．35B ．43C ．34D ．45【答案】A 【解析】解：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∴cos A ＝35AC AB =．5．（2021·四川·成都嘉祥外国语学校九年级期中）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，下列四个三角比正确的是（ ）A ．sinA ＝AC AB B ．cosA ＝AD AC C ．tanA ＝CD BD D ．cosA ＝CD AD【答案】B【解析】解：因为∠ACB =90°，CD ⊥AB ，所以sinA BC AB =，cosA =AD AC AC AB =，tanA =CD AD ， 故选：B ．6．（2021·陕西师大附中九年级期中）如图所示，在矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，点C 沿对角线BD 折叠，点C 的对应点为E ，线段BE 交AD 于点F ，则tan EDF ∠的值为（ ）A ．724B ．C ．725D ．247【答案】A【解析】∵在矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，∴AD =BC =4∵点C 沿对角线BD 折叠，得到△EDF∴DE =DC =AB又∠A =∠E =90°，∠AFB =∠EFD∴△ABF ≌△DEF ，∴BF =DF ，AF =EF设EF =x =AF ，则DF =4-x在Rt △DEF 中，DF 2=EF 2+DE 2即（4-x ）2=x 2+32解得x =78∴EF =78， ∴tan EDF ∠=778324EF DE ==7．已知a =3，且2(4tan 45)0b -°，则以a 、b 、c 为边长的三角形面积等于（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】A 【解析】解：∵2(4tan 45)0b -=°， ∴4tan 450,130,2b b c ︒-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩ 解得 4,5.b c =⎧⎨=⎩所以a =3，b =4，c =5，即222+=a b c ，∴∠C =90°， 所以162S ab ==． 8．（2021·山东新泰·九年级期中）已知α是锐角，sin cos30α=︒，则α的值为（ ）A ．30°B ．60°C ．45°D ．无法确定 【答案】B【解析】解：α是锐角，sin cos30α=︒，．故选：B ．9．（2021·浙江鄞州·九年级期末）角α，β满足045αβ<<<︒︒，下列是关于角α，β的命题，其中错误．．的是（ ）A．0sin α<<B ．0tan 1β<<C ．cos sin βα<D ．sin cos βα<【答案】C【解析】解：角α，β满足045αβ<<<︒︒，sin α随α的增大而增大，cos β随β的增大而减小， tan β随β的增大而增大， A.∵sin 45︒∴0<sin α<,选项A 正确，不合题意； B ．∵tan 45=1︒,∴0tan 1β<<,选项B 正确，不合题意；C．sin 45︒，cos 45︒，cos βα><，cos sin βα>，选项C 不正确，符合题意； D．sin 45︒，cos 45︒，cos αβ><sin cos βα<，选项D 正确，不符合题意． 故选择：C ．10．（2021·四川乐山·中考真题）如图，直线1l 与反比例函数3(0)y x x=>的图象相交于A 、B 两点，线段AB 的中点为点C ，过点C 作x 轴的垂线，垂足为点D ．直线2l 过原点O 和点C ．若直线2l 上存在点(,)P m n ，满足，则m n +的值为（ ）A ．3B ．3或32C ．3+3D ．3【答案】A 【解析】根据题意，得3,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，33,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()1,3A ，()3,1B ∵直线2l 过原点O 和点C∴直线2l ：y x =∵(,)P m n 在直线2l 上∴m n =∴PC = 连接PA ，PB ，FB∴PA PB =，线段AB 的中点为点C∴()2,2C ，OC AB ⊥过点C 作x 轴的垂线，垂足为点D∴()2,0D∴AD ==AB =BD = ∴222AD AB BD =+∴∴点A 、B 、D 、P 共圆，直线2l 和AB 交于点F ，点F 为圆心∴cos BD ADB AD ∠== ∵AC BC =，12FB FA AD ==∴12BFC AFB ∠=∠ ∵，且12APB AFB ∠=∠ ∴∴cos cos FC APB BFC FB ∠=∠===∴FC ∴或 当时，APB ∠和ADB ∠位于直线AB 两侧，即∴不符合题意∴PC PF FC =+=2m < ∴)2PC m ==-，∴)2m -=∴32m =∴23m n m +==故选：A ．11．（2021·山东·潍坊市寒亭区教学研究室九年级期中）在Rt ABC 中，90C ∠=︒，1sin 3A =，2BC =，则AC =______．【答案】【解析】解：在Rt △ABC 中，∠C =90°，∵1sin 3BC A AB==， 又∵BC =2，∴AB =6，∴，故答案为：12．（2021·上海市松江九峰实验学校九年级期中）如图，折线AB ﹣BC 中，AB ＝3，BC ＝5，将折线AB ﹣BC 绕点A 按逆时针方向旋转，得到折线AD ﹣DE ，点B 的对应点落在线段BC 上的点D 处，点C 的对应点落在点E 处，连接CE ，若CE ⊥BC ，则tan ∠EDC ＝_________________．【答案】247【解析】解：如图，连接AC ，AE ，过点A 作AF ⊥BC 于F ，作AH ⊥EC 于H ，∵CE ⊥BC ，AF ⊥BC ，AH ⊥EC ，∴四边形AFCH 是矩形，∴AF ＝CH ，∵将折线AB ﹣BC 绕点A 按逆时针方向旋转，得到折线AD ﹣DE ，∴AD ＝AB ＝3，BC ＝DE ＝5，∠ABC ＝∠ADE ，∴△ABC ≌△ADE （SAS ），∴AC ＝AE ，∵AC ＝AE ，AB ＝AD ，AF ⊥BC ，AH ⊥EC ，∴BF ＝DF ，CH ＝EH ，∵AB 2＝AF 2＋BF 2，DE 2＝DC 2＋CE 2，∴9＝AF 2＋BF 2，25＝（5﹣2BF ）2＋4AF 2，∴BF ＝95，AF ＝125， ∴EC ＝2CH ＝2AF ＝245，CD ＝5﹣2×95＝75， ∴tan ∠EDC ＝EC CD ＝247， 故答案为：247．13．（2021·重庆南开中学九年级期中）计算：02tan 45)π+︒＝___．【答案】3【解析】解：原式＝2×1+1＝2+1＝3，故答案为：3．14．若三个锐角,,αβγ满足sin 48,cos 48,tan 48αβγ===，则,,αβγ由小到大的顺序为________________．【答案】βαγ<<【解析】解：根据锐角三角函数的性质可得：cos48°=sin42°,sin42°<sin48°<1,tan45°<tan48°,tan45°=1，∴cos48°<sin48°<1<tan48°，∴β<α<γ，故答案为β<α<γ．15．（2021·福建·泉州五中九年级期中）如果α是锐角，且22sin cos 481α+︒=，那么α= _________度【答案】48【解析】∵α是锐角，22sin cos 481α+︒=，又∵22sin cos 1αα+=，∴α=48°．故答案是48．16．（2021·陕西·西北工业大学附属中学九年级阶段练习）如图，在边长为4的正方形ABCD 内有一动点P ，且BP ．连接CP ，将线段PC 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PQ ．连接CQ 、DQ ，则12DQ +CQ 的最小值为 ___．【答案】5【解析】解：如图，连接AC 、AQ ，∵四边形ABCD 是正方形，PC 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PQ ，∴∠ACB ＝∠PCQ ＝45°，∴∠BCP ＝∠ACQ ，cos ∠ACB ＝BC AC cos ∠PCQ ＝PC QC = ∴∠ACB =∠PCO ，∴△BCP ∽△ACQ ，∴AQ BP =∵BP ，∴AQ ＝2，∴Q 在以A 为圆心，AQ 为半径的圆上，在AD 上取AE ＝1， ∵12AE AQ =，12AQ AD =，∠QAE ＝∠DAQ ， ∴△QAE ∽△DAQ ， ∴12EQ QD =即EQ ＝12QD ， ∴12DQ +CQ ＝EQ +CQ ≥CE ，连接CE ， ∴5CE =， ∴12DQ +CQ 的最小值为5．故答案为：5．17．（2021·河北·广平县第二中学九年级期中）（1）（1﹣sin45°）0﹣tan60°＋．（2）cos30°﹣3tan60°﹣2sin45°•cos45°．【答案】（1）（2）1． 【解析】解：（1）（1﹣sin45°）0﹣tan60°＋，，（2）cos30°﹣3tan60°﹣2sin45°•cos45°，3222-⨯，1-，=1．18．（2021·四川·（﹣2014）0﹣（12）−2＋|2sin45°﹣2|．【答案】−2（﹣2014）0﹣（12）﹣2＋|2sin45°﹣2|4＋＝−2．19．（2021·广东·佛山市华英学校九年级期中）计算：tan60cos30 2sin60tan45-︒-︒︒︒【答案】3 2【解析】解：tan60cos30 2sin60tan45--1-3=2．20．（2021·吉林·长春市净月实验中学九年级期中）图①、图②均是边长为1的小正方形组成的5×5网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．（要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法）（1）在图①中的线段AB上画出点M，使AB＝3AM．（2）在图②中作出△ABN，使点N在格点上，且tan∠BAN＝12．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】解：（1）如图，点M即为所求．（2）如图，点N即为所求．BN=AN=AB=∵222BN AN AB+=,∴△ABN是直角三角形，且∠ANB=90°，∴1tan2BNBANAN∠===．21．如图所示，△ABC 中，D 为AB 的中点，DC ⊥AC ，且∠BCD ＝30°，求∠CDA 的正弦值、余弦值和正切值．【答案】sin CDA ∠=cos 7CDA ∠=，tan CDA ∠= 【解析】解：过D 作DE ∥AC ，交BC 于点E ．∵AD ＝BD ，∴CE ＝EB ，∴AC ＝2DE ．又∵ DC ⊥ AC ，DE ∥AC ，∴DC ⊥DE ，即∠CDE ＝90°．又∵∠BCD ＝30°，∴EC ＝2DE ，DC ．设DE ＝k ，则CD ，AC ＝2k ．在Rt △ACD 中，．∴sinAC CDA AD ∠==cos CD CDA AD ∠===tanAC CDA CD ∠==22．（2021·上海市松江九峰实验学校九年级期中）如图1，已知在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝tan ∠ABC ＝3，BF ⊥AC ，垂足为F ．点D 是边AB 上一点（不与A ，B 重合）．（1）求边BC 的长；（2）如图2，联结DF ，DF 恰好经过△ABC 的重心，求线段AD 的长；（3）过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，DE 交BF 于点Q ．联结DF ，如果△DQF 和△ABC 相似，求线段BD 的长．【答案】（1）10；（2（3）BD BD 【解析】解（1）如图1，过点A 作AH ⊥BC 于H ，∴∠AHB ＝90°，∵AB ＝AC ＝∴BC ＝2BH ，在Rt △AHB 中，tan ∠ABC ＝AH BH＝3， ∴AH ＝3BH ， 根据勾股定理得，AH 2＋BH 2＝AB 2，∴（3BH ）2＋BH 2＝（2，∴BH ＝5，∴BC ＝2BH ＝10；（2）∵BC ＝10，tan ∠ABC ＝3，∴CF BF ＝2，作BN ⊥BC ，CM ⊥BC ，∵G 为重心，∴AG ＝10，GH ＝5，∵AH ⊥BC ，CM ⊥BC∴CM AG ∥，∴∠ACM =∠CAG ，∠GMC =∠AGM∴△CMF ∽△AGF 则CM CF AG AF =＝14， ∴CM ＝14AG ＝52， ∵AH ⊥BC ，CM ⊥BC ，BN ⊥BC∴CM AG BN ∥∥∴∴G 为MN 中点∴HG 为梯形CMNB 的中位线，∴BN ＝2GH ﹣CM ＝152， ∵NB AG ∥，∴∠DAG =∠NBD ,∠AGD =∠BND∴△ADG ∽△BDN ∴43AD AG BD BN ==，∴AD ＝47AB （3）∵BF ⊥AC ，DE ⊥BC ，∴∠BFC ＝∠DEB ＝90°，∴∠BQE ＝∠ACB （同角的余角相等）∵∠BQE ＝∠DQF ，∴∠DQF ＝∠ACB∵△DQF 和△ABC 相似，∴或DQ FQ BC AC=， ∵tan ∠BQE ＝tan ∠ACB ＝tan ∠ABC ＝3， ∴3BE QE =，3DE BE= 设QE ＝x ，BE ＝3x ，则DE ＝9x ，∴BQ BD ＝DQ ＝8x ，∵BF ＝3CF ＝∴QF ＝，（ⅰ解得x ＝1513，∴BD ＝（ⅱ）当DQ FQ BC AC =时，则，810x = 解得x 35=，∴BD ＝=，综上所述，BD BD 23．（2021·北京市第三中学九年级期中）如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，D 为AC 上一点（与点A ，C 不重合），连接BD ，过点A 作AE ⊥BD 的延长线于E ．（1）①在图中作出△ABC 的外接圆⊙O ，并用文字描述圆心O 的位置；②连接OE ，求证：点E 在⊙O 上；（2）①延长线段BD 至点F ，使EF ＝AE ，连接CF ，根据题意补全图形；②用等式表示线段CF 与AB 的数量关系，并证明．【答案】（1）①见祥解，圆心O 在斜边AB 的中点；②见详解；（2）①见详解；②AB ，见详解．【解析】解：（1）①作AC 的垂直平分线GH 与AB 的交点O 为圆心O ，以点O 为圆心，以OA 为半径画圆，则⊙O 是△ABC 的外接圆，∵GH 为AC 的垂直平分线，OI ⊥AC ，AI =CI ，∠ACB =90°，连OC ，∴IO ∥CB ， ∴1AI AO IC OB==， ∴AO =OB ，∴点O 为AB 中点，∴OC 为斜边中线，∴OC =OA =OB ，∴⊙O 是△ABC 的外接圆，圆心O 在斜边AB 的中点；②∵AE ⊥BD ，AO=BO ，∴OE 为斜边中线，∴OE =OA =OB ，∴点E 在⊙O 上；（2）①延长线段BD 至点F ，使EF ＝AE ，连接CF ，如图；②AB ，理由如下：∵AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，∴∠BAC =∠ABC =()1180452ACB ︒-∠=︒， ∴∠CEB =∠CAB =45°，∴∠AEC =∠CEB +∠AEB =45°+90°=135°，∴∠FEC =180°-∠CEB =180°-45°=135°=∠AEC ，在△FEC 和△AEC 中，FE AE FEC AEC EC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FEC ≌△AEC （SAS ），∴FC =AC∵AC =AB sin45°AB ， ∴FC =ACAB ，∴AB ．24．（2021·陕西·西安高新第一中学初中校区九年级期中）问题提出：西安市为迎接“十四运”计划实施扩大城市绿化面积．现有一块四边形空地（如图2，四边形ABCD ）需要铺上草皮，但由于规划图纸被污损，仅能看清两条对角线AC ，BD 的长度分别为40cm ，30cm 及夹角∠BEC ＝60°，你能利用这些数据，帮助工作人员求出这块空地的面积吗？建立模型：我们先来解决较为简单的三角形的情况．（1）如图1，△ABC 中，D 为AB 上任意一点（不与A ，B 两点重合），连接CD ，CD ＝a ，AB ＝b ，∠ADC ＝α（α为CD 与AB 所夹的锐角），则△ABC 的面积为 ．（用a ，b ，α表示）问题解决：请你解决工作人员的问题．（2）如图2，四边形ABCD 中，E 为对角线AC ，BD 的交点，已知AC ＝40cm ，BD ＝30cm ，∠BEC ＝60°，求四边形ABCD 的面积．（写出必要的解答过程）新建模型：（3）若四边形ABCD 中，E 为对角线AC ，BD 的交点，已知AC ＝a ，BD ＝b ，∠BEC ＝α（α为AC 与BD 所夹的锐角），直接写出四边形ABCD 的面积为 ．（用a ，b ，α表示）模型应用：（4）如图3，四边形ABCD 中，AD +BC ＝AB ，∠BAD ＝∠ABC ＝60°．已知BD ＝a ，求四边形ABCD 的面积．（“新建模型”中的结论可直接利用）【答案】（1）12ab sinα；（2）2；（3）12ab sinα；（4）a 2．【解析】解：（1）过点C 作CM ⊥AB 于点M ，如图1所示：∴△CMD为直角三角形．又∵∠ADC＝α，∴sinα＝CMCD，∴CM＝CD•sinα，∴S△ABC＝12AB•CM＝12AB•CD•sinα＝12ab sinα，故答案为：12ab sinα；（2）过点D作DF⊥AC于F，过点B作BN⊥AC于N，如图2所示：∵∠BEC＝60°，∴∠AED＝60°，同（1）得：S△ACD＝12AC•DE•sin60°＝AC•DE，S△ABC＝12AC•BE•sin60°＝AC•BE，∴S四边形ABCD＝S△ACD+S△ABC＝AC•DE+AC•BE＝AC（DE+BE）＝AC•BD＝×40×30＝cm2）；（3）如图2，过点D作DF⊥AC于F，过点B作BN⊥AC于N，∵∠BEC＝α，∴∠AED＝α，同（1）得：S△ACD＝12AC•DE•sinα，S△ABC＝12AC•BE•sinα，∴S四边形ABCD＝S△ACD+S△ABD＝12AC•DE•sinα+12AC•BE•sinα＝12AC•（DE+BE）•sinα＝12AC•BD•sinα＝12ab sinα，故答案为：12ab sinα；（4）在AB上取BG＝BC，连接DG、AC、CG，AC分别交DG、BD于H、P，如图3所示：∵AD+BC＝AB，AG+BG＝AB，∴AD＝AG，∵∠BAD＝∠ABC＝60°，∴△ADG与△BCG均为等边三角形，∴DG＝AG，CG＝BG，∠AGD＝∠BGC＝60°，∴∠DGC＝60°＝∠BGC，∴∠AGC＝∠DGB＝120°，∴△AGC ≌△DGB （SAS ），∴AC ＝BD ，∠GAC ＝∠GDB ，∵∠DHC ＝∠AHG ，∴∠DPH ＝∠AGD ＝60°，∴S 四边形ABCD ＝12•a •a •sin60°＝12•a •a •＝a 2． 题型三 解直角三角形1．如图，折叠矩形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知折痕AE =10m ，且tan ∠CEF =43，那么矩形ABCD 的面积为（ ）cm ；A ．280B ．300C ．320D ．360【答案】C【解析】解：在Rt △EFC 中，tan ∠CEF=CF CE =43， ∴设3CE k =，则4CF k =，根据勾股定理得到5EF k =，由折叠的性质知，∴8DC AB k ==，∵，，∴，∴，∴6BF k =，，在Rt AEF 中，由勾股定理可得：，∴2k =，∴，20BC =，∴矩形ABCD 的面积为；故选C ．2．（2021·重庆八中九年级期中）如图，垂直于地面的通信基地AB 建在陡峭的山坡BC 上，该山坡的坡度i ＝1：2.4．小明为了测得通信基地AB 的高度，他首先在C 处测得山脚与通信基地AB 的水平距离CD ＝156米，然后沿着斜坡走了52米到达E 处，他在E 处测得通信基地顶端A 的仰角为60°，则通信基地AB 的高度约为（ ）≈1.414）A ．136米B ．142米C ．148米D ．87米【答案】B【解析】解：如图，作EH ⊥CD 于H ，EF ⊥AD 于F ．在Rt △ECH 中，∵EH ：CH ＝1：2.4，EC ＝52m ，设EH=x ，则CH =2.4x ，222EH CH EC +=，即()2222.452x x +=， 解得x=20(负值舍去)，∴EH ＝DF ＝20m ，CH ＝48m ，∴EF ＝DH ＝CD ﹣CH ＝156﹣48＝108m ，在Rt △AEF 中，∵∠AEF ＝60°，∴AF ＝EF •tan60°＝∴AD ＝AF +DF ＝m ，在Rt △BCD 中，∵BD ：CD ＝1：2.4，∴BD ＝65m ，∴AB ＝AD ﹣BD ＝207﹣65＝142m ，故选：B ．3．如图，在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝4，AC ＝2，则sin B 的值是（ ）A B ． C D 【答案】D【解析】解：如图所示，过点C 作CD ⊥AB 于D ，∵ ∠BAC ＝120°，∴ ∠CAD ＝60°，又∵ AC ＝2，∴ AD ＝1，CD∴ BD ＝BA +AD ＝5，在Rt △BCD 中，BC =∴ sin CD B BC ==．故选：D ．4．（2021·天津河西·九年级期中）如图，在⊙O 中，点A ，B 在圆上，∠AOB =120°，弦AB 的长度为则半径OA 的长度为（ ）A ．B ．4C ．D ．【答案】B【解析】过点O 作OD ⊥AB ，垂足为D ，∵OA =OB ，∠AOB =120°，AB∴AD =BD =12AB ∠AOD =60°， ∵AD OA =sin ∠AOD = sin 60°=， ∴OA ==4，故选B ．5．（2021·山东东昌府·九年级期中）如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD ，AE ，DF 为梯形的高，其中迎水坡AB 的坡角α=45°，坡长AB =米，背水坡CD 的坡度i =则背水坡的坡长CD 为（ ）米．A ．20B ．C ．10D ．【答案】A【解析】解：∵迎水坡AB 的坡角α=45°，坡长AB 米，∴AE sin45°=10（米），∴DF =AE =10，∵背水坡CD 的坡度i =1∠DFC =90°，∴tan ∠C =DF FC = ∴∠C =30°，∴DC=2DF=2AE=20（米），故选A．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（）A．1 B．1.2 C．3 D．5【答案】B【解析】解：如下图：以点F为国心，以2为半径作圆F，过点F作AB的垂线，垂足为Q，FQ交圆F于P0，故点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FQ⊥AB时，点P到AB的距离最短，在Rt△AFQ和Rt△ABC中，∵sin∠A=FQAF，sin∠A=BCAB，∴FQAF=BCAB，∵AC＝6，BC＝8，CF＝2，∴AB=10，∴8 410 FQ=，∴FQ=3.2，∵FP0=2，∴P0Q=3.2-2=1.2．故选：B．7．（2021·山东沂源·九年级期中）在Rt△ABC中，AB是斜边，AB＝10，BC＝6，tan A＝_________．【答案】3 4【解析】如图，∵Rt△ABC中，AB是斜边，AB＝10，BC＝6，∴∠C=90°，AC，∴tanA =68BC AC ==34， 故答案为：34． 8．（2021·上海市金山初级中学九年级期中）在△ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝60°，则△ABC 的面积是 ___．【答案】123【解析】解：如图，过点A 作AD BC ⊥于点D ，在Rt ABD △中，sin AD B AB =，即3sin 6062AD =︒=， 解得33AD =， 则的面积是1183312322BC AD ⋅=⨯⨯ 故答案为：39．（2021·浙江·宁波市镇海蛟川书院九年级期中）如图，在菱形ABCD 中，tan ∠DAB ＝43，AB ＝3，点P 为边AB 上一个动点，延长BA 到点Q ，使AQ ＝2AP ，且CQ 、DP 相交于点T ．当点P 从点A 开始向右运动到点B 时，求点T 运动路径的长度为__________．385 【解析】解：连接AT 并延长交CD 于N ，如图：∵CD ∥BQ ，∴AP DN＝AT NT ＝AQ CN ， ∴ AP AQ ＝12＝DN CN ， ∴点N 是CD 上靠近D 的三等分点，∴点T 在线段AN 上运动，当P 从点A 开始向右运动到点B ，即P 与B 重合时，如图：点T 运动路径即为AT ，过D 作DH ⊥AB 于H ，过T 作TM ⊥AB 于M ，在Rt△ADH中，tan∠DAB＝43，设DH＝4k，则AH＝3k，AD＝5k，∵AD＝AB＝3，∴5k＝3，∴k＝35，∴DH＝125，AH＝95，∴BH＝AB﹣AH＝65，∵DTPT＝CDPQ＝APAP AQ+＝13，∴PTPD＝34，∵DH⊥AB，TM⊥AB，∴TM∥DH，∴PTPD＝TMDH＝BMBH，即34＝125TM＝65BM，∴TM＝95，BM＝910，∴AM＝AB﹣BM＝21 10，在Rt△ATM中，AT，．10．（2021·广东·广州六中九年级期中）如图，△ABCAB＝AC，∠BAC＝120°，P为⊙O中优弧BC上一点，连接P A，PB，PC，则P A+PB+PC的最大值___．【答案】6+【解析】延长PC至F，使CF＝BP，连接AF，∵四边形ABPC是圆内接四边形，∴∠ACF＝∠ABP，在△ACF和△ABP中，AC AB ACF ABP CF BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACF ≌△ABP （SAS ），∴AF ＝AP ，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠ABC ＝30°，∴∠APC ＝30°，过点A 作AE ⊥PF 于E ，∵AF =AP ，∴△APF 是等腰三角形，则PF ＝2PE ，在Rt △AEP 中，cos ∠APC ＝PE AP， ∴PE ＝AP •cos ∠APC ＝AP •cos 30°＝ AP ，∴PF ＝2PE，∵PF ＝PC ＋CF ＝PC ＋BP，即PC ＋PB，∴P A +PB +PC =（AP而AP 为⊙O∴AP 最大＝∴P A +PB +PC 的最大值为（×故答案为：．11．（2021·山东泰山·九年级期中）在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了学校旗杆的高度．如图，某一时刻，旗杆AB 的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC 为4米，落在斜坡上的影长CD 为3.8米，AB ⊥BC ，同一时刻，光线与水平面的夹角为60°，1米的竖立标杆PQ 在斜坡上的影长QR 为2米，求旗杆的高度（结果精确到0.1）．【答案】旗杆的高度约为8.8米【解析】解：如图，过C 作CM ∥AB 交AD 于点M ，过M 作MN ⊥AB 于点N ．则四边形BCMN 是矩形，∴MN ＝BC ＝4米，BN ＝CM ， 由题意得：CM PQ CD QR =， 即13.82CM =， 解得：CM ＝1.9（米），在Rt △AMN 中，∠ANM ＝90°，MN ＝BC ＝4米，∠AMN ＝60°，∴tan60°＝AN MN ＝4AN∴AN ＝．∵BN ＝CM ＝1.9米，∴AB ＝AN +BN ＝（米），答：旗杆的高度约为8.8米．12．（2021·广东·佛山市华英学校九年级期中）全球最长跨海大桥——港珠澳大桥连接香港、澳门、珠海三地，总长55千米．大桥某段采用低塔斜拉桥桥型，图2是从图1引申出的平面图．假设你站在桥上测得拉索AB 与水平桥面的夹角是30，拉索CD 与水平桥面的夹角是60︒，两拉索顶端的距离BC 为2米，两拉索底端距离AD 为20米，请求出立柱BH 的长．（结果精确到0.1 1.732）．【答案】立柱BH 的长约为16.3米【解析】解：设DH 的长为x 米，由题意得∠AHB =90°，∵∠CDH =60°，∠AHB =90°，∴米∴()2BH CH BC =+=米，∵∠A =30°，∴米，∵AH=AD+DH，∴320=+，x x∴10x=∴米，答：立柱BH的长约为16.3米．13．（2021·山东阳谷·九年级期中）如图，小杰在高层楼A点处，测得多层楼CD最高点D的俯角为30°，小杰从高层楼A处乘电梯往下到达B处，又测得多层楼CD最低点C的俯角为10°，高层楼与多层楼CD之间的距离为CE，已知AB＝CE＝30米，求多层楼CD的高度．（结果精确到1米），sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）【答案】18米【解析】解：如图所示，延长CD至F点，使得AF⊥CD，则四边形AECF为矩形，AF=CE=30，AE=CF，由题意，∠F AD=30°，在Rt△ADF中，，∵在B处测得最低点C的俯角为10°，∴∠BCE=10°，在Rt△BCE中，，∵AE=CF，∴AB+BE=DF+CD，即：30+5.4CD=，∴米，∴CD的高度约为18米．14．（2021·浙江·宁波市镇海蛟川书院九年级期中）校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1AB＝12米，AE＝24米.（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：2 1.41≈，3≈1.73，sin53°≈45，34cos53,tan 5353︒︒≈≈） （1）求点B 距水平地面AE 的高度；（2）求广告牌CD 的高度．【答案】（1）点B 距水平地面AE 的高度为6米；（2）广告牌CD 的高约8.4米【解析】解：（1）如图，过点B 作BM AE ⊥，BN CE ⊥，垂足分别为M N 、，由题意可知，45CBN ∠︒＝，53DAE ∠︒＝，13i ＝：，12AB ＝米，24AE ＝米，∵13BM i tan BAM AM∠＝：＝＝， ∴30BAM ∠︒＝，∴162BM AB ＝＝（米）， 即点B 距水平地面AE 的高度为6米；（2）在中，∴162NE BM AB ＝＝＝（米）， 3632AM AB ＝＝（米）， ∴()6324ME AM AE ++＝＝米，∵45CBN ∠︒＝，∴()6324CN BN ME +＝＝＝米，∴()6330CE CN NE ++＝＝米，在中，53DAE ∠︒＝，24AE ＝米， ∴4·5324323DE AE tan ︒≈⨯＝＝（米）， ∴CD CE DE -＝33032-＝32＝8.4≈（米）答：广告牌CD的高约8.4米．15．（2021·山东任城·九年级期中）如图，在小山的东侧A庄，有一热气球，由于受西风的影响，以每分钟35m的速度沿着与水平方向成75°角的方向飞行，40min时到达C处，此时气球上的人发现气球与山顶P点及小山西侧的B庄在一条直线上，同时测得B庄的俯角为30°．又在A庄测得山顶P的仰角为45°，求A庄与B≈1.4≈2.45，结果精确到个位）．【答案】A庄与B庄的距离是1960米，山高是735米．【解析】如图，过点A作AD BC⊥于D，△中，，在Rt ACDAC＝35×40＝1400（米），则（米）．△中，∠B＝30°，在Rt ABD∴（米）．过点P作PE AB⊥，垂足为E，则AE＝PE•tan45°＝PE，BE＝PE•tan60°，∴，∴)1PE=PE=≈．解得：700735综上可得：A庄与B庄的距离是1960米，山高是735米．16．（2021·山东任城·九年级期中）测量计算是日常生活中常见的问题，如图，建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB，从地面上D点处观测旗杆顶点A的仰角为50°，观测旗杆底部B点的仰角为45°．若已知旗杆的高度AB＝5米，求建筑物BC的高度．（参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2）【答案】建筑物BC的高度为25米．【解析】设BC＝x米，则AC＝（x+5）米，在Rt△BDC中，∠BDC＝45°，∴DC＝BC＝x米，在Rt△ADC中，tan∠ADC＝ACDC，即5xx+＝1.2，解得：x＝25，答：建筑物BC的高度为25米．17．（2021·上海交通大学附属第二中学九年级期中）交大二附中地下车库出口处“两段式栏杆”如图1所示，点A是栏杆转动的支点．点E是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图2所示，其示意图如图3所示，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠EAB＝143°，AB＝AE＝1.2米，（1）求当车辆经过时，栏杆EF段距离地面的高度（即直线EF上任意一点到真线BC的距离）．（2）为了增加安全性，在保持车辆经过时栏杆EF段距离地面的高度不变的前提下．在图2中把连接点向右移动．若移动后∠EAB减小16°，则改进后栏杆平行地面时，图1中E向右移动的距离是多少？（结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计参考数据：sin37°＝0.60，cos 37°＝0.80，tan 37°＝0.75）【答案】（1）2.2米；（2）0.6米【解析】解：（1）如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠BAG=90°，∠EHA=90°．∵∠EAB=143°，∠BAG=90°，∴∠EAH=∠EAB-∠BAG=53°．在△EAH中，∠EHA=90°，∠AEH=90°-∠EAH=37°，AE=1.2米，∴EH=AE•cos∠AEH≈1.2×0.80=0.96（米），∵AB=1.2米，∴栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH≈1.2+0.96=2.16≈2.2（米）．故栏杆EF段距离地面的高度约为2.2米．（2）把连接点E向右移动到E'，连接A E',过点E'作E K AG'⊥,垂足为K，∴∴四边形EHKE'是矩形，∴EE HK'=，米∵∠EAH= =53°，．∴。