赵爽弦图

2024学年初中数学几何（赵爽弦图）模型专项练习 1．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连

接EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是（ ） 

 A．1+ B．2+ C．5﹣ D． 

2．如图，已知正方形ABCD的边长为20，以A为圆心，AD长为半径作，点E在上，∠DEC＝135°，则△DEC的面积为（ ） 

 A．20 B．40 C．20 D．20 3．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于（ ） 

 A．2 B．4 C．6 D．8 4．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB＝13，EF＝7，那么AH等于 ． 

 5．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3． 若S1+S2+S3＝15，则S2的值是 ．

6．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为4的小正方形EFGH，已知AM为Rt△ABM的较长直角边，AM＝EF，则正方形ABCD的面积为 ． 

 7．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式c2＝，化简

便得结论a2+b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题 （1）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，BC＝4，求CD的长度． （2）如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．

赵爽弦图

中国最早的一部数学著作—《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话:

周公问:“我听说您对数学非常精通，我想请教一下:天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地的数据呢?”商高回答说:“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识.其中有一条原理:当直角

三角形的一条直角边“勾”等于3，另一条直角边“股”等于4的时候，那么它的斜边“弦”就必定是5.这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的啊.”

我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”(图1)．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．

2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣.不但因为这个定理重要、基本，还

因为这个定理贴近人们的生活实际.以至于古往今来，下至平明百姓，上至帝王总统都愿意探讨、研究它的证明，新的证法不断出现.下面介绍几种用来证明勾股定理的图形，

你能根据这些图形及提示证明勾股定理吗？

传说中毕达哥拉斯的证法（图1）

提示：（1）中拼成的正方形与（2）中拼成的正方形面积相等.

2.弦图的另一种证法（图2）提示：以斜边为边长的正方形的面积+4个三角形的面积=外正方形的面积.

3.美国第20任总统詹姆斯加菲尔德的证法（图3）提示：3个三角形的面积之和=梯形的面积

.

1三角形中的重要模型-弦图模型、勾股树模型

赵爽弦图分为内弦图与外弦图，是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以以此命题，相关

的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久远，被誉为

“中国数学界的图腾”。弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂教学中数学思想渗透的绝

佳载体。一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能量，它就是数学教育里

的不老神话。广受数学教师和数学爱好者研究，近年来也成为了各地中考的热点问题。

模型1、弦图模型

(1)内弦图模型：如图1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥

AE于点H，则有结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH；S

正方形ABCD=4S

△EAB+S

正方形EFGH。

图1图2图3

(2)外弦图模型：如图2，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，且四边形EFGH

是正方形，则有结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH；S

正方形ABCD=4S

△EAB+S

正方形EFGH。

(3)内外组合型弦图模型：如图3，2S

正方形EFGH=S

正方形ABCD+S

正方形PQMN.

1(2023秋·湖北·九年级校联考开学考试)如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是

我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成如．如果大正方形的面积是

16，直角三角形的直角边长分别为a，b，且a2+b2=ab+10，那么图中小正方形的面积是()

A.2B.3C.4D.5

2(2022·安徽安庆·八年级期末)汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，构造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽

弦图”，如图，大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，若∠ADE=∠AED，AD

=45，则△ADE的面积为()

2A.24B.6C.25D.210

建立“定义坐标系”，在满足“勾股定理”的条件下作图：

1、“绘图”-“定义坐标系”；

2、“绘图”-“自动吸附表格”；

3、在坐标系中使用“点工具”，在需要的格点上绘制点；

4、使用“线段直尺工具”构造线段；

5、使用“信息笔工具”标记直角即可。

几何画板的精髓是动态的图形，可以改变图形的大小，形状而不改变图形的性质。作法如下：

1。作Rt△ABC；

2。以点C为圆心，较长直角边交AC与短直角边BC的差为半径作圆，交AC于点D；

3。以CD为边作正方形；

4。作正方形的中心O；

5。以O为旋转中心，连续三次旋转Rt△ABC，旋转角为90°，得赵爽弦图。

拖动点A、B、C都可以改变图形的大小，但赵爽弦图揭示的关系不变。

就是勾股定理 a方+b方=c方

直角边为勾股 斜边为弦

证明过程 如图 正方形ABCD的面积为c^2=4ab+(b-a)^2

整理得a^2+b^2=c^2

设最长边为c，较长边为b，短边为a

∵整个大正方形面积为S=c²=（b-a)²+ab*½*4

∴c²=（b-a)²+ab*½*4

c²=a²+b²

如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.在Rt△ABC中

图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt△ABC中，若直角边AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的面积是_________.