[精品]2019年中考数学专题复习 专题六 探索型问题训练
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类型一 规律探索型问题
(2018·山东威海中考)如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为(1，2)，以点O为圆心，以OA1长为半径画弧，交直线y＝12x于点B1.过B1点作B1A2∥y轴，交直线y＝2x于点A2，以点O为圆心，以OA2长为半径画弧，交直线y＝12x于点B2；过点B2作B2A3∥y轴，交直线y＝2x于点A3，以点O为圆心，以OA3长为半径画弧，交直线y＝12x于点B3；过B3点作B3A4∥y轴，交直线y＝2x于点A4，以点O为圆心，以OA4长为半径画弧，交直线y＝12x于点B4，…，按照如此规律进行下去，点B2 018的坐标为________．
【分析】根据题意可以求得点B1的坐标，点A2的坐标，点B2的坐标，然后即可发现坐标变化的规律，从而可以求得点B2 018的坐标．
【自主解答】
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推荐下载 规律探索题主要有数式规律和图形规律两种．对于数式规律，猜想归纳是解决这类问题的有效方法，通过对已给出的材料和信息对研究的对象进行观察、实验、比较、归纳和分析综合，作出符合一定规律与事实的推测性想象，从而发现一般规律，它是发现和认识规律的重要手段．对于图形规律，一种是数图形，将图形规律转化成数字规律，再用数字规律解决问题；一种是通过图形的直观性，通过拆分图形，观察图形的构造寻找规律．
1．(2018·山东枣庄中考)将从1开始的连续自然数按如下规律排列：
则2 018在第________行．
2．(2018·江苏淮安中考)如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y＝x的图象，点A1的坐标为(1，0)，过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x轴于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2；过点C2作x轴的垂线，垂足为A3，交直线l于点D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3，…，按此规律操作下所得到的正方形AnBnCnDn的面积是______________．
类型二 存在探索型问题
(2018·浙江湖州中考)如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC，∠ABC＝90°，顶点A在第一象限，B，C在x轴的正半轴上(C在B的右侧)，BC＝2，AB＝23，△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称．
(1)当OB＝2时，求点D的坐标；
(2)若点A和点D在同一个反比例函数的图象上，求OB的长；
(3)如图2，将第(2)题中的四边形ABCD向右平移，记平移后的四边形为A1B1C1D1，过点D1的反比例函数y＝kx(k≠0)的图象与BA的延长线交于点P.问：在平移过程中，是否存在这样的k，使得以点P，A1，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的k的值；若不存在，请说明理由． 精 品 试 卷
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【分析】(1)作DE⊥x轴于E，解直角三角形求出DE，CE即可解决问题；
(2)设OB＝a，则点A的坐标(a，23)，由题意CE＝1，DE＝3，可得D(3＋a，3)，点A，D在同一反比例函数图象上，可得23a＝3(3＋a)，求出a即可；
(3)分两种情形：①如图2中，当点A1在线段CD的延长线上，且PA1∥AD时，∠PA1D＝90°.②当∠PDA1＝90°时．分别构建方程解决问题即可．
【自主解答】
3．(2018·四川攀枝花中考)如图，对称轴为直线x＝1的抛物线y＝x2－bx＋c与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)(x1精 品 试 卷
推荐下载 ＜x2)两点，与y轴交于C点，且1x1＋1x2＝－23.
(1)求抛物线的表达式；
(2)抛物线顶点为D，直线BD交y轴于E点；
①设点P为线段BD上一点(点P不与B，D两点重合)，过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，求△BDF面积的最大值；
②在线段BD上是否存在点Q，使得∠BDC＝∠QCE？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
类型三 结论探索型问题
如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE＝BF.连结DE，过点E作EG⊥DE，使EG＝DE.连结FG，FC.
(1)请判断：FG与CE的数量关系是________，位置关系是________． 精 品 试 卷
推荐下载 (2)如图2，若点E，F分别是CB，BA延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请作出判断并予以证明．
(3)如图3，若点E，F分别是BC，AB延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．
【分析】根据正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定及性质即可判断．
【自主解答】
4．(2018·四川自贡中考)如图，已知∠AOB＝60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA，OB相交于点D，E.
(1)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1)，请猜想OE＋OD与OC的数量关系，并说明理由；
(2)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，(1)中的结论是否成立？并说明理由；
(3)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给予证明；若不成立，线段OD，OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
图1 图2 图3
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参考答案
类型一
【例1】 由题意可得点A1的坐标为(1，2)．
设点B1的坐标为(a，12a)，
a2＋（12a）2＝12＋22，
解得a＝2(负值舍去)，
∴点B1的坐标为(2，1)．
同理可得点A2的坐标为(2，4)，点B2的坐标为(4，2)，
点A3的坐标为(4，8)，点B3的坐标为(8，4)，
…
∴点B2 018的坐标为(22 018，22 017)．
故答案为(22 018，22 017)．
变式训练
1．45 2.(92)n－1
类型二
【例2】 (1)如图，过点D作DE⊥x轴于E.
∵∠ABC＝90°，∴tan∠ACB＝ABBC＝3，
∴∠ACB＝60°.
根据对称性可知DC＝BC＝2，∠ACD＝∠ACB＝60°， 精 品 试 卷
推荐下载 ∴∠DCE＝60°，∴∠CDE＝90°－60°＝30°，
∴CE＝1，DE＝3，
∴OE＝OB＋BC＋CE＝5，
∴点D坐标为(5，3)．
(2)设OB＝a，则点A的坐标(a，23)，
由题意CE＝1，DE＝3，可得D(3＋a，3)．
∵点A，D在同一反比例函数图象上，
∴23a＝3(3＋a)，∴a＝3，∴OB＝3.
(3)存在，k的值为103或123.理由如下：
①如图，当点A1在线段CD的延长线上，且PA1∥AD时，∠PA1D＝90°.
在Rt△ADA1中，∵∠DAA1＝30°，AD＝23，
∴AA1＝ADcos 30°＝4.
在Rt△APA1中，∵∠APA1＝60°，
∴PA＝433，∴PB＝1033.
设P(m，1033)，则D1(m＋7，3)．
∵P，D1在同一反比例函数图象上，
∴1033m＝3(m＋7)，解得m＝3，
∴P(3，1033)，∴k＝103.
②如图，当∠PDA1＝90°时． 精 品 试 卷
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∵∠PAK＝∠KDA1＝90°，∠AKP＝∠DKA1，
∴△AKP∽△DKA1，∴AKKD＝PKKA1，
∴PKAK＝KA1DK.
∵∠AKD＝∠PKA1，
∴△KAD∽△KPA1，
∴∠KPA1＝∠KAD＝30°，∠ADK＝∠KA1P＝30°，
∴∠APD＝∠ADP＝30°，
∴AP＝AD＝23，AA1＝6.
设P(m，43)，则D1(m＋9，3)．
∵P，D1在同一反比例函数图象上，
∴43m＝3(m＋9)，解得m＝3，
∴P(3，43)，∴k＝123.
变式训练
3．解：(1)∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴－－b2＝1，
∴b＝2.
由一元二次方程根与系数的关系得x1＋x2＝b，x1x2＝c，
∴1x1＋1x2＝x1＋x2x1x2＝bc＝－23，则c＝－3，
∴抛物线表达式为y＝x2－2x－3.
(2)由(1)得点D坐标为(1，－4)．
当y＝0时，x2－2x－3＝0，
解得x1＝－1，x2＝3，
∴点B坐标为(3，0)．
①设点F坐标为(a，b)，
