因式分解法(提公因式法、公式法)
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【知识要点】
1、提取公因式:型如()ma mb mc m a b c ++=++,把多项式中的公共部分提取出来。 ☆提公因式分解因式要特别注意:
(1)如果多项式的首项系数是负的,提公因式时要将负号提出,使括号内第一项的系数是
正的,并且注意括号内其它各项要变号。
(2)如果公因式是多项式时,只要把这个多项式整体看成一个字母,按照提字母公因式的办法提出。
(3)有时要对多项式的项进行适当的恒等变形之后(如将a+b-c 变成-(c-a-b )才能提公
因式,这时要特别注意各项的符号)。
(4)提公因式后,剩下的另一因式须加以整理,不能在括号中还含有括号,并且有公因式的还应继续提。
(5)分解因式时,单项式因式应写在多项式因式的前面。
2、运用公式法:把我们学过的几个乘法公式反过来写就变成了因式分解的形式: ()()2
2
a b a b a b -=+-; ()2
2
2
2a ab b a b ±+=±。
平方差公式的特点是:(1) 左侧为两项;(2) 两项都是平方项;(3) 两项的符号相反。 完全平方公式特点是: (1) 左侧为三项;(2) 首、末两项是平方项,并且首末两项的符号相同; (3) 中间项是首末两项的底数的积的2倍。 ☆运用公式法分解因式,需要掌握下列要领:
(1)我们学过的三个乘法公式都可用于因式分解。具体使用时可先判断能否用公式分解,然后再选择适当公式。(2)各个乘法公式中的字母可以是数,单项式或多项式。 (3)具体操作时,应先考虑是否可提公因式,有公因式的要先提公因式再运用公式。 (4)因式分解一定要分解到不能继续分解为止,分解之后一定要将同类项合并。
【典例分析】
例1.分解下列因式:
(1)2
2
3
2
1084y x y x y x -+ (2)2332
72114a b c ab c abc --+
(3)323
111248
ab a b a b -
-+ (4)y x y x y x x 322233
1
3231+-+-
(5)2
3
)(2)(m n a n m -+- (6)3
2
)(4)(2y z y z y x -+-
练习:因式分解
(1)a(x-y)+b(x-y)-(x-y) (2)6(x+y)-12z(x+y) (3)(2x+1)y 2+(2x+1)2y
(4)p(a 2+b 2)+q(a 2+b 2)-l(a 2+b 2) (5)2a(b+c)-3(b+c) (6)6(x-2)+x(2-x)
(7)m(a-b)-n(b-a) (8)2a(x+y-z)-3b(x+y-z)+5c(z-x-y);
(9)m(m-n)2-n(n-m)2 (10)2(x-y)(a-2b+3c)-3(x+y)(2b-a-3c).
例2. 把下列各式分解因式:
(1)x 2-4y 2 (2)22
33
1b a +-
(3)2
2
)2()2(y x y x +-- (4)1162
2-b a
练习:把下列各式分解因式: (1)2
2
4b a -
(2)1162
2-y x
(3)2
24
81916b a +-
(4)2
916a -
例3.运用完全平方公式因式分解:
(1)2
1449x x ++ (2)25102
+-a a
(3)2
2
9124b ab a +- (4)4
2
2
4
2b b a a +-
(5)2
1
222+
-x x (6)x x x 2718323+-
(7)2()6()9m n m n +-++ (8)2
2224)1(4)1(a a a a ++-+
(9)16
1
)(21)(2
+---y x y x (10)9)(6)(222+-+-x x x x
练习:把下列各式分解因式:
(1)221025x xy y -+ (2)222y xy x -+-
(3)1692+-t t (4)22816y x xy +-
(5)2
4
11x x ++ (6)xy y x 4422-+
(7)8
1
22
4
-
+-x x (8)ax y ax y ax ++2232
(9) 16
1
)(21)(2+---y x y x (10) )(12)(9422n m m n m m ++++
例4. 把下列各式分解因式:
(1)32231212x x y xy -+ (2)4
42444)(y x y x -+
(3)222)1(4+-a a (4)2
222)(4)(12)(9b a b a b a ++-+-
练习:把下列各式分解因式:
(1)222224)(b a b a -+ (2)2
22)4
1(+-m m
(3)22248)4(3ax x a -+ (4)4
224168b b a a +-
(5))()(2
x y y x a -+- (6))()(42
2
m n b n m a -+-
例5.已知2=+b a ,利用分解因式,求代数式222
1
21b ab a ++。 练习:
1.已知7,1-==+xy y x ,利用分解因式,求代数式2
2
2y xy x +-的值。
B D
C