因式分解法(提公因式法、公式法)

初中数学：因式分解常用的6种方法
分解因式技巧
1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。

2.分解因式技巧掌握：
①等式左边必须是多项式；
②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；
③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；
④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

1、提取公因式
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

ab+ac=a（b+c）
2、公式法
a²-b²=（a+b）× （a-b）
（a+b）²=a²+2ab+b²
（a-b）²=a²-2ab+b²
3、分组分解法
ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y) =(a+b)(x+y)
4、十字相乘法
x+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
5、裂项法
bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)
6、配方法
x²+3x-40
=x²+3x+2.25-42.25
=（x+1.5）²-（6.5）²
=(x+8)(x-5)。

西安乐童教育中心八年级数学 因式分解常见方法讲解和经典题型常见方法一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)； (2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2； (3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)； (4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)． 下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a bc ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！ =))((b a n m ++例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。

2
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思考：将一个多项式进行因式分解，通常有哪几 种方法？
提公因式法，公式法，十字相乘法 用因式分解法解一元二次方程的依据是：
如果ab=0，则a=0或b=0.
解下列方程： (x-2)·(x-3)=0； 解： 由题可得
x-2=0或x-3=0 x1=2, x2=3
4x2－11x=0.
解： 分解因式，得
x1=2，x2=-1.
于是得
2x＋1=0，或2x-1=0，
x1
1 2
,
x2
1. 2
直接开平方法适用于哪种形式的方程？ x2=p 配方法适用于哪种形式的方程？ (mx+n)2=p 公式法适用于哪种形式的方程？ ax2+bx+c=0(a≠0) 因式分解法适用于哪种形式的方程？x2-(m+n)x+mn=0
课堂小结
因式分解法
通过因式分解 实现降次来解 一元二次方程
提公因式法 公式法
十字相乘法
完全平方公式 平方差公式
课后作业
1.用合适的方法法解下列一元二次方程. (1)(5x)2-9=16； (2)x2+4x+5=2； (3)2x2-3x-2=0； (4)(x-2)(x-3)=12；
2.填空 ①x2-3x+1=0 ②3x2-1=0 ③-3t2+t=0 ④x2-4x=2 ⑤2x2-x=0 ⑥5(m+2)2=8 ⑦3y2-y-1=0 ⑧2x2+4x-1=0 ⑨(x-2)2=2(x-2). (1）适合运用直接开平方法 ② ⑥ ； (2）适合运用因式分解法 ③ ⑤ ⑨ ； (3）适合运用公式法 ① ⑦ ⑧ ； (4）适合运用配方法 ④ . 【提示】每个题都有多种解法，选择更 合适的方法，可以简化解题过程！

因式分解的常常使用办法之公保含烟创作第一局部：办法介绍因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等因式分解的一般步伐是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步伐.即首先看有无公因式可提，其次看能否直接应用乘法公式；如前两个步伐都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可应用公式法持续分解；（2）若上述办法都行欠亨，可以检验考试用配办法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等办法；.注意：将一个多项式停止因式分解应分解到不能再分解为止.一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常常使用的公式，例如：(1) (a+b)(a-b)=a2-b2-----------a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)(a±b)2=a2±2ab+b2---------a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3---------a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)(a-b)(a2+ab+b2) =a3-b3--------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再弥补两个常常使用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形D等腰直角三角形解：222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca++=++⇒++=++222222三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn+am++anbm剖析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以思索将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再思索两组之间的联络.解：原式=)am++an+(bm)(bn=)a+m+每组n+m(b)(n之间还有公因式！=)+)(nm+a(b例2、分解因式：bx102+-5byayax-解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组. 第二、三项为一组.解：原式=)ax-+ay-原式5()102(bxby=)ax+-bx+-(510)2(byay=)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x ---=)2)(5(b a y x --=)5)(2(y x b a -- 练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：ay ax y x ++-22剖析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能持续分解，所以只能另外分组.解：原式=)()(22ay ax y x ++-=)())((y x a y x y x ++-+=))((a y x y x +-+例4、分解因式：2222c b ab a -+-解：原式=222)2(c b ab a -+-=22)(c b a --=))((c b a c b a +---练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222--- 综合练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22 （3）181696222-+-++a a y xy x（4）a b b ab a 4912622-++-（5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+--（7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a（9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+（11）abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++（12）abc c b a 3333-++四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接应用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++停止分解.特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和. 思考：十字相乘有什么根本规律？例.已知0＜a ≤5，且a 为整数，若223x x a ++能用十字相乘法分解因式，求契合条件的a .解析：但凡能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c ，都要求24b ac ∆=->0而且是一个完全平方数. 于是98a ∆=-为完全平方数，1a =例5、分解因式：652++x x剖析：将6分红两个数相乘，且这两个数的和要等于5.由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5. 1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此办法停止分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数.例6、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1-1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习5、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a(3)542-+x x练习6、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2条件：（1）21a a a =1a 1c（2）21c c c =2a 2c（3）1221c a c a b +=1221c a c a b +=分解后果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例7、分解因式：101132+-x x剖析： 1 -23 -5（-6）+（-5）= -11 解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习7、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：221288b ab a --剖析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，应用十字相乘法停止分解. 1 8b 1 -16b8b+(-16b)= -8b解：221288b ab a --=)16(8)]16(8[2b b a b b a -⨯+-++ =)16)(8(b a b a -+ 练习8、分解因式(1)2223y xy x +-(2)2286n mn m +-(3)226b ab a --（四）二次项系数不为1的齐次多项式例9、22672y xy x +- 例10、2322+-xy y x1 -2y 把xy 看作一个整体 1 -12 -3y 1-2(-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3解：原式=)32)(2(y x y x -- 解：原式=)2)(1(--xy xy练习9、分解因式：（1）224715y xy x -+ （2）8622+-ax x a综合练习10、（1）17836--x x （2）22151112y xy x --（3）10)(3)(2-+-+y x y x （4）344)(2+--+b a b a（5）222265x y x y x -- （6）2634422++-+-n m n mn m（7）3424422---++y x y xy x （8）222)2a-ba-+b+-a10()((5b)23（9）10424632-xxyx（10）y-y++-2)222x-yx+-++y((2x11)(12y)思考：分解因式：abc++)(2abcx+xcba222五、换元法.(1)、换单项式例1 分解因式x6 + 14x3 y + 49y2.剖析：注意到x6=（x3）2，若把单项式x3换元，设x3 = m，则x6= m2，原式变形为m2 + 14my + 49y2= (m + 7y)2 = ( x3 +7y)2.(2)、换多项式例2 分解因式(x2+4x+6) + (x2+6x+6)+x2.剖析：本题前面的两个多项式有相同的局部，我们可以只把相同局部换元，设x2 +6= m，则x2+4x+6= m+4x，x2+6x+6= m+6x，原式变形为(m+4x)(m+6x)+x2= m2+10mx+24x2+x2= m2 +10mx+25x2= (m+5x)2= ( x2 +6+5x)2= [(x+2)(x+3)]2= (x+2) 2 (x+3)2.以上这种换元法，只换了多项式的一局部，所以称为“局部换元法”. 当然，我们还可以把前两个多项式中的任何一个全部换元，就成了“整体换元法”. 比如，设x2+4x+6=m，则x2+6x+6=m+2x，原式变形为m(m+2x)+ x2 = m2+2mx+x2= (m+x)2= ( x2+4x+6+x)2= ( x2+5x+6)2= [(x+2)(x+3)]2= (x+2) 2 (x+3)2.另外，还可以取前两个多项式的平均数停止换元，这种换元的办法被称为“均值换元法”，可以借用平方差公式简化运算. 关于本例，设m= 1[(x2+4x+6) + (x2+6x+6)]= x2+5x+6，则2x2+4x+6=m-x，x2+6x+6=m+x，(m+x)(m-x)+x2= m2-x2+x2 = m2= (x2+5x+6)2= [(x+2)(x+3)]2= (x+2) 2 (x+3)2.例3 分解因式(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24.剖析：这道题的前面是四个多项式的乘积，可以把它们分红两组相乘，使之转化成为两个多项式的乘积. 无论如何分组，最高项都是x2，常数项不相等，所以只能设法使一次项相同. 因此，把(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)分组为[(x-1) (x+2)][(x-3)(x+4)] = (x2+x-2) (x2+x-12)，从而转化成例2形式加以解决.我们采用“均值换元法”，设m= 1 2[ (x2+x-2)+ (x2+x-12)]=x2+x-7，则x2+x-2=m+5，x2+x-2= m-5，原式变形为(m+5)(m-5)+24=m2-25+24=m2-1=(m +1)(m-1)=( x2+x-7+1)( x2+x-7-1)= ( x2+x-6)( x2+x-8)= (x-2)(x+3)( x2+x-8).(3)、换常数例1 分解因式x2(x+1)-2003×2004x.剖析：此题若依照一般思路解答，很难奏效. 注意到2003、2004两个数字之间的关系，把其中一个常数换元. 比如，设m=2003，则2004=m+1. 于是，原式变形为x2(x+1) – m(m+1)x= x[x(x+1)-m(m+1)] = x(x2+x-m2-m)= x[(x2 -m2) +(x-m)]= x[(x+m) (x-m)+(x-m)] = x(x-m)(x+m+1)= x(x-2003)(x+2003+1)= x(x-2003)(x+2004).例13、分解因式（1）200520052(2005)12--xx-（2）2xxx++x+++1)6(x)(3)(2)(解：（1）设2005=a，则原式=a-)1-(2xaax-2=)x+ax-)(1(a =)+x(-x)(120052005（2）型如的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘.原式=222)65)(67(x x x x x +++++设A x x =++652，则x A x x 2672+=++∴原式=2)2(x A x A ++=222x Ax A ++=2)(x A +=22)66(++x x练习13、分解因式（1）)(4)(22222y x xy y xy x +-++（2）90)384)(23(22+++++x x x x（3）222222)3(4)5()1(+-+++a a a例14、分解因式（1）262234+---x x x x察看：此多项式的特点——是关于x 的降幂排列，每一项的次数依次少1，而且系数成“轴对称”.这种多项式属于“等间隔多项式”.办法：提中间项的字母和它的次数，保管系数，然后再用换元法. 解：原式=)1162(222x x x x x +---=[]6)1()1(2222-+-+x x x x x 设t x x =+1，则21222-=+t xx ∴原式=[]6)2222---t t x （=()10222--t t x=()()2522+-t t x =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+215222x x x x x=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+21··522·x x x x x x =()()1225222+++-x x x x =)2)(12()1(2--+x x x（2）144234+++-x x x x解：原式=22241(41)x x x x x -+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+1141222x x x x x 设y x x =-1，则21222+=+y xx ∴原式=22(43)x y y -+=2(1)(3)x y y --=)31)(11(2----xx x x x =()()13122----x x x x 练习14、（1）673676234+--+x x x x（2）)(2122234x x x x x +++++六、添项、拆项、配办法.例15、分解因式（1）4323+-x x解法1——拆项.解法2——添项.原式=33123+-+x x 原式=444323++--x x x x=)1)(1(3)1)(1(2-+-+-+x x x x x =)44()43(2++--x x x x =)331)(1(2+-+-+x x x x =)1(4)4)(1(++-+x x x x =)44)(1(2+-+x x x =)44)(1(2+-+x x x=2)2)(1(-+x x =2)2)(1(-+x x（2）3369-++x x x解：原式=)1()1()1(369-+-+-x x x=)1()1)(1()1)(1(333363-++-+++-x x x x x x=)111)(1(3363+++++-x x x x=)32)(1)(1(362++++-x x x x x练习15、分解因式（1）893+-x x （2）4224)1()1()1(-+-++x x x（3）1724+-x x （4）22412a ax x x -+++（5）444)(y x y x +++（6）444222222222c b a c b c a b a ---++七、待定系数法.例16、分解因式613622-++-+y x y xy x剖析：原式的前3项226y xy x -+可以分为)2)(3(y x y x -+，则原多项式一定可分为)2)(3(n y x m y x +-++ 解：设613622-++-+y x y xy x =)2)(3(n y x m y x +-++ ∵)2)(3(n y x m y x +-++=mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622 ∴613622-++-+y x y xy x =mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622比照左右两边相同项的系数可得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+613231m n m n n m ，解得⎩⎨⎧=-=32n m ∴原式=)32)(23(+--+y x y x例17、（1）当m 为何值时，多项式6522-++-y mx y x 能分解因式，并分解此多项式.（2）如果823+++bx ax x 有两个因式为1+x 和2+x ，求b a +的值.（1）剖析：前两项可以分解为))((y x y x -+，故此多项式分解的形式必为))((b y x a y x +-++解：设6522-++-y mx y x =))((b y x a y x +-++则6522-++-y mx y x =ab y a b x b a y x +-+++-)()(22比拟对应的系数可得：⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+65ab a b m b a ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧==-=132m b a 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-==132m b a∴事先1±=m ，原多项式可以分解；事先1=m ，原式=)3)(2(+--+y x y x ；事先1-=m ，原式=)3)(2(--++y x y x（2）剖析：823+++bx ax x 是一个三次式，所以它应该分红三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如c x +的一次二项式.解：设823+++bx ax x =))(2)(1(c x x x +++则823+++bx ax x =c x c x c x 2)32()3(23+++++∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=82323c c b c a 解得⎪⎩⎪⎨⎧===4147c b a ，∴b a +=21练习17、（1）分解因式2910322-++--y x y xy x（2）分解因式6752322+++++y x y xy x（3）已知：p y x y xy x +-+--1463222能分解成两个一次因式之积，求常数p 而且分解因式.（4）k 为何值时，253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式.第二局部：习题年夜全经典一：一、填空题1. 把一个多项式化成几个整式的_______的形式，叫做把这个多项式分解因式.2分解因式： m3-4m= .3.分解因式： x2-4y2= _______.4、分解因式：244x x ---=_________________.5.将xn-yn 分解因式的后果为(x2+y2)(x+y)(x-y)，则n 的值为 .6、若5,6x y xy -==，则22x y xy -=_________，2222x y +=__________.二、选择题7、多项式3222315520m n m n m n +-的公因式是( ) A 、5mn B 、225m n C 、25m n D 、25mn8、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是( )A 、()()2339a a a +-=-B 、()()22a b a b a b -=+-C 、()24545a a a a --=-- D 、23232m m m m m ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭ 10.下列多项式能分解因式的是（）(A)x2-y (B)x2+1 (C)x2+y+y2(D)x2-4x+411．把（x －y ）2－（y －x ）分解因式为（ ）A ．（x －y ）（x －y －1）B ．（y －x ）（x －y －1）C ．（y －x ）（y －x －1）D ．（y －x ）（y －x ＋1）12．下列各个分解因式中正确的是（ ）A ．10ab2c ＋6ac2＋2ac ＝2ac （5b2＋3c ）B ．（a －b ）2－（b －a ）2＝（a －b ）2（a －b ＋1）C ．x （b ＋c －a ）－y （a －b －c ）－a ＋b －c ＝（b ＋c －a ）（x ＋y －1）D ．（a －2b ）（3a ＋b ）－5（2b －a ）2＝（a －2b ）（11b －2a ）13.若k-12xy+9x2是一个完全平方式，那么k 应为（ ）A.2B.4 C三、把下列各式分解因式：14、nx ny - 15、2294n m -16、()()m m n n n m -+- 17、3222a a b ab -+18、()222416x x +- 19、22)(16)(9n m n m --+；五、解答题20、如图，在一块边长a =的正方形纸片中，挖去一个边长b =的正方形.求纸片剩余局部的面积.21、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径45d cm =，外径75D cm =，长3l m =.应方米的混凝土？(π取3.14字)22、察看下列等式的规律，并依据这种规律写出第(5)个等式.经典二：1. 通过根本思路到达分解多项式的目的 例1. 分解因式x x x x x 54321-+-+-剖析：这是一个六项式，很显然要先停止分组，此题可把x x x x x 54321-+-+-和辨别看成一组，此时六项式酿成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把x x 54-，x x 32-，x -1辨别看成一组，此时的六项式酿成三项式，提取公因式后再停止分解.解一：原式=-+--+x x x x x()()54321解二：原式=()()()x x x x x54321-+-+-2. 通过变形到达分解的目的例1. 分解因式x x32+-34解一：将32x拆成222+，则有x x解二：将常数-4拆成--13，则有3. 在证明题中的应用例：求证：多项式()()x x x2241021100--++的值一定是非正数剖析：现阶段我们学习了两个非正数，它们是完全平方数、相对值.本题要证明这个多项式是非正数，需要变形成完全平方数.证明：()()x x x22--++41021100设y x x=-25，则4. 因式分解中的转化思想例：分解因式：()()()2333a b c a b b c++-+-+剖析：本题若直接用公式法分解，进程很复杂，察看a+b，b+c与a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的办法.解：设a+b=A ，b+c=B ，a+2b+c=A+B说明：在分解因式时，灵敏运用公式，对原式停止“代换”是很重要的.中考点拨∆ABC 中，三边a,b,c 满足a b c ab bc 222166100--++=求证：a c b +=2证明： a b c ab bc 222166100--++=说明：此题是代数、几何的综合题，难度不年夜，学生应掌握这类题不能丢分.例2. 已知：x x x x +=+=12133，则__________ 解：x xx x x x 3321111+=+-+()() 说明：应用x x x x 222112+=+-()等式化繁为易. 题型展示1. 若x 为任意整数，求证：()()()7342---x x x 的值不年夜于100.解：100)4)(3)(7(2----x x x说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题.一个多项式的值不年夜于100，即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等办法恒等变形成完全平方是一种常常使用的办法.2. 将a a a a 222222216742++++++()()分解因式，并用分解结果计算。