等差等比数列练习题(含答案)以与基础知识点
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一、等差等比数列基础知识点 （一）知识归纳： 1．概念与公式：
①等差数列： 1° . 定义：若数列 { a n } 满足 a n 1 a n d ( 常数 ), 则 { a n } 称等差数列；
2° .通项公式： a n a 1 ( n 1)d a k ( n k ) d ;
3° .前 n 项和公式：公式： Sn n( a 1 a n ) na1 n( n 1) d .
2 2
a n 1 q （ 常 数 ）， 则 { a n } 称 等 比 数 列 ； 2 ° . 通 项 公 式 ： ② 等 比 数 列 ： 1 ° . 定 义 若 数 列 { a n } 满足 a n
n a n a 1 q n 1 a k q n k ; 3° .前 n 项和公式： Sn a1 a n q a 1 (1 q ) ( q 1), 当 q=1 时 S n na 1 .
1 q 1 q
2．简单性质：
①首尾项性质：设数列 { a n } : a1 , a 2 , a 3 , , a n ,
1° .若 { a n } 是等差数列，则 a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a
n 2
;
2° .若 { a n } 是等比数列，则 a 1 an a 2 a n 1 a 3 a
n 2
.
②中项及性质：
1° .设 a， A， b 成等差数列，则 A 称 a、 b 的等差中项，且 A
a b ;
2
2° .设 a,G,b 成等比数列，则 G 称 a、b 的等比中项，且 G ab .
③设 p、 q、 r、 s 为正整数，且 p q r s,
1° . 若 { a n } 是等差数列，则 a p a q a r a s ;
2° . 若 { a n } 是等比数列，则 a p a q a r a s ;
④顺次 n 项和性质：
n 2 n 3 n 2
1° .若 { a n } 是公差为 d 的等差数列， 则 a k , a k , a k 组成公差为 n d 的等差数列；
k 1 k n 1 k 2 n 1
n 2 n 3 n qn 的等比数列 .（注意：当 q=－ 1，n 为 2° . 若 { a n } 是公差为 q 的等比数列， 则 a k , a k , a
k
组成公差为
k 1 k n 1 k 2 n 1
偶数时这个结论不成立）
⑤若 { a n } 是等比数列，
则顺次 n 项的乘积： a1 a 2 a n , a n 1 a n 2 a2 n , a 2 n 1 a 2 n 2 a 3 n 组成公比这 q n 2 的等比数列 . 1 ⑥若 { a n } 是公差为 d 的等差数列 , 1° .若 n 为奇数，则 S n na 中 且 S 奇 S 偶 a 中 (注 : a中 指中项 ,即 a 中 a n 1 , 而 S 奇、 S 偶指所有奇数项、所有偶 2 数项的和）；
2° .若 n 为偶数，则 S 偶
nd . S 奇
2
（二）学习要点：
1．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差 d≠ 0 的等差数列的通项公式是项 n 的一 次函数 an =an+b; ②公差 d≠0 的等差数列的前 n 项和公式项数 n 的没有常数项的二次函数 n 2 +bn; ③公比 q≠ 1 的等
S =an
比数列的前 n 项公式可以写成“ n Sn =a(1- q ) 的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的. 2．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题 . 3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“ a,a+m,a+2m （或
a-m,a,a+m ）” ② 三 数 成 等 比 数 列 ， 可 设 三 数 为 “ a,aq,aq 2( 或 a ， a,aq) ” ③ 四 数 成 等 差 数 列 ， 可 设 四 数 为 q
“ a , a m, a 2 m, a 3 m(或 a 3 m, a m, a m, a 3 m); ” ④ 四 数 成 等 比 数 列 ， 可 设 四 数 为
2 3 (或 a a 3 ), ”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验. “
a , aq , aq , aq 3 , q , aq , aq
q
[例 1]解答下述问题： （Ⅰ）已知 1 , 1 , 1
成等差数列，求证：
a b c
（ 1） b c c a a b 成等差数列； a , b , c
（ 2） a
b b , c b
,
2成等比数列 . 2 2
[解析 ] 该问题应该选择“中项”的知识解决， 1 1 2 a c 2 b ( a ①c),
a c b ac 2 ac b ②
2 2 2 2 b c a b bc (1) c a ab b( a c ) a c
a c ac ac 2 ( a 2 2( a c) c )
b ( a c ) b .
b c , c a , a b 成等差数列 ; a b c
b b b 2 b ( 2)( a )( c ac b
2
) ( a c ) ( ) ,
2 2 2 4 2
a b , b , c b 成等比数列 . 2 2 2 [评析 ] 判断（或证明）一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断， .
（Ⅱ）等比数列的项数 ①
1024，所有偶数项的乘积为 n 为奇数，且所有奇数项的乘积为
128 2 ，求项数 n. ②
2 [解析 ] 设公比为 q, a 1 a 3 a 5 a n 1024 4 2
a 2 a 4 a n 1 128 2 n 1 a1 q 2 4 2 (1)
35 35 而 a 1 a 2 a 3 a n 1024 128 2 2 2 a
1
1 2 3
2 q ( n 1) 2
n 1 35 5 35 (a 1 q 2 n 2 2 ,将 (1)代入得 ( 2 2 n 2 2 ,
) )
5 n 35 , 得 n 7 . 2 2
（ Ⅲ ） 等 差 数 列 { an} 中 ， 公 差 d ≠ 0 ， 在 此 数 列 中 依 次 取 出 部 分 项 组 成 的 数 列 ：
a k 1 , a k 2 , , a k n 恰为等比数列 , 其中 k 1 1, k 2 5 , k 3 17 ,
求数列 { k n } 的前 n 项和 .
[解析 ] a1 , a 5 , a17 成等比数列 , a 5 2 a1 a 17 ,
(a 1 2 a1 ( a1 16 d ) d ( a1 2 d ) 0 4 d ) d 0 , a1 2 d ,
数列 { a k }的公比 q a 5 a1 4d 3, n a 1 a
1
a k n a1 n 1 2 d 3 n 1 ① 3 而 a
k n
a 1 (k n 1) d 2d ( k n 1) d ②
由 ①，② 得 k n 2 3 n 1 1,
n
{ k n }的前 n项和 Sn 2 3 1 n 3 n n 1 .
3 1 [评析 ] 例 2 是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功 .
[例 3]解答下述问题： （Ⅰ）三数成等比数列，若将第三项减去 32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去 4，又成等比数列， 求原来的三数 .
[解析 ] 设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单， 设等差数列的三项分别为 a－ d, a, a+d，则有
(a d )( a d 32 ) a 2 d 2 32 d 32 a 0 (a 4 ) 2 ( a d )( a d ) 2 8 a 16 d 3d 2 32 d 64 0 , d 8或 d
8 , 得 a 10或 26 ,
3 9 原三数为 2,10 ,50或 2
, 26 , 338 .
9 9 9 （Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为 10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数.
[解析 ] 设此四数为 a 15 , a 5, a 5 , a 15 (a 15 )
,
3
