当前位置：文档之家 › 高考数学二轮复习 专题17 概率与统计教学案 理

高考数学二轮复习 专题17 概率与统计教学案 理

  • 格式：doc
  • 大小：2.81 MB
  • 文档页数：71

专题17 概率与统计 1．以客观题形式考查抽样方法，样本的数字特征和回归分析，独立性检验的基本思路、方法及相关计算与推断． 2．本部分较少命制大题，若在大题中考查多在概率与统计、算法框图等知识交汇处命题，重点考查抽样方法，频率分布直方图和回归分析或独立性检验，注意加强抽样后绘制频率分布直方图，然后作统计分析或求概率的综合练习． 3．以客观题形式考查古典概型与几何概型、互斥事件与对立事件的概率计算． 4．与统计结合在大题中考查古典概型与几何概型．

一、统计与统计案例 1.抽样方法 三种抽样方法的比较 类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围

简单随机抽样 抽样过程中每个个体被抽取的概率相等 从总体中逐个抽取 总体中的个体数较少

系统抽样 将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取

在起始部分抽样时采用简单随机抽样 总体中的个体数较

多

分层抽样 将总体分成几层，分层进行抽取 分层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样 总体由差异明显的几部分组成 2.统计图表 (1)在频率分布直方图中： ①各小矩形的面积表示相应各组的频率，各小矩形的高＝频率组距；②各小矩形面积之和等于1；③中位数左右两侧的直方图面积相等，因此可以估计其近似值． (2)茎叶图 当数据有两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图． 当数据有三位有效数字，前两位相对比较集中时，常以前两位为茎，第三位(个位)为叶(其余类推)． 3．样本的数字特征 (1)众数 在样本数据中，频率分布最大值所对应的样本数据(或出现次数最多的那个数据)． (2)中位数 样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取当中两个数据的平均数作为中位数． (3)平均数与方差 样本数据的平均数x－＝1n(x1＋x2＋…＋xn)． 方差s2＝1n[(x1－x－)2＋(x2－x－)2＋…＋(xn－x－)2]． 注意：(1)现实中总体所包含的个体数往往较多，总体的平均数与标准差、方差是不知道(或不可求)的，所以我们通常用样本的平均数与标准差、方差来估计总体的平均数与标准差、方差． (2)平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定． 4．变量间的相关关系 (1)利用散点图可以初步判断两个变量之间是否线性相关．如果散点图中的点从整体上看大致分布在一条直线的附近，我们说变量x和y具有线性相关关系． (2)用最小二乘法求回归直线的方程

设线性回归方程为y^＝b^x＋a^，则

 b^＝i＝1n xi－x－yi－y－i＝1n xi－x－2＝

i＝1

nxiyi－nx－y－

i＝1

nx2i－nx－

2

a^＝y－－b^x－.

注意：回归直线一定经过样本的中心点(x－，y－)，据此性质可以解决有关的计算问题． 5．回归分析 r＝i＝1n xi－x－yi－y－i＝1n xi－x－2i＝1n yi－y－2，叫做相关系数．

相关系数用来衡量变量x与y之间的线性相关程度；|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越高，|r|越接近于0，相关程度越低． 6．独立性检验 假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为 y1 y2 总计

x1 a b a＋b x2 c d c＋d

总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 则K2＝a＋b＋c＋dad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d， 若K2>3.841，则有95%的把握说两个事件有关； 若K2>6.635，则有99%的把握说两个事件有关； 若K2<2.706，则没有充分理由认为两个事件有关. 7.随机事件的概率 随机事件的概率范围：0≤P(A)≤1； 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0. 8．古典概型 ①计算一次试验中基本事件的总数n；②求事件A包含的基本事件的个数m；③利用公式P(A)＝mn计算． 9．一般地，如果事件A、B互斥，那么事件A＋B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．

10．对立事件：在每一次试验中，相互对立的事件A和A－不会同时发生，但一定有一个发生，因此有P(A－)＝1－P(A)．

11．互斥事件与对立事件的关系 对立必互斥，互斥未必对立． 12．几何概型 一般地，在几何区域D内随机地取一点，记事件“该点落在其内部区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)＝d的测度D的测度.

考点一 事件与概率 例1．(2016·课标Ⅱ，18，12分，中)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下： 一年内出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 (1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率； (2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； (3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．

(3)记续保人本年度的保费为X，则X的分布列为 X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a P 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05

EX＝0.85a×0.30＋a×0.15＋1.25a×0.20＋1.5a×0.20＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.23a.

因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23aa＝1.23. 【变式探究】(2015·广东，4)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( ) A．1 B.1121 C.1021 D.521 解析 从袋中任取2个球共有C215＝105种取法，其中恰好1个白球1个红球共有C110C15＝50种取法，所以所取的球恰好1个白球1个红球的概率为50105＝1021. 答案 C 考点二 古典概型 例2．【2017山东，理8】从分别标有1，2，，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是

（A）518 （B）49 （C）59 （D）79 【答案】C 【解析】标有1， 2， ， 9的9张卡片中，标奇数的有5张，标偶数的有4张，所以抽到的2张卡

片上的数奇偶性不同的概率是115425989CC ,选C. 【变式探究】袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( ) A.521 B.1021 C.1121 D．1

【变式探究】从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( ) A.15 B.25 C.35 D.45 解析 从这5个点中任取2个，有C25＝10种取法，满足两点间的距离不小于正方形边长的取法有C24＝6种，因此所求概率P＝610＝35.故选C. 答案 C 考点三 随机数与几何概型 例3．【2017课标1，理】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

A．14 B．π8 C．12 D．π4 【答案】B

【解析】设正方形边长为a，则圆的半径为2a，正方形的面积为2a，圆的面积为24a.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色

部分的概率是221248aa，选B. 【变式探究】 (2016·课标Ⅰ，4，易)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A.13 B.12 C.23 D.34 【答案】B 【解析】由题意知，小明在7：50至8：30 之间到达发车站，故他只能乘坐8：00或8：30发的车，所以他等车时间不超过10分钟的概率P＝10＋1040＝12. 【变式探究】(2016·课标Ⅱ，10，中)从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A.4nm B.2nm C.4mn D.2mn

合集下载

热点攻关 “概率与统计”大题的常考题型探究(课件)2023年高考数学二轮复习(全国通用)

热点攻关 “概率与统计”大题的常考题型探究(课件)2023年高考数学二轮复习(全国通用)

大题攻略05 有关预测与决策问题
例5 (2022年北京卷)在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到 以上（含 ）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位： ）： 甲： ， ， ， ， ， ， ， ， ， . 乙： ， ， ， ， ， . 丙： ， ， ， ． 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
（3）已知该地区这种疾病的患病率为 ，该地区的年龄位于区间 的人口占该地区总人口的 .从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间 ，求此人患这种疾病的概率.（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到 ）
[解析] （1）平均年龄 （岁）.（2）设 ，则 .（3）设 ，则由条件概率公式，得 .
（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
（2）设 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计 的数学期望 ；
（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
[解析] （1） 由频率估计概率可得，甲获得优秀奖的概率为0.4.（2）设“甲获得优秀奖”为事件 ,“乙获得优秀奖”为事件 ，“丙获得优秀奖”为事件 ，由题意知 ,又 ,则 ， ，
树苗高度（单位： ）
树苗售价（单位：元/株）
4
6
8
（1）现从120株树苗中，按售价分层抽样抽取8株，再从中任选3株，求售价之和高于20元的概率；
（2）以样本中树苗高度的频率作为育苗基地中树苗高度的概率.若从该育苗基地银杏树树苗中任选4株，记树苗高度超过 的株数为 ，求随机变量 的分布列和期望.
[解析] （1）由题意得， ，令 ，设 关于 的线性回归方程为 ，则有 ，则 ，所以 ，又 ，所以 关于 的回归方程为 .
高考数学统考第二轮专题复习 第18讲 概率、统计、统计案例学案(理,含解析)

高考数学统考第二轮专题复习 第18讲 概率、统计、统计案例学案(理,含解析)

学习资料第18讲 概率、统计、统计案例高考年份 全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ2020散点图与回归方程·T5古典概型·T3样本的数字特征·T32019古典概型·T6相互独立事件·T15 样本的数字特征·T5,T13样本的频率·T32018统计图表·T3几何概型·T10古典概型·T8二项分布·T81.［2020·全国卷Ⅰ］某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x (单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（x i ,y i ）(i=1,2，…,20）得到如图M6—18-1所示的散点图：图M6—18—1由此散点图,在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是 ( ) A .y=a+bxB 。

y=a+bx 2C 。

y=a+b e xD .y=a+b ln x2.［2018·全国卷Ⅰ］某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如图M6—18—2的饼图:图M6-18—2则下面结论中不正确的是(）A.新农村建设后,种植收入减少B。

新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半3.［2020·天津卷]从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm)，将所得数据分为9组：[5。

31,5.33），［5.33,5。

35),…，[5。

45，5。

47），[5。

47，5.49］,并整理得到如图M6-18-3所示的频率分布直方图,则在被抽取的零件中，直径落在区间[5。

43,5.47)内的个数为(）图M6-18-3A 。

高考数学二轮复习计数原理与概率

高考数学二轮复习计数原理与概率


6
x
3 2
k
，k≤6，k∈N，
由 6－32k＝0，解得k＝4，
则 T5＝(－1)4×32×C46＝135，
√A.144种
C.672种
B.336种 D.1 008种
选取的 3 个名称中含有祝融的共有 C29种不同的情况. 分析选取的 3 个名称的不同情况有 A33种， 其中祝融是第 3 个被分析的情况有 A22种， 故祝融不是第 3 个被分析的情况有 C29(A33－A22)＝144(种).
(2)(2022·广东联考)现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪
√D.P(A|C)＝P(B|C)
由题知，从 10 个数中随机地抽取 3 个数，共有 C310＝120(种)可能情况， 对于A选项，“恰好抽的是2,4,6”和“恰好抽取的是6,7,8”为互斥事 件，则P(AB)＝0，而P(A)P(B)≠0，故A选项错误； 对于 B 选项，P(C)＝CC31290＝13260＝130，故 B 选项错误； 对于 C 选项，P(AB)＝0，P(C)＝130，故 C 选项错误； 对于 D 选项，由于 P(AC)＝P(BC)＝C129＝316，故由条件概率公式得 P(A|C) ＝P(B|C)，故 D 选项正确.
跟踪演练2 (1)(2022·淄博模拟)若(1－x)8＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋
a8(1＋x)8，则a6等于
A.－448
B.－112
√C.112
D.448
(1－x)8＝(x－1)8＝[(1＋x)－2]8 ＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a8(1＋x)8， a6＝C28×(－2)2＝112.
③P(B)＝12；④B 与 A1 相互独立.
A1，A2，A3中任何两个事件都不可能同时发生，因此它们两两互斥，
高考数学二轮复习专题突破—统计与统计案例(含解析)

高考数学二轮复习专题突破—统计与统计案例(含解析)

高考数学二轮复习专题突破—统计与统计案例1.某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了100个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表.(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例;(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01) 附:√74≈8.602.2.(2021·江西赣州二模改编)遵守交通规则,人人有责.“礼让行人”是我国《道路交通安全法》的明文规定,也是全国文明城市测评中的重要内容.《道路交通安全法》第47条明确规定:“机动车行经人行横道时,应当减速行驶;遇行人正在通过人行横道,应当停车让行.机动车行经没有交通信号的道路时,遇行人横过道路,应当避让.否则扣3分罚200元”.下表是2021年1至4月份我市某主干路口监控设备抓拍到的驾驶员不“礼让行人”行为统计数据:(1)请利用所给数据求不“礼让行人”驾驶员人数y 与月份x 之间的经验回归方程y ^=b ^x+a ^,并预测该路口2021年10月不“礼让行人”驾驶员的大约人数(四舍五入);(2)交警从这4个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查50人,调查驾驶员不“礼让行人”行为与驾龄的关系,得到下表:依据小概率值α=0.10的独立性检验,分析“礼让行人”行为是否与驾龄有关.参考公式:b ^=∑i=1nx i y i -nx y ∑i=1nx i 2-nx2=∑i=1n(x i -x)(y i -y)∑i=1n(x i -x)2.χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.3.(2021·河北石家庄二模改编)某地区在2020年底全面建成小康社会,随着实施乡村振兴战略规划,该地区农村居民的收入逐渐增加,可支配消费支出也逐年增加.该地区统计了2016~2020年农村居民人均消费支出情况,对有关数据处理后,制作如图1的折线图[其中变量y (单位:万元)表示该地区农村居民人均年消费支出,年份用变量t 表示,其取值依次为1,2,3,…].(1)由图1可知,变量y与t具有很强的线性相关关系,求y关于t的经验回归方程,并预测2021年该地区农村居民人均消费支出;2016~2020年该地区农村居民人均消费支出图1(2)在国际上,常用恩格尔系数(其含义是指食品类支出总额占个人消费支出总额的比重)来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况.根据联合国粮农组织的标准:恩格尔系数在40%~50%为小康,30%~40%为富裕.已知2020年该地区农村居民平均消费支出构成如图2所示,预测2021年该地区农村居民食品类支出比2020年增长3%,从恩格尔系数判断2021年底该地区农村居民生活水平能否达到富裕生活标准.2020年该地区农村居民人均消费支出构成图2参考公式:经验回归方程y ^=b ^x+a ^中斜率和截距的最小二乘估计分别为:b ^=∑i=1n(x i -x)(y i -y)∑i=1n(x i -x)2=∑i=1nx i y i -nx y∑i=1nx i 2-nx 2,a ^=y −b ^x .4.(2021·山东潍坊一模)在对人体的脂肪含量和年龄之间的关系的研究中,科研人员获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据(x i ,y i )(i=1,2,…,20,25<x i <65),其中x i 表示年龄,y i 表示脂肪含量,并计算得到∑i=120x i 2=48 280,∑i=120y i 2=15 480,∑i=120x i y i =27 220,x =48,y =27,√22≈4.7.(1)请用样本相关系数说明该组数据中y 与x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合,并求y 关于x的经验回归方程y ^=a ^+b ^x (a ^,b ^的计算结果保留两位小数);(2)科学健身能降低人体脂肪含量,下表是甲、乙两款健身器材的使用年限(整年)统计表:某健身机构准备购进其中一款健身器材,以使用年限的频率估计概率,请根据以上数据估计,该机构选择购买哪一款健身器材,才能使用更长久?参考公式:样本相关系数r=∑i=1n(x i -x)(y i -y)√∑i=1n (x i -x)2√∑i=1n(y i -y)2=∑i=1nx i y i -nx y√∑i=1nx i 2-nx 2√∑i=1ny i 2-ny 2;对于一组具有线性相关关系的数据(x i ,y i )(i=1,2,…,n ),其经验回归直线y ^=b ^x+a ^的斜率和截距的最小二乘估计分别为:b ^=∑i=1n(x i -x)(y i -y)∑i=1n(x i -x)2,a ^=y −b ^x .答案及解析1.解 (1)根据产值增长率频数分布表得,所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为14+7100=0.21.产值负增长的企业频率为2100=0.02.用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%,产值负增长的企业比例为2%.(2)y =1100(-0.10×2+0.10×24+0.30×53+0.50×14+0.70×7)=0.30, s 2=1100[(-0.40)2×2+(-0.20)2×24+02×53+0.202×14+0.402×7]=0.029 6, s=√0.029 6=0.02×√74≈0.17.所以,这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30,0.17. 2.解 (1)由表中数据易知:x =1+2+3+44=52,y =125+105+100+904=105,则b ^=∑i=14x i y i -4x y∑i=14x i 2-4x2=995−1 05030−25=-11,a ^=y −b ^ x =105-(-11)×52=132.5,故所求经验回归方程为y ^=-11x+132.5.令x=10,则y ^=-11×10+132.5=22.5≈23(人),预测该路口10月份不“礼让行人”的驾驶员大约人数为23. (2)零假设为H 0:“礼让行人”行为与驾龄无关.由表中数据可得χ2=50×(10×12−20×8)218×32×30×20≈0.23<2.706=x 0.10,依据小概率值α=0.10的独立性检验,没有充分证据推断H 0不成立,可以认为H 0成立,即认为“礼让行人”行为与驾龄无关.3.解 (1)由已知数据可求t =1+2+3+4+55=3, y =1.01+1.10+1.21+1.33+1.405=1.21,∑i=15t i 2=12+22+32+42+52=55,∑i=15t i y i =1×1.01+2×1.10+3×1.21+4×1.33+5×1.40=19.16,b ^=19.16−5×3×1.2155−5×32=1.0110=0.101,a ^=1.21-0.101×3=0.907,所求经验回归方程为y ^=0.101t+0.907. 当t=6时,y ^=0.101×6+0.907=1.513(万元),故2021年该地区农村居民人均消费支出约为1.513万元.(2)已知2021年该地区农村居民平均消费支出1.513万元,由图2可知,2020年该地区农村居民食品类支出为4 451元,则预测2021年该地区食品类支出为4 451×(1+3%)=4 584.53元,恩格尔系数=4 584.5315 130×100%≈30.3%∈(30%,40%),所以,2021年底该地区农村居民生活水平能达到富裕生活标准.4.解 (1)x 2=2 304,y2=729,∑i=120x i y i -20x y =1 300,∑i=120x i 2-20x 2=2 200,∑i=1ny i 2-20y 2=900,r=∑i=120x i y i -20x y√∑i=120x i 2-20x 2√∑i=1ny i 2-20y2≈0.92,因为y 与x 的样本相关系数接近1,所以y 与x 之间具有较强的线性相关关系,可用线性回归模型进行拟合.由题可得,b ^=∑i=120(x i -x)(y i -y)∑i=120(x i -x)2=∑i=120x i y i -20x y∑i=120x i 2-20x2=1322≈0.591,a ^=y −b ^ x =27-0.591×48≈-1.37,所以y ^=0.59x-1.37.(2)以频率估计概率,设甲款健身器材使用年限为X (单位:年).E (X )=5×0.1+6×0.4+7×0.3+8×0.2=6.6. 设乙款健身器材使用年限为Y (单位:年).E (Y )=5×0.3+6×0.4+7×0.2+8×0.1=6.1.因为E (X )>E (Y ),所以该健身机构购买甲款健身器材更划算.。