贵州省贵阳市第一中学高三上学期第四次月考数学理试题扫描含答案

贵阳第一中学2020届高考适应性月考卷（四）

理科数学参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

答案 B

C

B

D

C D B A B D C B

【解析】

1．{11}{|13}{1}ABxxABI，，，，故选B．

2．3sin15cos152sin(1530)2原式，故选C．

3．121i1i1i1111i01i222222zzzOPOQOPOQuuuruuuruuuruuurg，，∴，，，，，故选B．

4．24111051244410910(4)3954832aaadaSaadd，，，，故选D．

5．常数项333361C()20201axaax，故选C．

6．(0)sin21f，且()()fxfx，函数为偶函数，故选D．

7．25210C2C9P，故选B．

8．通过作图，观察图象可知，1a，所以ln22ln2221(ln2)(2)e2eee2ee2e2ff，故选A．

9．由题，ππ1()2sin223gxx，图象如图1，由图可知，||PQ取到的最小可能为12||||PQPQ，，因为1||25PQ，2||4PQ，所以最小值为4，故选B．

10．因为OAOBOCODR，所以A正确；当ACBD，A，C各在所在圆弧的中点，此时三棱锥的底面BCD的面积和高均处于最大位置，此时体积为111211233，所以B正确；AB与CD显然异面，用反证法证明他们不垂直．若ABCD，过A作BD的垂线，垂足为E，因为为直二面角，所以AE⊥平面BCD，所以AECD，所以CDABD平面，图1 所以CDBD，这与CDBC矛盾，所以AB与CD不垂直，所以正确，故选D．

11．有如下两种情况：（1）0ba； （2）0ab．

图2

（1）如图2甲，可求出A，B的坐标分别为222222aabacabcABccabba，，，，所以2211102222AOBBOFAOFabcabSSSccabebac△△△；同理可得当0ab时，满足条件的离心率62e，故选C．

12．设BD，，则在2916234cos2524cosABCAC中，△，在22536256cos6160cosACDAC中，△，5cos2cos3∴，ABCDABCSS△

1134sin56sin3(5sin2sin)22ACDS△，令5cos2cosMN，

5sin2sin，22222920cos()92020cos()MNNN，所以当π，即33coscos77，时，N取到最大值40，所以面积的最大值为610，故选B．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

题号 13 14 15 16

答案 答案不唯一，满足条件即可．例如：(2123)，，， 34或35 26yx 8

【解析】

13．答案不唯一，满足条件即可．例如：(2123).，，，

14．(|120)1(2)0.0228PXXPX，则成绩在120分以上的人数有15000.0228

34.2，所以34或35均可．

15．过抛物线的焦点且平行于y轴的直线与抛物线交于22ppApBp，，，，所围成的面积为3322222200022222d22d2222633323pppppxxpxxpxppp，所以抛物线的方程为26yx．

16．2222222221221log4200log4log1000log23log10log3320320n≤，因为2log10

211210log1lg20.320，，所以22218log320nn≤的最大值为8．

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

解：（1）40{}nnaa，为常数列；

1110{}nnnnbbb，，是首项为10，公差为10的等差数列；

11120.4nnnccc，，，

所以{}nc是首项为0.4，公比为2的等比数列．………………………………………（4分）

所以1100.42nnnbnc，．……………………………………………………………（6分）

（2）设投资10天三种投资方案的总收益为101010ABC，，，

由（1）知：101010101090.4(12)400101010550409.2212ABC；；，

因为101010BCA，所以应该选择方案二．…………………………………………（12分）

18．（本小题满分12分）

解：（1）由表格可知2013，2014，2015，2016，2017，2018年的增长率分别如下：

826592821109213311013813326%12%20%21%4%658292110133；；；；；

15413812%138，

所以2013年的增长率最高，达到了26%．……………………………………………（6分）

（2）由表格可计算出：7721177443516()287iiiiitytytt，，，，

$77435167477471515450.57287ba$，，…………………………………（8分）

y关于t的回归直线方程为$1550.57yt．…………………………………………（10分） 令149.431550.572009.9615tt．

所以根据回归方程可预测，我国发明专利申请量将在2021年突破200万件．

………………………………………………………………………………………（12分）

19．（本小题满分12分）

（1）证明：设BF的中点为H，ACBDOI，连接HG，HO．

因为G是BE的中点，所以12HGEFAOHGEFAO∥∥，，

所以四边形AGHO是平行四边形，

所以AGHO∥，又因为HO平面BDF，AG平面BDF，

所以AG∥平面BDF．……………………………………………………………………（6分）

（2）解：因为菱形ABCD和矩形ACFE所在平面互相垂直，所以可建立如图3的空间直角

坐标系，设OAaOBb，，

则(00)(00)(0)(00)AaBbEaaDb，，，，，，，，，，，，

()(00)(200)BEbaaAEaBDbuuuruuuruuur，，，，，，，，．

设平面ABE与平面BDE的法向量分别为

11112222()()nxyznxyzuuruur，，，，，，

则11112112000000nBEbxayaznBEaznAEnBDuuruuuruuruuurgguuruuuruuruuurgg，，，，2222020bxayazbx，，

令12121(0)(011)xaynabnuuruur，，，，，，，……………………………………（9分）

1222cos2bnnabuuruur〈，〉．……………………………………………………………（10分）

令222233tan5442baABObab，……………………………………（11分）

所以32244tantan297116ABCABO．…………………………………………（12分）

20．（本小题满分12分） 图3 证明：（1）因为00()Pxy，在椭圆上，所以2200221xyab，所以P也在直线上．……（1分）

联立直线和椭圆方程

222220222222222224420000000222222221()201xyabbxxyabayaybxxabxxbaayxxyybxayabab，，，

………………………………………………………………………………………（3分）

因为P在椭圆上，所以222222222222220000200aybxababxabxxabx

所以直线l与椭圆相切，又因为lCPI，

所以直线l是椭圆在点P处的切线．……………………………………………………（6分）

（2）设2F关于直线l的对称点为211()Fxy，，

则22FF，的中点在直线l上，直线22FF与l垂直，

即22210120201210221xcabbxyaybxyxcay， ……………………………………………………………（8分）

244242000142420022200142420022()abxaycbxcxaybxabyaxcyaybx，， ……………………………………………………（10分）

212222200000014224222222221000000()()()()FFbyaxcbyaxcyaxcykxcbxaycbxabcbxcacxacxc

120002000()()()PFyaxcykaxcxcxc，

所以21FPF，，三点共线，

所以从2F发出的光线2FP经直线l反射后经过1F．…………………………………（12分）

（注：此题证明方法较多，请酌情给分）

21．（本小题满分12分） （1）证明：令112()ln()22xhxxxhxxxx，，

所以()hx在(04)，上单调递增，在(4)，上单调递减，

所以()hx的最大值为(4)ln422(ln21)0h，即()0hx，

所以(0)x，，都有lnxx．……………………………………………………（4分）

（2）解：()(01)xafxaxxa，，

lnln()0lnlnxaaxfxaxxaaxax，

所以()fx的零点个数等于方程lnlnxaxa解的个数．

令2ln1lnln()()()xxagxgxgaxxa，，

所以()gx在(0e)，上单调递增，在(e)，上单调递减，又因为(1)0g，

且由（1）知，ln1()0xxxgxxxx，当时，，

所以ea时，()()gxga有且只有一个解，

所以若函数e()e()exfxafxx有且只有一个零点，则，此时，…………………（8分）

ee11e1()e()eee(e)xxxfxxfxxx，