2019届广东省华南师范大学附属中学高三上学期第二次月考理科数学试题及解析

广东省华南师范大学附属中学2018-2019学年高三综合测试（一）（第一次月考）理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设全集{}|2U x N x =∈≥，集合{}2|5A x N x =∈≥，则U C A =（ ）A ．∅B ．{}2C ．{}5D ．{}2,5【答案】B考点：1、二次不等式；2、集合的基本运算.2.“()0,10x x x ∀>->”的否定是（ ）A ．()0,10x x x ∀>-≤B ．0,01x x ∀<≤≤C ．()0,10x x x ∃>-≤D ．0,01x x ∃>≤≤【答案】D【解析】试题分析：原的否定为0,01x x ∃>≤≤，故选D.考点：的否定.3.设248log 3,log 6,log 9a b c ===，则下列关系中正确的是（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．a c b >>【答案】A【解析】 试题分析：248lg3lg 2lg32lg3log 3,log 6,log 9lg 22lg 23lg 2a b c +======⇒ 2lg3lg3lg3lg 2lg32lg 22lg 22lg 2a b ++==>=⇒3lg 23lg 3lg 33lg 34lg 36lg 26lg 26lg 2b c ++=>==⇒a b c >>,故选A.考点：1、对数的大小比较；2、对数的基本运算.4.设x R ∈，则“12x >”是“2210x x +->”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 试题分析：2121012x x x +->⇔<-或x>,故“12x >”是“2210x x +->”的充分不必要条件，故选A.考点：充要条件.KS5U 5.已知()()1,41,42x f x x f x x ⎧+<⎪=⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，则()2log 3f =（ ）A ．112B ．124C ．14D ．12【答案】B考点：分段函数.6.由曲线y =2y x =-+及x 轴所围成图形的面积是（ ） A ．103 B ．4 C ．76 D ．6【答案】C【解析】试题分析：32122201121237(2)|(2)|(2)32326x dx x x x +-+=+-+=+-=⎰⎰，故选C. 考点：定积分公式.7.已知函数()()20.5log 3f x x ax a =-+在[)2,+∞单调递减，则a 的取值范围是（ ） A ．(],4-∞ B ．[)4,+∞ C ．[]4,4-D ．(]4,4-【答案】C考点：复合函数的单调性.【方法点晴】本题主要考查复合函数的单调性，其中涉及数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑推理能力、转化化归能力，综合性较强，属于较难题型. 首先利用转化化归思想将转化为函数23t x ax a =-+在[)2,+∞单调递增，然后结合二次函数的图象可得2223022a a a ⎧-+≥⎪⎨≤⎪⎩，从而解得44a -≤≤．数形结合思想和转化化归思想是本题的解题关键，可以化繁为简.8.函数()21log f x x =+与()12x g x -=在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】 试题分析：由(0)2g =排除B,D ，由(1)1f =排除A,故选C.考点：函数的图象.9.已知()1f x +在偶函数，且()f x 在[)1,+∞单调递减，若()20f =，则()0f x >的解集为（ ）A ．()1,1-B ．()0,1C ．()1,2D ．()0,2【答案】D【解析】试题分析：取特殊函数2()2f x x x =-⇒()0f x >的解集为()0,2，故选D. 考点：函数的性质.10.已知函数()sin f x x x =g ，则()1113f f f ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、、的大小关系为（ ） A ．()1311f f f ππ⎛⎫⎛⎫->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．()1311f f f ππ⎛⎫⎛⎫->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()1113f f f ππ⎛⎫⎛⎫>->-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．()1311f f f ππ⎛⎫⎛⎫->>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【答案】A考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性.【方法点晴】本题主要考查数的奇偶性、函数的单调性.，其中涉及数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑推理能力、转化化归能力，综合性较强，属于较难题型. 首先利用转化化归思想将转化即: ()1f -=(1),(),33f f f ππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，然后作图，观察图像并结合单调性可得()1311f f f ππ⎛⎫⎛⎫->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．善于应用数形结合思想和转化化归思想是，方能轻松解题.KS5U 11.下列中是假的是（ ）A ．m R ∃∈，使()()2431m m f x m x -+=-g 是幂函数，且在()0,+∞上递减B ．函数()()21lg 14f x x a x a ⎡⎤=++-+⎢⎥⎣⎦的值域为R ，则60a a ≤-≥或 C ．关于x 的方程2210ax x ++=至少有一个负根的弃要条件是1a ≤D ．函数()y f a x =+与函数()y f a x =-的图像关于直线x a =对称【答案】D【解析】试题分析：选项A 中12()m f x x -=⇒=在()0,+∞上递减成立，故为真；选项B 中函数()()21lg 14f x x a x a ⎡⎤=++-+⎢⎥⎣⎦的值域为21(1)4R t x a x a ⇒=++-+ 与x 至少有一个交点221(1)4()604a a a a ⇒∆=+--+=+≥⇒60a a ≤-≥或，故为真；①当0a =时，显然成立．②当0a ≠时，显然方程无零根．若方程有一正一负根，则440010a a a∆=->⎧⎪⇒<⎨<⎪⎩；若方程有两负根，则440100120a a aa⎧⎪∆=-≥⎪⎪>⇒<≤⎨⎪⎪-<⎪⎩．综上，若方程至少有一个负根，则1a ≤．反之，若1a ≤，则方程至少有一个负根，因此为真．排除A 、B 、C ，故选D.考点：的真假.12.已知函数()f x 是定义在R 上的以4为周期的函数，当(]1,3x ∈-时，()(]()(]1,112,1,3x f x t x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩g，其中0t >．若函数()15f x y x =-的零点个数是5，则t 的取值范围为（ ）A ．2,15⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．26,55⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．61,5⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,+∞【答案】B考点：1、函数的周期性；2、分段函数；3、函数的零点；4、函数的图象与性质．【方法点晴】本题主要考查函数的周期性、分段函数、函数的零点和函数的图象与性质，其中涉及数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑推理能力、转化化归能力，综合性较强，属于较难题型. 首先利用数形结合思想和转化化归思想将转化为函数()f x 的图象与直线15y x =有5个交点，然后作图，观察图象可得2655x <<．数形结合思想和转化化归思想是本题的解题关键，可以四两拨千斤.KS5U第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.函数()2log 1y x =-的定义域为____________． 【答案】()2,+∞【解析】试题分析：由已知可得(1)2390102log 0x x x x -⎧-≥⎪->⇒>⎨⎪≠⎩，故定义域为()2,+∞.考点：函数的定义域.14.已知集合{}{}|10,1,1A x ax B =+==-，若A B A =I ，则实数a 的所有可能取值的集合为____________．【答案】{}1,0,1-考点：集合基本运算.【方法点晴】本题主要考查集合基本运算，其中涉及分类讨论思想和转化化归思想，考查逻辑推理能力、转化化归能力，综合性较强，属于中等难题. 首先将A B A =I 转化为A B ⊆，然后对0a =与0a ≠进行分类讨论，从而求得实数a 的所有可能取值的集合为{}1,0,1-.分类讨论思想和转化化归思想是本题的解题关键.15.若25a b m ==，且112a b+=，则m =__________．【解析】试题分析：2525log ,log a b m a m b m ==⇒==⇒211log 2log 5log 10210m m m m a b+=+==⇒=m ⇒=．考点：指数式与对数式的综合运算.16.过函数()32325f x x x x =-++图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围是 __________． 【答案】30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭U 考点：1、函数的导数；2、切线的斜率与倾斜角.【方法点晴】本题主要考查函数的导数、切线的斜率与倾斜角，其中涉及数形结合思想和转化化归思想，综合性较强，属于较难题型. 首先函数()f x 图象上一个动点的切线斜率转化为函数的导数，并求出()'1,f x ≥-再结合直线斜率图象，逆推出切线倾斜角的范围是30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭U ，数形结合思想和转化化归思想是本题的解题关键. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知集合{}{}2|3327,|log 1x A x B x x =≤≤=>．（1）分别求(),R A B C B A I U ；（2）已知集合{}|1C x x a =<<，若C A ⊆，求实数a 的取值集合．【答案】（1）{}|23A B x x =<≤I ，{}|3R C B A x x =≤U ．（2）3a ≤．【解析】试题分析：（1）由3327x ≤≤ ⇒13x ≤≤⇒{}|13A x x =≤≤，再2log 1x >⇒2x >⇒{}|2B x x =>⇒{}{}|23;|2R A B x x C B x x =<≤=≤I ⇒{}|3R C B A x x =≤U ；（2）由（1）知{}|13A x x =≤≤，再分情况讨论 C 为空集与非空集合，从而求出3a ≤．试题解析：（1）∵3327x ≤≤，即13333x ≤≤，∴13x ≤≤，∴{}|13A x x =≤≤，．．．．．．．．．．．2分 ∵2log 1x >，即22log log 2x >，∴2x >，∴{}|2B x x =>，．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 ∴{}{}|23;|2R A B x x C B x x =<≤=≤I ，∴{}|3R C B A x x =≤U ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由（1）知{}|13A x x =≤≤，当C 为空集时，1a ≤，当C 为非集合时，可得13a <≤，综上所述3a ≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分考点：1、不等式；2、集合的基本运算.KS5U18.（本小题满分12分）已知:p 实数x 满足22430x ax a -+<，其中0;:a q >实数x 满足23x <≤．（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()2,3；（2）(]1,2．试题解析：（1）对:p 由22430x ax a -+<得()()30x a x a --<， 因为0a >，所以3a x a <<．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2分当1a =时，解得13x <<，即p 为真时，实数x 的取值范围是13x <<．又q 为真时实数x 的取值范围是23x <≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分若p q ∧为真，则p 真且q 零点，所以实数x 的取值范围是()2,3．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分（2）p 是q 的必要不充分条件 ，即q p ⇒，且p q ≠，设(){}(){}|,|A x p x B x q x ==，则B A ≠．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分又(]()2,3,,3B A a a ==；所以有233a a≤⎧⎨≤⎩解得12a ≤≤，所以实数a 的取值范围是(]1,2．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：简易逻辑.19.（本小题满分12分）函数()()01x x f x ka a a a -=->≠且是定义在实数集R 上的奇函数．（1）若()10f >，试求不等式()()2240f x x f x ++->的解集；（2）若()312f =且()()222x xg x a a m f x -=+-g 在[)1,+∞上的最小值为-2，求m 的值． 【答案】（1）{}|14x x x ><-或；（2）2m =．试题解析：（1）∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴()00f =，∴10k -=，∴1k =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分∵()10f >，∴10a a->，又0a >且1a ≠，∴1a >．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 易知()f x 在R 上单调递增，原不等式化为：()()224f x x f x +>-， ∴1x >或4x <-，∴不等式的解集为{}|14x x x ><-或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分考点：函数的性质.20.（本小题满分12分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为12l l 、，山区边界曲线为C ．计划修建的公路为l ，如图所示，,M N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l 、的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l 、的距离分别为20千米和千米，以12l l 、所在直线分别为,x y 轴，建立平面直角坐标系xOy ．假设曲线C 符合函数2a y x b=+（其中,a b 为常数）模型． （1）求,a b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t ．①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域；②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．【答案】（1）10000a b =⎧⎨=⎩；（2）①()[]5,20f t t =∈；②当t =路l的长度最短，最短长度为【解析】试题分析：（1）由题意得,M N 分别为 ()()5,40,20,2.5⇒2a y x b =+⇒4025 2.5400a b a b⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩⇒ 10000a b =⎧⎨=⎩；（2）①由（1）知()21000520y x x =≤≤⇒P 21000,t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求导得32000y x '=-⇒ l ；()2310002000y x t t t -=--⇒233000,0,0,2t A B t ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒()[]5,20f t t =∈；②设()624410g t t t ⨯=+⇒()6516102g t t t ⨯'=-，令()0g t '=⇒t =可得：当t =()g t 有极小值，也是最小值，所以()min 300g t =，此时()min f t =（2）①由（1）知，()21000520y x x =≤≤，则点P 的坐标为21000,t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设在点P 处的切线l 交,x y 轴分别交于,A B 点，32000y x '=-， 则l 的方程为()2310002000y x t t t -=--，由此得233000,0,0,2t A B t ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故()[]5,20f t t ==∈．．．．．．．．．．．．．．．8分②设()624410g t t t ⨯=+，则()6516102g t t t ⨯'=-，令()0g t '=，解得t =当(t ∈时，()0g t '<，()g t 是减函数；当()t ∈时，()()0,g t g t '>是增函数．从而，当t =()g t 有极小值，也是最小值，所以()min 300g t =，此时()min f t =答：当t =l 的长度最短，最短长度为．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：导数及其应用.KS5U21.（本小题满分12分）已知定义为R 的函数()f x 满足下列条件：①对任意的实数,x y 都有：()()()1f x y f x f y +=+-；②当0x >时，()1f x >．（1）求()0f ；（2）求证：()f x 在R 上为增函数；（3）若()67,3f a =≤-，关于x 的不等式()()223f ax f x x -+-<对任意[)1,x ∈-+∞恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()01f =；（2）证明见解析；（3）(]5,3--．（3）由已知条件有：()()()22221f ax f x x f ax x x -+-=-+-+⇒()2213f ax x x -+-+<⇒()2122f x a x ⎡⎤-++-<⎣⎦，又()()()11f n nf n =--⇒()12f =⇒()()2121f x a x f ⎡⎤-++-<⎣⎦⇒()2130x a x -++>在[)1,x ∈-+∞上恒成立，令()()213g x x a x =-++，即()min 0g x >成立即可．然后对12a +取值进行分类讨论可得：实数a 的取值范围是(]5,3--．（3）由已知条件有：()()()22221f ax f x xf ax x x -+-=-+-+， 故原不等式可化为：()2213f ax x x -+-+<，即()2122f x a x ⎡⎤-++-<⎣⎦，而当*n N ∈时，()()()()()()()()()1112212331311f n f n f f n f f n f nf n =-+-=-+-=-+-==--L ，所以()()6615f f =-，所以()12f =，故不等式可化为()()2121f x a x f ⎡⎤-++-<⎣⎦，由（2）可知()f x 在R 上为增函数，所以()2121x a x -++-<，即()2130x a x -++>在[)1,x ∈-+∞上恒成立， 令()()213g x x a x =-++，即()min 0g x >成立即可． ①当112a +<-，即3a <-时，()g x 在[)1,x ∈-+∞上单调递增， 则()()()min 11130g x g a =-=+++>解得5a >-，所以53a -<<-， ②当112a +≥-即3a ≥-时，有()()2min 111130222a a a g x g a +++⎛⎫⎛⎫==-++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g解得11a -<<，而13-<-，所以31a -≤<，综上，实数a 的取值范围是(]5,3--．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：导数及其应用．【方法点晴】本题考查导数与函数单调性的关系、不等式的证明与恒成立问题，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想与转化思想. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.22.（本小题满分12分）已知函数()ln x m f x e x +=-．（1）设1x =是函数()f x 的极值点，求m 并讨论()f x 的单调性；（2）设0x x =是函数()f x 的极值点，且()0f x ≥恒成立，求m 的取值范围（其中常数a 满足ln 1a a =）．【答案】（1）1m =-，()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增；（2）[)ln ,a a --+∞．试题解析：（1）()()1,0x mf x e x x+'=->，因为1x =是函数()f x 的极值点， 所以()1110m f e +'=-=，所以1m =-，所以()11x f x e x-'=-．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 当01x <<时，1101,1x e x-<<-<-，所以()0f x '<， 当1x >时，111,10x e x ->-<-<，所以()0f x '>， 所以()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）()()1,0x m f x e x x +'=->，设()1x m g x e x +=-，则()210x m g x e x+'=+>， 所以()g x 在()0,+∞单调递增，即()f x '在()0,+∞单调递增．由于0x x =是函数()f x 的极值点，所以0x x =是()0f x '=在()0,+∞的唯一零点， 所以00001,ln x m e x m x x +=+=-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 由于00x x <<时，()()00f x f x ''<=；当0x x >时，()()00f x f x ''>=，所以函数()f x 在()00,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 且函数()f x 在0x x =处取得最小值，所以()()000001ln x m f x f x e x x m x +≥=-=++，因为()0f x ≥恒成立，所以0010x m x ++≥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ∴00001ln x m x x x +≥-=+，即001ln x x ≥． 又因为ln 1a a =，故可解得0x a ≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分所以00,ln ln x a x a -≥--≥-，所以00ln ln m x x a a =--≥--，即m 的取值范围是[)ln ,a a --+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：导数及其应用．KS5U【方法点晴】本题考查导数与函数单调性的关系、不等式的证明与恒成立问题，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想与转化思想. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决.。

B． 2k

5 , 2 k ( k Z ) 6 6
C． k

5 , k ( k Z ) 12 12
，
D． k

, k (k Z ) 3 6
=（ ）
6．已知 A．4
是方程 x2+12x+10=0 的两根，则 C．
2
1
= 1．
，求证数列
是等差数列；
的通项公式及前 n 项和 ．
18.（本小题满分 12 分）
如图，矩形 ABCD 中，AD=2AB=4，E 为 BC 的中点，现将△BAE 与△DCE 折起，使得平面 BAE 及平面 DEC 都与平面 ADE 垂直． （I）求证：BC//平面 ADE； （II）求二面角 A-BE-C 的余弦值. 19. （本小题满分 12 分）
[2000, 2250) 的蜜柚中随机抽取 5 个，再从这 5
个蜜柚中随机抽 2 个，求这 2 个蜜柚质量均小于 2000 克的概率； （2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均 水平，以频率代表概率，已知该贫困村的蜜柚树上大约还有 5000 个蜜柚待出售，某电商提出两种收 购方案：
A .所有蜜柚均以 40 元/千克收购； B .低于 2250 克的蜜柚以 60 元/个收购，高于或等于 2250 的以 80 元/个收购.
请你通过计算为该村选择收益最好的方案.
第 3页，共 8页
20. （本小题满分 12 分） 已知椭圆 C ：
x2 y2 1( a b 0) . a 2 b2
（1）若椭圆的离心率为
1 ，且过右焦点垂直于长轴的弦长为 3 ，求椭圆 C 的标准方程； 2 b 的直线 l 交椭圆 C 于 A ， B 两点，试 a

问题21 复杂数列的求和问题一、考情分析数列求和是历年高考命题的热点，可以以客观题形式考查，也可以以解答题形式考查数列，公式求和、裂项求和、错位相减法求和是常考问题. 二、经验分享1.分组转化法求和的常见类型(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和．(2)通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．【小试牛刀】【福建省南平市2018届高三上学期第一次综合质量检查】已知数列{}n b 满足，则该数列的前23 项的和为（ ）A. 4194B. 4195C. 2046D. 2047 【答案】A(三) 裂项相消法此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了．只剩下有限的几项．注意：○1余下的项前后的位置前后是对称的．○2余下的项前后的正负性是相反的．常用的裂项方法： 【 例3】在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，17a =，且2a ，5a ，10a 成等比数列. ⑴求数列{}n a 的通项公式及其前n 项和n S ； ⑵若15n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【分析】⑴由2510 a a a ，，成等比数列⇒()7d +⇒2d =⇒25n a n =+⇒；⑵由⑴可得⇒.【点评】(1)裂项相消法求和的原理及注意问题①原理：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． ②注意：在相加抵消过程中，有的是依次抵消，有的是间隔抵消，特别是间隔抵消时要注意规律性．③一般地，若{a n }为等差数列，则求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和可尝试此方法，事实上，1a n a n ＋1＝dda n a n ＋1＝a n ＋1－a n da n a n ＋1＝1d ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1. 则；故选：C ．2．【江西省南昌市第二中学2019届高三第六次考试】已知数列满足：，则的前40项的和为（ ）A ．860B ．1240C ．1830D ．2420 【答案】B3．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期末】设数列满足，，且，若表示不超过的最大整数，则（ ）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021【答案】C【解析】∵a n+2﹣2a n+1+a n＝2，∴a n+2﹣a n+1﹣（a n+1﹣a n）＝2，a2﹣a1＝4．∴{a n+1﹣a n}是等差数列，首项为4，公差为2．∴a n+1﹣a n＝4+2（n﹣1）＝2n+2．∴n≥2时，a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+……+（a2﹣a1）+a1＝2n+2（n﹣1）+……+2×2+2n（n+1）．∴．∴1．∴2+2018＝2020．故选：C．4．【江西省名校学术联盟2019届高三年级教学质量检测】已知函数（其中）的图像经过点，令，则A．2019 B． C．6057 D．【答案】B5．【广东省华南师范大学附属中学2019届高三上学期月考】已知函数，且，则( )A． B． C． D．【答案】B 【解析】， 由，可得：9．【广西南宁市第二中学2018届高三1月月考】已知函数，且，记n S 表示{}n a 的前n 项和，则100S =__________．【答案】10010.数列{}n a 的通项为，前n 项和为n S ，则100S = ．【答案】200 【解析】由已知可得；；；；；；；分析可知偶数项均为1，所以前100项中偶数项的和为15050⨯=． 分析可知相邻两项奇数项的和为6，所以前100项中奇数项的和为．．11.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 012= . 【答案】3231006-⋅【解析】a 1＝1，a 2＝2a 1＝2，又a n ＋2·a n ＋1a n ＋1·a n ＝2n ＋12n ＝2.∴a n ＋2a n ＝2.∴a 1，a 3，a 5，…成等比数列；a 2，a 4，a 6，…成等比数列，∴S2 012＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋…＋a2 011＋a2 012＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2 011)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2 012)＝1－21 0061－2＋－21 0061－2＝3·21 006－3.12．【安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测】在平面直角坐标系中，点()()，记的面积为，则____________.【答案】【解析】结合题意,得到,所以该三个点组成的三角形面积为,对面积求和设得到,,两式子相减,得到,解得.13．【湖北省宜昌市2019届高三年级元月调考】已知数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，点、均在函数的图象上，的横坐标为，的横坐标为，直线的斜率为.若，，则数列的前项和__________．【答案】14．【贵州省贵阳第一中学、云南师大附中、广西南宁三中2019届高三“333”高考备考诊断联考】已知数列的首项，函数为奇函数，记为数列的前项和，则的值为_____________． 【答案】【解析】是奇函数，，，，，，如此继续，得，.15．【2018届广东省深中、华附、省实、广雅四校联考】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，，．（1）求λ的值； （2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．（2） 由（1）可得21n a n =-，所以所以，所以19．【福建省漳州市2018届高三上学期期末】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且31n n S a =+ ()*n N ∈.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)若数列{}n b 满足，求数列{}n b 的前n 项和n T .【解析】 (Ⅰ)当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3a n ＋1－3a n －1－1，即2a n ＝3a n －1，所以132n n a a -=， 当n ＝1时，a 1＝3a 1＋1，解得112a =-. 所以数列{a n }是以12-为首项， 32为公比的等比数列， 即.20．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12,,n n S a +成等比数列()n N*∈.（1）求a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）若，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】（1）12n n a -=；（2）.【解析】（1）12,,n n S a +成等差数列，∴，当1n =时，， 当2n ≥时，，{}n a 是等比数列，∴11a =，则42a +=，得2a =-，∴数列{}n a 的通项公式为.（2）由（1）得，∴21nn =+.。

2019年广东省广州市华南师大附中高考数学三模试卷（理科）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（5分）已知全集，则（∁U M）∩N＝（）A．{x|﹣3＜x＜﹣1} B．{x|﹣3＜x＜0} C．{x|﹣1≤x＜0} D．{x|﹣1＜x＜0} 2．（5分）已知复数，若z为纯虚数，则|2a﹣i|＝（）A．5 B．C．2 D．3．（5分）已知向量＝（cos75°，sin75°），＝（cos15°，sin15°），则|﹣|的值为（）A．B．1 C．2 D．34．（5分）有4个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．806．（5分）记正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若，则使的最小的整数n是（）A．4 B．5 C．6 D．77．（5分）记函数，将函数f（x）的图象向右平移个单位后，得到函数g（x）的图象，现有如下命题：p1：函数g（x）的最小正周期是2π；p2：函数g（x）在区间上单调递增；p3：函数g（x）在区间上的值域为[﹣1，2]．则下列命题是真命题的为（）A．（￢p2）∧p3B．p1∨（￢p3）C．p1∨p2D．p1∧p28．（5分）已知函数，则下列判断错误的是（）A．f（x）为偶函数B．f（x）的图象关于直线对称C．关于x的方程f（x）＝0.7有实数解D．f（x）的图象关于点对称9．（5分）抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（）A．4 B．C．D．810．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，平面P AB⊥平面ABC，△ABC是边长为6的等边三角形，△P AB是以AB为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．64πB．48πC．36πD．27π11．（5分）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如右图所示的0﹣1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第2n﹣1行；则第61行中1的个数是（）A．31 B．32 C．33 D．3412．（5分）已知函数f（x）＝x2+x﹣aln（x+1）有且只有一个零点，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，0] B．[0，+∞）C．（0，1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，0]∪{1}二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在数列{a n}中，，则a2019的值为．14．（5分）若直线mx+2ny﹣4＝0（m，n∈R，m≠n）始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0的周长，则mn的取值范围是．15．（5分）已知f（x）为定义在R上的偶函数，g（x）＝f（x）+x2，且当x∈（﹣∞，0]时，g（x）单调递增，则不等式f（x+1）﹣f（x﹣1）+4x＞0的解集为．16．（5分）如图所示，棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，一平行于平面A1BD的平面α与棱AB，AD，AA1分别交于点E，F，G，点P在线段A1C1上，且PG∥AC1，则三棱锥P﹣EFG的体积的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c（a＜b＜c），，sin B sin C＝cos（A﹣C）+cos B．（1）求cos C．（2）点D为BC延长线上一点，CD＝3，，求△ABC的面积．18．（12分）某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数y（万人）与年份x的数据：第x年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10300 283 321 345 372 435 486 527 622 800旅游人数..（万人）该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了y与x的两个回归模型：模型①：由最小二乘法公式求得y与x 的线性回归方程；模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线y＝ae bx的附近．（1）根据表中数据，求模型②的回归方程．（a精确到个位，b精确到0.01）．（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．回归方程①y＝50.8x+169.7 ②30407 14607参考公式、参考数据及说明：①对于一组数据（v1，w1），（v2，w2），…，（v n，w n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为．②刻画回归效果的相关指数．③参考数据：e5.46≈235，e1.43≈4.2．5.5 4496.05 83 4195 9.00表中．19．（12分）已知矩形ABCD，，沿对角线AC将△ACD折起至△ACP，使得二面角P﹣AC﹣B为60°，连结PB．（1）求证：平面P AB⊥平面ABC；（2）求二面角B﹣P A﹣C的余弦值．20．（12分）已知双曲线C1的焦点在x轴上，焦距为4，且C1的渐近线方程为．（1）求双曲线C1的方程；（2）若直线与椭圆及双曲线C1都有两个不同的交点，且l与C1的两个交点A和B满足（其中O为原点），求k2的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝2lnx﹣ax2，g（x）＝（x+1）e x+3ax﹣4，a∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）有最大值且最大值是﹣1，求证：f（x）＜g（x）．请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为（φ为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ＝1（1）求椭圆C的极坐标方程和直线l的参数方程；（2）若点P的极坐标为（1，），直线l与椭圆C交于A，B两点，求|P A|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b均为实数，且|3a+4b|＝10．（Ⅰ）求a2+b2的最小值；（Ⅱ）若|x+3|﹣|x﹣2|≤a2+b2对任意的a、b∈R恒成立，求实数x的取值范围．2019年广东省广州市华南师大附中高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．【分析】可求出集合M，N，然后进行补集、交集的运算即可．【解答】解：M＝{x|x＜﹣1}，N＝{x|﹣3＜x＜0}；∴∁U M＝{x|﹣1≤x＜0}；∴（∁U M）∩N＝{x|﹣1≤x＜0}．故选：C．【点评】考查描述法表示集合的定义，指数函数的单调性，以及补集、交集的运算．2．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求得a，则答案可求．【解答】解：∵z＝a+＝a+＝a﹣1+3i是纯虚数，∴a﹣1＝0，即a＝1．∴|2a﹣i|＝|2﹣i|＝．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．【分析】由题意求出﹣的坐标，由向量的数量积的坐标运算和两角差的余弦公式，求出﹣的自身的数量积的值，即求出|﹣的模．【解答】解：由题意得，﹣＝（cos75°﹣cos15°，sin75°﹣sin15°），∴（﹣）•（﹣）＝（cos75°﹣cos15°）2+（sin75°﹣sin15°）2＝2﹣2cos602＝1，∴|﹣|＝1，故选：B．【点评】本题考查了向量数量积坐标运算以及应用，主要利用平方关系和两角差的余弦公式进行求解，考查了如何利用向量的数量积运算求向量的模．4．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是4×4种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有4种结果，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是4×4＝16种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有四个小组，则有4种结果，根据古典概型概率公式得到P＝，故选：B．【点评】本题考查古典概型概率公式，是一个基础题，题目使用列举法来得到试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，出现这种问题一定是一个必得分题目．5．【分析】由二项式定理及二项式展开式通项公式得：易得a＝1，则（2x﹣）5展开式的通项为T r+1＝（2x）5﹣r（﹣）r＝（﹣1）r25﹣r x5﹣2r，则（1+）（2x﹣）5展开式中常数项为（﹣1）225﹣2＝80，得解．【解答】解：令x＝1得（1+a）（2﹣1）5＝2，解得a＝1，则（2x﹣）5展开式的通项为T r+1＝（2x）5﹣r（﹣）r＝（﹣1）r25﹣r x5﹣2r，则（1+）（2x﹣）5展开式中常数项为（﹣1）225﹣2＝80，故选：D．【点评】本题考查了二项式定理及二项式展开式通项公式，属中档题．6．【分析】由已知结合等比数列的通项公式及求和公式可求q，a1，进而可求a n，即可求解．【解答】解：∵，∴q≠1，∴，两式相除可得，，∵q＞0，解可得，q＝，a1＝3，∴a n＝，∴2n﹣1＞30，∵24＜30＜25，∴满足条件的最小的整数n＝6，故选：C．【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．7．【分析】根据函数图象变换关系先求出g（x）的解析式，结合函数周期性，单调性以及最值性质分别判断命题的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．【解答】解：将函数f（x）的图象向右平移个单位后，得到函数g（x）的图象，即g（x）＝2sin[2（x﹣）+]＝2sin（2x﹣），则g（x）的最小正周期T＝，故p1错误，当x∈时，2x﹣∈（﹣，﹣），此时函数不单调，故p2错误，当x∈时，2x﹣∈[﹣，]，此时当2x﹣＝﹣时，g（x）取得最小值g（x）＝2sin（﹣）＝﹣1，当2x﹣＝时，g（x）取得最大值g（x）＝2sin＝2，即函数的值域为[﹣1，2]，故p3正确，故（￢p2）∧p3是真命题，其余为假命题，故选：A．【点评】本题主要考查复合命题真假关系的判断，结合函数图象平移关系求出g（x）的解析式，结合三角函数的图象和性质是解决本题的关键．8．【分析】利用两角和的正弦公式对已知函数进行化简可得f（x）＝2cos4x﹣1，然后结合余弦函数的性质进行判断即可【解答】解：∵，＝2[]﹣1＝2sin（4x+）﹣1＝2cos4x﹣1∵f（﹣x）＝2cos（﹣4x）﹣1＝2cos4x﹣1＝f（x），故f（x）为偶函数，A正确；根据余弦函数对称轴处取得最值可知，当x＝﹣时，f（x）取得最大值，故B正确；∵﹣1≤cos4x≤1可知﹣3≤f（x）≤1，从而可知C正确；令4x＝k可得x＝，k∈z，令x＝＝﹣可知k不存在，故D错误故选：D．【点评】本题主要考查了两角和的正弦公式在三角函数式化简中的应用及余弦函数的性质的综合应用．9．【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，进而可得到过F且斜率为的直线方程然后与抛物线联立可求得A的坐标，再由AK⊥l，垂足为K，可求得K的坐标，根据三角形面积公式可得到答案．【解答】解：∵抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），准线为l：x＝﹣1，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A（3，2），AK⊥l，垂足为K（﹣1，2），∴△AKF的面积是4故选：C．【点评】本题主要考查抛物线的基本性质和直线和抛物线的综合问题．直线和圆锥曲线的综合题是高考的热点要重视．10．【分析】由题意画出图形，由已知求出三棱锥外接球的半径，代入表面积公式得答案．【解答】解：如图，在等边三角形ABC中，取AB中点F，设其中心为O，由AB＝6，得CO＝CF＝．∵△P AB是以AB为斜边的等腰直角三角形，∴F为△P AB的外心，则O为棱锥P﹣ABC的外接球球心，则外接球半径R＝OC＝．∴该三棱锥外接球的表面积为4π×．故选：B．【点评】本题考查多面体外接球表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题．11．【分析】根据0﹣1三角数表求得第6次全行都是1的是第63行，然后你推第62行1的个数减半，第61行1的个数与第62行1的个数相同．【解答】解：由已知图中的数据第1行 1 1第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1第4行 1 0 0 0 1第5行 1 1 0 0 1 1…∵全行都为1的是第2n﹣1行；∵n＝6时，26﹣1＝63，故第63行共有64个1，逆推知第62行共有32个1，第61行共有32个1．故y＝32，故选：B．【点评】本题考查了进行简单的合情推理，属中档题．12．【分析】由题意可得f（0）＝0，函数f（x）有且只有零点0，x2+x﹣aln（x+1）＝0，x ≠0，x＞﹣1，可得a＝，设g（x）＝，求得导数，判断单调性和值域，即可得到所求范围．【解答】解：f（x）＝x2+x﹣aln（x+1），可得f（0）＝0﹣aln1＝0，由题意可得函数f（x）有且只有零点0，x2+x﹣aln（x+1）＝0，x≠0，x＞﹣1，可得a＝，设g（x）＝，g′（x）＝，当x＞0时，设h（x）＝（2x+1）ln（x+1）﹣x，h′（x）＝2ln（x+1）+＞0，可得h（x）在（0，+∞）递增，即有h（x）＞h（0）＝0，可得g′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）递增，由g（x）﹣1＝，x＞0，设m（x）＝x2+x﹣ln（x+1），m′（x）＝2x+1﹣＝＞0，可得m（x）＞m（0）＝0，即有g（x）＞1恒成立；当﹣1＜x＜0，可得h′（x）＝2ln（x+1）+＜0，可得h（x）＞h（0）＝0，g′（x）＞0，即g（x）在（﹣1，0）递增，由g（x）＞0，且m′（x）＝2x+1﹣＝＜0，可得m（x）＞m（0）＝0，即有g（x）＜1恒成立．可得实数a的取值范围为a≤0或a＝1．故选：D．【点评】本题考查函数的零点个数的问题解法，考查分类讨论思想方法和数形结合思想，考查化简运算能力，属于难题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【分析】根据题意，将a n+1＝a n+变形可得a n+1﹣a n＝＝﹣，据此可得a2019＝（a2019﹣a2018）+（a2018﹣a2017）+……+（a2﹣a1）+a1＝+（1﹣）+（﹣）+……+（﹣）＝+1﹣，化简可得答案．【解答】解：根据题意，数列{a n}中，a n+1＝a n+，变形可得a n+1﹣a n＝＝﹣，则a2019＝（a2019﹣a2018）+（a2018﹣a2017）+……+（a2﹣a1）+a1＝+（1﹣）+（﹣）+……+（﹣）＝+1﹣＝1；故答案为：1，【点评】本题考查数列的递推公式的应用，涉及数列的求和，属于基础题．14．【分析】由题意可得圆心在直线设，即可得出m，n的关系式，经过分类讨论和利用基本不等式即可得出mn的取值范围．【解答】解：圆的方程x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0化为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9，可得圆心C （2，1）．∵直线mx+2ny﹣4＝0（m，n∈R，m≠n）始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0的周长，∴圆心C在直线上，∴2m+2n﹣4＝0，化为m+n＝2．当m＞0，n＞0，m≠n时，，化为mn＜1．当mn＝0时，mn＝0．当m＜0或n＜0（不同时成立）时，mn＜0．综上可知mn的取值范围是（﹣∞，1）．故答案为（﹣∞，1）．【点评】本题考查了圆的性质、基本不等式、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于基础题．15．【分析】根据题意，原不等式变形可得f（x+1）+（x+1）2＞f（x﹣1）+（x﹣1）2，即g （x+1）＞g（x﹣1），分析可得g（x）为偶函数且在[0，+∞）上递减，据此可得g（x+1）＞g（x﹣1）⇒g（|x+1|）＞g（|x﹣1|）⇒|x+1|＜|x﹣1|⇒（x+1）2＜（x﹣1）2，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x+1）﹣f（x﹣1）+4x＞0⇒f（x+1）+2x＞f（x﹣1）﹣2x⇒f （x+1）+（x+1）2＞f（x﹣1）+（x﹣1）2，即g（x+1）＞g（x﹣1），又由g（x）＝f（x）+x2，且f（x）为偶函数，则g（﹣x）＝f（﹣x）+（﹣x）2＝f（x）+x2＝g（x），即g（x）为偶函数，又由当x∈（﹣∞，0]时，g（x）单调递增，则g（x）在[0，+∞）上递减，则g（x+1）＞g（x﹣1）⇒g（|x+1|）＞g（|x﹣1|）⇒|x+1|＜|x﹣1|⇒（x+1）2＜（x﹣1）2，解可得：x＜0，即不等式的解集为（﹣∞，0）；故答案为：（﹣∞，0）．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是得到关于x的不等式，属于基础题．16．【分析】利用正方体的特殊性得到PG与平面EFG垂直，设AG＝x，建立体积关于x的函数，巧借不等式求得最大值．【解答】解：在正方体中，易知AC1⊥平面A1BD，∵平面EFG∥平面A1BD，PG∥AC1，∴PG⊥平面EFG，设AG＝x，则EG＝x，，又，∴，∴PG＝（3﹣x），∴V P﹣EFG＝＝＝2×＝2（当且仅当x＝2时取等号）．故答案为：2．【点评】此题考查了三棱锥体积的求法和利用不等式求解最值等问题，难度适中．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．【分析】（1）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin B＝2sin A，由正弦定理得b＝2a．结合，可求sin C的值，求得C的值，可求cos C的值．（2）由余弦定理解得b的值，解得a的值，利用三角形的面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）∵A+B+C＝π，∴cos B＝﹣cos（A+C），∴sin B sin C＝cos（A﹣C）+cos B＝cos（A﹣C）﹣cos（A+C）＝2sin A sin C，∵C∈（0，π），∴sin C＞0，∴sin B＝2sin A，由正弦定理得b＝2a．∵，代入b＝2a，得：．由C是最大角，得．（2）由余弦定理，AD2＝AC2+CD2﹣2AC•CD cos∠ACD，，∴，∴b＝2或1．∵b＝2a，∴．∴．∴△ABC的面积为．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．【分析】（1）对y＝ae bx取对数，得lny＝bx+lna，设u＝lny，c＝lna，先建立u关于x 的线性回归方程．求得的值，，即可得到模型②的回归方程；（2）由表格中的数据，有30407＞14607，即，得到，说明模型①的相关指数小于模型②的，说明回归模型②的拟合效果更好．在（1）中的回归方程中，取x＝13，求得y值，即可预测2021年该景区的旅游人数．【解答】解：（1）对y＝ae bx取对数，得lny＝bx+lna，设u＝lny，c＝lna，先建立u关于x的线性回归方程．，，．∴模型②的回归方程为；（2）由表格中的数据，有30407＞14607，即，即，∴，模型①的相关指数小于模型②的，说明回归模型②的拟合效果更好．2021年时，x＝13，预测旅游人数为（万人）．【点评】本题考查回归方程的求法，考查数学转化思想方法，考查计算能力，是中档题．19．【分析】（1）推导出Rt△ACD∽Rt△AOD，从而∠ADO＝∠ACD，进而∠DAE+∠ADE ＝90°，DO⊥AC，折起后，DE即为PE，则仍有PE⊥AC，EO⊥AC，则∠PEO即为二面角P﹣AC﹣B的平面角，即∠PEO＝60°，连结PO．推导出AC⊥平面PEO，AC⊥PO，从而PO⊥平面ABC．由此能证明平面P AB⊥平面ABC．（2）法一：过点O作AB的垂线为x轴，OB为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系．求出平面P AC的法向量和平面P AB的法向量，利用向量法能求出二面角B﹣P A﹣C的余弦值．法二：推导出AP⊥PB．AP⊥PC，从而AP⊥平面PBC，∠BPC即为二面角A﹣PC﹣B 的平面角．推导出BC⊥平面P AB，BC⊥PB．由此能求出二面角B﹣P A﹣C的余弦值．【解答】解：（1）在矩形ABCD中，取AB中点O，连结DO，与AC交于点E．则AO＝1．Rt△ACD与Rt△AOD中，，∴Rt△ACD∽Rt△AOD，∴∠ADO＝∠ACD，∴∠DAE+∠ADE＝90°，即DO⊥AC．∵DC∥AO，∴．折起后，DE即为PE，则仍有PE⊥AC，EO⊥AC，则∠PEO即为二面角P﹣AC﹣B的平面角，即∠PEO＝60°，连结PO．所以在△PEO中，，即∠POE＝90°，即PO⊥OE．由前所证，AC⊥PE，AC⊥EO，PE∩EO＝E，∴AC⊥平面PEO，∴AC⊥PO．而AC∩EO＝E，EO⊂平面ABC，所以PO⊥平面ABC．又∵PO⊂平面P AB，∴平面P AB⊥平面ABC．解：（2）解法一：如图，在平面ABC内，过点O作AB的垂线为x轴，OB为y轴，OP 为z轴建立空间直角坐标系．由（1）得PO＝1.，，，设平面P AC的法向量为，则由得：，取z1＝1，则．由题意知平面P AB的法向量为，设二面角B﹣P A﹣C的平面角为θ，因为θ为锐角，则，即二面角B﹣P A﹣C的余弦值为．解法二：由（1）可得OP＝1，且PO⊥AB，O为AB中点，则△APB为直角三角形，∴AP⊥PB．又∵AP⊥PC，PB∩PC＝P，∴AP⊥平面PBC，∴∠BPC即为二面角B﹣P A﹣C的平面角．由（1），平面P AB⊥平面ABC，BC⊥AB，∴BC⊥平面P AB，∴BC⊥PB．而，∴，即二面角B﹣P A﹣C的余弦值为．【点评】本题考查立体几何中的线面关系，空间角，空间向量在立体几何中的应用等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、等价转化能力，属于中档题．20．【分析】（1）根据题意，设双曲线C1的方程为（λ＞0），则a2＝3λ，b2＝λ，结合双曲线的焦距可得a2+b2＝c2⇒4λ＝4，解可得λ的值，代入双曲线的方程即可得答案；（2）根据题意，联立直线与椭圆的方程，由直线与椭圆的位置关系可得，①，联立直线与双曲线的方程，进而可得，②，设A（x1，y1），B（x2，y2），结合根与系数的关系以及向量数量积的计算公式可以用k表示，可得＜6，③，求出①②③三个式子中k的取值范围，综合即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，C1的渐近线方程为，则设双曲线C1的方程为（λ＞0），则a2＝3λ，b2＝λ，又双曲线的焦距为4，则2c＝4，即c＝2，于是由a2+b2＝c2⇒4λ＝4⇒λ＝1，故C1的方程为；（2）根据题意，将代入得，由直线l与椭圆C2有两个不同的交点得，即，……①将代入得，由直线l与双曲线C1有两个不同的交点A，B，则有，即且，……②设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，则得x1x2+y1y2＜6，而，于是，解此不等式得k2＞1，或，……③由①，②，③得，或，故k2的取值范围为．【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系，涉及双曲线的标准方程和几何性质的应用，关键是求出双曲线的标准方程．21．【分析】（1）函数f（x）＝2lnx﹣ax2，＝．（x∈（0，+∞））．对a分类讨论，利用导数即可得出单调性．（2）由（1）可得：函数f（x）只有在a＞0时，函数f（x）在x＝时取得最大值，f （）＝﹣lna﹣1＝﹣1，解得a＝1．f（x）＜g（x）⇔＜e x．由x＞0，可得e x＞1.＜e x⇔2lnx﹣x2﹣3x+4≤x+1，即证明2lnx﹣x2﹣4x+3≤0，x∈（0，+∞）．令h（x）＝2lnx﹣x2﹣4x+3，x∈（0，+∞）．利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．【解答】解：（1）函数f（x）＝2lnx﹣ax2，＝．（x∈（0，+∞））．a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．a＞0时，f′（x）＝．可得：函数f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．（2）证明：由（1）可得：函数f（x）只有在a＞0时，函数f（x）在x＝时取得最大值，f（）＝﹣lna﹣1＝﹣1，解得a＝1．f（x）＜g（x）⇔＜e x．∵x＞0，∴e x＞1．∴＜e x⇔2lnx﹣x2﹣3x+4≤x+1，即证明2lnx﹣x2﹣4x+3≤0，x∈（0，+∞）．令h（x）＝2lnx﹣x2﹣4x+3，x∈（0，+∞）．h′（x）＝﹣2x﹣4＝＝，可得x0＝﹣1时，函数h（x）取得极大值即最大值，+2x0﹣1＝0．h（x0）＝2lnx0﹣﹣4x0+3＝2lnx0﹣2x0+2≤0．∴2lnx﹣x2﹣4x+3≤0，在x∈（0，+∞）恒成立．∴＜e x在x∈（0，+∞）恒成立．∴f（x）＜g（x）在x∈（0，+∞）恒成立．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【分析】（1）直接把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（2）利用方程组，整理成一元二次方程根和系数的关系求出结果．【解答】解：（1）将椭圆C的参数方程为（φ为参数），消去参数可得椭圆C的普通方程：，将代入得：2ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ＝6．化简得椭圆C的极坐标方程为2ρ2+ρ2sin2θ﹣6＝0．将代入ρcosθ+ρsinθ＝1可得直线l的方程为x+y﹣1＝0．故直线l的参数方程为（t为参数）（2）设A、B对应的参数分别为t1，t2，将直线l的参数方程（t为参数），代入得．则：，．又P的极坐标为（1，），在直线l上，所以：|P A|+|PB|＝|t1﹣t2|＝．【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用．[选修4-5：不等式选讲]23．【分析】（I）利用柯西不等式即可求解（II）由（I）知|x+3|﹣|x﹣2|≤a2+b2对任意的a、b∈R恒成立⇔|x+3|﹣|x﹣2|≤（a2+b2）min，然后根据绝对值不等式的求解即可【解答】解：（I）∵|3a+4b|＝10，∴100＝（3a+4b）2≤（32+42）（a2+b2）＝25（a2+b2）∴a2+b2≥4，当且仅当即或时取等号即a2+b2的最小值4（II）由（I）知|x+3|﹣|x﹣2|≤a2+b2对任意的a、b∈R恒成立，∴|x+3|﹣|x﹣2|≤4，∴或或解可得，x＜﹣3或﹣3∴实数x的取值范围（﹣∞，]【点评】本题主要考查了柯西不等式在最值求解中的应用，还考查了绝对值不等式的解法及恒成立问题与最值求解相互转化思想的应用．。