第二章谓词逻辑
2—1基本概念
例题１. 所有的自然数都是整数。
设N(x)：x是自然数。I(x)：x是整数。此命题可以写成∀x(N(x)→I(x))
例题２. 有些自然数是偶数。
设E(x)：x是偶数。此命题可以写成∃x(N(x)∧E(x))
例题3. 每个人都有一个生母。
设P(x):x是个人。M(x,y):y是x的生母。此命题可以写成：∀x(P(x)→∃y(P(y)∧M(x,y))) 2-2 谓词公式及命题符号化
例题1. 如果x是奇数，则2x是偶数。
其中客体x与客体2x之间就有函数关系，可以设客体函数g(x)=2x，
谓词O(x)：x是奇数，E(x)：x是偶数，
则此命题可以表示为：∀x(O(x)→E(g(x)))
例题2 小王的父亲是个医生。
设函数f(x)=x的父亲，谓词D(x):x是个医生，a:小王，此命题可以表示为D(f(a))。
例题3 如果x和y都是奇数，则x+y是偶数。
设h(x,y)=x+y ，此命题可以表示为:∀x∀y((O(x)∧O(y))→E(h(x,y))
命题的符号表达式与论域有关系
两个公式：一般地，设论域为{a1,a2,....,an}，则有
(1). ∀xA(x)⇔A(a1)∧A(a2)∧......∧A(an)
(2). ∃xB(x)⇔B(a1)∨B(a2)∨......∨B(an)
1.每个自然数都是整数。该命题的真值是真的。
表达式∀x(N(x)→I(x))在全总个体域的真值是真的,因∀x(N(x)→I(x))⇔(N(a1)→I(a1))∧(N(a2)→I(a2))∧…∧(N(an)→I(an))
式中的x不论用自然数客体代入，还是用非自然数客体代入均为真。例如(N(0.1)→I(0.1))也为真。
而∀x(N(x)∧I(x))在全总个体域却不是永真式。
∀x(N(x)∧I(x))⇔(N(a1)∧I(a1))∧(N(a2)∧I(a2)) ∧…∧(N(an)∧I(an))
比如x用0.2代入(N(0.2)∧I(0.2))就为假。所以此表达式不能表示这个命题。
2.有些大学生吸烟。此命题的真值也是真的。
∃x(S(x)∧A(x))⇔(S(a1)∧A(a1))∨(S(a2)∧A(a2))∨…∨(S(an)∧A(an))
且x只有用吸烟的大学生代入才为真，例如a2不是大学生
或者不会吸烟的客体，则(S(a2)∧A(a2))为假。所以用∃x(S(x)∧A(x))表示此命题是对的。
而∃x(S(x)→A(x))中的x用非大学生的客体代入时也为真，例如(S(a2)→A(a2))为真。所以表达式∃x(S(x)→A(x))不能表示这个命题。
3.所有大学生都喜欢一些歌星。
令S(x)：x是大学生，X(x)：x是歌星，L(x,y)：x喜欢y。则命题的表达式为：
∀x(S(x)→∃y(X(y)∧L(x,y)))
4.没有不犯错误的人。
此话就是“没有人不犯错误”，“没有”就是“不存在”之意。令P(x)：x是人，F(x)：x犯错误，此命题的表达式为：⌝∃x(P(x)∧⌝F(x)) 或者∀x(P(x)→F(x))
5.不是所有的自然数都是偶数。
令N(x)：x是自然数，E(x)：x是偶数，命题的表达式为: ⌝∀x(N(x)→E(x)) 或者∃x(N(x)∧⌝E(x))
6.如果一个人只是说谎话，那么他所说的每句话没有一句是可以相信的。
令A(x)：x是人，B(x,y)：y是x说的话，C(x):x是谎话，D(x)：x是可以相信的
命题的表达式为:
∀x(A(x)→(∀y(B(x,y)→C(y))→⌝∃z(B(x,z)∧D(z))))
7.每个自然数都有唯一的后继数。
令N(x)：x是自然数，A(x,y)：y是x的后继数，E(x,y)：x=y 则命题的表达式为∀x(N(x)→∃y(N(y)∧A(x,y)∧∀z((N(z)∧A(x,z))→E(y,z))))
小结
1.命题的符号表达式形式与论域有关系。
论域扩大需要用特性谓词对客体进行说明.注意如何添加特性谓词(即要注意特性谓词后边是什么联结词)。
2.如果量词前有否定符号，如“没有...”“不是所有的...”等，可以按照字面直译。如“⌝∃x…”“⌝∀x...”
3.命题的符号表达式中所有客体变元必须都是约束变元，才表示命题。有时给定命题中有些量词没有明确给出，要仔细分析并写出这隐含的量词。例如
a) 金子闪光，但闪光的不一定都是金子。G(x),F(x)
∀x(G(x)→F(x))∧⌝∀x(F(x) →G(x))
b) 没有大学生不懂外语。S(x),K(x,y),F(x)⌝∃x(S(x)∧∀y(F(y)→⌝K(x,y)))
2-3谓词演算的等价式与蕴涵式
例1.设论域D={1,2} a=1 b=2 f(1)=2 ，f(2)=1P(1,1)=T ，P(1,2)=T ，P(2 ,1)=F P(2,2)=F 求谓词公式∀x∃y(P(x,y)→P(f(x),f(y)))的真值。
解：∀x∃y(P(x,y)→P(f(x),f(y)))
⇔∃y(P(1,y) →P(f(1),f(y))) ∧∃y(P(2,y) →P(f(2),f(y)))
⇔((P(1,1) →P(f(1),f(1)))∨ (P(1,2) →P(f(1),f(2))))∧
((P(2,1) →P(f(2),f(1)))∨(P(2,2) →P(f(2),f(2))))
⇔((P(1,1) →P(2,2))∨(P(1,2) →P(2,1)))∧
((P(2,1) →P(1,2))∨(P(2,2) →P(1,1)))
⇔((T→F )∨ (T→F))∧((F→T) ∨ (F→T))
⇔(F∨ F)∧(T ∨ T)
⇔F∧T ⇔F
量词辖域的扩充公式
1. ∀xA(x)∨B⇔∀x(A(x)∨B)
2. ∀xA(x)∧B⇔∀x(A(x)∧B)
3. ∃xA(x)∨B⇔∃x(A(x)∨B)
4. ∃xA(x)∧B⇔∃x(Ａ(x)∧B)
5. B→∀xA(x)⇔∀x(B→A(x))
6. B→∃xA(x)⇔∃x(B→A(x))
7. ∀xA(x)→B⇔∃x(A(x)→B)
8. ∃xA(x)→B⇔∀x(A(x)→B)
量词分配公式
1. ∃x(A(x)∨B(x))⇔∃xA(x)∨∃xB(x)
2. ∀x(A(x)∧B(x))⇔∀xA(x)∧∀xB(x)
3. ∃x(A(x)∧B(x))⇒∃xA(x)∧∃xB(x)
4. ∀xA(x)∨∀xB(x)⇒∀x(A(x)∨B(x))
其它公式
1. ∃x(A(x)→B(x))⇔∀xA(x)→∃xB(x)
2. ∃xA(x)→∀xB(x)⇒∀x(A(x)→B(x))
两个量词的公式
1. ∀x∀yA(x,y)⇔∀y∀xA(x,y)
2. ∀x∀yA(x,y)⇒∃y∀xA(x,y)
3. ∃y∀xA(x,y)⇒∀x∃yA(x,y)
4. ∀x∃yA(x,y)⇒∃x∃yA(x,y)
5. ∀y∀xA(x,y)⇒∃x∀yA(x,y)
6. ∃x∀yA(x,y)⇒∀y∃xA(x,y)
7. ∀y∃xA(x,y)⇒∃x∃yA(x,y)
8. ∃x∃yA(x,y)⇔∃y∃xA(x,y)
下面证明公式1.。
证明：设论域为{a1,a2,....,an}，则∀x∀yA(x,y)⇔∀yA(a1,y)∧∀yA(a2,y)∧…∧∀yA(an,y) ⇔(A(a1,a1)∧A(a1,a2)∧…∧A(a1,an))∧(A(a2,a1)∧A(a2,a2)∧…∧A(a2,an))∧…∧
(A(an,a1)∧A(an,a2)∧…∧A(an,an))
⇔(A(a1,a1)∧A(a2,a1)∧…∧A(an,a1))∧(A(a1,a2)∧A(a2,a2)∧…∧A(an,a2))∧…∧
(A(a1,an)∧(A(a2,an)∧…∧A(an,an))
⇔∀xA(x,a1)∧∀xA(x,a2)∧…∧∀xA(x,an)
⇔∀y∀xA(x,y)
例2. 令A(x,y)表示x+y=xy, 论域是{1,2,3}, 求谓词公式⌝∀x∃yA(x,y)的真值。
解：⌝∀x∃yA(x,y)⇔∃x∀y⌝A(x,y)
⇔∀y⌝A(1,y)∨∀y⌝A(2,y)∨∀y⌝A(3,y)
⇔(⌝A(1,1)∧⌝A(1,2)∧⌝A(1,3))∨
(⌝A(2,1)∧⌝A(2,2)∧⌝A(2,3))∨(⌝A(3,1)∧⌝A(3,2)∧⌝A(3,3))
⇔(T∧T∧T)∨(T∧F∧T)∨(T∧T∧T)
⇔T∨F∨T⇔T
2-4 前束范式
例1. ∀xA(x)→∃xB(x)
⇔⌝∀xA(x)∨∃xB(x) ⇔∃x⌝A(x)∨∃xB(x)
⇔∃x⌝A(x)∨∃yB(y) (换元)
⇔∃x(⌝A(x)∨∃yB(y)) (量词辖域扩充)
⇔∃x∃y(⌝A(x)∨B(y))
另一个方法：∀xA(x)→∃xB(x)
⇔⌝∀xA(x)∨∃xB(x) ⇔∃x⌝A(x)∨∃xB(x)
⇔∃x(⌝A(x)∨B(x)) (量词分配公式)
例2.∀x(P(x)∧R(x))→(⌝∃xP(x)∧Q(x))
⇔⌝∀x(P(x)∧R(x))∨(⌝∃xP(x)∧Q(x)) (去→)
⇔∃x⌝(P(x)∧R(x))∨(∀x⌝P(x)∧Q(x)) (量词转换)
⇔∃x(⌝P(x)∨⌝R(x))∨(∀x⌝P(x)∧Q(x)) (后移⌝)
⇔∃x(⌝P(x)∨⌝R(x))∨(∀y⌝P(y)∧Q(z)) (换变元)
⇔∃x(⌝P(x)∨⌝R(x))∨∀y(⌝P(y)∧Q(z)) (扩量词辖域)
⇔∃x∀y((⌝P(x)∨⌝R(x))∨(⌝P(y)∧Q(z)))(扩量词辖域)
2-5 谓词演算的推理理论
例1. 令A(x)表示x是自然数，B(x)表示x是整数。
⑴∀x(A(x)→B(x)) P
⑵A(c)→B(c) US 如c=0.1
⑶∃xA(x) P
⑷A(c) ×ES A(0.1)为F
⑴∃xB(x) P
⑵B(c) ES 如c=-1
⑶∃xA(x) P
⑷A(c) ×ES A(-1)为F
正确解法如下：
⑴∃xA(x) P
⑵A(c) ES
⑶∀x(A(x)→B(x)) P
⑷A(c)→B(c) US
⑸B(c) T ⑵⑷I11
例2 所有金属都导电。铜是金属。故铜导电。
令M(x):x是金属。C(x):x导电。a:铜。符号化为：
∀x(M(x)→C(x)),M(a) ⇒C(a)
⑴∀x(M(x)→C(x)) P
⑵M(a)→C(a) US ⑴
⑶M(a) P
⑷C(a) T ⑵⑶I11
例3 所有自然数都是整数。有些数是自然数。因此有些数是整数。
令A(x)表示x是自然数，B(x)表示x是整数。
∀x(A(x)→B(x))，∃xA(x) ⇒∃xB(x)
⑴∃xA(x) P
⑵A(c) ES ⑴
⑶∀x(A(x)→B(x)) P
⑷A(c)→B(c) US ⑶
⑸B(c) T ⑵⑷I11
⑹∃xB(x) EG ⑸
例4不认识错误的人，也不能改正错误。有些诚实的人改正了错误。所以有些诚实的人是认识了错误的人。
设A(x):x是认识错误的人。B(x):x改正了错误。C(x):x是诚实的人。符号化为：
∀x(⌝A(x)→⌝B(x))，∃x(C(x)∧B(x)), ⇒∃x(C(x)∧A(x))
⑴∃x(C(x)∧B(x)) P
⑵C(c)∧B(c) ES ⑴
⑶C(c) T ⑵I1
⑷B(c) T ⑵I2
⑸∀x(⌝A(x)→⌝B(x))P
⑹⌝A(c)→⌝B(c) US ⑸
⑺⌝⌝A(c) T ⑷⑹I12
⑻A(c) T ⑺E1
⑼C(c)∧A(c) T ⑶⑻I9
⑽∃x(C(x)∧A(x)) EG ⑼
例5.“鸟都会飞。猴子都不会飞。所以，猴子都不是鸟。”
设B(x):x是鸟；F(x):x会飞；M(x):x是猴子。
∀x(B(x)→F(x)),∀x(M(x)→⌝F(x))⇒∀x(M(x)→⌝B(x))
证明：⑴∀x(B(x)→F(x)) P
⑵B(a)→F(a) US ⑴
⑶∀x(M(x)→⌝F(x)) P
⑷M(a)→⌝F(a) US ⑶
⑸⌝F(a)→⌝B(a) T ⑵E18
⑹M(a)→⌝B(a) T ⑷⑸I13
⑺∀x(M(x)→⌝B(x)) UG ⑹
例6.∃x(A(x)∨B(x)),∀x(B(x)→⌝C(x)),∀xC(x)⇒∃xA(x)
(1) ∃x(A(x)∨B(x)) P
(2) A(a)∨B(a) ES (1)
(3) ∀x(B(x)→⌝C(x)) P
(4) B(a)→⌝C(a) US (3)
(5) ∀xC(x) P
(6) C(a) US (5)
(7) ⌝B(a) T (4)(6) I12
(8) A(a) T (2)(7) I10
(9) ∃xA(x) EG (8)
例7 一些病人喜欢所有医生。任何病人都不喜欢庸医。所以没有医生是庸医。
设: P(x):x是病人, D(x):x是医生, Q(x):x是庸医, L(x,y): x喜欢y.请同学将上述各个命题符号化：∃x(P(x)∧∀y(D(y)→L(x,y)))，∀x(P(x)→∀y(Q(y)→⌝L(x,y))) ⇒⌝∃y(D(y)∧Q(y))
∃x(P(x)∧∀y(D(y)→L(x,y)))，∀x(P(x)→∀y(Q(y)→⌝L(x,y))) ⇒⌝∃y(D(y)∧Q(y))
⑴∃x(P(x)∧∀y(D(y)→L(x,y))) P
⑵P(a)∧∀y(D(y)→L(a,y)) ES ⑴
⑶P(a) T ⑵I1
⑷∀y(D(y)→L(a,y)) T ⑵I2
⑸∀x(P(x)→∀y(Q(y)→⌝L(x,y))) P
⑹P(a)→∀y(Q(y)→⌝L(a,y)) US ⑸
⑺∀y(Q(y)→⌝L(a,y)) T ⑶⑹I11
⑻D(b)→L(a,b) US ⑷
⑼Q(b)→⌝L(a,b) US ⑺
⑽L(a,b) →⌝Q(b) T ⑼E18
⑾D(b)→⌝Q(b) T ⑻⑽I13
⑿⌝D(b)∨⌝Q(b) T ⑾E16
⒀⌝(D(b)∧Q(b)) T ⑿E8
⒁∀y⌝(D(y)∧Q(y)) UG ⒀
⒂⌝∃y(D(y)∧Q(y)) T ⒁E25
例8 ∃x(P(x)→Q(x)) ⇒∀xP(x)→∃xQ(x)
用条件论证证明：
⑴∀xP(x) P (附加前提)
⑵∃x(P(x)→Q(x)) P
⑶P(a)→Q(a) ES ⑵
⑷P(a) US ⑴
⑸Q(a) T ⑶⑷I11
⑹∃xQ(x) EG ⑸
⑺∀xP(x)→∃xQ(x) CP
用反证法证明例5：
∃x(P(x)→Q(x))⇒∀xP(x)→∃xQ(x)
⑴⌝(∀xP(x)→∃xQ(x)) P(假设前提)
⑵⌝(⌝∀xP(x)∨∃xQ(x)) T ⑴E16
⑶∀xP(x)∧⌝∃xQ(x) T ⑵E9
⑷∀xP(x) T ⑶I1
⑸⌝∃xQ(x) T ⑶I2
⑹∃x(P(x)→Q(x)) P
⑺P(a)→Q(a) ES ⑹
⑻P(a) US ⑷
⑼Q(a) T ⑺⑻I11
⑽∃xQ(x) EG ⑼
⑾⌝∃xQ(x)∧∃xQ(x) T ⑸⑽I9
例9.给定谓词如下：S(x):x是学生；L(x):x是校领导；G(x):x是好的；T(x):x是老师；P(x): x受过处分；C(x,y):y表扬x
用上述谓词表达下面各个命题，并且用谓词逻辑推理方法证明下面推理的有效性。
“没有受过处分的学生，都受到过校领导的表扬；有些好学生，仅仅受到老师的表扬；所有好学生，都没有受过处分。所以，有的老师是校领导。”
先请同学将上述各个命题符号化，然后推理。
∀x((S(x)∧⌝P(x))→∃y(L(y)∧C(x,y))),∃x((S(x)∧G(x))∧∀y(C(x,y)→T(y))) ,∀x((S(x) ∧G(x)) →⌝P(x))⇒∃y(T(y)∧L(y))
⑴∃x((S(x)∧G(x))∧∀y(C(x,y)→T(y))) P
⑵(S(a)∧G(a))∧∀y(C(a,y)→T(y)) ES ⑴
⑶S(a)∧G(a) T ⑵I1
⑷∀x((S(x) ∧G(x)) →⌝P(x)) P
⑸(S(a) ∧G(a)) →⌝P(a) US ⑷
⑹⌝P(a) T ⑶⑸I11
⑺S(a) T ⑶I1
⑻S(a) ∧⌝P(a) T ⑹⑺I9
⑼∀x((S(x)∧⌝P(x))→∃y(L(y)∧C(x,y))) P
⑽(S(a)∧⌝P(a))→∃y(L(y)∧C(a,y)) US ⑼
⑾∃y(L(y)∧C(a,y)) T ⑻⑽I11
⑿∀y(C(a,y)→T(y)) T ⑵I2
⒀L(b) ∧C(a,b) ES ⑾
⒁C(a,b)→T(b) US ⑿
⒂L(b) T ⒀I1
⒃C(a,b) T ⒀I2 ⒄T(b) T ⒁⒃I11
⒅T(b)∧L(b) T ⒂⒄I9 ⒆∃y(T(y)∧L(y)) EG ⒅
例10.用推理证明公式：∃y∀xA(x,y)⇒∀x∃yA(x,y)
⑴∃y∀xA(x,y) P
⑵∀xA(x,b) ES ⑴
⑶A(a,b) US ⑵
⑷∃yA(a,y) EG ⑶
⑸∀x∃yA(x,y) UG ⑷
补充题
1.每个人的叔叔都是他父亲的弟弟。
设：P(x):x是人，U(x,y):y是x的叔叔，
B(x,y):x是y的弟弟，f(x)=x的父亲∀x(P(x)→∀y(U(x,y)→B(y,f(x)))
2.下面是判定一个年号是否为闰年的命题:
“年号能被4整除并且不能被100整除的为闰年，或者年号能被400整除的也是闰年。”设Y(x):x是年号; D(x,y):x可整除y; R(x):x是闰年
∀x(Y(x)→(((D(4,x)∧⌝D(100,x))→R(x))∨(D(400,x) →R(x))))
此式有些问题，因为它等价于
∀x(Y(x)→(((D(4,x)∧⌝D(100,x))∧D(400,x))→R(x)))
正确答案：1)∀x(Y(x)→((D(4,x)∧⌝D(100,x))→R(x)))∧∀x(Y(x)→(D(400,x) →R(x))) 2）∀x(Y(x)→(((D(4,x)∧⌝D(100,x))∨D(400,x)) →R(x)))
小杨、小刘和小林为高山俱乐部成员，该俱乐部的每个成员是个滑雪者或登山者。没有一个登山者喜欢雨。而所有滑雪者都喜欢雪。凡是小杨喜欢的，小刘就不喜欢。小杨喜欢雨和雪。试证明该俱乐部是否有个是登山者而不是滑雪者的成员。如果有，他是谁？
设：M(x):x是高山俱乐部成员。H(x):x是滑雪者。D(x):x是登山者。L(x,y):x喜欢y。
a:小杨；b:小刘；c:小林；d:雨；e:雪。
命题符号化为：M(a), M(b), M(c), ∀x(M(x)→( H(x)∨D(x))), ⌝∃x(D(x)∧L(x,d)), ∀x(H(x)→L(x,e))∀x(L(a,x)→⌝L(b,x)), L(a,d)∧L(a,e)
⑴L(a,d)∧L(a,e) P
⑵L(a,e) T ⑴
⑶∀x(L(a,x)→⌝L(b,x)) P
⑷L(a,e)→⌝L(b,e) US ⑶
⑸⌝L(b,e) T ⑵⑷I11
⑹∀x(H(x)→L(x,e)) P
⑺H(b)→L(b,e) US ⑹
⑻⌝H(b) T ⑸⑺I12
⑼∀x(M(x)→(H(x)∨D(x))) P
⑽M(b)→(H(b)∨D(b)) US ⑼
⑾M(b) P
⑿H(b)∨D(b) T ⑽⑾I11
⒀D(b) T ⑻⑿I10
⒁D(b)∧⌝H(b) T ⑻⒀
一.将下面命题符号化
1.只有你考试和体检都合格，才会被
录取。
2.上大学的人都需要参加高考。
（A(x):x是人，B(x):x上大学，C(x,y)：x参加y，D(x)：x是高考。）二.将命题公式A(P,Q,R)化简。其中
A(P,Q,R)⇔(P∧Q∧R)∨(⌝P∧Q∧R)∨(P∧Q∧⌝R)∨(P∧⌝Q∧R)∨
(P∧⌝Q∧⌝R)∨(⌝P∧Q∧⌝R)
三.令f(x)=x2,P(x):x是奇数,Q(x,y):x
≥y,论域 D
D={-1,0,1},求谓词公式∀x(⌝P(f(x))→Q(f(x),x))
的真值.(要求有解题的过程)
四.用谓词逻辑推理证明下面推理的有
效性。(按照教材格式写出推理过程) ∀x(A(x)→∃y(B(y)→⌝C(x,y))),
∀x(A(x)→∀y(C(x,y)∨D(y))),
∃x(A(x)∧∀y⌝D(y))
⇒∃y⌝B(y)
第二章小结
本章重点掌握内容：
1.各基本概念清楚。
2.会命题符号化。
3.熟练掌握等价公式和永真蕴涵式。
4.会写前束范式。
5.熟练掌握谓词逻辑的三种推理方法。
学习《离散数学》心得体会 作为一门重要的数学基础课程，《离散数学》对于计算机科学、信息与通信工程等相关专业的学生来说具有重要的意义。在学习过程中，我深刻体会到《离散数学》的抽象性、逻辑性以及实践性，以下是我的一些心得体会。 首先，《离散数学》是一门非常抽象的数学课程。相比于高等数学、线性代数等课程，离散数学所涉及的对象更为抽象，如集合、关系和函数等。在学习过程中，我需要通过大量的练习来熟悉这些概念，并且学会运用它们进行推理和证明。这对于我来说是一种挑战，因为它需要我具备一定的数学思维能力和逻辑思维能力。 其次，《离散数学》是一门逻辑性很强的课程。在这门课程中，我学到了很多关于命题逻辑、集合逻辑和谓词逻辑等相关的知识。通过学习这些逻辑知识，我对于命题的判断、推理以及论证能力得到了极大的提升。在实际的应用中，这些逻辑知识也起到了重要的作用，帮助我解决问题和思考问题的方式更加清晰和有条理。 此外，《离散数学》也是一门非常实践性的课程。在这门课程中，我学到了很多实际问题在数学模型中的抽象和建模方法。通过学习离散数学，我了解到了图论、组合数学以及概率论等知识在实际问题中的应用，如网络优化、密码学和数据挖掘等。这
为我以后在实际工作中遇到类似问题时提供了一定的指导和思路。 在学习《离散数学》的过程中，我发现很多思维方式和解题方法对于我以后的学习和工作都有着重要的影响。首先，离散数学教会了我如何进行抽象思维。在面对一个问题时，我需要将其抽象成数学模型，从而能够利用数学的方法来解决。其次，离散数学培养了我严谨的逻辑思维能力。在证明和推理的过程中，我需要按照严密的逻辑进行推导，不能有丝毫的差错。最后，离散数学也提高了我解决实际问题的能力。通过学习离散数学中的方法和技巧，我能够将实际问题进行抽象和建模，从而能够更加高效地解决问题。 另外，学习《离散数学》也让我深刻认识到数学的美和魅力。尽管离散数学中的概念和方法对于很多人来说是比较抽象和难以理解的，但是当我逐渐掌握了这些知识后，我发现数学是如此的精彩和有趣。数学中的逻辑和推理，数学中的抽象和建模，都让我对于这门学科产生了浓厚的兴趣和热情。我也渐渐明白，数学不仅仅是一门学科，更是一种思维方式和一种思考问题的工具。 在总结学习《离散数学》的心得体会时，我想重点强调的是学习方法的重要性。在学习这门课程时，我发现通过大量的练习和实践来巩固所学知识是非常重要的。而且，在学习过程中，我发现和同学及老师进行讨论和交流也能够加深对于某些概念的理
离散数学笔记 第一章命题逻辑 合取 析取 定义 1. 否定：当某个命题为真时.其否定为假.当某个命题为假时.其否定为真定义 1. 条件联结词.表示“如果……那么……”形式的语句 定义 1. 双条件联结词.表示“当且仅当”形式的语句 定义合式公式 (1)单个命题变元、命题常元为合式公式.称为原子公式。 (2)若某个字符串 A 是合式公式.则?A、(A)也是合式公式。 (3)若 A、B 是合式公式.则 A ∧B、A∨B、A→ B、A?B 是合式公式。 (4)有限次使用(2)~(3)形成的字符串均为合式公式。 等值式 析取范式与合取范式
将一个普通公式转换为范式的基本步骤
推理 定义 设 A 与 C 是两个命题公式. 若 A → C 为永真式、 重言式.则称 C 是 A 的有 效结论.或称 A 可以逻辑推出 C.记为 A => C 。（用等值演算或真值表） 第二章 谓词逻辑 、基本概念 ?：全称量词 ?：存在量词 一般情况下. 如果个体变元的取值范围不做任何限制即为全总个体域时. 带 “全称量词”的谓词公式形如"?x(H(x)→B(x)).即量词的后面为条件式.带“存在量词”的谓词公式形如?x(H(x)∨WL(x)).即量词的后面为合取式 例题 R(x)表示对象 x 是兔子.T(x)表示对象 x 是乌龟. H(x,y)表示 x 比 y 跑得快.L(x,y)表示x 与 y 一样快.则兔子比乌龟跑得快表示为： ?x ?y(R(x)∧T(y)→H(x,y)) 有的兔子比所有的乌龟跑得快表示为：?x ?y(R(x)∧T(y)→H(x,y)) 、谓词公式及其解释 定义 、 非逻辑符号： 个体常元(如 a,b,c)、 函数常元(如表示22 y x 的 f(x,y))、 谓词常元(如表示人 类的 H(x))。 定义 、逻辑符号：个体变元、量词(??)、联结词(﹁∨∧→?)、逗号、括号。 定义 、项的定义：个体常元、变元及其函数式的表达式称为项(item)。 定义 、原子公式：设 R(n x x ... 1)是 n 元谓词.n t t ...1是项.则 R(t)是原子公式。原子公式中的个体变元.可以换成个体变元的表达式(项).但不能出现任何联结词与量词.只能为单个的谓词公式。 定义 合式公式：(1)原子公式是合式公式；(2)若 A 是合式公式.则(﹁A)也是合式公式；(3)若 A,B 合式.则 A ∨B, A ∧B, A →B , A ?B 合式(4)若 A 合式.则?xA 、?xA 合式(5)有限次使用(2)~(4)得到的式子是合式。 定义 量词辖域：?xA 和?xA 中的量词?x/?x 的作用范围.A 就是作用范围。 定义 约束变元：在?x 和?x 的辖域 A 中出现的个体变元 x.称为约束变元.这是与量词相关的变元.约束变元的所有出现都称为约束出现。 定义 自由变元：谓词公式中与任何量词都无关的量词.称为自由变元.它的每次出现称为自由出现。一个公式的个体变元不是约束变元.就是自由变元。 注意：为了避免约束变元和自由变元同名出现.一般要对“约束变元”改名.而不对自由变元改名。 定义 闭公式是指不含自由变元的谓词公式 从本例(已省)可知. 不同的公式在同一个解释下. 其真值可能存在. 也可能不存在. 但是对于没有自由变元
注意/技巧： 析取符号为V，大写字母V x + y = 3不是命题 前件为假时，命题恒为真 运用吸收律 命题符号化过程中要注意命题间的逻辑关系，认真分析命题联结词所对应的自然语言中的联结词，不能只凭字面翻译。也就是说，在不改变原意的基础上，按照最简单的方式翻译 通用的方法：真值表法 VxP（x）蕴含存在xP（x） 利用维恩图解题 证明两个集合相等：证明这两个集合互为子集 常用的证明方法：任取待证集合中的元素<,> 构造相应的图论模型 第一章命题逻辑 命题和联结词 命题的条件：表达判断的陈述句、具有确定的真假值。选择题中的送分题 原子命题也叫简单命题，与复合命题相对 简单联结词的真值表要记住 非（简单） 合取（当且仅当P，Q都为真时，命题为真） 析取（当且仅当P，Q都为假时，命题为假），P，Q可以同时成立，是可兼的或
条件（→）（当且仅当P为真，Q为假时，命题为假） P是前件，Q是后件 只要P，就Q等价于P→Q 只有P，才Q等价于非P→非Q，也就是Q→P P→Q特殊的表达形式：P仅当Q、Q每当P 双条件（?）（当且仅当P与Q具有相同的真假值时，命题为真，与异或相反） 命题公式 优先级由高到低：非、合取和析取、条件和双条件 括号省略条件：①不改变先后次序的括号可省去②最外层的括号可省去 重言式（永真式）、矛盾式（永假式）、偶然式 可满足式：包括重言式和偶然式 逻辑等价和蕴含 （逻辑）等价:这是两个命题公式之间的关系，写作“?”，要与作为联结词的?区分开来。如果命题公式A为重言式，那么A?T 常见的命题等价公式：需要背过被标出的，尽量去理解。关键是掌握公式是将哪个符号转换为了哪个符号，这对于解证明题有很大的帮助！ 验证两个命题公式是否等价：当命题变元较少时，用真值表法。当命题变元较多时，用等价变换的方法，如代入规则、替换规则和传递规则 定理：设A、B是命题公式，当且仅当A?B是一个重言式时，有A和B逻辑等价。 蕴含:若A→B是一个重言式，就称作A蕴含B，记作A?B
离散数学知识点总结 一、各章复习要求与重点 第一章 集 合 [复习知识点] 1、集合、元素、集合的表示方法、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集 2、集合的交、并、差、补等运算及其运算律（交换律、结合律、分配律、吸收律、 De Morgan 律等），文氏（V enn ）图 3、序偶与迪卡尔积 本章重点内容：集合的概念、集合的运算性质、集合恒等式的证明 [复习要求] 1、理解集合、元素、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集等基本概念。 2、掌握集合的表示法和集合的交、并、差、补等基本运算。 3、掌握集合运算基本规律，证明集合等式的方法。 4、了解序偶与迪卡尔积的概念，掌握迪卡尔积的运算。 [本章重点习题] P5~6，4、6； P14~15，3、6、7； P20，5、7。 [疑难解析] 1、集合的概念 因为集合的概念学生在中学阶段已经学过，这里只多了一个幂集概念，重点对幂集加以掌握，一是掌握幂集的构成，一是掌握幂集元数为2n 。 2、集合恒等式的证明 通过对集合恒等式证明的练习，既可以加深对集合性质的理解与掌握；又可以为第三章命题逻辑中公式的基本等价式的应用打下良好的基础。实际上，本章做题是一种基本功训练，尤其要求学生重视吸收律和重要等价式在B A B A ~?=-证明中的特殊作用。 [例题分析] 例1 设A ，B 是两个集合，A={1，2，3}，B={1，2}，则=-)()(B A ρρ 。 解 }}3,2,1{},3,2{},3,1{},2,1{},3{},2{},1{,{)(φρ=A }}2,1{},2{},1{,{)(φρ=B 于是}}3,2,1{},3,2{},3,1{},3{{)()(=-B A ρρ
学习《离散数学》心得体会范文 离散数学是计算机科学与工程领域中非常重要的一门基础课程，它关注的是离散量而非连续量的数学理论和方法。在学习过程中，我深感离散数学的重要性和其对于计算机科学的应用价值。下面是我在学习《离散数学》这门课程中的一些心得体会。 1. 离散数学的基本概念和原理是计算机科学中的基石。离散数学以集合论、逻辑、关系论和图论为基础，这些概念和原理在计算机科学的各个领域中都有广泛的应用。例如，在算法设计和分析中，集合论和图论的知识可以帮助我们描述和分析问题的结构；在数据库和网络领域，关系论和图论的知识可以帮助我们建立和优化数据的存储和检索方式。因此，学好离散数学对于成为一名优秀的计算机科学家是非常重要的。 2. 离散数学的学习需要注重理论和实践的结合。理论知识是学习离散数学的基础，但光有理论知识是不够的，还需要通过实践来巩固和应用所学的知识。通过做一些相关的练习和项目，可以增强自己的动手能力和应用能力，使理论知识真正转化为自己的能力。 3. 在学习离散数学中，要注重培养逻辑思维能力。离散数学要求我们进行严密的逻辑推理和证明，因此要注重培养逻辑思维能力。在学习过程中，我们要学会运用命题逻辑、谓词逻辑和证明方法等工具，通过解决问题和证明定理来锻炼逻辑思维能力。
4. 多与他人交流和讨论。离散数学是一门较为抽象和理论的学科，有时候很容易陷入困惑和迷茫。因此，多与他人交流和讨论可以帮助我们理清思路，解决问题。同时，通过与他人的交流和讨论，我们还可以从他人的角度来思考问题，提高自己的思维水平。 5. 要注重练习和总结。在学习离散数学时，光有理论知识是不够的，还需要通过练习和总结来巩固所学的知识。通过练习，我们可以将理论知识运用到实际问题中，培养自己的应用能力；通过总结，我们可以梳理知识框架，加深对知识的理解和记忆。 在学习离散数学的过程中，我深感到离散数学对于计算机科学和工程的重要性和应用价值。通过学习《离散数学》，我不仅了解了离散数学的基本概念和原理，还学会了如何运用离散数学的知识解决实际问题。通过练习和总结，我培养了自己的逻辑思维能力和动手能力。通过与他人交流和讨论，我从他人的角度来思考问题，提高了自己的思维水平。 总之，《离散数学》是一门非常重要的课程，学好离散数学对于计算机科学和工程领域的学习和研究有着重要的意义。通过学习《离散数学》，我们可以掌握离散数学的基本概念和原理，提高自己的逻辑思维能力和动手能力。希望在以后的学习和实践中，能够更好地运用离散数学的知识解决实际问题，为计算机科学和工程领域的发展做出自己的贡献。
离散数学知识点总结 离散数学是数学中的一个分支，研究离散对象及其关系的数学理论。 它与连续数学形成鲜明的对比，连续数学主要研究连续对象和其性质。离 散数学在计算机科学、信息科学、电子工程等领域具有重要的应用价值。 下面将对离散数学的主要知识点进行总结。 1.命题逻辑：命题逻辑研究由命题符号组成的复合命题及其逻辑关系。其中命题是一个陈述性的语句，可以是真或假。命题逻辑包括命题的逻辑 运算、真值表、命题的等价、充分必要条件等。 2.谓词逻辑：谓词逻辑是对命题逻辑的扩充，引入了量词、谓词和项。它的研究对象是命题函数，可以表示个体之间的关系。谓词逻辑包括谓词 的运算、量词的运算、公理化和推理规则等。 3.集合论：集合论是研究集合及其操作的数学分支。集合是一种由确 定的对象组成的整体。集合论包括集合的基本运算（交、并、差、补）、 集合的关系（包含、相等、子集、真子集）以及集合的运算律和推导定理等。 5.组合数学：组合数学是研究物体的组合与排列问题的数学分支。它 包括排列、组合、分配、生成函数等内容，经常应用于计数和概率问题中。 6.图论：图论是用来描述物体间其中一种关系的图形结构的数学理论。它研究的对象是由顶点和边构成的图，包括无向图、有向图、带权图等。 图论研究的内容包括图的性质、连通性、路径、回路、树、图的着色等。 7.代数系统：代数系统是一种由一组元素及其相应的运算规则构成的 数学结构。常见的代数系统有群、环、域、格等，它们分别研究了集合上 的不同运算规律和结构。
8.布尔代数：布尔代数是一种应用于逻辑和计算机的代数系统。它以 真和假为基础，通过逻辑运算（与、或、非）构成了布尔代数。布尔代数 在计算机硬件设计和逻辑推理中广泛应用。 9.图的同构与图的着色：图的同构是指两个图在结构上相同，也就是说，它们具有相同的顶点和边的连接关系。图的同构判断是一个NP难问题，需要借助于图的着色等方法来判断。图的着色是给图的顶点分配颜色，使得相邻顶点的颜色不同。图的着色问题也是一个经典的组合优化问题。 10.概率与统计：离散数学中的概率与统计主要研究随机事件的概率 和统计规律。概率论包括概率空间、条件概率、随机变量、概率分布等内容。统计学包括描述统计和推断统计两部分，涉及参数估计、假设检验、 回归分析等方法。 以上是离散数学的主要知识点总结。离散数学作为一门重要的数学分支，广泛应用于计算机科学、信息科学、电子工程等领域。掌握离散数学 的知识，对于理解和解决实际问题具有重要的意义。
浅谈离散数学的学习心得 浅谈离散数学的学习心得 离散数学是这个学期我们新开的一门课程，刚开始学习这门功课，就一个感觉怪！比如这样的一个命题：2是整数那么北京是中国的首都。这个看似一点都不着边的命题，根据离散数学的规则，这却是一个合法的真命题。真叫人是诧异！(我想只要有点逻辑的人都会这么想的) 为此，我对离散数学这种没逻辑的学科而感冒了，甚至觉得这是个基本没用的科目。没兴趣是一回事，学习又是一回事。我硬着头皮的学习与记忆中。从命题到联接词的完备集，我都只是停留在表面的记忆之中的，只知道套用公式即可。但从理论推理这小节开始，我逐步发现以前看似定义与实际没关系的内容现在似乎与现实的推理相互牵连在了一起，通过将现实的事件转化成符号，运用一些推理规则比如P TCP规则，加上联接词判断正误的方法，一些将的逻辑推也是可以进行的.，对此我十分的好奇，有种想探索和研究的想法(其实就是再仔细的去体会下书本中概念)。 有句话说的好，书读百遍其义自现。其实自己也就是在无聊的时候再做了一次无聊复习而已。最近学习的谓词逻辑中，起初我并不知道它到底要谈些啥玩意，将命题拆了几大块，又莫名奇妙将这些小块用联结词组合在一起，还对它们进行一系列的判断，越学越没想法。也许是自己太笨了吧，其实在这一章的第一页的引言中就有一个突出主题的一段话，那就是--著名的苏格拉底三段论：所有人是要死的；苏格拉底是人；所以苏格拉底是要死的。这句话看是平淡无奇，其实它就解释了为何要研究谓词逻辑的原因。 我们回过头来再去细读离散数学中的每句话，其实开头的定义是为以后的推理进行准备的，为何我们会觉得很难去体会这样一个东西?原因其实很简单：抽象的东西往往是脱离实际的，有时近乎残酷的摆脱现实中一些实实在在的物质的，它近乎无情的定义将他们进行规定，就是在前人的一步一步的理论修正过程中，理论被变得完善，再用于刻画现实中的一些东西时，它就变得普遍符合。这也许就是很多人刚
离散数学大一上知识点总结离散数学是计算机科学和数学专业中一门重要的基础课程，它主要研究离散的数学结构和离散对象。在大一上学期的学习中，我们学习了一些离散数学的基础知识和概念。本文将对这些知识点进行总结和归纳。 1. 集合论(Set Theory) - 集合的定义和表示方法； - 子集、并集、交集和补集的运算； - 集合的基本运算规则； - 集合的基数和幂集； 2. 命题逻辑(Propositional Logic) - 命题和命题变量； - 逻辑运算符（非、与、或、异或、蕴含、等价）； - 真值表和逻辑等价性； - 合取范式和析取范式；
3. 谓词逻辑(Predicate Logic) - 谓词逻辑的基本概念； - 量词（全称量词和存在量词）； - 代入实例和量化顺序； - 合取与析取的关系； 4. 图论(Graph Theory) - 图的基本概念（顶点、边、路径、环）； - 图的表示方法（邻接矩阵、邻接表）； - 图的遍历算法（深度优先遍历、广度优先遍历）； - 最短路径算法（Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法）； 5. 关系(Relations) - 关系的定义和表示方法； - 关系的性质（自反性、对称性、传递性）； - 等价关系和偏序关系； - 关系的闭包和传递闭包；
6. 函数(Function) - 函数的定义和表示方法； - 单射、满射和双射的概念； - 函数的复合和反函数； - 函数的性质和分类； 7. 计数(Counting) - 排列和组合的概念； - 基本计数原理和乘法原理； - 集合的幂级数； - 分配原理和容斥原理； 8. 递归(Recursion) - 递归的定义和特性； - 递归关系的建立和求解； - 递归算法的设计和分析；
第2章谓词逻辑 一、教学要求 1. 理解谓词、量词、个体词、个体域、原子公式、谓词公式和变元等概念。会将不太复杂的命题符号化。 2. 掌握在有限个体域下求公式的真值和某些公式在给定解释下真值的方法，判别公式类型(永真式、永假式和可满足式)的方法。 3. 掌握谓词演算的等值式和重言蕴含式(六种情况：(1)命题公式的推广；(2)量词否定式的等值式；(3)量词辖域扩张和收缩的等值式；(4)量词与联结词∨，∧，→的等值式；(5)量词与联结词的重言蕴含式；(6)两个量词公式间的等值式与重言蕴含式)。会进行谓词公式的等值演算。 4. 了解前束范式的概念，会求公式的前束范式。 5. 了解谓词逻辑推理的规则：全量词消去规则(US规则)；全量词附加规则(UG规则)；存在量词消去规则(ES规则)；存在量词附加规则(EG规则) 本章重点：谓词与量词，公式与解释，前束范式，谓词逻辑推理证明。 二、学习辅导 在命题逻辑中，我们把原子命题作为基本研究单位，对原子命题不再进行分解，只有复合命题才可以分解，揭示了一些有效的推理过程. 但是进一步研究发现，仅有命题逻辑是无法把一些常见的推理形式包括进去. 例如 “凡人要死，张三是人，张三要死” 显然是正确推理. 用命题逻辑解释三段式. 设 P：人要死；Q张三是人；R：张三要死。 表示成复合命题有 P∧Q→R 这不是重言式，即R不是前提P，Q的有效结论. 这反映了命题逻辑的局限性，其原因是把本来有内在联系的命题P，Q，R，视为独立的命题。要反映这种内在联系，就要对命题逻辑进行分析，分析出其中的个体词、谓词和量词，再研究它们之间的逻辑关系，总结出正确的推理形式和规则，这就是谓词逻辑的研究内容。 1. 谓词与量词 学习这一部分要反复理解谓词和量词引入的意义，概念的含义。 在谓词逻辑中，原子命题分解成个体词和谓词。个体词是可以独立存在的客体，它可以是具体事物或抽象的概念，如小张，房子，南京，大米，思想，实数2等等。谓词是用来刻划个体词的性质或事物之间的关系的词。例如 (1)(1)ln5是无理数； (2)(2)高可比李木相高4cm； (3) 郑州位于北京和广州之间。 这时三个简单命题，其中ln5，高可，李木相，郑州，北京，广州等都是个体词，而“是无理数”，“……比……高4cm”，“……位于……和……之间”等都是谓词。 个体词分个体常项(用a,b,c,d,…表示)和个体变项(用x,y,z,…表示)；谓词分谓词常项(表
离散数学谓词逻辑python 离散数学是计算机科学中的一门重要学科，它研究离散对象及其相互关系的数学理论和方法。谓词逻辑是离散数学中的一个重要概念，它用于描述和推理关于对象之间的关系和性质。在本文中，我们将介绍谓词逻辑在Python编程语言中的应用。 谓词逻辑是一种用于描述和推理关于对象之间关系的形式系统。它由一组谓词、变量和逻辑连接词组成。在谓词逻辑中，谓词用于描述对象的性质或关系，变量用于表示未知对象，逻辑连接词用于构建复杂的命题。 在Python中，我们可以使用谓词逻辑来表示和处理关于对象之间的关系和性质。Python的谓词逻辑库提供了一些函数和方法，可以实现谓词逻辑的基本操作，如命题的合取、析取、否定、存在量化和全称量化等。 在Python中，我们可以使用符号或者关键字来表示谓词逻辑中的各种操作。例如，我们可以使用符号"∧"表示合取操作，使用符号"∨"表示析取操作，使用关键字"not"表示否定操作，使用关键字"exists"表示存在量化，使用关键字"forall"表示全称量化等。 下面是一个简单的例子，演示了如何使用Python的谓词逻辑库来表示和处理关于人和年龄的关系： ```python
from sympy import symbols, Predicate, And, Or, Not, Exists, ForAll # 定义谓词和变量 Person = symbols('Person') Age = symbols('Age') Young = Predicate('Young', Age) Old = Predicate('Old', Age) # 定义谓词逻辑公式 formula = And(Exists(Person, Young), ForAll(Person, Old)) # 打印谓词逻辑公式 print(formula) ``` 上述代码中，我们首先引入了Python的谓词逻辑库，并定义了谓词"Young"和"Old"以及变量"Person"和"Age"。然后，我们使用谓词逻辑库提供的函数和方法构建了一个谓词逻辑公式，该公式表示存在一个年轻人和所有人都是老年人的命题。最后，我们使用print函数打印了该谓词逻辑公式。 通过谓词逻辑，我们可以对对象之间的关系和性质进行描述和推理。例如，我们可以使用谓词逻辑来判断一个人是否为年轻人或老年人，或者判断一个集合中是否存在某种特定的关系。
离散数学课后答案详解第二版 离散数学课后答案详解第二版是一本重要的参考书，在学习离散数 学的过程中能够提供很大的帮助。下面就是本书中的一些重要知识点 和解答，希望对各位读者有所帮助。 一、命题逻辑 1.什么是命题？ 命题是用来陈述某个陈述语句真假的陈述句。 2.什么是合取和析取？ 合取是将两个命题连接起来，且要求两者同时成立，符号用“∧”表示；析取是也将两个命题连接起来，但是只要求其中一个成立即可，符号 用“∨”表示。 3.什么是条件和双条件？ 条件是指前者为真则后者为真，否则后者为假，符号用“→”表示；双 条件是指前者为真则后者为真，否则后者为假；同时后者为真则前者 也为真，反之后者为假则前者也为假，符号用“↔”表示。 4.什么是命题公式？
命题公式是用变量、命题连接词和括号构成的表达式，构成命题公式的常常为命题或者是一些常用的命题连接词。 二、谓词逻辑 1.什么是一阶逻辑？ 一阶逻辑是对命题进行量化的扩展。除了命题外，一阶逻辑还包括了“个体”和它们之间的关系，以及用于描述这些关系的“量词”。 2.什么是量词？ 量词包括“存在量词∃”和“全称量词∀”，前者表示存在至少一个使谓词成立的个体，后者表示所有个体都满足该谓词。 3.什么是命题函数？ 命题函数是将数学函数和逻辑命题符号相结合的一种新型命题符号。 4.什么是名词？ 名词是指代对象的标签，它是一般化的名词。例如，女人是一般化的名词，梅丽莎是特定的名词。
三、集合论和图论 1.什么是集合？ 集合是指具有某种共同特征而组成的元素的整体。 2.什么是集合的理论？ 集合的理论是关于集合的性质、关系和操作的一种抽象理论。 3.什么是图？ 图是用来描述一些个体之间的关系的工具，由节点和边构成。其中节点表示个体，边表示个体之间的某种关系。 4.什么是路径？ 路径是指通过边连接一些节点的一系列节点。 四、树和排序 1.什么是树？ 树是一种数据结构，它由一组节点和边构成。节点可以包含数据，边用于连接节点并表示关系。
离散数学项目总结 离散数学项目总结篇1 离散数学项目总结 一、项目背景与目标 离散数学是计算机科学的基础学科，旨在研究离散量的结构和运算。本项目旨在帮助学生掌握离散数学的基本概念、定理和算法，为后续的计算机科学课程打下坚实的基础。项目要求学生对数论、图论、逻辑学、集合论等主题进行深入探究，并运用所学知识解决实际问题。 二、项目内容 1.数论部分：学习整数、有理数、无理数、实数的概念和性质，掌握基本的算术运算规则，探究素数、完全数、平方数等特殊数字的性质。 2.图论部分：学习图的基本概念，如节点、边、子图等，掌握图的种类和性质，如无向图、有向图、连通图等，了解图的算法和应用，如最短路径、最小生成树等。 3.逻辑学部分：学习逻辑学的基本概念，如命题、联结词、推理等，掌握基本的逻辑推理规则，如假言推理、归纳推理等，理解逻辑学在计算机科学中的应用，如形式化验证、程序证明等。 4.集合论部分：学习集合的基本概念，如集合、子集、真子集等，掌握基本的集合运算规则，理解鸽巢原理、容斥原理等集合论定理的应用。 三、项目实施过程 1.学生分组：将学生分为若干小组，每组3-4人，确保每个学生都有机会参与讨论和操作。
2.文献查阅：学生需查阅相关领域的文献，了解离散数学的发展历程和应用领域，为项目实施做好准备。 3.课堂讨论：组织课堂讨论，鼓励学生提出问题，分享学习心得，促进相互学习、共同进步。 4.实验操作：学生需完成相应的实验操作，如编写程序实现图论算法、设计逻辑推理的程序等，以加深对离散数学的理解和应用。 5.成果展示：学生需提交项目报告和演示文稿，展示项目成果，接受教师和同学的提问和评价。 四、项目总结与展望 通过本项目的实施，学生加深了对离散数学的理解和应用，培养了解决问题的能力。在实验操作过程中，学生需要独立思考、灵活运用所学知识，同时加强团队协作能力。在项目成果展示阶段，学生需认真准备，提高口头表达和交流能力。此外，教师可根据学生的学习情况，对离散数学的教学内容和方法进行优化和调整，以更好地满足学生的学习需求。 展望未来，离散数学在计算机科学领域的应用将越来越广泛，如形式化验证、自动推理、人工智能等。教师和学生可以关注离散数学在这些领域的发展动态，进一步拓展离散数学的教学和应用范围，提高学生的学习水平和创新能力。 离散数学项目总结篇2 离散数学项目总结 在本次离散数学项目中，我们主要学习了图论的基本知识，包括图、连通性、最短路径、二部图等概念，并应用这些知识解决了实际问题。通过本次项目，我
离散数学章节总结 第一章 [命题逻辑] 1.逻辑运算 1.否定:Negation¬ NOT 2.交:Conjunction AND 3.并:Disjunction OR 4.蕴含:Implication IMPLIES 5. Biconditional ↔ IFF XOR 2.逆/否/逆否 1.逆:converse 2.否:inverse 3.逆否:conytrapositive 3.问题的一致性 [逻辑等价] →q 等价于¬p q 等价于¬ q→¬p 2. p q 等价于¬p→q p q 等价于¬( p→¬q) 3.(p→q)(p→r) 等价于p→(q r) (p→r)(q→r) 等价于(p q)→r (p→r)(q→r)等价于(p q) →r 4.证明等价: 真值表逻辑符号证明找反例(假设左为假右必为假假设右为假左必为假) [ 谓词逻辑]
1.量词存在 任意 量词顺序不能随机改变 不全为真:(p1p2…p n) (p1p2…p n) x P(x ) x P(x ) 没有一个为真:(p1p2…p n) (p1p2…p n) x P(x ) x P(x ) [ 推理]
[ 证明] 1.证明方法:直接证明 间接证明 反证 列举证明(列举所有情况) 构造证明(构造出满足结论的元素) 2.证明步骤:正向证明 反向证明 第二章 [ 集合及运算] 1.特殊集合: R Q Z 无穷/有限集 2.集合表述方法: 列举法 描述法 图表法 3.集合运算: 交/并/补/差/取子集P(S)/元素数|S|/乘积P ×Q / B A B A B A B A ⋃=⋂⋂=⋃Y n i i A 1 =Y X A A ∈I n i i A 1=I X A A ∈ 容斥原理 A i i =1 n U = A i 1≤i ≤n ∑- A i ⋂A j 1≤i 离散数学谓词 离散数学是一门研究离散对象和离散结构的数学分支，是计算机科学中的基础课程之一。谓词是离散数学中的一个重要概念，本文将介绍谓词的概念、性质、表示方法、逻辑联结词和量化符号。 一、谓词的概念 谓词是用来描述某些对象的性质的一种符号。常用的谓词有“是”、“属于”、“含有”等等。例如，对于集合A={1,2,3}，可以定义一个谓词P(x)，表示x是A中的元素。则P(1)、P(2)、P(3)为真，而P(4)为假。 谓词可以有多个自变量，例如，对于两个正整数x和y，可以定义一个谓词R(x,y)，表示x是y的因子。则R(1,5)、R(2,10)、R(5,25)为真，而R(3,5)、R(4,10)、R(6,25)为假。 二、谓词的性质 1. 谓词的真值只能是真或假，不能是其他值。 2. 谓词的真值取决于自变量的取值。 3. 谓词可以用逆否命题、否命题、等价命题、充分条件等概念进行推理。 三、谓词的表示方法 1. 用符号表示，谓词一般用大写字母表示，例如，P(x)、Q(x,y)。 2. 用语言表示，例如，对于集合A={1,2,3}，可以用语言表示为“x是A中的元素”。 3. 用图形表示，例如，对于一个人集合P，可以用图形表示为： 四、逻辑联结词 逻辑联结词是用来连接两个或多个命题的词语，例如，“与”、“或”、“非”等。在离散数学中，逻辑联结词常用于对谓词进行逻辑推理。 1. 与（$\land$）：表示“且”，两个命题都为真时，结果为真，否则结果为假。 五、量化符号 量化符号是用来表达命题中“每个”或“存在”的词语，是谓词逻辑中的一个重要概念。常用的量化符号有全称量词和存在量词。 总结离散数学知识点 第二章命题逻辑 1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假； 2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积； 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写； 6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项； 7.n个变元共有n2个极小项或极大项，这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取； 8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法：P规则，T规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法； 第三章谓词逻辑 1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系； 2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词； 第四章集合 1.N，表示自然数集，1,2,3……，不包括0； 2.基：集合A中不同元素的个数，|A|； 3.幂集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A)； 4.若集合A有n个元素，幂集P(A)有n2个元素，|P(A)|=||2A=n2； 5.集合的分划：(等价关系) ①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合； ②这几个子集相交为空，相并为全(A)； 6.集合的分划与覆盖的比较： 分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次； 第五章关系 1.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔A×B的基数为 2种不同的关系； mn，A到B上可以定义mn 2.若集合A有n个元素，则|A×A|=2n，A上有22n个不同的关系； 3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性； 空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性； 第五章谓词逻辑 习题5.1 1. a)每个自然数都有唯一的后继； 解：“每个”是全称的概念；“自然数”需引进一个特性谓词；“有”表示存在；“唯一”表示所有具有该性质的元素均相等（即若x具有该性质，y也具有该性质，则x等于y）；“后继”用谓词表示。于是，可令： N(x)：x是自然数； Q(x, y)：y是x的后继； E(x, y)：x等于y； 则上述命题可以符号化为： (∀ x) ( N ( x ) → (∃ y) (Q ( x, y ) ∧ (∀ z) (Q ( x, z ) → E ( y, z ) ) b) 没有以0为后继的自然数； 解：“没有”表示不存在；“自然数”用特性谓词表示；“后继”用谓词表示。于是，可令：N(x)：x是自然数； Q(x, y)：y是x的后继； 则上述命题可以符号化为： ⌝ (∃ x)( N ( x ) ∧ Q ( x, 0 ) ) 注意：①对于引进的特性谓词，在全称量词约束下要用逻辑联结词“→”，在存在量词约束下要用逻辑联结词“∧”。 ②“唯一”概念的符号化。 2. a)存在唯一的偶素数； 解：“存在”是存在量词的概念；“唯一”可参照上题；“偶数”、“素数”用谓词表示。于是，可令： E(x)：x是偶数； S(x)：x是素数； R(x, y)：x等于y； 则上述命题可以符号化为： (∃ x) ( E ( x ) ∧ S ( x ) ∧ (∀ y) ( E ( y ) ∧ S ( y ) → R ( x, y ) ) b)没有既是奇数又是偶数的数； 解：“没有”表示不存在；“奇数”、“偶数”、“数”用谓词表示。于是，可令： O(x)：x是奇数； E(x)：x是偶数； Q(x)：x是数； 离散数学部分概念和公式总结 命题：称能判断真假的陈述句为命题。 命题公式：若在复合命题中，p、q、r等不仅可以代表命题常项，还可以代表命题变项，这样的复合命题形式称为命题公式。 命题的赋值：设A为一命题公式，p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。给p ,p ,…,p 指定一组真值，称为对A的一个赋值或解释。若指定的一组值使A的值为真，则称成真赋值。 真值表：含n（n≥1）个命题变项的命题公式，共有2^n组赋值。将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表，称为A的真值表。 命题公式的类型：（1）若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。 （2）若A在它的赋值下取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。 （3）若A至少存在一组赋值是成真赋值，则A是可满足式。 主析取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式。 主合取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项，则称该析取范式为A的主析取范式。 命题的等值式：设A、B为两命题公式，若等价式A?B是重言式，则称A与B 是等值的，记作A<=>B。 约束变元和自由变元：在合式公式xA和 xA中，称x为指导变项，称A为相应量词的辖域，x称为约束变元，x的出现称为约束出现，A中其他出现称为自由出现（自由变元）。 一阶逻辑等值式：设A，B是一阶逻辑中任意的两公式，若A?B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A<=>B，称A<=>B为等值式。 前束范式：设A为一谓词公式，若A具有如下形式Q1x1Q2x2Qk…xkB，称A 为前束范式。 集合的基本运算：并、交、差、相对补和对称差运算。 笛卡尔积：设A和B为集合，用A中元素为第一元素，用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记为A×B。 二元关系：如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对，则称集合R是一个二元关系。 特殊关系：（1）、空关系：Φ（2）全域关系：EA={ 第二章谓词逻辑 2—1基本概念 例题１. 所有的自然数都是整数。 设N(x)：x是自然数。I(x)：x是整数。此命题可以写成∀x(N(x)→I(x)) 例题２. 有些自然数是偶数。 设E(x)：x是偶数。此命题可以写成∃x(N(x)∧E(x)) 例题3. 每个人都有一个生母。 设P(x):x是个人。M(x,y):y是x的生母。此命题可以写成：∀x(P(x)→∃y(P(y)∧M(x,y))) 2-2 谓词公式及命题符号化 例题1. 如果x是奇数，则2x是偶数。 其中客体x与客体2x之间就有函数关系，可以设客体函数g(x)=2x， 谓词O(x)：x是奇数，E(x)：x是偶数， 则此命题可以表示为：∀x(O(x)→E(g(x))) 例题2 小王的父亲是个医生。 设函数f(x)=x的父亲，谓词D(x):x是个医生，a:小王，此命题可以表示为D(f(a))。 例题3 如果x和y都是奇数，则x+y是偶数。 设h(x,y)=x+y ，此命题可以表示为:∀x∀y((O(x)∧O(y))→E(h(x,y)) 命题的符号表达式与论域有关系 两个公式：一般地，设论域为{a1,a2,....,an}，则有 (1). ∀xA(x)⇔A(a1)∧A(a2)∧......∧A(an) (2). ∃xB(x)⇔B(a1)∨B(a2)∨......∨B(an) 1.每个自然数都是整数。该命题的真值是真的。 表达式∀x(N(x)→I(x))在全总个体域的真值是真的,因∀x(N(x)→I(x))⇔(N(a1)→I(a1))∧(N(a2)→I(a2))∧…∧(N(an)→I(an)) 式中的x不论用自然数客体代入，还是用非自然数客体代入均为真。例如(N(0.1)→I(0.1))也为真。 而∀x(N(x)∧I(x))在全总个体域却不是永真式。 ∀x(N(x)∧I(x))⇔(N(a1)∧I(a1))∧(N(a2)∧I(a2)) ∧…∧(N(an)∧I(an)) 比如x用0.2代入(N(0.2)∧I(0.2))就为假。所以此表达式不能表示这个命题。 2.有些大学生吸烟。此命题的真值也是真的。 ∃x(S(x)∧A(x))⇔(S(a1)∧A(a1))∨(S(a2)∧A(a2))∨…∨(S(an)∧A(an)) 且x只有用吸烟的大学生代入才为真，例如a2不是大学生 或者不会吸烟的客体，则(S(a2)∧A(a2))为假。所以用∃x(S(x)∧A(x))表示此命题是对的。 而∃x(S(x)→A(x))中的x用非大学生的客体代入时也为真，例如(S(a2)→A(a2))为真。所以表达式∃x(S(x)→A(x))不能表示这个命题。 3.所有大学生都喜欢一些歌星。 令S(x)：x是大学生，X(x)：x是歌星，L(x,y)：x喜欢y。则命题的表达式为： ∀x(S(x)→∃y(X(y)∧L(x,y))) 4.没有不犯错误的人。 此话就是“没有人不犯错误”，“没有”就是“不存在”之意。令P(x)：x是人，F(x)：x犯错误，此命题的表达式为：⌝∃x(P(x)∧⌝F(x)) 或者∀x(P(x)→F(x)) 5.不是所有的自然数都是偶数。 令N(x)：x是自然数，E(x)：x是偶数，命题的表达式为: ⌝∀x(N(x)→E(x)) 或者∃x(N(x)∧⌝E(x))离散数学谓词
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