2023年高考数学总复习：推理与证明(附答案解析)

2023年高考数学总复习：推理与证明一．选择题（共8小题）1．（2019春•上饶期末）观察下列等式，13+23＝32，13+23+33＝62，13+23+33+43＝102，根据上述规律，13+23+33+43+53+63＝（）A．192B．202C．212D．2222．（2016春•遵义期末）下面几种推理是合情推理的是（）（1）由圆的性质类比出球的有关性质；（2）由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；（3）某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；（4）三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是（n﹣2）•180°．A．（1）（2）B．（1）（3）C．（1）（2）（4）D．（2）（4）3．（2015•呼和浩特二模）设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体S﹣ABC的体积为V，则R＝（）A．B．C．D．4．（2019•新课标Ⅱ）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（）A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙5．（2016•北京）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多6．（2019春•慈溪市期中）用反证法证明“已知x，y∈R，x2+y2＝0，求证：x＝y＝0．”时，应假设（）A．x≠y≠0B．x＝y≠0C．x≠0且y≠0D．x≠0或y≠0 7．（2021春•辽源期末）证明不等式的最适合的方法是（）A．综合法B．分析法C．间接证法D．合情推理法8．（2015•上海二模）用反证法证明命题：“已知a、b∈N+，如果ab可被5整除，那么a、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（）A．a、b都能被5整除B．a、b都不能被5整除C．a、b不都能被5整除D．a不能被5整除二．填空题（共4小题）9．（2014•新课标Ⅰ）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．10．（2016•潍坊一模）观察式子，…，则可归纳出．11．（2021•凉州区校级模拟）学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“A作品获得一等奖”；乙说：“C作品获得一等奖”丙说：“B，D两项作品未获得一等奖”丁说：“是A或D作品获得一等奖”若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是．12．（2019春•常州期中）著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是．三．解答题（共4小题）13．（2017春•驻马店期末）设非等腰△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，用分析法证明：＝．14．（2019春•宁德期中）已知函数，（Ⅰ）分别求f（0）+f（1），f（﹣1）+f（2），f（﹣2）+f（3）的值；（Ⅱ）由上题归纳出一个一般性结论，并给出证明．15．（2020秋•义乌市期末）观察下列各等式：tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°＝1tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan40°tan20°＝1tan33°tan44°+tan44°tan13°+tan33°tan13°＝1（1）尝试再写出一个相同规律的式子；（2）写出能反映以上式子一般规律的恒等式；（3）并对你写出的（2）恒等式进行证明．16．（2020秋•泉山区校级期末）在平面几何中，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2＝BC2．”拓展到空间，类比平面几何中的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥P﹣ABC中的三个侧面P AB，PBC，P AC两两相互垂直，则____．”请将上述结论补充完整，并给出证明．2023年高考数学总复习：推理与证明参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2019春•上饶期末）观察下列等式，13+23＝32，13+23+33＝62，13+23+33+43＝102，根据上述规律，13+23+33+43+53+63＝（）A．192B．202C．212D．222【考点】归纳推理．【专题】计算题；逻辑推理．【分析】解答此类的方法是从特殊的前几个式子进行分析找出规律．观察前几个式子的变化规律，发现每一个等式左边为立方和，右边为平方的形式，且左边的底数在增加，右边的底数也在增加．从中找规律性即可．【解答】解：∵所给等式左边的底数依次分别为1，2；1，2，3；1，2，3，4；右边的底数依次分别为3，6，10，（注意：这里3+3＝6，6+4＝10），∴由底数内在规律可知：第五个等式左边的底数为1，2，3，4，5，6，右边的底数为10+5+6＝21．又左边为立方和，右边为平方的形式，故有13+23+33+43+53+63＝212．故选：C．【点评】本题考查了，所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．它与演绎推理的思维进程不同．归纳推理的思维进程是从个别到一般，而演绎推理的思维进程不是从个别到一般，是一个必然地得出的思维进程．属于基础题．2．（2016春•遵义期末）下面几种推理是合情推理的是（）（1）由圆的性质类比出球的有关性质；（2）由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；（3）某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；（4）三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是（n﹣2）•180°．A．（1）（2）B．（1）（3）C．（1）（2）（4）D．（2）（4）【考点】合情推理的含义与作用．【专题】阅读型；逻辑推理．【分析】本题考查的是合情推理、演绎推理的定义，判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程，类比推理的是看是否符合类比推理的定义．【解答】解：（1）为类比推理，在推理过程由圆的性质类比出球的有关性质．（2）为归纳推理，关键是看他直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°推出所有三角形的内角和都是180°，符合归纳推理的定义，即是由特殊到一般的推理过程．（3）不是合情推理，是由个别到全体的推理过程．（4）为归纳推理故选：C．【点评】判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，能否从推理过程中找出“三段论”的三个组成部分．3．（2015•呼和浩特二模）设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体S﹣ABC的体积为V，则R＝（）A．B．C．D．【考点】类比推理．【专题】探究型．【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为∴R＝故选：C．【点评】类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．4．（2019•新课标Ⅱ）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（）A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙【考点】进行简单的合情推理．【专题】综合题；分析法；推理和证明；逻辑推理．【分析】本题可从三人预测中互相关联的乙、丙两人的预测入手，因为只有一个人预测正确，而乙对则丙必对，丙对乙很有可能对，假设丙对乙错则会引起矛盾故只有一种情况就是甲预测正确乙、丙错误，从而得出结果．【解答】解：由题意，可把三人的预测简写如下：甲：甲＞乙．乙：丙＞乙且丙＞甲．丙：丙＞乙．∵只有一个人预测正确，∴分析三人的预测，可知：乙、丙的预测不正确．如果乙预测正确，则丙预测正确，不符合题意．如果丙预测正确，假设甲、乙预测不正确，则有丙＞乙，乙＞甲，∵乙预测不正确，而丙＞乙正确，∴只有丙＞甲不正确，∴甲＞丙，这与丙＞乙，乙＞甲矛盾．不符合题意．∴只有甲预测正确，乙、丙预测不正确，甲＞乙，乙＞丙．故选：A．【点评】本题主要考查合情推理，因为只有一个人预测正确，所以本题关键是要找到互相关联的两个预测入手就可找出矛盾．从而得出正确结果．本题属基础题．5．（2016•北京）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【考点】演绎推理．【专题】推理和证明．【分析】分析理解题意：乙中放红球，则甲中也肯定是放红球；往丙中放球的前提是放入甲中的不是红球，据此可以从乙中的红球个数为切入点进行分析．【解答】解：取两个球共有4种情况：①红+红，则乙盒中红球数加1个；②黑+黑，则丙盒中黑球数加1个；③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加1个；④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加1个．设一共有球2a个，则a个红球，a个黑球，甲中球的总个数为a，其中红球x个，黑球y 个，x+y＝a．则乙中有x个球，其中k个红球，j个黑球，k+j＝x；丙中有y个球，其中1个红球，i个黑球，i+l＝y；黑球总数a＝y+i+j，又x+y＝a，故x＝i+j由于x＝k+j，所以可得i＝k，即乙中的红球等于丙中的黑球．故选：B．法二：若袋中有两个球，则红球、黑球各一个，若红球放在甲盒，则黑球放在乙盒，丙盒中没有球，此时乙盒中黑球多于丙盒中黑球，乙盒中黑球比丙盒中红球多，故可排除A，D；若袋中有四个球，则红球、黑球各两个，若取出两个红球，则红球一个放在甲盒，余下一个放在乙盒，再取出余下的两个黑球，一个放在甲盒，则余下一个放在丙盒，所以甲盒中一红一黑，乙盒中一个红球，丙盒中一个黑球，此时乙盒中红球比丙盒中红球多，排除C．故选：B．【点评】该题考查了推理与证明，重点是找到切入点逐步进行分析，对学生的逻辑思维能力有一定要求，中档题6．（2019春•慈溪市期中）用反证法证明“已知x，y∈R，x2+y2＝0，求证：x＝y＝0．”时，应假设（）A．x≠y≠0B．x＝y≠0C．x≠0且y≠0D．x≠0或y≠0【考点】分析法和综合法；反证法．【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．反面有多种情况，需一一否定．【解答】解：用反证法证明“已知x，y∈R，x2+y2＝0，求证：x＝y＝0．”时，应先假设x≠0或y≠0．故选：D．【点评】此题主要考查了反证法的第一步，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．7．（2021春•辽源期末）证明不等式的最适合的方法是（）A．综合法B．分析法C．间接证法D．合情推理法【考点】分析法和综合法．【专题】不等式的解法及应用；逻辑推理．【分析】要证原不等式成立，只要证＜，即证9+2＜9+2，故只要证＜，即证14＜18，此种证明方法是分析法．【解答】解：要证明不等式，只要证＜，即证9+2＜9+2，故只要证＜，即证14＜18．以上证明不等式所用的最适合的方法是分析法．故选：B．【点评】本题考查的是分析法和综合法，解答此题的关键是熟知比较大小的方法．从求证的不等式出发，“由果索因”，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件，分析法──通过对事物原因或结果的周密分析，从而证明论点的正确性、合理性的论证方法．也称为因果分析，属于中档题．8．（2015•上海二模）用反证法证明命题：“已知a、b∈N+，如果ab可被5整除，那么a、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（）A．a、b都能被5整除B．a、b都不能被5整除C．a、b不都能被5整除D．a不能被5整除【考点】反证法．【专题】推理和证明．【分析】反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的．【解答】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”．故选：B．【点评】反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧．二．填空题（共4小题）9．（2014•新课标Ⅰ）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为A．【考点】进行简单的合情推理．【专题】推理和证明．【分析】可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论．【解答】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A．故答案为：A．【点评】本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．10．（2016•潍坊一模）观察式子，…，则可归纳出（n≥1）．【考点】归纳推理．【专题】阅读型．【分析】根据已知中，分析左边式子中的数与右边式子中的数之间的关系，由此可写出结果．【解答】解：根据题意，每个不等式的右边的分母是n+1．不等号右边的分子是2n+1，∴1+…+＜（n≥1）．故答案为：（n≥1）．【点评】本题考查归纳推理．归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．11．（2021•凉州区校级模拟）学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“A作品获得一等奖”；乙说：“C作品获得一等奖”丙说：“B，D两项作品未获得一等奖”丁说：“是A或D作品获得一等奖”若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是C．【考点】进行简单的合情推理．【专题】对应思想；转化法；推理和证明．【分析】根据题意，依次假设参赛的作品为A、B、C、D，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断．【解答】解：根据题意，A，B，C，D作品进行评奖，只评一项一等奖，假设参赛的作品A为一等奖，则甲、丙，丁的说法都正确，乙错误，不符合题意；假设参赛的作品B为一等奖，则甲、乙、丙、丁的说法都错误，不符合题意；假设参赛的作品C为一等奖，则乙，丙的说法正确，甲、丁的说法错误，符合题意；假设参赛的作品D为一等奖，则甲、乙，丙的说法都错误，丁的说法正确，不符合题意；故获得参赛的作品C为一等奖；故答案为：C．【点评】本题考查了合情推理的问题，注意“这四位同学中有两位说的话是对的”的这一条件．验证法的应用．12．（2019春•常州期中）著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和．【考点】反证法．【专题】对应思想；反证法；推理和证明．【分析】根据反证法的定义对结论进行假设即可．【解答】解：由反证法的定义得假设的内容为存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和，故答案为：存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和【点评】本题主要考查反证法的应用，结合反证法的定义和步骤是解决本题的关键．比较基础．三．解答题（共4小题）13．（2017春•驻马店期末）设非等腰△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，用分析法证明：＝．【考点】分析法和综合法．【专题】综合题；转化思想；分析法；推理和证明．【分析】用分析法证明，结合余弦定理可得结论．【解答】证明：要证明：＝，只要证明＝，只要证明（a+c﹣2b）（a﹣b+c）＝3（a﹣b）（c﹣b），只要证明（a+c﹣b）2﹣b（a+c﹣b）＝3（ac+b2﹣bc﹣ab），只要证明b2＝a2+c2﹣ac，只要证明，只要证明B＝60°，只要证明A、B、C成等差数列，故结论成立．【点评】本题主要考查了等差关系、余弦定理的应用和解三角形问题．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．14．（2019春•宁德期中）已知函数，（Ⅰ）分别求f（0）+f（1），f（﹣1）+f（2），f（﹣2）+f（3）的值；（Ⅱ）由上题归纳出一个一般性结论，并给出证明．【考点】归纳推理．【专题】计算题；对应思想；转化法；推理和证明．【分析】（Ⅰ）利用条件，求f（0）+f（1），f（﹣1）+f（2），f（﹣2）+f（3），（Ⅱ）归纳猜想一般性结论，利用指数的性质给出证明．【解答】解：（Ⅰ）；同理；．（Ⅱ）由此猜想：当x1+x2＝1时，．证明：设x1+x2＝1，则，故猜想成立．【点评】本题考查归纳推理，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳猜想是关键．15．（2020秋•义乌市期末）观察下列各等式：tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°＝1tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan40°tan20°＝1tan33°tan44°+tan44°tan13°+tan33°tan13°＝1（1）尝试再写出一个相同规律的式子；（2）写出能反映以上式子一般规律的恒等式；（3）并对你写出的（2）恒等式进行证明．【考点】归纳推理．【专题】证明题；综合题；综合法；三角函数的求值；逻辑推理；数学运算．【分析】（1）根据所给的三个等式，可猜想并证明tan30°tan45°+tan45°tan15°+tan30°tan15°＝1；（2）若，则tanαtanβ+tanβtanγ+tanβtanγ＝1．（3）利用诱导公式及两角和的正切公式，即可证明（2）的猜想是正确的．【解答】解：（1）∵tan30°tan45°+tan45°tan15°+tan30°tan15°＝+1×tan（45°﹣30°）+×tan（45°﹣30°）＝++×＝+（）+（）＝1，故tan30°tan45°+tan45°tan15°+tan30°tan15°＝1．（2）若，则tanαtanβ+tanβtanγ+tanβtanγ＝1．（3）∵tan（﹣γ）＝＝＝，又，∴tan（α+β）×tanγ＝＝1，整理得tanαtanβ+tanβtanγ+tanβtanγ＝1．【点评】本题考查归纳推理及三角函数的诱导公式、和角公式，涉及的公式较多，熟练掌握双基是解答本题的关键，本题考查了推理论证能力及运算能力．16．（2020秋•泉山区校级期末）在平面几何中，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2＝BC2．”拓展到空间，类比平面几何中的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥P﹣ABC中的三个侧面P AB，PBC，P AC两两相互垂直，则____．”请将上述结论补充完整，并给出证明．【考点】类比推理．【专题】转化思想；数形结合法；综合法；简易逻辑；逻辑推理．【分析】斜边的平方等于两个直角边的平方和，可类比到空间就是斜面面积的平方等于三个直角面的面积的平方和，边对应着面．【解答】解：线的关系类比到面的关系，猜测：S△BCD2＝S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2．证明如下：如图作AE⊥CD连BE，则BE⊥CD．S△BCD2＝CD2•BE2＝CD2（AB2+AE2）＝（AC2+AD2）（AB2+AE2）＝（AC2AB2+AD2AB2+AC2AE2+AD2AE2）＝（AC2AB2+AD2AB2+CD2AE2）＝S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2，故答案为：S△BCD2＝S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2．【点评】本题主要考查学生的知识量和知识的迁移类比等基本能力，体现了数形结合的数学思想．。