高考数学二轮总复习专题训练十四 推理与证明 理

2012高考真题分类汇编：推理与证明1.【2012高考真题江西理6】观察下列各式：221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+= 则1010a b +=A ．28B ．76C ．123D ．199 【答案】C【命题立意】本题考查合情推理中的归纳推理以及递推数列的通项公式。

【解析】等式右面的数构成一个数列1,3,4,7,11，数列的前两项相加后面的项，即21++=+n n n a a a ，所以可推出12310=a ，选C.2.【2012高考真题全国卷理12】正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝73.动点P 从E 出发沿直线喜爱那个F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 （A ）16（B ）14（C ）12(D)10 【答案】B【解析】结合已知中的点E,F 的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA 点时，需要碰撞14次即可.3.【2012高考真题湖北理10】我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d的一个近似公式d ≈. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159 判断，下列近似公式中最精确的一个是11.d ≈ B．d C．d ≈ D．d ≈ 【答案】D 【解析】346b 69()d ,===3.37532b 16616157611==3==3.14,==3.142857230021d a V A a B D πππππππ⨯==⨯⨯⨯由，得设选项中常数为则；中代入得，中代入得，C 中代入得中代入得，由于D 中值最接近的真实值，故选择D 。

【科学备考】（新课标）2015高考数学二轮复习第十四章推理与证明理（含2014试题）理数1.(2014山东,4,5分)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是()A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根[答案] 1.A[解析] 1.因为“方程x3+ax+b=0至少有一个实根”等价于“方程x3+ax+b=0的实根的个数大于或等于1”,因此,要做的假设是方程x3+ax+b=0没有实根.2.(2014北京,8,5分)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有()A.2人B.3人C.4人D.5人[答案] 2.B[解析] 2.设学生人数为n,因为成绩评定只有“优秀”“合格”“不合格”三种情况,所以当n≥4时,语文成绩至少有两人相同,若此两人数学成绩也相同,与“任意两人成绩不全相同”矛盾;若此两人数学成绩不同,则此两人有一人比另一人成绩好,也不满足条件.因此:n<4,即n≤3.当n=3时,评定结果分别为“优秀,不合格”“合格,合格”“不合格,优秀”,符合题意,故n=3,选B.3. （2014广东汕头普通高考模拟考试试题，8）设）为平面直角坐标系上的两点，其中. 令, , 若, 且，则称点B为点A的“相关点” ，记作：, 已知）为平面上一个定点，平面上点列满足：=，且点的坐标为，其中, 则点的相关点” 有（）个A. 4B. 6C. 8D. 10[答案] 3.C[解析] 3. 因为为非零整数）故或，所以点的相关点有8个.4.(2014陕西,15(B),5分)B.(几何证明选做题)如图,△ABC中,BC=6,以BC为直径的半圆分别交AB,AC于点E,F,若AC=2AE,则EF=________.[答案] 4.3[解析] 4.∵四边形BCFE内接于圆,∴∠AEF=∠ACB,又∠A为公共角,∴△AEF∽△ACB,∴=,又∵BC=6,AC=2AE.∴EF=3.:________________.[答案] 5.F+V-E=2[解析] 5.观察表中数据,并计算F+V分别为11,12,14,又其对应E分别为9,10,12,容易观察并猜想F+V-E=2.6.(2014课表全国Ⅰ，14，5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为________.[答案] 6.A[解析] 6.由于甲、乙、丙三人去过同一城市,而甲没有去过B城市,乙没有去过C城市,因此三人去过同一城市应为A,而甲去过的城市比乙多,但没去过B城市,所以甲去过的城市数应为2,乙去过的城市应为A.7. (2014福州高中毕业班质量检测, 15) 已知函数, 若数列满足, 且的前项和为, = .[答案] 7. 8042[解析] 7. 依题意，，，，，，，，，…所以，，猜想，所以.8. (2014湖北黄冈高三4月模拟考试，14) 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1,1, 2,3, 5,8, 13，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，该书咧是一个非常美丽和谐的数列. 有很多奇妙的属性. 比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887…，人们称该数列为“斐波那契数列”. 若把该数列的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列，在数列中第2014项的值为；数列中，第2014个值为1的项的序号是. [答案] 8. 3 4027[解析] 8. 因为是周期为6的周期数列，前6项为：1，1，2，3，1，0，所以第2014=6×335+4项的值是3；因为每个周期内含有三个1，2014=3×671+1，所以第2014个值为1的项的序号是6×671+1=4027.9. (2014黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，13) 已知，由不等式，,，归纳得到推广结论：，则实数________.[答案] 9.[解析] 9. 又已知不等式得到的推广结论，得当时；当时；当时；…；由归纳推理可知，.10.（2014江西红色六校高三第二次联考理数试题，13）对任意正整数，定义的双阶乘如下：当为偶数时，；当为奇数时，`。

高考数学《推理与证明》课后练习一、选择题1．已知()sin cos f x x x =-，定义1()()f x f x '=，[]'21()()f x f x =，…[]1()()n n f x f x '+=，（*n N ∈），经计算，1()cos sin f x x x =+，2()sin cos f x x x =-+，3()cos sin f x x x =--，…，照此规律，2019()f x =（ ）A ．cos sin x x --B ．cos sin x x -C ．sin cos x x +D ．cos sin x x -+【答案】A 【解析】 【分析】根据归纳推理进行求解即可． 【详解】解：由题意知：()sin cos f x x x =-，1()()cos sin f x f x x x '==+，[]1'2()()sin cos f x f x x x ==-+， []'23()()cos sin f x f x x x ==--， []'34()()sin cos f x f x x x ==-，L照此规律，可知：[]'201923()()co )s (s in f x f x x x f x ==--=，故选：A. 【点睛】本题考查函数值的计算，利用归纳推理是解决本题的关键．2．二维空间中圆的一维测度(周长)2lr π=，二维测度(面积)2S r π=；三维空间中球的二维测度(表面积)24S r π=，三维测度(体积)343V r π=.若四维空间中“超球”的三维测度38V r π=，猜想其四维测度W =（ ）A ．42r πB ．43r πC ．44r πD ．46r π【答案】A 【解析】分析：由题意结合所给的性质进行类比推理即可确定四维测度W .详解：结合所给的测度定义可得：在同维空间中，1n +维测度关于r 求导可得n 维测度， 结合“超球”的三维测度38V r π=，可得其四维测度42W r π=. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查类比推理，导数的简单应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．已知点(10,3)P 在椭圆222:199x y C a +=上.若点()00,N x y 在圆222:M x y r +=上，则圆M 过点N 的切线方程为200x x y y r +=.由此类比得椭圆C 在点P 处的切线方程为（ ）A ．13311x y +=B ．111099x y += C ．11133x y += D ．199110x y += 【答案】C 【解析】【分析】先根据点在椭圆上，求得2a ，再类比可得切线方程. 【详解】因为点(10,3)P 在椭圆222:199x y C a +=上，故可得21009199a +=，解得2110a =； 由类比可得椭圆C 在点P 处的切线方程为：103111099x y +=，整理可得11133x y+=. 故选：C. 【点睛】本题考查由椭圆上一点的坐标求椭圆方程，以及类比法的应用，属综合基础题.4．观察下列各式：a+b=1.a 2+b 2=3，a 3+b 3=4 ，a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…，则a 10+b 10=（ ） A ．28 B ．76C ．123D ．199【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 由题观察可发现，347,4711,71118+=+=+=，111829,182947+=+=， 294776,4776123+=+=，即1010123a b +=, 故选C.考点：观察和归纳推理能力.5．若数列{}n a 是等差数列，则数列12nn a a a b n++⋯+=也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{}n c 是等比数列，且n d 也是等比数列，则n d 的表达式应为( ) A ．12nn c c c d n++⋯+=B ．12nn c c c d n⋅⋅⋯⋅=C ．n d =D ．n d =【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式，等比数列的通项公式，即可得到结论． 【详解】解：Q 数列{}n a 是等差数列，则()12112n n na a a a d n -++⋯++=，∴数列12112n n a a a n b a d n ++⋯+-==+也为等差数列Q 正项数列{}n c 是等比数列，设首项为1c ，公比为q ，则()112121111n n nn n c c c c c q c q c q--⋅⋅⋯⋅⋅⋅⋯==⋅∴121n n d c q-=∴n d =故选：D ． 【点睛】本题考查类比推理，解题的关键是掌握好类比推理的定义及等差等比数列之间的共性，由此得出类比的结论即可．6．已知数列{}n a 满足132n n a -=⨯，*n N ∈，现将该数列按下图规律排成蛇形数阵（第i行有i 个数，*i N ∈），从左至右第i 行第j 个数记为(),i j a （*,i j N ∈且j i ≤），则()21,20a =（ ）A ．20932⨯B ．21032⨯C ．21132⨯D ．21232⨯【答案】C 【解析】 【分析】由题可观察得到第i 行有i 个数,当i 为奇数时,该行由右至左i 逐渐增大,()21,20a 表示第21行第20个数,即为第21行倒数第2个数,则先求得前20行的数的个数,再加2即为()21,20a 对应的数列的项,即可求解. 【详解】由题可知,第i 行有i 个数,当i 为奇数时,该行由右至左i 逐渐增大,()21,20a 表示第21行第20个数,即为第21行倒数第2个数,则前20行共有()1+2020=2102⨯个数,即第21行倒数第1个数为211a,所以()21121221,2032a a ==⨯,故选:C 【点睛】本题考查合情推理,考查归纳总结能力,考查等差数列求和公式的应用.7．观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -= A ．()f x B ．()f x -C ．()g xD ．()g x -【答案】D 【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为()f x 是偶函数，则()()g x f x '=是奇函数，所以()()g x g x -=-，应选答案D ．8．已知0x >，不等式12x x +≥，243x x +≥，3274x x+≥，…，可推广为1n ax n x+≥+ ，则a 的值为( )A ．2nB ．n nC ．2nD ．222n -【答案】B 【解析】 【分析】由题意归纳推理得到a 的值即可. 【详解】由题意，当分母的指数为1时，分子为111=； 当分母的指数为2时，分子为224=； 当分母的指数为3时，分子为3327=； 据此归纳可得：1n ax n x+≥+中，a 的值为n n . 本题选择B 选项. 【点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．9．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-= 【答案】C 【解析】 【分析】根据合情推理与演绎推理的概念，得到A 是归纳推理，B 是归纳推理，C 是演绎推理，D 是类比推理，即可求解． 【详解】根据合情推理与演绎推理的概念，可得:对于A 中， 由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电，属于归纳推理； 对于B 中， 猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+，属于归纳推理，不是演绎推理；对于C 中，半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=，属于演绎推理； 对于D 中， 由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-=，属于类比推理， 综上，可演绎推理的C 项，故选C ． 【点睛】本题主要考查了合情推理与演绎推理的概念及判定，其中解答中熟记合情推理和演绎推理的概念，以及推理的规则是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．10．2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下： 小明说：“鸿福齐天”是我制作的；小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的； 小金说：“兴国之路”不是我制作的，若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是（ ） A ．小明 B ．小红C ．小金D ．小金或小明【答案】B 【解析】 【分析】将三个人制作的所有情况列举出来，再一一论证. 【详解】依题意，三个人制作的所有情况如下所示：若小明的说法正确，则均不满足；若小红的说法正确，则4满足；若小金的说法正确，则3满足.故“鸿福齐天”的制作者是小红， 故选：B. 【点睛】本题考查推理与证明，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于基础题.11．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（）A．甲走桃花峪登山线路B．乙走红门盘道徒步线路C．丙走桃花峪登山线路D．甲走天烛峰登山线路【答案】D【解析】【分析】甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可.【详解】若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确.综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路故选：D【点睛】本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型.12．山城发生一起入室盗窃案，经警方初步调查，锁定为甲、乙、丙、丁四人中的一人所盗，经审讯，四人笔录如下，甲说：“是丁盗的”；乙说：“是甲、丁两人中的一人盗的”；丙说：“甲说的正确”；丁说：“与我无关，是他们三人中的一人盗的”，后经进一步调查发现四人中只有两人说了真话，由此可判断盗窃者是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】A【解析】【分析】分别假设甲、乙、丙、丁是罪犯，依次分析四人的供词，由两人说的是真话，两人说的是假话，能判断出结果．【详解】①假设盗窃者是甲，则甲说了假话，乙说了真话，丙说了假话，丁说了真话，合乎题意；②假设盗窃者是乙，则甲说了假话，乙说了假话，丙说了假话，丁说了真话，不合乎题意；③假设盗窃者是丙，则甲说了假话，乙说了假话，丙说了假话，丁说了真话，不合乎题意；④假设盗窃者是丁，则甲说了真话，乙说了真话，丙说了真话，丁说了假话，不合乎题意. 综上所述，盗窃者是甲. 故选：A. 【点睛】本题考查罪犯的判断，考查合情推理等基础知识，考查分类讨论思想的应用，是中等题．13．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近()lg 20.3≈（ ）A ．30010B ．40010C ．50010D ．60010【答案】A 【解析】 【分析】结合所给数字特征，我们可将每层数字表示成2的指数的形式，观察可知，每层指数的和成等比数列分布，结合等比数列前n 项和公式和对数恒等式即可求解 【详解】如图，将数字塔中的数写成指数形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”，前10层的指数之和为29101222211023+++⋅⋅⋅+=-=，所以原数字塔中前10层所有数字之积为10231023lg 230021010=≈.故选：A 【点睛】本题考查与“杨辉三角”有关的规律求解问题，逻辑推理，等比数列前n 项和公式应用，属于中档题14．已知()()2739nf n n =+⋅+,存在自然数m ,使得对任意*n N ∈,都能使m 整除()f n ,则最大的m 的值为( ) A ．30B ．9C ．36D ．6【答案】C 【解析】 【分析】依题意，可求得(1)f 、(2)f 、(3)f 、(4)f 的值，从而可猜得最大的m 的值为36，再利用数学归纳法证明即可. 【详解】由()(27)39nf n n =+⋅+，得(1)36f =，(2)336f =⨯，(3)1036f =⨯， (4)3436f =⨯，由此猜想36m =.下面用数学归纳法证明： (1)当1n =时，显然成立。

第三讲推理与证明(1)概括推理的一般步骤：①经过察看某些个别状况发现某些同样性质；②从已知的同样性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想 )．(2)类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相像性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想 )．(3)综合法的特色是：从“已知”看“可知”，逐渐推向“未知”，要求逐渐推理，实际上是找寻它的必需条件．(4)剖析法的特色是：从“未知”看“需知”，逐渐聚拢“已知”，即从要证明的结论出发，逐渐追求使它建立的充足条件，直至最后，即把要证明的结论归纳为判断一个明显建立的条件为止．(5)适适用反证法证明的四类数学命题：①独一性命题；②结论波及“至多”“起码”“无穷”的命题；③否认性命题；④直接证明较繁琐或困难的命题．(6)数学概括法数学概括法证明的步骤①证明当 n 取第一个值 n0 0∈N*)时结论建立；(n②假定 n＝ k(k∈N*，且 k≥ n0)时结论建立，证明n＝ k＋1 时结论也建立．由①②可知，对随意n≥n0，且 n∈N*时，结论都建立．1． (2013 ·建福 )设 S， T 是R的两个非空子集，假如存在一个从S 到 T 的函数 y＝ f(x)知足：(1)T＝{ f(x)|x∈ S} ；(2) 对随意 x1，x2∈S，当 x1<x2时，恒有 f(x1)<f(x2)．那么称这两个会合“保序同构”．以下会合对不是“保序同构”的是() A． A＝N*，B＝NB． A＝ { x|－ 1≤ x≤3} ， B＝ { x|x＝－ 8 或 0<x≤ 10}C． A＝ { x|0<x<1} ， B＝RD． A＝Z，B＝Q答案D分析关于 A，取 f(x)＝ x＋ 1，知足题意．－ 8， x＝－ 1，关于 B ，取 f(x)＝x＋ 1，－ 1< x<0，知足题意 .2x ＋ 1， 0≤ x≤ 3，1关于 C，取 f(x)＝ tan[ π(x－2)] ，知足题意．清除法，选 D.2． (2013 陕·西 )察看以下等式12＝ 112－ 22＝－ 312－ 22＋ 32＝ 612－ 22＋ 32－ 42＝－ 10,,照此规律，第n 个等式可为 ________．答案2222n＋1 2n＋1n n＋ 1 1 － 2＋3 －4＋, ＋ (－1)n ＝ (－ 1)·2分析察看等式左侧的式子，每次增添一项，故第n 个等式左侧有 n 项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左侧的通项为(－ 1)n＋1n2.等式右侧的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1,3,6,10,15,21 ， ,.设此数列为 { a n} ，则 a2－ a1＝ 2， a3－a2＝3， a4－ a3＝ 4，a5－ a4＝ 5，,， a n－ a n－1＝ n，各式相加得a n－ a1＝2＋ 3＋ 4＋ ,＋ n，即 a n＝ 1＋2＋3＋ ,＋ n ＝n n＋ 1.所以第n个等式为22＋ 32－ 42＋, ＋(－ 1)n＋1 21)n＋2 1 － 2n ＝ (－1n n＋12.3． (2013 湖·北 )古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各样多边形数，如三角形数1,3,6,10，, ，第 n 个三角形数为n n＋1＝121n，记第 n 个 k 边形数为 N(n，k)(k≥ 3)，22n ＋2以以下出了部分k 边形数中第 n 个数的表达式：三角形数121N(n,3)＝ n＋ n，22正方形数N(n,4)＝n2，五边形数321N(n,5)＝ n－ n，22六边形数N(n,6)＝2n2－ n ,,,,,,,,,,,,,,,能够推测 N( n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝ ___________.答案 1 000分析22k － 224－ k由 N( n,4)＝ n ，N( n,6)＝ 2n － n ，能够推测： 当 k 为偶数时， N(n ，k)＝2n ＋2n ，∴ N(10,24) ＝24－ 2× 100＋4－ 24× 1022＝ 1 100－ 100＝1 000.4． (2012 陕·西 )察看以下不等式：1 3 1＋22<2，1 1 51＋22＋ 32<3，1 1 1 71＋22＋ 32＋42<4，,,照此规律，第五个不等式为 ________．．．．答案11 111 111＋ 22222< 62 ＋3 ＋4 ＋5 ＋6分析概括察看法．察看每行不等式的特色， 每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子组成等差数列．∴ 第五个不等式为 1＋ 1 1 1 1 1 112 ＋ 2＋ 2＋ 2＋ 2< 6 .2 3 4 5 62ab为 a ，b 的调解均匀数．如图，C 为线段 AB 上的点， 5． (2010 湖·北 )设 a ＞0，b ＞ 0，称 a ＋ b且 AC ＝a ， CB ＝ b ，O 为 AB 中点，以 AB 为直径作半圆．过点C 作 AB 的垂线交半圆于 D ，连接 OD ，AD ，BD.过点 C 作 OD 的垂线，垂足为E.则图中线段 OD 的长度是 a ，b 的算术均匀数， 线段 ________的长度是 a ，b 的几何均匀数， 线段 ________的长度是 a ，b 的调解均匀数．答案CD DE分析 在 Rt △ ABD 中， CD 是斜边 AB 上的高，所以 CD 2 ＝AC ·CB ，所以 CD ＝ AC ·CB ＝ ab ，所以线段 CD 的长度是 a ， b 的几何均匀数．在 Rt △OCD 中，由于 CE ⊥ OD ，所以DE ＝ CD，CD OD 2CDab2ab所以线段 DE 的长度＝＝＝ .2所以线段 DE 的长度是 a ，b 的调解均匀数．题型一 合情推理 1 x － a n 例 1(1)设数列 { a n 是首项为 0 * ，f nsin ，x ∈ n ， a n ＋1 ]，} 的递加数列， n ∈ N (x)＝ n[a知足：关于随意的b ∈ [0,1) ，f n (x)＝ b 总有两个不一样的根， 则{ a n } 的通项公式为 _______．x 2 y 2(2)若 P 0(x 0，y 0)在椭圆 a 2＋b 2＝ 1(a>b>0) 外，则过 P 0 作椭圆的两条切线的切点为 P 1，P 2，则切点弦 P 1P 2 所在直线方程是 x 0 x y 0y＝ 1.那么关于双曲线则有以下命题： 若 P 0(x 0，y 0)a 2 ＋ 2 在双曲线 x 22 b 2 y 2P 0 作双曲线的两条切线的切点为 P ，P ，则切a －b ＝ 1(a>0， b>0)外，则过1 2点弦 P 1P 2 所在的直线方程是 ________．审题破题(1) 先求数列 { a n } 的前几项，概括项的规律，作出猜想； (2) 双曲线和椭圆方程对比，形式近似，只需注意到椭圆的切线方程中x 2，y 2 分别换成了 x 0x ， y 0y 即可．答案 (1) a ＝n n － 1 π(2)x 0x － y 0 yn 2a 2 2 ＝1b分析 (1) ∵a 1＝ 0，当 n ＝ 1 时， f 1(x) ＝|sin(x － a 1)|＝ |sin x|，x ∈ [0， a 2] ，又 ∵ 对随意的 b ∈ [0,1) ， f 1(x)＝ b 总有两个不一样的根，∴ a 2＝ π；2sin 1 x － a 2 ＝ sin 1 x － πf ( x)＝ 2 2＝ cos x ， x ∈ [ π， a 3]，2∵ 对随意的 b ∈[0,1) ，f 2(x)＝ b 总有两个不一样的根，1 ∴ a 3＝ 3π； f 3 (x)＝ sin 3 x － a 31 1＝ sin 3 x － 3π ＝ sin 3x ， x ∈ [3 π， a 4]，∵ 对随意的 b ∈[0,1) ，f 3(x)＝ b 总有两个不一样的根，∴ a 4＝ 6π.由此可得 a n ＋ 1－ a n ＝ n π， ∴a n ＝ n n － 1 π2.x 2 y 2x 0x y 0y所在直线方程 22 →yy2 2 P 1P 2 2 2 ＝ 1，x→ xx ，y0.类比，(2)关于椭圆 a ＋ b ＝ 1，切点弦 a ＋bx 2 y 2 x 0x y 0 y双曲线 a 2－ b 2＝ 1 的切点弦 P 1P 2 所在直线方程为 a2－ b 2 ＝1.反省概括 应用合情推理应注意的问题：(1)在进行概括推理时，要先依据已知的部分个体，把它们合适变形，找出它们之间的联系，进而概括出一般结论．(2)在进行类比推理时，要充足考虑已知对象性质的推理过程，而后类比推导类比对象的性质．注意：概括推理重点是找规律，类比推理重点是看共性．变式训练 1(1) 若从点 O 所作的两条射线OM 、 ON 上分别有点 M 1、 M 2 与点 N 1、 N 2，则三S 角形面积之比SOM 1N 1＝OM 1 ON 1O 所作的不在同一平面内的三条射线· .如图，若从点OM 2 ON 2OM 2N 2OP 、OQ 和 OR 上分别有点 P 1、P 2，点 Q 1、Q 2 和点 R 1、R 2，则近似的结论为 ________．答案 V O P 1Q 1 R 1＝ OP 1 OQ 1 OR 1· ·VO P 2Q 2 R 2OP 2 OQ 2 OR 2分析考察类比推理问题，由图看出三棱锥P 1－OR 1Q 1 及三棱锥 P 2－ OR 2Q 2 的底面面积之比为 OQ 1 OR 1 ，又过极点分别向底面作垂线，获得高的比为 OP 1，故体积之比为OQ 2 ·OP 2 OR 2VO P 1Q 1R 1＝ OP 1 OQ 1 OR 1V O P 2 Q 2R 2 · · .OP 2 OQ 2 OR 2(2)已知命题：若数列 { a n } 为等差数列，且 a m ＝ a ， a n ＝ b (m ≠ n ， m 、 n ∈ N *)，则 a m ＋n ＝ bn － am；现已知等比数列 { b n } ( b ≠0， n ∈N * )， b m ＝ a ，b n ＝ b (m ≠n ， m 、 n ∈ N * )，若类n －m比上述结论，则可获得b m ＋ n ＝ __________.答案 n － m b na m分析等差数列中的 bn 和 am 能够类比等比数列中的b n 和 a m ，等差数列中的 bn － amb nbn － amn － m b n能够类比等比数列中的am，等差数列中的 n － m 能够类比等比数列中的am，故 b m ＋ n ＝ n －m b na m . 题型二 直接证明与间接证明例 2设实数数列 { a n } 的前 n 项和 S n 知足 S n ＋ 1＝ a n ＋1S n (n ∈ N * )． (1)若 a 1， S 2，－ 2a 2 成等比数列，求 S 2 和 a 3；(2)求证：对 k ≥ 3 4有 0≤ a k ＋ 1≤ a k ≤ .3审题破题 (1) 依据 S 22＝－ 2a 1a 2 及 S 2＝ a 2a 1 从方程的角度求出 S 2.再由 S 3＝ a 3S 2＝ S 2＋ a 3，求出 a 3.(2)依据 S n ＋ 1＝ a n ＋1S n (n ∈ N * )的关系，找寻 a n ＋ 1 与 a n 的递推关系，再用不等式放缩法、剖析法、反证法的思想方法求解．(1)解 S 22＝－ 2a 1a 2 ，由题意 得 S 22＝－ 2S 2，S 2＝ a 2S 1＝ a 1a 2，由 S 2 是等比中项知 S 2≠ 0.所以 S 2＝－ 2.由 S 2＋ a 3＝S 3＝a 3S 2 解得 a 3＝S 2－ 222－1＝－ 2－1＝3.S(2)证明由题设条件有 S n ＋ a n ＋1＝ a n ＋1S n ，Sa n ＋1n故 S n ≠ 1， a n ＋1≠ 1 且 a n ＋1＝S n － 1， S n ＝ a n ＋ 1－ 1，进而对 k ≥ 3 有S k － 1＝ a k － 1＋S k － 2a k ＝S k －1－ 1 a k － 1＋ S k － 2－ 1a k －1＋ a k － 1 2a k －1－ 1＝ a k －1a k 1＝ 2 －a － ＋ 1.①－－a k －1＋ a k 1k 1a k －1－ － 1121 2 3 2因 a k －1 －a k － 1＋1＝ a k － 1－ ＋ >0 且 a k － 1≥ 0，2 4由 ①得 a k ≥0.2要证 a ≤ 4，由 ① 只需证 2≤ 4，a k － 1k3k －1－ a k－1＋ 1 3a即证 3a k 2－ 1≤ 4(a k 2 －1－ a k －1＋ 1)，即 (a k － 1－ 2)2≥ 0，此式明显建立．所以a k ≤ 4(k ≥ 3)．a k 23>a k ，最后证 a k ＋ 1≤ a k ，若否则 a k ＋ 1＝ 2a k － a k ＋1又因 a k ≥ 0，故 2 a k >1，即 ( a k － 1)2<0. 矛盾．a k － a k ＋1 所以 a k ＋ 1≤ a k (k ≥ 3)．综上，当 k ≥ 3 时有 0≤ a k ＋ 1≤a k ≤ 4.3反省概括综合法与剖析法是直接证明中的“ 姊妹证明 ” 方法．往常状况下， 运用剖析法，由果索因，找到一个正确的结论或已知条件，而后运用综合法正确推理书写．在进 行立体几何证明中， 我们常从结论出发找寻问题的打破口， 但在逆推时也可能遇到阻碍，这时再从已知出发顺推搜寻中间细节， 问题即可得以解决． 自然，若所证命题从正面难以下手时，不如使用反证法．变式训练 2 (2013 ·陕西 )设 { a n } 是公比为 q 的等比数列．(1)推导 { a n } 的前 n 项和公式；(2)设 q ≠ 1，证明：数列 { a n ＋1} 不是等比数列． (1)解设 { a n } 的前 n 项和为 S n ，当 q ＝1 时， S n ＝a 1＋a 1＋, ＋ a 1＝ na 1；2n － 1①当 q ≠1 时， S n ＝a 1＋a 1q ＋ a 1q ＋ , ＋ a 1q .qS n ＝ a 1q ＋a 1 q 2＋a 1q 3＋ , ＋ a 1q n ，②① － ②得， (1－ q)S n ＝ a 1－ a 1 q n ，n∴ S n ＝a 1 1－ q ，1－ qna 1， q ＝ 1，n∴ S n ＝ a 1 1－ q，q ≠ 1.1－q(2)证明假定 { a n ＋ 1} 是等比数列，则对随意的k ∈ N * ，(a k ＋1＋ 1)2＝ (a k ＋ 1)(a k ＋ 2＋ 1)，2a k ＋ 1＋ 2a k ＋ 1＋1＝ a k a k ＋ 2＋a k ＋ a k ＋2 ＋1，a 21q 2k ＋ 2a 1 q k ＝ a 1q k － 1·a 1q k ＋1＋ a 1q k －1＋ a 1q k ＋1，kk － 1k ＋ 1∵ a 1≠ 0， ∴ 2q ＝ q ＋ q .∵ q ≠0， ∴ q 2－ 2q ＋ 1＝ 0， ∴ q ＝1，这与已知矛盾．∴ 假定不建立，故 { a n ＋1} 不是等比数列．题型三 数学概括法例 3已知数列 { a n } 知足关系式 a n ＋1＝ n＋ 2， n ∈ N * ，且 a 1＝ 2.a n(1)求 a 2， a 3， a 4；(2)求证： n ＋ 1≤ a n < n ＋ 1＋ 1；(3)求证：n ＋ 1－ 1< 1 ＋ 1 ＋, ＋ 1<2( n ＋ 3－ 3)．a 1 a 2 a na ＋ ＝ n审题破题(1) 依据递推式和初始值求解即可； (2)依据已知的递推式＋ 2，使用n 1 a n数学概括法进行证明；(3)依据 (2) 的结果进行证明．(1)解由题意，知 a 2＝5， a 3＝ 14，a 4＝ 43.25 14(2)证明由 a n ＋ 1＝ n＋2 及 a 1＝ 2，知 a n >0.a n下边用数学概括法证明：① 当 n ＝ 1 时， a 1＝ 2 知足 1＋ 1≤ a 1< 1＋1＋ 1，建立． ② 假定当 n ＝ k (k ∈N * )时，k ＋ 1≤ a k < k ＋1＋ 1 建立，则当 n ＝ k ＋ 1 时， a ＋ ＝ k＋ 2> k ＋ 2＝ k ＋ 1＋ 1.k 1 a kk ＋ 1＋ 1a k ＋ 1＝ k＋ 2≤ k ＋ 2.a k k ＋ 1下边用剖析法证明： k＋ 2< k ＋ 2＋ 1.k ＋ 1欲证k ＋ 2<k ＋2＋ 1，k ＋1只需证 k ＋ k ＋ 1<( k ＋ 1) k ＋ 2，只需证 (k ＋ k ＋ 1)2 <[( k ＋ 1) k ＋ 2] 2， 只需证 2 k ＋ 1>0 ，此式明显建立．所以 k ＋ 2< k ＋2＋ 1 建立．k ＋1进而 a ＋ ＝ k＋ 2≤ k ＋ 2< k ＋ 2＋ 1.k 1a kk ＋ 1由 ①② 可知，对全部 k ∈N *， n ＋ 1≤a n < n ＋ 1＋1 建立．(3)证明 由(2) 知 1 < 1 ≤1 ，n n ＋ 1 n ＋ 1＋1 a而 1 ≥ 1 ＝ n ＋1－ n ，n ＋ 1＋ 1 n ＋ 1＋ n 1 ＝2<2n ＋1n ＋1 ＋n ＋ 3＋ n ＋ 2n ＋ 1＝ 2( n ＋ 3－ n ＋ 2)，所以 n ＋ 1－ n< 1<2( n ＋ 3－ n ＋ 2)，a n所以 ( 2－ 1)＋, ＋(n ＋ 1－ n)< 1 ＋ 1 ＋ , ＋ 1a 1 a 2 a n <2( 4－ 3)＋ ,＋ 2( n ＋ 3－ n ＋ 2)，所以 n ＋ 1－ 1< 1 ＋ 1＋, ＋ 1 <2( n ＋ 3－ 3)．a 1 a 2 a n反省概括 在递推数列问题中，假如给出的是形如 a n ＋ 1＝ f(a n )的递推式，则能够考虑用数学概括法进行证明， 这是由于在设出 a k 知足的结论后， 能够依据 a n ＋ 1＝ f(a n )获得 a k ＋1知足的结论．在使用数学概括法证明问题时，在概括假定后，概括假定就是证明n ＝ k＋ 1 时的已知条件， 把概括假定当已知条件证明后续结论时， 能够使用综合法、 剖析法、反证法，也能够再次使用数学概括法．变式训练 1 1 1 1 3 1 *3 已知 f(n)＝ 1＋ 3 3 3 3 ， g(n)＝ － 2n 22 ＋3 ＋4 ＋ , ＋ n 2 ， n ∈ N . (1)当 n ＝ 1,2,3 时，试比较 f(n)与 g(n)的大小关系；(2)猜想 f(n)与 g(n)的大小关系，并给出证明．解 (1)当 n ＝ 1 时， f(1)＝ 1， g(1)＝ 1，所以 f(1)＝ g(1)；当 n ＝2 时， f(2) ＝98， g(2)＝ 118，所以 f(2)< g(2) ； 当 n ＝3 时， f(3) ＝ 251， g(3) ＝312，所以 f(3)< g(3)．216216(2)由 (1)，猜想 f(n)≤ g(n)，下边用数学概括法给出证明：① 当 n ＝ 1,2,3 时，不等式明显建立．② 假定当 n ＝ k(k ≥ 3， k ∈ N * )时，不等式建立，1 1 1 1 3 1 即 1＋23＋ 33＋ 43＋ , ＋k 3<2－2k 2，那么，当 n ＝ k ＋1 时， f(k ＋ 1)＝ f(k)＋13<3－ 12＋ 1 1 3，k ＋1 2 2k k ＋1 1 1 k ＋ 3 1 － 3k － 1 由于2 k ＋1 2 － 2k 2－ k ＋ 13 ＝2 k ＋ 1 3－ 2k 2＝ 2 k ＋ 1 3k 2<0， 所以 f(k ＋ 1)<3－ 1 2＝ g(k ＋ 1)．2 2 k ＋ 1∴ 当 n ＝ k ＋ 1 时 f(n)≤ g(n)建立．由 ①② 可知对全部 n ∈N * ，都有 f(n)≤ g(n)建立．典例 (1)(2012·江西 )察看以下各式： a ＋ b ＝ 1， a 2 ＋ b 2 ＝ 3， a 3＋ b 3＝ 4， a 4＋ b 4＝ 7， a 5＋ b 5＝ 11，, ，则 a 10＋ b 10 等于()A ． 28B ．76C ．123D ．199分析察看规律，概括推理．从给出的式子特色察看可推知， 等式右端的值， 从第三项开始， 后一个式子的右端值等于它前方两个式子右端值的和，照此规律，则 a 10＋ b 10＝ 123.答案C(2)记等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，利用倒序乞降的方法，可将S n 表示成首项 a 1、末 项 a n 与项数 n 的一个关系式， 即公式 S n ＝ n a 1＋ a n；近似地， 记等比数列 { b n } 的前 n 项2积为 T n ，且 b n >0 (n ∈ N * )，试类比等差数列乞降的方法，可将 T n 表示成首项 b 1、末项b n 与项数 n 的一个关系式，即公式 T n ＝ ________.分析 利用等比数列的性质：若m ＋ n ＝ p ＋ q ，则 b m ·b n ＝ b p ·b q ，利用倒序求积方法有T n ＝b 1b 2·, ·b n ，n两式相乘得 T n 2＝ ( b 1 b n )n ，即 T n ＝ (b 1b n ) 2 .T n ＝b n b n － 1·, ·b 1，n答案(b 1b n )2得分技巧合情推理的重点是追求规律， 明确已知结论的性质或特色． 高考取此类问题的指向性很强，要获得正确结论的概括或类比．阅卷老师提示(1)在进行概括推理时，要先依据已知的部分个体，把它们合适变形，找出它们之间的联系，进而概括出一般结论．(2)在进行类比推理时，要充足考虑已知对象性质的推理过程，而后经过类比，推导出类比对象的性质．(3)概括推理重点是找规律，类比推理重点是看共性．1． 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ n 2a n ( n ≥2)，而 a 1＝ 1，经过计算a 2， a 3，a 4，猜想 a n 等于()22A. n ＋ 1 2B.n n ＋ 122 C.2n－ 1D.2n － 1答案 B分析a n ＝ S n － S n － 1＝n 2a n －( n －1) 2a n －1，∴ (n － 1)2n － 1a n － 1＝ ( n －1)( n ＋ 1)a n .∴ a n ＝a n －1.n ＋ 1由 a 1＝1 知： a 2＝ 1，a 3＝1.3 6∴ 猜想 a n ＝ 2，应选 B.n n ＋ 12． 以下四个图形中， 着色三角形的个数挨次组成一个数列的前4 项，则这个数列的一个通项公式为()A ． a n ＝ n －1B ．a n ＝ 3 n3C ． a n ＝ 3n － 2nD ． a n ＝ 3n －1＋2n － 3答案 A分析a 1＝ 1， a 2＝ 3，a 3＝ 9， a 4＝ 27，故猜 a n ＝ 3n －1.3． 以下推理中属于概括推理且结论正确的选项是()A ．设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，由 a n ＝ 2n － 1，求出 S 1＝ 12， S 2＝ 22， S 3＝ 32，, ，推断： S n ＝ n 2B ．由 f(x) ＝ xcos x 知足 f(－ x)＝－ f(x)对 ?x ∈ R 都建立，推测： f(x)＝ xcos x 为奇函数2222x 2 y 2C ．由圆 x ＋ y ＝ r 的面积 S ＝ πr ，推测：椭圆 a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0)的面积 S ＝ πabD ．由 (1＋ 1)2>21， (2＋ 1)2>2 2， (3＋ 1)2>23，, ，推测：对全部 n ∈N * ， (n ＋ 1)2>2n 答案 A分析注意到，选项 A 由一些特别案例得出一般性结论， 且注意到数列 { a n } 是等差数列，其前 n 项和等于 S n ＝ n 1＋ 2n － 1＝ n 2，选项 D 中的推理属于概括推理， 但结论不正确． 因2 此选 A.2Sa 、b 、c ，△ ABC 的面积为 S ，内切圆半径为 r ，则 r ＝ ；a ＋ b ＋ c类比这个结论可知：四周体S — ABC 的四个面的面积分别为S 1 、S 2 、S 3、 S 4，内切球的半径为 R ，四周体 P — ABC 的体积为 V ，则 R 等于()V2VA. ＋S ＋S ＋SB.＋S ＋S ＋SS 12 3 4 S 1 2343V4VC.＋S ＋S ＋SD.＋S ＋S ＋SS 1 234S 1234答案 C分析此题考察类比推理，用体积切割的方法，能够得出3VR ＝＋S ＋S ＋S.S 1 2345． 察看等式： 1＋1＝2，1＋1＋1＝3，1＋1＋1＋1＝4，根1×2 2×3 31× 2 2×3 3× 44 1× 22×3 3×4 4×55据以上规律，第四个等式为________．答案1 ＋1× 212× 3＋1 ＋ 3× 41 ＋ 4× 51 ＝5 5×6 66． 设等差数列 { a n } 的前 n 项和为S n ，则 S 4， S 8－ S 4 ， S 12－ S 8， S 16－ S 12 成等差数列．类比以上结论有：设等比数列 { b n } 的前 n 项积为 T n ，则 T 4，________，________，T 16成等比数T 12列．答案T 8 T 12T 4 T 8分析等差数列类比于等比数列，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列 { b n } 的前 n 项积为 T n ，则 T 4，T 8， T 12，T 16成等比数列．T 4 T 8 T 12专题限时规范训练一、选择题1． 察看以下各式： 72＝ 49,73＝ 343,74＝ 2 401，, ，则 72 014 的末两位数字为()A ． 01B ．43C ．07D ． 49答案 D分析由于 71＝ 7,72 ＝49,73＝ 343,74＝ 2 401,7 5＝ 16 807,76＝ 117 649， , ，所以这些数的末两位数字呈周期性出现， 且周期 T ＝ 4.又由于 2 014＝ 4× 503＋ 2，所以 72 014 的末两位 数字与 72 的末两位数字同样，应选D.2． 定义一种运算“ * ”：关于自然数n 知足以下运算性质： (ⅰ )1*1=1,( ⅱ )(n+1)*1= n*1+1,则 n*1 等于()A ． nB ．n ＋ 1C ．n － 1D ． n 2答案 A分析由 (n ＋ 1)*1 ＝ n*1 ＋ 1，得 n*1 ＝ (n － 1)*1 ＋ 1＝ (n － 2)*1 ＋ 2＝ , ＝ 1]3． 定义 A* B ，B*C ，C*D ，D * A 的运算分别对应以下图中的 (1)(2)(3)(4) ，那么以下图中的(A)(B)所对应的运算结果可能是( )A ．B*D ，A* DB ．B*D ， A*C C ．B*C ，A*D D ．C*D ，A*D答案 B分析由 (1)(2)(3)(4) 图得 A 表示 |，B 表示 □ ，C 表示 — ，D 表示 ○，故图 (A)(B) 表示 B* D和 A*C.1，2， 1， 3，2， 1， 4， 3，2， 1，, ，依它的前10 项的规律，这个数列的4． 已知数列： 1 1 21 2 3 1 2 3 4第 2 013 项 a2 013知足()11≤ a2 013<1A． 0<a2 013< B.1010C． 1≤ a2 013≤ 10D． a2 013>10答案A分析数列中项的规律：分母每一组中从小到大摆列：(1) ， (1,2) ，(1,2,3) ，(1,2,3,4) ， ,；分子每一组中从大到小摆列(1)， (2,1)， (3,2,1) ， (4,3,2,1) ，, ，由上规律4 1知 a2 013＝60＝15.5．给出若干数字按以下图排成倒三角形，此中第一行各数挨次是1,2,3， , ， 2 011，从第二行起每个数分别等于上一行左、右两数之和，最后一行只有一个数M，则这个数M 是()2 009A． 2 012 2·2 010B． 2 011 2·2 011C． 2 010 2·2 007D． 2 010 2·答案A分析第一行公差为1；第二行公差为2；,,；第 2010 行公差为22 009，第 2011 行只有 M，发现规律，得M＝ (1＋ 2 011)2 0092·.或从第一行为 1,2,3 及 1,2,3,4,5 的两个“小三角形”联合选项概括得结果为 (3＋1及 (5＋ 1)×3n－ 2.1)×2 2 ，猜一般规律为 (n＋ 1) ·2＋，若 a＋ d＝ b＋ c且 |a－ d|<|b－c|，则有() 6．设 a，b， c， d∈RA． ad＝ bc B ．ad<bc C．ad>bc D． ad≤ bc答案C分析|a － d|<|b－ c|?( a－d)2<(b－ c)2?a2＋ d2－2ad<b2＋ c2－ 2bc，又∵a＋ d＝ b＋ c? (a ＋d)2＝ (b＋ c)2? a2＋ d2＋ 2ad＝ b2＋ c2＋ 2bc，∴－ 4ad<－ 4bc，∴ ad>bc.a2＋ b2127．已知 a>b>0，且 ab＝ 1，若 0<c<1， p＝ log c， q＝ log c() ，则 p， q 的大小2a＋ b关系是()A． p>q B ．p<qC． p＝ q D． p≥ q答案 Ba 2＋b 2a 2＋b 2分析∵>ab ＝ 1， ∴ p ＝ log c 22<0.12111又 q ＝log c () ＝ log c>log c＝ log c >0， ∴q>p.a ＋ ba ＋b ＋ 2 ab4 ab4378． 对大于1 的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23， 3 3 9，511134315，, .仿此，若 m 3 的“分裂数”中有一个是59，则 m 的值为()17 19A ． 5B ．6C ．7D ． 8答案 D分析由已知可察看出m 3 可分裂为 m 个连续奇数，最小的一个为 (m － 1)m ＋ 1.当 m ＝8时，最小的数为 57，第二个即是59.∴ m ＝ 8.二、填空题9．察看以下等式1＝ 12＋ 3＋ 4＝ 9 3＋ 4＋5＋ 6＋ 7＝ 254＋ 5＋ 6＋7＋ 8＋ 9＋ 10＝ 49,,照此规律，第 n 个等式为 ________．答案n ＋ (n ＋ 1)＋ (n ＋ 2)＋, ＋ (3n － 2)＝ (2n － 1)2分析 第 n 个等式是首项为n ，公差为 1，项数为 2n － 1 的等差数列，即 n ＋ (n ＋ 1)＋ (n＋ 2)＋, ＋ (3n － 2)＝ (2n － 1) 2.110．若数列 { a n } 的通项公式 a n ＝ n ＋ 1 2，记 f(n)＝ 2(1－a 1 ) ·(1－ a 2), (1－ a n )，试经过计算f(1)，f(2) ，f(3)的值，推测出 f(n)＝ ________.n ＋ 2答案n ＋ 13 1＋ 2分析 f(1) ＝ 2(1－a 1)＝2＝ 1＋ 1，1 1f(2) ＝2(1－ a 1)(1 －a 2)＝ 2 1－ 4 1－ 9＝4＝2＋ 2，3 2＋1f(3) ＝2(1－ a 1)(1 －a 2)(1 － a 3)＝2 1－ 1 1－1 1－ 1＝5＝ 3＋2，4 9 16 4 3＋1n ＋ 2可猜想 f(n)＝n ＋ 1.11．二维空间中圆的一维测度(周长 )l ＝ 2πr ，二维测度 (面积 )S ＝ πr 2，察看发现 S ′＝ l ；三维空间中球的二维测度 (表面积 )S ＝ 4πr 2，三维测度 (体积 )V ＝43，察看发现 V ′＝ S.则四3πr维空间中“超球”的四维测度 W ＝ 2πr 4，猜想其三维测度 V ＝ ________.答案 8πr 3分析 由已知， 可得圆的一维测度为二维测度的导函数； 球的二维测度是三维测度的导函数．类比上述结论， “ 超球 ”的三维测度是四维测度的导函数， 即 V ＝ W ′ ＝ (2πr 4)′＝ 8πr 3.12．函数 f(x)的定义域为 A ，若 x 1，x 2∈ A ，且 f(x 1 )＝ f(x 2)时总有 x 1＝ x 2，则称 f(x)为单函数． 例如 f(x)＝ 2x ＋ 1 (x ∈ R )是单函数，以下命题：①函数f(x)＝ x 2 (x ∈ R )是单函数；②指数函数 f(x)＝ 2x (x ∈ R )是单函数，③若 f(x)为单函数， x 1， x 2∈ A 且 x 1≠ x 2，则 f(x 1)≠ f(x 2)；④在定义域上拥有单一性的函数必定是单函数．此中的真命题是 __________( 写出全部真命题的编号 )． 答案 ②③④分析由 x 12＝ x 22，未必有 x 1＝ x 2，故 ① 不正确；关于 f(x)＝ 2x ，当 f(x 1)＝ f(x 2 )时必定有 x 1＝ x 2，故 ② 正确；当 f(x)为单函数时，有 f(x 1)＝ f( x 2)? x 1＝ x 2，则其逆否命题 f(x)为单函数时，x 1≠ x 2? f(x 1)≠ f(x 2) 为真命题，故 ③ 正确；当函数在其定义域上单一时， 必定有 f(x 1)＝ f(x 2) ? x 1＝ x 2，故 ④ 正确．三、解答题13． (2012 ·建福 )某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：① sin 213°＋ cos 217°－ sin 13 cos ° 17 ；°2 2 °－ sin 15 cos ° 15 ；°② sin 15 °＋ cos 15 22°－ sin 18 cos ° 12 ；°③ sin 18 °＋ cos 12④ sin 2(－ 18°)＋cos 248°－sin(－ 18°)cos 48 ；°⑤ sin 2(－ 25°)＋cos 255°－sin(－ 25°)cos 55 . °(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)依据 (1) 的计算结果，将该同学的发现推行为三角恒等式，并证明你的结论．解方法一 (1)选择 ② 式，计算以下：sin 215°＋ cos 215°－ sin 15 cos ° 15 °1 sin 30 ＝°1－ 1 3＝ 1－ 4 ＝ .2 4 (2)三角恒等式为322sin α＋ cos (30 °－ α)－ sin αcos(30 －°α)＝ 4.证明以下：sin 2α＋ cos 2(30 °－ α)－ sin αcos(30 －°α)＝ sin 2α＋(cos 30 cos ° α＋ sin 30 sin ° α)2－ sin α(cos 30 °cos α＋ sin 30 sin ° α)23231 23 1 23 2323.＝ sin α＋ cos α＋2 sin αcos α＋ sin α－2sin αcos α－ sin α＝ sin α＋ cos α＝ 442 4 4 4方法二 (1)同解法一．223 (2)三角恒等式为 sin α＋ cos (30 °－ α)－ sin αcos(30 －°α)＝ 4. 证明以下：22sin α＋ cos (30 °－ α)－ sin αcos(30 －°α)＝ 1－cos 2α 1＋ cos 60°－ 2αα(cos 30 cos ° α＋ sin 30 sin ° α)2＋2－ sin＝ 1－1 1＋ 1 312α2 2cos 2α＋ 2 2(cos 60 cos ° 2α＋ sin 60 sin ° 2α)－ 2 sin αcos α－ 2sin1 1 cos 2α＋ 1 ＋ 1 3 sin 2α－ 3＝ － 2 2 cos 2α＋ 4 4sin 2α－2 41 1 1 1 3(1 －cos 2α)＝ 1－ cos 2α－＋ cos 2α＝ .44 4 4414．设会合 W 是知足以下两个条件的无量数列 { a n } 的会合．① a n ＋ a n ＋2≤ a n ＋1；② a n ≤ M ，此中 n ∈ N * ， M 是与 n 没关的常数．2(1)若 { a n } 是等差数列， S n 是其前 n 项的和， a 3＝ 4， S 3＝ 18，尝试究 { S n } 与会合 W 之间的关系；(2)若数列 { b n } 的通项为 b n ＝ 5n － 2n ，且 { b n } ∈ W ， M 的最小值为 m ，求 m 的值；(3)在 (2)的条件下，设 1 nc n ＝ [ b n ＋ (m － 5) ] ＋ 2，求证：数列 { c n } 中随意不一样的三项都不5 能成为等比数列． (1)解 ∵ a 3＝ 4， S 3＝ 18，∴ a 1＝ 8， d ＝－ 2，2 S n ＋ S n ＋ 2∴ S n ＝－ n ＋ 9n ， 2 <S n ＋ 1 知足条件 ① ，9S n ＝－ n － 2 ＋ 81，当 n ＝ 4 或 5 时， S n 取最大值 20.2 4 ∴ S n ≤ 20 知足条件 ② ，∴ { S n } ∈ W.(2)解b n ＋ 1－ b n ＝ 5－ 2n 可知 { b n } 中最大项是 b 3＝ 7，∴M ≥7， M 的最小值为 7.(3)证明 由(2) 知 c n ＝n ＋ 2，假定 { c n } 中存在三项 c p 、c q 、 c r (p 、 q 、 r 互不相等 )成等比数列，则 c 2q ＝ c p ·c r ，∴ (q ＋ 2)2＝ (p ＋ 2)(r ＋ 2)，∴ (q 2－ pr)＋ (2q － p － r ) 2＝ 0.q 2 ＝ pr ，∵ p 、q 、 r ∈ N * ， ∴2q － p － r ＝ 0，消去 q 得 (p－ r )2＝ 0，∴p＝r ，与 p≠ r 矛盾．∴{ c n} 中随意不一样的三项都不可以成为等比数列．。

第3讲推理与证明考情解读 1.以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小题形式出现.2.直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题．1．合情推理(1)归纳推理①归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．②归纳推理的思维过程如下：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论(2)类比推理①类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．②类比推理的思维过程如下：观察、比较→联想、类推→猜测新的结论2．演绎推理(1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．(2)合情推理与演绎推理的区别归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．3．直接证明(1)综合法用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q(2)分析法用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件4．间接证明反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．用反证法证明命题“若p，则q”的过程可以用如图所示的框图表示．肯定条件p否定结论q→导致逻辑矛盾→“既p，又綈q”为假→“若p，则q”为真5．数学归纳法数学归纳法证明的步骤：(1)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立．(2)假设n＝k(k∈N*，且k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，对任意n≥n0，且n∈N*时，命题都成立．热点一归纳推理例1(1)有菱形纹的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()A．26 B．31C．32 D．36(2)两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是()A．48,49 B．62,63C．75,76 D．84,85思维启迪(1)根据三个图案中的正六边形个数寻求规律；(2)靠窗口的座位号码能被5整除或者被5除余1.答案(1)B(2)D解析(1)有菱形纹的正六边形个数如下表：5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.故选B.(2)由已知图形中座位的排列顺序，可得：被5除余1的数和能被5整除的座位号临窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号，只有D符合条件．思维升华归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用．其思维模式是“观察——归纳——猜想——证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想．(1)四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位上(如图)，第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…这样交替进行下去，那么第202次互换座位后，小兔坐在第______号座位上．A．1 B．2C．3 D．4(2)已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，则有________________．答案 (1)B (2)f (2n )>n ＋22(n ≥2，n ∈N *)解析 (1)考虑小兔所坐的座位号，第一次坐在1号位上，第二次坐在2号位上，第三次坐在4号位上，第四次坐在3号位上，第五次坐在1号位上，因此小兔的座位数更换次数以4为周期，因为202＝50×4＋2，因此第202次互换后，小兔所在的座位号与小兔第二次互换座位号所在的座位号相同，因此小兔坐在2号位上，故选B. (2)由题意得f (22)>42，f (23)>52，f (24)>62，f (25)>72，所以当n ≥2时，有f (2n )>n ＋22.故填f (2n )>n ＋22(n ≥2，n ∈N *)．热点二 类比推理例2 (1)在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝________.(2)已知双曲正弦函数sh x ＝e x －e －x 2和双曲余弦函数ch x ＝e x ＋e －x2与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角或差角．．．．．公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个．．类似的正确结论________． 思维启迪 (1)平面几何中的面积可类比到空间几何中的体积；(2)可利用和角或差角公式猜想，然后验证．答案 (1)127(2)ch(x －y )＝ch x ch y －sh x sh y解析 (1)平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与半径的立方成正比，所以V 1V 2＝127.(2)ch x ch y －sh x shy ＝e x ＋e －x 2·e y ＋e －y 2－e x －e －x 2·e y －e －y2＝14(e x ＋y ＋e x －y ＋e －x ＋y ＋e －x －y －e x ＋y ＋e x －y ＋e －x ＋y －e －x －y ) ＝14(2e x －y ＋2e －(x －y ))＝e x －y ＋e －(x －y )2＝ch(x －y )，故知ch(x ＋y )＝ch x ch y ＋sh x sh y ，或sh(x －y )＝sh x ch y －ch x sh y ，或sh(x ＋y )＝sh x ch y ＋ch x sh y .思维升华 类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列的类比，也可以由解题方法上的类似引起．当然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的类比，例2即属于此类题型．一般来说，高考中的类比问题多发生在横向与纵向类比上，如圆锥曲线中椭圆与双曲线等的横向类比以及平面与空间中三角形与三棱锥的纵向类比等．(1)若数列{a n }是等差数列，b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn，则数列{b n }也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( ) A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝D ．d n ＝nc 1·c 2·…·c n(2)椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题：AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝－b 2a 2.那么对于双曲线则有如下命题：AB 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝________. 答案 (1)D (2)b 2a2解析 (1)由{a n }为等差数列，设公差为d ， 则b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ＝a 1＋n －12d ，又正项数列{c n }为等比数列，设公比为q ，则d n ＝nc 1·c 2·…·c n c 112n q-，故选D.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)， 则有⎩⎨⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y22.将A ，B 代入双曲线x 2a 2－y 2b2＝1中得x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1， 两式相减，得x 21－x 22a 2＝y 21－y 22b2，即(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＝(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2，即(y 1－y 2)(y 1＋y 2)(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝b 2a 2， 即k OM ·k AB ＝b 2a2.热点三 直接证明和间接证明例3 已知数列{a n }满足：a 1＝12，3(1＋a n ＋1)1－a n ＝2(1＋a n )1－a n ＋1，a n a n ＋1<0 (n ≥1)；数列{b n }满足：b n ＝a 2n ＋1－a 2n (n ≥1)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．思维启迪 (1)利用已知递推式中的特点构造数列{1－a 2n }；(2)否定性结论的证明可用反证法． (1)解 已知3(1＋a n ＋1)1－a n ＝2(1＋a n )1－a n ＋1化为1－a 2n ＋11－a 2n ＝23， 而1－a 21＝34，所以数列{1－a 2n }是首项为34，公比为23的等比数列， 则1－a 2n ＝34×⎝⎛⎭⎫23n －1，则a 2n＝1－34×⎝⎛⎭⎫23n －1， 由a n a n ＋1<0，知数列{a n }的项正负相间出现， 因此a n ＝(－1)n ＋11－34×⎝⎛⎭⎫23n －1， b n ＝a 2n ＋1－a 2n＝－34×⎝⎛⎭⎫23n ＋34×⎝⎛⎭⎫23n －1 ＝14×⎝⎛⎭⎫23n －1. (2)证明 假设存在某三项成等差数列，不妨设为b m 、b n 、b p ，其中m 、n 、p 是互不相等的正整数，可设m <n <p ，而b n ＝14×⎝⎛⎭⎫23n －1随n 的增大而减小，那么只能有2b n ＝b m ＋b p ，可得2×14×⎝⎛⎭⎫23n －1＝14×⎝⎛⎭⎫23m －1＋14×⎝⎛⎭⎫23p －1，则2×⎝⎛⎭⎫23n －m＝1＋⎝⎛⎭⎫23p －m .(*) 当n －m ≥2时，2×⎝⎛⎭⎫23n －m ≤2×⎝⎛⎭⎫232＝89，(*)式不可能成立，则只能有n －m ＝1， 此时等式为43＝1＋⎝⎛⎭⎫23p －m ， 即13＝⎝⎛⎭⎫23p －m ，那么p －m ＝log 2313，左边为正整数，右边为无理数，不可能相等． 所以假设不成立，那么数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．思维升华 (1)有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可． (2)综合法和分析法是直接证明常用的两种方法，我们常用分析法寻找解决问题的突破口，然后用综合法来写出证明过程，有时候，分析法和综合法交替使用．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．(1)解 由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，所以d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)，n ∈N *. (2)证明 由(1)得b n ＝S nn＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ≠q ≠r )成等比数列，则b 2q ＝b p b r . 即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)． ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0.∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∵(p ＋r 2)2＝pr ，(p －r )2＝0，∴p ＝r 与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列． 热点四 数学归纳法例4 已知数列{a n }是各项均不为0的等差数列，S n 为其前n 项和，且满足S 2n －1＝12a 2n ，n ∈N *，数列{b n }满足b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，n 为奇数，12a n －1，n 为偶数，T n 为数列{b n }的前n 项和．(1)求a n ，b n ；(2)试比较T 2n 与2n 2＋n3的大小．思维启迪 (1)利用{a n }的前n 项确定通项公式(公差、首项)，{b n }的通项公式可分段给出； (2)先求T n ，归纳猜想T n 与2n 2＋n3的关系，再用数学归纳法证明．解 (1)设{a n }首项为a 1，公差为d ，在S 2n －1＝12a 2n中，令n ＝1,2得⎩⎪⎨⎪⎧ a 21＝2S 1，a 22＝2S 3，即⎩⎪⎨⎪⎧a 21＝2a 1，(a 1＋d )2＝2(3a 1＋3d )， 解得a 1＝2，d ＝4，所以a n ＝4n －2.所以b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，n 为奇数，2n －3，n 为偶数.(2)T 2n ＝1＋2×2－3＋22＋2×4－3＋24＋…＋22n －2＋2×2n －3＝1＋22＋24＋…＋22n －2＋4(1＋2＋…＋n )－3n＝1－4n 1－4＋4·n (n ＋1)2－3n ＝4n 3－13＋2n 2－n .所以T 2n －(2n 2＋n 3)＝13(4n －4n －1)．当n ＝1时，13(4n －4n －1)＝－13<0，当n ＝2时，13(4n －4n －1)＝73>0，当n ＝3时，13(4n －4n －1)＝513>0，…猜想当n ≥2时，T 2n >2n 2＋n3，即n ≥2时，4n >4n ＋1. 下面用数学归纳法证明：①当n ＝2时，42＝16,4×2＋1＝9,16>9，成立； ②假设当n ＝k (k ≥2)时成立，即4k >4k ＋1. 则当n ＝k ＋1时，4k ＋1＝4·4k >4·(4k ＋1)＝16k ＋4>4k ＋5＝4(k ＋1)＋1， 所以n ＝k ＋1时成立．由①②得，当n ≥2时，4n >4n ＋1成立． 综上，当n ＝1时，T 2n <2n 2＋n 3，当n ≥2时，T 2n >2n 2＋n3.思维升华 在使用数学归纳法证明问题时，在归纳假设后，归纳假设就是证明n ＝k ＋1时的已知条件，把归纳假设当已知条件证明后续结论时，可以使用综合法、分析法、反证法．已知f (n )＝1＋123＋133＋143＋…＋1n 3，g (n )＝32－12n2，n ∈N *.(1)当n ＝1,2,3时，试比较f (n )与g (n )的大小关系； (2)猜想f (n )与g (n )的大小关系，并给出证明． 解 (1)当n ＝1时，f (1)＝1，g (1)＝1， 所以f (1)＝g (1)，当n ＝2时，f (2)＝98，g (2)＝118，所以f (2)<g (2)，当n ＝3时，f (3)＝251216，g (3)＝312216，所以f (3)<g (3)．(2)由(1)，猜想f (n )≤g (n )，下面用数学归纳法给出证明 ①当n ＝1,2,3时，不等式显然成立 ②假设当n ＝k (k ≥3)时不等式成立， 即1＋123＋133＋143＋…＋1k 3<32－12k 2，那么，当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝f (k )＋1(k ＋1)3<32－12k 2＋1(k ＋1)3， 因为12(k ＋1)2－(12k 2－1(k ＋1)3) ＝k ＋32(k ＋1)3－12k 2 ＝－3k －12(k ＋1)3k 2<0.所以f (k ＋1)<32－12(k ＋1)2＝g (k ＋1)，即当n ＝k ＋1时，不等式成立．由①②可知，对一切n ∈N *，都有f (n )≤g (n )成立．1．合情推理的精髓是“合情”，即得到的结论符合“情理”，其中主要是归纳推理与类比推理．归纳推理是由部分得到整体的一种推理模式．类比推理是由此及彼的推理模式；演绎推理是一种严格的证明方式．2．直接证明的最基本的两种证明方法是综合法和分析法，这两种方法也是解决数学问题时常见的思维方式．在实际解题时，通常先用分析法寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程．3．数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的一种方法，在遇到与正整数有关的数学命题时，要考虑是否可以使用数学归纳法进行证明．(1)在证明过程中突出两个“凑”字，即一“凑”假设，二“凑”结论，关键是在证明n＝k＋1时要用上n＝k时的假设，其次要明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时，命题形式之间的区别和联系，化异为同，中间的计算过程千万不能省略．(2)注意“两个步骤、一个结论”一个也不能少，切忌忘记归纳结论．真题感悟1．(2014·福建)若集合{a，b，c，d}＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4.有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．答案 6解析由题意知①②③④中有且只有一个正确，其余三个均不正确，下面分类讨论满足条件的有序数组(a，b，c，d)的个数：(1)若①正确，即a＝1，则②③④都错误，即b＝1，c≠2，d ＝4.其中a＝1与b＝1矛盾，显然此种情况不存在；(2)若②正确，即b≠1，则①③④都错误，即a≠1，c≠2，d＝4，则当b＝2时，有a＝3，c ＝1；当b＝3时，有a＝2，c＝1，此时有2种有序数组．(3)若③正确，即c＝2，则①②④都错误，即a≠1，b＝1，d＝4，则a＝3，即此种情况有1种有序数组．(4)若④正确，即d≠4，则①②③都错误，即a≠1，b＝1，c≠2，则当d＝2时，有a＝3，c ＝4或a＝4，c＝3，有2种有序数组；当d＝3时，有c＝4，a＝2，仅1种有序数组．综上可得，共有2＋1＋2＋1＝6(种)有序数组．2．(2014·陕西)观察分析下表中的数据：答案F＋V－E＝2解析观察F，V，E的变化得F＋V－E＝2.押题精练1．圆周上2个点可连成1条弦，这条弦可将圆面划分成2部分；圆周上3个点可连成3条弦，这3条弦可将圆面划分成4部分；圆周上4个点可连成6条弦，这6条弦最多可将圆面划分成8部分．则n 个点连成的弦最多可把圆面分成________部分．( ) A ．2n －1B ．2nC ．2n ＋1D ．2n ＋2答案 A解析 由已知条件得：由此可以归纳出，当点数为n 时，连成的弦数为n (n －1)2；弦把圆面分成的部分数为2n －1，故选A.2．在计算“1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项，k (k ＋1)＝13[k (k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k (k ＋1)]，由此得1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，…n (n ＋1)＝13[n (n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n (n ＋1)]．相加，得1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)＝13n (n ＋1)(n ＋2)．类比上述方法，计算“1×2×3＋2×3×4＋…＋n (n ＋1)(n ＋2)”的结果为____________． 答案 14n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)解析 类比k (k ＋1)＝13[k (k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k (k ＋1)]，可得到k (k ＋1)(k ＋2)＝14[k (k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)－(k －1)k (k ＋1)(k ＋2)]，先逐项裂项，然后累加即得14n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)．(推荐时间：50分钟)一、选择题1．下列推理是归纳推理的是( )A ．A ，B 为定点，动点P 满足|P A |＋|PB |＝2a >|AB |，则P 点的轨迹为椭圆 B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πabD ．以上均不正确 答案 B解析 从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n ，是从特殊到一般的推理，所以B 是归纳推理． 2．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10等于( ) A ．28 B ．76 C ．123 D ．199答案 C解析 观察可得各式的值构成数列1,3,4,7,11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为1,3,4,7,11,18,29,47,76,123，…，第十项为123，即a 10＋b 10＝123. 3．已知x >0，观察不等式x ＋1x≥2x ·1x ＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥33x 2·x 2·4x 2＝3，…，由此可得一般结论：x ＋ax n ≥n ＋1(n ∈N *)，则a 的值为( )A ．n nB ．n 2C ．3nD ．2n答案 A解析 根据已知，续写一个不等式：x ＋33x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋33x 3≥44x 3·x 3·x 3·33x3＝4，由此可得a ＝n n .故选A. 4．已知函数f (x )是R 上的单调增函数且为奇函数，数列{a n }是等差数列，a 3>0，则f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)的值( ) A ．恒为正数 B ．恒为负数 C ．恒为0D ．可正可负答案 A解析 由已知得f (0)＝0，a 1＋a 5＝2a 3>0， 所以a 1>－a 5.由于f (x )单调递增且为奇函数， 所以f (a 1)＋f (a 5)>f (－a 5)＋f (a 5)＝0， 又f (a 3)>0，所以f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)>0. 故选A.5．在平面内点O 是直线AB 外一点，点C 在直线AB 上，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ＝1；类似地，如果点O 是空间内任一点，点A ，B ，C ，D 中任意三点均不共线，并且这四点在同一平面内，若DO →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ＋y ＋z 等于( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．±1答案 B解析 在平面内，由三角形法则， 得AB →＝OB →－OA →，BC →＝OC →－OB →. 因为A ，B ，C 三点共线，所以存在实数t ，使AB →＝tBC →，即OB →－OA →＝t (OC →－OB →)， 所以OC →＝－1t OA →＋(1t＋1)OB →.因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以λ＝－1t ，μ＝1t ＋1，所以λ＋μ＝1.类似地，在空间内可得OD →＝λOA →＋μOB →＋ηOC →，λ＋μ＋η＝1. 因为DO →＝－OD →，所以x ＋y ＋z ＝－1.故选B.6．已知f (n )＝32n ＋2－8n －9，存在正整数m ，使n ∈N *时，能使m 整除f (n )，则m 的最大值为( ) A ．24 B ．32 C ．48 D ．64答案 D解析 由f (1)＝64，f (2)＝704＝11×64，f (3)＝6 528＝102×64， 所以f (1)，f (2)，f (3)均能被64整除，猜想f (n )能被64整除． 下面用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，由上得证；②假设当n ＝k (k ∈N *)时，f (k )＝32k ＋2－8k －9＝9k ＋1－8k －9能被64整除，则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝9(k＋1)＋1－8(k ＋1)－9＝9×9k ＋1－8k －17＝9f (k )＋64(k ＋1)．由归纳假设，f (k )是64的倍数，又64(k ＋1)是64的倍数，所以f (k ＋1)能被64整除，所以当n ＝k ＋1时，猜想也成立． 因为f (1)不能被大于64的数整除， 所以所求m 的最大值等于64.故选D. 二、填空题7．如图所示的是由火柴棒拼成的一列图形，第n 个图形由n 个正方形组成，通过观察可以发现第4个图形中，火柴棒有________根；第n 个图形中，火柴棒有________根．答案 13,3n ＋1解析 易得第四个图形中有13根火柴棒，通过观察可得，每增加一个正方形，需增加三根火柴棒，所以第n 个图形中的火柴棒为4＋3(n －1)＝3n ＋1.8．平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为________． 答案 n 2＋n ＋22解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……，n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n (n ＋1)2＝n 2＋n ＋22个区域．9．(2014·课标全国Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市． 由此判断乙去过的城市为________． 答案 A解析 由题意可推断：甲没去过B 城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A ，C 城市，而乙“没去过C 城市”，说明乙去过城市A ，由此可知，乙去过的城市为A.10．对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23⎩⎨⎧35，33⎩⎪⎨⎪⎧7911，43⎩⎪⎨⎪⎧13151719，….仿此，若m 3的“分裂数”中有一个是59，则m ＝________.答案 8解析 由已知可观察出m 3可分裂为m 个连续奇数，最小的一个为(m －1)m ＋1.当m ＝8时，最小的数为57，第二个便是59.所以m ＝8. 三、解答题11．已知a ，b ，m 为非零实数，且a 2＋b 2＋2－m ＝0，1a 2＋4b 2＋1－2m ＝0.(1)求证：1a 2＋4b 2≥9a 2＋b 2；(2)求证：m ≥72.证明 (1)(分析法)要证1a 2＋4b 2≥9a 2＋b 2成立，只需证(1a 2＋4b 2)(a 2＋b 2)≥9，即证1＋4＋b 2a 2＋4a 2b 2≥9，即证b 2a 2＋4a 2b2≥4.根据基本不等式，有b 2a 2＋4a 2b 2≥2b 2a 2·4a 2b 2＝4成立， 所以原不等式成立．(2)(综合法)因为a 2＋b 2＝m －2，1a 2＋4b 2＝2m －1，由(1)，知(m －2)(2m －1)≥9， 即2m 2－5m －7≥0， 解得m ≤－1或m ≥72.又∵a 2＋b 2＝m －2>0 ∴m >2,故m ≤－1舍去， ∴m ≥72.12．若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>a24对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明结论．解 方法一 当n ＝1时，11＋1＋11＋2＋13＋1>a24，即2624>a24，所以a <26. 而a 是正整数，所以取a ＝25， 下面用数学归纳法证明 1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524. ①当n ＝1时，已证得不等式成立． ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立， 即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1>2524. 则当n ＝k ＋1时， 有1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13(k ＋1)＋1＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1>2524＋[13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1)]． 因为13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1)＝6(k ＋1)(3k ＋2)(3k ＋4)－23(k ＋1)＝18(k ＋1)2－2(9k 2＋18k ＋8)(3k ＋2)(3k ＋4)(3k ＋3)＝2(3k ＋2)(3k ＋4)(3k ＋3)>0，所以当n ＝k ＋1时不等式也成立．由①②知，对一切正整数n ，都有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524，所以正整数a 的最大值为25.方法二 设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1则f (n ＋1)－f (n )＝13n ＋2＋13n ＋3＋13n ＋4－1n ＋1＝13n ＋2＋13n ＋4－23n ＋3＝2(3n ＋2)(3n ＋4)(3n ＋3)>0， ∴数列{f (n )}为递增数列， ∴f (n )min ＝f (1)＝12＋13＋14＝2624，∴1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋13n＋1>a24对一切正整数n都成立可转化为a24<f(n)min，∴a24<2624，∴a<26.故正整数a的最大值为25.。

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．用数学归纳法证明(1)(2)()213(21)n n n n n n +++=-····，从k 到1k +，左边需要增乘的代数式为( ) A ．21k + B ．2(21)k +C ．211k k ++ D ．231k k ++ 【答案】Ｂ2．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于o 60”时，反设正确的是( )A ．假设三内角都大于o 60B ．假设三内角都不大于o 60C ．假设三内角至多有一个大于o 60D ．假设三内角至多有两个大于o 60【答案】A3．下面哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较合适( )A ．三角形B ．平行四边形C ．梯形D ．矩形 【答案】B4．正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，13AE BF ==。

动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P与正方形的边碰撞的次数为( )A ．8B ．6C ．4D ．3【答案】B5．用“三段论”证明12)(+=x x f 为增函数的过程中，则“小前提”是( ) ①12)(+=x x f 为增函数；②增函数的定义；③函数12)(+=x x f 满足增函数的定义 A ．① B ．②C ．③D ．以上都不对【答案】C 6．观察式子：2222221311511171+<,1++<,1+++<,222332344……，由此可归纳出的式子为( ) A ．22211111+++......+<232-1n n B ．22211111+++......+<232+1n n C ．2221112-11+++......+<23n n n D ．22211121+++......+<232+1nn n 【答案】C7．由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是( ) A ．正方形的对角线相等 B ．平行四边形的对角线相等 C ．正方形是平行四边形 D ．其它 【答案】A 8．若7++=a a P ，43+++=a a Q ，)0(≥a 则P 、Q 的大小关系是( )A ．P ＞QB ．P ＝QC ．P ＜QD ．由a 的取值确定【答案】C9．在证明命题“对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=”的过程：“44222222cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos2θθθθθθθθθ-=+-=-=”中应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．分析法和综合法综合使用D ．间接证法 【答案】Ｂ10．推理过程“大前提：________，小前提：四边形ABCD 是矩形，结论：四边形ABCD 的对角线相等．”应补充的大前提是( ) A ．正方形的对角线相等 B ．矩形的对角线相等 C ．等腰梯形的对角线相等 D ．矩形的对边平行且相等 【答案】B11．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．等价条件 【答案】Ａ12．如图所示，某公园设计节日鲜花摆放方案，其中一个花坛由一批花盆堆成六角垛．顶层一个，以下各层堆成正六边形，逐层每边增加一个花盆，若这垛花盆底层最长的一排共有 13个花盆，则底层的花盆的个数是( )A ．91B ．127C ． 169D ．255【答案】B第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于60°，用反证法证明时的假设为“三角形的 ”． 【答案】三个内角都小于60°；14．求1+2+22+23+…+22012的值，可令S=1+2+22+23+…+22012，则2S=2+22+23+24+…+22013，因此2S ﹣S=22013﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52012的值为【答案】2013514-15．已知结论:“在三边长都相等的ABC ∆中，若D 是BC 的中点，G 是ABC ∆外接圆的圆心，则2AGGD=”．若把该结论推广到空间，则有结论:“在六条棱长都相等的四面体ABCD 中，若M 是BCD ∆的三边中线的交点，O 为四面体ABCD 外接球的球心，则AOOM = ”.【答案】316．在等差数列{}n a 中，若100a =，则有*121219(19,)n n a a a a a a n n N -+++=+++<∈成立，类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若101b =，则存在的等式【答案】三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．在ABC ∆中，猜想sin sin sin T A B C =++的最大值，并证明之。

第23课时 推理与证明一、基础练习：1、设平面内有n 条直线（n ≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，f(n)表示这n 条直线交点的个数，则f(4)=_________；当n>4时，f(n)=___________（用n 表示）2、由图（1）有面积关系：''''PA B PAB S PA PB S PA PB∆∆=⋅，则由图（2）有体积关系：'''P A B C P ABCV V --=__________3、用反证法证明“形如4k+3（k ∈N*）的数不能化为两个整数的平方和”时，开始假设结论的反面成立应写成___________。

4、凡自然数是整数，4是自然数，所以4是整数。

以上三段论推理A 、正确B 、推理形式不正确C 、两个“自然数”概念不一致D 、“两个整数”概念不一致5、如图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i=1，2，3，4)，此四边形内任一点P 到i 条边的距离记为h i (i=1，2，3，4)，若31241234a a a a k ====，则412()i i S ih k ==∑，类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i =(i=1，2，3，4)，此三棱锥内任一点Q到第i 个面的距离记为H i (i=1，2，3，4)，若31241234S S S S K ====，则41()i i iH =∑=__________ 二、例题析解 例1：设有椭圆221259x y +=，F 1，F 2是其两个焦点，点M 在椭圆上。

（1）若∠F 1MF 2=90°，求△F 1MF 2的面积。

（2）若∠F 1MF 2=60°，△F 1MF 2的面积是多少？若∠F 1MF 2=45°，△F 1MF 2的面积又是多少？（3）观察以上计算结果，你能看出随∠F 1MF 2的变化，△F 1MF 2的面积将怎样变化吗？试证明你的结论。

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知数列{}n a 中,11,a =前n 项和为n S ，且点*1(,)()n n P a a n N +∈在直线10x y -+=上，则1231111n S SS S ++++=( ) A ． 21n n + B ．2(1)n n + C ． (1)2n n + D ．2(1)n n + 【答案】A2．如图，一个质点从原点出发，在与y 轴.x 轴平行的方向按（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→（2，0）→（2，2）…的规律向前移动，且每秒钟移动一个单位长度，那么到第2011秒时，这个质点所处位置的坐标是( )A ．（13，44）B ．（14，44）C ．（44，13）D ．（44，14）【答案】A 3．从一楼到二楼的楼梯共有n 级台阶，每步只能跨上1级或2级，走完这n 级台阶共有()n f 种走法，则下面猜想正确的是( )A ．()()()()321≥-+-=n n f n f n fB ．()()()212≥-=n n f n fC ．()()()2112≥--=n n f n fD ．()()()()321≥--=n n f n f n f 【答案】A4．求形如()()g x y f x 的函数的导数，我们常采用以下做法：先两边同取自然对数得：ln ()ln ()y g x f x ,再两边同时求导得'''11()ln ()()()()y g x f x g x f x y f x =+，于是得到：'''1()[()ln ()()()]()y f x g x f x g x f x f x ，运用此方法求得函数1xy x 的一个单调递增区间是( )A ．(e,4)B ．(3,6)C ．(0,e)D ．(2,3) 【答案】C5．将连续)3(2≥n n 个正整数填入n n ⨯的方格中，使其每行、每列、每条对角线上的各数之和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方数阵，记)(n f 为n 阶幻方数阵对角线上各数之和，如图就是一个3阶幻方数阵，可知15)3(=f 。

高中数学《推理与证明》练习题（附答案解析）一、单选题1．记凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋（ ） A ．2π B ．πC ．32π D ．2π2．用数学归纳法证明()11111231n n n n ++++>∈+++N ，在验证1n =时，左边的代数式为（ ） A ．111234++ B ．1123+C ．12D ．13．两个正方体1M 、2M ，棱长分别a 、b ，则对于正方体1M 、2M 有：棱长的比为a:b ，表面积的比为22:a b ，体积比为33:a b ．我们把满足类似条件的几何体称为“相似体”，下列给出的几何体中是“相似体”的是（ ） A ．两个球B ．两个长方体C ．两个圆柱D ．两个圆锥4．用数学归纳法证明1115 (1236)n n n +++≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（ ） A ．111313233k k k +++++ B ．11113132331k k k k ++-++++ C ．131k + D ．133k + 5．现有下列四个命题： 甲：直线l 经过点(0,1)-； 乙：直线l 经过点(1,0)； 丙：直线l 经过点(1,1)-； 丁：直线l 的倾斜角为锐角.如果只有一个假命题，则假命题是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．用数学归纳法证明242123()2n n n n N *+++++=∈，则当1n k =+时，等式左边应该在n k =的基础上加上（ ） A ．21k +B ．2(1)k +C ．2(2)k +D ．222(1)(2)(1)k k k ++++++7．已知数列{}n a 中，11a =，()*111nn na a n a +=+∈+N ，用数学归纳法证明：1n n a a +<，在验证1n =成立时，不等式右边计算所得结果是（ ）A ．12B ．1C ．32D ．28．设平面内有k 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k 条直线的交点个数为()f k ，则()1f k +与()f k 的关系是（ ） A ．()()11f k f k k +=++ B ．()()11f k f k k +=+- C ．()()1f k f k k +=+D ．()()12f k f k k +=++9．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 （ ） A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙10．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1；第二次取2个连续偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续偶数10，12，14，16；第五次取5个连续奇数17，19，21，23，25，按此规律取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…，则在这个子数列中第2 020个数是（ ） A ．3976 B ．3974 C ．3978D ．3973二、填空题11．用数学归纳法证明111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++（n 为正整数）时，第一步应验证的等式是______．12．用数学归纳法证明命题“1+1123++…+1222n n +>(n ∈N +，且n ≥2)”时，第一步要证明的结论是________.13．用反证法证明“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”时，假设应为_______．14．已知等差数列{}()*n a n N ∈中，若10100a =，则等式()121220192019,*n n a a a a a a n n N -+++=+++<∈恒成立；运用类比思想方法，可知在等比数列{}()*n b n N ∈中，若1001b =，则与此相应的等式_________________恒成立.三、解答题15．(1)请用文字语言叙述异面直线的判定定理；(2)把（1）中的定理写成“已知：．．．，求证：．．．”的形式，并用反证法证明．16．把空间图形“正四面体”与平面图形“正三角形”对应，类比“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”得到的相应结论为___________.17．下列各题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？ （1）求证：当N*n ∈时，1=+n n ．证明：假设当(*)n k k N =∈时，等式成立，即1k k =+． 则当1n k =+时，左边1(11)k k =+=++=右边． 所以当1n k =+时，等式也成立．由此得出，对任何N*n ∈，等式1=+n n 都成立． （2）用数学归纳法证明等差数列的前n 项和公式是1()2n n n a a S +=． 证明，∈当1n =时，左边=11S a =，右边1a =，等式成立． ∈假设当(*)n k k N =∈时，等式成立，即1()2k k k a a S +=．则当1n k =+时， 11231k k k S a a a x a a ++=+++++， 11121k k k k S a a a a a ++-=+++++．上面两式相加并除以2，可得 111(1)()2k k k a a S ++++=，即当1n k =+时，等式也成立．由∈∈可知，等差数列的前n 项和公式是1()2n n n a a S +=18．一本旧教材上有一个关于正整数n 的恒等式22211223(1)(1)12n n n n ⨯+⨯+++=+？ 其中问号处由于年代久远，只能看出它是关于n 的二次三项式，具体的系数已经看不清楚了．请你猜想这个恒等式的形式，并用数学归纳法证明．参考答案与解析：1．B【分析】根据题意相当于增加了一个三角形，从而得出选项. 【详解】由凸k 边形变为凸k ＋1边形时， 增加了一个三角形，故f (k ＋1)＝f (k )＋π. 故选：B 2．A【分析】将1n =代入计算可得结果. 【详解】解：1111231n n n ++++++代入1n =为：111234++. 故选：A 3．A【分析】分别使用表面积公式、体积公式计算后即可发现结论. 【详解】设两个球的半径分别为R ，r ． 这两个球的半径比为：:R r ， 表面积比为：22224:4:R r R r ππ=， 体积比为：333344::33R r R r ππ=， 所以，两个球是相似体． 故选：A ． 4．B【分析】比较n k =、1n k =+时不等式左边代数式的差异后可得需添加的项，从而得到正确的选项. 【详解】当n k =时，所假设的不等式为1115 (1236)k k k +++≥++， 当1n k =+时，要证明的不等式为1111115 (2233132336)k k k k k k ++++++≥+++++， 故需添加的项为：11113132331k k k k ++-++++， 故选：B.【点睛】本题考查数学归纳法，应用数学归纳法时，要注意归纳证明的结论和归纳假设之间的联系，必要时和式的开端和结尾处需多写几项，便于寻找差异.本题属于基础题. 5．C【分析】设(0,1)A -，(1,0)B ，(1,1)C -，计算AB k 和BC k ，可判断三点共线，可知假命题是甲､乙､丙中的一个，再由斜率即可求解.【详解】设(0,1)A -，(1,0)B ，(1,1)C -则10101AB k --==-，101112BC k -==---，因为AB BC k k ≠，所以,,A B C 三点不共线，所以假命题必是甲､乙､丙中的一个，丁是真命题，即直线l 的斜率大于0， 而0AB k >，0BC k <，0AC k <，故丙是假命题. 故选：C. 6．D【分析】由n =k+1时，等式左端2123k =+++++222(1)(2)(1)k k k ++++++可得答案.【详解】当n =k 时，等式左端2123k =++++，当n =k+1时，等式左端2123k =+++++222(1)(2)(1)k k k ++++++，增加了项222(1)(2)(1)k k k ++++++．故选：D ． 7．C【分析】将1n =代入即可得结果. 【详解】当1n =时，不等式右边为1211311122a a a =+=+=+． 故选：C. 8．C【分析】考虑当1n k =+时，任取其中1条直线，记为l ，由于直线l 与前面n 条直线任何两条不平行，任何三条不共点，所以要多出k 个交点，从而得出结果. 【详解】当1n k =+时，任取其中1条直线，记为l ， 则除l 外的其他k 条直线的交点的个数为()f k ， 因为已知任何两条直线不平行，所以直线l 必与平面内其他k 条直线都相交(有k 个交点)； 又因为任何三条直线不过同一点， 所以上面的k 个交点两两不相同，且与平面内其它的()f k 个交点也两两不相同， 从而1n k =+时交点的个数是()()1f k k f k +=+， 故选：C 9．A【分析】利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ．【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查． 10．A【分析】根据题意分析出第n 次取n 个数，前n 次共取(1)2n n +个数，且第n 次取的最后一个数为n 2，然后算出前63次共取了2016个数，从而能得到数列中第2 020个数是3976.【详解】由题意可得，奇数次取奇数个数，偶数次取偶数个数，前n 次共取了(1)1232n n n ++++⋯+=个数，且第n 次取的最后一个数为n 2， 当63n =时，()6363120162⨯+=， 即前63次共取了2016个数，第63次取的数都为奇数，并且最后一个数为2633969=， 即第2 016个数为3 969，所以当n ＝64时，依次取3 970，3 972，3 974，3 976，…，所以第2 020个数是3 976. 故选：A. 11．11122-= 【分析】根据数学归纳法的一般步骤，令1n =即可得出结论. 【详解】依题意，当1n =时， 1112121-=⨯⨯， 即11122-=， 故答案为：11122-=.12．1112212342++++> 【解析】根据数学归纳法的步骤可知第一步要证明2n =时的不等式成立.【详解】因为n ≥2，所以第一步要证的是当n=2时结论成立，即1+111222342+++>. 故答案为：1112212342++++> 13．a ，b ，c 中至少有两个偶数【分析】用反证法证明某命题是，应先假设命题的否定成立，所以找出命题的否定是解题的关键. 【详解】用反证法证明某命题是，应先假设命题的否定成立.因为“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”的否定是：“a ，b ，c 中至少有两个偶数”，所以用反证法证明“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”时，假设应为“a ，b ，c 中至少有两个偶数”， 故答案为：a ，b ，c 中至少有两个偶数. 14．()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈【解析】根据等差数列的性质有12019101020n n a a a +-+==，等比数列的性质有21199100=1n n b b b +-=，类比即可得到结论.【详解】已知等差数列{}()*n a n N ∈中，12122019n n a a a a a a -+++=+++ 1122019n n n a a a a a +-++=++++,12201820190n n n a a a a ++-∴++++=.10100a =,由等差数列的性质得， 1201922018101020n n n n a a a a a +-+-+=+===.等比数列{}()*n b n N ∈，且1001b =，有等比数列的性质得，211992198100===1n n n n b b b b b +-+-=.所以类比等式()*121220192019,n n a n a a a a a n N -+++=+++<∈，可得()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈. 故答案为：()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的性质，结合类比的规则，和类比积，加类比乘，得出结论,属于中档题.15．(1)见解析； (2)见解析.【分析】（1）将判定定理用文字表述即可；（2）根据（1）中的前提和结论可得定理的形式，利用反证法可证该结论.【详解】（1）异面直线的判定定理：平面外一点与平面内一点的连线与平面内不过该点直线是异面直线. （2）（1）中的定理写成“已知：．．．，求证：．．．”的形式如下： ,,,P Q l Q l ααα∉∈⊂∉，求证：,PQ l 为异面直线.证明：若,PQ l 不为异面直线，则,PQ l 共面于β，故,,Q l ββ∈⊂ 而Q l ∉，故,αβ为同一平面，而P β∈，故P α∈， 这与P α∉矛盾，故,PQ l 为异面直线.16．正四面体内一点到四个面的距离之和为定值 【分析】将边类比为面，从而得出正确结论.【详解】把空间图形“正四面体”与平面图形“正三角形”对应，类比“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”得到的相应结论为“正四面体内一点到四个面的距离之和为定值”. 故答案为：正四面体内一点到四个面的距离之和为定值 17．（1）有错误，理由见解析；（2）有错误，理由详见解析.【分析】根据数学归纳法分为两步，∈证明当1n =时，结论成立，∈假设当n k =时，结论成立，当1n k =+时，应用归纳假设，证明1n k =+时，命题也成立，根据数学归纳法的步骤判断过程的错误之处. 【详解】（1）有错误，错误在于没有证明第（1）步，即没有证明1n =时等式成立；（2）有错误，错误在于证明1n k =+时，没有应用n k =时的假设，而是应用了倒序相加法，这不符合数学归纳法的证明过程. 18．222211223(1)(1)(31110)12n n n n n n ⨯+⨯+++=+++，证明见解析 【分析】设222()1223(1)f n n n =⋅+⋅+⋅⋅⋅++即可求得f （1），f （2），f （3）；假设存在常数a ，b ，c 使得2(1)()()12n n f n an bn c +=++对一切自然数n 都成立，由f （1），f （2），f （3）的值可求得a ，b ，c ；再用数学归纳法证明即可．【详解】设222()1223(1)f n n n =⋅+⋅+⋅⋅⋅++， f ∴（1）2124=⋅=，f （2）22122322=⋅+⋅=， f （3）22212233470⋅+⋅+⋅=； 假设存在常数a ，b ，c 使得2(1)()()12n n f n an bn c +=++对一切自然数n 都成立， 则f （1）12()412a b c ⨯=++=， 24a b c ∴++=∈，同理，由f （2）22=得4244a b c ++=∈， 由f （3）70=得9370a b c ++=∈ 联立∈∈∈，解得3a =，11b =，10c =．2(1)()(31110)12n n f n n n +∴=++． 证明：1︒当1n =时，显然成立；2︒假设n k =时，2(1)(1)(2)(35)()(31110)1212k k k k k k f k k k ++++=++=， 则1n k =+时，2(1)()(1)[(1)1]f k f k k k +=++++2(1)(2)(35)(1)[(1)1]12k k k k k k +++=++++2(1)(2)(31724)12k k k k ++=++ (1)(2)(3)(38)12k k k k ++++=(1)[(1)1][(2)1][3(1)5]12k k k k +++++++=，即1n k =+时，结论也成立．综合1︒，2︒知，存在常数3a =，11b =，10c =使得2(1)()(31110)12n n f n n n +=++对一切自然数n 都成立。

新《推理与证明》专题一、选择题1．某学校为响应国家强化德智体美劳教育的号召，积极实施国家课程校本化.每个学生除学习文化课程外，还可以根据自己的兴趣爱好来选修一门校本课程作为自己的特长课程来学习.该校学生小刚选完课后，本班的其他三位同学根据小刚的兴趣爱好对小刚的选课做出了自己的判断：甲说：小刚选的不是书法，选的是篮球；乙说：小刚选的不是篮球，选的是排球；丙说：小刚选的不是篮球，选的也不是国画.已知三人中有一个人说的全对，有一人说对了一半，另一个人说的全不对，由此推断小刚的选择的（ ） A ．可能是国画 B ．可能是书法C ．可能是排球D ．一定是篮球【答案】B 【解析】 【分析】依次假定小刚的选择，逐一验证得到答案. 【详解】若小刚选择的是国画，则甲对一半，乙对一半，丙对一半，不满足，排除； 若小刚选择的是书法，则甲全不对，乙对一半，丙全对，满足； 若小刚选择的是排球，则甲对一半，乙全对，丙全对，不满足，排除； 若小刚选择的是篮球，则甲全对，乙全不对，丙对一半，满足； 故小刚可能选择的是书法和篮球. 故选：B . 【点睛】本题考查了推理分析，意在考查学生的逻辑推理能力.2．观察下列各式：a+b=1.a 2+b 2=3，a 3+b 3=4 ，a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…，则a 10+b 10=（ ） A ．28 B ．76C ．123D ．199【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 由题观察可发现，347,4711,71118+=+=+=， 111829,182947+=+=， 294776,4776123+=+=，即1010123a b +=, 故选C.考点：观察和归纳推理能力.3．若数列{}n a 是等差数列，则数列12nn a a a b n++⋯+=也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{}n c 是等比数列，且n d 也是等比数列，则n d 的表达式应为( ) A ．12nn c c c d n++⋯+=B ．12nn c c c d n⋅⋅⋯⋅=C ．n d =D ．n d =【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式，等比数列的通项公式，即可得到结论． 【详解】解：Q 数列{}n a 是等差数列，则()12112n n na a a a d n -++⋯++=，∴数列12112n n a a a n b a d n ++⋯+-==+也为等差数列Q 正项数列{}n c 是等比数列，设首项为1c ，公比为q ，则()112121111nn nn n c c c c c q c qc q--⋅⋅⋯⋅⋅⋅⋯==⋅∴121n n d c q-=∴n d =故选：D ． 【点睛】本题考查类比推理，解题的关键是掌握好类比推理的定义及等差等比数列之间的共性，由此得出类比的结论即可．4．用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一，计数形式有纵式和横式两种，如图1所示.金元时期的数学家李冶在《测圆海镜》中记载：用“天元术”列方程，就是用算筹来表示方程中各项的系数.所谓“天元术”，即是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”，意即“设x 为某某”.如图2所示的天元式表示方程10110n n n n a x a x a x a --++⋅⋅⋅++=，其中0a ，1a ，…，1n a -，n a 表示方程各项的系数，均为筹算数码，在常数项旁边记一“太”字或在一次项旁边记一“元”字，“太”或“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.试根据上述数学史料，判断图3天元式表示的方程是（ ） A ．228617430x x ++= B ．4227841630x x x +++= C ．2174328610x x ++= D ．43163842710x x x +++=【答案】C 【解析】 【分析】根据“算筹”法表示数可得题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743，结合“天元术”列方程的特征即可得结果. 【详解】由题意可得，题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743， 由“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.可得天元式表示的方程为2174328610x x ++=.故选：C. 【点睛】本题主要是以数学文化为背景，考查数学阅读及理解能力，充分理解“算筹”法表示数和“天元术”列方程的概念是解题的关键，属于中档题.5．在平面直角坐标系中,方程1x ya b+=表示在x 轴、y 轴上的截距分别为,a b 的直线,类比到空间直角坐标系中,在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为(),,0a b c abc ≠的平面方程为( )A ．1x y z a b c++= B ．1x y z ab bc ca++= C ．1xy yz zx ab bc ca ++= D ．1ax by cz ++=【答案】A 【解析】 【分析】平面上直线方程的截距式推广到空间中的平面方程的截距式是1x y za b c++=. 【详解】由类比推理得：若平面在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为,,a b c ，则该平面的方程为：1x y za b c ++=，故选A. 【点睛】平面中的定理、公式等类比推理到空间中时，平面中的直线变为空间中的直线或平面，平面中的面积变为空间中的体积.类比推理得到的结论不一定正确，必要时要对得到的结论证明.如本题中，可令0,0x y ==，看z 是否为c .6．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ） A ．丙被录用了 B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了 【答案】C 【解析】 【分析】假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可. 【详解】解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意， 若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意， 若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意， 综上可得甲被录用了， 故选：C. 【点睛】本题考查了逻辑推理能力，属基础题.7．分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q ，这两个相距R 的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U .其计算式子为212121111U kcq R R x x R x R x ⎛⎫=+-- ⎪+-+-⎝⎭，其中，kc 为静电常量，1x 、2x 分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知12121x x R x x R R -⎛⎫+-=+⎪⎝⎭，111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，且()1211x x x -+≈-+，则U 的近似值为（ ）A ．2123kcq x x R B ．2123kcq x x R - C ．21232kcq x x R D ．21232kcq x x R- 【答案】D 【解析】 【分析】将12121x x R x x R R -⎛⎫+-=+⎪⎝⎭，111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭代入U ，结合()1211x x x -+≈-+化简计算可得出U 的近似值.【详解】221212121211111111111U kcq kcq x x x x R R x x R x R x R R R R R R R ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥=+--=+-- ⎪-+-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎝⎭++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2222121211221111x x x x x x x x kcq RR R R R R R ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+----⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦21232kcq x x R =-. 故选：D. 【点睛】本题考查U 的近似计算，充分理解题中的计算方法是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.8．某游泳馆内的一个游泳池设有四个出水量不同的出水口a ，b ，c ，d ，当游泳池内装满水时，同时打开其中两个出水口，放完水所需时间如下表：则a ，b ，c ，d 四个出水口放水速度最快的是（ ）A ．dB ．bC ．cD ．a【答案】A 【解析】 【分析】利用所给数据，计算出每个出水口分别的放水时间，比较大小即可. 【详解】由题易解得a ，b ，c ，d 放水时间分别为70，100，90，50，所以d 出水速度最快. 故选：A. 【点睛】本题考查了方程的思想，属于基础题.9．二维空间中圆的一维测度(周长)2lr π=，二维测度(面积)2S r π=；三维空间中球的二维测度(表面积)24S r π=，三维测度(体积)343V r π=.若四维空间中“超球”的三维测度38V r π=，猜想其四维测度W =（ ）A ．42r πB ．43r πC ．44r πD ．46r π【答案】A 【解析】分析：由题意结合所给的性质进行类比推理即可确定四维测度W .详解：结合所给的测度定义可得：在同维空间中，1n +维测度关于r 求导可得n 维测度， 结合“超球”的三维测度38V r π=，可得其四维测度42W r π=. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查类比推理，导数的简单应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。

精选题库试题理数1.(2014 山东 ,4,5 分 )用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0起码有一个实根”时,要做的假定是 ()A. 方程 x3+ax+b=0 没有实根B. 方程 x3+ax+b=0 至多有一个实根C.方程 x3+ax+b=0 至多有两个实根3D. 方程 x +ax+b=0 恰巧有两个实根1.A1.因为“方程 x3+ax+b=0 起码有一个实根”等价于“方程 x3+ax+b=0 的实根的个数大于或等于1”,所以 ,要做的假定是方程 x3+ax+b=0 没有实根 .2.(2014 北京 ,8,5 分 )学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,挨次为“优异”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙 ,且此中起码有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”如.果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,而且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生 ,那么这组学生最多有 ()A.2 人B.3 人C.4 人D.5 人2.B2.设学生人数为 n,因为成绩评定只有“优异”“合格”“不合格”三种状况 ,所以当 n≥4时 ,语文成绩起码有两人相同 ,若此两人数学成绩也相同 ,与“随意两人成绩不全相同”矛盾 ;若此两人数学成绩不一样 ,则此两人有一人比另一人成绩好 ,也不知足条件 .所以 :n<4, 即 n≤3当. n=3 时 ,评定结果分别为“优异 ,不合格”“合格 ,合格”“不合格 ,优异”,切合题意 ,故 n=3,选 B.3. （ 2014 广东汕头一般高考模拟考试一试题，8）设）为平面直角坐标系上的两点，此中.令,,若, 且，则称点B为点A的“有关点”，记作：, 已知）为平面上一个定点，平面上点列知足：=，且点的坐标为，此中, 则点的有关点” 有（）个A.4B.6C.8D.103.C3.因为为非零整数）故或，所以点的有关点有8 个.4.(2014 陕西 ,15(B),5 分 )B.( 几何证明选做题 )如图 ,△ ABC 中 ,BC=6, 以 BC 为直径的半圆分别交AB,AC 于点 E,F,若 AC=2AE, 则 EF=________.4.34.∵四边形BCFE 内接于圆 ,∴∠ AEF= ∠ ACB,又∠ A 为公共角 ,∴△ AEF ∽△ ACB, ∴=,又∵ BC=6,AC=2AE.∴EF=3.5. (2014 陕西 ,14,5 分)察看剖析下表中的数据:多面体面数 (F)极点数 (V) 棱数 (E)三棱柱 569五棱锥 6610立方体 6812猜想一般凸多面体中F,V,E 所知足的等式是 ________________.5.F+V-E=25.察看表中数据 ,并计算 F+V 分别为 11,12,14,又其对应 E 分别为 9,10,12, 简单察看并猜想F+V-E=2.6.(2014 课表全国Ⅰ， 14， 5 分)甲、乙、丙三位同学被问到能否去过A,B,C 三个城市时 ,甲 :我去的城市比乙多,但没去 B 城市 ;乙 :我没去 C 城市 ;丙 :我三人去同一城市.由此可判断乙去的城市________.6.A6.因为甲、乙、丙三人去同一城市,而甲没有去 B 城市 ,乙没有去 C 城市 ,所以三人去同一城市A, 而甲去的城市比乙多,但没去 B 城市 ,所以甲去的城市数2,乙去的城市 A.7. (2014 福州高中班量, 15) 已知函数, 若数列足,且的前和,=.7.80427.依意，，，，，，，，，⋯所以，，猜想，所以.8.(2014 湖北黄高三 4 月模考， 14) 意大利有名数学家斐波那契在研究兔子生殖，有一数：1,1, 2,3, 5,8, 13 ，此中从第三个数起，每一个数都等于它前方两个数的和，咧是一个特别美和的数列. 有好多巧妙的属性 . 比方：跟着数列数的增添，前一与后一之比越迫近黄金切割0.6180339887⋯，人称数列“斐波那契数列”. 若把数列的每一除以4 所得的余数按相的序成新数列，在数列中第 2014的；数列中，第 2014 个 1 的的序号是.8. 340278.因是周期 6 的周期数列，前 6 ： 1， 1， 2，3， 1， 0，所以第 2014=6×335+4 的是 3；因每个周期内含有三个1，2014=3×671+1，所以第 2014 个 1 的的序号是 6×671+1=4027.9. (2014 黑江哈第三中学第一次高考模考，13) 已知，由不等式，,，获得推行：，数________.9.9.又已知不等式获得的推行，适当；当；当；⋯ ；由推理可知，.10.（2014 江西色六校高三第二次考理数，13）随意正整数，定的双乘以下：当偶数，；当奇数，`。

2021年高考数学理科真题汇编解析：第十四章推理与证明第十四章推理与证明第一节合情推理与演绎推理1.〔2021全国2卷理科7〕甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老成的成．老：你四人中有2位秀，2位良好，我在甲看乙、丙的成，乙看丙的成，丁看甲的成．看后甲大家：我是不知道我的成．根据以上信息，〔〕.A．乙可以知道四人的成B．丁可以知道四人的成C．乙、丁可以知道方的成D．乙、丁可以知道自己的成1．解析四人所知只有自己看到，老所及最后甲的．甲不知道自己成→乙、丙中必有一一良〔假设两，甲会知道自己成；两良亦然〕.乙看了丙成，知道自己的成→丁看甲，甲、丁中也一一良，丁知道自己的成．故D.2.〔2021全国1卷理科12〕几位大学生响国家的号召，开了一款用件.激大家学数学的趣，他推出了“解数学取件激活〞的活.款件的激活下面数学的答案：数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，⋯，其中第一是20，接下来的两是20，21，再接下来的三是20，21，22，依此推.求足如下条件的最小整数N：N100且数列的前N和2的整数.那么款件的激活是〔〕.A.440B.330C.220 D.1102.解析首第1，接下来两第2，再接下来三第3，以此推．n1n n1n10第n的数n，n的数和2，由意得，N100，令212n1得n≥14且n *13之后，第n的和122，即N出在第，n共的和212nn12n N n1n1n，假设要使前N和2的整数，的和2k1 22n互相反数，即2k12nk N*，n≥14，klog2n3，得n的最小n29，k5，29129N25440那么.应选A.题型149 归纳推理——暂无题型150类比推理——暂无题型151演绎推理第二节证明。

新高考数学《推理与证明》练习题一、选择题1．曾玉、刘云、李梦、张熙四人被北京大学、清华大学、武汉大学和复旦大学录取，他们分别被哪个学校录取，同学们做了如下的猜想 甲同学猜：曾玉被武汉大学录取，李梦被复旦大学录取 同学乙猜：刘云被清华大学录取，张熙被北京大学录取 同学丙猜：曾玉被复旦大学录取，李梦被清华大学录取 同学丁猜：刘云被清华大学录取，张熙被武汉大学录取结果，恰好有三位同学的猜想各对了一半，还有一位同学的猜想都不对 那么曾玉、刘云、李梦、张熙四人被录取的大小可能是（ ） A ．北京大学、清华大学、复旦大学、武汉大学 B ．武汉大学、清华大学、复旦大学、北京大学 C ．清华大学、北京大学、武汉大学 、复旦大学 D ．武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学 【答案】D 【解析】 【分析】推理得到甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，得到答案. 【详解】根据题意：甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，曾玉、刘云、李梦、张熙被录取的大学为武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学 （另外武汉大学、清华大学、北京大学、复旦大学也满足）. 故选：D . 【点睛】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的推理能力.2．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-= 【答案】C 【解析】 【分析】根据合情推理与演绎推理的概念，得到A 是归纳推理，B 是归纳推理，C 是演绎推理，D 是类比推理，即可求解．根据合情推理与演绎推理的概念，可得:对于A 中， 由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电，属于归纳推理； 对于B 中， 猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+，属于归纳推理，不是演绎推理；对于C 中，半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=，属于演绎推理； 对于D 中， 由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-=，属于类比推理， 综上，可演绎推理的C 项，故选C ． 【点睛】本题主要考查了合情推理与演绎推理的概念及判定，其中解答中熟记合情推理和演绎推理的概念，以及推理的规则是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．3．甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃．甲说：“是丙或丁打碎的．”乙说：“是丁打碎的．”丙说：“我没有打碎玻璃．”丁说：“不是我打碎的．”他们中只有一人说了谎，请问是（ ）打碎了玻璃． A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D 【解析】 【分析】假设其中一个人说了谎，针对其他的回答逐个判断对错即可，正确答案为丁． 【详解】假设甲打碎玻璃，甲、乙说了谎，矛盾， 假设乙打碎了玻璃，甲、乙说了谎，矛盾， 假设丙打碎了玻璃，丙、乙说了谎，矛盾， 假设丁打碎了玻璃，只有丁说了谎，符合题意， 所以是丁打碎了玻璃； 故选：D 【点睛】本题考查了进行简单的合情推理，采用逐一检验的方法解题，属基础题．4．设a ，b ，c 都大于0，则三个数1a b +，1b c +，1c a+的值（ ） A ．至少有一个不小于2 B ．至少有一个不大于2 C ．至多有一个不小于2 D ．至多有一个不大于2【答案】A【分析】根据基本不等式，利用反证法思想，即可得出答案 【详解】因为a ，b ，c 都大于01111116a b c a b c b c a a b c +++++=+++++≥ 当且仅当1a b c ===时取得最小值若12a b +<，12b c+<，12c a +<则1116a b c b c a+++++<，与前面矛盾所以三个数1a b +，1b c +，1c a+的值至少有一个不小于2 故选：A 【点睛】本题是一道关于基本不等式应用的题目，掌握基本不等式是解题的关键.5．平面上有n 个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成()f n 块区域，有(1)2f =，(2)4f =，(3)8f =，则() f n =（ ）．A ．2nB ．22n n -+C ．2(1)(2)(3)n n n n ----D ．325104n n n -+-【答案】B 【解析】 【分析】分析可得平面内有n 个圆时, 它们将平面分成()f n 块,再添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆.再求和即可. 【详解】由题, 添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆. 又(1)2f =,故()()12f n f n n +-=.即()()()()()()212,32 4...122f f f f f n f n n -=-=--=-. 累加可得()()()21222224 (2222)2n n n n f n n -+-=++++-=-++=.故选：B 【点睛】本题主要考查了根据数列的递推关系求解通项公式的方法,需要画图分析进行理解.或直接计算(4),(5) f f 等利用排除法判断.属于中档题.6．分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q ，这两个相距R 的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U .其计算式子为212121111U kcq R R x x R x R x ⎛⎫=+-- ⎪+-+-⎝⎭，其中，kc 为静电常量，1x 、2x 分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知12121x x R x x R R -⎛⎫+-=+⎪⎝⎭，111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，且()1211x x x -+≈-+，则U 的近似值为（ ）A ．2123kcq x x R B ．2123kcq x x R - C ．21232kcq x x R D ．21232kcq x x R- 【答案】D 【解析】 【分析】将12121x x R x x R R -⎛⎫+-=+⎪⎝⎭，111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭代入U ，结合()1211x x x -+≈-+化简计算可得出U 的近似值.【详解】221212121211111111111U kcq kcq x x x x R R x x R x R x R R R R R R R ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥=+--=+-- ⎪-+-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎝⎭++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2222121211221111x x x x x x x x kcq RR R R R R R ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+----⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦21232kcq x x R =-. 故选：D. 【点睛】本题考查U 的近似计算，充分理解题中的计算方法是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.7．在《中华好诗词大学季》的决赛赛场上，由南京师范大学郦波老师、中南大学杨雨老师、著名历史学者纪连海和知名电视节目主持人赵忠祥四位大学士分别带领的四支大学生团队进行了角逐．将这四支大学生团队分别记作甲、乙、丙、丁，且比赛结果只有一支队伍获得冠军，现有小张、小王、小李、小赵四位同学对这四支参赛团队的获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得冠军”；小王说：“丁团队获得冠军”；小李说“乙、丙两个团队均未获得冠军”；小赵说：“甲团队获得冠军”．若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得冠军的团队是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D 【解析】 【分析】对甲、乙、丙、丁分别获得冠军进行分类讨论，结合四人的说法进行推理，进而可得出结论. 【详解】若甲获得冠军，则小张、小李、小赵的预测都正确，与题意不符； 若乙获得冠军，则小王、小李、小赵的预测不正确，与题意不符； 若丙获得冠军，则四个人的预测都不正确，与题意不符；若丁获得冠军，则小王、小李的预测都正确，小张和小赵预测的都不正确，与题意相符． 故选：D ． 【点睛】本题考查合情推理，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.8．已知()sin cos f x x x =-，定义1()()f x f x '=，[]'21()()f x f x =，…[]1()()n n f x f x '+=，（*n N ∈），经计算，1()cos sin f x x x =+，2()sin cos f x x x =-+，3()cos sin f x x x =--，…，照此规律，2019()f x =（ ）A ．cos sin x x --B ．cos sin x x -C ．sin cos x x +D ．cos sin x x -+【答案】A 【解析】 【分析】根据归纳推理进行求解即可． 【详解】解：由题意知：()sin cos f x x x =-，1()()cos sin f x f x x x '==+，[]1'2()()sin cos f x f x x x ==-+， []'23()()cos sin f x f x x x ==--， []'34()()sin cos f x f x x x ==-，L照此规律，可知：[]'201923()()co )s (s in f x f x x x f x ==--=，故选：A.【点睛】本题考查函数值的计算，利用归纳推理是解决本题的关键．9．我们在求高次方程或超越方程的近似解时常用二分法求解，在实际生活中还有三分法.比如借助天平鉴别假币.有三枚形状大小完全相同的硬币，其中有一假币（质量较轻），把两枚硬币放在天平的两端，若天平平衡，则剩余一枚为假币，若天平不平衡，较轻的一端放的硬币为假币.现有 27 枚这样的硬币，其中有一枚是假币（质量较轻），如果只有一台天平，则一定能找到这枚假币所需要使用天平的最少次数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】 【分析】根据提示三分法，考虑将硬币分为3组，然后将有问题的一组再分为3组，再将其中有问题的一组分为3，此时每组仅为1枚硬币，即可分析出哪一个是假币. 【详解】第一步将27枚硬币分为三组，每组9枚，取两组分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币在第三组中；若天平不平衡，假币在较轻的那一组中；第二步把较轻的9枚金币再分成三组，每组3枚，任取2组，分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币在第三组，若天平不平衡则假币在较轻的一组；第三步再将假币所在的一组分成三组，每组1枚，取其中两组放于天平左右两侧测量若天平平衡，则假币是剩下的一个；若天平不平衡，则较轻的盘中所放的为假币.因此，一定能找到假币最少需使用3次天平. 故选：B. 【点睛】本题考查类比推理思想的应用，难度一般.处理该类问题的关键是找到题干中的提示信息，由此入手会方便很多.10．对于实数a ，b ，已知下列条件：①2a b +=；②2a b +>；③2a b +>-；④1ab >；⑤log 0a b <．其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件为（ ） A ．②③④ B ．②③④⑤ C ．①②③⑤ D ．②⑤【答案】D 【解析】 【分析】根据条件分别利用特殊值以及反证法进行判断即可． 【详解】①当a ＝b ＝1时，满足a +b ＝2，但此时推不出结论，②若a ≤1，b ≤1，则a +b ≤2，与a +b ＞2，矛盾，即a +b ＞2，可以推出， ③当a 12=，b 12=时，满足条件a +b ＞﹣2，则不可以推出，④若a ＝﹣2，b ＝﹣1．满足ab ＞1，但不能推出结论，⑤由log a b ＜0得log a b ＜log a 1，若a ＞1，则0＜b ＜1，若0＜a ＜1，则b ＞1，可以推出结论．故可能推出的有②⑤， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查合情推理的应用，利用特殊值法以及反证法是解决本题的关键．比较基础．11．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕大吕太簇数列{}n a 中，k a =（ ）A ．n -B ．n -C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，从而类比出正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示. 【详解】因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示， 四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示， 所以正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示，因为11n n a a q -=，所以=q所以11=k k a a -⎛ ⎝1111=k n n a a a --⎛⎫ ⎪⎝⎭1111=n k k n n na a ----⋅=故选：C. 【点睛】本题以数学文化为背景，考查类比推理能力和逻辑推理能力，求解时要先读懂题目的文化背景，再利用等比数列的通项公式进行等价变形求解.12．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，2n 这2n 个数填入n n ⨯方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫n 阶幻方．定义()f n 为n 阶幻方对角线上所有数的和，如(3)15f =，则(10)f =（ ）A．55 B．500 C．505 D．5050【答案】C【解析】【分析】因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，可得2123()nf nn+++⋅⋅⋅+=，即得解.【详解】因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，所以n阶幻方对角线上数的和()f n就等于每行（或每列）的数的和，又n阶幻方有n行（或n列），因此，2123()nf nn+++⋅⋅⋅+=，于是12399100(10)50510f+++⋅⋅⋅++==．故选：C【点睛】本题考查了数阵问题，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.13．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：223344552,33,4,55338815152424====888n n=“穿墙术”，则n=（）A．35B．48C．63D．80【答案】C【解析】【分析】通过观察四个等式，发现存在相同性质，从而得出78763n=⨯+=即可.【详解】因为22222233121==⨯+33333388232==⨯⨯+==，==所以===63n =. 故选：C. 【点睛】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．14．桌面上有3枚正面朝上的硬币，如果每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎么翻转（ ）A ．都不可能使3枚全部正面朝上B ．可能使其中2枚正面朝上，1枚反面朝上C ．都不可能使3枚全部反面朝上D ．都不可能使其中1枚正面朝上，2枚反面朝上 【答案】C 【解析】 【分析】先推理出正确答案，再利用反证法进行证明，对错误选项可举反例说明即可. 【详解】对A ，对两枚硬币连续翻转2次，能使3枚全部正面朝上，故A 错误；对B ，如果能1枚反面朝上，则就有可能3枚全部反面朝上，利用C 选项的证明，发现此种情况不可能，故B 错误；对C ，假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上，由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上，都需要翻转奇数次，所以3枚硬币全部反面朝上时，需要翻转(3×奇数)次，即要翻转奇数次,但由于每次用双手同时翻转2枚硬币，3枚硬币被翻转的次数只能是2的倍数，即偶数次，这个矛盾说明假设错误，所以原结论成立.故C 正确；对D ，只要翻转一次，就可实现两枚反面朝上，一枚正面朝上，故D 错误； 故选：C. 【点睛】本题考查合情推理和反证法的运用，考查逻辑推理能力，属于基础题.15．已知()()2739nf n n =+⋅+,存在自然数m ,使得对任意*n N ∈,都能使m 整除()f n ,则最大的m 的值为( ) A ．30 B ．9C ．36D ．6【答案】C 【解析】 【分析】依题意，可求得(1)f 、(2)f 、(3)f 、(4)f 的值，从而可猜得最大的m 的值为36，再利用数学归纳法证明即可. 【详解】由()(27)39nf n n =+⋅+，得(1)36f =，(2)336f =⨯，(3)1036f =⨯， (4)3436f =⨯，由此猜想36m =.下面用数学归纳法证明： (1)当1n =时，显然成立。