电磁场与电磁波研学

分离变量法计算与 有限差分法的应用研究 摘要:物理学和其它学科领域的许多问题往往可以归结为常微分方程或偏微分方程的求解问题。分离变量法和有限差分法是求解微分方程的两种基本方法，本文分别用这两种方法对电磁场泊松方程进行求解，比较了这两种方法各自的优点和不足，并通过MATLAB软件实现有限差分法的运算与分析。 Abstract: In Physic or other subject ,many problems can be concluded to the solution to an ordinary differential equation or partial differential equation . separation of variables and finite difference method is two basic methods to solve differential equations .In this article we use the two methods to solve Poisson equation in electromagnetic field ,we compared the advantages and disadvantages of the two methods .And we give an example of using the software MATLAB to realize the calculation and analysis by finite difference method. 引言 20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，出现不少新型的微分方程（特别是方程组）。70年代随着数学向化学和生物学的渗透，出现了大量的反应扩散方程。从“求通解”到“求解定解问题” 数学家们首先发现微分方程有无穷个解。常微分方程的解会含有一个或多个任意常数，其个数就是方程的阶数。偏微分方程的解会含有一个或多个任意函数，其个数随方程的阶数而定。命方程的解含有的任意元素（即任意常数或任意函数）作尽可能的变化，人们就可能得到方程所有的解，于是数学家就把这种含有任意元素的解称为“通解”。在很长一段时间里，人们致力于“求通解”。但是以下三种原因使得这种“求通解”的努力，逐渐被放弃。第一，能求得通解的方程显然是很少的。在常微分方程方面，一阶方程中可求得通解的，除了线性方程、可分离变量方程和用特殊方法变成这两种方程的方程之外，为数是很小的。如果把求通解看作求微商及消去法的某一类逆运算，那么，也和熟知的逆运算一样，它是带试探性而没有一定的规则的，甚至有时是不可能的（J.刘维尔首先证明黎卡提方程不可能求出通解），何况这种通解也是随着其自由度的增多而增加其求解的难度的。微分方程在物理学、力学中的重要应用，不在于求方程的任一解，而是求得满足某些补充条件的解。A.-L.柯西认为这是放弃“求通解”的最重要的和决定性的原因。这些补充条件即定解条件。求方程满足定解条件的解，称之为求解定解问题。 分离变量法和有限差分法是求解定解的两种基本方法，分由离变量法所求的解由有限个想构成闭合解或无穷级数，通常具有鲜明的物理意义，但分离变量法解题范围窄小，对边界形状十分挑剔。随着计算机的普及，有限差分法在工程中得到广泛应用。有限差分法解题范围宽广，对边界的形状没有限制，但得到的数值解数据离散，物理意义深藏其中。 本文通过对电磁场拉普拉斯方程的求解，比较了用这两种方法求解微分方程的利弊，例题如下: 如图所示，有一长方形的导体槽，a = 20，b = 15，设槽的长度为无限长，槽上有一

块与槽绝缘的盖板，电位为100V，其他板电位为零，求槽内的电位分布。

y

x100a

b

理论分析 1. 分离变量法 分离变量法是将一个偏微分方程分解为两个或多个只含一个变量的常微分方程。将方程中含有各个变量的项分离开来，从而将原方程拆分成多个更简单的只含一个自变量的常微分方程。运用线性叠加原理，将非齐次方程拆分成多个齐次的或易于求解的方程。利用高数知识、级数求解知识，以及其他巧妙的方法，求出各个方程的通解。最后将这些通解“组装起来”。 并不是所有微分方程的求解都能用分离变量法求解，分离变量法适用于以下的条件：（1） 所给边界面与一个适当的坐标系的坐标面相合或至少部分地与坐标面相合。（2）在此坐标系中，所求偏微分方程的解可表示为三个函数的乘积，每一函数分别仅是一个 坐标变量的函数。 下面分析分离变量法的理论基础，在直角坐标系下，拉普拉斯方程的分离变量解：

设 02222222zyx

)()()(),,(zZyYxXzyx0)()()()()()()()()(zZyYxXzZyYxXzZyYxX0)()()()()()(zZzZyYyYxXxX 求解 得到三组平凡解 ， 通过分离变量法求一般解：.

代入边界条件，即可求出微分方程的解。 本题中，

可以求出电磁场方程的解为 用MATLAB画出 的分布，程序如下： [x,y]=meshgrid(0:20,0:15); f=0; for i=1:85 m=2.*i-1

f1=400/pi*(sinh(m.*pi/15.*x)/(m*sinh(4*m*pi/3)).*sin(m.*pi/15.*y)) f=f+f1; end mesh(x,y,f); axis([0 20 0 15 0 100]) 仿真结果：

0)()(0)()(0)()(zZzZyYyYxXxX，，BAxxX)(DCyyY)(FEzzZ)(

ymmmxmyxm15sin)34sinh(15sinh400),(5,3,1),(yx

022222yx

)()(),(yYxXyxxbnybnCmyxmsinhsin),(1 数据： 051015200510

15020406080100 2.有限差分法

1966年，K．S Yee（美籍香港人）首先提出了Finite Difference Time-Domain Method,并用于柱形金属柱电磁场散射分析。由于当时计算机技术还比较落后，这一方法并未引起重视。1972年，A.Taflovey应用FDTD研究了UHF和微波对人类眼睛的穿透，以了解“微博白内障”的成因，Taflovey成功地运用和发展了Yee的FDTD算法。80年代后期，随着高速大容量计算机的普及，FDTD法得到了迅速发展。至今FDTD法的应用仍方兴未艾。 有限差分法的基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替， 这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似， 积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组 ， 解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。

在采用数值计算方法求解偏微分方程时，若将每一处导数由有限差分近似公式替代，从而把求解偏微分方程的问题转换成求解代数方程的问题，即所谓的有限差分法。有限差分法求解偏微分方程的步骤如下： （1）区域离散化，即把所给偏微分方程的求解区域细分成由有限个格点组成的网格；

有限差分法的网格划分 xy

oL

10234h

h

D（2）近似替代，即采用有限差分公式替代每一个格点的导数； 拉普拉斯方程离散化，对于任一点0，有一阶偏导数

对于二阶偏导数

（3）逼近求解。换而言之，这一过程可以看作是用一个插值多项式及其微分来代替偏微分方程的解的过程 拉普拉斯方程的差分格式为

紧邻边界节点的拉普拉斯方程的差分格式为

其中p、q为小于1的正数；1、2为边界上的节点，其值为对应边界点处的值，是已知的。 此外为了保证计算过程的可行和计算结果的正确，还需从理论上分析差分方程组的性态，包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性。对于一个微分方程建立的各种差分格式，为了有实用意义，一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程，这就是相容性要求。另外，一个差分格式是否有用，最终要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解，这就是收敛性的概念。此外，还有一个重要的概念必须考虑，即差分格式的稳定性。因为差分格式的计算过程是逐层推进的，在计算第n+1层的近似值时要用到第n层的近似值 ，直到与初始值有关。前面各层若有舍入误差，必然影响到后面各层的值，如果误差的影响越来越大，以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖，这种格式是不稳定的，相反如果误差的传播是可以控制的，就认为格式是稳定的。只有在这种情形，差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解。关于差分格式的构造一般有以下3种方法。最常用的方法是数值微分法，比如用差商代替微商等。另一方法叫积分插值法，因为在实际问题中得出的微分方程常常反映物理上的某种守恒原理，一般可以通过积分形式来表示。此外还可以用待定系数法构造一些精度较高的差分格式。 有限差分法的三种形式（1）直接迭代法：

（2）高斯-赛德尔迭代法： （3）逐次超松弛法： 称为“加速收敛因子”，且1≤α ≤2。一般情况下确定的最佳值0，只能靠经验来

xxxhyhxyhxx2

),(),(0000

0

hyhxyhxxxxxx),2/(),2/(0000220







23012h

040432101111)1()1(04321qpqpqqpp

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