相似三角形的五种基本模型► 模型一 “A ”字型1．如图9－ZT －1，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，DE ＝3，BC ＝9.(1)求AD AB的值；(2)若BD ＝10，求ED AD的值．图9－ZT －12．如图9－ZT －2，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝4 cm ，BC ＝3 cm ，点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1 cm/s ；点Q 由点A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2 cm/s.连结PQ ，设运动时间为t s(0＜t ＜2)，当t 为何值时，以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？图9－ZT －2►模型二“X”字型3．如图9－ZT－3，已知AB，CD，EF都与BD垂直，垂足分别是B，D，F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是( )A.13B.23C.34D.459－ZT－39－ZT－44．如图9－ZT－4，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝20，DE是△ABC的中位线，M是边BC上一点，BM＝3，N是线段MC上的一个动点，连结DN，ME，DN与ME相交于点O.若△OMN是直角三角形，则DO的长是________．5．2017·株洲如图9－ZT－5所示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连结CF.求证：(1)△ADE≌△CDF；(2)△ABG∽△CFG.图9－ZT－5► 模型三 旋转型 6．如图9－ZT －6，已知AB AD ＝BC DE ＝ACAE，求证：△ABD ∽△ACE .图9－ZT －67．如图9－ZT －7，在△ABC 和△AED 中，AB ·AD ＝AC ·AE ，∠CAE ＝∠BAD ，S △ADE ＝4S △ABC.求证：DE ＝2CB .图9－ZT －7► 模型四 垂直型图9－ZT －88．如图9－ZT －8，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点P 从点A 出发，按A →B →C 的方向在AB 和BC 上移动，记PA ＝x ，点D 到直线PA 的距离为y ，则y 关于x 的函数图象大致是( )图9－ZT －9► 模型五 一线三等角型图9－ZT －109．如图9－ZT －10，△AOB 是直角三角形，∠AOB ＝90°，OB ＝2OA ，点A 在反比例函数y ＝1x 的图象上．若点B 在反比例函数y ＝kx的图象上，则k 的值为( ) A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．210．(1)尝试：如图9－ZT －11①，已知A ，E ，B 三点在同一条直线上，且∠A ＝∠B ＝∠DEC ＝90°.求证：△ADE ∽△BEC ；(2)一位同学在尝试了上题后还发现：如图9－ZT －11②③，只要A ，E ，B 三点在同一条直线上，且∠A ＝∠B ＝∠DEC ，则(1)中结论总成立．你同意吗？请选择其中之一说明理由．图9－ZT －1111．如图9－ZT－12，等边三角形ABC的边长为6，D是BC边上的动点，∠EDF＝60°.(1)求证：△BDE∽△CFD；(2)当BD＝1，FC＝3时，求BE的长．图9－ZT－12详解详析1．解：(1)∵DE ∥BC ，∴△AED ∽△ACB ，∴AD AB ＝DE BC ＝13.(2)∵AD AB ＝13，BD ＝10，∴AD AD ＋10＝13，∴AD ＝5，∴ED AD ＝35.2．解：在Rt △ABC 中，AB ＝BC 2＋AC 2＝5(cm)，由题意知AP ＝(5－t )cm ，AQ ＝2t cm.当PQ ∥BC 时，△AQP ∽△ACB ，∴AQ AC ＝AP AB ，∴2t 4＝5－t 5，解得t ＝107，107＜2，符合题意；当PQ ⊥AB 时，△APQ ∽△ACB ，∴AQ AB ＝AP AC ，∴2t 5＝5－t 4，解得t ＝2513，2513＜2，符合题意．综上所述，当t ＝107 或2513 时，以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似．3．C [解析]∵AB ，CD ，EF 都与BD 垂直，∴AB ∥EF ∥CD ，∴△ABE ∽△DCE ，∴BE CE ＝AB CD＝13，同理△BEF ∽△BCD ，∴EF CD ＝BE BC ＝BE BE ＋CE ＝14.∴EF ＝14CD ＝34.故选C. 4.256或5013[解析] 如图，作EF ⊥BC 于点F ，DN ′⊥BC 于点N ′且交EM 于点O ′，此时∠MN ′O ′＝90°.∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ∥BC ，DE ＝12BC ＝10.∵DN ′∥EF ，∴四边形DEFN ′是平行四边形．∵∠EFN ′＝90°，∴四边形DEFN ′是矩形，∴EF ＝DN ′，DE ＝FN ′＝10.∵AB ＝AC ，∠A ＝90°，∴∠B ＝∠C ＝45°， ∴BN ′＝DN ′＝EF ＝FC ＝5，MN ′＝5－3＝2，而DE MN ′＝DO ′O ′N ′，∴102＝DO ′5－DO ′，∴DO ′＝256； 当∠MON ＝90°时，则△DOE ∽△EFM ， ∴DO EF ＝DE EM.∵EM ＝EF 2＋MF 2＝13，∴DO ＝5013.故答案为256或5013.5．证明：(1)由正方形ABCD 和等腰直角三角形DEF ，得∠ADC ＝∠EDF ＝90°，AD ＝CD ，DE ＝DF ，∴∠ADE ＋∠ADF ＝∠ADF ＋∠CDF ， ∴∠ADE ＝∠CDF .在△ADE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧DE ＝DF ，∠ADE ＝∠CDF ，AD ＝CD ，∴△ADE ≌△CDF .(2)如图，延长BA 到点M ，交DE 于点M ， ∵△ADE ≌△CDF ， ∴∠EAD ＝∠FCD ，即∠EAM ＋∠MAD ＝∠BCD ＋∠BCF .∵∠MAD ＝∠BCD ＝90°， ∴∠EAM ＝∠BCF . ∵∠EAM ＝∠BAG ， ∴∠BAG ＝∠BCF . 又∵∠AGB ＝∠CGF ， ∴△ABG ∽△CFG . 6．证明：∵AB AD ＝BC DE ＝ACAE，∴△ABC ∽△ADE ， ∴∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC －∠DAF ＝∠DAE －∠DAF ，即∠BAD ＝∠CAE . ∵AB AD ＝AC AE ，∴AB AC ＝ADAE，∴△ABD ∽△ACE .7．证明：∵AB ·AD ＝AC ·AE ，∴AB AE ＝AC AD. 又∵∠CAE ＝∠BAD ，∴∠CAE ＋∠DAC ＝∠BAD ＋∠DAC ， 即∠DAE ＝∠CAB ， ∴△ADE ∽△ACB . 又∵S △ADE ＝4S △ABC ， ∴S △ADES △ABC＝4， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫DE CB 2＝S △ADE S △ABC＝4，∴DE CB ＝2， ∴DE ＝2CB .8．D [解析] 整个运动过程分成两段：①当点P 在AB 上运动时，即0≤x ≤3，随着x的增加y 值不变，y ＝4；②如图，当点P 在BC 上运动时，3＜x ≤5， ∵∠BAP ＋∠DAP ＝90°， ∠BAP ＋∠APB ＝90°， ∴∠DAP ＝∠APB .又∵∠AED ＝∠ABP ＝90°，∴△ADE ∽△PAB ， ∴AD AP ＝DE AB， 即4x ＝y 3， ∴y ＝12x.故选D.9．A [解析] 如图，过点A ，B 分别作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足分别为C ，D .设点A 的坐标是(m ，n )，则AC ＝n ，OC ＝m . ∵∠AOB ＝90°， ∴∠AOC ＋∠BOD ＝90°. ∵∠DBO ＋∠BOD ＝90°， ∴∠DBO ＝∠AOC .又∵∠BDO ＝∠ACO ＝90°， ∴△BDO ∽△OCA ， ∴BD OC ＝OD AC ＝OBOA.∵OB ＝2OA ， ∴BD ＝2m ，OD ＝2n .∵点A 在反比例函数y ＝1x的图象上，∴mn ＝1.∵点B 在反比例函数y ＝k x的图象上，点B 的坐标是(－2n ，2m )， ∴k ＝－2n ·2m ＝－4mn ＝－4. 故选A.10．解：(1)证明：∵∠A ＝∠B ＝∠DEC ＝90°，∴∠DEA ＋∠CEB ＝90°. ∵∠DEA ＋∠D ＝90°， ∴∠D ＝∠CEB ， ∴△ADE ∽△BEC .(2)同意，以题图②为例说明：∵∠A ＝∠DEC ，∠A ＋∠D ＝∠DEC ＋∠CEB ，∴∠D ＝∠CEB . 又∵∠A ＝∠B ， ∴△ADE ∽△BEC .11．解：(1)证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B ＝∠C ＝60°， ∴∠EDB ＋∠BED ＝120°. ∵∠EDF ＝60°， ∴∠CDF ＋∠EDB ＝120°，∴∠BED＝∠CDF，∴△BDE∽△CFD. (2)∵△BDE∽△CFD，∴BDCF＝BECD，即13＝BE5，解得BE＝53.。
