高一年级数学科期中考试测试题

上海市徐汇区高一上学期期中考试数学试卷一、填空题（共12小题）.1．集合M＝{x∈R|x≤2020}，有下列四个式子：①π∈M；②{π}⊆M；③π⊆M；④{π}∈M，其中正确的是（填序号）．2．将化为有理数指数幂的形式为．3．陈述句“x＞1或y＞1”的否定形式是．4．若0＜a＜1，s＜0，则a s1（填符号“＞，≥，＜，≤，”）．5．已知集合A＝{x，y}，B＝{2x，2x2}，且A＝B，则集合A＝．6．已知集合P＝{x|﹣2≤x≤10}，非空集合S＝{x|1﹣m≤x≤1+m}，若x∈P是x∈S的必要条件，则实数m 的取值范围为．7．关于x的不等式|2x﹣a|+a＜6的解集是（﹣1，3），则实数a＝．8．如果直角三角形的周长为2，则此直角三角形面积的最大值是．9．若实数a，b，m满足2a＝72b＝m，且＝2，则m的值为．10．已知正数x，y满足4x+9y＝xy且x+y＜m2﹣24m有解，则实数m的取值范围是．11．不等式（ax+3）（x2﹣b）≤0对x∈（﹣∞，0）恒成立，其中a，b∈Z，则a+b＝．12．已知实数a＞b＞c，且满足：a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，则s＝b+c的取值范围是．二、选择题13．已知a1a2b1b2≠0，陈述句P：关于x的一元一次不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0有相同的解集；陈述句，则P是Q（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件14．设lg2＝a，lg3＝b，则log1225的值是（）A．B．C．D．15．若a，b为非零实数，则以下不等式中恒成立的个数是（）①；②；③；④．A．4B．3C．2D．116．已知，集合M＝{x|f（x）＝0}＝{x1，x2，…，x7}⊆Z，且c1≤c2≤c3≤c4，则c4﹣c1不可能的值是（）A．4B．9C．16D．64三、解答题17．已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|x2﹣ax+a﹣1＝0}，C＝{x|x2+2（m+1）x+m2﹣5＝0}．（1）若A∪B＝A，求实数a的值；（2）若A∩C＝C，求实数m的取值范围．18．经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量P万件与促销费用x万元满足P＝3﹣（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该批产品P万件还需投入成本10+2P万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？19．（1）设集合P＝{n|n＝3k+1，k∈N}，集合Q＝{n|n＝3m﹣2，m∈N}，求证：P⊂Q；（2）已知a＞0，b＞0，c＞0，当函数f（x）＝|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为6时，求证：++≥12．20．（16分）（1）关于x的不等式（a2﹣16）x2﹣（a﹣4）x﹣1≥0的解集为∅，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式；（3）设（1）中a的整数值构成集合A，（2）中不等式的解集是B，若A∩B中有且只有三个元素，求实数m的取值范围．21．（18分）已知集合A＝{a1，a2，…，a n}（0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥2）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i+a j与a j﹣a i两数中至少有一个属于A．（1）分别判断数集{0，1，3，4}与{0，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；（2）证明：a1＝0，且na n＝2（a1+a2+…+a n）；（3）当n＝5时，若a2＝3，求集合A．参考答案一、填空题1．集合M＝{x∈R|x≤2020}，有下列四个式子：①π∈M；②{π}⊆M；③π⊆M；④{π}∈M，其中正确的是①②（填序号）．解：因为π≈3.14，所以元素π∈M，集合{π}⊆M，故①②正确，③④错误．故答案为：①②．2．将化为有理数指数幂的形式为．解：∵a＞0，∴＝＝＝．故答案为：．3．陈述句“x＞1或y＞1”的否定形式是x≤1且y≤1．解：命题为全称命题，则“x＞1或y＞1”的否定形式为x≤1且y≤1，故答案为：x≤1且y≤1．4．若0＜a＜1，s＜0，则a s＞1（填符号“＞，≥，＜，≤，”）．解：∵0＜a＜1时，函数y＝a x为减函数，∴当s＜0时，a s＞a0＝1，故答案为：＞．5．已知集合A＝{x，y}，B＝{2x，2x2}，且A＝B，则集合A＝．解：显然x≠0，由A＝B得，解得．故答案为：{，1}．6．已知集合P＝{x|﹣2≤x≤10}，非空集合S＝{x|1﹣m≤x≤1+m}，若x∈P是x∈S的必要条件，则实数m 的取值范围为[0，3]．解：∵P＝{x|﹣2≤x≤10}，非空集合S＝{x|1﹣m≤x≤1+m}，若x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P，∴，解得0≤m≤3，∴m的取值范围是[0，3]．故答案为：[0，3]．7．关于x的不等式|2x﹣a|+a＜6的解集是（﹣1，3），则实数a＝2．解：∵|2x﹣a|+a＜6，∴a﹣6＜2x﹣a＜6﹣a，即a﹣3＜x＜3，∵不等式|2x﹣a|+a＜6的解集是（﹣1，3），∴a﹣3＝﹣1，解得a＝2．故答案为：2．8．如果直角三角形的周长为2，则此直角三角形面积的最大值是3﹣2（当且仅当时取等号）．解：设直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，则直角三角形的面积S＝ab．由已知，得a+b+c＝2，∴a+b+＝2，∴2＝a+b+≥2+＝（2+），∴≤＝2﹣，∴ab≤（2﹣）2＝6﹣4，∴S＝ab≤3﹣2，当且仅当a＝b＝2﹣时，S取最大值3﹣2．故答案为：3﹣2（当且仅当时取等号）．9．若实数a，b，m满足2a＝72b＝m，且＝2，则m的值为7．解：∵2a＝72b＝m，∴a＝log2m，2b＝log7m，∴b＝＝＝log49m，∴+＝2，∴log m2+log m49＝2，∴log m98＝2，∴m2＝98，∴m＝7．故答案为：7．10．已知正数x，y满足4x+9y＝xy且x+y＜m2﹣24m有解，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（25，+∞）．解：∵正数x，y满足4x+9y＝xy，∴+＝1，∴x+y＝（x+y）（+）＝++13≥2+13＝25，当且仅当＝，即x＝15，y＝10时取等号，∴x+y的最小值为25，∵x+y＜m2﹣24m有解，∴25＜m2﹣24m，即m2﹣24m﹣25＞0，解得m＞25或m＜﹣1，∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（25，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（25，+∞）．11．不等式（ax+3）（x2﹣b）≤0对x∈（﹣∞，0）恒成立，其中a，b∈Z，则a+b＝10或4．解：当b≤0时，由（ax+3）（x2﹣b）≤0对x∈（﹣∞，0）恒成立，可得ax+3＜0对x∈（﹣∞，0）恒成立，则a不存在；当b＞0时，由（ax+3）（x2﹣b）≤0对x∈（﹣∞，0）恒成立，令f（x）＝ax+3，g（x）＝x2﹣b，又g（x）的大致图象如图所示，所以，又a，b∈Z，所以或，所以a+b＝4或a+b＝10．故答案为：4或10．12．已知实数a＞b＞c，且满足：a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，则s＝b+c的取值范围是．解：∵a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，∴b+c＝1﹣a，bc＝[（b+c）2﹣（b2+c2）]＝a2﹣a﹣1，∵bc＜，∴a2﹣a﹣1＜，∴3a2﹣2a﹣5＜0，即，∴＜1﹣a＜2，∴＜b+c＜2，下面精确a的下限，假设a＜1，由a＞b＞c，由﹣＜b＜a＜1，﹣＜c＜a＜1，所以a2＜1，b2＜1，c2＜1，因此a2+b2+c2＜3，矛盾，故a＞1，所以b+c＝1﹣a＜0，综上可得＜b+c＜0，故答案为：．二、选择题13．已知a1a2b1b2≠0，陈述句P：关于x的一元一次不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0有相同的解集；陈述句，则P是Q（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件解：∵若＝时，如取a1＝b1＝1，a2＝b2＝﹣1，关于x的不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0即不等式x+1＞0与﹣x﹣1＞0的解集不相同，∴“＝”不能推出“关于x的不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0的解集相同”，反之，“关于x的不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0的解集相同”⇒“＝”，∴P是Q的充分非必要条件．故选：A．14．设lg2＝a，lg3＝b，则log1225的值是（）A．B．C．D．解：由lg2＝a，lg3＝b，得log1225＝＝．故选：D．15．若a，b为非零实数，则以下不等式中恒成立的个数是（）①；②；③；④．A．4B．3C．2D．1解：a，b为非零实数，①∵（a﹣b）2≥0，展开可得；②∵（a﹣b）2≥0，展开可得a2+b2≥2ab，∴2（a2+b2）≥（a+b）2，∴；③取a＝b＝﹣1，则不成立；④取ab＜0，则不成立．综上可得：成立的只有①②．故选：C．16．已知，集合M＝{x|f（x）＝0}＝{x1，x2，…，x7}⊆Z，且c1≤c2≤c3≤c4，则c4﹣c1不可能的值是（）A．4B．9C．16D．64解：∵集合M＝{x|f（x）＝0}＝{x1，x2，…，x7}⊆Z，则函数f（x）有7个解，且全是整数，又∵x2﹣4x+m＝0 中两个解满足x1+x2＝4，x1•x2＝m，∴可知解为2和2，3和1，4和0，5和﹣1，6和﹣2，7和﹣3，8和﹣4，9和﹣5，10和﹣6，..．∴m＝4，3，0，﹣5，﹣12，﹣21，﹣32，﹣45，﹣60..．∵c1≤c2≤c3≤c4，∴C4＝4，则C1＝﹣5，或﹣12，或﹣21，或﹣32，或﹣45，或﹣60，..．则c4﹣c1不可能的值是4，故选：A．三、解答题17．已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|x2﹣ax+a﹣1＝0}，C＝{x|x2+2（m+1）x+m2﹣5＝0}．（1）若A∪B＝A，求实数a的值；（2）若A∩C＝C，求实数m的取值范围．解：（1）由x2﹣3x+2＝0得x＝1或2，所以A＝{1，2}，由x2﹣ax+a﹣1＝0得x＝1或a﹣1，所以1∈B，a﹣1∈B，因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以a﹣1＝1或2，所以a＝2或3；（2）因为A∩C＝C，所以C⊆A，当C＝∅时，Δ＝4（m+1）2﹣4（m2﹣5）＜0，解得m＜﹣3，当C＝{1}时，，无解，当C＝{2}时，，解得m＝﹣3，当C＝{1，2}时，，无解，综上，实数m的取值范围是（﹣∞，﹣3]．18．经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量P万件与促销费用x万元满足P＝3﹣（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该批产品P万件还需投入成本10+2P万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解：（Ⅰ）由题意知，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣将代入化简得：（0≤x≤a）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）当a≥1时，x∈（0，1）时y'＞0，所以函数在（0，1）上单调递增x∈（1，a）时y'＜0，所以函数在（1，a）上单调递减促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当a＜1时，因为函数在（0，1）上单调递增在[0，a]上单调递增，所以x＝a时，函数有最大值．即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．综上，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当a＜1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（注：当a≥1时，也可：，当且仅当时，上式取等号）19．（1）设集合P＝{n|n＝3k+1，k∈N}，集合Q＝{n|n＝3m﹣2，m∈N}，求证：P⊂Q；（2）已知a＞0，b＞0，c＞0，当函数f（x）＝|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为6时，求证：++≥12．【解答】证明：（1）先证P⊆Q，任取n∈P，存在m＝k+1∈N，使得n＝3k+1＝3（k+1）﹣2＝3m﹣2∈Q，∵P⊆Q，又∵﹣2∈Q，﹣2∉P，∴P⊂Q，即得证．（2）证明：∵f（x）＝|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）+（b﹣x）|+c＝a+b+c＝6，∴＝，当且仅当a＝b＝c＝2时取等号，故．20．（16分）（1）关于x的不等式（a2﹣16）x2﹣（a﹣4）x﹣1≥0的解集为∅，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式；（3）设（1）中a的整数值构成集合A，（2）中不等式的解集是B，若A∩B中有且只有三个元素，求实数m的取值范围．解：（1）当a＝4时，﹣1≥0无解，满足题意，当a＝﹣4时，8x﹣1≥0有解，舍去，当a≠±4时，解得，综上，实数a的取值范围是；（2）由得，即（x+2）[（m﹣1）x﹣（3m+2）]≥0且x≠﹣2，当m＝1时，，解集为x∈（﹣∞，﹣2），当m＞1时，，且x≠﹣2，解集为，当m＜1时，且x≠﹣2，当0＜m＜1时，解集为，当m＝0时，解集为∅，当m＜0时，解集为，综上，当m＝1时，解集为x∈（﹣∞，﹣2），当m＞1时，解集为，当0＜m＜1时，解集为，当m＝0时，解集为∅，当m＜0时，解集为；（3）由（1）得A＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，当A∩B中有且只有三个元素，显然0≤m≤1不可能，当m＞1时，因为，不合题意，舍去，当m＜0时，，因为A∩B中有且只有三个元素，所以，，解得，综上，实数m的取值范围是．21．（18分）已知集合A＝{a1，a2，…，a n}（0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥2）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i+a j与a j﹣a i两数中至少有一个属于A．（1）分别判断数集{0，1，3，4}与{0，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；（2）证明：a1＝0，且na n＝2（a1+a2+…+a n）；（3）当n＝5时，若a2＝3，求集合A．【解答】（1）解：因为0+1，0+3，0+4，1+3，4﹣1，4﹣3都属于数集{0，1，3，4}，所以数集{0，1，3，4}具有性质P，因为2+3和3﹣2均不属于数集{0，2，3，6}，所以数集{0，2，3，6}不具有性质P；（2）证明：令i＝j＝n，因为a i+a j与a j﹣a i两数中至少有一个属于A，所以a n+a n不属于A，所以a n﹣a n属于集合A，即0∈A，所以a1＝0，令j＝n，i＞1，因为a i+a j，与a j﹣a i两数中至少有一个属于A，所以a i+a j不属于A，所以a j﹣a i属于集合A，令i＝n﹣1，则a n﹣a n﹣1是集合A中的某一项，若a n﹣a n﹣1＝a2，符合题意，若a n﹣a n﹣1＝a3，则a n﹣a3＝a n﹣1，所以a n﹣a2＞a n﹣a3＝a n﹣1，矛盾，同理a n﹣a n﹣1等于其他项均矛盾，所以a n﹣a n﹣1＝a2，同理，令i＝n﹣2，n﹣3，⋯，2，可得a n＝a i+a n+1﹣i，倒序相加得，即na n＝2（a1+a2+a+⋯+a n）；（3）解：当n＝5时，令j＝5，当i≥2时，a i+a5＞a5，因为集合A具有性质P，所以a5﹣a i∈A，所以a5﹣a i∈A，i＝1，2，3，4，5，所以a5﹣a1＞a5﹣a2＞a5﹣a3＞a5﹣a4＞a5﹣a5＝0，所以a5﹣a1＝a5，a5﹣a2＝a4，a5﹣a3＝a3，所以a2+a4＝a5，a5＝2a3，所以a2+a4＝2a3，即0＜a4﹣a3＝a3﹣a2＜a3，又因为a3+a4＞a2+a4＝a5，所以a3+a4∉A，所以a4﹣a3∈A，所以a4﹣a3＝a2＝a2﹣a1，所以a5﹣a4＝a2＝a2﹣a1，所以a5﹣a4＝a4﹣a3＝a3﹣a2＝a2﹣a1＝a2，即a1，a2，a3，a4，a5是首项为0，公差为a2＝3的等差数列，所以A＝{0，3，6，9，12}．。

17、（满分12分）解：(1)∵角α的终边过点P(1， )，可设x＝1，y＝ ，则r＝2，
∴sinα＝ ，cosα＝ .
∴sin(π－α)－sin( ＋α)＝sinα－cosα＝ .…………6分
(2)由2cosx－tanα>0及tanα＝ ，得cosx> ，
由y＝cosx的图像可得x的集合为：
S＝{x|－ ＋2kπ<x< ＋2kπ，k∈Z}．…………12分
20、（满分12分）
解：设c＝(x，y)．由a·c＝0，得x＋y＝0.……①
再由|a|＝|c|，得x2＋y2＝2.…………②…………4分
由①②，得 或 …………8分
又∵b·c>0，∴x>0，∴c＝(1，－1)．…………12分
21、（满分12分）
解：(1)∵a＋3b＝(1,0)＋3(2,1)＝(7,3)，∴|a＋3b|＝ ＝ .……4分
18．（满分10分）
解：原式＝ ＋cos 225°tan ＝ ＋(－cos 45°)·tan
＝ ＋(－ )×1＝ － .…………10分
19、（满分12分）解：(1)由已知可得M＝1，N＝－1，T＝ ＝π.…………2分
(2)变换步骤是：
①把y＝sinx的图像上所有的点向左平行移动 个单位长度，得函数y＝sin(x＋ )的图像；
A．150 B．120 C．60 D．30
11．直线y＝a与y＝tanx的图像的相邻两个交点的距离是()
A. B．πC．2πD．与a的值的大小有关
12．要得到y＝sin x的图像，只需将函数y＝sin( x－ )的图像()
A．向左平移 个单位B．向右平移 个单位
C．向左平移 π个单位D．向右平移 π个单位
汉台中学高一年级期中考试数学试题参考答案

2021-2022学年度下学期期中考试高一年级数学科试卷一､单选题（本大题共8小题，共40.0分）1．在边长为1的正方形ABCD 中，向量11,23DE DC BF BC →→→→==，则向量,AE AF →→的夹角为（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．512π2．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若1b c a c a b+≥++，则角A 的取值范围是（）A ．π0,6⎛⎤⎥⎝⎦B ．ππ,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．π0,3⎛⎤⎥⎝⎦D ．π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭3．下列各式正确的是（）A ．tan2tan3>B ．3tantan 55ππ>C ．sin sin 1018ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．1723cos cos 43ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4．复数z 满足z z z z +=⋅，则z 的范围为（）A ．[]0,1B ．⎡⎣C ．[]0,2D ．⎡⎣5．为捍卫国家南海主权，我海军在南海海域进行例行巡逻.某天，一艘巡逻舰从海岛A 出发，沿南偏东70︒的方向航行40海里后到达海岛B ，然后再从海岛B 出发，沿北偏东35︒的方向航行了C .若巡逻舰从海岛A 出发沿直线到达海岛C ，则航行的方向和路程（单位：海里）分别为（）A ．北偏东80︒，B ．北偏东65︒，2)C ．北偏东65︒，D ．北偏东80︒，2)+6．函数()sin f x a x x =+，将()f x 图像向右平移3π个单位长度得到函数()g x 的图像，若对任意R x ∈，都有()6g x g π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，则a 的值为（）A ．1-B ．1±C ．2-D ．2±7．函数6cos (0)y x x π=<<与y x =的图像相交于M N ､两点，则MN 中点坐标为（）A ．,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,22π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．23,32π⎛⎫⎪⎝⎭D ．23,32π⎛⎫-⎪⎝⎭8．在ABC 中，内角,,A B C的对边分别为,,,sin cos2,1a b c b A b A a ==，且AC 边上的中线2BM =，则c =（）A ．3B C ．1或2D ．2或3二､多选题（本大题共4小题，共20.0分）9．复数21iz i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（）A ．|z |=B ．z 的共轭复数为3122i +C ．z 的实部与虚部之和为2D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限10．已知平面向量()1,0a =，(b = ，则下列说法正确的是（）A ．||16a b +=B ．()2a b a +⋅= C ．向量+a b 与a 的夹角为30°D ．向量+a b 在a 上的投影向量为2a11．已知函数()22cos 22f x x =-，下列命题中的真命题有（）A ．R β∃∈，()f x β+为奇函数B ．30,4πα⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，()()2f x f x α=+对x R ∈恒成立C ．1x ∀，2x R ∈，若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为4πD ．1x ∀，2x R ∈，若()()120f x f x ==，则()12x x k k Z π-=∈12．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且23cos 3cos b C c B a +=，则下列说法正确的是（）A ．若2BC A +=，则ABC 的外接圆的面积为12πB ．若2b c a +=，则ABCC ．若2C A =，且ABC 为锐角三角形，则边c 的长度的取值范围为(D ．若2A C =，且sin 2sin B C =，O 为ABC 的内心，则AOB 三､填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知02πβα<<<，点(1,P 为角α终边上的一点，且sin sin cos cos 22ππαβαβ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，则角β=________．14．已知函数()()sin (0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图像如图所示，且()1f α=，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.15．设复数z 满足1z =，且使得关于x 的方程2230zx zx ++=有实根，则这样的复数z 的和为______.16．如图所示，已知在四边形ABCD 中，2AB =，6BC =，4AD CD ==，且点A 、B 、C 、D 共圆，点M ，N 分别是AD 和BC 的中点，则MN BC ⋅的值为______．四､解答题（本大题共6小题，共72.0分）17．已知θ为锐角，()()()cos 2sin 312sin tan 2πθπθπθπθ-+=⎛⎫+- ⎪⎝⎭.(1)求θ的值；(2)求函数()tan 2y x θ=+的对称中心和单调区间.18．已知z 为复数，i z +和2iz-均为实数，其中i 是虚数单位.（1）求复数z 和z ；（2）若117i 12z z m m =+--+在第四象限，求m 的范围.19．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sin cos c B b A =+．(1)求B ；(2)若ABC 是锐角三角形，3b =，求ABC 周长的取值范围．20．函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭图象的一条对称轴为12x π=，一个零点为43x π=，最小正周期T 满足43T ππ≤≤．(1)求()f x 的解析式；(2)若()5212f x f x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭对任意[],x m n ∈恒成立，求n m -的最大值．21．在平面四边形ABCD 中，90,60,6,A D AC CD ∠=︒∠=︒==．(1)求ACD 的面积；(2)若9cos 16ACB ∠=，求34AB BC +的值；22．借助国家实施乡村振兴政策支持，某网红村计划在村内扇形荷花水池OAB 中修建荷花观赏台，助推乡村旅游经济.如图所示，扇形荷花水池OAB 的半径为20米，圆心角为π4.设计的荷花观赏台由两部分组成，一部分是矩形观赏台MNPQ ，另一部分是三角形观赏台AO C ．现计划在弧AB 上选取一点M ，作MN 平行OA 交OB 于点N ，以MN 为边在水池中修建一个矩形观赏台MNPQ ，NP 长为5米；同时在水池岸边修建一个满足AO OC =且2COA AOM ∠=∠的三角形观赏台AOC ，记ππ64AOM x x ⎛⎫∠=≤≤ ⎪⎝⎭.（1）当π6AOM ∠=时，求矩形观赏台MNPQ 的面积；（2）求整个观赏台（包括矩形观赏台和三角形观赏台两部分）面积的最大值.1．B 【分析】由向量关系知E 为DC 的中点，F 为BC 靠近B 端的三等分点，可以求得向量,AE AF →→的模长，然后求得数量积AE AF →→⋅，从而求得向量夹角.【详解】由向量关系知E 为DC 的中点，F 为BC 靠近B 端的三等分点，则12DE =，13BF =，2AE ==，3AF ==则由0AB AD →→⋅=知，1()()(1)()23AE AF AD DE AB BF AD AB AB AD →→→→→→→→→→⋅++=+⋅=+⋅221(15())263AB AD →→==+则5,6cos 2AE AF AE AF AE AF→→→→→→<>==⋅故向量,AE AF →→的夹角为4π故选：B 2．C 【分析】由已知，整理可得：222b c a bc +-≥，由余弦定理可解得1cos 2A ≥，结合A 为三角形内角即可解得A 的取值范围.【详解】解：因为1b c a c a b+≥++，整理可得：222b c a bc +-≥，∴由余弦定理可得：2221cos 222b c a bc A bc bc +-=≥=，∴由A 为三角形内角，即()0,πA ∈，可得：π0,3A ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故选：C ．3．D【分析】根据三角函数的单调性以及每个选项对应角所在的象限逐项分析.【详解】对于A ，2,3,3222ππππ<<<<>，tan y x =在第二象限是增函数，tan 3tan 2∴>，错误；对于B ，325πππ<<，3tan 05π∴<，0,tan 0525πππ<<∴>，错误；对于C ，sin sin ,sin sin ,01010181818102πππππππ⎛⎫⎛⎫-=--=-<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin y x =在第一象限是增函数，sin sin ,sin sin 10181018ππππ⎛⎫⎛⎫∴>-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，错误；对于D ，1717cos cos cos 4cos 4444ππππ⎛⎫⎛⎫-==π+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23231cos coscos 8cos 33332πππππ⎛⎫⎛⎫-==-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2317cos cos 34ππ⎛⎫⎛⎫∴-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确；故选：D.4．C 【分析】设i z x y =+，由z z z z +=⋅得x y ，，后可得答案.【详解】设i z x y =+，则i z x y =-.则[]22222200,2z z z z x x y x x y x ⇒=+⇒≥=⇒⋅-∈+=.则[]0,2z ==.故选：C 5．C 【分析】在ABC 中，7035105ABC ︒︒︒∠=+=，40AB =，BC =AC 的长度，在ABC 中，可由正弦定理建立方程sin 105BC ACCAB sin ︒=∠，求出CAB ∠．【详解】据题意知，在ABC 中，7035105ABC ︒︒︒∠=+=，40AB =海里，BC =所以2222cos AC AB BC AB BC ABC=+-⨯⨯∠22402404=+-⨯⨯3200=+所以AC ==海里，又sin CAB =∠sin 2CAB ∠=，又因为CAB ∠为锐角，所以45CAB ︒∠=，所以航行的方向和路程分别为北偏东65︒，海里.故选：C .【点睛】本题考查解三角形的实际应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.6．A 【分析】先求出()g x 的解析式，再求出6g π⎛⎫ ⎪⎝⎭，由题意6g π⎛⎫⎪⎝⎭是()g x 的最大值，运用辅助角公式求出()g x 的最大值即可.【详解】依题意()sin 333g x f x a x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，33,622622a ag g ππ⎛⎫⎛⎫∴=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()333g x x x x πππϕ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-+⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦，其中cos ϕϕ==，∴()g x 322a =-，即()210a +=，1a ∴=-；故选：A.7．A 【分析】根据cos y x =和tan y x =的对称性确定MN 中点的位置即可.【详解】由于()()cos cos ,tan tan x x x x ππ-=--=-，所以6cos y x =和=y x 都是关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称的，所以M ，N 也是关于,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称的，M ，N 的中点就是,02π⎛⎫⎪⎝⎭；故选：A.8．C 【分析】由正弦定理及sin cos2b A b A =可得sin B =，在ABM ACM 、中由余弦定理列式cos cos 0AMB CMB ∠+∠=可得2221b c =-，在ABC 中由余弦定理可得2212cos b c c B =+-，综上即可求解c 【详解】由sin cos2b A b A =得()22sin sin 12sin B A B A -=-，∴(22sin sin 0B A =，∵sin 0A ≠，∴2sin 0B =，即sin B =在ABM ACM 、中，由余弦定理可得22222222cos cos 0bb c a AMB CMB 骣骣+-+-琪琪琪琪桫桫Ð+Ð=，整理得2221b c =-，在ABC 中，2212cos b c c B =+-，∴222112cos c c c B -=+-，即22cos 20c c B +-=（*），当1cos 2B ==时，（*）式可解得1c =，()0c >；当1cos 2B ==-时，（*）式可解得2c =，()0c >；故选：C 9．CD 【分析】根据复数的四则运算，整理复数z ，再逐一分析选项，即得.【详解】由题得，复数22(2)(1)13131(1)(1)122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，可得||2z ==，则A 不正确；z 的共轭复数为1322i -，则B 不正确；z 的实部与虚部之和为13222+=，则C 正确；z在复平面内的对应点为13(,22，位于第一象限，则D 正确.综上，正确结论是CD.故选：CD 【点睛】本题考查复数的定义，共轭复数以及复数的模，考查知识点全面.10．BD 【分析】根据向量模长的坐标计算即可判断A ，根据数量积的坐标运算可判断B,由夹角公式可判断C ，由投影向量的求解公式可判断D.【详解】((11,0a b +=++= ，所以4a b += ，故A错误；()1202a a b ⋅+=⨯+⨯=，故B 正确；()1cos ,2a a b a a b aa b⋅+<+>==+，(),0,πa a b <+>∈ ，a ∴< ，π3a b +>=，故C 错误；向量+a b在a 上的投影向量为()2·21a ab a a a a a ⋅+=⨯=，故D 正确．故选：BD 11．BC 【分析】先化简函数()22cos 22cos 41f x x x =-=-；作出函数()cos 41f x x =-的图象，再逐项判断，；由函数()f x β+的图象是()f x 的图象向左或向右平移β个单位，它不会是奇函数的，故A 错误；由()()2f x f x α=+，得()cos 41cos 481x x α-=+-，82k απ=，4k πα=，Z k ∈；又30,4πα⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，取4πα=或2π时成立B 正确；由()()1212cos 4cos 42f x f x x x -=-=时，得12x x -的最小值为22244T ππ==⨯，所以C 正确；当()()120f x f x ==时，()12242k x x kT k k Z ππ-==⋅=∈，所以D 错误.【详解】由题意()22cos 22cos 41f x x x =-=-；∵()cos 41f x x =-的图象如图所示；函数()f x β+的图象是()f x 的图象向左或向右平移β个单位，它不会是奇函数的，故A 错误；若()()2f x f x α=+，∴()cos 41cos 481x x α-=+-，∴82k απ=，∴4k πα=，Z k ∈；又30,4πα⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，∴取4πα=或2π时，∴()()2f x f x α=+对x R ∈恒成立，故B 正确；()()1212cos 4cos 42f x f x x x -=-=时，12x x -的最小值为22244T ππ==⨯，故C 正确；当()()120f x f x ==时，()12242k x x kT k k Z ππ-==⋅=∈故D 错误；故选:BC.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.12．BCD 【分析】根据条件23cos 3cos b C c B a +=求出3a =.选项A ：根据条件2B C A +=求角A ，根据正弦定理求外接圆的半径，从而求外接圆的面积；选项B ：把ABC 的面积表示成bc 的一个函数，利用二次函数求最值；选项C ：根据正弦定理把边c 表示为6cos A ，利用ABC 为锐角三角形求角A 的范围，从而求边c 的范围；选项D ：利用正弦定理求出角C ，从而判断出ABC 是直角三角形，利用直角三角形内切圆半径公式求ABC 的内切圆半径，从而求AOB 的面积.【详解】因为23cos 3cos b C c B a +=，所以由正弦定理，得3sin cos 3sin cos sin B C C B a A +=,即()3sin sin B C a A +=，因为A B C π++=，所以()sin sin B C A +=，且sin 0A ≠，所以3a =.选项A ：若2B C A +=，则3A π=，所以ABC 的外接圆的直径2sin aR A==，所以R =所以ABC 的外接圆的面积为23ππ⨯=，选项A 错误；选项B ：若2b c a +=，则6b c +=，又因为3a =，所以由余弦定理，得2292cos b c bc A =+-，即()2922cos b c bc bc A =+--，所以27cos 12A bc=-，所以111sin 222ABCS bc A bc bc ===所以当3b =时，ABC S B 正确；选项C ：由正弦定理，得sin sin 2a cA A=，即2cos 6cos c a A A ==，因为ABC 为锐角三角形，所以020202A B C πππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，即02032022A A A ππππ⎧<<⎪⎪⎪<-<⎨⎪⎪<<⎪⎩，所以64A ππ<<，所以(6cos c A =∈，故选项C 正确；选项D ：因为sin 2sin B C =，所以2b c =，因为2A C =，所以()sin sin sin 3B A C C =+=，所以由正弦定理sin sin b cB C=，得2sin 3sin c c C C =，即sin 32sin C C =，所以sin 2cos cos 2sin 2sin C C C C C +=，即222sin cos 2cos sin sin 2sin C C C C C C +-=，所以222cos 2cos 3C C +=，所以23cos 4C =，又因为2A C =，所以6C π=，3A π=，2B π=，b c =，即ABC 是直角三角形，所以内切圆的半径为()12r a c b =+-=所以AOB的面积为1122S cr ==⨯D 正确.故选：BCD.13．3π．【分析】由三角函数定义可得sin ,cos αα，已知等式用诱导公式变形得可得sin()αβ-，结合角的大小及范围求得cos()αβ-，然后由两角差的正弦公式求得sin β后可得β．【详解】∵(1,P ，∴||7OP =，∴sin α=，1cos 7α=．又sin cos cos sin 14αβαβ-=，∴sin()αβ-=∵02πβα<<<，∴02παβ<-<，∴13cos()14αβ-=，∴sin[(]sin )ααββ=--sin cos()cos sin()ααβααβ=---1317147142=-⨯．∵02βπ<<，∴3πβ=．故答案为：3π.【点睛】本题考查已知三角函数值求角，要求角，一般先求出这个角的某个三角函数值，这里有一个技巧，由角的范围（也可先缩小范围），确定在此范围内三角函数是单调的函数值，这样所求角唯一易得．14．-13【分析】根据图像求出()f x 的解析式即可.【详解】由图可知：723,,,241234T A T Tπππππω==-=∴===，()()3sin 2f x x ϕ∴=+，又()2533sin ,0,,336f πππϕϕπϕ⎛⎫⎛⎫=-=+∈∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()53sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()555113sin 2,sin 2sin 2sin 266663f ππππααααπα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+∴-=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；故答案为：-13.15．74-【解析】首先设z a bi =+(a ，b ∈R 且221a b +=)，代入方程，化简为()()222320ax ax bx bx i +++-=，再分0b =和0b ≠两种情况求,a x 验证是否成立.【详解】设z a bi =+，(a ，b ∈R 且221a b +=)则原方程2230zx zx ++=变为()()222320ax ax bx bx i +++-=.所以2230ax ax ++=，①且220bx bx -=，②；（1）若0b =，则21a =解得1a =±，当1a =时①无实数解，舍去；从而1a =-，2230x x --=此时=1x -或3，故1z =-满足条件；（2）若0b ≠，由②知，0x =或2x =，显然0x =不满足，故2x =，代入①得38a =-，b =所以83z =-.综上满足条件的所以复数的和为3371884⎛⎫⎛⎫-+-+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：74-【点睛】思路点睛：本题考查复系数二次方程有实数根问题，关键是设复数z a bi =+后代入方程，再进行整理转化复数的代数形式，注意实部和虚部为0，建立方程求复数z .16．367##157【分析】应用余弦定理及圆的性质可得1cos 2C =、1cos 7ABC ∠=，再由1122MN AB CD =- ，应用向量数量积的运算律求值即可.【详解】由题设180A C ∠+∠=︒，则cos cos A C =-，在△ABD 中222220cos 216AB AD BD BD A AB AD +--==⋅，在△BCD 中222252cos 248BC CD BD BD C BC CD +--==⋅，所以2220521648BD BD --=，可得228BD =，故1cos 2C =，同理得1cos 7ABC ∠=，又MN AB BN AM =+-，M ，N 分别是AD 和BC 的中点，所以1111()2222MN AB BC AB BC CD AB CD =+-++=- ，所以1111236()()(12)22277AB DC AB D MN BC BC BC B C C +⋅=⋅=⋅⋅+=⨯-+= .故答案为：367【点睛】关键点点睛：应用余弦定理及圆的性质求四边形相关内角的余弦值，再转化1()2AB MN BC B D C C ⋅=⋅+求值.17．(1)3π；(2)对称中心为(),0Z 46k k ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭,单调增区间为()5,Z 212212k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，无减区间.【分析】（1）利用诱导公式化简可得1cos 2θ=，即求；（2）利用正切函数的性质即得.【详解】（1）∵()()()cos 2sin 312sin tan 2πθπθπθπθ-+=⎛⎫+- ⎪⎝⎭，∴()()cos sin 1cos cos tan 2θθθθθ-==-，又θ为锐角，∴3πθ=；（2）由题知函数tan 23y x π⎛⎫=+ ⎝⎭，由2Z 32k x k ππ+=∈，得,Z 46k x k ππ=-∈，∴函数tan 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称中心为(),0Z 46k k ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭；由2,Z 232k x k k πππππ-<+<+∈，得5,Z 212212k k x k ππππ-<<+∈，∴函数tan 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调增区间为()5,Z 212212k k k ππππ⎛⎫-+∈⎪⎝⎭，无减区间.18．（1）2i z =-，|z |=（2）()12,1,52⎛⎫- ⎪⎝⎭U 【分析】（1）设i(,)z a b a b R =+∈，依据题设，建立方程求出,a b ，即可求得z ，再求其模；（2）先求出1215+i 12m m z m m --=-+，再根据题意建立不等式组2101502m m m m -⎧>⎪⎪-⎨-⎪<⎪+⎩求解即可：【详解】（1）设i(,)z a b a b R =+∈，则i (1)i z a b +=++，由i z +为实数，得10b +=，则1b =-，由i 212i 2i 2i 55z a a a -+-==+--为实数，得205a -=，则2a =，∴2i z =-，则|z |=（2）11717215i 2+1i +i 121212m m z z m m m m m m --⎛⎫=+-=+-= ⎪-+-+-+⎝⎭由1z 在第四象限，得211011252502m m m m m m m -⎧>⎧⎪><⎪⎪-⇒⎨⎨-⎪⎪-<<<⎩⎪+⎩或，解得122m -<<或15m <<，故m 的取值范围为()12,1,52⎛⎫- ⎪⎝⎭U ．【点睛】思路点睛：本题考查复数的有关概念及加减乘除等基本运算等有关知识的综合运用，考查利用复数在复平面上对应点所在象限求参数范围，求解时先设()i ,z a b a b R =+∈，然后依据题设建立方程求出，属于基础题.19．(1)3B π=(2)(3,9⎤+⎦【分析】(1)利用正弦定理和三角恒等变换即可求解；(2)结合已知条件利用正弦定理表示出a c +，再利用三角恒等变换求值即可.【详解】（1）由正弦定理得，sin sin sin sin cos 3C A B B A =+，在ABC 中，A B C π++=，C A Bπ=--故()()sin sin πsin sin cos cos sin C A B A B A B A B =--=+=+，∴sin cos cos sin sin sin sin cos 3A B A B A B B A +=+，∴sin cos sin A B A B =，sin 0A ≠，从而cos B B =，tan B =∵()0,B π∈，∴3B π=；（2）由正弦定理得，2sin bR B==2π3A C +=，其中R 为ABC 的外接圆半径，故)2π2sin 2sin sin sin 2sin sin 3a c R A R C A C A A ⎤⎛⎫+=+=+=+- ⎪⎥⎝⎭⎦3πsin cos 6sin226A A A ⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎭，因为ABC 是锐角三角形，02A π<<，02C π<<，即02A π<<且2032A <-<ππ，故ππ62A <<，ππ2π363A <+<，所以πsin 126A ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，从而6a c <+≤，故39a b c <++≤，故三角形周长的取值范围为(3,9⎤+⎦．20．(1)()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；(2)23π.【分析】（1）首先根据周期的范围求出322ω≤≤，然后再结合函数的对称轴和零点即可求出ω和ϕ的值，从而可求出函数()f x 的解析式；（2）首先根据()f x 的解析式把条件()5212f x f x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭转化为7sin 4sin 263x x ππ⎛⎫⎛⎫+≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再结合变名的诱导公式及余弦的二倍角公式即可得到sin 212sin 21033x x ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++-≤ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，即得到11sin 232x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，结合正弦函数的图象即可求出x 的取值范围，从而可求n m -的最大值．【详解】（1）因为函数()f x 的最小正周期T 满足43T ππ≤≤，所以243πππω≤≤，即322ω≤≤；因为函数()f x 图象的一条对称轴为12x π=，所以11,Z 122k k ππωϕπ+=+∈①，因为函数()f x 的一个零点为43x π=，所以224,Z 3k k πωϕπ+=∈②，②-①，得()212124,,Z 55k k k k ω=-+-∈，所以当213k k -=时，2ω=，因为2πϕ<，所以把2ω=代入①，得3πϕ=.所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）因为()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以由()5212f x f x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，得7sin 4sin 263x x ππ⎛⎫⎛⎫+≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2sin 4sin 2323x x πππ⎛⎫⎛⎫++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos 22sin 233x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+≥+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即212sin 2sin 233x x ππ⎛⎫⎛⎫-+≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22sin 2sin 21033x x ππ⎛⎫⎛⎫+++-≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即sin 212sin 21033x x ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++-≤ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，所以11sin 232x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以513222,Z 636k x k k πππππ+≤+≤+∈，即11,Z 412k x k k ππππ+≤≤+∈，所以n m -的最大值为1121243πππ-=.21．(2)8.【分析】（1）在ACD 中，由余弦定理求得得AD ，再根据三角形的面积公式可求得答案；（2）在ACD 中，由正弦定理求得sin DAC ∠，再由正弦和角公式求得sin B ，在ABC 中，根据正弦定理求得AB BC ，，由此可求得答案.【详解】（1）解：在ACD中，60,6,D AC CD ∠=︒==22221cos 22CD AD AC D AD CD +-===⋅⋅，解得AD =，所以11sin 22ACD S AD CD D =⋅⋅⋅∠=⨯（2）解：在ACD中，60,6,D AC CD ∠=︒==sin sin AC DCD DAC=∠，即sin DAC =∠，解得3sin 4DAC ∠=，又90A ∠=︒，所以3cos cos sin 24CAB DAC DAC π⎛⎫∠=-∠=∠= ⎪⎝⎭，所以sin 4CAB ∠=，又9cos 16ACB ∠=，所以sin 16ACB ∠=，所以()()sin sin +sin +B ACB CAB ACB CAB π=-∠∠=∠∠⎡⎤⎣⎦sin cos +cos sin ACB CAB ACB CAB=∠∠∠∠39416==在ABC 中，sin sin sin AB BC ACACB CAB B==∠∠==所以6564164AB BC =⨯=⨯=，，所以335+4844AB BC +=⨯=.22．（1）)501平方米；（2）212.5平方米.【分析】（1）过M 作OA 的垂线，交AO 于点E ,过N 作OA 的垂线，交AO 于点F ，分别计算出MN 、NP ，即可求出矩形MNPQ 的面积（2）由题意可知，AOM x ∠=，利用正弦定理表示出各边，把观赏台面积表示为x 的函数，()100cos sin 200sin 2S x x x =-+，利用三角函数求最值.【详解】（1）当π6AOM ∠=时，过M 作OA 的垂线，交AO 于点E .则π1sin 201062ME OM =⋅=⨯=.πcos2062OE OM =⋅=⨯.过N 作OA 的垂线，交AO 于点F ，NF ME =.∵π4AOB ∠=，10OF NF ==，∴10MN OE OF =-=.5NP =.矩形MNPQ 的面积())510501S MN NP =⋅=⨯=-平方米.所以矩形观赏台MNPQ 的面积)501平方米.（2）由题意可知，AOM x ∠=，π4AOB ∠=，π4MON x ∠=-，3π4MNO ∠=，在OMN 中，由sin sin MN OMMON MNO=∠∠，得()cos sin 20cos sin MN OM x OM x x x =-=-.矩形MNPQ 的面积()()1520cos sin 100cos sin S MN NP x x x x =⋅=⨯-=-.答案第17页，共17页观赏台AOC 的面积211sin 2020sin 2200sin 222S OA OC AOC x x =⋅⋅∠=⨯⨯=.整个观赏台面积()12100cos sin 200sin 2S S S x x x =+=-+.设πcos sin cos 4t x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，π64E x ≤≤，∴04t ≤≤.()2222cos sin cos sin 2sin cos 1sin 2t x x x x x x x =-=+-=-.∴2sin 21x t =-.∴()100cos sin 200sin 2S x x x=-+()2211002001200212.54t t t ⎛⎫=+-=--+ ⎪⎝⎭.当10,44t ⎡=∈⎢⎣⎦时，整个观赏台观赏台S 取得最大值为212.5平方米.∴整个观赏台的面积S 的最大值为212.5平方米.【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：(1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；(2)三角函数型应用题根据题意正确画图，把有关条件在图形中反映，利用三角知识是关键．。

第1页（共3页）高一级数学科第2页（共3页）台山一中大江实验中学2022—2023学年度第一学期期中学业水平测试高一级数学科试卷说明:本试题卷共4页，考试结束,只交答题卷.总分150分,考试时间120分钟。

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，3，4}，则A∩B=()A ．{1，5}B ．{4，5}C ．{2，3}D ．{1，4，5}2．若集合A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{x |x <－1或x >3}，则A∩B ＝()A ．{x |－2<x <－1}B ．{x |－2<x <3}C ．{x |－1<x <1}D ．{x |1<x <3}3．“x ＝1”是“x 2－4x ＋3＝0”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知集合M ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，N ＝{0，1，2}，则下列关系正确的是()A ．M ＝NB ．M ∈NC ．N ⊆MD ．N ⊇M5．已知集合A ＝{0，m ，m 2－3m ＋2}，且2∈A ，则实数m 为()A ．2B ．3C ．0或3D ．0，2，3均可6．若a >b ，c ＞d ，且c ，d 均不为0，那么下列不等式一定成立的是()A ．ad ＞bcB ．ac ＞bdC ．a －c ＞b －dD ．a ＋c ＞b ＋d 7．不等式042<-x 的解集为()A ．{}22|-<>x x x 或B ．{}2|>x x C ．[]2,2-D ．[]2,08．若正数a ，b 满足a +3b ＝1，则ba 31+的最小值为（）A ．12B ．14C ．16D ．18二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．若，，则下列不等关系中成立的是（）A．B．C．D．10．已知p 是r 的充分不必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件。