高一年级数学期中考试复习题

2022-2023学年山东省青岛分校高一上学期期中数学试题一、单选题1．设集合，，则（ ）{}3,2,1,0,1,2,3A =---{}2B x x x =-≤A B = A ．B ．C ．D ．{}1,0,1-{}0,1{}0,1,2∅B【分析】解不等式得集合B ，再求A 与B 的交集即可得解.20x x -≤【详解】解不等式得，20x x -≤01x ≤≤于是得，{}|01B x x =≤≤而，{}3,2,1,0,1,2,3A =---所以.{}0,1A B = 故选：B2．下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ ）A ．，B ．()f x x=()g x =()f x =()2g x =C ．，D ．，()211x f x x -=-()1g x x =+()f x =()g x =A【分析】依次判断每个选项中两个函数的定义域和解析式是否完全相同，由此可得结果.【详解】对于A ，与定义域均为与为相等函数，A 正确；()f x ()g x R ()f x \()g x 对于B ，定义域为，定义域为，与不是相等函数，B 错误；()f x R ()g x [)0,∞+()f x \()g x 对于C ，定义域为，定义域为，与不是相等函数，C 错误；()f x {}1x x ≠()g x R ()f x \()g x 对于D ，定义域为，定义域为，与不是相等函数，()f x [)1,+∞()g x (][),11,-∞-⋃+∞()f x \()g x D 错误.故选：A.3．函数 ）()f x =A ．B ．C ．D ．[)()1,22,⋃+∞()1,+∞[)2,+∞[)1,2A【分析】由给定函数有意义，列出不等式组求解即得.【详解】函数，解得且，()f x =1020x x -≥⎧⎨-≠⎩1x ≥2x ≠所以原函数的定义域是.[)(1,22),⋃+∞故选：A4．设，则“”是“”的（ ）x ∈R 6x >5x >A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分又不必要条件C【分析】根据充分条件与必要条件判断即可.【详解】解：，则“”是“”的充分不必要条件.x ∈R 6x >5x >故选：C.5．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是（ ）()0,1A ．B ．C ．D ．2xy =y x=3y x=1y x x=+D【分析】利用函数的奇偶性和单调性定义逐一判断.【详解】A.为指数函数，为非奇非偶函数，A 排除；2xy =B.，定义域为，则，为偶函数，B 排除；y x=R ()()f x x x f x -=-==C.在上单调递增，C 排除；3y x =()0,1D. ，定义域为，1y x x =+()(),00,∞-+∞ 则，为奇函数，()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭任取，1201x x <<<()()()12121212121111f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，，1201x x <<<120x x -<121x x <，12110x x ∴-<，即()()()121212110f x f x x x x x ⎛⎫∴-=--> ⎪⎝⎭()()12f x f x >在区间上单调递减，D 正确.1y x x ∴=+()0,1故选：D.6．若函数为幂函数，则（ ）()()245mf x m m x =++A ．B ．函数的定义域为R 2m =()f x C ．函数是奇函数D ．函数在区间上单调递减()f x ()f x ()0,∞+D【分析】根据函数为幂函数求出，然后利用幂函数的性质逐一判断即可.2m =-【详解】因为函数为幂函数，()()245mf x m m x =++，解得，A 错误；2451m m ++=2m =-，其定义域为，B 错误；()2f x x -=()(),00,∞-+∞ ，函数是偶函数，C 错误()()()22fx x x fx ---=-==()f x 函数在区间上单调递减，D 正确.()f x ()0,∞+故选: D.7．已知，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）0.22a =30.3b =0.20.3c =A ．B ．C ．D ．a b c <<b a c <<b<c<a c<a<bC【分析】根据指数函数的单调性比较大小．【详解】∵是减函数，，0.3xy =30.20>>所以，30.200.30.30.31<<=又，0.20221>=∴．b<c<a 故选：C ．8．函数，已知，则实数a 的取值范围是（ ）()3,01,0x x f x x x -⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩()3f a >A ．B ．()1,2-()(),12,-∞-+∞C ．D ．()2,+∞()(),21,-∞-+∞ B【分析】分段讨论后求解，【详解】可化为或，解得或，()3f a >01()33aa ≤⎧⎪⎨>⎪⎩013a a >⎧⎨+>⎩1a <-2a >故选：B二、多选题9．若a 、b 、，，，则下列不等式一定成立的是（ ）R c ∈0a b >>0c d >>A ．B ．C ．D ．11a b <a c b d->-a b c d >ac bd>AD【分析】由不等式的性质对选项逐一判断，【详解】对于A ，，则，故A 正确，0a b >>11a b <对于B ，若，则，故B 错误，4,3,2,1a b c d ====a c b d -=-对于C ，若，则，故C 错误，4,3,2,1a b c d ====2,3a b c d ==对于D ，由，，故，故D 正确，0a b >>0c d >>ac bd >故选：AD10．若集合，，且，则满足条件的实数a 可以{}2|560A x x x =+-=}1{R |0,B x ax a =+=∈B A ⊆为（ ）A ．B ．0C ．D ．1-1613ABC【分析】分和两类情况讨论即可求解.0a =0a ≠【详解】，{}2|560{6,1}A x x x =+-==-当时，，满足；0a =B =∅B A ⊆当时，，0a ≠}1{|B x x a ==-若，解得；11a -=1a =-若，解得.16a -=-16a =所以满足条件的实数a 可以为.10,1,6-故选：ABC11．函数与在同一坐标系中的图像可能为（ ）2()21f x ax x =++()ag x x =A ．B ．C ．D ．ACD 可令，和三种情况讨论，先分析函数的图象性质，再分a<0()2a n n N+=∈()12a n N n +=∈()ag x x =析函数的图象性质，观察选项是否符合．2()21f x ax x =++【详解】当时，为奇函数，定义域为，且在上递减，而a<0()ag x x ={}|0x x ≠()0,∞+开口向下，对称轴为，，故A 符合；2()21f x ax x =++10x a =->(0)1f =当时，为偶函数，且在上递增，开口向上，且对()2a n n N +=∈()a g x x =()0,∞+2()21f x ax x =++称轴为，，其图象和轴没有交点，故D 符合；10x a =-<440a ∆=-<x 当时，函数的定义域为，且在上递增，开()12a n N n +=∈()a g x x =[)0,∞+[)0,∞+2()21f x ax x =++口向上，且对称轴为，，图象和轴有两个交点，故C 符合．10x a =-<440∆=->a x 故选：ACD ．本题考查根据函数的解析式选择函数图象，考查二次函数图象性质、幂函数图象性质的运用，解答时，针对的不同取值，观察所给两个函数图象是否符合即可．a12．已知函数（，且），则下列结论正确的是（ ）()1x f x a =-0a >1a ≠A ．函数恒过定点()f x ()0,1B ．函数的值域为()f x [)0,∞+C ．函数在区间上单调递增()f x [)0,∞+D ．若直线与函数的图像有两个公共点，则实数a 的取值范围是2y a =()f x ()0,1BC【分析】根据函数解析式确定即可判断A ；根据指数函数的值域来判断B ；利用函数单调性()0f 定义及指数函数的性质即可判断C ；分情况作图分析，求直线与函数的图像有两个公共2y a =()f x 点时，可得实数a 的取值范围，可判断D.【详解】解：已知函数（，且），则()1x f x a =-0a >1a ≠x ∈R 对于A ，，函数恒过定点，故A 错误；()0010f a =-=()f x ()0,0对于B ，，则，所以，函数的值域为，故B 正确；x ∈R 11xa ->-10x a -≥()f x [)0,∞+对于C ，任取，则，当时，函数单调递增，则120x x >≥()()121211x x f x f x a a -=---1a >x y a =，当，则恒成立，所以；12x x a a >[)0,x ∈+∞10x a ->()()()121212110x x x x f x f x a a a a -=---=->当时，函数单调递减，则，当，则恒成立，所以01a <<x y a =12x x a a <[)0,x ∈+∞10x a -<，则恒成立，所以函数在区间()()()122112110x x x x f x f x a a a a -=---=->()()12f x f x >()f x 上单调递增，故C 正确；[)0,∞+对于D ，的图象由的图象向下平移一个单位，再将轴下方的图象翻折到轴上方|1|x y a =-xy a =x x 得到，分和两种情况分别作图，如图所示：1a >01a <<当时不合题意；时，需要，即，故D 错误；1a >01a <<021a <<102a <<故选：BC.三、填空题13．已知指数函数的图象经过点，则______．()f x ()3,27()2f -=19【分析】设（且），根据函数过点，求出的值，即可求出函数解析式，()xf x a =0a >1a ≠()3,27a 再代入计算可得.【详解】解：设（且），则，所以，()xf x a =0a >1a ≠()3327f a ==3a =即，所以.()3xf x =()21239f --==故1914．写出命题“，”的否定______．R x ∀∈2230x x -+>，R x ∃∈2230x x -+≤【分析】由全称命题的否定求解，【详解】由题意得“，” 的否定是“，”R x ∀∈2230x x -+>R x ∃∈2230x x -+≤故，R x ∃∈2230x x -+≤15．函数的单调递增区间是______．()22xxf x -=1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】根据复合函数的单调规律来判断.【详解】设()22,t x t f x x ==-因为在上单调递增，()2tf x =R 在上单调递减，在上单调递增，2t x x =-1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭故函数的单调递增区间是()22x x f x -=1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭故1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭16．已知偶函数在上单调递增，，若，则x 的取值范围是()f x [)0,∞+()20f =()240-<f x ______．()1,3【分析】利用偶函数的性质将不等式变形为，可得出，解出该不等式()()242-<f x f 242x -<即可.【详解】偶函数在单调递增，，()y f x =[)0,∞+()20f =且，则，()240-<f x ()()242-<f x f ，即，解得.242x ∴-<2242x -<-<13x <<因此，的取值范围是.x ()1,3故答案为.()1,3四、解答题17．（1）计算)324+（2）已知，求的值．13a a -+=22a a -+（1）；（2）6π+7【分析】（1）根据指数幂的运算性质即可求解；（2）根据指数幂的运算性质即可求解.【详解】（1）原式.32321231236πππ⨯=++-=++-=+（2）因为，所以，13a a -+=()212229a a a a --+=++=所以.227a a -+=18．已知函数是定义在R 上的偶函数，且当时，．()f x 0x ≤()22f x x x=+(1)求函数的解析式；()()R f x x ∈(2)写出函数的单调区间和值域．()()R f x x ∈(1)()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨->⎩(2)答案见解析【分析】（1）直接根据偶函数的定义计算；（2）利用二次函数的性质可得答案.【详解】（1）因为函数是定义在R 上的偶函数()f x 当时，0x >()()()()2222=-=-+-=-f x f x x x x x ；()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≤∴=⎨->⎩（2）当时，，在上单调递减，在上单调递增；0x >()22f x x x =-()0,1()1,+∞此时有()()min 11f x f ==-当时，，在上单调递减，在上单调递增；0x ≤()22f x x x =+(),1-∞-()1,0-此时有()()min 11f x f =-=-综合得函数的单调增区间为，，单调减区间为，，值域为()()R f x x ∈()1,0-()1,+∞(),1-∞-()0,1[)1,-+∞19．已知二次函数过坐标原点，且对任意实数x 都有．()f x ()()123f x f x x +=++(1)求函数的解析式；()f x (2)在区间上，函数恒成立，求实数m 的取值范围．[]1,1-()4f x x m >+(1)()22f x x x=+(2)1m <-【分析】（1）根据题目条件求出，，设，利用待定系数法求出，最终()1f ()2f ()2f x ax bx=+,a b 求出答案；（2）化简得，设,，求出的范围，从而求出()4f x x m>+22m x x <-2()2g x x x =-[]1,1x ∈-()g x 的取值范围.m 【详解】（1）∵二次函数过坐标原点，()f x ∴()00f =根据对任意实数x 都有()()123f x f x x +=++∴，()()102033f f =+⨯+=()()212138f f =+⨯+=设()()20f x ax bx a =+≠导入得3428a b a b +=⎧⎨+=⎩解得1,2a b ==∴()22f x x x=+（2）根据化简得，()4f x x m>+22m x x <-[]1,1x ∈-设,2()2g x x x =-[]1,1x ∈-∴1()3g x -≤≤∴1m <-20．某企业为实现产业转型升级，决定研发一款新型电子设备，生产这种电子设备的年固定成本为500万元，每生产台，需另投入成本（万元）．当年产量不足60台时，（万x ()c x ()220c x x x =+元）；当年产量不小于60台时，（万元），若每台电子设备售价为100万()98001022080c x x x =+-元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．(1)求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式；（利润销售额成本）.y x =-(2)当年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出最大利润．(1)280500,060490015802,60x x x y x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩(2)年产量为台时，该企业在这一款电子设备的生产中获利最大，最大利润为万元.701300【分析】（1）根据条件，利润等于设备的售价减去投入成本再减去年固定成本即可求解；y ()c x （2）对（1）中的函数关系式分别利用二次函数和基本不等式求两段的最大值，再取最大【详解】（1）解：由题意可得：时，，060x <<()221002050080500y x x x x x =-+-=-+-当时，60x ≥98001022080490010050015802x y x x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭所以年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式为：y x ，280500,060490015802,60x x x y x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）解：由（1）得时，，开口向下的抛物线，对称轴为，060x <<280500y x x =-+-40x =此时时，万元，40x =2max 4080405001100y =-+⨯-=当时，，60x≥4900158021580158022701300y x x ⎛⎫=-+≤-=-⨯⨯= ⎪⎝⎭当且仅当即时等号成立，（万元），4900x x =70x =max 1300y =综上所述：年产量为台时，该企业在这一款电子设备的生产中获利最大，最大利润为万元.70130021．已知函数为定义在R 上的奇函数，且．()24axbf x x +=+()124f =(1)求a 、b 的值；(2)用定义证明函数在区间上的单调性．()f x []22-,(1)，；1a =0b =(2)证明见解析.【分析】（1）结合已知条件和奇函数的定义即得；（2）利用单调性定义即可证明.【详解】（1）因为是定义在R 上的奇函数，()24ax bf x x +=+所以，即，()()f x f x -=-()2244ax b axbx x -++=-+-+所以，可得，ax b ax b -+=--0b =所以，()24axf x x =+又由，()2212244a f ==+可得；1a =（2）由题可知，2()4xf x x =+设，，且，1x []22,2x ∈-12x x <则2212121212122222121244()()44(4)(4)x x x x x x x x f x f x x x x x +---=-=++++，21122212()(4)(4)(4)x x x x x x --=++因为，1222x x -≤<≤所以，，，210x x ->1240x x -<2212(4)(4)0x x ++>从而，即，12())0(f x f x -<12()()f x f x <故在上单调递增.()f x []22-,22．定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则D ()f x x D ∈0M >()f x M ≤称是上的“有上界函数”，其中称为函数的上界．已知函数．()f x D M ()f x 11()139x x f x a ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为“有上界函12a =-()f x (,0)-∞()f x (,0)-∞数”，请说明理由；（2）若函数在上是以4为上界的“有上界函数”，求实数的取值范围．()f x [0,)+∞a （1）值域为，不是“有上界函数”；理由见解析；（2）3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(,2]-∞【分析】（1）把代入函数的表达式，令，可得，可求出的值域，12a =-13xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭1t >2112y t t =-+即为在的值域，结合“有上界函数”的定义进行判断即可；()f x (,0)-∞（2）由题意知，对恒成立，令，可得，整理得对()4f x ≤[0,)x ∈+∞13xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭(0,1]t ∈3a t t ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭恒成立，只需即可.(0,1]t ∈min 3a t t ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭【详解】（1）当时，，12a =-111()1239x xf x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令，，，，13x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭0x < 1t ∴>2112y t t =-+在上单调递增，，2112y t t =-+ (1,)+∞111232y -∴>+=即在的值域为，()f x (,0)-∞3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭故不存在常数，使成立．0M >()f x M ≤∴函数在上不是“有上界函数”()f x (,0)-∞（2）由题意知，对恒成立，()4f x ≤[0,)x ∈+∞令，，，13x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭0x ≥ (0,1]t ∴∈对恒成立，即对恒成立，214at t ∴++≤(0,1]t ∈3a t t ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭(0,1]t ∈设，易知在上递减，3()g t t t =-()g t (0,1]t ∈在上的最小值为．()g t ∴(0,1]t ∈(1)2g =∴，min ()2a g t ≤=∴实数的取值范围为a (,2]-∞本题考查新定义，考查函数的值域与最值，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.。

2022-2023学年山东省泰安市肥城市高一上学期期中数学试题一、单选题1．设集合{1,2}A =，{2,4}B =，则A B ⋃等于（ ） A ．{}1,2,4 B ．{}2 C ．{}1,2,2,4 D ．{}1,4【答案】A【分析】由并集的定义求解即可 【详解】因为集合{1,2}A =，{2,4}B =， 所以{}1,2,4A B ⋃=， 故选：A 2．函数()f x=的定义域为（ ） A ．(,)∞∞-+ B ．(,0)(0,)-∞+∞ C ．[0,)+∞ D ．(0,)+∞【答案】D【解析】求出使()f x=x 的范围即可. 【详解】由题意可得：0x >， 所以函数()f x=的定义域为(0,)+∞， 故选：D3．命题“R x ∀∈，20x +≥”的否定是（ ） A ．R x ∀∈，20x +< B ．R x ∃∈，20x +≥ C ．R x ∀∈，20x +> D ．R x ∃∈，20x +<【答案】D【分析】全称命题的否定：任意改存在并否定原结论，即可得答案.【详解】由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为R x ∃∈，20x +<. 故选：D4．下列两个函数是同一个函数的是（ ）A ．y x =与2y =B ．y x =与yC ．1y =与0y x = D ．1y x =-与21xy x=-【答案】B【分析】根据函数的定义域和解析式是否相同即可判断正误. 【详解】解：对于A ，y x =的定义域为R ，()2y x =的定义域为[)0,∞+，A 选项错误；对于B ，y x =的定义域为R ，2y x =定义域为R ，且两个函数解析式都可写成()()00x x y x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，B选项正确；对于C ，1y =的定义域为R ，0y x =的定义域为()(),00,∞-+∞，C 选项错误；对于D ，1y x =-的定义域为R ，21xy x=-的定义域为()(),00,∞-+∞，D 选项错误；故选：B.5．设R a ∈，则“1a =-”是“21a =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由充分、必要性定义，判断题设条件间的推出关系，即可得答案. 【详解】由21a =，可得1a =±，故“1a =-”是“21a =”的充分不必要条件. 故选：A6．已知()f x 是偶函数，其部分图象如图所示，则()f x 的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据偶函数图像关于y 轴对称直接判断.【详解】()f x 为偶函数，其图像应该关于y 轴对称，根据题目所给的一部分图像可知，符合题意的只有D 图. 故选：D7．若0,0a b >>，且3ab a b =++，则a b +的最小值为（ ） A ．2 B ．6 C ．9 D ．12【答案】B【分析】由基本不等式得到()()24120a b a b +-+-≥，求出6a b +≥.【详解】因为0,0a b >>，由基本不等式可得：()234a b a b ab +++=≤，即()()24120a b a b +-+-≥，因为0,0a b >>，解得：6a b +≥，当且仅当3a b ==时，等号成立， 故选：B8．已知函数()22,,x x x af x x x a ⎧-+<=⎨≥⎩，若函数()f x 是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤B ．0a ≤C ．1a ≥或0a =D ．0a ≤或1a =【答案】D【分析】由分段函数的单调性，结合一次、二次函数的单调性可得212a a a a ≤⎧⎨-≤⎩，即可求范围. 【详解】由222(1)1y x x x =-+=--+在(,1)-∞上递增，(1,)+∞上递减；且y x =在R 上递增，所以要使()f x 是R 上的单调函数，则必为单调递增，故212a a a a ≤⎧⎨-≤⎩，可得(,0]{1}a ∈-∞⋃. 故选：D二、多选题9．已知集合A 满足A {}1,2,3,4,5，则A 可以是（ ） A ．∅ B ．{}0,1,2,3C ．{}2,3,4,5D ．{}1,2,3,4,5【答案】AC【分析】根据真子集的定义直接判断即可. 【详解】因为A {}1,2,3,4,5，所以集合A 可以是∅、{}2,3,4,5，不能是{}0,1,2,3、{}1,2,3,4,5. 故选：AC10．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若实数a b >，则下列不等式不一定．．．成立的是（ ） A ．1>a bB ．222a b ab +C ．b a a b+≥2D ．11a b<【答案】ACD【解析】举特值可知选项ACD 正确，作差比较可知选项B 不正确. 【详解】当1,2a b =-=-时，满足a b >，此时112a b =<，故A 正确； 因为2222()0a b ab a b +-=->，所以222a b ab +>，所以222a b ab +>，即222a b ab +<，所以222a b ab +≤一定成立，故B 不正确；当1,1a b ==-时，满足a b >，此时112b aa b+=--=-2<，故C 正确；当1,1a b ==-时，满足a b >，此时1111a b=>=-，故D 正确. 故选：ACD【点睛】关键点点睛：举特值说明不等式不一定成立是解题关键. 11．已知幂函数()f x 的图象经过点12,4⎛⎫⎪⎝⎭，则（ ）A ．函数()f x 为减函数B ．函数()f x 的值域为()0,∞+C ．函数()f x 为奇函数D ．若120x x <<，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭【答案】BD【分析】设出函数解析式，将12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭代入解析式，求出()2f x x -=，画出函数图象，从而得到函数的单调性和值域，判断出AB 选项，利用函数奇偶性的定义判断出函数的奇偶性，判断C 选项，作差法，结合基本不等式得到若120x x <<，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭. 【详解】设()f x x α=，将12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭代入，得124α=，解得：2α=-，故()2f x x -=，其图象如图所示：可得到()f x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，且值域为()0,∞+， 故A 错误，B 正确；()2f x x -=定义域为()(),00,∞∞-⋃+，且()()()22f x x x f x ---=-==，为偶函数，C 错误；若120x x <<，则()()212121212222222f x f x x x x x x x f ---++++⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()222222222222122221112112122128422x x x x x x x x x x x x x x x x -+=⋅+-=+++因为120x x <<，故()()()()()22222222222211211112221121222228x x x x xx x x x x x x x x x x x x +=+++≥⋅++=，当且仅当12x x =时，等号成立，但120x x <<，故等号取不到，故()()()()()111212222222222121212280222x x x x x x f x f x x x f x x x x -+++⎛⎫-=< ⎪++⋅⎝⎭ 即()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，D 正确.故选：BD12．已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，且满足以下条件： ①()10f -=；②[)12,0,x x ∀∈+∞，当12x x ≠时，都有()()()21210x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦； ③R,()()x f x f x ∀∈-=.则下列结论中正确的是（ ） A ．(3)(2)f f >-B ．若()()12f m f -<，则()(,1)3,m +∈-∞-∞C ．R x ∀∈，R M ∃∈，使得()f x M ≤D ．若()0f x x>，则(0,1)(,1)x ∈-∞- 【答案】BCD【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，根据单调性判断A ，根据单调性与奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式，即可判断B ，求出函数的最大值，即可判断C ，根据函数的取值情况分类讨论，求出不等式()0f x x>的解集，即可判断D. 【详解】解：因为R x ∀∈，()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，又[)12,0,x x ∀∈+∞，当12x x ≠时，都有()()()21210x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，所以()f x 在[)0,∞+上单调递减， 根据偶函数的对称性可知函数在(,0)-∞上单调递增，又()10f -=，所以()()110f f =-=，所以当1x <-或1x >时()0f x <，当11x -<<时()0f x >， 对于A ：因为()f x 在[)0,∞+上单调递减，所以()()()322f f f <=-，故A 错误； 对于B ：因为()()12f m f -<，所以()()12f m f -<，故12m ->，即12m ->或12m -<-， 解得1m <-或3m >，即()(,1)3,m +∈-∞-∞，故B 正确；对于C ：函数()f x 在R 上的图象是连续不断的，且函数在(,0)-∞上单调递增，在[)0,∞+上单调递减， 所以()f x 的最大值为(0)f ，故存在max ()(0)M f x f ==，使得R x ∀∈，有()f x M ≤，故C 正确； 对于D ：不等式()0f x x>， 当0x >时，()0f x >，解得01x <<；当0x <时，()0f x <，解得1x <-． 综上所述，不等式()0f x x>的解集为(0,1)(,1)⋃-∞-，故D 正确； 故选：BCD三、填空题13．设{}{},,1,,1,a b R P a Q b ∈==--，若P Q =，则a b +=_____________. 【答案】-2【分析】根据集合相等，得到集合元素之间的关系，求出,a b ，最后计算a b +的值.【详解】因为P Q =，所以11211b a a b a b =-=-⎧⎧⇒⇒+=-⎨⎨=-=-⎩⎩. 【点睛】本题考查了集合相等的概念，考查了数学运算能力.14．已知函数()212f x x x -=-，那么()f x 的解析式是___________. 【答案】()21f x x =-【分析】利用换元法即可求出函数()f x 的解析式. 【详解】令11t x x t =-⇒=+，已知()212f x x x -=-，()()()()221211f t t t t t ∴=+-+=-∈R ，则()f x 的解析式是()21f x x =-，故答案为：()21f x x =-.15．已知23a ≤≤，21b -≤≤-，则2+a b 的取值范围为___________. 【答案】[]2,1-【分析】由21b -≤≤-，得422b -≤≤-，再根据不等式同向可加性，即可得出答案. 【详解】解：21b -≤≤-，422b ∴-≤≤-，而23a ≤≤，221a b ∴-≤+≤，即2+a b 的取值范围为[]2,1-.故答案为：[]2,1-四、双空题16．通过学习我们知道：函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称的充要条件是函数()+y f x a b =-为奇函数，也就是满足()()22f a x f x b -+=.已知函数()y g x =在定义域内满足()()24g x g x -=-+，那么函数()y g x =的对称中心(),a b 的坐标为___________；如果对于变量,x y满足0,0x y >>，且1ax by +=，那么代数式a bx y +的最小值为___________.【答案】 ()1,2 9【分析】根据对称中心的定义式即可确定函数()y g x =的对称中心坐标；由,a b 的值，结合基本不等式即可确定所求式子的最小值.【详解】解：已知函数()y g x =在定义域内满足()()24g x g x -=-+，则()()24g x g x -+= 所以函数()y g x =关于点()1,2对称，即函数()y g x =的对称中心(),a b 的坐标为()1,2； 则1,2a b ==，所以21x y +=，0,0x y >>，所以()12122221459a b x y x y x y x y x y y x ⎛⎫+=+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭ 当且仅当22x y y x =，即13x y ==时，等号成立，所以a b x y +的最小值为9. 故答案为：()1,2；9.五、解答题17．已知全集U R =，集合{}|01A x x =<<，{}121|B x m x m =-<<+. (1)若12m =，求()UB A ；(2)若A B B ⋃=，求实数m 的取值范围.【答案】(1)10122x x x ⎧⎫-<≤≤<⎨⎬⎩⎭，或(2)[]0,1【分析】（1）利用集合交集、补集的运算性质即可求解.（2）根据A B B ⋃=，首先得出A B ⊆，再利用子集的含义列出方程组，求解m . 【详解】（1）若12m =，则122B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭.因为U R =，{}|01A x x =<<，所以{}0,1UA x x x =≤≥或.所以()10122U B A x x x ⎧⎫⋂=-<≤≤<⎨⎬⎩⎭或（2）若A B B ⋃=，则A B ⊆，需满足21110211m m m m +>-⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，解得01m ≤≤，所以实数m 的取值范围为[]0,1.18．已知函数()22x f x x m+=+，且()f x 是奇函数.(1)求实数m 的值； (2)判断()f x在区间)∞上的单调性，并用定义法证明.【答案】(1)0m = (2)函数()f x在区间)∞上单调递增，证明见解析【分析】（1）由奇函数的定义求解即可； （2）由单调性的定义求解即可【详解】（1）因为()f x 是奇函数，即()()f x f x -=-. 所以有2222x x x m x m++=--++，得x m x m -+=--.解得0m =.（2）函数()f x在区间)∞上单调递增.证明：由于0m =，所以()222=x f x x x x+=+. )12,x x +∀∈∞，12x x <且，则()()()12121212122222f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()21121212121222x x x x x x x x x x x x --=-+=-.由)12,x x +∈∞，得12x x >所以12122,20x x x x >->. 又由12x x <，得120x x -<，于是()()12121220x x x x x x --<，即()()12f x f x <.所以函数()f x在区间)∞上单调递增.19．已知函数()232f x ax x =-+，R a ∈.(1)若不等式()0f x <的解集为{1}xx b <<∣，求实数,a b 的值； (2)若()0f x ≥在实数集R 上恒成立，求a 的取值范围. 【答案】(1)1a =，2b = (2)9+8⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭,【分析】（1）首先根据()0f x <的解集为{1}xx b <<∣，得到232=0ax x -+的根为1和b ，先代入1，解a ，再代入b 即可求解.（2）对a 分类讨论，再根据恒成立思路求解.【详解】（1）由不等式2320ax x -+<的解集为{1}xx b <<∣， 可知0a >且1x =是方程232=0ax x -+的一个根， 把1x =代入方程232=0ax x -+，解得1a =. 解不等式2320x x -+<得12x <<， 所以2b =.（2）因为2320ax x -+≥在实数集R 上恒成立， 所以当0a =时，320x -+≥在实数集R 上不是恒成立的.当0a ≠时，需满足0Δ980a a >⎧⎨=-≤⎩，解得98a ≥.综上可知：实数a 的取值范围是9+8⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭,. 20．某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入R （单位：元）关于月产量x （单位：台）满足：21400,0400,280000,400.x x x R x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩ (1)将利润P （单位：元）表示为月产量x 的函数；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大?最大利润为多少元?（利润=总收入-总成本）【答案】(1)2130020000,0400260000100,400x x x P x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩；(2)当月产量为300台时，总利润最大，最大利润为25000元.【分析】（1）分0400x ≤≤与400x >两种情况，求解出利润P 表示为月产量x 的函数即得； （2）分0400x ≤≤与400x >两种情况，求解出利润的最大值，比较后得到结论.【详解】（1）当0400x ≤≤时，214002R x x =-， 故2211400200001003002000022P x x x x x =---=-+-， 当400x >时，80000R =，故800002000010060000100P x x =--=-， 故2130020000,0400260000100,400x x x P x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩；（2）当0400x ≤≤时，()21300250002P x =--+， 故当300x =时，P 取得最大值，最大值为25000；当400x >时，60000100P x =-单调递减，故6000010040020000P <-⨯=，综上：当月产量为300台时，总利润最大，最大利润为25000元.21．已知集合{}2560A x x x =-+-≥，(){}2210B x a x a x =--≤. (1)当2a =时，判断x A ∈是x B ∈的什么条件？(2)当1a >时，可得[],B m n =，其中m n <，求n m -的最小值.【答案】(1)x A ∈是x B ∈的充分不必要条件(2)最小值4【分析】（1）根据已知分别求解集合,A B ，则可判断集合,A B 之间的关系，于是可判断x A ∈是x B ∈的什么条件；（2）根据1a >可得集合B ，则可得20,1a m n a ==-，所以可得21a n m a -=-，结合基本不等式即可求最值.【详解】（1）解：由不等式2560x x -+-≥，变形为2560x x -+≤，解得23x ≤≤，所以[]2,3A =.当2a =时，{}(){}[]240400,4B x x x x x x =-≤=-≤=. 则A B ，所以x A ∈是x B ∈的充分不必要条件.（2）解：由于1a >，所以10a ->，不等式()2210a x a x --≤等价转化为201a x x a ⎛⎫-≤ ⎪-⎝⎭， 解得201a x a ≤≤-，因此20,1a m n a ==-， 则2211111121111a a n m a a a a a a -+-===++=-++----24≥=， 当且仅当111a a -=-时，即当2a =时取到等号， 所以当2a =时，n m -取到最小值4.22．已知函数()f x 是定义在实数集R 上的偶函数，当0x ≤时，()21f x x x =-+.(1)当0x >时，解不等式()()223111(R)2k x x k f x k x k ⎛⎫+-+-≤≤++∈ ⎪⎝⎭； (2)不等式()22110f x mx m +-+-≥在⎡⎣上有解，求实数m 的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)22,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）根据偶函数的性质求出函数在0x >时的解析式，则不等式等价于()2220210k x x k x k x k ⎧⎛⎫+--≤⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪+--≤⎩，由0x >可得020k x x k ⎧-≤⎪⎨⎪-≤⎩，再对k 分0k ≤和0k >两种情况讨论，求出不等式组的解集； （2）令21x t +=，则问题等价于()10f mt t -+≥在[]1,6t ∈上有解，参变分离可得21m t t≤++，令()21g t t t=++，[]1,6t ∈求出函数的最大值，即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）解：因为()f x 是定义在实数集R 上的偶函数，且当0x ≤时，()21f x x x =-+，设0x >时，则0x -<，所以()21f x x x =-++又因为()()f x f x -=，所以()21f x x x =++.不等式可化为()2220210k x x k x k x k ⎧⎛⎫+--≤⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪+--≤⎩，即()()()20210k x x x x k ⎧⎛⎫+-≤⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪+-≤⎩，因为0x >，所以10x +>，20x +>，以上不等式组等价为020k x x k ⎧-≤⎪⎨⎪-≤⎩，当0k ≤时，解不等式组得0x k ≤≤，由于0x >，此时不等式无解；当0k >时，解不等式组得2k x ≤，又因为0x >，所以02k x <≤. 综上所述：当0k ≤时，不等式的解集为∅；当0k >时，不等式的解集为0,2k ⎛⎤ ⎥⎝⎦. （2）解：不等式整理为()()221110f x m x +-++≥，令21x t +=，因为x ⎡∈⎣，可知[]1,6t ∈，不等式转化为()10f mt t -+≥在[]1,6t ∈上有解，整理为2221t t m t t t++≤=++， 令()21g t t t=++，其中[]1,6t ∈，因为()g t 在⎡⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增， 且()14g =，()226=43g >，所以()max 223g t =.所以不等式()22110f x mx m +-+-≥在⎡⎣上有解，等价于()max m g t ≤， 所以223m ≤，所以m 的取值范围是22,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.。

福建省厦门市2022—2023学年度第二学期期中考试高一年数学试卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 为虚数单位，复数22iz i +=-，则复数z 的模为（）．A.2B.5C.1D.2【答案】C 【解析】【分析】根据复数除法运算，先化简z ；再由复数模的计算公式，即可得出结果.【详解】因为复数()222342555i i z ii ++===+-，所以91612525z =+=．故选：C ．2.已知平面向量()1,a m = ，(),2b n = ，()3,6c = ，若a c ∥ ，b c ⊥，则实数m 与n 的和为()A.6B.6- C.2D.2-【答案】D 【解析】【分析】根据a c ∥ 、b c ⊥分别求出m 和n 即可．【详解】a ∥c，1236mm ∴=⇒=；b c ⊥ ，0b c ∴⋅=，31204n n ∴+=⇒=-；242m n ∴+=-=-．故选：D ．3.已知圆锥PO ，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边长为6m ，顶角为2π3的等腰三角形，该圆锥的侧面积为（）A.26πmB.263πm C.233πm D.2123πm 【答案】B 【解析】【分析】运用圆锥侧面积公式计算即可.【详解】如图所示，设圆锥的半径为r ，母线为l ，由题意知，132r OB AB ===，在Rt POB △中，112ππ2233BPO BPA ∠=∠=⨯=，所以323π3sin 32OB l BP ====，所以圆锥侧面积为2ππ32363πm rl =⨯⨯=.故选：B.4.中国古代数学专著《九章算术》的第一章“方田”中载有“半周半径相乘得积步”，其大意为：圆的半周长乘以其半径等于圆面积.南北朝时期杰出的数学家祖冲之曾用圆内接正多边形的面积“替代”圆的面积，并通过增加圆内接正多边形的边数n 使得正多边形的面积更接近圆的面积，从而更为“精确”地估计圆周率π.据此，当n 足够大时，可以得到π与n 的关系为（）A.360πsin 2n n︒≈B.180πsinn n ︒≈ C.360π21cos n n ︒⎛⎫≈- ⎪⎝⎭ D.180π1cos 2n n︒≈-【答案】A 【解析】【分析】设圆的半径为r ，由题意可得221360πsin2r n r n ︒≈⋅⋅⋅，化简即可得出答案.【详解】设圆的半径为r ，将内接正n 边形分成n 个小三角形，由内接正n 边形的面积无限接近圆的面即可得：221360πsin2r n r n︒≈⋅⋅⋅，解得：360πsin 2n n ︒≈.故选：A .5.在ABC 中，60A ∠=︒，1b =，ABC 的面积为3，则sin aA为（）．A.8381B.2393C.2633D.27【答案】B 【解析】【分析】由已知条件，先根据三角形面积公式求出c 的值，然后利用余弦定理求出a 的值，即可得sin aA的值.【详解】解：在ABC 中，因为60A ∠=︒，1b =，ABC 的面积为3，所以113sin 12223ABC bc A S c ==⨯⨯⨯= ，所以4c =，因为2222212cos 14214132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，所以13a =，所以13239sin 332a A ==.故选：B.6.已知m ，n 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若//,//,//m n αβαβ，则//m nB.若//,//,m m n αβαβ⋂=，则//m nC.若//,//αβn n ，则//αβD.若//,m n n α⊂，则//m α【答案】B 【解析】【分析】A ：结合两直线的位置关系可判断//m n 或,m n 异面；B ：结合线面平行的性质可判断//m n ；C ：结合线面的位置关系可判断//αβ或,αβ相交；D ：结合线面的位置关系可判断//m α或m α⊂.【详解】A ：若//,//,//m n αβαβ，则//m n 或,m n 异面，故A 错误；B ：因为//m α，所以在平面α内存在不同于n 的直线l ，使得//l m ，则l //β，从而//l n ，故//m n ，故B 正确；C ：若//,//αβn n ，则//αβ或,αβ相交，故C 错误；D ：若//,m n n α⊂，则//m α或m α⊂，故D 错误.故选：B7.如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，棱柱的侧面均为矩形，11AA =，3AB BC ==，1cos 3ABC ∠=，P 是1A B 上的一动点，则1AP PC +的最小值为（）A.3B.2C.5D.7【答案】D 【解析】【分析】连接1BC ，得11A BC V ，以1A B 所在直线为轴，将11A BC V 所在平面旋转到平面11ABB A ，设点1C 的新位置为C '，连接AC '，再根据两点之间线段最短，结合勾股定理余弦定理等求解AC '即可.【详解】连接1BC ，得11A BC V ，以1A B 所在直线为轴，将11A BC V 所在平面旋转到平面11ABB A ，设点1C 的新位置为C '，连接AC '，则有1C AP PC AP PC A '++'=≥，如图，当,,A P C '三点共线时，则AC '即为1AP PC +的最小值.在三角形ABC 中，3AB BC ==，1cos 3ABC ∠=，由余弦定理得：2212cos 332323AC AB BC AB BC B =+-⋅=+-⨯⨯=,所以112A C =，即12A C '=,在三角形1A AB 中，11AA =，3AB =，由勾股定理可得：2211132A B AA AB =+=+=,且160AA B ∠=︒.同理可求：12C B =，因为11112A B BC A C ===，所以11A BC V 为等边三角形，所以1160BA C ∠=︒，所以在三角形1AAC '中，111120AA C AA B BA C ''∠=∠+∠=︒,111,2AA A C '==,由余弦定理得：11421272AC ⎛⎫'=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭.故选：D.8.已知ABC 中，π3A ∠=，D ，E 是线段BC 上的两点，满足BD DC =，BAE CAE ∠=∠，192AD =，635AE =，则BC 长度为（）A.19 B.23 C.7 D.6319-【答案】C 【解析】【分析】由BAE CAE ABCS S S +=△△△可得出56b c bc +=，由1()2AD AB AC =+ 两边平方可求得,,bc b c +然后在ABC 中利用余弦定理可求得答案.【详解】如图，记,,BC a AC b AB c ===,BAE CAE ABC S S S += △△△，π6BAE CAE ∠=∠=，635AE =，1631631sin sin sin 25625623πππc b bc ∴⨯⨯+⨯⨯=，333()104b c bc ∴+=，即56b c bc +=，1()2AD AB AC =+ ，192AD =，()()2222211244AD AB AB AC AC b c bc ∴=+⋅+=++ 2211125119()()4443644b c bc bc bc =+-=⨯-=，即225()366840bc bc --=，(6)(25114)0bc bc -+=，6,5,bc b c ∴=∴+=在ABC 中，2222222cos()32513π87a b c bc b c bc b c bc =+-=+-=+-=-=,7BC a ∴==.故选：C.二、选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9.已知圆台的上底半径为1，下底半径为3，球O 与圆台的两个底面和侧面都相切，则（）A.圆台的母线长为4B.圆台的高为4C.圆台的表面积为26πD.球O 的表面积为12π【答案】ACD 【解析】【分析】作出圆台的轴截面，设圆台上、下底面圆心分别为12,O O ，半径分别为12,r r ，连接,,OD OE OA ，利用平面几何知识得到2123R r r ==，即可逐项计算求解．【详解】设梯形ABCD 为圆台的轴截面，则内切圆O 为圆台内切球的大圆，如图，设圆台上、下底面圆心分别为12,O O ，半径分别为12,r r ，则12,,O O O 共线，且1212,O O AB O O CD ⊥⊥，连接,,OD OE OA ，则,OD OA 分别平分,DAB ADC ∠∠，故12,r r E AE D ==，,,22ππODA DOA OE D OA A D +∠=∠=⊥∠，故2E O A E DE =⋅，即2123R r r ==，解得3R =，母线长为124r r +=，故A 正确；圆台的高为223R =，故B 错误；圆台的表面积为22π1π3π(13)426π⨯+⨯+⨯+⨯=，故C 正确；球O 的表面积为24π12πS R ==，故D 正确.故选：ACD.10.已知1z 与2z 是共轭虚数，则（）A.2212z z < B.2122z z z =C.12R z z +∈ D.12R z z ∈【答案】BC 【解析】【分析】设出复数12,z z ，根据复数的运算，对每个选项进行逐一分析，即可判断.【详解】由题意，复数1z 与2z 是共轭虚数，设1i z a b =+、2i z a b =-，R a b ∈、且0b ≠，对于A 项，22212i z a b ab =-+，22222i z a b ab =--，当0a ≠时，由于复数不能比较大小，故A 项不成立；对于B 项，因为2212z z a b ⋅=+，2222||z a b =+，所以2122||z z z ⋅=，故B 项正确；对于C 项，因为122R z z a +=∈，所以C 选项正确；对于D 项，由222122222()2()(i i i i)i i z a b a b a b abz a b a b a b a b a b ++-===+--+++不一定是实数，故D 项不成立.故选：BC.11.对于ABC ，有如下命题，其中正确的有（）A.若22sin sin A B =，则ABC 为等腰三角形B.若sin cos A B =，则ABC 为直角三角形C.若222sin sin cos 1A B C ++<，则ABC 为钝角三角形D.若3,1,30AB AC B === ，则ABC 的面积为34或32【答案】ACD 【解析】【分析】A.根据条件得到,A B 的关系，由此进行判断；B.利用诱导公式直接分析得到,A B 的关系并判断；C.利用正弦定理得到222,,a b c 的关系，结合余弦定理进行判断；D.先利用正弦定理计算出sin C 的值，由此可求,C A 的值，结合三角形面积公式进行计算并判断.【详解】对于A ：22sin sin ,A B A B ABC =∴=⇒ 是等腰三角形，A 正确；对于B ：sin cos ,2A B A B π=∴-=或,2A B ABC π+=∴ 不一定是直角三角形，B 错误；对于C ：2222222222sin sin 1cos ,sin ,cos 02A B C C a a abb bc C c ++<--==∴+∴<< ，ABC ∴ 为钝角三角形，C 正确；对于D ：由正弦定理，得sin 3sin .2AB B C AC ⋅==而,60AB AC C >∴= 或120,C = 90A ∴= 或30,A =当90,60A C =︒=︒时，131322ABCS =⨯⨯=，当30,120A C =︒=︒时，1311sin12024ABC S =⨯⨯⨯︒=，32ABC S ∴=或3,4D 正确.故选：ACD.12.“阿基米德多面体”也称为半正多面体(semi -regularsolid )，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体．已知2AB =，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（）A.该半正多面体的体积为203B.该半正多面体过,,A B C 三点的截面面积为332C.该半正多面体外接球的表面积为8πD.该半正多面体的顶点数V 、面数F 、棱数E 满足关系式2V F E +-=【答案】ACD 【解析】【分析】根据几何体的构成可判断A ，由截面为正六边形可求面积判断B ，根据外接球为正四棱柱可判断C ，根据顶点，面数，棱数判断D.【详解】如图，该半正多面体，是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的.对于A ，因为由正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，所以该几何体的体积为：11202228111323V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=，故正确；对于B ，过,,A B C 三点的截面为正六边形ABCFED ，所以()2362334S =⨯⨯=，故错误；对于C ，根据该几何体的对称性可知，该几何体的外接球即为底面棱长为2,侧棱长为2的正四棱柱的外接球，所以该半正多面体外接球的表面积2244(2)8S R πππ==⨯=，故正确；对于D ，几何体顶点数为12，有14个面，24条棱，满足1214242+-=，故正确.故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.i 是虚数单位，已知22i ωω-=-，写出一个满足条件的复数ω．______．【答案】1i ω=+（答案不唯一，满足i a a ω=+（R a ∈）均可）【解析】【分析】运用复数的模的运算公式计算即可.【详解】设i a b ω=+，（,R a b ∈），则22|2||(2)i |(2)a b a b ω-=-+=-+，22|2i ||(2)i |(2)a b a b ω-=+-=+-，因为|2||2i |ωω-=-，所以2222(2)(2)a b a b -+=+-，解得：a b =，所以i a a ω=+，（R a ∈）所以可以取1i ω=+.故答案为：1i ω=+（答案不唯一，满足i a a ω=+（R a ∈）均可）.14.在矩形ABCD 中，已知2AB =，1BC =，点P 是对角线AC 上一动点，则AP BP ⋅的最小值为___________.【答案】45-##0.8-.【解析】【分析】以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立直角坐标系，利用平面向量的坐标运算求出AP BP ⋅，进而结合二次函数的性质即可求出结果.【详解】以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立直角坐标系，又因为2AB =，1BC =，所以()()()()0,0,2,0,2,1,0,1,A B C D 则直线AC 的方程为12y x =，所以设()2,P m m ，且01m ≤≤，而()()2,,22,AP m m BP m m ==-,所以()2222AP BP m m m ⋅=-+ 254m m=-结合二次函数的性质可知，当25m =时，AP BP ⋅ 有最小值，且最小值为222454555⎛⎫⨯-⨯=- ⎪⎝⎭，故答案为：45-.15.太湖中有一小岛C ，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路A 处测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1km 到达B 处后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km.【答案】36【解析】【详解】如图所示，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，∠A=15°，∠CBD=75°，AB=1km ，△ABC 中，BC=00sin15sin 60，△CBD 中，CD=BCcos15°=001sin 302sin 60=36km ．故填36．16.如图，平面四边形ABCD 中，其中3os 4c DAB ∠=，BAC DAC ∠=∠，AD AB <，且5AB =，14AC BD ==，若(),R AC AB AD λμλμ=+∈，则λμ+=______．【答案】75##1.4【解析】【分析】运用余弦定理求得AD 的值，在AB 上取点E ，使得2AE AD ==，结合角平分线性质可得AF D E ⊥，再运用向量加法可求得结果.【详解】在ABD △中，由余弦定理得：2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅⋅∠，即：231425254AD AD =+-⨯⨯，解得：2AD =或112AD =，又因为5AD AB <=，所以2AD =.在AB 上取点E ，使得2AE =，连接DE ，交AC 于点F ，如图所示，又因为AC 为DAB ∠的角平分线，所以AF D E ⊥，F 为DE 的中点，在ADE V 中，由余弦定理得：22232222224DE =+-⨯⨯⨯=，所以2211141()42222AF AE DE AC =-=-==，所以225AC AF AE AD AB AD ==+=+，所以2=5λ，1μ=，所以75λμ+=.故答案为：75.四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知复数z 满足2z z ⋅=，且z 的虚部为-1，z 在复平面内所对应的点在第四象限．（1）求z ；（2）若z ，2z 在复平面上对应的点分别为A ，B ，O 为坐标原点，求∠OAB ．【答案】（1）1i z =-（2）π2OAB ∠=【解析】【分析】（1）运用复数几何意义设出z ，再结合共轭复数定义写出z ，再运用复数乘法运算求得结果.（2）运用复数几何意义、两点间距离公式及勾股定理可求得结果.【小问1详解】由题意知，设i z a =-（0a >），则i z a =+，所以222i 12z z a a ⋅=-=+=，解得：1a =，所以1i z =-.【小问2详解】由（1）知，1i z =-，所以22(1i)2i z =-=-，所以(1,1)A -，(0,2)B -，如图所示，所以(1,1)AO =- ，(1,1)AB =--，22||(1)12AO =-+= ，22||(1)(1)2AB =-+-= ，所以11cos 02||||AO AB OAB AO AB ⋅-∠===.所以π2OAB ∠=.18.如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB PC 、的三等分点（M 靠近B ，N 靠近C ）；（1）求证：//MN 平面PAD ．（2）在PB 上确定一点Q ，使平面//MNQ 平面PAD ．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）过点N 作//NE CD ，交PD 于点E ，连接AE ，证得证得四边形AMNE 为平行四边形，得到//MN AE ，结合线面平行的判定定理，即可求解；（2）取PB 取一点Q ，使得13BQ BP =，证得//MQ PA ，得到//MQ 平面PAD ，结合（1）中//MN 平面PAD ，利用面面平行的判定定理，证得平面//MNQ 平面PAD ．【小问1详解】证明：过点N 作//NE CD ，交PD 于点E ，连接AE ，因为N 为PC 的三等分点，可得23NE CD =，又因为M 为AB 的三等分点，可得23AM AB =，因为//AB CD 且AB CD =，所以//AM NE 且AM NE =，所以四边形AMNE 为平行四边形，所以//MN AE ，又由MN ⊄平面PAD ，AE ⊂平面PAD ，所以//MN 平面PAD .【小问2详解】证明：取PB 取一点Q ，使得13BQ BP =，即点Q 为PB 上靠近点B 的三等点，在PAB 中，因为,M Q 分别为,AB PB 的三等分点，可得MB BQAB BP=，所以//MQ PA ，因为MQ ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，所以//MQ 平面PAD ；又由（1）知//MN 平面PAD ，且MN MQ M ⋂=，,MN MQ ⊂平面MNQ ，所以平面//MNQ 平面PAD ，即当点Q 为PB 上靠近点B 的三等点时，能使得平面//MNQ 平面PAD ．19.如图，在ABC 中，π3BAC ∠=，D 为AB 中点，P 为CD 上一点，且满足13AP t AC AB =+ ，ABC 的面积为332，（1）求t 的值；（2）求AP的最小值.【答案】（1）13t =（2）2【解析】【分析】（1）利用,,C P D 三点共线，可设DP mDC =，推出1(1)2AP mAC m AB =+- ，结合13AP t AC AB =+ ，即可求得t 的值；（2）利用（1）的结论可得2221(2)9A AC AB A PC AB ++=⋅ ，利用三角形面积得出||||6AC AB ⋅=，结合基本不等式即可求得答案.【小问1详解】在ABC 中，D 为AB 中点，则,,C P D 三点共线，设,()DP mDC AP AD m AC AD =∴-=- ,故1(1)(1)2AP mAC m AD mAC m AB =+-=+- ，又13AP t AC AB =+ ，故11(1)23m t m =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得13m t ==，即13t =.【小问2详解】由（1）知1133AP AC AB =+，所以2222211()(2)1339AC AB AC AP AP AB AC AB +=+=+⋅=221(||||2||||cos )9AC AB AC AB BAC =++⋅∠1(2||||2||||cos )9AC AB AC AB BAC ≥⋅+⋅∠ ，当且仅当||||AC AB = 时取等号，又332ABC S =△，则133||||sin 22AC AB BAC ⋅∠= ,即1π33||||sin ,||||6232AC AB AC AB ⋅=∴⋅= ，故21π(2626c 2os )2,93AP AP ≥⨯+⨯=≥∴ ，即AP 的最小值为2，当且仅当||||6AC AB ==时取等号.20.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且π2sin 6b c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求C ；（2）若1c =，D 为ABC 的外接圆上的点，2BA BD BA ⋅= ，求四边形ABCD 面积的最大值.【答案】（1）π6；（2）312+.【解析】【分析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式化简，即可得出3tan 3C =，进而根据角的范围得出答案；（2）解法一：由已知可推出BC CD ⊥，然后根据正弦定理可求出22R =，进而求出2BD =，3AD =.设BC x =，CD y =，表示出四边形的面积，根据基本不等式即可得出答案；解法二：根据投影向量，推出BC CD ⊥，然后同解法一求得3AD =.设CBD θ∠=，表示出四边形的面积，根据θ的范围，即可得出答案；解法三：同解法一求得3AD =，设点C 到BD 的距离为h ，表示出四边形的面积，即可推出答案；解法四：建系，由已知写出点的坐标，结合已知推得BD 是O 的直径，然后表示出四边形的面积，即可推出答案.【小问1详解】因为π2sin 6b c A ⎛⎫=+⎪⎝⎭，在ABC 中，由正弦定理得，i s n in 2sin πs 6B A C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.又因为()()sin sin πsin B A C A C =--=+，所以()πsin 2s n sin i 6A C A C ⎛⎫+=+⎪⎝⎭，展开得sin cos cos sin sin sin cos 31222A C A C C A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，即sin cos si 30n sin A C C A -=，因为sin 0A ≠，故cos 3sin C C =，即3tan 3C =.又因为()0,πC ∈，所以π6C =.【小问2详解】解法一：如图1设ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为R ，因为2BA BD BA ⋅= ，所以()0BA BD BA ⋅-= ，即0BA AD ⋅=，所以DA BA ⊥，故BD 是O 的直径，所以BC CD ⊥.在ABC 中，1c =，122πsin sin 6c A R BC =∠==，所以2BD =.在ABD △中，223AD BD AB =-=.设四边形ABCD 的面积为S ，BC x =，CD y =，则224x y +=，ABD CBD S S S =+△△11312222AB BC xyAD CD =+⋅=⋅+2231312222x y +≤+⋅=+，当且仅当2x y ==时，等号成立.所以四边形ABCD 面积最大值为31 2+.解法二：如图1设ABC的外接圆的圆心为O，半径为R，BD在BA上的投影向量为BAλ，所以()2BA BD BA BA BAλλ⋅=⋅=.又22BA BD BA BA⋅==，所以1λ=，所以BD在BA上的投影向量为BA，所以DA BA⊥.故BD是O的直径，所以BC CD⊥.在ABC中，1c=，122πsin sin6cARBC=∠==，所以2BD=，在ABD△中，223AD BD AB=-=.设四边形ABCD的面积为S，CBDθ∠=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2cosCBθ=，2sinCDθ=，所以ABD CBDS S S=+△△1122BAD CDAB C=⋅⋅+3sin22θ=+，当π22θ=时，S最大，所以四边形ABCD 面积最大值为312+.解法三：如图1设ABC的外接圆的圆心为O，半径为R，因为2BA BD BA ⋅= ，所以()0BA BD BA ⋅-= ，即0BA AD ⋅= ，所以DA BA ⊥.故BD 是O 的直径，所以BC CD ⊥.在ABC 中，1c =，122πsin sin 6c A R BC =∠==，所以2BD =.在ABD △中，223AD BD AB =-=.设四边形ABCD 的面积为S ，点C 到BD 的距离为h ，则ABD CBD S S S =+△△1122AD h AB BD ⋅+⋅=32h =+，当1h R ==时，S 最大，所以四边形ABCD 面积最大值为312+.解法四：设ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为R ，在ABC 中，1c =，122πsin sin 6c A R BC =∠==，故ABC 外接圆O 的半径1R =.即1OA OB AB ===，所以π3AOB ∠=.如图2，以ABC 外接圆的圆心为原点，OB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则13,22A ⎛⎫⎪⎪⎝⎭，()10B ,.因为C ，D 为单位圆上的点，设()cos ,sin C αα，()cos ,sin D ββ，其中()0,2πα∈，()0,2πβ∈.所以13,22BA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()cos 1,sin BD ββ=- ，代入2BA BD BA ⋅= ，即1BA BD ⋅=，可得113cos sin 1222ββ-++=，即π1sin 62β⎛⎫-= ⎪⎝⎭.由()0,2πβ∈可知ππ11π,666β⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以解得ππ66β-=或π5π66β-=，即π3β=或πβ=.当π3β=时，A ，D 重合，舍去；当πβ=时，BD 是O 的直径.设四边形ABCD 的面积为S ，则1313sin sin 2222ABD CBD S S S BD BD αα=+=⋅+⋅=+△△，由()0,2πα∈知sin 1α≤，所以当3π2α=时，即C 的坐标为()0,1-时，S 最大，所以四边形ABCD 面积最大值为312+.21.如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为菱形，且60ABC ∠=︒，2AB =，2PA PB ==．M 是棱PD 上的点，O 是棱AB 的中点，PO 为四棱锥P ABCD -的高，且四面体MPBC 的体积为36．（1）证明：PM MD =；（2）若过点C ，M 的平面α与BD 平行，且交PA 于点Q ，求多面体DMC AQB -体积．【答案】（1）证明见解析（2）32【解析】【分析】（1）由题意AD 平面PBC ，求得体积关系：12M PBC D PBC V V --=，即可得出答案；（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面α的法向量为n，设()0,,AQ AP λλλ== ，由0n CQ ⋅= 得23λ=，求出ACQ 面积，平面ACQ 的法向量1n ，利用向量法求出M 到平面ACQ 的距离d ，进而求得M ACQ V -，Q ABC V -，M ADC V -，相加即可得出答案.【小问1详解】因为2PA PB ==，2AB =，AB 中点O ，所以PO AB ⊥，1PO =，1BO =.又因为ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，所以CO AB ⊥，3CO =.因为AD BC ∥，BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，所以AD 平面PBC ，所以11131233323A D PBC A PBC P ABC BC V V V P S O ---====⨯⨯⨯⨯=⋅△.因为3162M PBC D PBC V V --==，所以点M 到平面PBC 的距离是点D 到平面PBC 的距离的12，所以PM MD =.【小问2详解】因为PO ⊥平面ABCD ，,BO CO ⊂平面ABCD ，所以PO BO ⊥，PO CO ⊥，又BO CO ⊥，如图，以O 为坐标原点，OC ，OB ，OP的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则()0,1,0A -，()0,1,0B ，()3,0,0C，()3,2,0D-，()0,0,1P ，所以31,1,22M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()3,1,0AC =，()3,1,0BC =-，()3,3,0BD =-，()0,1,1AP = ，31,1,22CM ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面α的法向量为(),,n x y z = ，则00n BD n CM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即33031022x y x y z ⎧-=⎪⎨--+=⎪⎩，取1y =，得()3,1,5=n .因为Q AP ∈，设()0,,AQ AP λλλ==，则()3,1,CQ AQ AC λλ=-=-- ，因为3150n CQ λλ⋅=-+-+= ，所以23λ=，23AQ AP =，所以123,,33CQ ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，220,,33AQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()22212423333CQ ⎛⎫⎛⎫=-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222223332AQ ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ACQ 中，2221cos 822422332242233AQC ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯⨯∠==,0πAQC <∠<,2137sin 188AQC ⎛⎫∠=-= ⎪⎝⎭，1224237733831sin 22ACQ S AQ CQ AQC =⨯⨯⨯⨯⨯∠⨯==△,设平面ACQ 的法向量为()1111,,n x y z = ，则1100n AQ n CQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111112203323033y z y z x ⎧+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩.取11x =，得()11,3,3n =-.设M 到平面ACQ 的距离为d ，又31,1,22CM ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，则()()()()1222131113322133217d CM n n ⎛⎫-⨯+-⨯-+⨯ ⎪===+⋅⎝⎭-+，11219733337M ACQ ACQ V S d -=⨯⨯⨯=⨯=△，∵23AQ AP = ，∴Q 到平面ABC 的距离为2233PO =，又12332ABC S =⨯⨯= ，∴1223339Q ABC ABC V S -=⨯⨯=△,∵PM MD =，∴M 到平面ADC 的距离为1122PO =，又3ADC ABC S S ==△△，∴113326M ADC ADC V S -=⨯⨯=△,多面体DMC AQB -体积为323339962M ACQ Q ABC M ADC V V V V ---=++=++=.22.如图1，某景区是一个以C为圆心，半径为3km 的圆形区域，道路1l ，2l 成60°角，且均和景区边界相切，现要修一条与景区相切的观光木栈道AB ，点A ，B 分别在1l 和2l 上，修建的木栈道AB 与道路1l ，2l 围成三角地块OAB ．（注：圆的切线长性质：圆外一点引圆的两条切线长相等）．（1）当OAB 为正三角形时求修建的木栈道AB 与道路1l ，2l 围成的三角地块OAB 面积；（2）若OAB 的面积103S =，求木栈道AB 长；（3）如图2，设CAB α∠=，①将木栈道AB 的长度表示为α的函数，并指定定义域；②求木栈道AB 的最小值．【答案】（1）2273km（2）3km 3（3）①33π0πtan 3tan 3AB ααα⎛⎫=+<< ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，②63km 【解析】【分析】（1）运用等面积法可求得等边三角形的边长，进而求得等边三角形的面积.（2）方法1：运用内切圆性质及三角形面积公式可求得结果.方法2：运用两个三角形面积公式可得a b c ++，ab 的值，再结合余弦定理可得22()3c a b ab =+-，联立可求得AB 的长.（3）①运用内切圆性质可得π3CBM α∠=-，进而运用直角三角形中的正切公式可表示出AB .②方法1：运用分离常数法、“1”的代换及基本不等式可求得结果.方法2：运用切化弦、和角公式、积化和差公式化简AB 表达式，再结合三角函数在区间上求最值即可.方法3：运用切化弦、和差角公式、二倍角公式、辅助角公式化简，再结合三角函数在区间上求最值即可.【小问1详解】如图所示，设三角地块OAB 面积为S ，等边△OAB 边长为a ，所以由等面积法得：211π33sin 223S a a =⨯⨯=，解得63a =，所以221π3sin (63)273234OAB S a ==⨯=△.故修建的木栈道AB 与道路1l ，2l 围成的三角地块OAB 面积为273平方千米.【小问2详解】方法1：设圆C 分别与OB 、OA 、AB 相切于点N 、E 、M ，如图所示，则3NC =，NC OB ⊥，1π26NOC BOA ∠=∠=，所以在Rt ONC △中，33πtan6NCON ==，所以33OE ON ==，设BM BN m ==，AE AM n ==，所以12(33)31032AOB S m n =⨯⨯++⨯=△，解得：33m n +=，即：33AB =.故木栈道AB 长为3km 3.方法2：设三角地块OAB 面积为S ，OB a =，OA b =，AB c =，3r =，由等面积法可得：()11sin 22S ab BOA r a b c =∠=++，即：()()13103103242433r a b c ab a b c ab =++=⇒=++=，所以3203a b c ++=①，40ab =②，在△OAB 中，由余弦定理得2222222cos 2cos60c a b ab BOA c a b ab ︒=+-∠⇒=+-222()3a b ab a b ab =+-=+-，即：22()3c a b ab =+-③，由①②③解得：33c =.故木栈道AB 长为3km 3.【小问3详解】如图所示，①由题意知，2π3OBA OAB ∠+∠=，由内切圆的性质可知，π3CBA CAB ∠+∠=，设直线AB 和圆C 相切点M ，CAB α∠=，则π3CBM α∠=-，因为00π003CAB CBA αα>⎧∠>⎧⎪⇒⎨⎨∠>->⎩⎪⎩，解得：π03α<<，又因为tan CM AM α=，πtan 3CMBM α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以tan 3AM α=，πn 33ta BM α=⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以33π0πtan 3tan 3AB AM BM ααα⎛⎫=+=+<< ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭.即：33π0πtan 3tan 3AB ααα⎛⎫=+<< ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭.②方法1：3tan 1312333πtan tan tan 3tan 3tan ta 3331n AB ααααααα⎛⎫+=+=+=+- ⎪ ⎪⎛⎫--⎝⎭- ⎪⎝⎭()143tan 4tan 3tan 3tan 333533tan tan 3tan 3tan αααααααα⎛⎫-⎛⎫⎡⎤=++--=++- ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦--⎝⎭⎝⎭3(54)3363≥⨯+-=，当且仅当π6α=时等号成立，故木栈道AB 的长度最小值为63km .方法2：πππcos()cos sin()sin cos()33333πππtan sin sin()sin sin()33cos tan 333AB αααααααααααα⎛⎫--+- ⎪=+=+=⨯ ⎪⎛⎫ ⎪--- ⎪⎝⎭⎝⎭ππsin[()]sin333333π11ππ1ππcos(2)cos[()]cos[()]cos(2)cos 32233233αααααααα-+=⨯=⨯=⎡⎤⎡⎤-----+---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦因为π03α<<，所以πππ2333α-<-<，所以1πcos(2)123α<-≤，所以3363π1cos(2)32AB α=≥--，故木栈道AB 的长度最小值为63km .方法3：πππcos()cos sin()sin cos()33333πππtan sin sin()sin sin()33cos tan 333AB αααααααααααα⎛⎫--+- ⎪=+=+=⨯ ⎪⎛⎫ ⎪--- ⎪⎝⎭⎝⎭ππsin[()]sin333333π13131sin(2)sin (cos sin )sin 2(1cos 2)622244αααααααα-+=⨯=⨯=+----，因为π03α<<，所以ππ5π2666α<+<，所以1πsin(2)126α<+≤，所以3363π1sin(2)62AB α=≥+-，故木栈道AB 的长度最小值为63km .【点睛】方法点睛：解三角形的应用问题的要点（1）从实际问题抽象出已知的角度、距离、高度等条件，作为某个三角形的元素；（2）利用正弦、余弦定理解三角形，得实际问题的解．解三角形中最值（范围）问题的解题策略利用正弦、余弦定理以及面积公式化简整理，构造关于某一个角或某一边的函数或不等式，利用函数的单调性或基本不等式等求最值（范围）．。

2022-2023学年河南省信阳市高一下学期期中数学试题一、单选题1．复平面内表示复数（）的点位于（ ）()z i a i =-a<0A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】先化简复数，即可判断表示的点所在的象限.z 【详解】表示的点为，()1z i a i ai=-=+()1,a 因为，所以点位于第四象限，a<0()1,a 故选：D.2．已知向量，且，则实数等于（ ）()()241a m b ==- ，，，()()a b a b-⊥+ mA ．2B ．C ．8D ．12【答案】D 【分析】根据，由求解.()()a b a b -⊥+()()a b a b +⋅-= 【详解】解：因为向量，()()241a m b ==- ，，，所以，()()2,1,6,1a b m a b m -=-++=-因为，()()a b a b -⊥+ 所以，()()()()()26110a b a b m m +⋅-=-⨯++-=解得，即213=m m =故选：D3．“为第一象限角”是“”的（ ）αtan 0α>A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据正切函数在各个象限的符号，结合充分条件、必要条件的概念，即可得出答案.【详解】若为第一象限角则必有；αtan 0α>反之，若，则为第一或第三象限角.tan 0α>α4．在中，若，，则形状为（ ）ABC3sin b B =cos cos A C =ABC A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】C【分析】首先利用正弦定理化边为角求出的值，再结合，以及三角形的内角和可求出sin A A C =，进而可得正确选项.B ∠【详解】因为,3sin b B =所以,3sin sin B A B =因为0180B <<所以，sin 0B ≠所以或，sin A =60A =120 又因为，,cos cos A C =0180A <<0180C << 所以A C∠=∠所以，，，60A ∠= 60C ∠= 180606060B ∠=--=所以为等边三角形.ABC 故选：C.5．已知，，则（ ）3π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πcos 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos α=A ．B ．C ．D ．35-354535±【答案】B 【分析】由的范围判断的符号，再由展开计算即可.π4α+πsin(4α+()ππcos cos 44αα⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦【详解】因为，所以，则，3π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ,π44α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭πsin 04α⎛⎫+>⎪⎝⎭所以πsin 4α⎛⎫+==⎪⎝⎭所以，ππππππ3cos cos cos cos sin sin 4444445αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦6．把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变．再把所得曲线向左平移()y f x =13个单位长度，得到函数的图象，则（ ）π4πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x =A ．B ．πsin 312x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭7πsin 312x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．D ．πsin 312x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭7πsin 312x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据三角函数图象变换规律求解析式.【详解】函数的图象向右平移个单位长度，得到，πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π4πππsin sin 4312y x x ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭再把所得的曲线所有点的横坐标伸长到原来的倍，得到.3()πsin 312x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选：A.7．八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹.八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样.八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉.八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹.图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形（如）为等腰直角三角形，点为四心，中ACD O 间部分是正方形且边长为2，定点，所在位置如图所示，则的值为（ ）A B AB AO ⋅A ．10B ．12C ．14D ．16【答案】C【分析】利用转化法得，展开利用向量数量积的定义并代入相关数()()·AB AO AD DB AD DO⋅=++ 据即可.【详解】如图所示：连接，OD因为中间阴影部分是正方形且边长为2，且图中各个三角形为等腰直角三角形，所以可得，，4ADO ODB π∠=∠=||OD = ||4AD = 2ADB π∠=则，()()··AB AO AD DB AD DO =++ 23cos cos44AD AD DO DB AD DB DO ππ=++⋅+.244214⎛=++= ⎝故选：C.8．函数在内恰有两个最小值点，则ω的范围是（ ）()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π7π,44⎛⎫⎪⎝⎭A ．B ．13,47⎛⎤⎥⎝⎦13,37⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．D ．4,43⎛⎤ ⎥⎝⎦4,33⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B【分析】根据正弦型函数的最小值的性质，结合题意进行求解即可.【详解】当时，即时，函数有最小值，π3π2π(Z)42x k k ω+=+∈5π2π4(Z)k x k ω+=∈令时，有，，，，1,0,1,2k =-34πx ω=-5π4x ω=13π4x ω=21π4x ω=因为函数在内恰有两个最小值点，，()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π7π,44⎛⎫⎪⎝⎭0ω>所以有：，π5π4413π7π1334477π21π44ωωωω⎧<⎪⎪⎪<⇒<≤⎨⎪⎪≤⎪⎩故选：B二、多选题9．已知中，，若三角形有两解，则x 不可能的取值是（ ）ABC ,2,45a x b B ===︒A ．2B ．2.5C ．3D ．3.5【答案】ACD【分析】若三角形有两解，则，结合正弦定理即可求解,sin 1a b A ><【详解】解：因为中，，且三角形有两解，ABC ,2,45a x b B ===︒所以，,sin 1a b A ><由正弦定理得，sin sin a bA B =所以，解得sin sin 1a B A b ===<x <因为，所以，a b >2x >所以，2x <<故选：ACD10．若复数，则（ ）z i =A ．|z |=2B ．|z |=4C ．z 的共轭复数iD ．z 24z =-【答案】AC【分析】根据复数的知识对选项进行分析，由此确定正确选项.，故A 选项正确，B 选项错误.2=，C 选项正确.z i =，D 选项错误.)22232z ii ==-+=-故选：AC11．下列关于平面向量的命题正确的是( )A ．若∥，∥，则∥a b b c a cB ．两个非零向量垂直的充要条件是：,a b 0a b ⋅= C ．若向量，则四点必在一条直线上AB CD =,,,A B C D D ．向量与向量共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使()0a a ≠b λb aλ= 【答案】BD【分析】根据向量共线的概念判断A ，根据向量垂直的性质判断B ，根据向量相等和向量概念判断C ，根据向量共线定理判断D ．【详解】对于，当时，不一定成立，A 错误；A 0b =∴对于，两个非零向量，当向量垂直可得，反之也一定有向量垂直，B ,a b ,a b 0a b ⋅= 0a b ⋅= ,a b B 正确；∴对于C ，若向量与方向和大小都相同，但四点不一定在一条直线上，,AB CD AB = CD,,,A B C D 错误；C ∴对于D ，由向量共线定理可得向量与向量共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使()0a a ≠ bλD 正确．,b a λ=∴故选：BD ．12．关于函数 有以下四个选项，正确的是（ ）()()cos sin 0f x x a x a =+≠A ．对任意的都不是偶函数()0a f x ≠，B ．存在使是奇函数0a ≠，()f x C ．存在使0a ≠，()()πf x f x +=D ．若的图像关于对称，则()f x π4x =1a =【答案】AD【分析】根据辅助角公式将函数化简，然后结合正弦型函数的性质，对选项逐一判断即可.()f x【详解】因为，其中，，()()cos sin f x x a x x ϕ=+=+1tan a ϕ=ππ22ϕ-<<对于A ，要使为偶函数，则，且，则无解，()f x ππ,2k k ϕ=+∈Z ππ22ϕ-<<即对任意的a ，都不是偶函数，故正确；()f x 对于B ，要使为奇函数，则，且，又，所以不存在a ，使()f x π,k k ϕ=∈Z ππ22ϕ-<<1tan a ϕ=是奇函数，故错误；()f x对于C ，因为，故错误；()()()()ππf x x x f x ϕϕ+=++=+≠对于D ，若的图像关于对称，则，，()f x π4x =πππ42k ϕ+=+k ∈Z 解得，且，所以，即，故正确.ππ,4k k ϕ=+∈Z ππ22ϕ-<<π4ϕ=π1tan 114a a ==⇒=故选：AD三、填空题13．______．cos112.5︒=【答案】【分析】首先由诱导公式求出，再利用二倍角公式计算可得；cos 225︒【详解】解：因为()cos 225cos 18045cos 45︒=︒+︒=-︒=又()2cos 225cos 2112.52cos 112.51︒=⨯︒=︒-=所以2cos 112.5︒=cos112.5︒=因为，所以90112.5180︒<︒<︒cos112.5︒=故答案为：14．已知函数，若，则=__________________() ³sin 2022f x ax b x =++22021f =（）()2f -【答案】2023【分析】由条件可得，即可算出答案.()()4044f x f x -+=【详解】因为，所以，()3sin 2022f x ax b x -=--+()()4044f x f x -+=因为，所以，22021f =（）()22023f -=故答案为：.202315．如图，中华中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高气度，先在山脚A 处测得山顶C 处的仰角为60°，又利用无人机在离地面高400m 的M 处（即），观测到山顶C 处的仰400MD =角为15°，山脚A 处的俯角为45°，则山高___________m.BC=【答案】600【分析】确定，，在中，利用正弦定理计算得到AM =45ACM ∠=︒75MAC ∠=︒MAC △答案.【详解】，则，,，45AMD ∠=︒AM ==451560CMA ∠=︒+︒=︒60CAB ∠=︒故，，18060MAC ∠=︒-︒4575-︒=︒180756045ACM ∠=︒-︒-︒=︒在中，由正弦定理得，即MAC △sin sin AC MA AMC ACM =∠∠sin60AC =︒解得.AC =sin60600BC AC =︒=故答案为：60016．在中，若，，则的最大值为__________．ABC ∆3B π=AC =2AB BC +【答案】【详解】设22sin sin 3AB BC A θθπθ====⎛⎫- ⎪⎝⎭22sin ,3AB πθ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，最大值为2sin BC θ=()222sin 4sin 3AB BC πθθθϕ⎛⎫∴+=-+=+ ⎪⎝⎭【解析】解三角形与三角函数化简点评：借助于正弦定理，三角形内角和将边长用一内角表示，转化为三角函数求最值，只需将三角函数化简为的形式()sin cos a b θθθϕ+=+四、解答题17．已知复数满足：.z i 13iz z +=+(1)求复数；z (2)化简：.61i zz +--【答案】(1)34iz =+(2)97i 22+【分析】（1）设复数，根据复数的模的计算公式结合复数相等的定义，列出方()i ,z m n m n =+∈R 程组，求出，从而可得出答案；,m n （2）根据共轭复数的定义结合复数的模的计算公式及复数的除法运算计算即可得解.【详解】（1）解：设复数，()i ,z m n m n =+∈R，()i i 13im n +=+，i 13i n m +=+则，41,33n n m m =⎧=⇒⎨==⎩⎪⎩；34i z ∴=+（2）解：由（1）得，34i z =+则34i 634i 61i 1i z z ++-=+----()()()()34i 1i 34i1i 1i ++=+---+17i 52-+=+.97i 22=+18．已知向量满足.,a b123a b a b ==-= ，，(1)求向量与向量的夹角；a b(2)求向量在向量方向上的投影的模.ba b - 【答案】(1)2π3【分析】（1）根据向量模的计算公式以及夹角公式即可求出；（2）根据投影向量的求解公式即可解出.【详解】（1）由可得，，3a b -=3a b -==229619a a b b -⋅+= 而，所以，，，而，12a b == ，1a b ⋅=-1cos ,2a b a b a b⋅〈〉==-0,πa b ≤〈〉≤所以，向量与向量的夹角为．a b2π3（2）向量在向量方向上的投影的模为：ba b - cos b b a-,=19．已知.22sin 2sin 12αα=-(1)求的值；sin cos cos 2ααα+(2)若，求的值.1(0,),(0,tan()23παπβαβ∈∈+=-2αβ+【答案】(1)15(2)74π【分析】（1）先根据降幂公式得，再对原式构造齐次式结合即可求解.1tan 2α=-1tan 2α=-（2）先求出，再根据角的范围即可确定的值.tan(2=tan(++)1αβααβ+=-）2αβ+【详解】（1）由已知得，所以2sin cos αα=-1tan 2α=-所以2222sin cos cos sin sin cos cos 2sin cos ααααααααα+-+=+.22tan 1tan 1tan 15ααα+-==+（2）因为tan +tan(+)tan(2=tan(++)11tan tan()ααβαβααβααβ+==--+）又，13tan ,0,24πααπαπ=-<<∴<< 同理33,2242ππαβπαβπ<+<∴<+<所以.724παβ+=20．在①，②这两个条件中任选一个，222cos cos sin sin sin B C A A B --=-sin cos 2sin sin cos C C B A A =-补充在下面的横线上，并解答．在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足ABC ______．(1)求角C 的大小；(2)若点D 为边BC 上的一点，且AD =3，，，求的面积．BD =AB ACD 【答案】(1)3C π=【分析】(1)分别选择条件①和②，运用正弦定理和余弦定理即可求解；(2)作图，先求 ，再求 ，运用面积公式即可.ADB ∠DAC ∠【详解】（1）选①，因为，222cos cos sin sin sin B C A A B --=-所以，2221sin (1sin )sin sin sin B C A A B ----=-即，222sin sin sin sin sin A B C A B +-=由正弦定理得，222a b c ab +-=由余弦定理，2221cos 22a b c C ab +-==因为，所以；(0,)C π∈3C π=选②，因为，sin cos 2sin sin cos C C B A A =-所以，(2sin sin )cos sin cos B A C C A -=⋅所以，，sin cos sin cos 2sin cos C A A C B C ⋅+⋅=⋅sin 2sin cos B B C =⋅因为，所以，所以，(0,)B π∈sin 0B ≠1cos 2C =因为，所以；(0,)C π∈3C π=（2）由第一问可知，作图如下：3C π=在 中，由余弦定理，ABD△222cos 2AD BD AB ADB AD BD +-===⨯∠所以，，34ADB π∠=4ADC π∠=在中，由正弦定理，ADC △sinsin AC AD ADC C =∠∠=解得，，AC =54312DAC ππππ=--=∠，5sin sin sin sin cos cos sin 1243434343ππππππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；11sin 322ADC S AD AC DAC =⨯⨯∠=⨯=△综上，，三角形ADC .3C π=21．已知()1sin cos ,2cos ,2sin ,sin 2.2a x x b x θθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ (1)若且 时，与的夹角为钝角，求的取值范围；),4(3c =- ()π,0,π4x θ=∈a c cos θ(2)若函数，求的最小值.π3θ=，()f x a b=⋅ ()fx 【答案】(1)；(1,(-⋃(2)12【分析】（1）根据给定条件，利用向量数量积及共线向量的坐标表示列式，求出范围作答.cos θ（2）利用数量积的坐标表示求出函数，再利用换元法结合二次函数性质求解作答.()f x【详解】（1）当时， ，与的夹角为钝角，π4x =)2cos a θ= a c 于是，且与不共线，0a c ⋅< a c则 ，解得，即，8cos 0a c θ⋅=-< cos θ<()0,πθ∈()cos 1,1θ∈-则有，又当与共线时，，解得1cos θ-<<a c 6cos 0θ=cos θ=因此与不共线时，，a c cos θ≠所以的取值范围是.cos θ(1,(-⋃（2）依题意，当时，π3θ=()()1sin cos ,1sin 2)2f x a b x x x =⋅=+⋅，1sin 2cos )sin cos 2x x x x x x x =+=++令，则，πsin cos [4t x x x =+=+∈21sin cos 2t x x -=于是，而函数在上为增函数，()(2211222t f x t -=+=-(2122y t =+-t ⎡∈⎣则当y 有最小值，t =12所以的最小值为()f x 1222．已知函数的部分图像如图所示，若，()4cos cos 1(0)3f x x x πωωω⎛⎫=⋅-- ⎪>⎝⎭288AB BC π⋅=- B ，C 分别为最高点与最低点．(1)求函数的解析式；()f x (2)若函数在，上有且仅有三个不同的零点，，，（），求实()y f x m =-130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦1x 2x 3x 123x x x <<数m 的取值范围，并求出的值．123 cos (2)x x x ++【答案】(1)()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)，m ⎡∈⎣12【分析】（1）化简函数为，设函数的周期为T ，得到，()2sin 26f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x ,24T AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，再根据求解；,42T BC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 288AB BC π⋅=- （2）将问题转化为曲线与在上有且仅有三个不同的交点，设，由()y f x =y m =130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦26t x π=+与求解；再由，，得到求解.2sin y t =y m =12t t π+=233t t π+=12324t t t π++=【详解】（1）解：，)()2cos cos 1f x x x x ωωω=+-，2cos 2cos 1x x x ωωω=⋅+-，2cos 2x x ωω=+，2sin 26x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭设函数的周期为T ，则，，()f x ,24T AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ,42T BC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 则，228888T AB BC π⋅=-=- 所以．故，故，T π=22T ππω==1ω=所以．()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）由题意，函数在上有且仅有三个不同的零点，，，，()y f x m =-130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦1x 2x 3x 即曲线与在上有且仅有三个不同的交点．()y f x =y m =130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦设，当时，．则，，26t x π=+130,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦7,63t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2sin y t =7,63t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则，，，m ⎡∈⎣12t t π+=233t t π+=所以，即，12324t t t π++=12322224666x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即，123523x x x π++=所以．12351cos(2)cos 32π++==x x x。