第1讲 直线与圆考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题.直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现.热点一 直线的方程及应用 1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在． 2．求直线方程要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x 轴垂直，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线． 3．两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2(A 2＋B 2≠0)． (2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(A 2＋B 2≠0)．例1 (1)(2017届湖南省长郡中学、衡阳八中等十三校重点中学联考)“a ＝2”是“直线ax ＋y －2＝0与直线2x ＋()a －1y ＋4＝0平行”的()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由ax ＋y －2＝0与直线2x ＋()a －1y ＋4＝0平行，得a ()a －1＝2，∴a ＝－1，a ＝2.经检验当a ＝－1时，两直线重合(舍去)．∴“a ＝2”是“直线ax ＋y －2＝0与直线2x ＋()a －1y ＋4＝0平行”的充要条件．(2)(2017届南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx －y ＋2＝0与直线l 2：x ＋ky －2＝0相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线x －y －4＝0的距离的最大值为________．答案 3 2解析 由题意，得直线l 1：kx －y ＋2＝0的斜率为k ，且经过点A ()0，2，直线l 2：x ＋ky －2＝0的斜率为－1k，且经过点B ()2，0，且直线l 1⊥l 2，所以点P 落在以AB 为直径的圆C 上，其中圆心坐标为C ()1，1，半径为r ＝2， 则圆心到直线x －y －4＝0的距离为d ＝||1－1－42＝22，所以点P 到直线x －y －4＝0的最大距离为d ＋r ＝22＋2＝3 2.思维升华 (1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况． (2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．跟踪演练1 (1)已知直线l 1：ax ＋()a ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋2＝0，其中a ∈R ，则“a ＝－3”是“l 1⊥l 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 直线l 1⊥l 2的充要条件是a ＋()a ＋2a ＝0， ∴a ()a ＋3＝0，∴a ＝0或a ＝－3.故选A.(2)已知两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值为( ) A ．0或－12B.12或－6 C ．－12或12D ．0或12答案 B解析 依题意，得|3m ＋5|m 2＋1＝|－m ＋7|m 2＋1，所以|3m ＋5|＝|m －7|. 所以(3m ＋5)2＝(m －7)2， 整理得2m 2＋11m －6＝0. 所以m ＝12或m ＝－6.热点二 圆的方程及应用 1．圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2. 2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆．例2 (1)(2017·海口调研)已知圆M 与直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0都相切，圆心在直线y ＝－x －4上，则圆M 的方程为( )A.()x ＋32＋()y －12＝1B.()x －32＋()y ＋12＝1C.()x ＋32＋()y ＋12＝1D.()x －32＋()y －12＝1答案 C解析 到两直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x －4y ＋5＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋5＝0，y ＝－x －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－1.两平行线之间的距离为2，所以半径为1，从而圆M 的方程为()x ＋32＋()y ＋12＝1.故选C.(2)(2017·百校联盟质检)若圆C 过点()0，－1，()0，5，且圆心到直线x －y －2＝0的距离为22，则圆C 的标准方程为______________．答案 x 2＋()y －22＝9或()x －82＋()y －22＝73解析 由题意可设圆心C ()a ，2，则||a －2－22＝22⇒a ＝0或a ＝8，所以半径等于0＋32或82＋32，即圆C 的标准方程为x 2＋()y －22＝9或()x －82＋()y －22＝73. 思维升华 解决与圆有关的问题一般有两种方法(1)几何法，通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程． (2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数． 跟踪演练2 (1)圆心为()4，0且与直线3x －y ＝0相切的圆的方程为( ) A.()x －42＋y 2＝1B.()x －42＋y 2＝12C.()x －42＋y 2＝6D.()x ＋42＋y 2＝9答案 B解析 由题意可知，圆的半径为点到直线的距离， 即r ＝d ＝||3×4－03＋1＝2 3 ，结合圆心坐标可知，圆的方程为()x －42＋y 2＝12 .(2)(2016·浙江)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是____________，半径是________．答案 (－2，－4) 5解析 由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2， 解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去． 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆． 热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法．(1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则d <r ⇔直线与圆相交，d ＝r ⇔直线与圆相切，d >r ⇔直线与圆相离．(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，(x －a )2＋(y －b )2＝r 2消去y ，得到关于x 的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0. 2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．设圆C 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21，圆C 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22，两圆心之间的距离为d ，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下： (1)d >r 1＋r 2⇔两圆外离． (2)d ＝r 1＋r 2⇔两圆外切． (3)|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2⇔两圆相交． (4)d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内切． (5)0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内含．例3 (1)(2017·保定模拟)若直线x ＋y ＝0与圆x 2＋()y －a 2＝1相切，则a 的值为( )A ．1B ．±1 C. 2 D ．± 2答案 D解析 圆x 2＋()y －a 2＝1的圆心坐标为()0，a ，半径为1，因为直线x ＋y ＝0与圆x 2＋()y －a 2＝1相切，所以圆心()0，a 到直线的距离d ＝r ，即||a 2＝1，解得a ＝±2，故选D.(2)(2017·银川模拟)已知圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：x 2＋y 2＋6x －8y ＋16＝0，则圆C 1和圆C 2的位置关系是( ) A ．相离 B ．外切 C ．相交 D ．内切答案 B解析 化圆C 2的方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝9，则圆C 1与C 2的圆心距为32＋42＝5＝r 1＋r 2，所以圆C 1和圆C 2外切，故选B.思维升华 (1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题． 跟踪演练3 (1)(2017·深圳调研)直线l ：kx ＋y ＋4＝0()k ∈R 是圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0的一条对称轴，过点A ()0，k 作斜率为1的直线m ，则直线m 被圆C 所截得的弦长为 ( )A.22B. 2C. 6 D ．2 6答案 C解析 由l ：kx ＋y ＋4＝0()k ∈R 是圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0的一条对称轴知，直线l 必过圆心()－2，2，因此k ＝3.则过点A ()0，k ，斜率为1的直线m 的方程为y ＝x ＋3，圆心到直线的距离d ＝||－2－2＋32＝22，所以弦长等于2r 2－d 2＝22－12＝6，故选C. (2)(2017·西宁复习检测)如果圆()x －a 2＋()y －a 2＝8上总存在到原点的距离为2的点，则实数a 的取值范围是( )A.()－3，－1∪()1，3B.()－3，3C.[]－1，1D.[]－3，－1]∪[1，3答案 D解析 圆心()a ，a 到原点的距离为||2a ，半径r ＝22，圆上的点到原点的距离为d .因为圆()x －a 2＋()y －a 2＝8上总存在点到原点的距离为2，则圆()x －a 2＋()y －a 2＝8与圆x 2＋y 2＝2有公共点，r ′＝2，∴r －r ′≤||2a ≤r ＋r ′，即1≤||a ≤3，解得1≤a ≤3或－3≤a ≤－1，所以实数a 的取值范围是[]－3，－1]∪[1，3， 故选D.真题体验1．(2016·山东改编)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是________． 答案 相交解析 ∵圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2， ∴圆心坐标为M (0，a )，半径r 1为a ， 圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a |2，由几何知识得⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＋(2)2＝a 2，解得a ＝2.∴M (0,2)，r 1＝2.又圆N 的圆心坐标为N (1,1)，半径r 2＝1， ∴|MN |＝(1－0)2＋(1－2)2＝ 2. 又r 1＋r 2＝3，r 1－r 2＝1，∴r 1－r 2＜|MN |＜r 1＋r 2，∴两圆相交．2．(2016·上海)已知平行直线l 1：2x ＋y －1＝0，l 2：2x ＋y ＋1＝0，则l 1，l 2的距离是________． 答案2553．(2016·全国Ⅰ)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________． 答案 4π解析 圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0，即C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，圆心为C (0，a )，C 到直线y ＝x ＋2a 的距离d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2.又由|AB |＝23， 得⎝⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2， 所以圆的面积为π(a 2＋2)＝4π. 押题预测1．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成的两段弧长比为1∶2，则圆C 的方程为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝43 B.⎝⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝13 C ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43 D ．x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ±332＝13押题依据 直线和圆的方程是高考的必考点，经常以选择题、填空题的形式出现，利用几何法求圆的方程也是数形结合思想的应用． 答案 C解析 由已知得圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对的圆心角为2π3.设圆心坐标为(0，a )，半径为r ，则r sinπ3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23， 即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43. 2．设m ，n 为正实数，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －4＝0与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0相切，则mn ( ) A ．有最小值1＋2，无最大值 B ．有最小值3＋22，无最大值C ．有最大值3＋22，无最小值D ．有最小值3－22，最大值3＋2 2押题依据 直线与圆的位置关系是高考命题的热点，本题与基本不等式结合考查，灵活新颖，加之直线与圆的位置关系本身承载着不等关系，因此此类题在高考中出现的可能性很大． 答案 B解析 由直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －4＝0与圆(x －2)2＋(y －2)2＝4相切，可得2|m ＋n |(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝2，整理得m ＋n ＋1＝mn .由m ，n 为正实数可知，m ＋n ≥2mn ，令t ＝mn ，则2t ＋1≤t 2，因为t >0，所以t ≥1＋2，所以mn ≥3＋2 2.故mn 有最小值3＋22，无最大值．故选B.3．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0(a >0)相交，公共弦的长为22，则a ＝________. 押题依据 本题已知公共弦长，求参数的范围，情境新颖，符合高考命题的思路． 答案102解析 联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0，可得公共弦所在直线方程为ax ＋2ay －5＝0， 故圆心(0,0)到直线ax ＋2ay －5＝0的距离为 |－5|a 2＋4a2＝5a(a >0)．故222－⎝⎛⎭⎪⎫5a 2＝22， 解得a 2＝52，因为a >0，所以a ＝102.A 组 专题通关1．(2017·河南省郑州市第一中学调研)点()3，4在直线l ：ax －y ＋1＝0上，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°答案 C解析 将点()3，4代入直线方程，求得a ＝ 3 ，所以直线l ：3x －y ＋1＝0 ，斜率k ＝ 3 ，所以倾斜角为60°，故选C.2．(2017届吉林大学附属中学模拟)若3π2<α<2π，则直线x cos α＋y sin α＝1必不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 令x ＝0，得y ＝sin α<0，令y ＝0，得x ＝cos α>0，直线过(0，sin α)，(cos α，0)两点，因而直线不过第二象限．故选B.3．直线l 与两条直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，那么直线l 的斜率是( ) A.23 B.32 C ．－23D ．－32答案 C解析 设P (a,1) ，Q (b ，b －7) ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b 2＝1，1＋b －72＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4，所以P (－2,1)，Q (4，－3)，所以直线l 的斜率k ＝1－(－3)－2－4＝－23，故选C.4．(2017·湖北省六校联合体联考)过点P ()1，2的直线与圆x 2＋y 2＝1相切，且与直线ax ＋y －1＝0垂直，则实数a 的值为( )A ．0B ．－43C ．0或43D.43答案 C解析 当a ＝0时，直线ax ＋y －1＝0，即直线y ＝1，此时过点P ()1，2且与直线y ＝1垂直的直线为x ＝1，而x ＝1与圆相切，满足题意，所以a ＝0成立；当a ≠0时，过点P ()1，2且与直线ax ＋y －1＝0垂直的直线斜率为1a，可设该直线方程为y －2＝1a ()x －1，即x －ay ＋2a －1＝0，再根据直线与圆相切，即圆心到直线距离为1，可得||2a －1a 2＋1＝1，解得a ＝43.所以a ＝0或43.故选C.5．(2017·广西陆川县中学知识竞赛)已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －4y －4＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋4x －10y ＋25＝0相交于A ，B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程为( )A ．x ＋y －3＝0B ．x －y ＋3＝0C ．x ＋3y －1＝0D ．3x －y ＋1＝0答案 A解析 由题设可知，线段AB 的垂直平分线过两圆的圆心C 1(1,2)，C 2(－2,5)，由此可得kC 1C 2＝5－2－2－1＝－1，故由点斜式方程可得y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0，故选A.6．(2017届唐山模拟)在平面直角坐标系xOy 中，圆O 的方程为x 2＋y 2＝4，直线l 的方程为y ＝k ()x ＋2，若在圆O上至少存在三点到直线l 的距离为1，则实数k 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，33 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 答案 B解析 根据直线与圆的位置关系可知，若圆O: x 2＋y 2＝4上至少存在三点到直线l: y ＝k ()x ＋2的距离为1，则圆心()0，0到直线kx －y ＋2k ＝0的距离d 应满足d ≤1，即||2k k 2＋1≤1，解得k 2≤13，即－33≤k ≤33，故选B.7．(2017·武汉调研)已知圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝10和点M (5，t )，若圆C 上存在两点A ，B ，使得MA ⊥MB ，则实数t 的取值范围为( ) A ．[－2,6] B ．[－3,5] C ．[2,6] D ．[3,5]答案 C解析 过点M 作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，连接AC ，BC ，MC ，若圆C 上存在两点A ，B ，使得MA ⊥MB ，只需∠AMC ≥45°，sin∠AMC ＝10(5－1)2＋(t －4)2≥22，解得2≤t ≤6，故选C. 8．(2017届上海市黄浦区模拟)若关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋y －1＝0，4x ＋ay －2＝0有无数多组解，则实数a ＝________.答案 2解析 当a ＝0时， ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝1，不合题意；当a ≠0时，由a 4＝1a ＝－1－2，解得a ＝2.综上可知， a ＝2.9．(2017届安徽省马鞍山市质检)已知A ()0，0， B ()2，－4，C ()4，2，线段AD 是△ABC 外接圆的直径，则点D 的坐标是__________． 答案()6，－2解析 设D ()x ，y ，因为B ()2，－4， C ()4，2在圆周上且AD 是△ABC 外接圆的直径，所以k BA ·k BD ＝－1＝－42×－4－y 2－x ，k CA ·k CD ＝－1＝24×2－y4－x， 解得x ＝6，y ＝－2，所以点D 的坐标是()6，－2. 10．以坐标原点O 为圆心，且与直线x ＋y ＋2＝0相切的圆的方程是________________，圆O 与圆x 2＋y 2－2y －3＝0的位置关系是________． 答案 x 2＋y 2＝2 相交解析 由题意所求圆的半径等于原点O 到直线x ＋y ＋2＝0的距离，即r ＝21＋1＝2，则所求圆的方程是x 2＋y 2＝2.因为圆O 与圆x 2＋y 2－2y －3＝0的圆心和半径分别为O (0,0)，r 1＝2，C 2(0,1)，r 2＝2，r 1＋r 2＝2＋2，r 2－r 1＝2－2，所以r 2－r 1<|OC 2|＝1<r 1＋r 2，故两圆的位置关系是相交．11．(2017届四川省绵阳市诊断性考试)过定点M 的直线：kx －y ＋1－2k ＝0与圆(x ＋1)2＋(y －5)2＝9相切于点N ，则|MN |＝________. 答案 4解析 由直线kx －y ＋1－2k ＝0，即y －1＝k (x －2)， 直线经过定点M (2,1)．又圆(x ＋1)2＋(y －5)2＝9， 则圆心坐标为C (－1,5)，半径r ＝3， 所以|MC |＝(2＋1)2＋(1－5)2＝5， 所以|MN |＝|MC |2－r 2＝52－32＝4.12．设圆C 满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l: x －2y ＝0的距离为d .当d 最小时，圆C 的面积为________． 答案 2π解析 如图，设圆心坐标为C ()a ，b ，则⎩⎨⎧r 2＝a 2＋1，r ＝2||b ⇒2b 2＝a 2＋1，所以圆心C ()a ，b 到直线x －2y ＝0的距离d ＝||a －2b 5，故d 2＝()a －2b 25＝15()a 2＋4b 2－4ab . 由于a 2＋b 2≥2ab ⇒－4ab ≥－2a 2－2b 2， 故d 2＝15()a 2＋4b 2－4ab≥15()2b 2－a 2＝15(当且仅当a ＝b 时取等号)， 此时r 2＝a 2＋1＝2，故圆的面积S ＝πr 2＝2π.B 组 能力提高13．(2017·广州市综合测试)已知三条直线2x －3y ＋1＝0, 4x ＋3y ＋5＝0, mx －y －1＝0不能构成三角形，则实数m 的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，－23 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23，43 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23 答案 D解析 因为三条直线2x －3y ＋1＝0, 4x ＋3y ＋5＝0, mx －y －1＝0不能构成三角形，所以直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0, 4x ＋3y ＋5＝0平行，或者直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点．当直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0, 4x ＋3y ＋5＝0分别平行时， m ＝23或－43；当直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点时， m ＝－23. 所以实数m 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23，故选D. 14．(2017届南昌模拟)若对圆()x －12＋()y －12＝1上任意一点P ()x ，y ， ||3x －4y ＋a ||＋3x －4y －9的取值与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－4B ．－4≤a ≤6C ．a ≤－4或a ≥6D ．a ≥6 答案 D解析 ||3x －4y －9表示圆上的点到直线l 1: 3x －4y －9＝0的距离的5倍， ||3x －4y ＋a 表示圆上的点到直线l 2: 3x －4y ＋a ＝0的距离的5倍，所以||3x －4y ＋a ||＋3x －4y －9的取值与x ，y 无关，即圆上的点到直线l 1，l 2距离和与圆上点的位置无关，所以直线3x －4y ＋a ＝0与圆相离或相切，并且l 1和l 2在圆的两侧，所以d ＝||3－4＋a 5≥1，并且a >0，解得a ≥6，故选D.15．(2017届广西南宁模拟)过动点M 作圆()x －22＋()y －22＝1的切线MN ，其中N 为切点，若||MN ＝||MO (O 为坐标原点)，则||MN 的最小值是____________．答案 728解析 由圆的方程可得圆心C 的坐标为(2,2)，半径为1.由M (a ，b )，可得|MN |2＝(a －2)2＋(b －2)2－12＝a 2＋b 2－4a －4b ＋7，|MO|2＝a2＋b2.由|MN|＝|MO|，得a2＋b2－4a－4b＋7＝a2＋b2，整理得4a＋4b－7＝0.∴a，b满足的关系式为4a＋4b－7＝0.求|MN|的最小值，就是求|MO|的最小值．在直线4a＋4b－7＝0上取一点到原点距离最小，由“垂线段最短”得直线OM垂直于直线4a＋4b－7＝0，由点到直线的距离公式，得MN的最小值为||742＋42＝7 28.16．在平面直角坐标系xOy中，圆C：(x＋2)2＋(y－m)2＝3.若圆C存在以G为中点的弦AB，且AB＝2GO，则实数m 的取值范围是______________．答案[－2，2]解析由于圆C存在以G为中点的弦AB，且AB＝2GO，所以OA⊥OB，如图，过点O作圆C的两条切线，切点分别为B，D，圆上要存在满足题意的点A，只需∠BOD≥90°，即∠COB≥45°，连接CB，∵CB⊥OB，由于C(－2，m)，|CO|＝m2＋4，|CB|＝3，由sin∠COB＝|CB||CO|＝3m2＋4≥sin45°＝22，解得－2≤m≤ 2.。
