天津市耀华中学2018届高三上学期第一次月考数学(文)试题 Word版 含解析

天津市耀华中学2018-2019学年第一学期高三年级第一次月考数学（理）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.i是虚数单位，复数A. B. C. D.【答案】A【解析】解：进行复数的除法的运算需要分子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将改为．．故选：A．进行复数的除法的运算，需要分子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将改为．本题主要考查复数代数形式的基本运算，2个复数相除，分母、分子同时乘以分母的共轭复数．2.下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是A. B.C. D.【答案】D【解析】解：函数，是奇函数，在上单调递增，不满足条件．函数不是奇函数，不满足条件，函数是偶函数，不满足条件，故选：D．分别根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断即可得到结论．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．3.在中，“是锐角三角形”是“”的A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】解：当，时，满足，但此时是直角角三角形，是锐角三角形不成立即必要性不成立，当为锐角三角形时，，，，故成立即充分性成立“”是“为锐角三角形”的充分不必要条件，故选：B．根据三角函数的诱导公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用三角函数的诱导公式是解决本题的关键．4.函数其中，，的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】C【解析】解：由函数的图象可得，，．再根据五点法作图可得，求得，故故把的图象向左平移个单位长度，可得的图象，故选：C．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再利用函数的图象变换规律，可得结论．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，函数的图象变换规律，属于基础题．5.已知定义在R上的函数为偶函数，记，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：是偶函数，，即，即，即，即，则或，得，，即，则当时，为增函数，，，，，，即，故选：A．根据函数是偶函数，求出，然后利用偶函数和函数的单调性进行比较即可．本题主要考查函数值的对称比较，结合函数奇偶性和单调性的关系将变量进行转化是解决本题的关键．6.已知函数的最小值在区间上至少出现两次，则的最小值等于A. 6B.C.D. 3【答案】D【解析】解：．由，得，的最小值在区间上至少出现两次，，解得．的最小值等于3．故选：D．利用三角函数的倍角公式化简变形，由x的范围求得相位的范围，结合的最小值在区间上至少出现两次，可得，求解得答案．本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查型函数的图象与性质，考查数学转化思想方法，是中档题．7.若函数在区间上有最小值，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由题，令0'/>解得；令解得或由此得函数在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数故函数在处取到极小值，判断知此极小值必是区间上的最小值，解得又当时，，故有综上知故选：C．求函数导数，研究其最小值取到位置，由于函数在区间上有最小值，故最小值点的横坐标是集合的元素，由此可以得到关于参数a的等式，解之求得实数a的取值范围本题考查用导数研究函数的最值，利用导数研究函数的最值是导数作为数学中工具的一个重要运用，要注意把握其作题步骤，求导，确定单调性，得出最值．8.已知函数与的图象有三个不同的公共点，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围为A. B. C. D. 或【答案】B【解析】解：由，整理得：，令，且，则，设，求导，令，解得：，在上单调递增，在单调递减，则当时，，如图所示，由题意可知方程有一个根在内，另一个根或或，当方程无意义，当时，，不满足题意；则，由二次函数的性质可知：，即，解得：，故选：B．由题意可知：令，化简求得，根据的单调性求得方程根所在的区间，根据二次函数的性质，即可求得a的取值范围．本题考查函数零点与函数方程的关系，考查利用导数判断函数的极值，考查二次函数的性质，考查数形结合思想，属于难题．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.若集合，，则是______．【答案】【解析】解：，则，或，则或，故A；故答案为解可得集合A，解可得集合B，由交集的定义，求A、B的交集，即可得答案．本题考查集合的交集运算，涉及绝对值不等式与分式不等式的解法，关键是正确解出两个不等式．10.曲线与直线，所围成图形面积为______．【答案】【解析】解：曲线和曲线的交点为直线和的交点为曲线与直线，所围成图形面积为故答案为：作出曲线与直线、的图象，求出它们的交点坐标，可得所求面积为函数在区间上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．本题求两条曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题．11.设、都是锐角，且，，则______．【答案】【解析】解：为锐角，，，，且，，且，，则．故答案为：由为锐角，根据的值，求出的值，利用两角和与差的正弦函数公式化简，且根据其值范围确定出的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，所求式子中的角变形为，利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．12.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______．【答案】【解析】解：设与和的切点分别为、；由导数的几何意义可得，得再由切点也在各自的曲线上，可得联立上述式子解得；从而得出．先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可本题考查了导数的几何意义，体现了方程思想，对学生综合计算能力有一定要求，中档题13.已知函数，，若方程恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为______．【答案】作出函数，的图象，当，，，两个函数的图象不可能有4个交点，不满足条件；则，此时，当时，，，当直线和抛物线相切时，有三个零点，此时，即，则由，即，解得或，当时，，，此时不成立，此时，要使两个函数有四个零点，则此时，若，此时与，有两个交点，此时只需要当时，有两个不同的零点即可，即，整理得，则由，即，解得舍去或，综上a的取值范围是．故答案为：．由得，作出函数，的图象，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．14.已知函数是定义在R上的函数，且满足对都有，当时，若对于，不等式恒成立，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】解：都有，即为，可得，可得为偶函数，当时，，可得时，递减，；当时，，导数为，当时，，可得，当时，由当且仅当取得等号，且，可得，则递减，且，，在上为减函数，对任意的，不等式恒成立，可得，即为，即有，由一次函数的单调性，可得：，且，即为且，即有，则m的范围是，故答案为：由题意可得为偶函数，求得在上连续，且为减函数，，即为，即有，由一次函数的单调性，解不等式即可得到所求范围．本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用偶函数的性质和单调性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，求A；若，的面积为；求b，c．【答案】解：由正弦定理得：，即，即．；若，的面积，再利用余弦定理可得：，结合求得．【解析】已知等式利用正弦定理化简，整理后得到即可求出A的值；若，由的面积为，求得，再利用余弦定理可得，结合求得b和c 的值．本题考查了正弦定理及余弦定理的应用，考查了三角形面积公式的应用，是中档题．16.甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．求甲在4局以内含4局赢得比赛的概率；Ⅱ记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和期望．【答案】解：用A表示甲在4局以内含4局赢得比赛的是事件，表示第k局甲获胜，表示第k局乙获胜，则，，，2，3，4，5．Ⅱ的可能取值为2，3，4，5．，，，，或者，故分布列为：．【解析】Ⅰ根据概率的乘法公式，求出对应的概率，即可得到结论．Ⅱ利用离散型随机变量分别求出对应的概率，即可求X的分布列；以及数学期望．本题考查了相互独立事件、互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.如图所示，在三棱柱中，H是正方形的中心，，平面，且．求异面直线AC与所成角的余弦值；求二面角的正弦值；设N为棱的中点，点M在平面内，且平面，求线段BM的长．【答案】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点．依题意得解：易得，于是，所以异面直线AC与所成角的余弦值为．解：易知．设平面的法向量y，，则即不妨令，可得，同样地，设平面的法向量y，，则即不妨令，可得．于是，从而．所以二面角的正弦值为．解：由N为棱的中点，得设b，，则由平面，得即解得故．因此，所以线段BM的长为．方法二：解：由于，故是异面直线AC与所成的角．因为平面，又H为正方形的中心，，可得．因此．所以异面直线AC与所成角的余弦值为．解：连接，易知，又由于，，所以≌ ，过点A作于点R，连接，于是，故为二面角的平面角．在中，．连接，在中，，从而．所以二面角的正弦值为．解：因为平面，所以．取中点D，连接ND，由于N是棱中点，所以且．又平面，所以平面，故．又，所以平面MND，连接MD并延长交于点E，则，故．由，得，延长EM交AB于点F，可得连接NE．在中，，故．所以．可得．连接BM，在中，．【解析】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点Ⅰ求出中的有关向量，然后求出异面直线AC与所成角的余弦值；Ⅱ利用求出平面的法向量，通过求出平面的法向量，然后利用求二面角的正弦值；Ⅲ设N为棱的中点，设b，，利用平面，结合求出a，b，然后求线段BM的长．方法二：说明是异面直线AC与所成的角，通过解三角形，利用余弦定理，．求出异面直线AC与所成角的余弦值为．连接，过点A作于点R，连接，说明为二面角的平面角连接，在中，通过，求出二面角的正弦值为．首先说明取中点D，连接ND，由于N是棱中点，推出证明平面MND，连接MD并延长交于点E，延长EM交AB于点F，连接连接BM，在中，求出．本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．18.已知数列的前n项和为，点在直线上上数列满足，且，前9项和为153．Ⅰ求数列，的通项公式；Ⅱ设，求数列的前n项和．【答案】解：Ⅰ点在直线上上，可得，即，可得，时，，上式对也成立，可得，；数列满足，且，前9项和为153，可得为等差数列，设公比为d，则，，解得，，则；Ⅱ，数列的前n项和．【解析】Ⅰ由题意可得，由数列的递推式，即可得到所求，；由等差数列的性质和通项公式、求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到；Ⅱ求得，运用数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和．本题考查等差数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列递推式的运用，考查数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于基础题．19.椭圆C：离心率，．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为，MN的斜率为，是否存在实数使为定值？如果存在，求出，否则说明理由．【答案】解：Ⅰ由椭圆的离心率，得，又，解得：，，则椭圆的标准方程为：；Ⅱ，，P不为椭圆顶点，则可设直线BP的方程为联立，整理得．则，，．又直线AD的方程为．联立，解得由三点，，共线，得，．的斜率为．则，要使为定值，则，即．故存在实数，使为定值．【解析】Ⅰ由椭圆的离心率求得，由，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；Ⅱ设出直线BP的方程为，和椭圆方程联立后解出P点坐标，两直线方程联立解出M点坐标，由D，P，N三点共线解出N点坐标，由两点求斜率得到MN的斜率，整理，结合为定值求得值得答案．本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了二次方程中根与系数关系，考查了由两点求斜率的公式，是中档题．20.设函数．Ⅰ求函数的单调区间；Ⅱ若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值；求证：．【答案】解：Ⅰ，．当时，在上恒成立，所以函数单调递增区间为，此时无单调减区间；当时，由，得，，得，所以函数的单调增区间为，单调减区间为；Ⅱ由Ⅰ可知函数有两个零点，所以，的最小值，即，，，令，显然在上为增函数，且存在，，当时，；当时，，所以满足条件的最小正整数．又当时，，，，所以时，有两个零点．综上所述，满足条件的最小正整数a的值为3．证明：不妨设，于是，，因为，当时，；当时，．故只要证即可，即证明，即证．也就是证．设．令，则．，所以，当且仅当时，，所以在上是增函数．又，所以当，总成立，所以原题得证．【解析】Ⅰ，对a分类讨论：，，即可得出单调性．Ⅱ由Ⅰ可知函数有两个零点，所以，的最小值，即，可得，令，显然在上为增函数，且，因此存在，，进而得出小正整数a的值．不妨设，于是，可得由于，当时，只要证即可，即证明，即证设令，利用导数研究其单调性即可证明结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值、等价转化方法、分析法、不等式的性质与解法，考查了推理能力与计算能力、函数的零点，属于难题．。

天津市耀华中学2024届高三年级第一次月考数学学科试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共45分）一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填涂在答题卡上.1 已知集合{}220A x x x =+-<，{}lg 1B x x =<，A B = （ ）A. ()2,10-B. ()0,1C. ()2,1-D. (),10-∞2. 设x ∈R ，则“11||22x -<”是“31x <”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 函数()3ln xf x x=的部分图象是A. B.C. D.4. 5G 技术在我国已经进入调整发展的阶段，5G 手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：.时间x12345销售量y （千只）0.50.81.01.21.5若x 与y 线性相关，且线性回归方程为 0.24y x a=+，则下列说法不正确的是（ ）A. 由题中数据可知，变量y 与x 正相关，且相关系数1r <B. 线性回归方程 0.24y x a=+中 0.26a =C. 当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量 y 平均增加0.24个单位D. 可以预测6x =时，该商场5G 手机销量约为1.72（千只）5. 已知0.20.212log 0.5,0.5,log 0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a b c <<B. a c b<< C. b<c<a D. c<a<b6. 已知4log a a =，则2log a a +=（ ）A 11或238-B. 11或218-C. 12或238-D. 10或218-7. “送出一本书，共圆读书梦”，某校组织为偏远乡村小学送书籍的志愿活动，运送的卡车共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下9箱中任意打开2箱都是英语书的概率为（ ）A.29B.18C.112D.588. 将函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像上所有点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，有下述四个结论：①()π2sin 6g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭②函数()g x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增③点4π,03⎛⎫⎪⎝⎭是函数()g x 图像的一个对称中心④当ππ,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的最大值为2其中所有正确结论的编号是（ ）A. ①②③B. ②③C. ①③④D. ②④.9. 已知函数()()()()()()22121,1,11,1,1a x a x x f x a x ax x x ⎧-++-∈-⎪=⎨-++∉-⎪⎩有且只有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()0,1 B. ()(),80,1-∞- C. [)0,1 D. (][),80,1-∞- 第Ⅱ卷（非选择题 共105分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，请将答案填写在答题卡上.10. 复数()21i 1iz -=+（i 为虚数单位），则z =______.11.在6的二项展开式中，2x 的系数为___________．12.若2sin sin αβ+=3π2αβ+=，则sin α=________；cos 2β=________.13. 某专业资格考试包含甲､乙､丙3个科目，假设小张甲科目合格的概率为34，乙､丙科目合格的概率均为23，且3个科目是否合格相互独立.设小张3科中合格的科目数为X ，则(2)P X ==___________；()E X =___________.14. 已知0a >，0b >的最大值为________.15. 设R ω∈，函数()2π2sin ,0,6314,0,22x x f x x x x ωω⎧⎛⎫+≥ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪++<⎪⎩()g x x ω=.若()f x 在1π,32⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且函数()f x 与()g x 图象有三个交点，则ω的取值范围是________.三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答案卡上.16. 已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足22cos c b A =+.（1）求角B ；（2）若1cos 4A =，求sin(2)A B +的值；（3）若7c =，sin b A =b 的值.的17. 已知底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，//PA DQ ，33PA AD DQ ===，点E 、F 分别为线段PB 、CQ 的中点．（1）求证：//EF 平面PADQ ；（2）求平面PCQ 与平面CDQ 夹角的余弦值；（3）线段PC 上是否存在点M ，使得直线AM 与平面PCQ，若存在求出PM MC 的值，若不存在，说明理由．18. 已知{}n a 为等差数列，6,2,n n n a n b a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，记n S ，n T 分别为数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，432S =，316T =．（1）求{}n a 通项公式；（2）证明：当5n >时，n n T S >．19. 如图，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>()F 且斜率为k 的直线交椭圆E 于,A B 两点，线段AB 的中点为M ，直线l ：40x ky +=交椭圆E 于,C D 两点.（1）求椭圆E 的方程；（2）求证：点M 在直线l上；的（3）是否存在实数k ，使得3BDM ACM S S ∆∆=？若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由.20 已知函数()()1211222x f x x ex x -=--++，()()24cos ln 1g x ax x a x x =-+++，其中a ∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调性，并求不等式()0f x >的解集；（2）用{}max ,m n 表示m ，n 的最大值，记()()(){}max ,F x f x g x =，讨论函数()F x 的零点个数．.。

天津市耀华中学2023届高三年级第一次月考数学试卷一、选择题：（本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．）1.设全集U =R ，若集合{}1,0,1,2,3,4,5A =-，{}21B x x =->，则集合A B = （）A.{}1,0- B.{}4,5 C.{}1,0,4,5- D.{}22.设x ∈R ，则“12x <<”是“2230x x --<”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数21()sin 2f x x x x =-的大致图象可能是()A. B. C.D.4.化简式子130341log 2log 2720238⎛⎫-⨯+ ⎪⎝⎭等于（）A.0B.32C.1-D.125.某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[)20,40、[)40,60、[)60,80、[]80,100，若高于60分的人数是35人，则该班的学生人数是（）A.45B.50C.55D.606.已知52a =，7log 3b =，51log 92c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c<< B.a c b<< C.b a c<< D.c b a<<7.若两个正实数x ，y 满足3x y +=，且不等式2416351m m x y+>-++恒成立，则实数m 的取值范围为（）A.{}41m m -<<B.{1m m <-或}4m >C.{}14m m -<< D.{0m m <或}3m >8.已知函数π()2sin()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象关于直线π=6x 对称．给出下面四个结论：①将()f x 的图象向右平移π6个单位长度后得到的函数图象关于原点对称；②点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心；③π14f ⎛⎫=⎪⎝⎭；④()f x 在区间π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增．其中正确结论的个数为（）A.0B.1C.2D.39.设a R ∈，函数2sin 2,0()474,0x x f x x x a x π<⎧=⎨-+-≥⎩，若()f x 在区间(),a ∞-+内恰有5个零点，则a 的取值范围是（）A.7511,2,424⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B.75,22,42⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C.37511,,2424⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D.375,2,242⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦⎝⎦二．填空题，（本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题卡上．．．．．．．．．．．）10.设复数z 满足()1234i z i +=-（i 为虚数单位），则z 的值为__________．11.二项式52x ⎛- ⎝的展开式中含x 项的系数为___________.12.已知函数()21e e1xxf x x -=+-+，则使得()()23f a f a <-成立的a 的取值范围是__________.13.已知()'f x 是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 的都有()()222exx xf x f x +'=-，且()00f =，若()f x 的图像与y m =有3个交点，则m 的取值范围为___________．14.已知函数()-2213--(2)22()=e -+8-12(>2)x x x f x x x x ⎧≤⎪⎨⎪⎩若在区间()1,+∞上存在()2n n ≥个不同的数1x ，2x ，3x ，…，n x ，使得()()()1212n nf x f x f x x x x ===成立，则n 的最大值为______．15.若实数,x y 满足2221x xy y +-=，则222522x yx xy y --+的最大值为________.三、解答题（共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.在ABC 中，,,a b c 分别是三个内角,,A B C 的对边，若3,4,2b c C B ===，且a b ¹.（1）求cos B 及a 的值；（2）求cos 23B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值.17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E分别在棱1AA 和棱1CC 上，且12,AD CE M ==为棱11A B 的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ⊥；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．18.己知{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{}n b 是公比大于0的等比数列，14b =，3248b b -=．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n P ；（3）求n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．19.已知曲线C 的方程为24(0)y x x =>，曲线E 是以1(1,0)F -、2(1,0)F 为焦点的椭圆，点P 为曲线C 与曲线E 在第一象限的交点，且253PF =．（1）求曲线E 的标准方程；（2）直线l 与椭圆E 相交于A 、B 两点，若AB 的中点M 在曲线C 上，求直线l 的斜率k 的取值范围．20.已知2()2cos 21f x x x =+-．（1）求曲线=()y f x 在(0,(0))f 处的切线方程；（2）判断函数()f x 的零点个数；（3）证明：当0x ≥时，21e sin 22sin sin 2x x x x x +≥+．天津市耀华中学2023届高三年级第一次月考数学试卷一、选择题：（本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．）【1题答案】【答案】C 【2题答案】【答案】A 【3题答案】【答案】C 【4题答案】【答案】A 【5题答案】【答案】B 【6题答案】【答案】A 【7题答案】【答案】C 【8题答案】【答案】C 【9题答案】【答案】D二．填空题，（本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题卡上．．．．．．．．．．．）【10题答案】【答案】.【11题答案】【答案】40-【12题答案】【答案】31a -<<【13题答案】【答案】240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【14题答案】【答案】4【15题答案】【答案】24三、解答题（共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）【16题答案】【答案】（1）2cos 3B =，73a =;（2）141518+-.【17题答案】【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）6；（Ⅲ）3.【18题答案】【答案】（1）21n a n =-，4n n b =，（2）21nn +，（3）565994n n n T +=-⋅.【19题答案】【答案】（1）22143x y +=（2）k <<且0k ≠【20题答案】【答案】（1）=0y （2）1个（3）证明见解析。

天津市耀华中学2018届高三12月月考数学（理）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I 卷（选择题）一、单选题 1．复数的值是（ ）．A.B.C.D.2．若、、、是平面内任意四点，给出下列式子： ①，②，③．其中正确的有（ ）．A. 个B. 个C. 个D. 个3．设，，则（ ）．A.B.C.D.4．函数是（ ）．A. 周期为的偶函数B. 周期为的奇函数C. 周期为的奇函数D. 周期为的偶函数 5．在中，若，，，则（ ）．A.B.C.或D.6．把函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）．A.，B.，C.，D.，7．设与均为锐角，且，，则的值为（ ）．A.B.C. 或D. 或8．已知数列，．若该数列是递减数列，则实数的取值范围是（ ）．A.B.C.D.9．已知关于的函数在上有极值，且，则与的夹角的取值范围是（ ）．A.B.C.D.10．在中，若，且，则的形状为（ ）．A. 直角三角形B. 等腰直角三角形C. 正三角形或直角三角形D. 正三角形11．如图，边长为的正方形的顶点，分别在轴、轴正半轴上移动，则的最大值是（ ）．A.B. C.D.此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号12．下列命题：①有个零点；②有个零点；③有个零点．其中，真命题的个数是（ ）．A.B.C.D.第II 卷（非选择题）二、填空题 13．负数的虚部为__________．14．已知和的两个单位向量，其夹角为，则向量与的夹角为__________． 15．在中，角、、所对的边分别为、、，若，且，则角的大小为__________． 16．已知数列的前项和，且，且，则__________．17．在ABC 中， 120BAC ∠=︒， 2AB AC ==， D 为BC 边上的点，且0AD BC ⋅=，若3CE EB =，则()AB AC AE +⋅=__________．18．在平行四边形ABCD 中， ()()1,2,3,2AC BD ==-，则·AD AC ＝ 19．在中，点是中线上一点，经过点，与边，分别交于，，若，，且，，则实数__________． 20．已知点为的重心，过点的直线与射线，分别交于点，，且满足，，则的最小值为__________．三、解答题 21．已知向量，，．（）求函数的单增区间．（）若，求值．（）在中，角，，的对边分别是，，．且满足，求函数的取值范围．天津市耀华中学2018届高三12月月考数学（理）答案1．A【解析】．故选．2．C【解析】①式等价于．左边，右边．不一定相等．②式等价于．即成立．③式等价于成立．所以②③正确．故选．3．A【解析】．∴∴．故选．4．C 【解析】=．∴周期，奇函数．故选．5．A【解析】由正弦定理知，即，∴．由知∴．故选．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.6．D【解析】向左平移得到．横坐标缩短原来的倍得到．故选．点睛：本题考查的是三角函数的图象变换.三角函数中函数图象的平移变化是常考知识点，也是易错题型.首项必须看清题目中是由哪个函数平移，平移后是哪个函数；其次，在平移时，还要注意自变量x的系数是否为1，如果x有系数，需要将系数提出来求平移量，平移时遵循“左加右减”. 7．B【解析】B、锐角．由得．由得．∴．故选．8．A【解析】．∴．故选．9．B【解析】有解．∴∴．∴．故选．10．D【解析】，∴．∴，．由得即．∴或．当时．，无意义．当时．，此时为正三角形．故选．点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.11．B【解析】令，由于．故，．∵，，故．．故．同理可求得．即．．的最大值为．故选．点睛:平面向量数量积的类型及求法:(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a·b＝|a||b|cos θ；二是坐标公式a·b＝x1x2＋y1y2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.12．D【解析】①．因此单调递增．最多只有一个零点．故①错．②与．画出图象可知在每一个周期内都有一个交点，所以有无数个零点．故②错．③画出与图象由图象可知，交点为个．故③正确．∴真命题个数为个．故选．点晴:本题考查的是函数的零点个数问题.函数的零点，一方面可以利用函数单调性判断最多有一个零点，结合存在定理，判定有无零点；二方面可以通过转化为两个函数图像的交点个数问题来确定函数零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.13．【解析】．14．【解析】．而．．∴．∴其夹角为．15．【解析】由得．∴．即．则．又．∴．16．【解析】，①，②①②得，（）．即．当时．．解得．∴．17．2【解析】在ABC 中， AB AC =， 120BAC ∠=︒． 由0AD BC ⋅=知AD BC ⊥于D ． 且D 为BC 的中点． ∴2AB AC AD +=．∴60BAD ∠=︒，又2AB AC ==．∴CD BD == 1AD =． ∵3CE EB =．∴E 是BC 的一个四等分点，且3CE EB =．∴DE =． ∴()2AB AC AE AD AE +⋅=⋅2AD AE cos DAE =⋅⋅∠．∵在直角三角形ADE 中．AD AE cos DAE =⋅∠．∴上式22112AD AD ==⨯⨯=． 18．3【解析】略 19．【解析】如图∵、、共线，∴可设．∴∴又．解得．20．【解析】在内有一点，满足．得知为三角形的重心．且．．．∵、、共线．∴，∴，∴．．21．（）;（）;（）．【解析】试题分析：（1）利用平面向量的数量积得到f（x）的解析式，求解单调区间即可；（2）由（1）的解析式，利用f（x）=1，结合倍角公式求的值即可；（3）结合正弦定理结合内角和公式，得到f（A）的解析式，结合三角函数的有界性求值域即可.试题解析：（），∴．由，得：，．的递增区间是．（）．．∵，∴，∴．（）∵．由正弦定理得．∴．∴．∵．∴．∴．∵．∴．∴．∴，．又∵．∴．故函数的取值范围是．点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.。