2018届高考数学(理)二轮专题复习课件：第一部分 专题七 概率与统计 1-7-1

4． 从 20 名男同学和 10 名女同学中任选 3 名参加体能测试， 则选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学的概率为 ________．(结果用最简分数表示)
5．二项分布：在 n 次独立重复试验中，设事件 A 发生的次 数为 X，在每次试验中事件 A 发生的概率为 P，则随机变量 X 服 从二项分布，记作 X～B(n，p)，并称 P 为成功概率． 在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P(x k k n－k ＝k)＝Cnp (1－p) (k＝0,1,2，„，n)，期望 E(x)＝np，D(x)＝np(1 －p)．
6．正态分布 (1)定义及表示：如果对于任何实数 a，b(a<b)，随机变量 X b 满足 P(a<x≤b)＝ φ ， (x)dx， 则称随机变量服从正态分布， 记作 μ σ

X～N(μ，σ )，其中 μ 是期望，σ 是标准差． (2)正态曲线的图象关于直线 x＝μ 对称，μ 控制图象的左右 平移，σ 决定了图象的高矮胖瘦． (3)正态分布的三个数据 ①P(μ － σ<x≤μ ＋ σ) ＝ 0.6826 ②P(μ － 2σ<x≤μ ＋ 2σ) ＝ 0.9544 ③P(μ－3σ<x≤μ＋3σ)＝0.9974.
3 故要求的概率为 ＝ ，故选 B. π π 4 － － 2 6 答ห้องสมุดไป่ตู้：B
π 2－0
3．已知某气象站天气预报的准确率为 80%，则 5 次预报中 至少有 2 次准确的概率为________．(结果保留到小数点后两位)
解析：“5 次预报中至少有 2 次准确”的对立事件为“5 次 预报中有 1 次准确或 5 次预报中没有准确的”，则所求概率为 1 1 4 5 －(C5×0.8×0.2 ＋0.2 )≈0.99. 答案：0.99

2
1 2 2 1 2 2 2 2 2 (2)简化计算公式①s ＝n[(x1＋x2＋„＋xn)－n x ]，或写成 s ＝n(x1＋x2＋„＋
2 2 x2 n)－ x ，即方差等于原数据平方和的平均数减去平均数的平方．
[应用 3] (1)某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如图 24 是检 测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为( )
7.概率与统计
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要点重温
查缺补漏
■要点重温…………………………………………………………………………·
1．随机抽样方法 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是抽样过程中每个个体被抽取 的机会相等，且是不放回抽样．
[应用 1]
某社区现有 480 个住户， 其中中等收入家庭 200 户、 低收入家庭 160
1
2 － n x x2 i i
＝
2＋3＋4＋5＋6 2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.0 [解] (1) x ＝ ＝4， y ＝ ＝5， 5 5 相关系数r的分子为 xi－ x yi－ y ＝ x iyi－5 x ·y ＝122.3－5×4×5＝
i＝1 i＝1 5

图 25
[解析] (1)产品的中位数出现在概率是 0.5 的地方． 自左至右各小矩形面积依 次为 0.1,0.2,0.4， „„，设中位数是 x，则由 0.1＋0.2＋0.08· (x－20)＝0.5，得 x＝22.5，故选 C.
3＋4＋5＋x＋y (2)由 ＝5 得 x＋y＝13，① 5 由 1 2 2 2 2 2 [ 3 － 5 ＋ 4 － 5 ＋ 5 － 5 ＋ x － 5 ＋ y － 5 ]＝ 2 5

－
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝
－
n k Ck C M N－M n C N ________________ ，k＝0,1,2，„，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，
n，M，N∈N*.此时称随机变量X服从超几何分布．超几何分布的模型是不放回 抽样，超几何分布中的参数是M，N，n．
2
重要公式与性质 1．离散型随机变量X的分布列具有两个性质 ①pi≥0，②p1＋p2＋„＋pi＋„＋pn＝1(i＝1,2,3，„，n)． 2．期望与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b；D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)； (2)X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)； (3)X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
核心知识整合
• 1．随机事件的概率 0≤P(A)≤1 1 • (1)随机事件的概率范围： _____________； 必然事件的概 0 率为________；不可能事件的概率为 __________．
(2)古典概型的概率 A中所含的基本事件数 P(A)＝ ． 基本事件总数 (3)几何概型的概率 构成事件A的区域长度面积或体积 P(A)＝ ． 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积
2．互斥事件与对立事件 (1)对立事件是互斥事件，互斥事件未必是对立事件． (2)如果事件A，B互斥，那么事件A∪B发生(即A，B中有一个发生)的概率， P(A)＋P(B) 等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A∪B)＝______________. 这个公式称 为互斥事件的概率加法公式． (3)在一次试验中，对立事件A和 A 不会同时发生，但一定有一个发生，因此 1－P(A) 有P( A )＝____________ ．

A 级1．(2017·洛阳市第一次统一考试)将一枚骰子先后抛掷两次，并记朝上的点数分别为m ，n ，m 为2或4时，m ＋n >5的概率为( )A.227B ．29 C.13 D ．23解析： 依题意得，先后抛掷两次骰子所得的点数对(m ，n )共有6×6＝36组，其中当m ＝2或4时，相应的点数对(m ，n )共有2×6＝12组．当m ＝2时，满足m ＋n >5，即n >3的点数对(m ，n )共有3组；当m ＝4时，满足m ＋n >5，即n >1的点数对(m ，n )共有5组，因此所求的概率等于3＋512＝23，选D. 答案： D2．(2017·黄冈质检)有一个底面半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.13B ．23 C.12 D ．34解析： 全部基本事件是底面半径为1、高为2的圆柱，所求事件是半径为1的半球的外部，因此所求概率为1－12×43×π×13π×12×2＝23. 答案： B3．(2017·惠州市第三次调研考试)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为( )A.13B ．14 C.15 D ．16解析： 设田忌的上、中、下三个等次的马分别为A ，B ，C ，齐王的上、中、下三个等次的马分别为a ，b ，c ，从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛的所有可能结果有Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc ，Ca ，Cb ，Cc ，共9种，田忌马获胜有Ab ，Ac ，Bc ，共3种，田忌马获胜的概率为13.选A. 答案： A4．在平面区域{(x ，y )|0≤x ≤1,1≤y ≤2}内随机投入一点P ，则点P 的坐标(x ，y )满足y ≤2x 的概率为( )A.14B ．12 C.23 D ．34解析： 依题意作出图象如图，则P (y ≤2x )＝S 阴影S 正方形＝12×12×112＝14. 答案： A5．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2P A →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )A.14B ．13 C.23 D ．12解析： 以PB 、PC 为邻边作平行四边形PBDC ，则PB →＋PC →＝PD →，因为PB →＋PC →＋2P A→＝0，所以PB →＋PC →＝－2P A →，得PD →＝－2P A →，由此可得，P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点，点P 到BC 的距离等于A 到BC 距离的12，所以S △PBC ＝12S △ABC ，所以将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为S △PBC S △ABC ＝12，故选D. 答案： D6．(2017·江苏卷)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D ，在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．解析： 由6＋x －x 2≥0，得－2≤x ≤3，即D ＝[－2,3]，∴P (x ∈D )＝3－(－2)5－(－4)＝59.答案： 597．从2,3,4,5,6这5个数字中任取3个，则所取3个数之和为偶数的概率为________． 解析： 依题意，从2,3,4,5,6这5个数字中任取3个，共有10种不同的取法，其中所取3个数之和为偶数的取法共有1＋3＝4种(包含两种情形：一种情形是所取的3个数均为偶数，有1种取法；另一种情形是所取的3个数中2个是奇数，另一个是偶数，有3种取法)，因此所求的概率为410＝25. 答案： 258．(2017·新疆第二次适应性检测)△ABC 中，AB ＝2，AC ＝5，cos A ＝45，在△ABC 内任取一点P ，则△P AB 面积大于1的概率为________．解析： 依题意，作CD ⊥AB 于D ，则有CD ＝AC ·sin A ＝3，在线段CD 上取点E ，使得DE ＝1，过点E 作AB 的平行线与边AC 交于点M ，与边BC 交于点N ，当点P 位于线段MN 上时，△P AB 的面积为1.因此，要使△P AB 的面积大于1，相应的点P 应位于△CMN 内，故所求的概率为S △CMN S △ABC ＝49. 答案： 499．依次从标号为1,2,3,4,5的五个黑球和标号为6,7,8,9的四个白球中随机地各取一个球，用数对(x ，y )表示事件“抽到两个球标号分别为x ，y ”．(1)问共有多少个基本事件？并列举出来；(2)求所抽取的标号之和小于11但不小于9或标号之和大于12的概率．解析： (1)共有20个基本事件，列举如下：(1,6)，(1,7)，(1,8)，(1,9)，(2,6)(2,7)，(2,8)，(2,9)，(3,6)，(3,7)，(3,8)，(3,9)，(4,6)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，共20个．(2)记事件“所抽取的标号之和小于11但不小于9”为事件A ，由(1)可知事件A 共含有7个基本事件，列举如下：(1,8)，(1,9)，(2,7)，(2,8)，(3,6)，(3,7)，(4,6)，共7个．“抽取的标号之和大于12”记作事件B ，则事件B 包含：(4,9)，(5,8)，(5,9)，共3个．故P (A )＋P (B )＝720＋320＝12，故抽取的标号之和小于11但不小于9或大于12的概率为12. 10．(2016·郑州市第一次质量预测)为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚．为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，当不处罚时，有80人会闯红灯，处罚时，得到如下数据：(1)当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？(2)将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类：A 类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；B 类是其他市民．现对A 类与B 类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为B 类市民的概率是多少．解析： (1)设“当罚金定为10元时，闯红灯的市民改正行为”为事件A ，则P (A )＝40200＝15. ∴当罚金定为10元时，比不制定处罚，行人闯红灯的概率会降低15. (2)由题可知A 类市民和B 类市民各有40人，故分别从A 类市民和B 类市民中各抽出2人，设从A 类市民中抽出的2人分别为A 1、A 2，从B 类市民中抽出的2人分别为B 1、B 2.设“A 类与B 类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷”为事件M ，则事件M 中首先抽出A 1的事件有：(A 1，A 2，B 1，B 2)，(A 1，A 2，B 2，B 1)，(A 1，B 1，A 2，B 2)，(A 1，B 1，B 2，A 2)，(A 1，B 2，A 2，B 1)，(A 1，B 2，B 1，A 2)，共6种．同理首先抽出A 2、B 1、B 2的事件也各有6种．故事件M 共有24种．设“抽取4人中前两位均为B 类市民”为事件N ，则事件N 有(B 1，B 2，A 1，A 2)，(B 1，B 2，A 2，A 1)，(B 2，B 1，A 1，A 2)，(B 2，B 1，A 2，A 1)．∴P (N )＝424＝16. ∴抽取4人中前两位均为B 类市民的概率是16. B 级1．已知集合M ＝{1,2,3}，N ＝{1,2,3,4}．定义映射f ：M →N ，则从中任取一个映射满足由点A (1，f (1))，B (2，f (2))，C (3，f (3))构成△ABC 且AB ＝BC 的概率为( )A.332B ．532 C.316 D ．14解析： ∵集合M ＝{1,2,3}，N ＝{1,2,3,4}，∴映射f ：M →N 有43＝64种，∵由点A (1，f (1))，B (2，f (2))，C (3，f (3))构成△ABC 且AB ＝BC ，∴f (1)＝f (3)≠f (2)，∵f (1)＝f (3)有3种选择，f (2)有3种选择，∴从中任取一个映射满足由点A (1，f (1))，B (2，f (2))，C (3，f (3))构成△ABC 且AB ＝BC 的事件有4×3＝12种，∴所求概率为1264＝316. 答案： C2．平面区域A 1＝{(x ，y )|x 2＋y 2<4，x ，y ∈R }，A 2＝{(x ，y )||x |＋|y |≤3，x ，y ∈R }．在A 2内随机取一点，则该点不在A 1内的概率为________．解析： 分别画出区域A 1，A 2，如图圆内部分和正方形及其内部所示．根据几何概型可知，所求概率为18－4π18＝1－2π9.答案： 1－2π93．在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4、5.甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球．(1)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局)，求甲获胜的概率；(2)若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6，则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？解析： 用(x ，y )(x 表示甲摸到的数字，y 表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(5,1)、(5,2)、(5,3)、(5,4)、(5,5)，共25个．(1)设甲获胜的事件为A ，则事件A 包含的基本事件有：(2,1)、(3,1)、(3,2)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(5,1)、(5,2)、(5,3)、(5,4)，共10个．则P (A )＝1025＝25. (2)设甲获胜的事件为B ，乙获胜的事件为C .事件B 所包含的基本事件有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(4,1)，共10个．则P (B )＝1025＝25， 所以P (C )＝1－P (B )＝35. 因为P (B )≠P (C )，所以这样规定不公平．4．已知关于x 的一元二次方程9x 2＋6ax －b 2＋4＝0，a ，b ∈R .(1)若a 是从1,2,3三个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求已知方程有两个不相等实根的概率；(2)若a 是从区间[0,3]内任取的一个数，b 是从区间[0,2]内任取的一个数，求已知方程有实数根的概率．解析： 设事件A 为“方程9x 2＋6ax －b 2＋4＝0有两个不相等的实数根”；事件B 为“方程9x 2＋6ax －b 2＋4＝0有实数根”．(1)由题意，知基本事件共9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．由Δ＝36a 2－36(－b 2＋4)＝36a 2＋36b 2－36×4>0，得a 2＋b 2>4.事件A 要求a ，b 满足条件a 2＋b 2>4，可知包含6个基本事件，即(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，则事件A 发生的概率为P (A )＝69＝23. (2)a ，b 的取值所构成的区域如图所示，其中0≤a ≤3,0≤b ≤2.构成事件B 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a 2＋b 2≥4}(如图中阴影部分)，则所求的概率为P (B )＝2×3－14×π×222×3＝1－π6.。