2015年苏科版八年级上册数学轴对称复习题

八上第二章线段和最值问题班级姓名得分一、选择题1.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于E,F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM 周长的最小值为（）A. 6B. 8C. 10D. 122.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，若△CDM周长的最小值为8，则△ABC的面积为A. 12B. 16C. 24D. 323.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4，面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A. 7B. 72C. 9 D. 1124.如图，∠MON=90°，OB=2，点A是直线OM上的一个动点，连结AB，作∠MAB与∠ABN的角平分线AF与BF，两角平分线所在的直线交于点F，求点A在运动过程中线段BF 的最小值为（）A. 2B. 4C. √2D. √3二、填空题5.如图，等腰△ABC的底边BC长为4，面积是14，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM 周长的最小值为____．6.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为______．7.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为______．8.如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为_________cm．9.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则的周长的最小值为______．10.如图，四边形ABCD为菱形，∠C=120°，AB=4，H为边BC上的动点，连接AH，作AH的垂直平分线GF交CD于F点，则线段GF的最小值为．11.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为______．12.如图，在锐角△ABC中，AB=4√3,∠BAC=60°,∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为13.如图，在锐角△ABC中，AB=3√2,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是______．14.15.如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是∠BAC的平分线，AC＝√6，若点P是AD上一动点，且作PN⊥AC于点N，则PN＋PC的最小值是__________．三、解答题16.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为______．17.如图，BD是ΔABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB,BD,BC于点E,F,G，连接ED,DG.(1)请判断四边形EBGD的形状，并说明理由;(2)若∠ABC=30∘,∠C=45∘,ED=2√10，点H是BD上的一个动点，求HG+HC的最小值.18.如图，在△ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．（1）若∠ABC=70°，则∠NMA的度数是______度．（2）若AB=8cm，△MBC的周长是14cm．①求BC的长度；②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．19.如图已知EF∥GH，AC⊥EF于点C，BD⊥EF于点D交HG于点K．AC=3，DK=2，BK=4．（1）若CD=6，点M是CD上一点，当点M到点A和点B的距离相等时，求CM 的长；（2）若CD=13，点P是HG上一点，点Q是EF上一点，连接AP，PQ，QB，求2AP+PQ+QB的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，以及考查了轴对称中最短路线问题．熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接AD ，由于△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，故AD ⊥BC ，根据三角形的面积公式求出AD 的长，再根据EF 是线段AC 的垂直平分线可知，点C 关于直线EF 的对称点为点A ，故AD 的长为CM +MD 的最小值，由此即可得出结论．【解答】解：如图，连接AD ，∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∴S △ABC =12BC ×AD =12×4×AD =16，解得AD =8， ∵EF 是线段AC 的垂直平分线，∴点C 关于直线EF 的对称点为点A ，∴AD 的长为CM +MD 的最小值，∴△CDM 的周长最短=（CM +MD ）+CD =AD +12BC =8+12×4=8+2=10． 故选C ．2.【答案】A【解析】【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，以及考查了轴对称中最短路线问题．熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接AD ，根据EF 是线段AC 的垂直平分线可知，点C 关于直线EF 的对称点为点A ，故AD 的长为CM +MD 的最小值，从而得到AD 长，由等腰三角形三线合一的性质可得AD 为BC 边上的高，最后由三角形面积公式求得答案.【解答】解：连接AD ，∵EF 是线段AC 的垂直平分线，∴点C 关于直线EF 的对称点为点A ，△CDM 的周长为CM +DM +CD ，∴AD 的长为CM +MD 的最小值，∵CD =2，∴AD =6，∵AB =AC ，D 为BC 中点，∴AD ⊥BC ，∴△ABC 的面积为4×6÷2=12. 故选A .3.【答案】C【解析】【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键.连接AD ，由于△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，故AD ⊥BC ，再根据三角形的面积公式求出AD 的长，再根据EF 是线段AB 的垂直平分线可知，点B 关于直线EF 的对称点为点A ，故AD 的长为BM +MD 的最小值，由此即可得出结论.【解答】解：连接AD ，∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∴S △ABC =12BC •AD =12×4×AD =14，解得AD =7， ∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴点B 关于直线EF 的对称点为点A ，∴AD 的长为CM +MD 的最小值，∴△CDM 的周长最短=（CM +MD ）+CD =AD +12BC =7+12×4=7+2=9. 故选C .4.【答案】C【解析】【分析】作FC ⊥OB 于C ，FD ⊥OA 于D ，FE ⊥AB 于E ，由角平分线的性质得出FD =FC ，证出点F 在∠MON 的平分线上，∠BOF =45°，在点A 在运动过程中，当OF ⊥AB 时，BF 最小，△OBF 为等腰直角三角形，即可得出BF =√22OB =√2． 【解答】解：作FC ⊥OB 于C ，FD ⊥OA 于D ，FE ⊥AB 于E ，如图所示：∵∠MAB 与∠ABN 的角平分线AF 与BF 交于点F ，∴FD =FE ，FE =FC ，∴FD =FC ，∴点F 在∠MON 的平分线上，∠BOF =45°，在点A 在运动过程中，当OF ⊥AB 时，F 为垂足，BF 最小，此时，△OBF 为等腰直角三角形，BF =√22OB =√2； 故选C ．5.【答案】9【解析】【分析】本题考查垂直平分线的性质，轴对称的性质和等腰三角形的性质，得出AD 的长为CM +MD 的最小值是解题的关键，先做C 点关于EF 的对称点A ，连接AD 交EF 于M ，此时CM +MD 的值最小，求出周长即可.【解答】解：连接AD ，∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∴S △ABC =12BC •AD =12×4×AD =14，解得AD =7， ∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴点B 关于直线EF 的对称点为点A ，∴AD 的长为CM +MD 的最小值，∴△CDM 的周长最短=（CM +MD ）+CD =AD +12BC =7+12×4=8+2=9． 故答案为9．6.【答案】8【解析】【分析】连接AD 交EF 与点M ′，连结AM ，由线段垂直平分线的性质可知AM =MB ，则BM +DM =AM +DM ，故此当A 、M 、D 在一条直线上时，MB +DM 有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明AD 为△ABC 底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD 的长．本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．【解答】解：连接AD 交EF 与点M ′，连结AM ．∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∴S ∆ABC =12BC ·AD =12×4×AD =12，解得AD =6，∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴AM =BM ．∴BM +MD =MD +AM ．∴当点M 位于点M ′处时，MB +MD 有最小值，最小值6．∴△BDM 的周长的最小值为DB +AD =2+6=8．故答案为8.7.【答案】8【解析】【分析】连接AD 交EF 与点M ′，连结AM ，由线段垂直平分线的性质可知AM =MB ，则BM +DM =AM +DM ，故此当A 、M 、D 在一条直线上时，MB +DM 有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明AD 为△ABC 底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD 的长．本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．【解答】解：连接AD 交EF 与点M ′，连结AM ．∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∴S ∆ABC =12BC ·AD =12×4×AD =12，解得AD =6，∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴AM =BM ．∴BM +MD =MD +AM ．∴当点M 位于点M ′处时，MB +MD 有最小值，最小值6．∴△BDM 的周长的最小值为DB +AD =2+6=8．8.【答案】8【解析】【分析】本题考查的是轴对称 -最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接AD ，由于△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，故AD ⊥BC ，再根据三角形的面积公式求出AD 的长，再根据EF 是线段AB 的垂直平分线可知，点B 关于直线EF 的对称点为点A ，故AD 的长为BM +MD 的最小值，由此即可得出结论．【解答】解：如图，连接AD ，∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∴S △ABC =12BC •AD =12×4×AD =12，解得AD =6cm ， ∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴点B 关于直线EF 的对称点为点A ，∴AD 的长为BM +MD 的最小值，∴△BDM 的周长最短=（BM +MD ）+BD =AD +12BC =6+12×4=6+2=8cm ． 故答案为8．9.【答案】8【解析】【分析】连接AD 交EF 与点M ′，连结AM ，由线段垂直平分线的性质可知AM =MB ，则BM +DM =AM +DM ，故此当A 、M 、D 在一条直线上时，MB +DM 有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明AD 为△ABC 底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD 的长．【解答】解：连接AD 交EF 与点M ′，连结AM .∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∴S △ABC =12BC ⋅AD =12×4×AD =12，解得AD =6， ∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴AM =BM .∴BM +MD =MD +AM .∴当点M 位于点M ′处时，MB +MD 有最小值，最小值6.∴△BDM 的周长的最小值为DB +AD =2+6=8.故答案为8.10.【答案】3【解析】【分析】这是一道考查菱形的性质以及线段垂直平分线的性质的题目，解题关键在于知道当AH ⊥BC 时，GF 最短，即可求出答案.【解答】解：连接AF 、HF ，则当AH 最短时，GF 最小，此时AH ⊥BC ，AH ⊥AB ，∵GF 为AH 的垂直平分线，∴G 为AH 中点，F 为CD 中点，∴GF =12(AD +HC )=3.故答案为3.11.【答案】8【解析】解：连接AD 交EF 与点M ′，连结AM ．∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∴S △ABC =12BC •AD =12×4×AD =12，解得AD =6， ∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴AM =BM ．∴BM +MD =MD +AM ．∴当点M 位于点M ′处时，MB +MD 有最小值，最小值6．∴△BDM 的周长的最小值为DB +AD =2+6=8．连接AD 交EF 与点M ′，连结AM ，由线段垂直平分线的性质可知AM =MB ，则BM +DM =AM +DM ，故此当A 、M 、D 在一条直线上时，MB +DM 有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明AD 为△ABC 底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD 的长．本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．12.【答案】6【解析】【分析】本题考查了轴对称的应用．易错易混点：解此题是受角平分线启发，能够通过构造全等三角形，把BM +MN 进行转化，但是转化后没有办法把两个线段的和的最小值转化为点到直线的距离而导致错误．从已知条件结合图形认真思考，通过构造全等三角形，利用三角形的三边的关系确定线段和的最小值．【解答】解：如图，在AC 上截取AE =AN ，连接BE ，∵∠BAC 的平分线交BC 于点D ，∴∠EAM =∠NAM ，在△AME 与△AMN 中，{AE =AN∠EAM =∠NAM AM =AM，∴△AME ≌△AMN （SAS ），∴ME =MN ．∴BM +MN =BM +ME ≥BE ．∵BM +MN 有最小值．当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC，又AB=4√3，∠BAC=60°，此时，在Rt△ABE中，得出BE=6，即BE取最小值为6，∴BM+MN的最小值是6．故答案为6.13.【答案】3【解析】解：如图，在AC上截取AE=AN，连接BE．∵∠BAC的平分线交BC于点D，∴∠EAM=∠NAM，在△AME与△AMN中，{AE=AN∠EAM=∠NAM AM=AM，∴△AME≌△AMN（SAS），∴ME=MN．∴BM+MN=BM+ME≥BE．∵BM+MN有最小值．当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC，又AB=3√2，∠BAC=45°，此时，△ABE为等腰直角三角形，∴BE=3，即BE取最小值为3，∴BM+MN的最小值是3．故答案为3．从已知条件结合图形认真思考，通过构造全等三角形，利用三角形的三边的关系确定线段和的最小值．本题考查了轴对称的应用．易错易混点：解此题是受角平分线启发，能够通过构造全等三角形，把BM+MN进行转化，但是转化后没有办法把两个线段的和的最小值转化为点到直线的距离而导致错误．规律与趋势：构造法是初中解题中常用的一种方法，对于最值的求解是初中考查的重点也是难点．14.【答案】3√22【解析】【分析】本题考查了垂线段最短的性质，角的平分线的性质，勾股定理以及直角三角形的性质．解题关键是根据角平分线的性质和垂线段最短得出CE的长是PN+PC的最小值．作CE⊥AB 于点E，则CE的长就是PN+PC的最小值，在Rt△ACE中利用勾股定理求解即可．【解答】解：作CE⊥AB于点E，交AD于P点，∵AD是∠BAC的平分线，PN⊥AC，CE⊥AB，∴PN =PE ，∴PN ＋PC =PE +PC =CE ，∴根据“垂线段最短”可知CE 的长就是PN +PC 的最小值．在Rt △ACE 中，∠BAC ＝60°，AC ＝√6， ∴AE =12AC =√62， 由勾股定理得：CE =3√22． 故答案是3√22．15.【答案】8【解析】【分析】本题主要考查三角形周长的知识，关键是知道线段垂直平分线的性质，知道等腰三角形的性质.【解答】解：连接AD 交EF 与点M ′，连结AM ．∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∴S △ABC =12BC •AD =12×4×AD =12，解得AD =6， ∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴AM =BM ．∴BM +MD =MD +AM ．∴当点M 位于点M ′处时，MB +MD 有最小值，最小值6．∴△BDM的周长的最小值为DB+AD=2+6=8．故答案为8.16.【答案】解：（1）四边形EBGD是菱形．理由：∵EG垂直平分BD，∴EB=ED，GB=GD，∴∠EBD=∠EDB，∵∠EBD=∠DBC，∴∠EDF=∠GBF，在△EFD和△GFB中，{∠EDF=∠GBF ∠EFD=∠GFB DF=BF，∴△EFD≌△GFB，∴ED=BG，∴BE=ED=DG=GB，∴四边形EBGD是菱形．（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连接EC交BD于点H，此时HG+HC最小，在RT△EBM中，∵∠EMB=90°，∠EBM=30°，EB=ED=2√10，∴EM=12BE=√10，∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC，∴EM∥DN，EM=DN=√10，MN=DE=2√10，在RT△DNC中，∵∠DNC=90°，∠DCN=45°，∴∠NDC=∠NCD=45°，∴DN=NC=√10，∴MC=3√10，在RT△EMC中，∵∠EMC=90°，EM=√10．MC=3√10，∴EC=√EM2+MC2=√(√10)2+(3√10)2=10．∵HG+HC=EH+HC=EC，∴HG+HC的最小值为10．【解析】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用对称找到点H的位置，属于中考常考题型.（1）结论四边形EBGD是菱形．只要证明BE=ED=DG=GB即可；（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连接EC交BD于点H，此时HG+HC最小，在RT△EMC中，求出EM、MC即可解决问题.17.【答案】（1）50（2）①6②14【解析】解：（1）∵AB =AC ，∴∠C =∠ABC =70°，∴∠A =40°，∵AB 的垂直平分线交AB 于点N ，∴∠ANM =90°，∴∠NMA =50°，故答案为：50；（2）①∵MN 是AB 的垂直平分线，∴AM =BM ，∴△MBC 的周长=BM +CM +BC =AM +CM +BC =AC +BC ，∵AB =8，△MBC 的周长是14，∴BC =14-8=6；②当点P 与M 重合时，△PBC 周长的值最小，理由：∵PB +PB =PA +PC ，PA +PC ≥AC ，∴P 与M 重合时，PA +PC =AC ，此时PB +PC 最小，∴△PBC 周长的最小值=AC +BC =8+6=14．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论；（2）①根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AM =BM ，然后求出△MBC 的周长=AC +BC ，再代入数据进行计算即可得解，②当点P 与M 重合时，△PBC 周长的值最小，于是得到结论．本题主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．18.【答案】解：（1）如图1中，连接AB ，作线段AB 的中垂线MN ，交AB 于N ，交EF 于M ，连接AM ，BM ．设DM =x ．在Rt △ACM 中，AM 2=AC 2+CM 2=32+（6-x ）2，在Rt △BDM 中，BM 2=DM 2+BD 2=x 2+62，∵AM =MB ，∴32+（6-x ）2=x 2+62，解得x =34，∴CM =CD -MD =6-34=214．（2）如图2中，如图，作点A 故直线GH 的对称点A ′，点B 关于直线EF 的对称点B ′，连接A ′B ′交GH 于点P ，交EF 于点Q ，作B ′H ⊥CA 交CA 的延长线于H ．则此时AP +PQ +QB 的值最小．根据对称的性质可知：PA =PA ′，QB =QB ′，∴PA +PQ +QB =PA ′+PQ +QB ′=A ′B ′，∴PA +PQ +PB 的最小值为线段A ′B ′的长，在Rt △A ′B ′H 中，∵HB ′=CD =132，HA ′=DB ′+CA ′=7+6=13，∴A ′B ′=√HA′2+B′H 2=√132+(132)2=132√5， ∴AP +PQ +QB 的最小值为132√5．【解析】（1）如图1中，连接AB ，作线段AB 的中垂线MN ，交AB 于N ，交EF 于M ，连接AM ，BM ．设DM =x ．根据MA =MB 构建方程即可解决问题；（2）如图2中，如图，作点A 故直线GH 的对称点A ′，点B 关于直线EF 的对称点B ′，连接A ′B ′交GH 于点P ，交EF 于点Q ，作B ′H ⊥CA 交CA 的延长线于H ．则此时AP +PQ +QB 的值最小．最小值为线段A ′B ′的长；本题考查轴对称-最短问题，平行线的性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决问题问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。

苏科版八年级上册数学第二章轴对称图形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、下列命题是真命题的是（）．A.有两条边、一个角相等的两个三角形全等。

B.等腰三角形的对称轴是底边上的中线。

C.全等三角形对应边上的中线相等。

D.有一个角是60°的三角形是等边三角形。

2、如图所示，△ABC是等边三角形，且BD＝CE，∠1＝15°，则∠2的度数为（）A.15°B.30°C.45°D.60°3、有一张平行四边形纸片ABCD，已知，按如图所示的方法折叠两次，则的度数等于（）A.55°B.50°C.45°D.40°4、到△ABC三个顶点距离相等的点是△ABC的（）A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三条垂直平分线的交点5、在下列汽车标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.6、如图，在△ABC中，AB＞AC，分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D；连结CD.若AB＝7，AC＝5，则△ACD的周长为（）A.2B.12C.17D.197、剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（）A. B. C. D.8、△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内.若求五边形DECHF的周长，则只需知道（）A.△ABC的周长B.△AFH的周长C.四边形FBGH的周长D.四边形ADEC的周长9、如图，C、D在以线段AB为直径的⊙O上，若CA=CD，且∠ACD=40°，则∠CAB=（）A.10°B.20°C.30°D.40°10、已知AB=8cm，小红在作线段AB的垂直平分线时操作如下：分别以A和B 为圆心，5cm的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求，根据此种作图方法所得到的四边形ADBC的面积是（）A.12cm 2B.24cm 2C.36cm 2D.48cm 211、如图，AB∥CD，AB＝AC，∠1＝40°，则∠ACE的度数为（）A.80°B.100°C.120°D.160°12、如图，把一矩形纸片OABC放入平面直角坐标系xoy中，使OA，OC分别落在x轴、y轴上，现将纸片OABC沿OB折叠，折叠后点A落在点A'的位置，若OA=1，OB=2，则点A'的坐标为（）A. B. C.（） D.（）13、将AD与BC两边平行的纸条ABCD按如图所示折叠，则∠1的度数为（）A.72°B.45°C.56°D.60°14、如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H交BE于G.下列结论：①BD＝CD；②AD+CF＝BD；③CE＝BF；④AE＝BG.其中正确的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个15、如图，等边的边长为3，点D在边上，，线段在边上运动，，有下列结论：① 与可能相等；② 与可能相似；③四边形面积的最大值为；④四边形周长的最小值为.其中，正确结论的序号为（）A.①④B.②④C.①③D.②③二、填空题(共10题，共计30分)16、某同学从平面镜里看到镜子对面的电子钟的示数如图所示，这时的实际时间是________.17、如图，在△ABC中，已知∠B=∠C，则可判定AB=AC的依据是________；18、如图，矩形ABCD中，把△ACD沿AC折叠到△ACD′，AD′与BC交于点E，若AD=8，DC=6，则BE的长为________．19、在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，E是AB上一点，将矩形ABCD沿CE折叠后，点B落在AD边的点F上，则折痕CE的长为________.20、已知点在直线上，点在直线上，与关于y轴对称．则和的交点坐标为________．21、如图，矩形纸片ABCD，AD=2AB=4，点F在线段AD上，将△ABF沿BF向下翻折，点A的对应点E落在线段BC上，点M，N分别是线段AD与线段BC上的点，将四边形CDMN沿MN向上翻折，点C恰好落在线段BF的中点C'处，则线段MN的长为________．22、如图，BE⊥AC，垂足为D，且AD＝CD，BD＝ED.若∠ABC＝54°，则∠E＝________°.23、如图，△ABC中，已知AB=5，AC=4，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AC交AC于点E，若DE=2，则△ABC的面积为________．24、如图，在⊙O中，半径为5，∠AOB=60°，则弦长AB=________．25、把一张长方形纸条按如图方式折叠，若∠1＝40°，则∠2的度数是________．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图所示，△ABC和△AEF为等边三角形，点E在△ABC内部，且E到点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠AEB的度数．27、如图，在长方形ABCD中，已知AB=8cm，BC=10cm，将AD沿AF折叠，使点D落在BC上的点E处.求BE及CF的长.28、作图题：（要求保留作图痕迹，不写作法）（1）作△ABC中BC边上的垂直平分线EF（交AC于点E，交BC于点F）；（2）连结BE，若AC=10，AB=6，求△ABE的周长．29、如图，在中，AB＝AC，点D是BC上一点，点E是AC上一点，且DE⊥AD.若∠BAD＝55°，∠B＝50°，求∠DEC的度数.30、如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于点D，求证：BC ＝3AD．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、D3、B4、D5、A6、B7、D8、A9、B10、B11、B12、B13、C14、C15、D二、填空题(共10题，共计30分)16、17、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)28、。

苏科版八年级上册数学轴对称解答题单元测试卷（含答案解析）一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）1．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（﹣2，1）．（1）请运用所学数学知识构造图形求出AB的长；（2）若Rt△ABC中，点C在坐标轴上，请在备用图1中画出图形，找出所有的点C后不用计算写出你能写出的点C的坐标；（3）在x轴上是否存在点P，使PA=PB且PA+PB最小？若存在，就求出点P的坐标；若不存在，请简要说明理由（在备用图2中画出示意图）．【答案】（1）AB=52）C2（0,7），C4（0，-4），C5（-1,0）、C6（1,0）；（3）不存在这样的点P．【解析】【分析】（1）如图，连结AB，作B关于y轴的对称点D，利用勾股定理即可得出AB；（2）分别以A，B，C为直角顶点作图，然后直接得出符合条件的点的坐标即可；（3）作AB的垂直平分线l3，则l3上的点满足PA=PB，作B关于x轴的对称点B′，连结AB′，即x轴上使得PA+PB最小的点，观察作图即可得出答案．【详解】解：（1）如图，连结AB，作B关于y轴的对称点D，由已知可得，BD=4，AD=2．∴在Rt△ABD中，AB=5（2）如图，①以A为直角顶点，过A作l1⊥AB交x轴于C1，交y轴于C2．②以B为直角顶点，过B作l2⊥AB交x轴于C3，交y轴于C4．③以C为直角顶点，以AB为直径作圆交坐标轴于C5、C6、C7．（用三角板画找出也可）由图可知，C2（0,7），C4（0，-4），C5（-1,0）、C6（1,0）．（3）不存在这样的点P ．作AB 的垂直平分线l 3，则l 3上的点满足PA =PB ，作B 关于x 轴的对称点B ′，连结AB ′，由图可以看出两线交于第一象限．∴不存在这样的点P ．【点睛】本题考查了勾股定理，构造直角三角形，中垂线和轴对称--路径最短问题的综合作图分析，解题的关键是学会分类讨论，学会画好图形解决问题．2．如图，在ABC △中，已知AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于点F ，求证：AF EF =．【答案】证明见解析【解析】【分析】延长AD 到点G ，使得AD DG =，连接BG ，结合D 是BC 的中点，易证△ADC 和△GDB 全等，利用全等三角形性质以及等量代换，得到△AEF 中的两个角相等，再根据等角对等边证得AE=EF.【详解】如图，延长AD到点G，延长AD到点G，使得AD DG=，连接BG．∵AD是BC边上的中线，∴DC DB=．在ADC和GDB△中，AD DGADC GDBDC DB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（对顶角相等），∴ADC≌GDB△（SAS）．∴CAD G∠=∠，BG AC=．又BE AC=，∴BE BG=．∴BED G∠=∠．∵BED AEF∠=∠∴AEF CAD∠=∠，即AEF FAE∠=∠∴AF EF=．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意构造全等三角形是解答本题的关键. 3．如图，在等腰直角ABC△中，AB AC=，90BAC∠=︒，点D是ABC△内一点，连接AD，AE AD⊥且AE AD=，连接BD、CE交于点F.（1）如图 1，求BFC∠的度数；（2）如图 2，连接ED交BC于点G，连接AG，若AG平分BAD∠，求证：2EAC EDF∠=∠；（3）如图 3，在（2）的条件下，BF交AG、AC分别于点M、N，DH AM⊥，连接HN，若ADN∆的面积与DHN的面积差为 6，6DF=，求四边形AMFE的面积.【答案】（1）∠BFC =90°；（2）见解析；（3）20AMFE S =四边形.【解析】【分析】（1）根据SAS 证明ABD ACE ≌，所以ABD ACF ∠=∠，所以90BFC BAC ∠=∠=︒.（2）根据题意先求出180ABG ADG ∠+∠=︒，在AB 上截取AK AD =，连接KG ，由AKG ADG ≌，180BKG AKG ∠+∠=︒，可证得BKG KBG ∠=∠，GB GK DG ==，所以DBG BDG EDF α∠=∠=∠=， 因为2CAE BAD α∠=∠=，所以2CAE EDF ∠=∠．（3）根据题意和（2）中结论先证明AD AN AE ==，过 A 作BF 、CE 垂线，垂足分别为R 、T ， 连接AF ，证明ANR AET ≌，所以AR AT =，然后根据等腰三角形的性质可得出DM FN =，过点H 作HP FM ⊥，垂足为P ，所以HP PM DP ==，设DP x =，DR y =，所以ADN DHN S S ∆∆-= 1122DN AR DN HP ⋅⋅-⋅ ()6y x y =+=，226DF x y =+=，求出x ，y ，不难得到AEF ANF ADM S S S ∆∆∆===4，然后可得20AMFE S =四边形.【详解】（1）因为ABC 是等腰直角三角形，所以AB AC =，90BAC DAE ∠=︒=∠， 所以BAD CAE ∠=∠，因为AD AE =，所以ABD ACE ≌，所以ABD ACF ∠=∠，所以90BFC BAC ∠=∠=︒.（2）因为AD AE =，90DAE ∠=︒，所以45AED ACG ∠=︒=∠，所以CAE CGE ∠=∠，由（1）知：BAD CAE ∠=∠，所以BAD CGD ∠=∠，设2BAD CGD α∠==∠， 所以1802BGD α∠=︒-，所以180BAD BGD ∠+∠=︒， 所以180ABG ADG ∠+∠=︒， 因为AG 平分BAD ∠，所以BAG DAG α∠=∠=，在AB 上截取AK AD =，连接KG ，因为AG AG =，所以AKG ADG ≌，所以AKG ADG ∠=∠，DG KG =， 因为180BKG AKG ∠+∠=︒，所以BKG KBG ∠=∠，所以GB GK DG ==，所以DBG BDG EDF α∠=∠=∠=， 因为2CAE BAD α∠=∠=，所以2CAE EDF ∠=∠．（3）由（2）知：BAG DBG α∠=∠=，因为90BAC ∠=︒，45ABC ∠=︒，所以45ABN α∠=︒-，因为2BAD α∠=，所以45ADN α∠=︒+，因为902DAN α∠=︒-，所以45AND ADN α∠=︒+=∠，所以AD AN =，因为AD AE =，所以AE AN =， 过 A 作BF 、CE 垂线，垂足分别为R 、T ， 连接AF ，因为45ACE ABD α∠=∠=︒-，2CAE α∠=，所以45AET ANR α∠=︒+=∠， 因为AE AN =，所以ANR AET ≌，所以AR AT =，所以FA 平分BFT ∠， 所以45AFN AFE ∠=∠=︒，因为45AMN ∠=︒，所以AFM AMF ∠=∠，所以AF AM =，所以FR MR =，因为DR RN =，所以DM FN =，过点H 作HP FM ⊥，垂足为P ， 因为45AMN ∠=︒，90DHM ∠=︒，所以45MHP DHP HDP ∠=∠=∠=︒，所以HP PM DP ==，设DP x =，所以2DM FN x ==，设DR y =，所以2DN y =，所以2MR x y =+，因为45MAR ∠=︒，所以2AR MR x y ==+，所以ADN DHN S S ∆∆-= 1122DN AR DN HP ⋅⋅-⋅ ()6y x y =+=，因为226DF x y =+=，所以3x y +=，所以2y =，1x =，因为AF AF =，ANF AEF ∠=∠，所以AEF ANF ≌，所以FN EF =，因为AR AT =，所以AEF ANF ADM S S S ∆∆∆==，因为142ADM S DM AR ∆=⋅⋅=， 所以20ADM ADN ANF AEF AMFE S S S S S ∆∆∆∆=+++=四边形.【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质等知识点，解题的难点在于学会添加常用辅助线，构造三角形全等解决问题，属于中考压轴题.4．如图1，在ABC 中，90BAC ∠=︒，点D 为AC 边上一点，连接BD ，点E 为BD 上一点，连接CE ，CED ABD ∠=∠，过点A 作AG CE ⊥，垂足为G ，交ED 于点F ．(1)求证：2FAD ABD ∠=∠；(2)如图2，若AC CE =，点D 为AC 的中点，求证：AB AC =；(3)在(2)的条件下，如图3，若3EF =，求线段DF 的长．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）6【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质可得90ADB ABD ∠=︒-∠，90EFG CED ∠=︒-∠，然后根据三角形的内角和和已知条件即可推出结论；（2）根据直角三角形的性质和已知条件可得AFD ADF ∠=∠，进而可得AF AD =，BFA CDE ∠=∠，然后即可根据AAS 证明ABF ∆≌CED ∆，可得AB CE =，进一步即可证得结论；（3）连接AE ，过点A 作AH AE ⊥交BD 延长线于点H ，连接CH ，如图4．先根据已知条件、三角形的内角和定理和三角形的外角性质推出45AED ∠=︒，进而可得AE AH =，然后即可根据SAS 证明△ABE ≌△ACH ，进一步即可推出90CHD ∠=︒，过点A 作AK ED ⊥于K ，易证△AKD ≌△CHD ，可得DK DH =，然后即可根据等腰三角形的性质推得DF =2EF ，问题即得解决．【详解】（1）证明：如图1，90BAC ∠=︒，90ADB ABD ∴∠=︒-∠，AG CE ⊥，90FGE ∴∠=︒，90EFG AFD CED ∴∠=∠=︒-∠，180FAD AFD ADF CED ABD ∴∠=︒-∠-∠=∠+∠，CED ABD ∠=∠，2FAD ABD ∴∠=∠；（2）证明：如图2，90AFD CED ∠=︒-∠，90ADB ABD ∠=︒-∠，CED ABD ∠=∠，AFD ADF ∴∠=∠，AF AD ∴=，BFA CDE ∠=∠，∵点D 为AC 的中点，∴AD=CD ，AF CD ∴=，ABF ∴∆≌CED ∆（AAS ），AB CE ∴=，CE AC =，AB AC ∴=；（3）解：连接AE ，过点A 作AH AE ⊥交BD 延长线于点H ，连接CH ，如图4． 90BAC ∠=︒，BAE CAH ∴∠=∠，设ABD CED α∠=∠=，则2,902FAD ACG αα∠=∠=︒-，CA CE =，45AEC EAC α∴∠=∠=︒+，45AED ∴∠=︒，45AHE ∴∠=︒，AE AH ∴=，AB AC =，∴△ABE ≌△ACH （SAS ），135AEB AHC ∴∠=∠=︒，90CHD ∴∠=︒，过点A 作AK ED ⊥于K ，90AKD CHD ∴∠=∠=︒，AD CD =，ADK CDH ∠=∠，∴△AKD ≌△CHD （AAS ），DK DH ∴=，∵,,AK DF AF AD AE AH ⊥==，,FK DK EK HK ∴==，3DH EF ∴==，6DF ∴=．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质等知识，考查的知识点多、综合性强、难度较大，正确添加辅助线、构造等腰直角三角形和全等三角形的模型、灵活应用上述知识是解题的关键．5．问题探究：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．（1）证明：AD=BE；（2）求∠AEB的度数．问题变式：（3）如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．（Ⅰ）请求出∠AEB的度数；（Ⅱ）判断线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）见详解；（2）60°；（3）（Ⅰ）90°；（Ⅱ）AE=BE+2CM，理由见详解.【解析】【分析】（1）由条件△ACB和△DCE均为等边三角形，易证△ACD≌△BCE，从而得到对应边相等，即AD=BE；（2）根据△ACD≌△BCE，可得∠ADC=∠BEC，由点A，D，E在同一直线上，可求出∠ADC=120°，从而可以求出∠AEB的度数；（3）（Ⅰ）首先根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，据此判断出∠ACD=∠BCE；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD≌△BCE，即可判断出BE=AD，∠BEC=∠ADC，进而判断出∠AEB的度数为90°；（Ⅱ）根据DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，可得CM=DM=EM，所以DE=DM+EM=2CM，据此判断出AE=BE+2CM．【详解】解：（1）如图1，∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE；（2）如图1，∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC，∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE=∠CED=60°，∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=120°，∴∠BEC=120°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°；（3）（Ⅰ）如图2，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∠CDE=∠CED=45°，∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB ，即∠ACD=∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴BE=AD ，∠BEC=∠ADC ，∵点A ，D ，E 在同一直线上，∴∠ADC=180-45=135°，∴∠BEC=135°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°，故答案为：90°；（Ⅱ）如图2，∵∠DCE=90°，CD=CE ，CM ⊥DE ，∴CM=DM=EM ，∴DE=DM+EM=2CM ，∵△ACD ≌△BCE （已证），∴BE=AD ，∴AE=AD+DE=BE+2CM ，故答案为：AE=BE+2CM ．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定方法和性质，等边三角形的性质以及等腰直角三角形的性质的综合应用．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．6．如图，在等边ABC ∆中，点D ，E 分别是AC ，AB 上的动点，且AE CD =，BD 交CE 于点P ．（1）如图1，求证120BPC ︒∠=；（2）点M 是边BC 的中点，连接PA ，PM ．①如图2，若点A ，P ，M 三点共线，则AP 与PM 的数量关系是 ； ②若点A ，P ，M 三点不共线，如图3，问①中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．【答案】（1）证明过程见详解；（2）①2AP PM =；②结论成立，证明见详解【解析】【分析】（1）先证明()AEC CDB SAS ≌，得出对应角相等，然后利用四边形的内角和和对顶角相等即可得出结论；（2）①2AP PM =；由等边三角形的性质和已知条件得出AM ⊥BC ，∠CAP ＝30°，可得PB ＝PC ，由∠BPC ＝120°和等腰三角形的性质可得∠PCB ＝30°，进而可得AP ＝PC ，由30°角的直角三角形的性质可得PC ＝2PM ，于是可得结论；②延长BP 至D ，使PD ＝PC ，连接AD 、CD ，根据SAS 可证△ACD ≌△BCP ，得出AD ＝BP ，∠ADC ＝∠BPC ＝120°，然后延长PM 至N ，使MN ＝MP ，连接CN ，易证△CMN ≌△BMP （SAS ），可得CN ＝BP ＝AD ，∠NCM ＝∠PBM ，最后再根据SAS 证明△ADP ≌△NCP ，即可证得结论．【详解】（1）证明：因为△ABC 为等边三角形，所以60A ACB ∠=∠=︒∵AC BC A ACB AE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AEC CDB SAS ≌ ，∴AEC CDB ∠=∠， 在四边形AEPD 中，∵360AEC EPD PDA A ∠+∠+∠+∠=︒，∴18060360AEC EPD CDB ∠+∠+︒-∠+︒=︒，∴120EPD ∠=︒，∴120BPC ∠=︒；（2）①如图2，∵△ABC 是等边三角形，点M 是边BC 的中点，∴∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°，AM ⊥BC ，∠CAP ＝12∠BAC ＝30°，∴PB ＝PC ， ∵∠BPC ＝120°，∴∠PBC ＝∠PCB ＝30°，∴PC ＝2PM ，∠ACP ＝60°﹣30°＝30°＝∠CAP ，∴AP ＝PC ，∴AP ＝2PM ；故答案为：2AP PM =；②AP＝2PM成立，理由如下：延长BP至D，使PD＝PC，连接AD、CD，如图4所示：则∠CPD＝180°﹣∠BPC＝60°，∴△PCD是等边三角形，∴CD＝PD＝PC，∠PDC＝∠PCD＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝60°＝∠PCD，∴∠BCP＝∠ACD，∴△ACD≌△BCP（SAS），∴AD＝BP，∠ADC＝∠BPC＝120°，∴∠ADP＝120°﹣60°＝60°，延长PM至N，使MN＝MP，连接CN，∵点M是边BC的中点，∴CM＝BM，∴△CMN≌△BMP（SAS），∴CN＝BP＝AD，∠NCM＝∠PBM，∴CN∥BP，∴∠NCP+∠BPC＝180°，∴∠NCP＝60°＝∠ADP，在△ADP和△NCP中，∵AD=NC，∠ADP=∠NCP，PD=PC，∴△ADP≌△NCP（SAS），∴AP＝PN＝2CM；【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．7．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且AD＝BD＝BC，求∠A的大小；（2）在图1中过点C作一条线段CE，使BD，CE是△ABC的三分线；在图2中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（3）在△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC 边上，且AD＝BD，DE＝CE，请直接写出∠C所有可能的值．【答案】（1）∠A＝36°；（2）如图所示：见解析；（3）如图所示：见解析；∠C为20°或40°的角．【解析】【分析】（1）利用等边对等角得到三对角相等，设∠A＝∠ABD＝x，表示出∠BDC与∠C，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出∠A的度数．（2）根据（1）的解题过程作出△ABC的三等分线；45°自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形；第二种情形以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底角被分为45°和22.5°，再以22.5°作为等腰三角形的底角，易得此时所得的三个三角形恰都为等腰三角形；（3）用量角器，直尺标准作30°角，而后确定一边为BA，一边为BC，根据题意可以先固定BA的长，而后可确定D点，再分别考虑AD为等腰三角形的腰或者底边，兼顾A、E、C 在同一直线上，易得2种三角形ABC；根据图形易得∠C的值；【详解】（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵BD＝BC＝AD，∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC，设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝2x，∠C＝180?-x2，可得2x＝180?-x2，解得：x＝36°，则∠A＝36°；（2）根据（1）的解题过程作出△ABC的三等分线，如图1；由45°自然想到等腰直角三角形，有两种情况，①如图2，过底角一顶点作对边的高，形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形；②如图3，以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底角被分为45°和22.5°，再以22.5°作为等腰三角形的底角，易得此时所得的三个三角形恰都为等腰三角形；（3）如图4所示：①当AD＝AE时，∵2x+x＝30°+30°，∴x＝20°；②当AD＝DE时，∵30°+30°+2x+x＝180°，∴x＝40°；综上所述，∠C为20°或40°的角．【点睛】本题主要考查了三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．8．如图，在等边三角形ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接AD，BD，其中BD交直线AP于点E．（1）依题意补全图形；（2）若∠PAC＝20°，求∠AEB的度数；（3）连结CE，写出AE，BE，CE之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）补图见解析；（2）60°；（3）CE ＋AE ＝BE ．【解析】【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）根据轴对称的性质可得AC ＝AD ，∠PAC ＝∠PAD=20°，根据等边三角形的性质可得AC ＝AB ，∠BAC ＝60°，即可得AB ＝AD ，在△ABD 中，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠D 的度数，再由三角形外角的性质即可求得∠AEB 的度数；（3）CE ＋AE ＝BE ，如图，在BE 上取点M 使ME ＝AE ，连接AM ，设∠EAC ＝∠DAE ＝x ，类比（2）的方法求得∠AEB ＝60°，从而得到△AME 为等边三角形，根据等边三角形的性质和SAS 即可判定△AEC ≌△AMB ，根据全等三角形的性质可得CE ＝BM ，由此即可证得CE ＋AE ＝BE ．【详解】(1)如图：（2）在等边△ABC 中，AC ＝AB ，∠BAC ＝60°由对称可知：AC ＝AD ，∠PAC ＝∠PAD ，∴AB ＝AD∴∠ABD ＝∠D∵∠PAC ＝20°∴∠PAD ＝20°∴∠BAD ＝∠BAC+∠PAC +∠PAD =100°()1180402D BAD ︒︒∴∠=-∠=. ∴∠AEB ＝∠D +∠PAD ＝60°（3）CE ＋AE ＝BE ． 在BE 上取点M 使ME ＝AE ，连接AM ，在等边△ABC中，AC＝AB，∠BAC＝60°由对称可知：AC＝AD，∠EAC＝∠EAD，设∠EAC＝∠DAE＝x．∵AD＝AC＝AB，∴()11802602D BAC x x︒︒∠=-∠-=-∴∠AEB＝60－x＋x＝60°．∴△AME为等边三角形．∴AM=AE，∠MAE=60°，∴∠BAC=∠MAE=60°，即可得∠BAM=∠CAE.在△AMB和△AEC中，AB ACBAM CAEAM AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AMB≌△AEC.∴CE＝BM.∴CE＋AE＝BE．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了轴对称的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，解决第三问时，通过做辅助线，把AE转化到BE 上，再证明CE＝BM即可得结论．9．在等边ABC∆中，点O在BC边上，点D在AC的延长线上且OA OD=.（1）如图1，若点O 为BC 中点，求COD ∠的度数；（2）如图2，若点O 为BC 上任意一点，求证AD AB BO =+.（3）如图3，若点O 为BC 上任意一点，点D 关于直线BC 的对称点为点P ，连接,AP OP ，请判断AOP ∆的形状，并说明理由.【答案】（1）30；（2）见解析；（3）AOP ∆是等边三角形，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据三角形的等边三角形的性质可求1302CAO BAC ∠=∠=︒且,90AO BC AOC ⊥∠=︒，根据OA OD =，等腰三角形的性质得到D ∠的度数，再通过内角和定理求AOD ∠，即可求出COD ∠的度数.（2）过O 作//OE AB ，OE 交AD 于E 先证明COE ∆为等边三角形，再根据等边三角形的性质求120AEO ∠=︒，120DCO ∠=︒，再证明()AOE DOC AAS ∆≅∆，得到CD EA =，再通过证明得到EA BO =、AB AC =通过，又因为AD AC CD =+，通过等量代换即可得到答案.（3）通过作辅助线先证明()ODF OPF SAS ∆≅∆，得到OP OD =，又因为OA OD =，得到AO=OP ，证得AOP ∆为等腰三角形，如解析辅助线，由（2）可知得AOE DOC ∆≅∆得到AOE DOC ∠=∠,通过角的关系得到60AOP COE ∠=∠=°，即可证得AOP ∆是等边三角形.【详解】（1）∵ABC ∆为等边三角形∴60BAC ∠=︒∵O 为BC 中点 ∴1302CAO BAC ∠=∠=︒ 且,90AO BC AOC ⊥∠=︒∵OA OD =∴AOD ∆中，30D CAO ∠=∠=︒∴180120AOD D CAO ∠=︒-∠-∠=︒∴30COD AOD AOC ∠=∠-∠=︒（2）过O 作//OE AB ，OE 交AD 于E∵//OE AB∴60EOC ABC ∠=∠=︒60CEO CAB ∠=∠=︒∴COE ∆为等边三角形∴OE OC CE ==180120AEO CEO ∠=︒-∠=︒180120DCO ACB ∠=︒-∠=︒又∵OA OD =∴EAO CDO ∠=∠在AOE ∆和COD ∆中AOE DOC EAO CDO OA OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AOE DOC AAS ∆≅∆∴CD EA =∵EA AC CE =-BO BC CO =-∴EA BO =∴BO CD =，∵AB AC =，AD AC CD =+∴AD AB BO =+（3）AOP ∆为等边三角形证明过程如下：连接,PC PD ，延长OC 交PD 于F∵P D 、关于OC 对称∴,90PF DF PFO DFO =∠=∠=︒在ODF ∆与OPF ∆中，PF DF PFO DFO OF OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ODF OPF SAS ∆≅∆∴OP OD =,POC DOC ∠=∠∵OA OD =∴AO=OP∴AOP ∆为等腰三角形过O 作//OE AB ，OE 交AD 于E由（2）得AOE DOC ∆≅∆∴AOE DOC ∠=∠又∵POC DOC ∠=∠∴AOE POF ∠=∠∴AOE POE POF POE ∠+∠=∠+∠即AOP COE ∠=∠∵AB ∥OE ，∠B=60°∴60COE B ∠=∠=︒∴60AOP COE ∠=∠=°∴AOP ∆是等边三角形.【点睛】本题是考查了全等三角形和等边三角形的综合性问题，灵活应用全等三角形的性质得到边与角的关系，以及等边三角形的性质是解答此题的关键.10．如图，在 ABC 中，已知 AB AC =，AD 是 BC 边上的中线，点 E 是 AB 边上一动点，点 P 是 AD 上的一个动点．（1）若 37BAD ∠=，求 ACB ∠ 的度数；（2）若 6BC =，4AD =，5AB =，且 CE AB ⊥ 时，求 CE 的长；（3）在（2）的条件下，请直接写出 BP EP + 的最小值．【答案】（1）53ACB ∠=．（2）245CE =．（3） 245. 【解析】【分析】（1）由已知得出三角形ABC 是等腰三角形，ACB ABC ∠∠=,AD 是BC 边的中线，有AD BC ⊥，求出ABC ∠的度数，即可得出ACB ∠的度数.（2）根据三角形ABC 的面积可得出CE 的长（3）连接CP ，有BP=CP ，BP+EP=EP+CP ，当点E ，P ，C 在同一条直线上时BP+EP 有最小值，即CE 的长度.【详解】解：（1） AB AC =，ACB ABC ∴∠=∠，AD 是 BC 边上的中线， 90ADB ∴∠=，37BAD ∠=，903753ABC ∴∠=-=，53ACB ∴∠=．（2） CE AB ⊥，1122ABC S BC AD AB CE ∴=⋅=⋅， 6BC =，4=AD ，5AB =，245CE ∴=． （3） 245【点睛】 本题考查的知识点主要有等腰三角形的“三线合一”，三角形的面积公式等，充分利用等腰三角形的“三线合一”是解题的关键.。

苏科版八年级上册数学第二章轴对称图形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、下列是轴对称的图形的是（）A. B.C. D.2、如图，将边长为2的等边△OAB放置于平面直角坐标系xOy中，C是AB边上的一个点（不与端点A、B重合），作CD⊥OB于点D，若点C、D都在双曲线y= 上（k＞0，x＞0），则k的值为（）A. B. C. D.3、等腰三角形的两边长分别为，，则该三角形的周长为（）A. B. C. 或 D.以上都不对4、如果等腰三角形的底角为50°，那么它的顶角为（）A.50°B.60°C.70°D.80°5、若△ABC的三边长是a，b，c，且满足（a-b）（a-c）=0，则△ABC是（）A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形6、如图，已知矩形ABCD中，BC＝2AB，点E在BC边上，连接DE、AE，若EA 平分∠BED，则的值为（）A. B. C. D.7、在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°，则下列条件中不能判定△ABC和△DEF 全等的是（）A.AB=DE，AC=DFB.AC=EF，BC=DFC.AB=DE，BC=EFD.∠C=∠F，BC=EF8、有下列说法：其中正确的个数是（）(1)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；(2)三角之比为3：4：5的三角形为直角三角形；(3)等腰三角形的两条边长为2，4，则等腰三角形的周长为10；(4)一边上的中线等于这边长的一半的三角形是直角三角形；A.2个B.3个C.4个D.1个[9、如图，把一长方形纸片沿折盈后，点、分别落在、的位置，若，则等于（）A.65ºB.62ºC.56ºD.64º10、下列说法中：①线段是轴对称图形，②已知两腰就能确定等腰三角形的形状和大小，③等腰三角形的角平分线就是底边的垂直平分线，正确的有( )A.0个B.1个C.2个D.3个11、下列说法正确的是（）A.等腰三角形的两条高相等B.等腰三角形的两条角平分线相等C.等腰三角形的两条中线相等D.等腰三角形两腰上的中线相等12、如图，将等腰三角板向右翻滚，依次得到b、c、d，下列说法中，不正确的是（）A.a到b时旋转B.a到c是平移C.a到d是平移D.b到c是旋转13、下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.14、如图，在中，E为边上一点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，则的大小为（）A. B. C. D.15、如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（）A.13B.16C.8D.10二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=2，边AB的垂直平分线交AC边于点D，交AB边于点E，联结DB，那么tan∠DBC的值是________．17、如图，在中，，D是AB的中点，若，则的度数为________。