人教版八年级数学上册轴对称 重难点突破训练

人教版2024—2025学年八年级上册第十三章轴对称提升训练：轴对称及轴对称变换练习【考点·方法·破译】1．轴对称性质轴对称的两个图形有如下性质：①关于某直线对称的两个图形是全等形；②对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.2．线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 【典型例题解析】类型一. 轴对称图形的识别与运用例1如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（）【变式练习】1.如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点，把∠AOB 三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开平铺后得到的平面图形一定是（）A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形2.下列图形中，不是轴对称图形的是（）A． B．C．D．3.在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所组成的团，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有______种．类型二. 线段垂直平分线的性质与判定例2在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D和点E,（1）当BC=10时，△ADE的周长为_________；（2）当∠BAC=80°时，∠DAE=________。

【变式练习】4.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，腰AB的垂直平分线交底BC于点D，垂足为点E．（1）求∠BAD的度数；（2）若DB＝2cm，求CB的长．5.如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，直线DM、EN交于点O．（1）试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由；（2）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数．6.如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，DM，EN分别垂直平分AB，AC，交线段BC于M，N，DM，EN的延长线交于点F，设O为BC中点，连接OF．（1）求∠MAN的度数；（2）证明：OF⊥BC；（3）连接OA，若△AMN的周长为12，求OA的最小值．7.如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．（1）若BC＝10，求△ADE的周长．（2）若∠BAC＝115°，求∠DAE的度数．（3）设直线DM、EN交于点O，试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由．类型三. 利用轴对称寻找最短路径问题例3如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1,4）和 (3,0),点C是y 轴上一动点，且A，B，C三点不在同一直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（）A.(0，0）B.（0,1）C.（0,2）D.（0,3）【变式练习】8.如图，钝角三角形ABC的面积为15，最长边AB=10，BD平分∠ABC，点M、N 分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为．9.如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°10.如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5 cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5 cm，求∠AOB.11.如图，在10×10的正方形网格中，有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．在直线l上找一点Q，使得△QBC的周长最小．12.如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC，交AC于点D，点M、N分别为BD、BC上的动点，若BC＝10，△ABC的面积为40，则CM+MN的最小值为．13.如图，∠AOB＝20°，M，N分别为OA，OB上的点，OM＝ON＝3，P，Q分别为OA，OB上的动点，则MQ+PQ+PN的最小值为．类型四.运用轴对称知识解决折叠问题例4如图，将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°），沿线段CD折叠，使点B 落在B1处，若∠ACB1＝70°，则∠ACD＝（）A．30°B．20°C．15°D．10°【变式练习】14．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点D’、C’的位置.若∠EFB＝65°，则∠AED’等于（）A．70°B．65°C．50°D．25°15．如图，△ABC中，∠A＝30°，以BE为边，将此三角形对折，其次，又以BA 为边，再一次对折，C点落在BE上，此时∠CDB＝82°，则原三角形中∠B ＝___________.课后练习1.如图，△ABC中，∠BAC＝115°，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，连接AE、AF，则∠EAF的度数是（）A．40°B．50°C．55°D．60°2.如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，连接AE，若BC＝3.8，AC＝2.4，则△ACE的周长为（）A．6.2 B．5.2C．7.2 D．4.23.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（2，3），PA⊥x轴，PB⊥y轴，C是OA的中点，D是OB上的一点，当△PCD的周长最小时，点D的坐标是（）A．（0，1）B．C．D．（0，2）4.如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若△PMN的周长是6cm，则P1P2的长为（）A．6cm B．5cmC．4cm D．3cm5.如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝105°，在BC，CD上分别找一点M、N，使得△AMN周长最小，则∠AMN+∠ANM的度数为（）A．100°B．105°C．120°D．150°。

2022—2023学年八年级数学上册必考重难点突破必刷卷（人教版）【单元测试】第十三章 轴对称（综合能力拔高卷）（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．日常生活中，我们会看到很多标志，在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】根据轴对称图形的概念进行求解．【详解】解：A 、是轴对称图形，本选项符合题意；B 、不是轴对称图形，本选项不符合题意；C 、不是轴对称图形，本选项不符合题意；D 、不是轴对称图形，本选项不符合题意．故选：A ．【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．如图，等腰ABC V 的底边BC 长为4cm ，面积为216cm ，腰AC 的垂直平分线EF 交AC 于点E ，交AB 于点F ，D 为BC 的中点，M 为直线EF 上的动点．则CDM V 周长的最小值为（ ）A ．6cmB ．8cmC ．9cmD ．10cm【答案】D 【分析】连接AD ，AM ，由于△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，故AD ⊥BC ，再根据三角形的面积公式求出AD 的长，再根据EF 是线段AC 的垂直平分线可知，点A 关于A．三边相等的三角形是等边三角形B．三个角相等的三角形是等边三角形C．有一个角是60︒的三角形是等边三角形D．顶角为60︒的等腰三角形是等边三角形【答案】C【分析】根据等边三角形的判定方法进行判断即可．【详解】解：A．三边相等的三角形是等边三角形，故A正确，不符合题意；B．三个角都相等的三角形是等边三角形，故B正确，不符合题意；C．有一个角是60︒的三角形，其他两个角度数不能确定，这样的三角形不一定是等边三角形，故C错误，符合题意；D．顶角为60︒的等腰三角形，即三个角都是60︒的三角形是等边三角形，故D正确，不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定方法，三条边都相等的三角形为等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形．4．如图，若△ABC 与'''A B C V 关于直线MN 对称，BB '交MN 于点O ，则下列说法不一定正确的是（ ）A ．AC ＝''ACB ．'BO B O ＝C ．'AB B C ＝D ．'AA MN 【答案】C【分析】根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：∵△ABC 与'''A B C V 关于直线MN 对称，∴AC =''AC ，'AA ⊥MN ，'BO B O ＝，故A 、B 、D 选项正确，'AB B C ＝不一定成立，故C 选项错误，所以，不一定正确的是C ．故选：C ．【点睛】本题考查轴对称的性质与运用，解决本题的关键是熟练掌握对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．5．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，ED 垂直平分AB ，若AC ＝12，EC ＝5，且△ACE 的周长为30，则BE 的长为（ ）A ．5B ．10C ．12D ．13【答案】D 【分析】根据垂直平分线的性质可得BE ＝AE ，根据已知条件求得AE ，即可求解．【详解】解：∵ED 垂直平分AB ，∴BE ＝AE ，∵AC ＝12，EC ＝5，且△ACE 的周长为30，∴12+5+AE ＝30，∴AE ＝13，∴BE ＝AE ＝13，故选：D ．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线是解题的关键．6．如图，等边ABC ∆和等边CDE ∆中，B 、C 、D 共线，且3BC CD =，连接AD 和BE 相交于点F ，则下列结论中：①AD BE =；②60AFB ∠=︒；③连接FC ，则FC 平分BFD ∠；④3BF DF =．正确的有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【分析】根据等边三角形的性质可证明△ACD ≌△BCE （SAS ）可判断①选项；根据全等三角形的性质得∠CAD =∠CBE ，再利用三角形外角的性质即可判断②选项；过点C 作CG ⊥AD 于点G ，CH ⊥BE 于点H ，过点F 作FM ⊥BD 于点M ，根据全等三角形的性质可得CH =CG ，即可判断③选项；由BC =3CD ，得3BCF DCF S S ∆∆=，结合③可判断④选项．【详解】在等边ABC ∆和等边CDE ∆中，CA CB =，60ACB ∠=︒，CD CE =，60DCE ∠=︒，B 、C 、D 共线，ACD BCE ∠∠∴=，在ACD ∆与BCE ∆中，CA CB ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ΔΔACD BCE SAS ∴≅，AD BE ∴=，故①选项符合题意；ACD BCE ∆≅∆ ，CAD CBE ∴∠=∠，AFB ∠Q 是FBD ∆的外角，60AFB FBD FDB CAD ADC ACB ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，故②选项符合题意；过点C 作CG AD ⊥于点G ，CH BE ⊥于点H ，过点F 作FM BD ⊥于点M ，如图所示：ACD BCE ∆≅∆ ，BE AD =，ACD BCE S S ∆∆∴=，即1122AD CG BE CH ⋅=⋅，CG CH ∴=，7．如图，在△ABC 中，分别以点A 和B 为圆心，大于12AB 和长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，若△ABC 的周长为17，AB ＝7，则△ADC 的周长是（ ）A．7B．10C．15D．17【答案】B【分析】先根据题意得出MN是线段AB的垂直平分线，故可得出AD＝BD，据此可得出结论．【详解】解：∵根据题意得出MN是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴AD+CD＝BC．∵△ABC的周长为17，AB＝7，∴△ADC的周长＝AC+CD+AD=AC+BC＝△ABC的周长﹣AB＝17﹣7＝10．故选：B．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，尺规作图-作线段垂直平分线，熟练掌握用尺规作线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质是解题的关键．8．如图，在△ABC中，点D是边AB、AC的垂直平分线的交点，已知∠A＝80°，则∠BDC＝（ ）A．80°B．100°C．150°D．160°【答案】D【分析】根据线段垂直平分线上的性质证明DA＝DB＝DC，结合等边对等角的性质证明∠DBA+∠DCA＝∠BAC，再利用三角形的内角和定理解答即可．【详解】解：如图，连接AD，∵点D 为边AB ，AC 的垂直平分线的交点，∴DA ＝DB ＝DC ，∴∠DAB ＝∠DBA ，∠DAC ＝∠DCA ，∴∠DBA +∠DCA ＝∠BAC ，在△ABC 中，∠DBC +∠DCB ＝180°﹣（∠DAB +∠DBA +∠DAC +∠DCA ）＝180°﹣2∠BAC ，在△DBC 中，∠BDC ＝180°﹣（∠DBC +∠DCB ）＝180°﹣（180°﹣2∠BAC ）＝2∠BAC ，即∠BDC ＝2∠BAC ＝160°．故选D【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，熟记性质是解题的关键．9．如图，点A 的坐标为()2,2，若点P 在坐标轴上，且APO △为等腰三角形，则满足条件的点P 有（ ）A ．4个B ．6个C ．7个D ．8个【答案】D【分析】分别分析当OA =OP ，OA =PA ，OP =PA 时的情况即可．【详解】解：当OA =OP 时，如图：以点O 为圆心，OA 长为半径画弧，与坐标轴交于4个点，当OA=PA时，以点A为圆心，OA长为半径画弧，与坐标轴交于2个点，当OA=PA时，作OA的垂直平分线，交坐标轴于2点，综上：满足条件的点P一共有8个．故选：D【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形两腰相等的性质是，根据题意进行分类讨论是解题的关键．10．如图，在平面直角坐标系中，△ABC关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称，点C的坐标为（4，1），则点B的坐标为（ ）A．（﹣2，1）B．（﹣3，1）C．（﹣2，﹣1）D．（2，1）11．如图的三角形纸片中，AB＝c、BC＝a、AC＝b、沿过点A的直线折叠这个三角形，使点C落在AB上的点E处，折痕为AD，则△BDE的周长为_____（用含a、b、c的式子表示）【答案】a-b+c【分析】根据翻折变换的性质得到DC=DE，AC＝AE＝b，根据已知求出AE的长，根据三角形周长公式计算即可．【详解】解：由折叠的性质可知，DC＝DE，AC＝AE＝b，∵AB＝c，∴BE ＝AB ﹣AE ＝c ﹣b ，△BED 的周长为：BD +DE +BE ＝BC +BE ＝a ﹣b +c ，故答案为：a -b +c ．【点睛】题考查的是折叠变换的知识，掌握折叠变换的性质、找准对应关系是解题的关键．12．如图，在等边ABC V 中，BD 是ABC ∠的平分线，点E 是BC 的中点，点P 是BD 上的一个动点，连接PE ，PC ，当PE PC +的值最小时，EPC ∠的度数为__________．【答案】60°##60度【分析】由题意可知点A 、点C 关于BD 对称，连接AE 交BD 于点P ，由对称的性质可得，PA ＝PC ，由两点之间线段最短可知，AE 即为PE +PC 的最小值，然后根据等边三角形的性质求出∠EPB ＝60°，再通过△BPE ≌△CPE 得出∠EPC ＝∠EPB ＝60°．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，BD 是∠ABC 的平分线，∴点D 为AC 的中点，BD ⊥AC ，∴点A 、点C 关于BD 对称，如图，连接AE ，交BD 于P ，线段AE 的长即为PE +PC 最小值，∵点E 是边BC 的中点，∴AE ⊥BC ，∵∠ABC ＝60°，BD 是∠ABC 的平分线，∴∠PBE ＝30°，∴∠BPE ＝60°，∵在△BPE 和△CPE 中，90PE PE PEB PEC BE CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△BPE ≌△CPE （SAS ），∴∠EPC ＝∠BPE ＝60°．故答案为：60°．【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键．13．如图，在ABC V 中，AB AC =，AB 边的垂直平分线DE 交AC 于点.D 已知BDC V 的周长为14，6BC =，则AB =______ ．【答案】8【分析】根据线段垂直平分线性质得出AD BD =，求出BDC V 的周长为AC BC +，代入求出即可．【详解】解：AB Q 边的垂直平分线DE ，AD BD ∴=，BDC V 的周长为14，6BC =，14BC BD DC ∴++=，6614AD DC AC ∴++=+=，8AC ∴=，8AB AC ∴==，故答案为：8．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．14．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（0，1），点B 的坐标为（3，1），C 的坐标为（4，3），如果存在点D ，要使△ABD 与△ABC 全等，那么点D 的坐标是_______．【答案】（4，﹣1）或（﹣1，3）或（﹣1，﹣1）【分析】由条件可以知道要使△ABD与△ABC全等，则点C与点D关于直线AB对称，根据点C的坐标就可以求出D的坐标，再根据点C与点D关于AB的中垂线，中点对称，求出坐标即可．【详解】解：∵点A的坐标为(0,1)，点B的坐标为(3,1)，∴AB是平行于x轴，y＝1的直线．∵△ABD与△ABC全等，∴∠ABD＝∠ABC，点D与点C关于直线AB对称．∵C(4,3)，∴D(4,-1)．当点D与点C关于AB的中垂线对称时，D(-1,3)；当点D与点C关于AB的中点成中心对称时，D(-1,-1)．故案为：(4,-1)，(-1,3)，(-1,-1)．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，坐标与图形的性质的运用，轴对称的性质的运用．注意：多种情况讨论．15．如图，在34 的正方形网格中已有2个正方形涂黑，再选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，选择的位置共有______处．【答案】7【分析】根据轴对称图形的定义，在方格中进行选择合适的位置即可．【详解】解：选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，选择的位置有①下1；②下2；③中3；④中4；⑤上5；⑥上6；⑦上7．如图：选择的位置共有7处．故答案为：7．【点睛】本题主要考查的是轴对称图形的定义，找出轴对称图形的对称轴，理解轴对称图形的定义是解题的关键．16．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的是______．①线段AD 是△ABC 的角平分线； ②∠ADC =60°；③点D 在AB 的中垂线上； ④12DAC ABD S S =V V ：：．形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD∠=___________度．与AM重合，折痕为AF，则EAF1，使得1MC MB ＝，得到第一个三角形1ABC ；在射线1MC 上取一点2C ，使得121C C BC ＝；得到第二个三角形2ABC △；在射线1MC 上取一点C 3，使得，得到第三个三角形…依次这样作下去，则第2022个三角形中的度数为_____．，，∴，，即，232C C BC ＝3ABC △2022ABC △2022AC B ∠12111211C C BC AC ＝＝1145ABC BAC ∠=∠=︒190AC B ∠=︒【点睛】本题考查图形类规律探究，涉及线段的垂直平分线，等腰三角形、三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定和性质，得出角之间的变化规律是正确解答的前提．三、解答题（本大题共6小题，共46分；第19-20小题每小题6分，第21-22小题每小题7分，第23小题8分，第24小题10分）19．如图，已知△ABC，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF 交AD于点G.(1)求证：AD垂直平分EF；(2)若AB＋AC＝10，DE＝3，求△ABC的面积.重合；当伞慢慢撑开时，动点P 由A 向B 移动；当点P 到过点B 时，伞张得最开．已知伞在撑开的过程中，总有PM ＝PN ＝CM ＝CN ＝6.0分米，CE ＝CF ＝18.0分米，BC ＝2.0分米．(1)求AP 长的取值范围；(2)当∠CPN ＝60°时，求AP 的值．【答案】(1)0≤AP ≤10；(2)6分米【分析】（1）根据题意，得AC =CN +PN ，进一步求得AB 的长，即可求得AP 的取值范围；（2）由等边三角形的判定和性质得出∆CPN 为等边三角形，CP =CN =PN =6分米，再结合图形求解即可．【详解】（1）解：∵BC =2分米，AC =CN +PN =12分米，∴AB =AC ﹣BC =10分米．∴AP 的取值范围是：0≤AP ≤10；（2）根据题意得CN =PN ，∠CPN ＝60°，∴∆CPN 为等边三角形，∴CP =CN =PN =6分米，∵AC =CN +PN =12分米，∴AP =AC -CP =6分米．【点睛】题目主要考查线段间的数量关系，等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题关键．21．已知如图，在平面直角坐标系xOy 中，其中A （1，2），B （3，1），C （4，3），试解答下列各题：ABC V(1)作出△ABC 关于y 轴对称的：(2)写出三个顶点的坐标：（________）﹔（________）﹔（________）﹔(3)=________．【答案】(1)图见详解(2)，2；，1；，3；(3)6【分析】（1）先得出点A 、B 、C 分别关于y 轴对称的点，然后顺次连接即可；（2）由（1）图可进行求解；（3）由图可直接进行求解．【详解】（1）解：如图示：（2）解：由（1）图可得：；；；故答案为，2；，1；，3；（3）解：由（1）图可得：；故答案为6．【点睛】本题主要考查点的坐标关于坐标轴对称，熟练掌握点的坐标关于坐标轴对称的求解是解题的关键．22．如图，△ABC 与△ADE 关于直线MN 对称，BC 与DE 的交点F 在直线MN 上．若ED ＝4cm ，FC ＝1cm ，∠BAC ＝76°，∠EAC ＝58°．A B C '''V A B C '''V A 'B 'C 'BB '1-3-4-(1,2)A '-(3,1)B '-(4,3)C '-1-3-4-6BB '=(1)求出BF的长度；(2)求∠CAD的度数；(3)连接EC，线段EC与直线MN有什么关系？【答案】(1)BF＝3cm(2)∠CAD＝18°(3)直线MN垂直平分线段EC【分析】（1）先根据轴对称的性质得出BC＝ED＝4cm，再根据FC＝1cm，求出BF的长度即可；（2）根据轴对称的性质得出∠EAD＝∠BAC＝76°，再根据∠EAC＝58°求出结果即可；（3）直接根据轴对称的性质即可得出答案．【详解】（1）解：∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，ED＝4cm，FC＝1cm，∴BC＝ED＝4cm，∴BF＝BC﹣FC＝3cm．（2）解：∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°，∴∠EAD＝∠BAC＝76°，∴∠CAD＝∠EAD﹣∠EAC＝76°﹣58°＝18°．（3）解：直线MN垂直平分线段EC．理由如下：如图，∵E，C关于直线MN对称，∴直线MN垂直平分线段EC．【点睛】本题主要考查轴对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23．新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．(1)如图1，△ABC 和△ADE 互为“兄弟三角形”，点A 为重合的顶角顶点．求证：BD ＝CE ．(2)如图2，△ABC 和△ADE 互为“兄弟三角形”，点A 为重合的顶角顶点，点D 、E 均在△ABC 外，求证：∠ABD ＝∠ACE ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据“兄弟三角形”的定义得到∠BAC =∠DAE ，AB ＝AC ，AD ＝AE ，从而得到∠CAE ＝∠BAD ，利用SAS 证明△BAD ≌△CAE ，根据全等三角形的性质即可得解；（2）根据“兄弟三角形”的定义得到∠BAC =∠DAE ，AB ＝AC ，AD ＝AE ，从而得到∠CAE ＝∠BAD ，利用SAS 证明△BAD ≌△CAE ，根据全等三角形的性质即可得解；【详解】（1）证明：∵△ABC 和△ADE 互为“兄弟三角形”，∴∠BAC ＝∠DAE ，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴∠BAC －∠DAC ＝∠DAE －∠DAC ，即∠CAE ＝∠BAD ，在△BAD 和△CAE 中，∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴BD ＝CE ；（2）证明：∵△ABC 和△ADE 互为“兄弟三角形”，∴∠BAC ＝∠DAE ，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴∠BAC ＋∠DAC ＝∠DAE ＋∠DAC ，即∠CAE ＝∠BAD ，在△BAD 和△CAE 中，∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴∠ABD ＝∠ACE ．AB AC BAD CAEAD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝AB AC BAD CAEAD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝【点睛】本题考查的是“兄弟三角形”的定义、全等三角形的判定和性质，正确理解“兄弟三角形”的定义及熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．24．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，如图点、、、、、均为格点请用无刻度的直尺完成下列作图（画图过程用虚线，结果用实线）(1)如图，过点作直线的平行线；(2)如图，点为线段上一动点，连接、，作出当最小时，点位置；(3)如图，在线段上找一点不与点重合，使得．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）取格点D ，作直线CD 即可；（2）作点C 关于AB 的对称点C ′，连接DC ′交AB 于点M ，连接CM ，点M 即为所求；（3）取格点J ，M ，N ，连接EJ 交AB 于点K ，连接MN 交AB 于点P ，点P 即为所求．【详解】（1）如图中，直线即为所求；（2）如图中，点即为所求；55⨯A B C D E F 1C AB 2M AB MD MC MD MC +M 3AB (P A )PE PF ⊥1CD 2M（3）如图中，点即为所求．【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．3P。

人教版 八年级数学13.1 轴对称 突破训练一、选择题1. 方程2x ＋1x －1＝3的解是( )A. －45B. 45 C. －4 D. 42. 小明用15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本(两人的钱恰好用完)，已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本.设软面笔记本每本售价为x 元，根据题意可列出的方程为 ( ) A .= B .= C .= D .=3. 如图，已知直线MN 是线段AB 的垂直平分线，垂足为N ，AM=5 cm ，△MAB的周长为16 cm ，那么AN 的长为( )A .3 cmB .4 cmC .5 cmD .6 cm4. 分式方程x －5x －1＋2x＝1的解为( ) A ．x ＝－1 B ．x ＝1 C ．x ＝2D ．x ＝－25. 若方程m x ＋2mx －1＝6的解是x ＝2，则m 的值为( )A ．2B ．－2C ．2.4D ．－2.46. 如图，DE 是△ABC 中AB 边的垂直平分线，若BC ＝6，AC ＝8，则△BCE 的周长为( )A．10 B．12 C．14 D．167. 如图，△ABC和△AB′C′关于直线l对称，下列结论中，错误的是()A．△ABC≌△AB′C′B．∠BAC′＝∠B′ACC．l垂直平分点C，C′的连线D．直线BC和B′C′的交点不在直线l上8. 对于△ABC，嘉淇用尺规进行如下操作：如图，(1)分别以点B和点C为圆心，BA，CA为半径作弧，两弧相交于点D；(2)作直线AD交BC边于点E.根据嘉淇的操作方法，可知线段AE是()A．△ABC的高线B．△ABC的中线C．边BC的垂直平分线D．△ABC的角平分线9. 图中序号(1)(2)(3)(4)对应的四个三角形都是由△ABC进行了一次变换之后得到的，其中是通过轴对称变换得到的是()A .(1)B .(2)C .(3)D .(4)10. 通过如下尺规作图，能确定点D 是BC 边中点的是A ．B ．C ．D ．二、填空题11. 如图K －16－10，四边形ABCD 是轴对称图形，BD 所在的直线是它的对称轴，AB ＝5 cm ，CD ＝3.5 cm ，则四边形ABCD 的周长为________ cm.12. 如图，两车从南北方向的路段AB 的A 端出发，分别向东、向西行进相同的距离，到达C ，D 两地，此时可以判断C ，D 到B 的距离相等，用到的数学道理是________．13. 如图所示图案是几种车的标志，在这几个图案中，轴对称图形有________个，其中只有一条对称轴的轴对称图形有________个，对称轴最多的轴对称图形有________条对称轴．14. 当a ＝________时，关于x 的方程x ＋1x －2＝2a －3a ＋5的解为x ＝0.15. 如图，点P 在∠AOB 内，M ，N 分别是点P 关于OA ，OB 的对称点，连接MN 交OA 于点E ，交OB 于点F .若△PEF 的周长是20 cm ，则MN 的长是________cm.16. 当a ＝________时，关于x 的方程ax a －1－2x －1＝1的解与方程x －4x ＝3的解相同．三、解答题17. 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，BC 边的垂直平分线MN 经过点A .求证：点A 在线段CD 的垂直平分线上.18. 阅读材料，并完成下列问题:观察分析下列方程:①x+=3，②x+=5，③x+=7. 由①，得方程的解为x=1或x=2， 由②，得方程的解为x=2或x=3， 由③，得方程的解为x=3或x=4.(1)观察上述方程及其解，可猜想关于x 的方程x+=a+的解为 ; (2)请利用你猜想的结论，解关于x 的方程=a+.19. 某企业有九个生产车间，现在每个车间原有的成品一样多，每个车间每天生产的成品也一样多，有A ，B 两组检验员，其中A 组有8名检验员.他们先用两天将第一、二两个车间的成品检验完毕后，再去检验第三、四两个车间的所有成品，又用去了三天时间;同时，用这五天时间，B 组检验员也检验完余下的五个车间的成品.如果每名检验员的检验速度一样快，每个车间原有的成品为a 件，每个车间每天生产b 件成品.(1)用含a ，b 的式子表示B 组检验员检验的成品总数; (2)求B 组检验员的人数.20. 整体换元法阅读下列材料，回答问题：方程1x ＋1－1x ＝1x －2－1x －3的解为x ＝1；方程1x －1x －1＝1x －3－1x －4的解为x ＝2；方程1x －1－1x －2＝1x －4－1x －5的解为x ＝3；……(1)请你观察上述方程及其解的特征，写出能反映上述方程一般规律的方程，并写出这个方程的解；(2)根据(1)中所得的结论，写出一个解为x ＝－5的分式方程．人教版 八年级数学13.1 轴对称 突破训练-答案一、选择题1. 【答案】D 【解析】本题考查解分式方程，原方程两边同时乘以x －1，得2x ＋1＝3(x －1)，解得x ＝4，把x ＝4代入x －1＝3≠0，所以x ＝4是原分式方程的根．2. 【答案】A [解析]本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系是解题关键.直接利用“小明和小丽买到相同数量的笔记本”，得=，故选A.3. 【答案】A4. 【答案】A[解析] 方程两边同时乘x(x－1)，得x(x－5)＋2(x－1)＝x(x－1)．解得x＝－1.当x＝－1时，x(x－1)≠0，故x＝－1是原方程的解．5. 【答案】C6. 【答案】C[解析] ∵DE是△ABC中AB边的垂直平分线，∴AE＝BE.∵BC ＝6，AC＝8，∴△BCE的周长＝BC＋CE＋BE＝BC＋CE＋AE＝BC＋AC＝14.7. 【答案】D8. 【答案】A9. 【答案】A10. 【答案】A【解析】作线段BC的垂直平分线可得线段BC的中点．由此可知：选项A符合条件，故选A．二、填空题11. 【答案】1712. 【答案】线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等13. 【答案】32214. 【答案】±1[解析] 去分母，得x－a＝a(x＋1)．整理，得(a－1)x＝－2a.当a ＝1时，0·x ＝－2，该方程无解． 当a≠1时，x ＝－2a a －1.若x ＝－1，则原分式方程无解，此时－1＝－2aa －1，解得a ＝－1. 综上可知，当a ＝±1时原分式方程无解． 故答案为±1.15. 【答案】2016. 【答案】解：(1)方程两边同乘(9x －3)，得2(3x －1)＋3x ＝1.解得x ＝13.检验：当x ＝13时，9x －3＝0，所以x ＝13不是原方程的解．所以原分式方程无解． (2)方程两边同乘(x －1)(x ＋2)， 得x(x －1)＝2(x ＋2)＋(x －1)(x ＋2)． 解得x ＝－12.检验：当x ＝－12时，(x －1)(x ＋2)≠0.所以原分式方程的解为x ＝－12.(3)方程两边同乘x(x ＋1)(x －1)，得三、解答题17. 【答案】证明：连接AC.∵点A 在线段BC 的垂直平分线MN 上， ∴AB ＝AC.∵AB ＝AD ，∴AC ＝AD.∴点 A 在线段CD 的垂直平分线上．18. 【答案】解:(1)x=a 或x=(2)=a+， 则=a+， 即x+=a+， 变形为(x-1)+=(a-1)+， 所以x-1=a-1或x-1=，解得x=a 或x=.19. 【答案】解:(1)B 组检验员检验的成品总数为(5a+25b )件. (2)∵每名检验员的检验速度一样，∴=，解得a=4b.即每名检验员的速度为==b. B 组检验员的人数为==12.答:B 组检验员的人数为12人.20. 【答案】解：(1)分式方程中的四个分母都可看作是未知数与一个整数的差，这四个整数左边两个连续，右边两个连续，左右两边不连续，但只间隔一个整数，每个分式的分子都是1，方程的解正好是中间被省略的那个整数， 即1x －（n －2）－1x －（n －1）＝1x －（n ＋1）－1x －（n ＋2），方程的解是x ＝n(n 为整数)．(2)将n ＝－5代入上式，可得所求分式方程为 1x ＋7－1x ＋6＝1x ＋4－1x ＋3.。

【精选】人教版八年级上册数学 轴对称解答题章末训练（Word 版 含解析）一、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难）1．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，45C ∠=︒，8AB =，14BC =，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，//EF AD ，点P 与AD 在直线EF 的两侧，90EPF ∠=︒，PE PF =，射线EP 、FP 与边BC 分别相交于点M 、N ，设AE x =，MN y =．（1）求边AD 的长；（2）如图，当点P 在梯形ABCD 内部时，求关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）如果MN 的长为2，求梯形AEFD 的面积．【答案】（1）6；（2）y=－3x+10(1≤x ＜103)；（2）1769或32 【解析】【分析】（1）如下图，利用等腰直角三角形DHC 可得到HC 的长度，从而得出HB 的长，进而得出AD 的长；（2）如下图，利用等腰直角三角形的性质，可得PQ 、PR 的长，然后利用EB=PQ+PR 得去x 、y 的函数关系，最后根据图形特点得出取值范围；（3）存在2种情况，一种是点P 在梯形内，一种是在梯形外，分别根y 的值求出x 的值，然后根据梯形面积求解即可．【详解】（1）如下图，过点D 作BC 的垂线，交BC 于点H∵∠C=45°，DH ⊥BC∴△DHC 是等腰直角三角形∵四边形ABCD 是梯形，∠B=90°∴四边形ABHD 是矩形，∴DH=AB=8∴HC=8∴BH=BC －HC=6∴AD=6（2）如下图，过点P 作EF 的垂线，交EF 于点Q ，反向延长交BC 于点R ，DH 与EF 交于点G∵EF ∥AD,∴EF ∥BC∴∠EFP=∠C=45°∵EP ⊥PF∴△EPF 是等腰直角三角形同理,还可得△NPM 和△DGF 也是等腰直角三角形∵AE=x∴DG=x=GF,∴EF=AD+GF=6+x∵PQ ⊥EF,∴PQ=QE=QF ∴PQ=()162x + 同理，PR=12y ∵AB=8，∴EB=8－x∵EB=QR∴8－x=()11622x y ++ 化简得：y=－3x+10 ∵y ＞0，∴x ＜103当点N 与点B 重合时，x 可取得最小值则BC=NM+MC=NM+EF=－3x+10+614x +=，解得x=1∴1≤x ＜103（3）情况一：点P 在梯形ABCD 内，即（2）中的图形 ∵MN=2，即y=2，代入（2）中的关系式可得：x=83=AE∴188176662339ABCD S ⎛⎫=⨯++⨯= ⎪⎝⎭梯形 情况二：点P 在梯形ABCD 外，图形如下：与（2）相同，可得y=3x －10则当y=2时，x=4，即AE=4∴()16644322ABCD S =⨯++⨯=梯形 【点睛】本题考查了等腰直角三角形、矩形的性质，难点在于第（2）问中确定x 的取值范围，需要一定的空间想象能力．2．如图1，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90º，D 、E 分别在 BC 、AC 边上，连接 AD 、BE 相交于点 F ，且∠CAD ＝12∠ABE ．(1)求证：BF ＝AC ；(2)如图2，连接 CF ，若 EF ＝EC ，求∠CFD 的度数；(3)如图3，在⑵的条件下，若 AE ＝3，求 BF 的长.【答案】（1）答案见详解；（2）45°，（3）4.【解析】【分析】（1）设∠CAD=x ，则∠ABE=2x ，∠BAF=90°-x ，∠AFB=180°-2x-(90°-x)= 90°-x ，进而得到∠BAF =∠AFB ，即可得到结论；(2)由∠AEB=90°-2x ，进而得到∠EFC=（90°-2x ）÷2=45°-x ，由BF ＝AB ，可得：∠EFD=∠BFA=90°-x ，根据∠CFD=∠EFD-∠EFC ，即可求解；(3)设EF ＝EC =x ，则AC=AE+EC=3+x ，可得BE=BF+EF=3+x+x=3+2x ，根据勾股定理列出方程，即可求解.【详解】（1）设∠CAD=x ，∵∠CAD ＝12∠ABE ，∠BAC ＝90º， ∴∠ABE=2x ，∠BAF=90°-x ，∵∠ABE+∠BAF+∠AFB=180°，∴∠AFB=180°-2x-(90°-x)= 90°-x ，∴∠BAF =∠AFB ，∴BF ＝AB ；∵AB ＝AC ，∴BF ＝AC ； （2）由（1）可知：∠CAD=x ，∠ABE=2x ，∠BAC ＝90º，∴∠AEB=90°-2x ，∵EF ＝EC ，∴∠EFC=∠ECF ，∵∠EFC+∠ECF=∠AEB=90°-2x ，∴∠EFC=（90°-2x ）÷2=45°-x ，∵BF ＝AB ,∴∠BFA=∠BAF=(180°-∠ABE)÷2=(180°-2x)÷2=90°-x ，∴∠EFD=∠BFA=90°-x ，∴∠CFD=∠EFD-∠EFC=(90°-x ）-(45°-x)=45°；（3）由（2）可知：EF ＝EC ，∴设EF ＝EC =x ，则AC=AE+EC=3+x ，∴AB=BF=AC=3+x ，∴BE=BF+EF=3+x+x=3+2x ，∵∠BAC ＝90º，∴222AB AE BE +=，∴222(3)3(32)x x ++=+，解得：11x =，23x =-（不合题意，舍去）∴BF=3+x=3+1=4.【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质定理和勾股定理，用代数式表示角度和边长，把几何问题转化为代数和方程问题，是解题的关键.3．如图1，在ABC 中，90BAC ∠=︒，点D 为AC 边上一点，连接BD ，点E 为BD 上一点，连接CE ，CED ABD ∠=∠，过点A 作AG CE ⊥，垂足为G ，交ED 于点F ．(1)求证：2FAD ABD ∠=∠；(2)如图2，若AC CE =，点D 为AC 的中点，求证：AB AC =；(3)在(2)的条件下，如图3，若3EF =，求线段DF 的长．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）6【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质可得90ADB ABD ∠=︒-∠，90EFG CED ∠=︒-∠，然后根据三角形的内角和和已知条件即可推出结论；（2）根据直角三角形的性质和已知条件可得AFD ADF ∠=∠，进而可得AF AD =，BFA CDE ∠=∠，然后即可根据AAS 证明ABF ∆≌CED ∆，可得AB CE =，进一步即可证得结论；（3）连接AE ，过点A 作AH AE ⊥交BD 延长线于点H ，连接CH ，如图4．先根据已知条件、三角形的内角和定理和三角形的外角性质推出45AED ∠=︒，进而可得AE AH =，然后即可根据SAS 证明△ABE ≌△ACH ，进一步即可推出90CHD ∠=︒，过点A 作AK ED ⊥于K ，易证△AKD ≌△CHD ，可得DK DH =，然后即可根据等腰三角形的性质推得DF =2EF ，问题即得解决．【详解】（1）证明：如图1，90BAC ∠=︒，90ADB ABD ∴∠=︒-∠，AG CE ⊥，90FGE ∴∠=︒，90EFG AFD CED ∴∠=∠=︒-∠，180FAD AFD ADF CED ABD ∴∠=︒-∠-∠=∠+∠，CED ABD ∠=∠，2FAD ABD ∴∠=∠；（2）证明：如图2，90AFD CED ∠=︒-∠，90ADB ABD ∠=︒-∠，CED ABD ∠=∠， AFD ADF ∴∠=∠，AF AD ∴=，BFA CDE ∠=∠，∵点D 为AC 的中点，∴AD=CD ，AF CD ∴=，ABF ∴∆≌CED ∆（AAS ），AB CE ∴=，CE AC =，AB AC ∴=；（3）解：连接AE ，过点A 作AH AE ⊥交BD 延长线于点H ，连接CH ，如图4． 90BAC ∠=︒，BAE CAH ∴∠=∠，设ABD CED α∠=∠=，则2,902FAD ACG αα∠=∠=︒-，CA CE =，45AEC EAC α∴∠=∠=︒+，45AED ∴∠=︒，45AHE ∴∠=︒，AE AH ∴=，AB AC =，∴△ABE ≌△ACH （SAS ），135AEB AHC ∴∠=∠=︒，90CHD ∴∠=︒，过点A 作AK ED ⊥于K ，90AKD CHD ∴∠=∠=︒，AD CD =，ADK CDH ∠=∠，∴△AKD ≌△CHD （AAS ），DK DH ∴=，∵,,AK DF AF AD AE AH ⊥==，,FK DK EK HK ∴==，3DH EF ∴==，6DF ∴=．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质等知识，考查的知识点多、综合性强、难度较大，正确添加辅助线、构造等腰直角三角形和全等三角形的模型、灵活应用上述知识是解题的关键．4．再读教材:宽与长的比是5-12(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调,匀称的美感.世界各国许多著名的建筑.为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形.(提示; MN=2)第一步,在矩形纸片一端.利用图①的方法折出一个正方形,然后把纸片展平.第二步，如图②.把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平.第三步,折出内侧矩形的对角线 AB,并把 AB折到图③中所示的AD处，第四步,展平纸片,按照所得的点D折出 DE,使 DE⊥ND,则图④中就会出现黄金矩形，问题解决:（1）图③中AB=________(保留根号);（2）如图③,判断四边形 BADQ的形状,并说明理由;（3）请写出图④中所有的黄金矩形,并选择其中一个说明理由.（4）结合图④.请在矩形 BCDE中添加一条线段,设计一个新的黄金矩形,用字母表示出来,并写出它的长和宽.【答案】（15(2)见解析;(3)见解析; (4) 见解析.【解析】分析：（1）由勾股定理计算即可；（2）根据菱形的判定方法即可判断；（3）根据黄金矩形的定义即可判断；（4）如图④﹣1中，在矩形BCDE上添加线段GH，使得四边形GCDH为正方形，此时四边形BGHE为所求是黄金矩形．详解：（1）如图3中．在Rt△ABC中，AB22AC BC+2212+55（2）结论：四边形BADQ是菱形．理由如下：如图③中，∵四边形ACBF是矩形，∴BQ∥AD．∵AB∥DQ，∴四边形ABQD是平行四边形，由翻折可知：AB=AD，∴四边形ABQD是菱形．（3）如图④中，黄金矩形有矩形BCDE ，矩形MNDE ．∵AD =5．AN =AC =1，CD =AD ﹣AC =5﹣1．∵BC =2，∴CD BC =51-，∴矩形BCDE 是黄金矩形． ∵MN DN =15+=512-，∴矩形MNDE 是黄金矩形． （4）如图④﹣1中，在矩形BCDE 上添加线段GH ，使得四边形GCDH 为正方形，此时四边形BGHE 为所求是黄金矩形．长GH 51，宽HE =35点睛：本题考查了几何变换综合题、黄金矩形的定义、勾股定理、翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．5．已知在△ABC 中，AB ＝AC ，射线BM 、BN 在∠ABC 内部，分别交线段AC 于点G 、H ． （1）如图1，若∠ABC ＝60°，∠MBN ＝30°，作AE ⊥BN 于点D ，分别交BC 、BM 于点E 、F ．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF ＝2AF ，连接CF ，求证：BF ⊥CF ；（2）如图3，点E 为BC 上一点，AE 交BM 于点F ，连接CF ，若∠BFE ＝∠BAC ＝2∠CFE ，求ABFACF S S 的值．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）2【解析】【分析】（1）①只要证明∠2+∠BAF＝∠1+∠BAF＝60°即可解决问题；②只要证明△BFC≌△ADB，即可推出∠BFC＝∠ADB＝90°；（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．只要证明△ABK≌CAF，可得S△ABK＝S△AFC，再证明AF＝FK＝BK，可得S△ABK＝S△AFK，即可解决问题；【详解】（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∠ABC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD⊥BN，∴∠ADB＝90°，∵∠MBN＝30°，∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，∴∠1＝∠2②证明：如图2中，在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，∴BF＝2DF，∵BF＝2AF，∴BF＝AD，∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，∴△BFC≌△ADB，∴∠BFC＝∠ADB＝90°，∴BF⊥CF（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，∴∠1+∠4＝∠2+∠4∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，∴△ABK≌CAF，∴∠3＝∠4，S△ABK＝S△AFC，∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，∴AF＝FK＝BK，∴S△ABK＝S△AFK，∴ABFAFCS2S∆∆=．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是能够正确添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．6．如图，在等边ABC∆中，点D，E分别是AC，AB上的动点，且AE CD=，BD 交CE于点P．（1）如图1，求证120BPC︒∠=；（2）点M是边BC的中点，连接PA，PM．①如图2，若点A，P，M三点共线，则AP与PM的数量关系是；②若点A，P，M三点不共线，如图3，问①中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．【答案】（1）证明过程见详解；（2）①2AP PM =；②结论成立，证明见详解【解析】【分析】（1）先证明()AEC CDB SAS ≌，得出对应角相等，然后利用四边形的内角和和对顶角相等即可得出结论；（2）①2AP PM =；由等边三角形的性质和已知条件得出AM ⊥BC ，∠CAP ＝30°，可得PB ＝PC ，由∠BPC ＝120°和等腰三角形的性质可得∠PCB ＝30°，进而可得AP ＝PC ，由30°角的直角三角形的性质可得PC ＝2PM ，于是可得结论；②延长BP 至D ，使PD ＝PC ，连接AD 、CD ，根据SAS 可证△ACD ≌△BCP ，得出AD ＝BP ，∠ADC ＝∠BPC ＝120°，然后延长PM 至N ，使MN ＝MP ，连接CN ，易证△CMN ≌△BMP （SAS ），可得CN ＝BP ＝AD ，∠NCM ＝∠PBM ，最后再根据SAS 证明△ADP ≌△NCP ，即可证得结论．【详解】（1）证明：因为△ABC 为等边三角形，所以60A ACB ∠=∠=︒∵AC BC A ACB AE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AEC CDB SAS ≌ ，∴AEC CDB ∠=∠， 在四边形AEPD 中，∵360AEC EPD PDA A ∠+∠+∠+∠=︒，∴18060360AEC EPD CDB ∠+∠+︒-∠+︒=︒，∴120EPD ∠=︒，∴120BPC ∠=︒；（2）①如图2，∵△ABC 是等边三角形，点M 是边BC 的中点，∴∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°，AM ⊥BC ，∠CAP ＝12∠BAC ＝30°，∴PB ＝PC ， ∵∠BPC ＝120°，∴∠PBC ＝∠PCB ＝30°，∴PC ＝2PM ，∠ACP ＝60°﹣30°＝30°＝∠CAP ，∴AP ＝PC ，∴AP ＝2PM ；故答案为：2AP PM =；②AP＝2PM成立，理由如下：延长BP至D，使PD＝PC，连接AD、CD，如图4所示：则∠CPD＝180°﹣∠BPC＝60°，∴△PCD是等边三角形，∴CD＝PD＝PC，∠PDC＝∠PCD＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝60°＝∠PCD，∴∠BCP＝∠ACD，∴△ACD≌△BCP（SAS），∴AD＝BP，∠ADC＝∠BPC＝120°，∴∠ADP＝120°﹣60°＝60°，延长PM至N，使MN＝MP，连接CN，∵点M是边BC的中点，∴CM＝BM，∴△CMN≌△BMP（SAS），∴CN＝BP＝AD，∠NCM＝∠PBM，∴CN∥BP，∴∠NCP+∠BPC＝180°，∴∠NCP＝60°＝∠ADP，在△ADP和△NCP中，∵AD=NC，∠ADP=∠NCP，PD=PC，∴△ADP≌△NCP（SAS），∴AP＝PN＝2CM；【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．7．如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连结BE．（1）求∠CAM的度数；（2）若点D在线段AM上时，求证：△ADC≌△BEC；（3）当动D在直线．．AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断∠AOB是否为定值？并说明理由．【答案】（1）30°；（2）答案见解析；（3）∠AOB是定值，∠AOB＝60°．【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，由等式的性质就可以∠BCE＝∠ACD，根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC；（3）分情况讨论：当点D在线段AM上时，如图1，由（2）可知△ACD≌△BCE，就可以求出结论；当点D在线段AM的延长线上时，如图2，可以得出△ACD≌△BCE而有∠CBE＝∠CAD＝30°而得出结论；当点D在线段MA的延长线上时，如图3，通过得出△ACD≌△BCE同样可以得出结论．【详解】（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°．∵线段AM为BC边上的中线，∴∠CAM12=∠BAC，∴∠CAM＝∠BAM＝30°．（2）∵△ABC与△DEC都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE，∴∠ACD ＝∠BCE．在△ADC和△BEC中，∵AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD≌△BCE（SAS）；（3）∠AOB是定值，∠AOB＝60°．理由如下：①当点D在线段AM上时，如图1，由（2）可知△ACD≌△BCE，则∠CBE＝∠CAD＝30°，又∠ABC ＝60°，∴∠CBE +∠ABC ＝60°+30°＝90°．∵△ABC 是等边三角形，线段AM 为BC 边上的中线，∴AM 平分∠BAC ，即11603022BAM BAC ∠∠==⨯︒=︒，∴∠BOA ＝90°﹣30°＝60°．②当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2．∵△ABC 与△DEC 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACB +∠DCB ＝∠DCB +∠DCE ，∴∠ACD ＝∠BCE ． 在△ACD 和△BCE 中，∵AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴∠CBE ＝∠CAD ＝30°．由（1）得：∠BAM ＝30°，∴∠BOA ＝90°﹣30°＝60°．③当点D 在线段MA 的延长线上时．∵△ABC 与△DEC 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACD +∠ACE ＝∠BCE +∠ACE ＝60°，∴∠ACD ＝∠BCE ．在△ACD 和△BCE 中，∵AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴∠CBE ＝∠CAD ．由（1）得：∠CAM ＝30°，∴∠CBE ＝∠CAD ＝150°，∴∠CBO ＝30°，∠BAM ＝30°，∴∠BOA ＝90°﹣30°＝60°．综上所述：当动点D 在直线AM 上时，∠AOB 是定值，∠AOB ＝60°．【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．8．已知△ABC ．（1）在图①中用直尺和圆规作出B 的平分线和BC 边的垂直平分线交于点O （保留作图痕迹，不写作法）．（2）在（1）的条件下，若点D 、E 分别是边BC 和AB 上的点，且CD BE =，连接OD OE 、求证：OD OE =；（3）如图②，在（1）的条件下，点E 、F 分别是AB 、BC 边上的点，且△BEF 的周长等于BC 边的长，试探究ABC ∠与EOF ∠的数量关系，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）ABC ∠与EOF ∠的数量关系是2180ABC EOF ∠+∠=，理由见解析.【解析】【分析】（1）利用基本作图作∠ABC 的平分线；利用基本作图作BC 的垂直平分线，即可完成； （2）如图，设BC 的垂直平分线交BC 于G ，作OH ⊥AB 于H ，用角平分线的性质证明OH=OG ，BH=BG ，继而证明EH =DG ，然后可证明OEH ODG ∆≅∆,于是可得到OE=OD ；（3）作OH ⊥AB 于H ，OG ⊥CB 于G ，在CB 上取CD=BE ，利用(2)得到 CD=BE ，OEH ODG ∆≅∆，OE=OD ，EOH DOG ∠=∠,180ABC HOG ∠+∠=,可证明EOD HOG ∠=∠,故有180ABC EOD ∠+∠=,由△BEF 的周长=BC 可得到DF=EF,于是可证明OEF OGF ∆≅∆,所以有EOF DOF ∠=∠,然后可得到ABC ∠与EOF ∠的数量关系.【详解】解：（1）如图，就是所要求作的图形；（2）如图，设BC 的垂直平分线交BC 于G ，作OH ⊥AB 于H ，∵BO 平分∠ABC ，OH ⊥AB ，OG 垂直平分BC ，∴OH=OG ，CG=BG ，∵OB=OB,∴OBH OBG ∆≅∆,∴BH=BG ，∵BE=CD ，∴EH=BH-BE=BG-CD=CG-CD=DG ，在OEH ∆和ODG ∆中,90OH OG OHE OGD EH DG =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩, ∴OEH ODG ∆≅∆,∴OE=OD ．（3）ABC ∠与EOF ∠的数量关系是2180ABC EOF ∠+∠=，理由如下；如图 ，作OH ⊥AB 于H ，OG ⊥CB 于G ，在CB 上取CD=BE ，由(2)可知，因为 CD=BE ，所以OEH ODG ∆≅∆且OE=OD ，∴EOH DOG ∠=∠,180ABC HOG ∠+∠=,∴EOD EOG DOG EOG EOH HOG ∠=∠+∠=∠+∠=∠,∴180ABC EOD ∠+∠=,∵△BEF 的周长=BE+BF+EF=CD+BF+EF=BC∴DF=EF,在△OEF 和△OGF 中,OE OD EF FD OF OF =⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴OEF OGF ∆≅∆,∴EOF DOF ∠=∠,∴2EOD EOF ∠=∠,∴2180ABC EOF ∠+∠=.【点睛】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质及全等三角形的判定与性质，还考查了基本作图．熟练掌握相关性质作出辅助线是解题关键，属综合性较强的题目，有一定的难度，需要有较强的解题能力.9．如图，在等边△ABC 中，线段AM 为BC 边上的高，D 是AM 上的点，以CD 为一边，在CD 的下方作等边△CDE ，连结BE ．（1）填空：∠ACB =____；∠CAM =____；（2）求证：△AOC ≌△BEC ；（3）延长BE 交射线AM 于点F ，请把图形补充完整，并求∠BFM 的度数；（4）当动点D 在射线AM 上，且在BC 下方时，设直线BE 与直线AM 的交点为F ．∠BFM 的大小是否发生变化？若不变，请在备用图中面出图形，井直接写出∠BFM 的度数；若变化，请写出变化规律．【答案】（1）60°，30°；（2）答案见解析；（3）60°；（4）∠BFM＝60°．【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质即可进行解答；（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC=AC ，DC=EC ，∠ACB=∠DCE=60°，由等式的性质就可以∠BCE=∠ACD ，根据SAS 就可以得出△ADC ≌△BEC ；（3）补全图形，由△ADC ≌△BEC 得∠CAM=∠CBE=30°,由三角形内角和定理即可求得∠BFM 的度数；（4）画出相应图形，可知当点D 在线段AM 的延长线上且在BC 下方时，如图，可以得出△ACD ≌△BCE ，进而得到∠CBE=∠CAD=30°，据此得出结论．【详解】(1)∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB=60°；∴线段AM为BC边上的高，∴∠CAM=12∠BAC=30°，故答案为60，30°；（2）∵△ABC与△DEC都是等边三角形，∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE，∴∠ACD=∠BCE.在△ADC和△BEC中，AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD≌△BCE(SAS)；（3）补全图形如下：由（1）（2）得∠CAM=30°，△ADC≌△BEC，∴∠CBE=∠CAM=30°，∵∠BMF=90°，∴∠BFM=60°；（4）当动点D在射线AM上，且在BC下方时，画出图形如下：∵△ABC与△DEC都是等边三角形，∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴∠CBE=∠CAD=30°，又∵∠AMC=∠BMO，∴∠AOB=∠ACB=60°.即动点D在射线AM上时,∠AOB为定值60°.【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键.解题时注意：全等三角形的对应角相等，等边三角形的三个内角都相等，等边三角形的三个内角相等，且都等于60°.10．如图1，△ABD，△ACE都是等边三角形，（1）求证：△ABE≌△ADC；（2）若∠ACD=15°，求∠AEB的度数；（3）如图2，当△ABD与△ACE的位置发生变化，使C、E、D三点在一条直线上，求证：AC∥BE．【答案】(1)见解析(2) ∠AEB=15°(3) 见解析【解析】试题分析：（1）由等边三角形的性质可得AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，即可得∠DAC=∠BAE，利用SAS即可判定△ABE≌△ADC；（2）根据全等三角形的性质即可求解；（3）由（1）的方法可证得△ABE≌△ADC，根据全等三角形的性质和等边三角形的性质可得∠AEB=∠ACD =60°，即可得∠AEB=∠EAC，从而得AC∥BE．试题解析：（1）证明：∵△ABD，△ACE都是等边三角形∴AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAC=∠BAE，在△ABE和△ADC中，∴，∴△ABE≌△ADC；（2）由（1）知△ABE≌△ADC，∴∠AEB=∠ACD，∵∠ACD=15°，∴∠AEB=15°；（3）同上可证：△ABE≌△ADC，∴∠AEB=∠ACD，又∵∠ACD=60°，∴∠AEB=60°，∵∠EAC=60°，∴∠AEB=∠EAC，∴AC∥BE．点睛：本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质，证得△ABE≌△ADC 是解决本题的关键.。

【满分秘诀】专题05 轴对称（考点突破）【思维导图】【常见考法】【真题分点透练】【考点1 轴对称图形】1．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．2.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：A、是轴对称图形，故A符合题意；B、不是轴对称图形，故B不符合题意；C、不是轴对称图形，故C不符合题意；D、不是轴对称图形，故D不符合题意．故选：A．【考点2 轴对称性质】3．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为（）A．30°B．50°C．90°D．100°【答案】D【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∴∠A＝∠A′＝50°，∠C＝∠C′＝30°；∴∠B＝180°﹣80°＝100°．故选：D．4．小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是．【答案】10：21【解答】解：电子表的实际时刻是10：21，可以把给定的读数写在纸上，然后把纸翻过来看到的读数就是实际读数．故答案为10：21【考点3 垂直平分线的性质】5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm【答案】C【解答】解：连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，∴∠B＝∠C＝30°，BD＝CD＝3cm，∴AB＝＝2cm＝AC，∵AB的垂直平分线EM，∴BE＝AB＝cm同理CF＝cm，∴BM＝＝2cm，同理CN＝2cm，∴MN＝BC﹣BM﹣CN＝2cm，故选：C．6．如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（）A．10cm B．12cm C．15cm D．17cm【答案】C【解答】解：∵AB的垂直平分AB，∴AE＝BE，BD＝AD，∵AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，∴△ABC的周长是9+2×3＝15cm，故选：C．7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE＝10°，则∠C的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】B【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝CE∴∠EAC＝∠C，又∵∠B＝90°，∠BAE＝10°，∴∠AEB＝80°，又∵∠AEB＝∠EAC+∠C＝2∠C，∴∠C＝40°．故选：B．8．如图，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE 的周长等于18cm，则AC的长等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm【答案】C【解答】解：∵DE是边AB的垂直平分线，∴AE＝BE．∴△BCE的周长＝BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝18．又∵BC＝8，∴AC＝10（cm）．故选：C．9．与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的（）A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点C．三条高的交点D．三边的垂直平分线的交点【答案】D【解答】解：如图：∵OA＝OB，∴O在线段AB的垂直平分线上，∵OB＝OC，∴O在线段BC的垂直平分线上，∵OA＝OC，∴O在线段AC的垂直平分线上，又三个交点相交于一点，∴与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的三边的垂直平分线的交点．故选：D．【考点4 关于坐标轴对称的点的坐标性质】10．点P（﹣2，3）关于x轴的对称点的坐标是．【答案】（﹣2，﹣3）【解答】解：点P（﹣2，3）关于x轴的对称，即横坐标不变，纵坐标互为相反数，∴对称点的坐标是（﹣2，﹣3）．故答案为：（﹣2，﹣3）．11．已知点P（3，﹣1）关于y Q的坐标是（a+b，1﹣b），则a b的值为．【答案】25【解答】解：∵点P（3，﹣1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a+b，1﹣b），∴，解得：，则a b的值为：（﹣5）2＝25．故答案为：25．12．若点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于y轴对称，则m+n＝．【答案】0【解答】解：∵点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于y轴对称，∴m+2＝4，3＝n+5，解得：m＝2，n＝﹣2，∴m+n＝0，故答案为：0．【考点5 画轴对称图形】13．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．（1）求出△ABC的面积．（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1．（3）写出点A1，B1，C1的坐标．【解答】解：（1）S△ABC＝×5×3＝（或7.5）（平方单位）．（2）如图．（3）A1（1，5），B1（1，0），C1（4，3）．【考点6 等腰三角形的性质】14．一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A．17B．15C．13D．13或17【答案】A【解答】解：①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形；②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7＝17．故这个等腰三角形的周长是17．15．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（）A．∠B＝∠C B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．AB＝2BD【答案】D【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，D是BC中点∴∠B＝∠C，（故A正确）AD⊥BC，（故B正确）∠BAD＝∠CAD（故C正确）无法得到AB＝2BD，（故D不正确）．故选：D．16．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A．80°或20°B．80°C．80°或50°D．20°【答案】A【解答】解：分两种情况讨论：①当80°的角为顶角时，底角为（180°﹣80°）＝50°；②当80°角为底角时，另一底角也为80°，顶角为20°；综上所述：等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是80°或20°；故选：A．17．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°【答案】A【解答】解：∵△ABD中，AB＝AD，∠B＝70°，∴∠B＝∠ADB＝70°，∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝110°，∵AD＝CD，∴∠C＝（180°﹣∠ADC）÷2＝（180°﹣110°）÷2＝35°，18．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．60°【答案】C【解答】解：AB＝AC，D为BC中点，∴AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠C，∵∠BAD＝35°，∴∠BAC＝2∠BAD＝70°，∴∠C＝（180°﹣70°）＝55°．故选：C．19．如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE．求证：BD＝CE．【解答】证明：如图，过点A作AP⊥BC于P．∵AB＝AC，∴BP＝PC；∵AD＝AE，∴DP＝PE，∴BP﹣DP＝PC﹣PE，∴BD＝CE．20．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∠ECD的度数；（2）若CE＝5，求BC长．【解答】解：（1）∵DE垂直平分AC，∴CE＝AE，∴∠ECD＝∠A＝36°；（2）∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°，∴∠BEC＝∠A+∠ECD＝72°，∴∠BEC＝∠B，∴BC＝EC＝5．答：（1）∠ECD的度数是36°；（2）BC长是5．【考点7 等腰三角形的判定】21．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝9，则线段MN的长为（）A．6B．7C．8D．9【答案】D【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB，∵MN∥BC，∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB，∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN，∴BM＝ME，EN＝CN，∴MN＝ME+EN，即MN＝BM+CN．∵BM+CN＝9∴MN＝9，故选：D．22.如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是（）A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个【答案】D【解答】解：∵AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣36°）＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝×72°＝36°，∴∠ABD＝∠A，∴△ABD为等腰三角形，∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，∴∠BDC＝∠C，∴△BDC为等腰三角形．故选：D．23．已知：如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．求证：MN＝BM+CN．【解答】证明：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，∵MN∥BC，∴∠OBC＝∠MOB，∠NOC＝∠OCB，∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠OCN，∴BM＝MO，ON＝CN，∴MN＝MO+ON＝BM+CN．24．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△DBE和△ECF中，∴△DBE≌△ECF，∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵△DBE≌△ECF，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝（180°﹣40°）＝70°∴∠1+∠2＝110°∴∠3+∠2＝110°∴∠DEF＝70°25．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F．求证：（1）∠B＝∠C．（2）△ABC是等腰三角形．【解答】证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE＝DF，在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴∠B＝∠C；（2）由（1）可得∠B＝∠C，∴△ABC为等腰三角形．【考点8 等边三角形的性质】26.如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠BAE＝20°，则∠DCE等于（）A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】B【解答】解：过点E作EJ∥CD．∵△ACE是等边三角形，∴∠AEC＝60°，∵AB∥CD，EJ∥CD，∴AB∥EJ，∴∠AEJ＝∠BAE＝20°，∴∠CEJ＝60°﹣20°＝40°，∴∠DCE＝∠CEJ＝40°，故选：B．27．如图所示，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE＝CD．（1）用尺规作图的方法，过D点作DM⊥BE，垂足是M；（不写作法，保留作图痕迹）（2）求证：BM＝EM．【解答】（1）解：作图如下；（2）证明：∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点∴BD平分∠ABC（三线合一）∴∠ABC＝2∠DBE∵CE＝CD∴∠CED＝∠CDE又∵∠ACB＝∠CED+∠CDE∴∠ACB＝2∠E又∵∠ABC＝∠ACB∴2∠DBC＝2∠E∴∠DBC＝∠E∴BD＝DE又∵DM⊥BE∴BM＝EM．【考点9 等边三角形的判定】28.在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ．（1）求证：△ABP≌△CAQ；（2）请判断△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，在△ABP和△ACQ中，，∴△ABP≌△ACQ（SAS），（2）∵△ABP≌△ACQ，∴∠BAP＝∠CAQ，AP＝AQ，∵∠BAP+∠CAP＝60°，∴∠P AQ＝∠CAQ+∠CAP＝60°，∴△APQ是等边三角形．29．如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）若BC＝10，求△ODE的周长．【解答】解：（1）△ODE是等边三角形；理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°；∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，∴△ODE为等边三角形．（2）∵OB平分∠ABC，OD∥AB，∴∠ABO＝∠DOB，∠ABO＝∠DBO，∴∠DOB＝∠DBO，∴BD＝OD；同理可证CE＝OE；∴△ODE的周长＝BC＝10．【考点10 含30°角的直角三角形的性质】30．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【解答】解：过P作PD⊥OB，交OB于点D，在Rt△OPD中，cos60°＝＝，OP＝12，∴OD＝6，∵PM＝PN，PD⊥MN，MN＝2，∴MD＝ND＝MN＝1，∴OM＝OD﹣MD＝6﹣1＝5．故选：C．31．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD的长为．【答案】2【解答】解：过P作PE⊥OB OB与点E，∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE，∵PC∥OA，∴∠CPO＝∠POD，又∠AOP＝∠BOP＝15°，∴∠CPO＝∠BOP＝15°，又∠ECP为△OCP的外角，∴∠ECP＝∠COP+∠CPO＝30°，在直角三角形CEP中，∠ECP＝30°，PC＝4，∴PE＝PC＝2，则PD＝PE＝2．故答案为：2．。

【高效培优】2022—2023学年八年级数学上册必考重难点突破必刷卷（人教版）【单元测试】第十三章轴对称（综合能力拔高卷）（考试时间：90分钟试卷满分：100分）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．日常生活中，我们会看到很多标志，在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．如图，等腰ABC的底边BC长为4cm，面积为216cm，腰AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，D为BC的中点，M为直线EF上的动点．则CDM周长的最小值为（）A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm3．下列说法不正确的有（）A．三边相等的三角形是等边三角形B．三个角相等的三角形是等边三角形C．有一个角是60︒的三角形是等边三角形D．顶角为60︒的等腰三角形是等边三角形4．如图，若△ABC与'''A B C关于直线MN对称，BB'交MN于点O，则下列说法不一定正确的是（）A．AC＝''AC B．'BO B O＝C．'AB B C＝D．'AA MN⊥5．如图，△ABC中，△C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，则BE的长为（）A．5B．10C．12D．136．如图，等边ABC∆和等边CDE∆中，B、C、D共线，且3BC CD=，连接AD和BE相交于点F，则下列结论中：△AD BE=；△60AFB∠=︒；△连接FC，则FC平分BFD∠；△3BF DF=．正确的有（）个．A．1B．2C．3D．47．如图，在△ABC中，分别以点A和B为圆心，大于12AB和长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若△ABC的周长为17，AB＝7，则△ADC的周长是（）A．7B．10C．15D．178．如图，在△ABC中，点D是边AB、AC的垂直平分线的交点，已知△A＝80°，则△BDC＝（）A．80°B．100°C．150°D．160°9．如图，点A的坐标为()2,2，若点P在坐标轴上，且APO△为等腰三角形，则满足条件的点P有（）A ．4个B ．6个C ．7个D ．8个10．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 关于直线m （直线m 上各点的横坐标都为1）对称，点C 的坐标为（4，1），则点B 的坐标为（ ）A ．（﹣2，1）B ．（﹣3，1）C ．（﹣2，﹣1）D ．（2，1）二、填空题（本大题共有8小题，每题3分，共24分）11．如图的三角形纸片中，AB ＝c 、BC ＝a 、AC ＝b 、沿过点A 的直线折叠这个三角形，使点C 落在AB 上的点E 处，折痕为AD ，则△BDE 的周长为_____（用含a 、b 、c 的式子表示）12．如图，在等边ABC 中，BD 是ABC ∠的平分线，点E 是BC 的中点，点P 是BD 上的一个动点，连接PE ，PC ，当PE PC +的值最小时，EPC ∠的度数为__________．13．如图，在ABC 中，AB AC =，AB 边的垂直平分线DE 交AC 于点.D 已知BDC 的周长为14，6BC =，则AB =______ ．14．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（0，1），点B 的坐标为（3，1），C 的坐标为（4，3），如果存在点D ，要使△ABD 与△ABC 全等，那么点D 的坐标是_______．15．如图，在34⨯的正方形网格中已有2个正方形涂黑，再选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，选择的位置共有______处．16．如图，在△ABC 中，△C =90°，△B =30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的是______．△线段AD 是△ABC 的角平分线； △△ADC =60°； △点D 在AB 的中垂线上； △12DACABDSS=：：．17．如图，已知正方形纸片ABCD ，将正方形纸片沿过点A 的直线折叠，使点B 落在正方形ABCD 的内部，点B 的对应点为点M ，折痕为AE ，再将纸片沿过点A 的直线折叠，使AD 与AM 重合，折痕为AF ，则EAF ∠=___________度．18．如图，直线L 为线段AB 的垂直平分线，交AB 于M ，在直线L 上取一点1C ，使得1MC MB ＝，得到第一个三角形1ABC ；在射线1MC 上取一点2C ，使得121C C BC ＝；得到第二个三角形2ABC △；在射线1MC 上取一点C 3，使得232C C BC ＝，得到第三个三角形3ABC △…依次这样作下去，则第2022个三角形2022ABC △中2022AC B ∠的度数为_____．三、解答题（本大题共6小题，共46分；第19-20小题每小题6分，第21-22小题每小题7分，第23小题8分，第24小题10分）19．如图，已知△ABC ，AD 是△BAC 的角平分线，DE △AB 于点E ，DF △AC 于点F ，连接EF 交AD 于点G .(1)求证：AD 垂直平分EF ；(2)若AB ＋AC ＝10，DE ＝3，求△ABC 的面积.20．图△中所示的遮阳伞，伞柄垂直于地面，其示意图如图△．当伞收紧时，点P 与点A 重合；当伞慢慢撑开时，动点P 由A 向B 移动；当点P 到过点B 时，伞张得最开．已知伞在撑开的过程中，总有PM ＝PN ＝CM ＝CN ＝6.0分米，CE ＝CF ＝18.0分米，BC ＝2.0分米．(1)求AP 长的取值范围；(2)当△CPN ＝60°时，求AP 的值．21．已知如图，ABC 在平面直角坐标系xOy 中，其中A （1，2），B （3，1），C （4，3），试解答下列各题：(1)作出△ABC关于y轴对称的A B C'''：(2)写出A B C'''三个顶点的坐标：A'（________）﹔B'（________）﹔C'（________）﹔(3)BB'=________．22．如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．若ED＝4cm，FC＝1cm，△BAC ＝76°，△EAC＝58°．(1)求出BF的长度；(2)求△CAD的度数；(3)连接EC，线段EC与直线MN有什么关系？23．新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．(1)如图1，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．求证：BD＝CE．(2)如图2，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，点D、E均在△ABC外，求证：△ABD＝△ACE．24．如图，在55⨯的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，如图点A、B、C、D、E、F均为格点请用无刻度的直尺完成下列作图（画图过程用虚线，结果用实线）(1)如图1，过C点作直线AB的平行线；(2)如图2，点M为线段AB上一动点，连接MD、MC，作出当MD MC+最小时，M点位置；(3)如图3，在线段AB上找一点(P不与点A重合)，使得PE PF⊥．。

专题10推理能力课之轴对称综合重难点专练（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图为5×5的方格，其中有A 、B 、C 三点，现有一点P 在其它格点上，且A 、B 、C 、P 为轴对称图形，问共有几个这样的点P （ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【分析】利用轴对称图形的性质得出符合题意的点即可．【详解】解：如图所示：A 、B 、C 、P 为轴对称图形，共有4个这样的点P ．答案：B ．【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案,正确把握轴对称图形的定义是解题关键．2．ABC V 是网格中的格点三角形（三角形的各顶点都在网格的交叉点上），如图建立直角坐标系，将该三角形先向下平移2个单位，然后再将平移后的图形沿y 轴翻折180°，得到A B C ¢¢¢V ，则点B 对应点B ¢的坐标为（ ）A ．(4,3)-B ．(3,2)--C ．(2,5)-D ．(4,3)--【答案】A【分析】根据网格求出点B 坐标，向下平移2个单位，点 B 的横坐标不变，纵坐标减2得对应点B 1的坐标，再沿y 轴翻折180°，横坐标变为相反数，纵坐标不变即可得出点B ′（-4，3）．【详解】解：∵点B 坐标为（4，5）向下平移2个单位，得点B 对应点的坐标B 1（4，5-2），即B 1（4，3），再沿y 轴翻折180°，点B ′（-4，3），故选择A ．【点睛】本题考查根据平面直角坐标系写出点的坐标，平移的性质，轴对称性质，掌握平面直角坐标系点的坐标构成，平移的性质，轴对称性质是解题关键．3．如图，直线l ，m 相交于点O ．P 为这两直线外一点，且 2.8OP =．若点P 关于直线l ，m 的对称点分别是点1P ，2P ，则1P ，2P 之间的距离可能是（ ）A ．0B ．5C ．6D ．7【答案】B【分析】连接112221,,,,OP P OP PP PP P 根据轴对称的性质和三角形三边关系可得结论．【详解】解：连接112221,,,,OP P OP PP PP P ，如图，∵1P 是P 关于直线l 的对称点，∴直线l 是1PP 的垂直平分线，∴1 2.8OP OP ==∵2P 是P 关于直线m 的对称点，∴直线m 是2PP 的垂直平分线，∴2 2.8OP OP ==当12,,P O P 不在同一条直线上时，121212OP OP PP OP OP <<-+即120 5.6PP <<当12,,P O P 在同一条直线上时，1212 5.6PP OP OP =+=故选：B【点睛】此题主要考查了轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的性质是解答此题的关键4．如图，BAC Ð的角平分线与BC 的垂直平分线DG 交于点,,D DE AB DF AC ^^，垂足分别为E F 、，若9,10AF BC ==，则ABC V 的周长为（ ）A ．19B ．28C ．29D ．38【答案】B【分析】连接BD 、DC ，证△BDE ≌△CDF ，可得CF=BE ，根据角平分线性质可知AE=AF ，即可求周长．【详解】解：连接BD 、DC ，∵AD 平分∠ BAC ，,DE AB DF AC ^^，∴DE=DF ，∵AD=AD ，∴Rt △ADE ≌Rt △ADF ，∴AE=AF=9，∵DG 垂直平分BC ，∴BD=DC ，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF ，∴BE=CF ，ABC V 的周长=AB+AC+BC=AF-CF+AE+BE+BC=2AF+BC=28，故选：B ．【点睛】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是依据已知条件，恰当作辅助线，构造全等三角形．5．如图，在Rt ABC V 中，90ACB Ð=°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）A ．BDE BACÐ=ÐB ．BAD B =∠∠C ．DE DC=D ．AE AC=【答案】B【分析】先通过作图过程可得AD 平分∠BAC ,DE ⊥AB ,然后证明△ACD ≌△AED 说明C 、D 正确，再根据直角三角形的性质说明选项A 正确，最后发现只有AE =EB 时才符合题意．【详解】解：由题意可得：AD 平分∠BAC ,DE ⊥AB ,在△ACD 和△AED 中∠AED =∠C ，∠EAD =∠CAD ,AD =AD∴△ACD ≌△AED （AAS ）∴DE =DC ,AE =AC ,即C 、D 正确；在Rt △BED 中，∠BDE =90°-∠B在Rt △BED 中，∠BAC =90°-∠B∴∠BDE =∠BAC ，即选项A 正确；选项B ，只有AE =EB 时，才符合题意．故选B ．【点睛】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质，正确理解尺规作图成为解答本题的关键．6．在 Rt ABC V 中，90C =o ∠， 30A Ð=o ，点P 是边 AC 上一定点，此时分别在边 AB ，BC 上存在点 M ，N 使得PMN V 周长最小且为等腰三角形，则此时AP PC的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．32【答案】B【分析】如图，先作ABC V 分别关于AB ，BC 对称的三角形，以及P 的对称点1P ，2P ，找到PMN V 周长最小的条件即1P 、M 、N 、2P 共线时，进而设1BC =，CP x =，AP x =，BF y =，通过各边关系列出方程，解出x ，即可求得AP PC的值.【详解】如图作ABC V 分别关于AB ，BC 对称，得1ABC V ，1CBA V ，以及P 的对称点1P ，2P ，则2PM P M =，1P N PN =，所以1P 、M 、N 、2P 共线时，PMN V 周长最小。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！专题03 轴对称十大重难题型一．轴对称图形的存在性之格点类（钥匙---对称轴）1．如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC ，则与△ABC 成轴对称且以格点为顶点三角形共有（ ）实战训练A．3个B．4个C．5个D．6个试题分析：解答此题首先找到△ABC的对称轴，EH、GC、AD，BF等都可以是它的对称轴，然后依据对称找出相应的三角形即可．答案详解：解：与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形有△ABG、△CDF、△AEF、△DBH，△BCG共5个，所以选：C．2．如图，在3×3的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC 成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有　5　个．试题分析：根据轴对称图形的定义与判断可知．答案详解：解：与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有5个，分别为△ABD，△BCE，△GHF，△EMN，△AMQ，共有5个．所以答案是：5．二．轴对称的性质3．如图，把一张长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D′落在∠BAC的内部，若∠CAE＝2∠BAD′，且∠CAD′＝n，则∠DAE的度数为　n5+36°　（用含n的式子表示）．试题分析：由矩形的性质和折叠的性质即可得出答案．答案详解：解：如图，设∠BAD ′＝x ，则∠CAE ＝2x ，由翻折变换的性质可知，∠DAE ＝∠EAD ′＝2x +n ，∵∠DAB ＝90°，∴4x +2n +x ＝90°，∴x =15（90°﹣2n ），∴∠DAE ＝2×15（90°﹣2n ）+n =n 5+36°．所以答案是：n 5+36°．4．如图，点P 为∠AOB 内部任意一点，点P 与点P 1关于OA 对称，点P 与点P 2关于OB 对称，OP ＝8，∠AOB ＝45°，则△OP 1P 2的面积为 32　．试题分析：根据轴对称的性质，可得OP 1、OP 2的长度等于OP 的长，∠P 1OP 2的度数等于∠AOB 的度数的两倍，再根据直角三角形的面积计算公式解答即可．答案详解：解：∵点P 1和点P 关于OA 对称，点P 2和点P 关于OB 对称，∴OP 1＝OP ＝OP 2＝8，且∠P 1OP 2＝2∠AOB ＝90°．∴△P 1OP 2是直角三角形，∴△OP 1P 2的面积为12×8×8＝32，所以答案是：32．三．尺规作图：轴对称，角平分，垂直平分线5．已知直线l 及其两侧两点A 、B ，如图．（1）在直线l上求一点P，使PA＝PB；（2）在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB．（以上两小题保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法）试题分析：（1）作线段AB的垂直平分线与l的交点即为所求；（2）作点A关于l的对称点A′，连接BA′并延长交l于点Q，点Q即为所求．答案详解：解：6．已知：如图，∠AOB及M、N两点．请你在∠AOB内部找一点P，使它到角的两边和到点M、N 的距离分别相等（保留作图痕迹）．试题分析：点P是∠AOB的平分线与线段MN的中垂线的交点．答案详解：解：点P就是所求的点．（2分）如果能正确画出角平分线和中垂线的给满分7．线段的垂直平分线的性质1：线段垂直平分线上的点与这条线段　两个端点　的距离　相等　．如图，△ABC中，AB＝AC＝16cm，（1）作线段AB的垂直平分线DE，交AB于点E，交AC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，连接BD，如果BC＝10cm，则△BCD的周长为　26　cm．试题分析：根据线段的垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等）求解即可求得答案；（1）利用线段垂直平分线的作法进而得出即可；（2）由线段的垂直平分线的性质可得：AD＝BD，从而将△BCD的周长转化为：AD+CD+BC，即AC+BC＝16+10＝26cm．答案详解：解：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，所以答案是：两个端点；相等；（1）如图所示，（2）连接BD，∵DE是AB的垂直平分线，∴AD ＝BD ，∵△BCD 的周长＝BD +DC +BC ，∴△BCD 的周长＝AD +DC +BC ，即AC +BC ＝16+10＝26cm ．所以答案是：26．8．如图，在正方形网格中，△ABC 的三个顶点分别在正方形网格的格点上，△A ′B ′C ′和△ABC 关于直线l 成轴对称，其中A ′点的对应为A 点．（1）请画出△A ′B ′C ′，并标出相应的字母；（2）若网格中最小正方形的边长为1，求△A ′B ′C ′的面积．试题分析：（1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用三角形面积求法得出答案．答案详解：解：（1）如图所示：△A ′B ′C ′，即为所求；（2）△A ′B ′C ′的面积为：12×2×4＝4．9．如图，△ABC 的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知A （﹣1，﹣1），B （4，﹣1），C （3，1）．（1）画出△ABC 及关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；（2）请直接写出以AB 为边且与△ABC 全等的三角形的第三个顶点（不与C 重合）的坐标．试题分析：（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可；（2）利用轴对称性确定出另一个点，然后根据平面直角坐标系写出坐标即可．答案详解：解：（1）△A1B1C1如图所示；（2）如图，第三个点的坐标为（0，1）或（0，﹣3）或（3，﹣3）．四．坐标的轴对称10．已知点P（a，3），Q（﹣2，b）关于x轴对称，则a+b的值为（ ）A．1B．−1C．5D．﹣5试题分析：关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数得出a，b的值，进而得出a+b的值．答案详解：解：∵点P（a，3），Q（﹣2，b）关于x轴对称，∴a＝﹣2，b＝﹣3，∴a+b＝﹣2﹣3＝﹣5．所以选：D．11．已知点P1（﹣1，﹣2）和P2（a，b﹣1）关于y轴对称，则（a+b）2021的值为（ ）A．0B．﹣1C．1D．（﹣3）2021试题分析：根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出a、b的值，然后代入计算即可得解．答案详解：解：∵P1（﹣1，﹣2）和P2（a，b﹣1）关于y轴对称，∴a＝1，b﹣1＝﹣2，解得a＝1，b＝﹣1，∴a+b＝0，∴（a+b）2021＝02021＝0．所以选：A．12．若点M与点N关于x轴对称，点M和点P关于y轴对称，点P的坐标为（2，﹣3），那么点N 的坐标为（ ）A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，﹣3）D．（﹣2，3）试题分析：作出相关对称后可得点P与点N关于原点对称，那么依据点P的坐标为（2，﹣3），可得点N的坐标．答案详解：解：∵点M与点N关于x轴对称，点M和点P关于y轴对称，∴点N与点P关于原点对称，又∵点P的坐标为（2，﹣3），∴点N的坐标为（﹣2，3），所以选：D．13．已知点A（a﹣5，1﹣2a），解答下列问题：（1）若点A到x轴和y轴的距离相等，求点A的坐标；（2）若点A向右平移若干个单位后，与点B（﹣2，﹣3）关于x轴对称，求点A的坐标．试题分析：（1）直接利用点A在第一象限或第三象限或点A在第二象限或第四象限，分别得出答案；（2）直接利用平移的性质结合关于x轴对称点的性质得出答案．答案详解：解：（1）若点A在第一象限或第三象限，则a﹣5＝1﹣2a，解得：a＝2，则a﹣5＝1﹣2a＝﹣3，∴点A 的坐标为（﹣3，﹣3），若点A 在第二象限或第四象限，则a ﹣5+1﹣2a ＝0，解得a ＝﹣4，则a ﹣5＝﹣9，1﹣2a ＝9，∴点A 的坐标为（﹣9，9），综上所述，点A 的坐标为（﹣3，﹣3）或（﹣9，9）；（2）∵若点A 向右平移若干个单位，其纵坐标不变为（1﹣2a ），又∵点A 向右平移若干个单位后与点B （﹣2，﹣3）关于x 轴对称，∴1﹣2a +（﹣3）＝0，a ＝﹣1，a ﹣5＝﹣1﹣5＝﹣6，1﹣2a ＝1﹣2×（﹣1）＝3，即点A 的坐标为（﹣6，3）．14．已知有序数对（a ，b ）及常数k ，我们称有序数对（ka +b ，a ﹣b ）为有序数对（a ，b ）的“k 阶结伴数对”．如（3，2）的“1阶结伴数”对为（1×3+2，3﹣2）即（5，1）．若有序数对（a ，b ）（b ≠0）与它的“k 阶结伴数对”关于y 轴对称，则此时k 的值为（ ）A ．﹣2B ．−32C ．0D ．−12试题分析：根据新定义可得：有序数对（a ，b ）（b ≠0）的“k 阶结伴数对”是（ka +b ，a ﹣b ），并根据y 轴对称：横坐标互为相反数，纵坐标相等，可列方程组，从而可解答．答案详解：解：∵有序数对（a ，b ）（b ≠0）的“k 阶结伴数对”是（ka +b ，a ﹣b ），∴a −b =b a +ka +b =0，解得：k =−32．所以选：B ．五．格点等腰三角形15．如图，在4×3的正方形网格中，点A 、B 分别在格点上，在图中确定格点C ，则以A 、B 、C 为顶点的等腰三角形有　3　个．试题分析：首先由勾股定理可求得AB的长，然后分别从AB＝BC，AB＝AC，AC＝BC去分析求解即可求得答案．答案详解：解：如图，则符合要求的有：C1，C2，C3共3个点；所以答案是：3．16．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知点A、B是两格点，若点C也是图中的格点，则使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形时，点C的个数是（ ）A．1B．2C．3D．4试题分析：根据AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，答案详解：解：如图，以AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．所以选：D．17．如图是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且边长为1，点A，B均在格点上，在网格中建立平面直角坐标系．如果点C也在此4×4的正方形网格的格点上，且△ABC是等腰三角形，请写出一个满足条件的点C的坐标　（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（2，2），（2，0），（1，0），（1，﹣1），（1，﹣2），　；满足条件的点C一共有　8　个．试题分析：根据题意，画出图形，由等腰三角形的判定找出满足条件的C点，选择正确答案．答案详解：解：满足条件的点C的坐标为（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（2，2），（2，0），（1，0），（1，﹣1），（1，﹣2），满足条件的点C一共有8个，所以答案是：（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（2，2），（2，0），（1，0），（1，﹣1），（1，﹣2），8．六．规律类--坐标与图形的变化18．如图，已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点M，顶点A、B、C的坐标分别为（1，3）、（1，1）、（3，1），规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向右平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2020次变换后，点M的坐标变为（ ）A．（2022，2）B．（2022，﹣2）C．（2020，2）D．（2020，﹣2）试题分析：首先由正方形ABCD，顶点A（1，3），B（1，1），C（3，1），然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M的对应点的坐标，即可得规律：第n次变换后的点M的对应点的坐标为：当n为奇数时为（2+n，﹣2），当n为偶数时为（2+n，2），继而求得把正方形ABCD连续经过2015次这样的变换得到正方形ABCD的对角线交点M的坐标．答案详解：解：∵正方形ABCD，顶点A（1，3），B（1，1），C（3，1），∴对角线交点M的坐标为（2，2），根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为（2+1，﹣2），即（3，﹣2），第2次变换后的点M的对应点的坐标为：（2+2，2），即（4，2），第3次变换后的点M的对应点的坐标为（2+3，﹣2），即（5，﹣2），第n次变换后的点M的对应点的坐标为：当n为奇数时为（2+n，﹣2），当n为偶数时为（2+n，2），∴连续经过2020次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（2022，2）．所以选：A．19．如图，将边长为1的正方形OABC沿x轴正方向连续翻转2020次，点A依次落在点A1、A2、A3、A4…A2020的位置上，则点A2020的坐标为（ ）A．（2019，0）B．（2019，1）C．（2020，0）D．（2020，1）试题分析：探究规律，利用规律即可解决问题．答案详解：解：由题意A1（0，1），A2（2，1），A3（3，0），A4（3，0），A5（4，1），A6（5，1），A7（6，0），A8（7，0），A9（8，1），…每4个一循环，∵2020÷4＝505则2020个应该在x轴，坐标应该是（2019，0），所以选：A．20．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（1，2），则经过第2021次变换后点A的对应点的坐标为（ ）A．（1，﹣2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，2）试题分析：观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2021除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可．答案详解：解：点A第一次关于y轴对称后在第二象限，点A第二次关于x轴对称后在第三象限，点A第三次关于y轴对称后在第四象限，点A第四次关于x轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，所以，每四次对称为一个循环组依次循环，∵2021÷4＝505余1，∴经过第2021次变换后所得的A点与第一次变换的位置相同，在第二象限，坐标为（﹣1，2）．所以选：C．七．等腰三角形判定与性质21．如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线和∠ACB相邻的外角平分线CD交于点D，过点D作DE∥BC交AB于E，交AC于G，若EG＝2，且GC＝6，则BE长为　8　．试题分析：根据角平分线+平行可以证明等腰三角形，所以可得EB＝ED，GC＝GD，从而求出DE的长，最后求出BE的长．答案详解：解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵DE∥BC，∴∠EDB ＝∠DBC ，∴∠ABD ＝∠EDB ，∴EB ＝ED ，∵CD 平分∠ACF ，∴∠ACD ＝∠DCF ，∵DE ∥BC ，∴∠EDC ＝∠DCF ，∴∠EDC ＝∠ACD ，∴GC ＝GD ＝6，∵EG ＝2，∴ED ＝EG +GD ＝2+6＝8，∴BE ＝ED ＝8，所以答案是：8．22．如图，△ABC 中，∠A ＝∠ACB ，CP 平分∠ACB ，BD ，CD 分别是△ABC 的两外角的平分线，下列结论中：①CP ⊥CD ；②∠P =12∠A ；③BC ＝CD ；④∠D ＝90°−12∠A ；⑤PD ∥AC ．其中正确的结论是 ①②④⑤　（直接填写序号）．试题分析：根据角平分线的定义得到∠PCB =12∠ACB ，∠BCD =12∠BCF ，根据垂直的定义得到CP ⊥CD ；故①正确；延长CB ，根据角平分线的定义和三角形外角的性质得到∠P =12∠A ，故②正确；根据平行线的判定定理得到AB ∥CD ，推出△ABC 是等边三角形，而△ABC 中，∠A ＝∠ACB ，于是得到假设不成立，故③错误；根据角平分线的定义得到∠EBD ＝∠DBC ，∠BCD ＝∠DCF ，推出∠ABC ＝180°﹣2∠DBC ，∠ACB ＝180°﹣2∠DCB ，求得∠D ＝90°−12∠A ，故④正确；根据三角形的外角的性质得到∠EBC ＝∠A +∠ACB ，∠A ＝∠ACB ，求得∠EBD ＝∠A ，于是得到PD∥AC．故⑤正确．答案详解：解：∵CP平分∠ACB，CD平分∠BCF，∴∠PCB=12∠ACB，∠BCD=12∠BCF，∵∠ACB+∠BCF＝180°，∴∠PCD＝∠PCB+∠BCD=12∠ACB+12∠BCF=12（∠ACB+∠BCF）＝90°，∴CP⊥CD；故①正确；延长CB，∵BD平分∠CBE，∠CBE＝∠ABH，∴BP平分∠ABH，∴∠PBH＝∠BCP+∠P，∵∠A+2∠PCB＝2∠PBH，∴∠A+2∠PCB＝2∠BCP+2∠P，∴∠A＝2∠P，即：∠P=12∠A，故②正确；假设BC＝CD，∴∠CBD＝∠D，∵∠EBD＝∠CBD，∴∠EBD＝∠D，∴AB∥CD，∴∠DCF＝∠A，∵∠ACB＝∠A，CD平分∠BCF，∴∠ACB＝∠BCD＝∠DCF，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，而△ABC中，∠A＝∠ACB，∴△ABC是等腰三角形，∴假设不成立，故③错误；∵BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线，∴∠EBD ＝∠DBC ，∠BCD ＝∠DCF ，∴∠DBC +∠DCB +∠D ＝180°，∴∠A +∠ABC +∠ACB ＝180°，而∠ABC ＝180°﹣2∠DBC ，∠ACB ＝180°﹣2∠DCB ，∴∠A +180°﹣2∠DBC +180°﹣2∠DCB ＝180°，∴∠A ﹣2（∠DBC +∠DCB ）＝﹣180°，∴∠A ﹣2（180°﹣∠D ）＝﹣180°，∴∠A ﹣2∠D ＝180°，∴∠D ＝90°−12∠A ，故④正确；∵∠EBC ＝∠A +∠ACB ，∠A ＝∠ACB ，∴∠A =12∠EBC ，∵∠EBD =12∠EBC ，∴∠EBD ＝∠A ，∴PD ∥AC ．故⑤正确；所以答案是：①②④⑤．23．Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，如图，BO 、CO 分别平分∠ABC 、∠ACB ，EO ∥AB ，FO ∥AC ，若S △ABC ＝32，则△OEF 的周长为　8　．试题分析：根据已知条件得到BC＝8，根据平行线的性质得到∠ABO＝∠BOE由角平分线的定义得到∠ABO＝∠OBE，等量代换得到∠ABO＝∠BOE于是得到BE＝OE，则同理可得CE＝OE即可得到结论．答案详解：解：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，S△ABC＝32，∴12BC2＝32，∴BC＝8，∵OE∥AB∴∠ABO＝∠BOE∵OB平分∠ABC∴∠ABO＝∠OBE∴∠ABO＝∠BOE∴BE＝OE，则同理可得OF＝CF，∴△OEF的周长＝OE+OF+EF＝BE+EF+FC＝BC＝8．所以答案是：8．24．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F．那么下列结论：①BD＝DC；②△BED和△CFD都是等腰三角形；③点D是EF的中点；④△AEF的周长等于AB与AC的和．其中正确的有　②④　．（只填序号）试题分析：利用角平分线的定义可得∠ABD＝∠DBC=12∠ABC，∠ACD＝∠DCB=12∠ACB，然后根据∠ABC≠∠ACB，从而可得∠DBC≠∠DCB，进而可得DB≠DC，即可判断①；利用平行线的性质可得∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，从而可得∠ABD＝∠EDB，∠ACD＝∠FDC，进而利用等角对等边可得ED＝EB，FD＝FC，即可判断②；根据EB≠FC，可得ED≠FD，即可判断③；利用等量代换可得△AEF的周长＝AB+AC，即可判断④．答案详解：解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠ABD＝∠DBC=12∠ABC，∠ACD＝∠DCB=12∠ACB，∵∠ABC≠∠ACB，∴∠DBC≠∠DCB，∴DB≠DC，故①不正确；∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，∴∠ABD＝∠EDB，∠ACD＝∠FDC，∴ED＝EB，FD＝FC，∴△BED和△CFD都是等腰三角形，故②正确；∵EB≠FC，∴ED≠FD，故③不正确；∵EB＝ED，FD＝FC，∴△AEF的周长＝AE+EF+AF＝AE+ED+DF+AF＝AE+EB+AF+FC＝AB+AC，故④正确；综上所述：上列结论其中正确的有②④，所以答案是：②④．八．等边三角形的判定与性质25．如图，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，∠DEB＝∠EBC＝60°，若BE＝5，DE＝2，则BC＝　7　．试题分析：作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出△BEM 为等边三角形，得出BM ＝EM ＝BE ＝5，从而得出BN 的长，进而求出答案．答案详解：解：延长ED 交BC 于M ，延长AD 交BC 于N ，如图，∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，∴AN ⊥BC ，BN ＝CN ，∵∠EBC ＝∠DEB ＝60°，∴△BEM 为等边三角形，∴BM ＝EM ＝BE ＝5，∠EMB ＝60°，∵DE ＝2，∴DM ＝3，∵AN ⊥BC ，∴∠DNM ＝90°，∴∠NDM ＝30°，∴NM =12DM =32，∴BN ＝BM ﹣MN ＝5−32=72，∴BC ＝2BN ＝7．所以答案是：7．26．已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．（1）求证：AD＝BE；（2）求∠DOE的度数；（3）求证：△MNC是等边三角形．试题分析：（1）根据等边三角形性质得出AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，求出∠ACD＝∠BCE，证△ACD≌△BCE即可；（2）根据全等求出∠ADC＝∠BEC，求出∠ADE+∠BED的值，根据三角形的内角和定理求出即可；（3）求出AM＝BN，根据SAS证△ACM≌△BCN，推出CM＝CN，求出∠NCM＝60°即可．答案详解：解：（1）∵△ABC、△CDE都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝BE．（2）解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC，∵等边三角形DCE，∴∠CED＝∠CDE＝60°，∴∠ADE+∠BED＝∠ADC+∠CDE+∠BED，＝∠ADC+60°+∠BED，＝∠CED+60°，＝60°+60°，＝120°，∴∠DOE＝180°﹣（∠ADE+∠BED）＝60°，答：∠DOE的度数是60°．（3）证明：∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，∴AM=12AD，BN=12BE，∴AM＝BN，在△ACM和△BCN中AC=BC∠CAM=∠CBNAM=BN，∴△ACM≌△BCN，∴CM＝CN，∠ACM＝∠BCN，又∠ACB＝60°，∴∠ACM+∠MCB＝60°，∴∠BCN+∠MCB＝60°，∴∠MCN＝60°，∴△MNC是等边三角形．27．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．（1）求证：AE＝2CE；（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．试题分析：（1）连接BE，由垂直平分线的性质可求得∠EBC＝∠ABE＝∠A＝30°，在Rt△BCE 中，由直角三角形的性质可证得BE＝2CE，则可证得结论；（2）由垂直平分线的性质可求得CD＝BD，且∠ABC＝60°，可证明△BCD为等边三角形．答案详解：（1）证明：连接BE，∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝30°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，在Rt△BCE中，BE＝2CE，∴AE＝2CE；（2）解：△BCD是等边三角形，理由如下：连接CD．∵DE垂直平分AB，∴D为AB中点，∵∠ACB＝90°，∴CD＝BD，∵∠ABC＝60°，∴△BCD是等边三角形．九．直角三角形斜中线的灵活运用。

轴对称之将军饮马模型基本图模1.已知：如图定点A、B分布在定直线l两侧；要求：在直线l上找一点P 使PA+PB的值最小解：连接AB交直线l于点P 点P即为所求,PA+PB的最小值即为线段AB的长度理由：在l上任取异于点P的一点P´连接AP´、BP´在△ABP’中 AP´+BP´>AB 即AP´+BP´>AP+BP∴P为直线AB与直线l的交点时 PA+PB最小.2.已知：如图定点A和定点B在定直线l的同侧要求：在直线l上找一点P 使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小）解：作点A关于直线l的对称点A´连接A´B交l于P点P即为所求；理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线由中垂线的性质得：PA=PA´要使PA+PB最小则需PA´+PB值最小从而转化为模型1.方法总结：1.两点之间线段最短；2.三角形两边之和大于第三边两边之差小于第三边；3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.【典例1】（2022春•漳州期末）如图要在街道l设立一个牛奶站O向居民区A B提供牛奶下列设计图形中使OA+OB值最小的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：作点A关于直线l的对称点A′连接A′B交直线l于点O则点O即为所求点．故选：D．【变式1】（2021春•成都期末）如图点A B在直线l的同侧在直线l上找一点P使P A+PB最小则下列图形正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵点A B在直线l的同侧∴作A点关于l的对称点A' 连接A'B与l的交点为P由对称性可知AP＝A'P∴P A+PB＝P A′+PB＝A′B为最小故选：B．【典例2】（2022春•埇桥区校级期末）如图Rt△ABC中∠ACB＝90°AC＝6 BC＝8 AB＝10 BD平分∠ABC如果点M N分别为BD BC上的动点那么CM+MN的最小值是（）A．4B．4.8C．5D．6【答案】B【解答】解：如图所示：过点C作CE⊥AB于点E交BD于点M过点M作MN⊥BC于点N∵BD平分∠ABC∴ME＝MN∴CM+MN＝CM+ME＝CE．∵Rt△ABC中∠ACB＝90°AC＝6 BC＝8 AB＝10 CE⊥AB∴S△ABC＝•AB•CE＝•AC•BC∴10CE＝6×8∴CE＝4.8．即CM+MN的最小值是4.8故选：B．【变式2-1】（2022春•河源期末）已知等腰△ABC中AB＝AC E是高AD上任一点F 是腰AB上任一点腰AC＝5 BD＝3 AD＝4 那么线段BE+EF的最小值是（）A．5B．3C．D．【答案】C【解答】解：如图作点F关于AD的对称点F′连接EF′．作BH⊥AC于H．∵AB＝AC AD⊥BC∴BD＝CD＝3∴点F′在AC上∵BE+EF＝BE+EF′根据垂线段最短可知当B E F′共线且与H重合时BE+EF的值最小最小值就是线段BH的长．在Rt△ACD中AC＝5∵•BC•AD＝•AC•BH∴BH＝∴BE+EF的最小值为故选：C【变式2-2】（2021秋•甘南县期末）如图在△ABC中直线l垂直平分AB分别交CB、AB于点D E点F为直线l上任意一点AC＝3 CB＝4．则△ACF周长的最小值是（）A．4B．6C．7D．10【答案】C【解答】解：∵直线l垂直平分AB∴A B关于直线l为对称∴F与D点重合时AF+CF最小最小值是BC＝4∴△ACF周长的最小值＝AF+CF+AC＝AC+CD+BD＝AC+BC＝3+4＝7故选：C．（2022春•南岸区校级期中）如图在Rt△ABC中∠C＝90°∠A＝30°AB 【变式2-3】＝7 BD是△ABC的角平分线点P点N分别是BD AC边上的动点点M在BC上且BM＝1 则PM+PN的最小值为（）A．3B．C．3.5D．【答案】A【解答】解：如图所示作点M关于BD的对称点M' 连接PM' 则PM'＝PM BM＝BM'＝1∴PN+PM＝PN+PM'当N P M'在同一直线上且M'N⊥AC时PN+PM'的最小值等于垂线段M'N的长此时∵Rt△AM'N中∠A＝30°∴M'N＝AM'＝×（7﹣1）＝3∴PM+PN的最小值为 3故选：A．【典例3】（2021春•西乡县期末）如图等腰三角形ABC的底边BC为4 面积为24 腰AC的垂直平分线EF分别交边AC AB于点E F若D为BC边的中点M为线段EF 上一动点则△CDM的周长的最小值为（）A．8B．10C．12D．14【答案】D【解答】解：连接AD MA．∵△ABC是等腰三角形点D是BC边的中点∴AD⊥BC∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝24 解得AD＝12∵EF是线段AC的垂直平分线∴点A关于直线EF的对称点为点C MA＝MC∴MC+DM＝MA+DM≥AD∴AD的长为CM+MD的最小值∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝12+×4＝14．故选：D【变式3-1】（2021秋•海珠区期中）如图在△ABC中AB＝AC BC＝4 △ABC的面积是14 AC的垂直平分线EF分别交AC AB于E F点．若点D为BC边的中点点M 为线段EF上一动点则CM+DM的最小值为（）A．21B．7C．4D．2【答案】B【解答】解：连接AD∵△ABC是等腰三角形点D是BC边的中点．∴AD⊥BC∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝14 解得AD＝7∵EF是线段AB的垂直平分线∴点C关于直线EF的对称点为点A连接AM则CM+DM＝AM+DM≥AD∴当点M在线段AD上时CM+DM的值最小∴AD的长为CM+MD的最小值．故选：B．【变式3-2】如图等腰三角形ABC的底边BC的长为4 面积是16 腰AC的垂直平分线EF分别交AC AB边于E F点若点D为BC边的中点点M为线段EF上一动点则△CDM周长的最小值为（）A．7B．8C．9D．10【答案】D【解答】解：∵EF是AC的垂直平分线∴点A与点C关于EF对称．连接AD与EF的交点为M则此时点M为使△CDM周长最小时的位置．∵点D是底边BC上的中点且△ABC是等腰三角形∴AD⊥BC．∵S△ABC＝16 BC＝4∴AD＝＝＝8．∵MA＝MC∴△CDM的周长＝MC+MD+CD＝AD+DC＝8+2＝10．故选：D【典例4】（2020秋•郧西县月考）如图已知∠AOB的大小为30°P是∠AOB内部的一个定点且OP＝1 点E、F分别是OA、OB上的动点则△PEF周长的最小值等于（）A．B．C．2D．1【答案】D【解答】解：作P点关于OA的对称点P' 作P点关于OB的对称点P'' 连接P'P''交OA 于点E、交BO于点F连接OP'、OP''由对称性可知PE＝P'E PF＝P''F∴△PEF周长＝PE+PF+EF＝P'E+P''F+EF＝P'P''此时△PEF周长最小∵PO＝OP' OP＝OP''∴OP'＝OP''∵∠AOB＝30°∴∠P'OP''＝60°∴△OP'P''是等边三角形∵OP＝1∴P'P''＝1故选：D．【变式4-1】（2021秋•澄城县期末）如图∠AOB＝30°∠AOB内有一定点P且OP ＝15 若在OA、OB上分别有动点M、N则△PMN周长的最小值是（）A．5B．15C．20D．30【答案】B【解答】解：作P关于OA的对称点D作P关于OB的对称点E连接DE交OA于M 交OB于N连接PM PN则此时△PMN的周长最小连接OD OE∵P、D关于OA对称∴OD＝OP PM＝DM同理OE＝OP PN＝EN∴OD＝OE＝OP＝15∵P、D关于OA对称∴OA⊥PD∵OD＝OP∴∠DOA＝∠POA同理∠POB＝∠EOB∴∠DOE＝2∠AOB＝2×30°＝60°∵OD＝OE＝15∴△DOE是等边三角形∴DE＝15即△PMN的周长是PM+MN+PN＝DM+MN+EN＝DE＝15故选：B．【变式4-2】（2021秋•应城市期末）如图∠MON＝50°P为∠MON内一点OM上有点A ON上有点B当△P AB的周长取最小值时∠APB的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．100°【答案】C【解答】解：如图分别作P关于OM、ON的对称点P1、P2然后连接两个对称点即可得到A、B两点.∴△P AB即为所求的三角形根据对称性知道：∠APO＝∠AP1O∠BPO＝∠BP2O还根据对称性知道：∠P1OP2＝2∠MON OP1＝OP2而∠MON＝50°∴∠P1OP2＝100°∴∠AP1O＝∠BP2O＝40°∴∠APB＝2×40°＝80°．故选：C．【典例5】（2021秋•丛台区校级期末）如图四边形ABCD中∠BAD＝130°∠B＝∠D＝90°在BC CD上分别找一点M N使△AMN的周长最小时则∠ANM+∠AMN的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．130°【答案】C【解答】解：作A点关于CD的对称点F作A点关于BC的对称点E连接EF交CD 于N交BC于M连接AM、AN∵∠B＝∠D＝90°∴AN＝NF AM＝EM∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝NF+MN+EM＝EF此时△AMN的周长有最小值∵∠F AN＝∠F∠E＝∠EAM∴∠E+∠F＝180°﹣∠BAD∵∠BAD＝130°∴∠E+∠F＝50°∴∠BAM+∠F AN＝50°∴∠MAN＝130°﹣50°＝80°∴∠ANM+∠AMN＝180°﹣∠MAN＝100°故选：C．【变式5-1】（2021秋•仁怀市期末）如图在四边形ABCD中∠B＝∠D＝90°∠BAD ＝140°点E F分别为BC和CD上的动点连接AE AF．当△AEF的周长最小时∠EAF的度数为（）A．60°B．90°C．100°D．120°【答案】C【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′A″连接A′A″交BC于E交CD于F则A′A″即为△AEF的周长最小值．∵DAB＝140°∴∠AA′E+∠A″＝180°﹣140°＝40°∵∠EA′A＝∠EAA′∠F AD＝∠A″∴∠EAA′+∠A″AF＝40°∴∠EAF＝140°﹣40°＝100°．故选：C．【变式5-2】（2022春•驻马店期末）如图四边形ABCD中∠BAD＝a∠B＝∠D＝90°在BC、CD上分别找一点M、N当△AMN周长最小时则∠MAN的度数为（）A．a B．2a﹣180°C．180°﹣a D．a﹣90°【答案】B【解答】解：延长AB到A′使得BA′＝AB延长AD到A″使得DA″＝AD连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．∵∠ABC＝∠ADC＝90°∴A、A′关于BC对称A、A″关于CD对称此时△AMN的周长最小∵BA＝BA′MB⊥AB∴MA＝MA′同理：NA＝NA″∴∠A′＝∠MAB∠A″＝∠NAD∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″）∵∠BAD＝a∴∠A′+∠A″＝180°﹣a∴∠AMN+∠ANM＝2×（180°﹣a）＝360°﹣2a．∴∠MAN＝180°﹣（360°﹣2a）＝2a﹣180°故选：B．【典例6】如图在平面直角坐标系中点C的坐标为（﹣1 5）．（1）若把△ABC向右平移5个单位再向下平移3个单位得到△A1B1C1并写出B1的坐标；（2）求出△ABC的面积；（3）在y轴上找一点P使得P A+PB的值最小（保留作图痕迹不写作法）．【解答】解：（1）如图△A1B1C1即为所求∴B1的坐标（3 ﹣2）；（2）S△ABC＝3×4﹣×2×2﹣×1×4﹣×2×3＝12﹣2﹣2﹣3＝5；（3）作点B关于y轴的对称点B' 连接AB'交y轴于P则点P即为所求．【变式6】如图在平面直角坐标系中点C的坐标为（﹣1 5）．（1）若把△ABC向右平移5个单位再向下平移3个单位得到△A1B1C1并写出B1的坐标；（2）在x轴上找一点P使得P A+PB的值最小.【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示．从图象看B1点的坐标是（﹣3 2）．（2）A点关于x轴的对称点A′坐标为（4 ﹣4）连接A'B交x轴于P点则P A+PB＝P A'+PB＝A'B此时P A+PB的值最小1．如图直线L是一条输水主管道现有A、B两户新住户要接水入户图中实线表示铺设的管道则铺设的管道最短的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：作点B关于直线l的对称点B' 连接AB′交直线l于M．根据两点之间线段最短可知选项C修建的管道则所需管道最短．故选：C．2．（2022•海港区校级开学）如图在△ABC中AB＝AC＝10 BC＝12 AD＝8 AD是∠BAC的平分线．若P Q分别是AD和AC上的动点则PC+PQ的最小值是（）A．9.6B．8C．6D．4.8【答案】A【解答】解：∵AB＝AC AD是∠BAC的平分线∴AD垂直平分BC∴BP＝CP．过点B作BQ⊥AC于点Q BQ交AD于点P则此时PC+PQ取最小值最小值为BQ 的长如图所示．∵S△ABC＝BC•AD＝AC•BQ∴BQ＝＝9.6．故选：A．3．（2022春•定海区期末）如图直线l1l2表示一条河的两岸且l1∥l2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直）使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短应该选择路线（）A．路线：PF→FQ B．路线：PE→EQC．路线：PE→EF→FQ D．路线：PE→EF→FQ【答案】C【解答】解：作PP'垂直于河岸l2使PP′等于河宽连接QP′与另一条河岸相交于F作FE⊥直线l1于点E则EF∥PP′且EF＝PP′于是四边形FEPP′为平行四边形故P′F＝PE根据“两点之间线段最短”QP′最短即PE+FQ最短．故C选项符合题意故选：C．4．（2022春•沙坪坝区校级期末）如图在△ABC中AD是△ABC的角平分线点E、F 分别是AD、AB上的动点若∠BAC＝50°当BE+EF的值最小时∠AEB的度数为（）A．105°B．115°C．120°D．130°【答案】B【解答】解：过点B作BB′⊥AD于点G交AC于点B′过点B′作B′F′⊥AB于点F′与AD交于点E′连接BE′如图此时BE+EF最小．∵AD是△ABC的角平分线∴∠BAD＝∠B′AD＝25°∴∠AE′F′＝65°∵BB′⊥AD∴∠AGB＝∠AGB′＝90°∵AG＝AG∴△ABG≌△AB′G（ASA）∴BG＝B′G∠ABG＝∠AB′G∴AD垂直平分BB′∴BE＝BE′∴∠E′B′G＝∠E′BG∵∠BAC＝50°∴∠AB′F′＝40°∴∠ABE＝40°∴∠BE′F′＝50°∴∠AE′B＝115°．故选：B．5．（2021秋•天津期末）如图在△ABC中AB的垂直平分线DE交BC于点D垂足为E M为DE上任意一点BA＝3 AC＝4 BC＝6 则△AMC周长的最小值为（）A．7B．6C．9D．10【答案】D【解答】解：如图所示连接BM∵DE是AB的垂直平分线∴AM＝BM∴AM+CM＝BM+CM当B M C在同一直线上时AM+CM的最小值为BC的长又∵AC＝4 BC＝6∴△AMC周长的最小值＝6+4＝10故选：D．6．（2021秋•海丰县期末）如图OE为∠AOB的角平分线∠AOB＝30°OB＝6 点P C分别为射线OE OB上的动点则PC+PB的最小值是（）A．3B．4C．5D．6【答案】A【解答】解：过点B作BD⊥OA交于D点交OE于点P过点P作PC⊥OB交于C点∵OE为∠AOB的角平分线∴DP＝CP∴PB+PC＝PD+PB＝BD此时PC+PB的值最小∵∠AOB＝30°OB＝6∴BD＝3故选：A．7．（2022春•茌平区期末）如图在平面直角坐标系中O为原点点A C E的坐标分别为（0 4）（8 0）（8 2）点P Q是OC边上的两个动点且PQ＝2 要使四边形APQE的周长最小则点P的坐标为（）A．（2 0）B．（3 0）C．（4 0）D．（5 0）【答案】C【解答】解：如图将点E（8 2）往左平移2个单位得到F（6 2）则EF＝2＝PQ EF∥PQ∴四边形EFPQ是平行四边形∴FP＝QE作点F关于x轴的对称点F' 连接PF'则PF'＝PF F'（6 ﹣2）∴当点A、P、F在同一直线上上时AP+PF'最小即AP+EQ最小∵A（0 4）F'（6 ﹣2）∴直线AF'解析式：y＝﹣x+4∴P（4 0）故选：C．8．（2021秋•北安市校级期末）如图等边三角形ABC的边长为6 A、B、A1三点在一条直线上且△ABC≌△A1BC1.若D为线段BC1上一动点则AD+CD的最小值是（）A．10B．12C．16D．18【答案】B【解答】解：连接CA1交BC1于点E∵直线l⊥AB且△ABC与△A1BC1关于直线l对称∴A B A1共线∵∠ABC＝∠A1BC1＝60°∴∠CBC1＝60°∴∠C1BA1＝∠C1BC∵BA1＝BC∴BD⊥CA1CD＝DA1∴C A1关于直线BC1对称∴当点D与B重合时AD+CD的值最小最小值为线段AA1的长＝12故选：B．9．如图AD是等边△ABC的BC边上的中线F是AD边上的动点E是AC边上动点当EF+CF取得最小值时则∠ECF的度数为（）A．15°B．22.5°C．30°D．45°【答案】C【解答】解：如图：过点B作BE⊥AC于点E交AD于点F连接CF∵△ABC是等边三角形∴AE＝ECAF＝FC∴∠F AC＝∠FCA∵AD是等边△ABC的BC边上的中线∴∠BAD＝∠CAD＝30°∴∠ECF＝30°．故选：C．10．如图在△ABC中AB＝AC BC＝4 面积是14 AC的垂直平分线EF分别交AC AB 边于E F点．若点D为BC边的中点点M为线段EF上一动点则△CDM周长的最小值为（）A．10B．9C．8D．6【答案】B【解答】解：连接AD AM∵△ABC是等腰三角形点D是BC边的中点∴AD⊥BC∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝14 解得AD＝7∵EF是线段AC的垂直平分线∴AM＝CM当点M在AD上时DM+CM最小最小值为AD∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝7+×4＝7+2＝9．故选：B．11．如图已知∠MON＝40°P为∠MON内一定点OM上有一点A ON上有一点B当△P AB的周长取最小值时∠APB的度数是°．【答案】100【解答】解：分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″连接OP′、OP″、P′P″P′P″交OM、ON于点A、B连接P A、PB此时△P AB周长的最小值等于P′P″．由轴对称性质可得OP′＝OP″＝OP∠P′OA＝∠POA∠P″OB＝∠POB∴∠P′OP″＝2∠MON＝2×40°＝80°∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣80°）÷2＝50°又∵∠BPO＝∠OP″B＝50°∠APO＝∠AP′O＝50°∴∠APB＝∠APO+∠BPO＝100°．故答案为：100．12．如图AB⊥BC AD⊥DC∠BAD＝116°在BC、CD上分别找一点M、N当△AMN周长最小时∠AMN+∠ANM的度数是．【答案】128°【解答】解：作A点关于BC的对称点E作A点关于CD的对称点F连接EF交BC 于M点交CD于N点∴AM＝EM AN＝NF∴AM+AN+MN＝EM+MN+NF＝EF此时△AMN周长最小由对称性可知∠E＝∠EAM∠F＝∠NAF∵∠BAD＝116°∴∠E+∠F＝180°﹣116°＝64°∴∠MAN＝116°﹣64°＝52°∴∠AMN+∠ANM＝180°﹣52°＝128°故答案为：128°．13．如图在平面直角坐标系中点A（4 4）B（2 ﹣4）．（1）若点A关于x轴、y轴的对称点分别是点C、D请分别描出并写出点C、D的坐标；（2）在y轴上求作一点P使P A+PB最小（不写作法保留作图痕迹）【解答】解：（1）如图所示；C点坐标为；（4 ﹣4）D点坐标为：（﹣4 4）；（2）连接BD交y轴于点P P点即为所求；。