高中数学第3章三角恒等变换312两角和与差的正弦启发性学案苏教版必修4

第三章 三角恒等变换1 三角恒等变换中角的变换的技巧三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换.观察条件及目标式中角之间的联系，消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地利用条件得出结论，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧. 一、利用条件中的角表示目标中的角例1 设α、β为锐角，且满足cos α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值.分析 利用变换β＝α－(α－β)寻找条件与所求之间的关系. 解 ∵α、β为锐角，且tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－ tan 2α－β1＋tan 2α－β＝－1010， cos(α－β)＝1－sin2α－β＝31010，sin α＝1－cos 2α＝35.∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×(－1010)＝91050. 二、利用目标中的角表示条件中的角例2 设α为第四象限的角，若sin 3αsin α＝135，则tan 2α＝_______________________.分析 要求tan 2α的值，注意到sin 3α＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α，代入到sin 3αsin α＝135，首先求出cos 2α的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan 2α.解析 由sin 3αsin α＝α＋αsin α＝sin 2αcos α＋cos 2αsin αsin α＝2cos 2α＋cos 2α＝135. ∵2cos 2α＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝135.∴cos 2α＝45.∵α为第四象限的角，∴2k π＋3π2<α<2k π＋2π(k ∈Z )，∴4k π＋3π<2α<4k π＋4π(k ∈Z )，∴2α可能在第三、四象限，又∵cos 2α＝45，∴2α在第四象限，∴sin 2α＝－35，tan 2α＝－34.答案 －34三、注意发现互余角、互补角，利用诱导公式转化角 例3 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值.分析 转化为已知一个角⎝⎛⎭⎪⎫π4－x 的三角函数值，求这个角的其余三角函数值的问题.这样可以将所求式子化简，使其出现⎝⎛⎭⎪⎫π4－x 这个角的三角函数.解 原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ，∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，且0<x <π4，∴π4－x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213，∴原式＝2×1213＝2413.四、观察式子结构特征，灵活凑出特殊角例4 求函数f (x )＝1－32sin(x －20°)－cos(x ＋40°)的最大值.分析 观察角(x ＋40°)－(x －20°)＝60°，可以把x ＋40°看成(x －20°)＋60°后运用公式展开，再合并化简函数f (x ).解 f (x )＝1－32sin(x －20°)－cos[(x －20°)＋60°]＝12sin(x －20°)－32sin(x －20°)－cos(x －20°)cos 60°＋sin(x －20°)sin 60° ＝12[sin(x －20°)－cos(x －20°)]＝22sin(x －65°)，当x －65°＝k ·360°＋90°，即x ＝k ·360°＋155°(k ∈Z )时，f (x )有最大值22.2 三角函数化简求值的“主角”三角函数化简求值是学习三角的一个重要内容，而“变角”是化简的重要形式，是化简求值这场大戏中的主角，它的表演套路主要有以下几招： 第一招 单角化复角例1 已知sin α＝12，α是第二象限的角，且tan(α＋β)＝－3，则tan β的值为________.解析 因为sin α＝12，α为第二象限的角，所以cos α＝－32，所以tan α＝－33. 所以tan β＝tan[(α＋β)－α]＝－3－－331＋－3－33＝－2332＝－33.答案 －33点评 将单角用已知复角表示时，需要将复角进行适当的组合、拆分，常见的拆分组合形式，如：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等.第二招 复角化单角 例2 化简：α＋βsin α－2cos(α＋β).解原式＝α＋β－α＋βαsin α＝sin[α＋α＋β－α＋βαsin α ＝α＋βα－α＋βαsin α＝α＋β－αsin α＝sin βsin α. 点评 由于该式含有2α＋β和α＋β，这两个角都是复角，而化简的要求为最终结果皆为单角，所以化简的思路就是利用两角和的正弦或余弦公式展开即可.第三招 复角化复角例3 已知π4<α<3π4，0<β<π4，cos(π4＋α)＝－35，sin(3π4＋β)＝513，求sin(α＋β)的值.解 因为π4<α<3π4，π2<π4＋α<π，所以sin(π4＋α)＝1－cos2π4＋α＝45. 又因为0<β<π4，3π4<3π4＋β<π，所以cos(3π4＋β)＝－1－sin23π4＋β＝－1213，所以sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)＝－sin[(π4＋α)＋(3π4＋β)]＝－[sin(π4＋α)cos(3π4＋β)＋cos(π4＋α)sin(3π4＋β)]＝－[45×(－1213)＋(－35)×513]＝6365.点评 由已知条件求出sin α或cos α过程较烦琐，故需要找到α＋β与π4＋α和3π4＋β的关系，即是将所求复角化为已知复角，再结合题目中等式关系和角的范围限制具体求解.3 三角恒等变换的几个技巧有关三角的题目是高考的热点，素以“小而活”著称.除了掌握基础知识之外，还要注意灵活运用几个常用的技巧.下面通过例题进行解析，希望对同学们有所帮助. 一、灵活降幂 例1 3－sin 70°2－cos 210°＝________. 解析3－sin 70°2－cos 210°＝3－sin 70°2－1＋cos 20°2＝3－cos 20°3－cos 20°2＝2. 答案 2点评 常用的降幂技巧还有：因式分解降幂、用平方关系sin 2θ＋cos 2θ＝1进行降幂：如cos 4θ＋sin 4θ＝(cos 2θ＋sin 2θ)2－2cos 2θsin 2θ＝1－12sin 22θ，等等.二、化平方式例2 化简求值：12－12 12＋12cos 2α(α∈(3π2，2π)). 解 因为α∈(3π2，2π)，所以α2∈(3π4，π)，所以cos α>0，sin α2>0，故原式＝12－121＋cos 2α2＝12－12cos α＝sin2α2＝sin α2. 点评 一般地，在化简求值时，遇到1＋cos 2α、1－cos 2α、1＋sin 2α、1－sin 2α常常化为平方式：2cos 2α、2sin 2α、(sin α＋cos α)2、(sin α－cos α)2. 三、灵活变角例3 已知sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)＝________.解析 cos(2π3＋2α)＝2cos 2(π3＋α)－1＝2sin 2(π6－α)－1＝2×(13)2－1＝－79.答案 －79点评 正确快速求解本题的关键是灵活运用已知角“π6－α”表示待求角“2π3＋2α”，善于发现前者和后者的一半互余. 四、构造齐次弦式比，由切求弦例4 已知tan θ＝－12，则cos 2θ1＋sin 2θ的值是________.解析 cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＋2sin θcos θ ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＋2tan θ＝1－141＋14＋－12＝3414＝3. 答案 3点评 解本题的关键是先由二倍角公式和平方关系把“cos 2θ1＋sin 2θ”化为关于sin θ和cosθ的二次齐次弦式比.五、分子、分母同乘以2nsin α求cos αcos 2αcos 4α·cos 8α…cos 2n －1α的值例5 求值：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°. 解 原式＝12cos 20°cos 40°cos 80°＝4sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°8sin 20°＝2sin 40°cos 40°cos 80°8sin 20°＝sin 80°cos 80°8sin 20°＝116·sin 160°sin 20°＝116.点评 这类问题的解决方法是分子、分母同乘以最小角的正弦的倍数即可.4 聚焦三角函数最值的求解策略一、化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式求解例1 求函数f (x )＝sin 4x ＋cos 4x ＋sin 2x cos 2x 2－sin 2x的最值.解 原函数变形得：f (x )＝2x ＋cos 2x2－sin 2x cos 2x2－sin 2x＝1－14sin 22x 2－sin 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12sin 2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12sin 2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12sin 2x ＝14sin 2x ＋12.∴f (x )max ＝34，f (x )min ＝14. 例2 求函数y ＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x 的最小值，并写出y 取最小值时x 的集合. 解 原函数化简得：y ＝sin 2x ＋cos 2x ＋2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2.当2x ＋π4＝2k π＋3π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋5π8，k ∈Z 时，y min ＝2－ 2.此时x 的集合为{x |x ＝k π＋5π8，k ∈Z }. 点评 形如y ＝a sin 2ωx ＋b sin ωx cos ωx ＋c cos 2ωx ＋d (a ，b ，c ，d 为常数)的式子，都能转化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式求最值. 二、利用正弦、余弦函数的有界性求解 例3 求函数y ＝2sin x ＋12sin x －1的值域.解 原函数整理得：sin x ＝y ＋1y －.∵|sin x |≤1，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋1y －≤1，解出y ≤13或y ≥3. 例4 求函数y ＝sin x ＋3cos x －4的值域.解 原函数整理得：sin x －y cos x ＝－4y －3， ∴y 2＋1sin(x ＋φ)＝－4y －3，∴sin(x ＋φ)＝－4y －31＋y2. ∵|sin(x ＋φ)|≤1，解不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪－4y －31＋y 2≤1得：－12－2615≤y ≤－12＋2615. 点评 对于形如y ＝a sin x ＋b c sin x ＋d 或y ＝a sin x ＋bc cos x ＋d的这类函数，均可利用三角函数中弦函数的有界性去求最值.三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值例5 设关于x 的函数y ＝cos 2x －2a cos x －2a 的最小值为f (a )，写出f (a )的表达式.解 y ＝cos 2x －2a cos x －2a ＝2cos 2x －2a cos x －(2a ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －a 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋2a ＋1.当a2<－1，即a <－2时，f (a )＝y min ＝1，此时cos x ＝－1.当－1≤a 2≤1，即－2≤a ≤2时，f (a )＝y min ＝－a 22－2a －1，此时cos x ＝a2.当a2>1，即a >2时，f (a )＝y min ＝1－4a ，此时cos x＝1. 综上所述，f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a <－－12a 2－2a －－2≤a1－4a a.点评 形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数可转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 在区间[－1，1]上的最值问题解决.例6 试求函数y ＝sin x ＋cos x ＋2sin x cos x ＋2的最值.解 设sin x ＋cos x ＝t ，t ∈[－2， 2 ]，则2sin x cos x ＝t 2－1，原函数变为y ＝t 2＋t ＋1，t ∈[－2， 2 ]，当t ＝－12时，y min ＝34；当t ＝2时，y max ＝3＋ 2.点评 一般地，既含sin x ＋cos x (或sin x －cos x )又含sin x cos x 的三角函数采用换元法可以转化为t 的二次函数解最值.注意以下结论的运用，设sin x ＋cos x ＝t ，则sin x cosx ＝12(t 2－1)；sin x －cos x ＝t ，则sin x cos x ＝12(1－t 2).四、利用函数的单调性求解 例7 求函数y ＝＋sin x ＋sin x2＋sin x的最值.解 y ＝sin 2x ＋4sin x ＋3sin x ＋2＝x ＋2－1sin x ＋2＝(sin x ＋2)－1x ＋，令t ＝sin x ＋2，则t ∈[1，3]，y ＝t －1t.利用函数单调性的定义易证函数y ＝t －1t在[1，3]上为增函数.故当t ＝1即sin x ＝－1时，y min ＝0； 当t ＝3即sin x ＝1时，y max ＝83.例8 在Rt△ABC 内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC 上，设AB ＝a ，∠ABC ＝θ，△ABC 的面积为P ，正方形面积为Q .求P Q的最小值.解 AC ＝a tan θ，P ＝12AB ·AC ＝12a 2tan θ.设正方形边长为x ，AG ＝x cosθ，BC ＝acos θ.BC 边上的高h ＝a sin θ，∵AG AB ＝h －xh，即x cos θa ＝a sin θ－x a sin θ，∴x ＝a sin θ1＋sin θcos θ， ∴Q ＝x 2＝a 2sin 2θ＋sin θcos θ2.从而P Q ＝sin θ2cos θ·＋sin θcos θ2sin 2θ＝＋sin 2θ24sin 2θ＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 2θ4＋1sin 2θ.易知函数y ＝1t ＋t4在区间(0，1]上是单调减函数，从而，当sin 2θ＝1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫P Q min ＝94. 点评 一些复杂的三角函数最值问题，通过适当换元转化为简单的代数函数后，可利用函数单调性巧妙解决.5 行百里者半九十——《三角恒等变换》一章易错问题盘点 一、求角时选择三角函数类型不当而致错 例1 已知sin α＝55，sin β＝1010，α和β都是锐角，求α＋β的值. [错解] 因为α和β都是锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，所以cos α＝255，cos β＝31010， sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝55×31010＋255×1010＝22. 因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则α＋β∈(0，π).所以α＋β＝π4或3π4.[剖析] 由sin α＝55，sin β＝1010，α和β都是锐角，可以知道α和β都是定值，因此α＋β也是定值，因此上述解法出现两个答案，其中就有一个是错误的.这是因为sin(α＋β)在第一、第二象限没有区分度，应选择计算cos(α＋β)的值. [正解] 因为α和β都是锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，所以cos α＝255，cos β＝31010， cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22.因为α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π4.温馨点评 根据条件求角，主要有两步：求角的某种三角函数值；确定角的范二、忽视条件中隐含的角的范围而致错例2 已知tan 2α＋6tan α＋7＝0，tan 2β＋6tan β＋7＝0，α、β∈(0，π)，且α≠β，求α＋β的值.[错解] 由题意知tan α、tan β是方程x 2＋6x ＋7＝0的两根，由根与系数的关系得：⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－6 ①tan αtan β＝7 ②∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－61－7＝1.∵0<α<π，0<β<π，∴0<α＋β<2π， ∴α＋β＝π4或α＋β＝5π4.[剖析] 由①②知tan α<0，tan β<0.角α、β都是钝角.上述解法忽视了这一隐含条件.[正解] 由⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－6，tan αtan β＝7，易知tan α<0，tan β<0.∵α、β∈(0，π)， ∴π2<α<π，π2<β<π.∴π<α＋β<2π. 又∵tan(α＋β)＝1，∴α＋β＝54π.三、忽略三角形内角间的关系而致错例3 在△ABC 中，已知sin A ＝35，cos B ＝513，求cos C .[错解] 由sin A ＝35，得cos A ＝±45，由cos B ＝513，得sin B ＝1213，当cos A ＝45时，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1665.当cos A ＝－45时，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝5665.[剖析] 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的和为π，解题时要充分利用这一定理.本题得到cos A ＝±45后，没有对cos A ＝－45这一结果是否合理进行检验，从而导致结论不正确.[正解] 由cos B ＝513>0，∴B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin B ＝1213.由sin A ＝35，得cos A ＝±45，当cos A ＝－45时，cos A <－12.∴A >2π3.∵sin B ＝1213>32，B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴B >π3.故当cos A ＝－45时，A ＋B >π，与A 、B 是△ABC 的内角矛盾.∴cos A ＝45，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1665.四、忽略三角函数的定义域而致错例4 判断函数f (x )＝1＋sin x －cos x 1＋sin x ＋cos x的奇偶性.[错解] f (x )＝1＋sin x －cos x1＋sin x ＋cos x ＝1＋2sin x 2cos x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2sin 2x21＋2sin x 2cos x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2－1＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x2＋sin x 22cos x 2⎝⎛⎭⎪⎫sin x 2＋cos x 2＝tan x2，由此得f (－x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＝－tan x2＝－f (x )，因此函数f (x )为奇函数.[剖析] 运用公式后所得函数f (x )＝tan x2的定义域为{}x |x ∈R ，x ≠2k π＋π，k ∈Z .两函数的定义域不同，变形后的函数定义域扩大致错.[正解] 事实上，由1＋sin x ＋cos x ≠0可得sin x ＋cos x ≠－1， 即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≠－1，从而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≠－22，所以x ＋π4≠2k π＋5π4且x ＋π4≠2k π＋7π4(k ∈Z )，故函数f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠2k π＋π且x ≠2k π＋3π2，k ∈Z ，显然该定义域不关于原点对称.因此，函数f (x )为非奇非偶函数.五、误用公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)而致错例5 若函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)，x ∈R 是偶函数，求θ的值. [错解] ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)， ∴f (0)＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4. ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)是偶函数.∴|f (0)|＝f (x )max ＝2.∴f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝±2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝±1，∴θ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z .即θ＝k π＋π4，k ∈Z .[剖析] ∵x ＋θ与x －θ是不同的角.∴函数f (x )的最大值不是2，上述解答把f (x )的最大值误当作2来处理. [正解] ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)是偶函数. ∴f (x )＝f (－x )对一切x ∈R 恒成立.即sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)＝sin(－x ＋θ)＋cos(－x －θ)恒成立. ∴[sin(x ＋θ)＋sin(x －θ)]＋[cos(x －θ)－cos(x ＋θ)]＝0. ∴2sin x cos θ＋2sin x sin θ＝0恒成立. 即2sin x (cos θ＋sin θ)＝0恒成立.∴cos θ＋sin θ＝0.∵cos θ＋sin θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝0. ∴θ＋π4＝k π，即θ＝k π－π4，k ∈Z .温馨点评 注意公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2x ＋φ的左端是同角x .当三角函数式不符合这一特征时，不能使用该公式. 例如：函数f x ＝x ＋θ＋\x －θx ∈R 的最大值不是2.6 平面向量与三角函数的交汇题型大全平面向量与三角函数的交汇是当今高考命题的一个热点，这是因为此类试题既新颖而精巧，又符合在知识的“交汇处”构题的命题思想.这类试题解答的关键是利用向量的平行、垂直、夹角、模、数量积公式将问题转化为三角问题，然后联想相关的三角函数知识求解. 一、平面向量平行与三角函数交汇例1 已知a ＝(2cos x ＋23sin x ，1)，b ＝(y ，cos x )，且a ∥b .若f (x )是y 关于x 的函数，则f (x )的最小正周期为________.解析 由a ∥b 得2cos 2x ＋23sin x cos x －y ＝0，即y ＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＝2sin(2x ＋π6)＋1，所以f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋1，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.答案 π点评 解答平面向量平行与三角函数的交汇试题一般先用平面向量平行的条件求涉及到三角函数的解析式或某角的函数值，然后再利用三角知识求解. 二、平面向量垂直与三角函数交汇例2 已知向量a ＝(4，5cos α)，b ＝(3，－4tan α)，α∈(0，π2)，若a ⊥b ，则cos(2α＋π4)＝____. 解析 因为a ⊥b ，所以4×3＋5cos α×(－4tan α)＝0， 解得sin α＝35.又因为α∈(0，π2)，所以cos α＝45.cos 2α＝1－2sin 2α＝725，sin 2α＝2sin αcos α＝2425，于是cos(2α＋π4)＝cos 2αcos π4－sin 2αsin π4＝－17250.答案 －17250点评 解答平面向量垂直与三角函数的交汇试题通常先利用平面向量垂直的条件将向量问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的知识进行处理. 三、平面向量夹角与三角函数交汇例3 已知向量m ＝(sin θ，1－cos θ)(0<θ<π)与向量n ＝(2，0)的夹角为π3，则θ＝______.解析 由条件得|m |＝sin 2θ＋－cos θ2＝2－2cos θ，|n |＝2，m ·n ＝2sin θ，于是由平面向量的夹角公式得cos π3＝m ·n |m ||n |＝2sin θ22－2cos θ＝12，整理得2cos 2θ－cos θ－1＝0，解得cos θ＝－12或cos θ＝1(舍去).因为0<θ<π，所以θ＝2π3.答案2π3点评 解答平面向量的夹角与三角函数的交汇试题主要利用平面向量的夹角公式建立某角的三角函数的方程或不等式，然后由三角函数的知识求解. 四、平面向量的模与三角函数交汇例4 若向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值为________. 解析 由条件可得|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝3cos θ－sin θ， 则|2a －b |＝|2a －b |2＝4a 2＋b 2－4a ·b ＝8－3cos θ－sin θ＝8－θ＋π6≤4，所以|2a －b |的最大值为4. 答案 4点评 解答平面向量的模与三角函数交汇的题目一般要用到向量的模的性质|a |2＝a 2.如果是求模的大小，则一般可直接求解；如果是求模的最值，则常常先建立模关于某角的三角函数，然后利用三角函数的有界性求解. 五、平面向量数量积与三角函数交汇例5 若函数f (x )＝2sin(π6x ＋π3)(－2<x <10)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于B 、C 两点，则(OB →＋OC →)·OA →＝________.解析 由f (x )＝0，解得x ＝4，即A (4，0)，过点A 的直线l 与函数的图象交于B 、C 两点，根据对称性可知，A 是BC 的中点，所以OB →＋OC →＝2OA →，所以(OB →＋OC →)·OA →＝2OA →·OA →＝2|OA →|2＝2×42＝32，答案 32点评 平面向量数量积与三角函数的综合主要体现为两类：(1)利用三角函数给出向量的坐标形式，然后求数量积，解答时利用数量积公式可直接解决；(2)给出三角函数图象，求图象上相关点构成的向量之间的数量积，解答时关键是求涉及到的向量的模、以及它们的夹角.。

第三章三角恒等变换3.2 简单的三角恒等变换一、教学目标1、能用两角和与差的正弦、余弦、二倍角的正弦、余弦公式进行简单的三角y a x b x的化简方法.恒等变换，记住sin cosy A x的三角函数性质进行讨论，能灵活运用公2、能正确的对形如sin()式，通过三角恒等变换，解决函数的最值、周期、单调性等问题.3、能运用三角公式解决一些实际问题.4、通过三角恒等变换的训练，能够培养转化与化归的数学思想.二、教学重难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，进行三角恒等变换，对形如y A x的三角函数性质进行讨论sin()教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不y A x三角函数的应断提高从整体上把握变换过程的能力．对形如sin()用.三、教学过程 [来源:学。

科。

网Z。

X。

X。

K]y A x函数性质的探究探究一：形如sin()问题1.求函数2sin(2)()y x x R的周期，最大值.6问题2.求函数sin 3cos ()y x x x R 的周期，最大值.问题3.函数sin 3cos y x x 如何化简为sin()y A x 的形式呢？问题4.刚才所化简的函数是形如sin cos y a x b x 的函数，那么我们如何将形如sin cos y a x b x 的函数化简为sin()yA x 的形式呢？辅助角公式：例题1：函数3sin 3cos ()22xxy x R 的周期为 .y A x函数的实际应用探究二：形如sin()问题5：如图，半径为R的半圆内有一内接长方形，圆心为O,且,则当取何值时，内接长方形面AOB,(0,)2积最大？。

高中数学必修4 第3章 三角恒等变换 3.1.1 两角差的余弦公式一、教学目标掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单使用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础. 二、教学重、难点1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不但有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，使用已学知识和方法的水平问题，等等. 三、教学设想： （一）导入：问题1： 我们在初中时就知道 2cos 452=，3cos302=，由此我们能否得到()cos15cos 4530?=-=大家能够猜测，是不是等于cos 45cos30-呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜测是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式()cos ?αβ-= （二）探讨过程：在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角α的终边与单位圆的交点为1P ，cos α等于角α与单位圆交点的横坐标，也能够用角α的余弦线来表示。

思考?.1角函数线来探求公式怎样联系单位圆上的三(1) 怎样构造角β和角αβ-？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）?)2(的余弦线和余弦线的正弦线怎样作出角βαβα-，、、思考2：怎样联系向量的数量积探求公式？（1）结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？（2）怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？ 两角差的余弦公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-（三）例题讲解例1、利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值. 解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差.()231cos75cos 4530cos 45cos30sin 45sin 30222=+=-=⨯=()231cos15cos 4530cos 45cos30sin 45sin 302222=-=+=⨯=点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：()cos15cos 6045=-，要学会灵活使用.例2、已知4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求()cos αβ-的值.解：因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=由此得3cos 5α===-又因为5cos ,13ββ=-是第三象限角，所以12sin 13β===-所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭点评：注意角α、β的象限，也就是符号问题.思考：此题中没有),2ππα⎝⎛∈，呢？ （四）练习：不查表计算以下各式的值：︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（︒+︒15sin 2315cos 212）（解： ︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（ 2160cos )2080cos(=︒=︒-︒= （五）小结：两角差的余弦公式，首先要理解公式结构的特征，理解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角α、β的象限，也就是符号问题，学会灵活使用.（1）牢记公式．S S C C C ⋅+⋅=-)(βα（2）在“给值求值”题型中灵活处理已、未知关系． （六）作业3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、教材分析本节的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，为了引起学生学习本章的兴趣，理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用从而激发学生对本章内容的学习兴趣和求知欲。

学业分层测评(二十五) 两角和与差的正弦(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．已知cos αcos β－sin αsin β＝0，那么sin αcos β＋cos αsin β的值为________．【解析】 由cos αcos β－sin αsin β＝0得cos(α＋β)＝0，∴α＋β＝π2＋k π，k ∈Z . ∴sin αcos β＋cos αsin β＝sin(α＋β)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋k π＝±1. 【答案】 ±12．若M ＝sin 12°cos 57°－cos 12°sin 57°，N ＝cos 10°cos 55°＋sin 10°sin 55°，则M ＋N ＝________.【解析】 M ＝sin 12°cos 57°－cos 12°sin 57°＝sin(12°－57°)＝sin(－45°)＝－22. N ＝cos 10°cos 55°＋sin 10°sin 55°＝cos(10°－55°)＝cos(－45°)＝22. ∴M ＋N ＝0.【答案】 03．若锐角α，β满足cos α＝45，cos(α＋β)＝35，则sin β的值是________． 【解析】 ∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，cos α＝45，cos(α＋β)＝35. ∴sin α＝35， ∴0＜α＋β＜π，∴sin(α＋β)＝45. ∴sin β＝sin []α＋β－α＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝45×45－35×35＝725【答案】 7254．在△ABC 中，2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是________．【解析】 在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B )，∴2cos B sin A ＝sin π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B .∴－sin A cos B ＋cos A sin B ＝0.即sin(B －A )＝0.∴A ＝B .【答案】 等腰三角形5．(2016·南通高一检测)要使sin α－3cos α＝4m －64－m有意义，则实数m 的取值范围是________．【解析】 ∵sin α－3cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3. ∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝4m －64－m . ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝2m －34－m ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m －34－m ≤1，解得－1≤m ≤73. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，736．化简：sin 24°cos 6°－sin 66°sin 6°sin 21°cos 39°－cos 21°sin 39°＝________. 【解析】sin 24°cos 6°－sin 66°sin 6°sin 21°cos 39°－cos 21°sin 39° ＝sin 24°cos 6°－cos 24°sin 6°sin 21°cos 39°－cos 21°sin 39° ＝－－＝sin 18°－sin 18°＝－1. 【答案】 －17．若8sin α＋5cos β＝6,8cos α＋5sin β＝10，则sin(α＋β)＝________.【导学号：06460074】【解析】 由8sin α＋5cos β＝6，两边平方，得64sin 2α＋80sin αcos β＋25cos 2β＝36.①由8cos α＋5sin β＝10，两边平方，得64cos 2α＋80cos α sin β＋25sin 2β＝100.②由①＋②，得64＋25＋80(sin αcos β＋cos αsin β)＝136.∴sin(α＋β)＝4780.【答案】 47808．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－αsin α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋αcos α＝________.【解析】 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α，所以原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－αcos α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－αsin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋α＝sin π6＝12.【答案】 12二、解答题9．已知cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，且π2＜β＜α＜34π，求sin 2α.【解】 ∵π2＜β＜34π，∴－34π＜－β＜－π2.∵π2＜α＜34π，∴－π4＜α－β＜π4.又∵β＜α，∴0＜α－β＜π4，则sin ()α－β＝513.∵sin(α＋β)＝－35，π＜α＋β＜32π，∴cos(α＋β)＝－45.∴sin 2α＝sin []α－β＋α＋β＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－5665.10．(2016·南京高一检测)若函数f (x )＝(1＋3tan x )·cos x,0≤x ＜π2.(1)把f (x )化成A sin(ωx ＋φ)的形式；(2)判断f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2上的单调性，并求f (x )的最大值．【解】 (1)f (x )＝(1＋3tan x )·cos x＝cos x ＋3·sin xcos x ·cos x＝cos x ＋3sin x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6cos x ＋cos π6sin x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.(2)∵0≤x ＜π2，∴π6≤x ＋π6＜2π3，由x ＋π6≤π2，得x ≤π3.∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上是单调增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2上是单调减函数．∴当x ＝π3时，f (x )有最大值为2.能力提升]1．函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．【解析】 ∵f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ＝sin(x ＋φ)－φ]＝sin x ，∴f (x )的最大值为1.【答案】 12．(2016·苏州高一检测)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝453，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是________．【解析】 ∵cos α·32＋sin α·12＋sin α＝453， ∴32sin α＋32cos α＝453， ∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α·32＋cos α·12＝453， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6 ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45. 【答案】 －453．sin 50°(1＋3tan 10°)＝________.【解析】 原式＝sin 50°⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3sin 10°cos 10° ＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10° ＝2sin 50°·－cos 10°＝2sin 50°cos 50°cos 10° ＝sin 50°cos 50°＋cos 50°sin 50°cos 10° ＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1. 【答案】 14．已知sin α＝23，cos β＝－14，且α，β为相邻象限的角，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值．【解】 ∵sin α＝23＞0，cos β＝－14，且α，β为相邻象限的角，∴α为第一象限角且β为第二象限角；或α为第二象限角且β为第三象限角．①当α为第一象限角且β为第二象限角时，cos α＝53，sin β＝154， ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋53×154＝53－212. ∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14－53×154 ＝－2－5312＝－2＋5312.②当α为第二象限角且β为第三象限角时，∵sin α＝23，cos β＝－14，∴cos α＝－53，sin β＝－154，∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－53×⎝ ⎛⎭⎪⎫－154＝53－212sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14－⎝ ⎛⎭⎪⎫－53×⎝ ⎛⎭⎪⎫－154＝－2＋5312，综上可知，sin(α＋β)＝53－212，sin(α－β)＝－2＋5312.。