高中数学课时作业解析及答案
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课后作业(八)
一、选择题
1．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝π3对称的函数
是( )
A．y＝2sin(2x＋π3) B．y＝2sin(2x－π6)
C．y＝2sin(x2＋π3) D．y＝2sin(2x－π3)
2．函数y＝tan(π4－x)的定义域是( )
A．{x|x≠π4} B．{x|x≠－π4}
C．{x|x≠kπ＋π4，k∈Z} D．{x|x≠kπ＋3π4，k∈Z}
3．函数y＝sin2x＋sin x－1的值域为( )
A．[－1，1] B．[－54，－1]
C．[－54，1] D．[－1，54]
4．函数y＝sin 2x的图象向右平移φ(φ＞0)个单位，得到的图象关
于直线x＝π6对称，则φ的最小值为( )
D．以上都不对
5．已知函数f(x)＝sin x＋3cosx，设a＝f(π7)，b＝f(π6)，c＝f(π3)，
则a，b，c的大小关系是( )
A．a＜b＜c B．c＜a＜
b
C．b＜a＜c D．b＜c＜
a
6．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，－π＜φ≤
π.若f(x)的最小正周期为6π，，且当x＝π2时，f(x)取得最大值，则( )
A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数
B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数
C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数
D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数
二、填空题
7．已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)，f(α)＝A，f(β)＝0，|α－β|的最
小值为π3，则正数ω＝________．
8．已知函数f(x)＝3sin(ωx－π6)(ω＞0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋
1的图象的对称轴完全相同，若x∈[0，π2]，则f(x)的取值范围是________．
9．已知函数f(x)＝cosxsinx(x∈R)，给出下列四个命题：
①若f(x1)＝－f(x2)，则x1＝－x2；
②f(x)的最小正周期是2π；
③f(x)在区间[－π4，π4]上是增函数；
④f(x)的图象关于直线x＝3π4对称．
其中真命题是________．
三、解答题
10．已知函数f(x)＝sin xcosx＋sin2x，
(1)求f(π4)的值；
(2)若x∈[0，π2]，求f(x)的最大值及相应的x值．
11．设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，y＝f(x)图象的一条
对称轴是直线x＝π8，
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．
12．(2013·潍坊模拟)已知向量a＝(Asinωx，Acosωx)，b＝(cos
θ，sin θ)，f(x)＝a·b＋1，其中A＞0，ω＞0，θ为锐角．f(x
)的图
象的两个相邻对称中心的距离为π2，且当x＝π12时，f(x)取得最大值3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)将f(x)的图象先向下平移1个单位，再向左平移φ(φ＞0)个单
位得g(x)的图象，若g(x)为奇函数，求φ的最小值．
解析及答案
一、选择题
1．【解析】 根据函数的最小正周期为π，排除C，又图象关于直线
x＝π3对称，则f(π3)＝2或f
(π3)＝－2，代入检验知选B.
【答案】 B
2．【解析】 y＝tan(π4－x)＝－tan(x－π4)，由x－π4≠π2＋kπ，
k
∈Z得x≠kπ＋3π4，k∈Z，故选D.
【答案】 D
3．【解析】 f(x)＝(sin x＋12)2－54，
∵sin x∈[－1，1]，
∴－54≤f(x)≤1，
∴f(x)的值域为[－54，1]．
【答案】 C
4．【解析】 函数y＝sin 2x的图象平移后所得图象对应的函数解析
式为y＝sin 2(x－φ)＝sin(2x－2φ)，其图象关于x＝π6对称，所以2·
π
6
－2φ＝kπ＋π2(k∈Z)，解得φ＝－k2π－π12(k∈Z)，
故当k＝－1时，φ的最小值为5π12.
【答案】 A
5．【解析】 ∵f(x)＝sin x＋3cosx＝2sin(x＋π3)，
∴函数f(x)的图象关于直线x＝π6对称，从而f(π3)＝f(0)，
又f(x)在[0，π6]上是增函数，∴f(0)＜f(π7)＜f(π6)，即c＜a＜b.
【答案】 B
6．【解析】 ∵T＝6π，∴ω＝2πT＝2π6π＝13，
∴13×π2＋φ＝2kπ＋π2，
∴φ＝2kπ＋π3(k∈Z)．
∵－π＜φ≤π，
∴令k＝0得φ＝π3.
∴f(x)＝2sin(x3＋π3)．
令2kπ－π2≤x3＋π3≤2kπ＋π2，k∈Z，
则6kπ－5π2≤x≤6kπ＋π2，k∈Z.
易知f(x)在区间[－2π，0]上是增函数．
【答案】 A
二、填空题
7．【解析】 由|α－β|的最小值为π3知函数f(x)的周期T＝43π，
∴ω＝2πT＝32.
【答案】
3
2
8．【解析】 依题意得ω＝2，所以f(x)＝3sin(2x－π6)．
因为x∈[0，π2]，
所以2x－π6∈[－π6，56π]，
所以sin(2x－π6)∈[－12，1]，
所以f(x)∈[－32，3]．
【答案】 [－32，3]
9．【解析】 f(x)＝12sin 2x，当x1＝0，x2＝π2时，f(x1)＝－f(x2)，
但x1≠－x2，故①是假命题；f(x)的最小正周期为π，故②是假命题；当
x∈[－π4，π4]时，2x∈[－π2，π2]，故③是真命题；因为f
(3π4)＝12sin
32π＝－12，故f(x)的图象关于直线x＝3
4
π对称，故④是真命题．
【答案】 ③④
三、解答题
10．【解析】 (1)∵f(x)＝sin xcosx＋sin2x，
∴f(π4)＝sin π4cosπ4＋sin2π4＝(22)2＋(22)2＝1.
(2)f(x)＝sin xcosx＋sin2x＝12sin 2x＋
1－cos 2
x
2
＝12(sin 2x－cos 2x)＋12＝22sin(2x－π4)＋12，
由x∈[0，π2]得2x－π4∈[－π4，3π4]，
所以，当2x－π4＝π2，即x＝38π时，f(x)取到最大值为2＋12.
11．【解析】 (1)∵直线x＝π8是函数f(x)图象的一条对称轴，
∴2×π8＋φ＝π2＋kπ，k∈Z，
即φ＝π4＋kπ，k∈Z，又－π＜φ＜0，
∴φ＝－34π.
(2)由(1)知f(x)＝sin(2x－34π)，
令－π2＋2kπ≤2x－34π≤π2＋2kπ，k∈Z，
得π8＋kπ≤x≤5π8＋kπ，k∈Z.
因此y＝f(x)的单调增区间为[π8＋kπ，58π＋kπ]，k∈Z.
12．【解析】 (1)f(x)＝a·b＋1＝Asinωx·cosθ＋Acosωx·sin
θ
＋1＝Asin(ωx＋θ)＋1，
∵f(x)的图象的两个相邻对称中心的距离为π2，
∴T＝π＝2πω，
∴ω＝2.
∵当x＝π12时，f(x)的最大值为3，
∴A＝3－1＝2，且有2·π12＋θ＝2kπ＋π2(k∈Z)．
∴θ＝2kπ＋π3，∵θ为锐角，∴θ＝π3.
∴f(x)＝2sin(2x＋π3)＋1.
(2)由题意可得g(x)的解析式为g(x)＝2sin[2(x＋φ)＋π3]，
∵g(x)为奇函数，
∴2φ＋π3＝kπ，φ＝kπ2－π6(k∈Z)，
∵φ＞0，∴当k＝1时，φ取最小值π3.
