数学建模论文---数学建模参赛队员组队的选拔

数学建模参赛队员组队的选拔 一、摘要 本文是一个如何选拔最优秀的队员和科学合理组队问题的数学模型。此模型我们主要采用的是层次分析法，综合考虑每个学生的相关信息和整队的技术水平,最后将三十名已经选拔出来的学生组成十队，每队三人，并达到所要求的目的。

对于问题一，综合考虑每位参赛人员的相关信息，包括：编程、想法、写作、数学能力等，并考虑到各项指标之间的互补性（最好是不同专业、年级），使得每队的竞技水平达到平均值，以实现十队实力相当。将三十人的数据通过模型假设和计算我们得出以下组合方案能使每队实力相当： 组队 队员一 队员二 队员三 该队竞技水平 第一组 A B C

0.1041

第二组 E D N

0.1024

第三组 F G O

0.0971

第四组 I H Q

0.0871

第五组 J L S

0.1026

第六组 K M V

0.099

第七组 R P X

0.0996

第八组 U T Y

0.1031

第九组 A3 W Z

0.1032

第十组 A4 A2 A1

0.1019

问题二是要是得本次比赛的参赛队获奖达到最大化，即将三十人按综合能力高低组队使得该队竞技水平尽量高，已达到获奖最大化。我们设计了队伍的竞技

水平函数0T( ) , 12...10ifi，，问题就转化为求f的最大值。找出权重较大排在前三位的作为最佳组，继续按照这种逐次优选的思想最后得的组合如下表：. 组队 队员一 队员二 队员三 第一组 C N S 第二组 A W O 第三组 X B D 第四组 M L E 第五组 V T F 第六组 Y A1 I 第七组 Z A2 J 第八组 G U H 第九组 R K A3 第十组 P Q A4

关键词：层次分析法，权重，记权型法，Excel分析数据，MATLAB计算数据，LINDO线性规划，逐次优选. 二、问题重述 全国大学生数学建模比赛是由教育部发起的18项大学生创新训练项目之一，目前已为广大大学生所熟悉。目的在于激励学生学习数学的积极性，提高学生建立数学模型和运用计算机技术解决实际问题的综合能力，鼓励广大学生踊跃参加课外科技活动，开拓知识面，培养创造精神及合作意识，推动大学数学教学体系、教学内容和方法的改革。 河海大学常州校区每年都会有一定数量的学生参加此项赛事，并取得了一定的成绩。为此，数理部每年暑期将会对学生进行培训，最后选拔出参赛的队员。选拔条件为：思维活跃、编程能力强、熟练的写作技巧、良好团队合作意识。 附件里给出了某年的已经选拔出来的学生相关信息，包括：编程、想法、写作、数学能力等。根据根据所给的信息，进行组队，每队三人，组队原则如下： 1）尽可能地不同学院、不同性别 2）如果同一学院，尽可能地不同专业 3）每个队伍中，至少一个人能胜任编程、想法、写作中的一项。 根据如下要求，完成下面的问题： 1．如何组队，使得每队的实力相当； 2．如果考虑到获奖最大化，如何组队； 3．数据中没有给出团队合作意识的量化数据，问，如果考虑团队合作意识这一因素，如何建立模型。

三、问题分析 （1）、问题一分析： 问题一是将选拔出的三十名学生组成十队，使得每队实力相当，显然是要考虑队员之间各项指标的互补性（最好来自不同专业、年级），使得每队三人的各项权重尽可能接近平均值。我们主要利用层次分析法，分别算出学生的各个指标（即准则层）对建模队员的选拔（即目标层）的权重，每个学生（即方案层）对各个指标（即准则层）的权重，再综合考察每个学生（即方案层）对建模队员的选拔（即目标层）的权重并确定平均权重。 （2）、问题二分析： 问题二是要确定最佳组队方案，要使这组的竞技水平最大，获奖达到最大化，

我们设计了竞技水平函数0T( ) , 1,2,4ifi，问题就转化为求f的最大值.最后，找出权重较大排在前三位的作为最佳组，再找出剩下的27人中指标最高的前三位作为一组，继续按照这种逐次优选的思想 最后将剩下的27名队员组成9队得最佳的组合方案，使获奖最大化。 （3）、问题三分析： 若考虑团队意识这一因素，按一定原则给出团队合作意识的量化数据，只需在一二问题建模的基础上多加考虑此因素即可。

四、模型假设 1、假设问题给出的数据均为可供分析的可靠数据，不存在错误数据。 2、假设每个队员在参赛以前接受相同的培训，相同的外部环境，在参赛过程中不考虑随机因素。 3、假设题中的四个条件指标的影响程度是逐渐降低的。 4、假设各个队在参赛中之间相互独立，不互相影响。 5、假设每个队员都能正常发挥如表中的水平。

五、符号说明

符号 说明 A,B……Z,A1,A2,A3,A4 30名队员的代码 бi=j (i=1,2,…,4. j=4,…,1) бi依次表示4个条件指标的权重 Wi (i=1,2,…,4) 表示各个指标的权重系数 Ii（i=1,2,…,4）， I Ii表示各个指标数，I是综合水平数 CI 一致性指标 RI 随机一致性指标 CR 一致性比率  正互反矩阵的特征值 W 准则层对目标层的特征向量 W ij 方案层对准则层的特征向量 C i（i=1,2…4） 依次为4个条件指标的代号 竞技水平函数  方案层对准则层的权重 六、模型建立、分析及求解 通过上述分析假设基础上，解决问题一我们建立了以下模型。 用层次分析法，将组合成的10个参赛队作为目标层，4个条件作为准则层，30个队员作为方案层。如下

1、计算准则层对目标层的特征向量w 根据题意及假设可知，4个条件指标对目标的比重是依次递减的，不妨假设它们相差1.，所以得到如下的正互反矩阵：（见附录程序一） 12341123

2

1112

32

1111

432

A

用Matlab编程计算特征值: λ=4.031；相应的特征向量作归一化得 w(0.4658,0.2771,0.1611,0.096)T 【1】查书籍得到： (1)计算一次性指标CI（Consistent Index）

CI=1maxnn (2)查找相应的平均随机一致性指标RI（Random Index）,如下表，此表给

选拔优秀队编程 数学能力 写作 想法

A D A4 C B „„目标层O 准则层C： 方案层P： 出了1~12阶正反矩阵的平均随机一致性指标。 随机一致性指标 矩阵阶数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 RI 0 0 0.58 0.96 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.52 1.54

(3)计算一次性比率CR（Consistent Ratio）CR=RICI 一致性指标CI=(λ-n)/(n-1)=0.0103 随机一致性指标RI=0.96 一致性检验CR=CI/RI= 0.0108很接近0.1.通过一致性检验。于是W可作为准则层C

对目标层O的权重向量。 2、下面在考虑方案层对准则层的特征向量，设其矩阵为B=（bij） i=1,2….30,j=1,2…4

特征矩阵W=（Wij） i=1,2….30,j=1,2…4

301iiBijWijBij

（=1,2,3...30;j=1,2,3,4）

该矩阵归一化处理，必定为一致阵。所以λ=30，所以其CI, RI, CR,都为0. 用Matlab编程得到下表：（见附录程序二） P-C层特征向量

P-C C1 C2 C3 C4 A 0.0329 0.0285 0.0375 0.0344 B 0.0329 0.0366 0.0292 0.0382 C 0.0412 0.0366 0.0292 0.0382 D 0.0329 0.0325 0.0333 0.0344 E 0.0288 0.0325 0.0333 0.0305 F 0.0288 0.0285 0.0333 0.0305 G 0.0329 0.0325 0.0292 0.0344 H 0.0288 0.0325 0.0292 0.0305 I 0.0247 0.0285 0.0333 0.0305 J 0.0288 0.0285 0.0333 0.0344 K 0.0247 0.0244 0.0292 0.0305 L 0.0329 0.0366 0.0292 0.0344 M 0.037 0.0366 0.0333 0.0382 N 0.0412 0.0366 0.0375 0.0344 O 0.037 0.0325 0.0375 0.0305 P 0.0288 0.0325 0.025 0.0305 Q 0.0288 0.0285 0.0292 0.0344