《几何证明选讲》知识点归纳与练习(内含答案)

几何证明选讲自主学习Q基础自测1.如图所示，己知在AABC中，ZC二90°,正方形DEFC内接于AABC, DE〃AC, EF〃BC,AC=1, BC=2,贝lj AF : FC= ________ .答案&22•从不在00上的一点A作直线交00于B. C•且AB・AC二64, 0A=10,则00的半径等■*7 » 1 ‘•3•设P为Z\ABC内一点,HAP=- AB+- AC ,则ZSABP的面积与AABC的面积之比等于.54•如图所示,AC为00的直径,BD丄AC于P, PC二2, PA二8, 则CD的长为,cosZACB-答案2^5 £5•如图所示,PA与圆0相切于A, PCB为圆0的割线,并且不过圆心B 己知ZBPA=30° , PA=2 V3 , PC=1,则圆0的半径等于答案7典例剖析一例1已知：如图所示，以梯形ABCD的对角线AC及腰AD为邻边作平行四边形ACED,连接EB, DC的延长线交BE于F. 求证：EF-BF.证明连接AE交DC于0.•・•四边形ACED为平行四边形,・・・0是AE的屮点（平行四边形对角线互相平分）.•・•四边形ABCD是梯形，・・・DC〃AB.在AEAB屮，OF/ZAB, 0是AE的中点,・・・F是EB的中点,即EF-BF.例2如图所示，在ZXABC中，AD为BC边上的中线,F为ABA上任意一点，CF交AD于点E.求证：AE • BF=2DE • AF・证明过点D作AB的平行线DM交AC于点M,交FC于点N. 在ZiBCF中,D是BC的中点，DN〃BF, •••DN二丄BF.2VDN/7AF, AAAFE^ADNE,•AE _ DE•AF DN乂DN二丄BF, • AE - 2DE '~AF~ BF即AE ・ BF=2DE ・ AF.例3 （2008 •苏、锡、常、镇三检）自岡0外一点P引切线与鬪切于点A,M为PA的中点,过M引割线交圆于B, C两点.求证：ZMCP=ZMPB.证明TPA与圆相切于A,/. MA J=MB ・ MC,TM为PA中点,・・・PM二MA,PM =MB ・ MC,VZBMP=ZPMC, .•.△BMP S^PM C,•••ZMCP 二ZMPB.例4 （14分）如图所示，AB是00的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是。

高中数学选修4-1《几何证明选讲》练习题（二）1．(2018·天津卷)如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P.若PB ＝1，PD ＝3，则BCAD的值为________．解析： ∵∠P ＝∠P ，∠A ＝∠PCB ， ∴△PCB ∽△PAD. ∴PB PD ＝BC AD ＝13. 答案： 132．(2018·湖南卷)如图所示，过⊙O 外一点P 作一条直线与⊙O 交于A ，B 两点，已知PA ＝2，点P 到⊙O 的切线长PT ＝4，则弦AB 的长为______．解析： 由切割线定理知 PT 2＝PA·PB，∴PB ＝422＝8.∴弦AB 的长为PB －PA ＝8－2＝6.答案： 63．如图所示，已知PC 、DA 为⊙O 的切线，C 、A 分别为切点，AB 为⊙O 的直径，若DA ＝2，CD DP ＝12，则AB ＝________.解析： 由CD ＝DA ＝2，∴DP ＝4.在Rt △ADP 中，AP ＝42－22＝2 3.由切割线定理：PC 2＝PA·PB，∴62＝23(23＋AB)，∴AB ＝4 3. 答案： 4 34．(2018·陕西卷)如图，已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3 cm ，4 cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，则BDDA＝________.解析： ∵∠C ＝90°，AC 为圆的直径， ∴BC 为圆的切线，AB 为圆的割线．∴BC 2＝BD·BA，即16＝BD·5，解得BD ＝165.∴DA ＝BA －BD ＝5－165＝95.∴BD DA ＝169.答案： 1695．(2018·广东东莞)如图，已知PA 、PB 是圆O 的切线，A 、B 分别为切点，C 为圆O 上不与A 、B 重合的另一点，若∠ACB ＝120°，则∠APB ＝________.解析： 连结OA 、OB ，∠PAO ＝∠PBO ＝90°， ∵∠ACB ＝120°，∴∠AOB ＝120°.又P 、A 、O 、B 四点共圆，故∠APB ＝60°. 答案： 60°6．(2018·广东佛山)如图，点P 在圆O 直径AB 的延长线上，且PB ＝OB ＝2，PC 切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，则CD ＝________.解析： 由切割线定理知，PC 2＝PA·PB，解得PC ＝2 3. 又OC ⊥PC ，故CD ＝PC·OC PO ＝23×24＝ 3.答案：37．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点A ，且AC ＝2 2 cm ，过C 的割线CMN 交AB的延长线于点D ，CM ＝MN ＝ND ，则AD 的长等于________cm.解析： 由切割线定理知|CA|2＝|CM|·|CN|＝2|CM|2，因为|CA|＝22， 所以|CM|＝2，|CD|＝6，所以|AD|＝|CD|2－|CA|2＝27. 答案： 278．(2018·广东卷)如图，AB ，CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，PD ＝2a3，∠OAP ＝30°，则CP ＝______.解析： ∵AP ＝PB ，∴OP ⊥AB.又∵∠OAP ＝30°，∴AP ＝32a.由相交弦定理得CP·PD＝AP 2，∴CP ＝AP 2PD ＝34a 2×32a ＝98a.答案： 98a9．(2018·北京卷)如图，⊙O 的弦ED ，CB 的延长线交于点A.若BD ⊥AE ，AB ＝4，BC ＝2，AD ＝3，则DE ＝______，CE ＝______.解析： 由圆的割线定理知： AB·AC＝AD·AE，∴AE ＝8，∴DE ＝5.连接EB ，∵∠EDB ＝90°， ∴EB 为直径．∴∠ECB ＝90°. 由勾股定理，得 EB 2＝DB 2＋ED 2＝AB 2－AD 2＋ED 2＝16－9＋25＝32.在Rt △ECB 中，EB 2＝BC 2＋CE 2＝4＋CE 2，∴CE 2＝28，∴CE ＝27. 答案： 5 2710．如图，PC 切⊙O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 于点E ，已知⊙O 的半径为3，PA ＝2，则PC ＝________，OE ＝________.解析： 因为PB ＝PA ＋AB ＝8， 所以在⊙O 中，由切割线定理得： PC 2＝PA·PB＝2×8＝16，故PC ＝4； 连结OC ，则OC ⊥CP ，在Rt △OCP 中，由射影定理得：PC 2＝PE·PO，则PE ＝PC 2PO ＝165.故OE ＝PO －PE ＝95.答案： 4 9511．如图，自圆O 外一点P 引切线与圆切于点A ，M 为PA 的中点，过M 引割线交圆于B 、C 两点．求证：∠MCP ＝∠MPB.证明： ∵PA 与圆相切于A ，∴MA 2＝MB·MC.∵M 为PA 的中点，∴PM ＝MA ，∴PM 2＝MB·MC，∴PM MC ＝MB PM. ∵∠BMP ＝∠PMC ，∴△BMP ∽△PMC ， ∴∠MCP ＝∠MPB.12．如图，已知在△ABC 中，∠ABC ＝90°，O 是AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D ，连结DB 、DE 、OC.若AD ＝2，AE ＝1，求CD 的长．解析： 由切割线定理得AD 2＝AE·AB， 所以AB ＝4，EB ＝AB －AE ＝3.又∵∠OCD ＝∠ADE ＝90°－∠CDB ，∠A ＝∠A ， ∴△ADE ∽△ACO ， ∴AD AE ＝AC AO ，即21＝CD ＋22.5，CD ＝3. 答：CD 的长等于3.13．(2018·江苏卷)如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ，若DA ＝DC ，求证：AB ＝2BC.证明： 如图所示，连接OD ，BD ，因为CD 为⊙O 的切线，AB 为直径， 所以∠ADB ＝∠ODC ＝90°. 所以∠ODA ＝∠BDC. 又因为DA ＝DC ， 所以∠DAB ＝∠DCB. 所以△ADO ≌△CDB.所以OA ＝BC ，从而AB ＝2BC.14．已知弦AB 与⊙O 半径相等，连接OB 并延长使BC ＝OB. (1)问AC 与⊙O 的位置关系是怎样的； (2)试在⊙O 上找一点D ，使AD ＝AC. 解析： (1)∵AB 与⊙O 半径相等， ∴△OAB 为正三角形， ∠OAB ＝60°＝∠OBA ， 又∵BC ＝OB ＝AB ，∴∠C ＝∠BAC ＝30°，故∠OAC ＝90°， ∴AC 与⊙O 相切．(2)延长BO 交⊙O 于D ，则必有AD ＝AC. ∵∠BOA ＝60°，OA ＝OD ， ∴∠D ＝30°， 又∵∠C ＝30°，∴∠C ＝∠D ，得AD ＝AC.15．(2018·辽宁卷)如图，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E. (1)证明：△ABE ∽△ADC ；(2)若△ABC 的面积S ＝12AD·AE，求∠BAC 的大小．解析： (1)证明：由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD. 因为∠AEB 与∠ACB 是同弧所对的圆周角， 所以∠AEB ＝∠ACD.故△ABE ∽△ADC.(2)因为△ABE ∽△ADC ，所以AB AE ＝ADAC，即AB·AC＝AD·AE.又S ＝12AB·ACsin∠BAC ，且S ＝12AD·AE，故AB·ACsin∠BAC ＝AD·AE.则sin ∠BAC ＝1，又∠BAC 为△ABC 的内角， 所以∠BAC ＝90°.16．如图，AB 、CD 是圆的两条平行弦，BE ∥AC ，并交CD 于E ，交圆于F ，过A 点的切线交DC 的延长线于P ，PC ＝ED ＝1，PA ＝2.(1)求AC 的长； (2)求证：EF ＝BE.解析： (1)∵PA 2＝PC·PD，PA ＝2，PC ＝1，∴PD ＝4. 又∵PC ＝ED ＝1，∴CE ＝2.∵∠PAC ＝∠CBA ，∠PCA ＝∠CAB ， ∴△PAC ∽△CBA ， ∴PC AC ＝AC AB，∴AC 2＝PC·AB＝2，∴AC ＝ 2. (2)证明：∵CE·ED＝BE·EF，BE ＝AC ＝2，∴EF ＝2·12＝2，∴EF ＝BE.17．如图，PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 交⊙O 于点B ，C ，∠APC 的角平分线分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，求证：(1)AD ＝AE ；(2)AD 2＝D B·EC.【解析方法代码108001161】证明： (1)∠AED ＝∠EPC ＋∠C ，∠ADE ＝∠APD ＋∠PAB.因为PE 是∠APC 的角平分线，故∠EPC ＝∠APD ， 又PA 是⊙O 的切线，故∠C ＝∠PAB. 所以∠AED ＝∠ADE.故AD ＝AE.(2)⎭⎪⎬⎪⎫∠PCE ＝∠PAD ∠CPE ＝∠APD ⇒△PCE ∽△PAD ⇒EC AD ＝PCPA ；⎭⎪⎬⎪⎫∠PEA ＝∠PDB ∠APE ＝∠BPD ⇒△PAE ∽△PBD ⇒AE DB ＝PAPB .又PA 是切线，PBC 是割线⇒PA 2＝PB·PC ⇒PA PB ＝PC PA.故EC AD ＝AE DB，又AD ＝AE ，故AD 2＝DB·EC.18．如图，已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△ABC 的外接圆于点F ，连结FB 、FC.(1)求证：FB ＝FC ；(2)求证：FB 2＝FA·FD；(3)若AB 是△ABC 外接圆的直径，∠EAC ＝120°，BC ＝6 cm ，求AD 的长.【解析方法代码108001162】 解析： (1)证明：∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD ＝∠DAC. ∵四边形AFBC 内接于圆，∴∠DAC ＝∠FBC.∵∠EAD ＝∠FAB ＝∠FCB ， ∴∠FBC ＝∠FCB ，∴FB ＝FC.(2)证明：∵∠FAB ＝∠FCB ＝∠FBC ，∠AFB ＝∠BFD ，∴△FBA ∽△FDB.∴FB FD ＝FAFB，∴FB 2＝FA·FD.(3)∵AB 是圆的直径，∴∠ACB ＝90°.∵∠EAC＝120°，∴∠DAC＝12∠EAC＝60°，∴∠BAC＝∠BFC＝60°，∠FDB＝30°，∴△FBC为正三角形，又BC＝6，在Rt△ABC中，∴AC＝23，∴在Rt△ACD中，AD＝4 3.。

第十三章几何证明选讲第一节相似三角形的判定及有关性质对应学生用书P1711．平行线等分线段定理若是一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：通过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：通过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．2．平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定与性质(1)判定定理：内容判定定理1两角对应相等的两个三角形相似判定定理2两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似判定定理3三边对应成比例的两个三角形相似(2)性质定理：内容性质定理1相似三角形对应高、中线、角平分线和它们周长的比都等于相似比性质定理2相似三角形的面积比等于相似比的平方结论相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方射影定理直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项12．在解决相似三角形的判定或应历时易显现对应边和对应角对应失误．[试一试]1．如图，F 为▱ABCD 的边AD 延长线上的一点，DF ＝AD ，BF 别离交DC ，AC 于G ，E 两点，EF ＝16，GF ＝12，那么BE 的长为________．解析：由DF ＝AD ，AB ∥CD 知BG ＝GF ＝12，又EF ＝16知EG ＝4，故BE ＝8. 答案：82．在△ABC 中，点D 在线段BC 上，∠BAC ＝∠ADC ，AC ＝8，BC ＝16，那么CD 的长为________．解析：∵∠BAC ＝∠ADC ，∠C ＝∠C ，∴△ABC ∽△DAC ，∴BC AC ＝AC CD ，∴CD ＝AC 2BC ＝8216＝4. 答案：41．判定两个三角形相似的常规思路(1)先找两对对应角相等；(2)假设只能找到一对对应角相等，那么判定相等的角的两夹边是不是对应成比例；(3)假设找不到角相等，就判定三边是不是对应成比例，不然考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．2．借助图形判定三角形相似的方式(1)有平行线的可围绕平行线找相似；(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例；(3)有公共边的可将图形旋转，观看其特点，找出相等的角或成比例的对应边．[练一练]1．如图，D ，E 别离是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC 且ADDB ＝2，那么△ADE与四边形DBCE的面积比是________．解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴S △ADE S △ABC ＝AD 2AB 2.∵AD DB ＝2，∴AD AB ＝23，∴S △ADE S △ABC ＝49，∴S △ADES 四边形DBCE ＝45. 答案：45 2．如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D 点，BC 2＝BD ·AB ，那么∠ACB ＝______. 解析：在△ABC 与△CBD 中，由BC 2＝BD ·AB ，得BC BD ＝ABBC ，且∠B ＝∠B ，因此△ABC ∽△CBD .那么∠ACB ＝∠CDB ＝90°.答案：90°对应学生用书P172考点一 平行线分线段成比例定理的应用1.如图，在▱ABCD 中，E 是BC 上一点，BE ∶EC ＝2∶3，AE 交BD于F ，那么BF ∶FD 等于________．解析：∵AD ＝BC ，BE ∶EC ＝2∶3，∴BE ∶AD ＝2∶5.∵AD ∥BC ，∴BF ∶FD ＝BE ∶AD ＝2∶5.即BF ∶FD ＝25. 答案：252.(2021·惠州调研)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ∶AC＝3∶5，DE＝6，那么BF＝________.解析：由DE∥BC得DE BC＝AEAC＝35，∵DE＝6，又因为DF ∥AC ， 因此BF BC ＝BD AB ＝CE AC ＝25， 即BF ＝4.答案：43.如图，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，那么EF BC ＋FG AD ＝________.解析：由平行线分线段成比例定理得 EFBC ＝AF AC ，FG AD ＝FC AC， 故EFBC ＋FG AD ＝AF AC ＋FC AC ＝AC AC ＝1.答案：1[备课札记][类题通法]比例线段经常使用平行线产生，利用平行线转移比例是经常使用的证题技术，当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的.考点二 相似三角形的判定及性质[典例] (2021·陕西高考)如图，弦AB 与CD 相交于⊙O 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P .已知PD ＝2DA ＝2，那么PE ＝________.[解析] 由PE ∥BC 知，∠A ＝∠C ＝∠PED .在△PDE 和△PEA 中，∠APE ＝∠EPD ，∠A ＝∠PED ，故△PDE ∽△PEA ，那么PD PE ＝PE PA ，于是PE 2＝PA ·PD ＝3×2＝6，因此PE ＝ 6.[答案] 6 [备课札记]1．判定两个三角形相似要注意结合图形特点灵活选择判定定理，专门要注意对应角和对应边．2．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；也可间接证明线段相等．[针对训练](2021·佛山质检)如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，那么BE ＝________.解析：由于∠B ＝∠D ，∠AEB ＝∠ACD ，因此△ABE ∽△ADC ，从而得AB AD ＝AE AC ， 解得AE ＝2，故BE ＝AB 2－AE 2＝4 2.答案：42考点三 射影定理的应用 [典例] 如下图，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 是∠ABC 的平分线，交AD 于F ，求证：DF AF ＝AE EC. [证明] 由三角形的内角平分线定理得，在△ABD 中，DF AF ＝BDAB ， ①在△ABC 中，AE EC ＝ABBC ， ②在Rt △ABC 中，由射影定理知，AB 2＝BD ·BC ，即BD AB ＝AB BC. ③ 由①③得：DF AF ＝ABBC， ④ 由②④得：DF AF ＝AEEC .[备课札记]1．在利用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．2．证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时经常使用的方式．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，假设BD ∶AD ＝1∶9，那么tan ∠BCD ＝________. 解析：由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，又BD ∶AD ＝1∶9，令BD ＝x ，那么AD ＝9x (x >0)．∴CD 2＝9x 2，∴CD ＝3x .Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 3x ＝13. 答案：13对应学生用书P172[课堂练通考点]1．如图，AB ∥EM ∥DC ，AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF ＝12 cm ，那么BC 的长为________ cm. 解析： ⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥EM ∥DC AE ＝ED ⇒E 为AD 中点，M 为BC 的中点． 又EF ∥BC ⇒EF ＝MC ＝12 cm ，∴BC ＝2MC ＝24 cm.答案：242.如图，在△ABC 中，F 为边AB 上的一点，BF AF ＝mn (m ，n >0)，取CF 的中点D ，连结AD 并延长交BC 于点E .那么BE EC ＝________.解析：如图，作FG ∥BC 交AE 于点G ，那么FG CE ＝FD DC ＝1，BE FG ＝AB AF ＝m ＋n n .两式相乘即得BE EC ＝m ＋nn .答案：m ＋nn3．在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且AE ∶EB ＝1∶2，DE 与AC 交于点F ，假设△AEF 的面积为6 cm 2，那么△ABC 的面积为________ cm 2.解析：令E ＝a ，EF ＝b ，那么12ab ＝6. 由题意知EB ＝2a .DF ＝3b .∴S △ABC ＝12·AB ·DE ＝12×3a ×4b ＝12×12ab ＝12×6＝72. 答案：724．如图，在四边形ABCD 中，E 是AB 上一点，EC ∥AD ，DE ∥BC ，假设S △BEC ＝1，S △ADE ＝3，那么S △CDE ＝________.解析：∵EC ∥AD ，∴S △DCE ∶S △ADE ＝EC ∶AD ，∵DE ∥BC ，∴S △BCE ∶S △CDE ＝BC ∶ED ，又因为∠ECB ＝∠DEC ＝∠ADE ，∠BEC ＝∠EAD ，∴△BEC ∽△EAD ，∴EC ∶AD ＝BC ∶ED .∴S △DCE ∶S △ADE ＝S △BCE ∶S △CDE ，于是S △CDE ＝3. 答案：35．(2021·广东高考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE ⊥AC ，垂足为E ，求ED 的长________．解析：∵tan ∠BCA ＝BA BC ＝33，因此∠BCA ＝30°， ∠ECD ＝90°－∠BCA ＝60°.在Rt△BCE 中，CE ＝BC ·cos∠BCA ＝3cos 30°＝332.在△ECD 中，由余弦定理得ED ＝CE 2＋CD 2－2CE ·CD ·cos∠ECD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3322＋32－2×332×3×12＝212.答案：21 2[课下提升考能]1.如图，已知▱ABCD中，G是DC延长线上一点，AG别离交BD和BC于E，F两点，证明：AF·AD＝AG·BF.证明：因为四边形ABCD为平行四边形，因此AB∥DC，AD∥BC.因此△ABF∽△GCF，△GCF∽△GDA.因此△ABF∽△GDA.从而有AFAG＝BFAD，即AF·AD＝AG·BF.2．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，点D在BC上且CD＝1，假设∠CAD＝∠B，求BD的长．解：作出图形(如图)，依题意，有tan∠CAD＝tan∠B，即12＝21＋BD.故BD＝3.3.已知△ABC中，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE相交于点P，求证：(1)△BPE∽△CPF；(2)△EFP∽△BCP.证明：(1)∵BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，∴∠BFC＝∠CEB.又∵∠CPF＝∠BPE，∴△CPF∽△BPE.(2)由(1)得△CPF ∽△BPE ，∴EP FP ＝BP CP . 又∵∠EPF ＝∠BPC ， ∴△EFP ∽△BCP .4.如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上一点，过A 作AH ∥BE .连结ED 并延长交AB 于F ，交AH 于H .若是AB ＝4AF ，EH ＝8，求DF 的长．解：∵AH ∥BE ，∴HFHE ＝AFAB .∵AB ＝4AF ，∴HF HE ＝14，∵HE ＝8，∴HF ＝2.∵AH ∥BE ，∴HD DE ＝ADDC .∵D 是AC 的中点，∴HDDE ＝1.∵HE ＝HD ＋DE ＝8，∴HD ＝4，∴DF ＝HD －HF ＝4－2＝2.5．如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的三等分点，AE 的延长线交BC 于F ，求S △BEFS 四边形DEFC 的值．解：过D 点作DM ∥AF 交BC 于M ，因为DM ∥AF ，因此BF BM ＝BE BD ＝13，因为EF ∥DM ，因此S △BEF S △BDM ＝19，即S △BDM ＝9S △BEF ，又S △DMC S △BDM ＝23，即S △DMC ＝23S △BDM ＝6S △BEF ， 因此S 四边形DEFC ＝14S △BEF ，因此S △BEF S 四边形DEFC ＝114. 6.如图，在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AD 上的一点，延长BE交AC 于点F .假设AE AD ＝14，求AF AC的值． 解：如图，过点A 作AG ∥BC ，交BF 的延长线于点G .∵AE AD ＝14，∴AE ED ＝13. 又∵△AGE ∽△DBE ，∴AG BD ＝AE ED ＝13.∵D 为BC 中点，BC ＝2BD ，∴AG BC ＝16. ∵△AGF ∽△CBF ，∴AF FC ＝AG BC ＝16，∴AFAC ＝17. 7.如下图，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，DE ＝12CD ，BE 与AD 交于点F . (1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)假设△DEF 的面积为2，求平行四边形ABCD 的面积． 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠BAF ＝∠BCD ，∵AB ∥CD ，∴∠ABF ＝∠CEB ，∴△ABF∽△CEB.(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF . ∴S △DEF S △CEB ＝(DE CE )2，S△DEFS △ABF ＝(DE AB )2.又DE ＝12CD ＝12AB ，∴CE ＝DE ＋CD ＝DE ＋2DE ＝3DE .∴S △DEF S △CEB ＝(DECE )2＝19，S △DEFS △ABF ＝(DE AB )2＝14.∵S △DEF ＝2，∴S △CEB ＝18，S △ABF ＝8.∴平行四边形ABCD 的面积S ＝S △ABF ＋S △CEB －S △DEF ＝8＋18－2＝24.8.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AB 于E ，求证：(1)AB ·AC ＝BC ·AD ；(2)AD 3＝BC ·CF ·BE .证明：(1)在Rt △ABC 中，AD ⊥BC ，∴S △ABC ＝12AB ·AC ＝12BC ·AD .∴AB ·AC ＝BC ·AD .(2)Rt △ADB 中，DE ⊥AB ，由射影定理可得BD 2＝BE ·AB ，同理CD 2＝CF ·AC ，∴BD 2·CD 2＝BE ·AB ·CF ·AC .又在Rt △BAC 中，AD ⊥BC ，∴AD 2＝BD ·DC ，∴AD 4＝BE ·AB ·CF ·AC ，又AB ·AC ＝BC ·AD .即AD 3＝BC ·CF ·BE .第二节直线与圆的位置关系对应学生用书P1731．圆周角定理(1)圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．(2)圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．2．圆内接四边形的性质与判定定理(1)性质定理1：圆内接四边形的对角互补．定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．(2)判定判定定理：若是一个四边形的对角互补，那么那个四边形的四个极点共圆．推论：若是四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么那个四边形的四个极点共圆．3．圆的切线性质及判定定理(1)性质：性质定理：圆的切线垂直于通过切点的半径．推论1：通过圆心且垂直于切线的直线必通过切点．推论2：通过切点且垂直于切线的直线必通过圆心．(2)判定定理：通过半径的外端而且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(3)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．4．与圆有关的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． (4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．1．易混圆心角与圆周角，在利历时注意结合图形作出判定．2．在利用相交弦定理、割线定理、切割线定理时易显现比例线段对应不成比例而失误．[试一试]1.如图，P 是圆O 外一点，过P 引圆O 的两条割线PB 、PD ，PA ＝AB ＝5，CD ＝3，那么PC 等于________．解析：设PC ＝x ，由割线定理知PA ·PB ＝PC ·PD .即5×25＝x (x ＋3)，解得x ＝2或x ＝－5(舍去)．故PC ＝2.答案：22.如图，EB ，EC 是⊙O 的两条切线，B ，C 是切点，A ，D 是⊙O 上两点，若是∠E ＝46°，∠DCF ＝32°，那么∠BAD 等于________．解析：由已知，显然△EBC 为等腰三角形，因此有∠ECB ＝180°－∠E 2＝67°， 因此∠BCD ＝180°－∠ECB －∠DCF ＝81°.而由A ，B ，C ，D 四点共圆，得∠BAD ＝180°－∠BCD ＝99°.答案：99°1．与圆有关的辅助线的五种作法(1)有弦，作弦心距．(2)有直径，作直径所对的圆周角．(3)有切点，作过切点的半径．(4)两圆相交，作公共弦．(5)两圆相切，作公切线．2．证明四点共圆的经常使用方式(1)利用圆内接四边形的判定定理，证明四点组成的四边形的对角互补；(2)证明它的一个外角等于它的内对角；(3)证明四点到同一点的距离相等．当证明四点共圆以后，圆的各类性质都能够取得应用．3．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应历时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比，由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，因此应注意代数法在解题中的应用．[练一练]1．(2021·荆州模拟)如图，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，过PA 的中点M 作割线交⊙O 于点B 和C ，假设∠BMP ＝110°，∠BPC ＝30°，那么∠MPB ＝________.解析：由切割线定理得，MA 2＝MB ·MC ，又MA ＝MP ，故MP 2＝MB ·MC ，即MB MP ＝MP MC ，又∠BMP ＝∠PMC .故△BMP ∽△PMC ，因此∠MPB ＝∠MCP ，因此30°＋∠MPB ＋∠MCP ＝∠AMB ＝180°－110°＝70°，因此∠MPB ＝20°.答案：20°2．(2021·长沙一模)如图，过圆O 外一点P 别离作圆的切线和割线交圆于点A ，点B ，且PB ＝7，C 是圆上一点，使得BC ＝5，∠BAC ＝∠APB ，那么AB ＝________.解析：由PA 为圆O 的切线可得，∠PAB ＝∠ACB ，又∠BAC ＝∠APB ，于是△APB ∽△CAB ，因此PB AB ＝AB BC，而PB ＝7，BC ＝5，故AB 2＝PB ·BC ＝7×5＝35， 即AB ＝35. 答案：35对应学生用书P174考点一 圆周角、弦切角和圆的切线问题1.(2021·天津高考)如图， △ABC 为圆的内接三角形， BD 为圆的弦， 且BD ∥AC . 过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD与BC 交于点F .假设AB ＝AC ，AE ＝6，BD ＝ 5，那么线段CF 的长为________．解析：因为AE 是圆的切线，且AE ＝6，BD ＝5，由切割线定理可得EA 2＝EB ·ED ，即36＝EB ·(EB ＋5)，解得EB ＝4.又∠BAE ＝∠ADB ＝∠ACB ＝∠ABC ，因此AE ∥BC .又AC ∥BD ，因此四边形AEBC 是平行四边形，因此AE ＝BC ＝6，AC ＝EB ＝4.又由题意可得△CAF ∽△CBA ，因此CACB ＝CF CA ，CF ＝CA 2CB ＝166＝83. 答案：832．(2021·广东高考)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上．延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E .假设AB ＝6，ED ＝2，那么BC ＝________.解析：连结OC ，那么OC ⊥CE ，∠OCA ＋∠ACE ＝90°，∵∠OAC ＝∠OCA ，∴∠OAC ＋∠ACE ＝90°.易知Rt △ACB ≌Rt △ACD ，那么∠OAC ＝∠EAC .∴∠EAC ＋∠ACE ＝90°，∴∠AEC ＝90°，在Rt △ACD 中，由射影定理得：CD 2＝ED ·AD ①，又CD ＝BC ，AD ＝AB ，将AB ＝6，ED ＝2代入①式，得CD ＝12＝2 3，∴BC ＝2 3.答案：233.(2021·岳阳模拟)如下图，⊙O的两条切线PA和PB相交于点P，与⊙O相切于A，B两点，C是⊙O上的一点，假设∠P＝70°，那么∠ACB ＝________.解析：如下图，连结OA ，OB ，则OA ⊥PA ，OB ⊥PB .故∠AOB ＝110°，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝55°. 答案：55°[备课札记][类题通法]1．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两头作圆周角或弦切角.考点二 圆内接四边形的性质及判定[典例] (2021·郑州模拟)如图，AB 是⊙O 的直径，G 是AB 延长线上的一点，GCD 是⊙O 的割线，过点G 作AG 的垂线，交直线AC 于点E ，交直线AD 于点F ，过点G 作⊙O 的切线，切点为H .(1)求证：C ，D ，E ，F 四点共圆；(2)假设GH ＝6，GE ＝4，求EF 的长．[解] (1)证明：连结DB ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，在Rt △ABD 与Rt △AFG 中，∠ABD ＝∠AFE ，又∠ABD ＝∠ACD ，∴∠ACD ＝∠AFE ，∴C ，D ，E ，F 四点共圆．(2) ⎭⎪⎬⎪⎫C ，D ，E ，F 四点共圆⇒GE ·GF ＝GC ·GD GH 切⊙O 于点H ⇒GH 2＝GC ·GD ⇒GH 2＝GE ·GF ， 又GH ＝6，GE ＝4，∴GF ＝9，EF ＝GF －GE ＝5.[备课札记][类题通法]证明多点共圆，当它们在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也能够证明它们与某必然点距离相等；如两点在一条线段异侧，那么证明它们与线段两头点连成的凸四边形对角互补．[针对训练]如下图，在四边形ABCP 中，线段AP 与BC 的延长线交于点D ，已知AB ＝AC 且A ，B ，C ，P 四点共圆．(1)求证：PC AC ＝PD BD ；(2)假设AC ＝4，求AP ·AD 的值．解：(1)证明：因为点A ，B ，C ，P 四点共圆，因此∠ABC ＋∠APC ＝180°，又因为∠DPC ＋∠APC ＝180°，因此∠DPC ＝∠ABC ，又因为∠D ＝∠D ，因此△DPC ∽△DBA ，因此PC AB ＝PD BD ，又因为AB ＝AC ，因此PC AC ＝PD BD .(2)因为AB ＝AC ，因此∠ACB ＝∠ABC ，又∠ACD ＋∠ACB ＝180°，因此∠ACD ＋∠ABC ＝180°.由于∠ABC ＋∠APC ＝180°，因此∠ACD ＝∠APC ，又∠CAP ＝∠DAC ，因此△APC ∽△ACD ，因此AP AC ＝ACAD，因此AP ·AD ＝AC 2＝16. 考点三 与圆有关的比例线段 [典例] 的外接圆交BC 于点E ，AB ＝2AC .(1)求证：BE＝2AD；(2)当AC＝1，EC＝2时，求AD的长．[解] (1)证明：连结DE，因为四边形ACED是圆的内接四边形，因此∠BDE＝∠BCA，又∠DBE ＝∠CBA ，因此△BDE ∽△BCA ，因此BE BA ＝DE CA ，而AB ＝2AC ，因此BE ＝2DE .又CD 是∠ACB 的平分线，因此AD ＝DE ，从而BE ＝2AD .(2)由已知得AB ＝2AC ＝2，设AD ＝t (0<t <2)，依照割线定理得，BD ·BA ＝BE ·BC ，即(AB －AD )·BA ＝2AD ·(2AD ＋CE )，因此(2－t )×2＝2t (2t ＋2)，即2t 2＋3t －2＝0，解得t ＝12，即AD ＝12. [备课札记][类题通法]1．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．2．相交弦定理、切割线定理要紧用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识与圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．[针对训练](2021·郑州模拟)如图，已知⊙O 和⊙M 相交于A ，B 两点，AD 为⊙M 的直径，直线BD 交⊙O 于点C ，点G 为弧BD 的中点，连结AG 别离交⊙O ，BD 于点E ，F ，连结CE .求证：(1)AG ·EF ＝CE ·GD ；(2)GF AG ＝EF 2CE 2.证明：(1)连结AB ，AC ，∵AD 为⊙M 的直径，∴∠ABD ＝90°，∴AC 为⊙O 的直径，∴∠CEF ＝∠AGD ＝90°.∵G 为弧BD 的中点，∴∠DAG ＝∠GAB ＝∠ECF .∴△CEF ∽△AGD ，∴CE AG ＝EF GD ，∴AG ·EF ＝CE ·GD .(2)由(1)知∠DAG ＝∠GAB ＝∠FDG ，又∠G ＝∠G ，∴△DFG ∽△ADG ，∴DG 2＝AG ·GF .由(1)知EF 2CE 2＝GD 2AG 2，∴GFAG ＝EF 2CE 2.对应学生用书P175[课堂练通考点]1．(2021·惠州模拟)如图，PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 通过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OA 绕点O 逆时针旋转60°取得OD ，那么PD 的长为________．解析：∵PA 切⊙O 于点A ，B 为PO 的中点，∴∠AOB ＝60°，∴∠POD ＝120°.在△POD 中，由余弦定理，得PD 2＝PO 2＋DO 2－2PO ·DO ·cos∠POD ＝4＋1－4×(－12)＝7，故PD ＝7.答案：7 2．(2021·江南十校联考)如图，在圆的内接四边形ABCD 中，∠ABC＝90°，∠ABD ＝30°，∠BDC ＝45°，AD ＝1，那么BC ＝________.解析：连结AC .因为∠ABC ＝90°，因此AC 为圆的直径．又∠ACD＝∠ABD ＝30°，因此AC ＝2AD ＝2.又∠BAC ＝∠BDC ＝45°，故BC ＝2.答案：2 3．(2021·广州模拟)如图，已知AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点，PC ⊥OP ，PC 交⊙O 于C ，假设AP ＝4，PB ＝2，那么PC 的长是________．解析：如图，延长CP 交⊙O 于点D ，因为PC ⊥OP ，因此P 是弦CD 的中点，由相交弦定理知PA ·PB ＝PC 2，即PC 2＝8，故PC ＝2 2.答案：224．(2021·新课标卷Ⅰ)如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB ＝DC ；(2)设圆的半径为1，BC ＝3，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径． 解：(1)证明：如图，连结DE ，交BC 于点G .由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE .而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE .又因为DB ⊥BE ，因此DE 为直径，那么∠DCE ＝90°，由勾股定理可得DB ＝DC .(2)由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ，故DG 是BC 的中垂线，因此BG ＝32.设DE 的中点为O ，连结BO ，那么∠BOG ＝60°.从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°，因此CF ⊥BF ，故Rt △BCF 外接圆的半径等于32. [课下提升考能]1．(2021·辽宁高考)如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连结AE ，BE .证明：(1)∠FEB ＝∠CEB ；(2)EF 2＝AD ·BC .证明：(1)由直线CD 与⊙O 相切，得∠CEB ＝∠EAB .由AB 为⊙O 的直径，得AE ⊥EB ，从而∠EAB ＋∠EBF ＝π2；又EF ⊥AB ，得∠FEB ＋∠EBF ＝π2， 从而∠FEB ＝∠EAB .故∠FEB ＝∠CEB .(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，因此BC＝BF.类似可证，Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，因此EF2＝AD·BC.2．(2021·江苏高考)如图，AB和BC别离与圆O相切于点D，C，AC通过圆心O，且BC＝2OC.求证：AC＝2AD.证明：连结OD.因为AB和BC别离与圆O相切于点D，C，因此∠ADO＝∠ACB＝90°.又因为∠A＝∠A，因此Rt△ADO∽Rt△ACB.因此BCOD＝ACAD.又BC＝2OC＝2OD，故AC＝2AD.3．(2021·哈师大模拟)如图，圆O的半径OC垂直于直径AB，弦CD交半径OA于E，过D的切线与BA的延长线交于M.(1)求证：MD＝ME；(2)设圆O的半径为1，MD＝3，求MA及CE的长．解：(1)证明：连结OD，∵∠CEO＋∠ECO＝90°，∠MDE＋∠EDO＝90°，又∠EDO＝∠ECO，∴∠CEO＝∠MDE＝∠MED，∴MD＝ME.(2)∵MD2＝MA·MB，∴3＝MA·(MA＋2)，∴MA＝1.∵在Rt△MDO中，MO＝2，MD＝3，∴∠MOD＝60°，∴∠COD＝150°，∴∠ECO＝15°，CE ＝OC cos ∠ECO ＝1cos 15°＝6－ 2.4．(2021·洛阳模拟)如图，已知PE 切⊙O 于点E ，割线PBA 交⊙O 于A ，B 两点，∠APE 的平分线和AE ，BE 别离交于点C ，D .求证：(1)CE ＝DE ； (2)CA CE ＝PE PB . 证明：(1)∵PE 切⊙O 于点E ，∴∠A ＝∠BEP .∵PC 平分∠APE ，∴∠A ＋∠CPA ＝∠BEP ＋∠DPE .又∠ECD ＝∠A ＋∠CPA ，∠EDC ＝∠BEP ＋∠DPE ，∴∠ECD ＝∠EDC ，∴EC ＝ED .(2)∵∠PDB ＝∠EDC ，∠EDC ＝∠ECD ，∴∠PDB ＝∠PCE .又∠BPD ＝∠EPC ，∴△PBD ∽△PEC ，∴PE PB ＝PC PD . 同理△PDE ∽△PCA ，∴PC PD ＝CA DE ，∴PE PB ＝CA DE .又DE ＝CE ，∴CA CE ＝PEPB .5．如下图，直线AB 过圆心O ，交圆O 于A ，B 两点，直线AF 交圆O 于点F (不与B 重合)，直线l 与圆O 相切于点C ，交直线AB 于点E ，且与AF 垂直，交AF 的延长线于点G ，连结AC .求证：(1)∠BAC ＝∠CAG ；(2)AC 2＝AE ·AF .证明：(1)连结BC ，因为AB 是直径，因此∠ACB ＝90°，因此∠ACB ＝∠AGC ＝90°.因为GC 切圆O 于点C ，因此∠GCA ＝∠ABC ，因此∠BAC ＝∠CAG .(2)连结CF ，因为EC 切圆O 于点C ，因此∠ACE ＝∠AFC .又∠BAC ＝∠CAG ，因此△ACF ∽△AEC ，因此AC AE ＝AF AC ，因此AC 2＝AE ·AF .6．(2021·新课标卷Ⅱ)如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 别离为弦AB 与弦AC 上的点，且BC ·AE＝DC ·AF ，B ，E ，F ，C 四点共圆．(1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；(2)假设DB ＝BE ＝EA ，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值． 解：(1)证明：因为CD 为△ABC 外接圆的切线，因此∠DCB ＝∠A ，由题设知BC FA ＝DC EA ，故△CDB ∽△AEF ，因此∠DBC ＝∠EFA .因为B ，E ，F ，C 四点共圆，因此∠CFE ＝∠DBC ，故∠EFA ＝∠CFE ＝90°.因此∠CBA ＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．(2)如图，连结CE ，因为∠CBE ＝90°，因此过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE .由DB ＝BE ，有CE ＝DC ，又BC 2＝DB ·BA ＝2DB 2，因此CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2.而DC 2＝DB ·DA ＝3DB 2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12.。

专题九 高考数学附带选做题训练第 25 讲 几何证明选讲1. 如图，锐角三角形 ABC 的角均分线 AD 的延伸线交它的外接圆于点E ，若 △ABC 面积3S ＝ 4 AD ·AE ，求∠ BAC 的大小．解：连接 BE ，由 AD 是∠ BAC 的均分线， ∴ ∠ BAE ＝∠ CAE.由圆周角结论，得∠ AEB ＝∠ ACB ，∴ △ ABE ∽△ ADC ，∴ AD · AE ＝ AB ·AC. ∴ S △ ABC ＝ 1AB · ACsin ∠ BAC ＝ 3AD ·AE ，24 ∴ sin ∠BAC ＝32 .∵ ∠BAC ∈ π，∴ ∠ BAC ＝ π0， 2 3 .2. 如图， PA 与圆 O 相切于点 A ，D 为 PA 的中点，过点 D 引割线交圆 O 于 B 、 C 两点，求证：∠ DPB ＝∠ DCP.证明：∵ PA 与圆相切于 A ，∴ DA 2＝DB ·DC.∵ D 为 PA 中点，∴ DP ＝ DA ，∴ DP 2＝ DB ·DC ， PD DB 即DC ＝ PD .又∠ BDP ＝∠ PDC ，∴△ BDP ∽△ PDC ，∴ ∠ DPB ＝∠ DCP.3. 如图，已知梯形 ABCD 为圆内接四边形，长线于 E ，求证： △ ABC ∽△ EDC.AD ∥BC ，过 C 作该圆的切线，交AD的延证明：∵ CE 为圆的切线，∴ ∠ DCE ＝∠ DAC.∵ AD ∥ BC ，∴ ∠ DAC ＝∠ BCA ，∴ ∠DCE ＝∠ BCA. ∵ 梯形 ABCD 为圆内接四边形，∴ ∠ EDC ＝∠ ABC. ∴ △ ABC ∽△ EDC.4. 如图，已知 AB 是圆 O 的直径，圆 O 交 BC 于点 D ，过点 D 作圆 O 的切线 DE 交 AC于点 E ，且 DE ⊥ AC. 求证： AC ＝2OD.证明：连接OD ，∵DE 是圆 O 的切线，∴OD ⊥DE.又 DE ⊥AC ，∴ OD∥ AC.∵ O 是 AB 的中点，∴OD 是△ ABC 的中位线，1∴ OD＝2AC ，即 AC ＝ 2OD.5.如图， A 、 B、 C、D 四点在同一圆上， AD 的延伸线与 BC 的延伸线交于点 E，且 EC＝ED.(1)求证： CD∥AB ；(2)延伸 CD 到 F，延伸 DC 到 G，使得 EF＝ EG，求证： A 、B、 G、 F 四点共圆．证明： (1) ∵ EC＝ ED ，∴ ∠ EDC ＝∠ ECD.∵ A 、B 、C、D 四点在同一圆上，∴ ∠ EDC ＝∠ EBA.∴ ∠ECD＝∠ EBA ，∴CD∥ AB.(2) 由 (1) 知， AE ＝ BE.∵EF＝EG，∴∠ EFD＝∠ EGC，进而∠ FED ＝∠ GEC.连接 AF 、 BG ，则△ EFA ≌△ EGB ，有∠ FAE ＝∠ GBE.∵CD∥ AB ，∴∠ EDC＝∠ EAB ，∠ ECD ＝∠ EBA.又∠ EDC ＝∠ ECD ，∴ ∠ FAB ＝∠ GBA ，∴∠ AFG ＋∠ GBA ＝ 180°.∴ A 、B、G、 F 四点共圆．6. 如图， MN 为两圆的公共弦，一条直线与两圆及公共弦挨次交于A、 B、C、D、 E，求证： AB·CD ＝BC·DE.证明：由订交弦定理，得AC ·CD＝ MC·NC，BC · CE＝ MC·NC ，∴AC · CD＝ BC·CE.即(AB ＋BC)·CD＝BC·(CD ＋ DE) ，即 AB·CD ＋ BC·CD ＝ BC·CD＋BC·DE ，∴ AB · CD＝ BC·DE.。