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第3讲 数形结合思想
概述：数形结合思想是教学中的一种重要思想，在解题过程中，•能画出图形的要尽量画出图形，图形能帮助你理解题意，有利于着手解题．
典型例题精析
例．以x 为自变量的二次函数y=-x 2+2x+m ，它的图象与y 轴交于点C （0，3），与x 轴交于点A 、B ，点A 在点B 的左边，点O 为坐标原点．
（1）求这个二次函数的解析式及点A ，点B 的坐标，画出二次函数的图象； （2）在x 轴上是否存在点Q ，在位于x 轴上方部分的抛物线上是否存在点P ，•使得以A 、P 、Q 三点为顶点的三角形与△AOC 相似（不包含全等），若存在，请求出点P 、点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）∵y=-x 2+2x+m 与y 轴交于C （0，3）， ∴3=m ，代入y=-x 2+2x+m 得y=-x 2+2x+3， 令-x 2
+2x+3=0，x 2
-2x-3=0，x 1=-1，x 2=3． ∴A （-1，0），B （3，0），由y=-x 2+2x-1+4， y=-（x-1）2+4，得顶点M （1，4）．
（2）若存在这样的P 、Q 点，一定是∠PAQ=∠ACO ．
∵若∠PAQ=∠CAO ，则△ACO ∽△AQP 不合题意， 若∠PAB=90°=∠AOC ，显然P•点不在抛物线上． ∴分∠AQP=90°和∠
APQ=90°两种情况考虑．
①当∠AOC=∠PQA ，∠ACO=∠PAQ 时，有△AOC ∽△PQA （如图1） 设Q （x 1，0），P （x 1，y 2）由AQ QP
OC AO
=得
11
131
x y +=，而y 1=-x 12+2x 1+3， ∴x 1+1=3（-x 12+2x 1+3）， 3x 12-5x 1-8=0， x 1=
8
3或x 1=-1（不合题意，舍去） 把x 1=83代入y 1=-x 12+2x 1+3=11
9
，M O
B
C
A
y x
Q P
∴Q（8
3
，0），P（
8
3
，
11
9
）．
∴存在这样的P、Q点使得△AOC∽△PQA．
②∠APQ=∠COA=90°，且∠ACO=∠QAP时，有△AOC∽△APQ 过P作PN⊥x轴于N，设Q（x，0），P（，）
由△AOC∽△APQ得AC CO
AQ AP
=
2
=
解得83 27
，
∴Q（83
27
，0），P（
8
3
，
11
9
）．
∴存在这样的P、Q点使得△AOC∽△APQ
说明：（1）在考虑三角形相似时，应考虑不同情况，这是这道题的难点．
（2）第二种情况的P点可以认为和第一种情况是同一点．
（3）能够求出Q、P点坐标为存在，不能求出P、Q点坐标（即方程无解）为不存在．中考样题看台
1．已知四边形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD•的长是关于x•的方程x2-2mx+（m-1
2
）+
7
4
=0
的两个根．
（1）当m=2和m>2时，四边形ABCD分别是哪种四边形？并说明理由．
（2）若M、N分别是AD、BC中点，线段MN分别交AC、BD于点P、Q，PQ=1，且AB （3）在（2）的条件下，AD=BC=2，求一个一元二次方程，使它的两个根分别是tan•∠BDC和tan∠BCD． 2．已知，如图，⊙O1与⊙O2外切于点A，BC是⊙1和⊙2的公切线，B、C为切点．（1）求证：AB⊥AC； （2）若r1、r2分别为⊙O1、⊙O2的半径，且r1=2r2，求AB AC 的值． 3．在平面直角坐标系中，给定五点：A（-2，0），B（1，0），C（4，0）•，D（-2，9 2 ）， E（0，-6），从这五点中选取三点，使经过这三点的抛物线满足以平行于y轴的直线为对称轴，我们约定：把经过三点A、E、B的抛物线表示为抛物线AEB（如图所示）．（1）问符合条件的抛物线还有哪几条？不求解析式，•请用约定的方法一一表示出来； （2）在（1）中是否存在这样的一条抛物线，它与余下的两点所确定的直线不相交？如果存在，试求出抛物线与直线的解析式；如果不存在，请说明理由． 4．某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，讨论如下：甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形； 乙同学：我发现边数是6，它也不一定是正多边形．如图一，△ABC是正三角形，AD=BE=CF，可以证明六边形ADBECF的各角相等，但它未必是正六边形； 丙同学：我能证明，边数是5时，它是正多边形．我想，边数是7时，它可能是正多边形，…… （1）请你说明乙同学构造的六边形各角相等； （2）请你证明，各角都相等的圆内接七边形ABCDEFG（如图二）是正七边形（不必写已知、求证）； （3）根据以上探索过程，提出你的猜想（不必证明）； 5．高致病性禽流感是比SARS病毒传染速度更快的传染病． （1）某养殖场有8万只鸡，假设有1只鸡得了禽流感，如果不采取任何防治措施，那么，到第2天将新增病鸡10只，第3天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依次类推，请问：到第4天，共有多少只鸡得了禽流感？到第几天，该养殖场所有鸡都会被感染． （2）为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点3千米范围内为扑杀区，•所有禽类全部捕杀；离疫点3千米至5千米范围内为免疫区，所有的禽类强制免疫；同时，对扑杀区和免疫区的村庄、道路实行全封闭管理，现有一条笔直的公路AB通过禽流感病区，如图，O 为疫点，在扑杀区内的公路CD长为4千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米．
