2020-2021中考数学压轴题之直角三角形的边角关系(中考题型整理,突破提升)含详细答案一、直角三角形的边角关系1．已知：如图，在四边形 ABCD 中， AB ∥CD ， ∠ACB =90°， AB=10cm ， BC=8cm ， OD 垂直平分 A C ．点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点 P 作 PE ⊥AB ，交 BC 于点 E ，过点 Q 作 QF ∥AC ，分别交 AD ， OD 于点 F ， G ．连接 OP ，EG ．设运动时间为 t ( s )（0＜t ＜5） ，解答下列问题：（1）当 t 为何值时，点 E 在 BAC 的平分线上？（2）设四边形 PEGO 的面积为 S(cm 2) ，求 S 与 t 的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使四边形 PEGO 的面积最大？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）连接 OE ， OQ ，在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使 OE ⊥OQ ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）4s t =；（2）PEGO S 四边形2315688t t =-++ ，(05)t <<；（3）52t =时，PEGO S 四边形取得最大值；（4）165t =时，OE OQ ⊥. 【解析】 【分析】 （1）当点E 在∠BAC 的平分线上时，因为EP ⊥AB ，EC ⊥AC ，可得PE=EC ，由此构建方程即可解决问题．（2）根据S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +（S △OPC +S △PCE -S △OEC ）构建函数关系式即可． （3）利用二次函数的性质解决问题即可．（4）证明∠EOC=∠QOG ，可得tan ∠EOC=tan ∠QOG ，推出EC GQ OC OG=，由此构建方程即可解决问题．【详解】（1）在Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，AB=10cm ，BC=8cm ，∴22108-=6（cm ），∵OD 垂直平分线段AC ，∴OC=OA=3（cm ），∠DOC=90°，∴∠BAC=∠DCO ，∵∠DOC=∠ACB ，∴△DOC ∽△BCA ，∴AC AB BC OC CD OD ==， ∴61083CD OD==， ∴CD=5（cm ），OD=4（cm ），∵PB=t ，PE ⊥AB ，易知：PE=34t ，BE=54t ， 当点E 在∠BAC 的平分线上时，∵EP ⊥AB ，EC ⊥AC ，∴PE=EC ，∴34t=8-54t ， ∴t=4． ∴当t 为4秒时，点E 在∠BAC 的平分线上．（2）如图，连接OE ，PC ．S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +（S △OPC +S △PCE -S △OEC ） =1414153154338838252524524t t t t t ⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯+⨯⨯-+⨯-⨯-⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣ =281516(05)33t t t -++<<． （3）存在． ∵28568(05)323S t t ⎛⎫=--+<< ⎪⎝⎭， ∴t=52时，四边形OPEG 的面积最大，最大值为683． （4）存在．如图，连接OQ ．∴∠EOC+∠QOC=90°，∵∠QOC+∠QOG=90°，∴∠EOC=∠QOG，∴tan∠EOC=tan∠QOG，∴EC GQOC OG=，∴358544345ttt -=-，整理得：5t2-66t+160=0，解得165t=或10（舍弃）∴当165t=秒时，OE⊥OQ．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.2．如图（1），在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．Rt△CDE中，∠CDE=90°，CD=4，DE=4，直角边CD在y轴上，且点C与点A重合．Rt△CDE沿y轴正方向平行移动，当点C运动到点O时停止运动．解答下列问题：（1）如图（2），当Rt△CDE运动到点D与点O重合时，设CE交AB于点M，求∠BME 的度数．（2）如图（3），在Rt△CDE的运动过程中，当CE经过点B时，求BC的长．（3）在Rt△CDE的运动过程中，设AC=h，△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S，请写出S与h之间的函数关系式，并求出面积S的最大值．【答案】（1）∠BME=15°；（2BC=4；（3）h≤2时，S=﹣h2+4h+8，当h≥2时，S=18﹣3h．【解析】试题分析：（1）如图2，由对顶角的定义知，∠BME=∠CMA，要求∠BME的度数，需先求出∠CMA的度数．根据三角形外角的定理进行解答即可；（2）如图3，由已知可知∠OBC=∠DEC=30°，又OB=6，通过解直角△BOC就可求出BC的长度；（3）需要分类讨论：①h≤2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F，S=S△EDC﹣S△EFM；②当h≥2时，如图3，S=S△OBC．试题解析：解：（1）如图2，∵在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．∴OA=OB，∴∠OAB=45°，∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4，∴∠OCE=60°，∴∠CMA=∠OCE﹣∠OAB=60°﹣45°=15°，∴∠BME=∠CMA=15°；如图3，∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4，∴∠OBC=∠DEC=30°，∵OB=6，∴BC=4；（3）①h≤2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F，∵CD=4，DE=4，AC=h，AN=NM，∴CN=4﹣FM，AN=MN=4+h﹣FM，∵△CMN∽△CED，∴，∴，解得FM=4﹣，∴S=S△EDC﹣S△EFM=×4×4﹣（44﹣h）×（4﹣）=﹣h2+4h+8，②如图3，当h≥2时，S=S△OBC=OC×OB=（6﹣h）×6=18﹣3h．考点：1、三角形的外角定理；2、相似；3、解直角三角形3．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，点D在边AC上且BD平分∠ABC，设CD=x．（1）求证：△ABC∽△BCD；（2）求x的值；（3）求cos36°-cos72°的值．【答案】(1)证明见解析；（215-+；（3758+【解析】试题分析：（1）由等腰三角形ABC 中，顶角的度数求出两底角度数，再由BD 为角平分线求出∠DBC 的度数，得到∠DBC=∠A ，再由∠C 为公共角，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABC 与三角形BCD 相似；（2）根据（1）结论得到AD=BD=BC ，根据AD+DC 表示出AC ，由（1）两三角形相似得比例求出x 的值即可；（3）过B 作BE 垂直于AC ，交AC 于点E ，在直角三角形ABE 和直角三角形BCE 中，利用锐角三角函数定义求出cos36°与cos72°的值，代入原式计算即可得到结果．试题解析：（1）∵等腰△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠CBD=36°，∵∠CBD=∠A=36°，∠C=∠C ，∴△ABC ∽△BCD ；（2）∵∠A=∠ABD=36°，∴AD=BD ，∵BD=BC ，∴AD=BD=CD=1，设CD=x ，则有AB=AC=x+1，∵△ABC ∽△BCD ，∴AB BC BD CD =，即111x x+=， 整理得：x 2+x-1=0， 解得：x 1=15-+，x 2=15--（负值，舍去）， 则x=152-+； （3）过B 作BE ⊥AC ，交AC 于点E ，∵BD=CD ，∴E 为CD 中点，即15-+在Rt △ABE 中，cosA=cos36°=1515141512AE AB -+++==-++， 在Rt △BCE 中，cosC=cos72°=1515414EC BC -+-+==， 则cos36°-cos72°=51+=-15-+=12． 【考点】1.相似三角形的判定与性质；2.等腰三角形的性质；3.黄金分割；4.解直角三角形．4．在Rt △ACB 和△AEF 中，∠ACB ＝∠AEF ＝90°，若点P 是BF 的中点，连接PC ，PE. 特殊发现：如图1，若点E 、F 分别落在边AB ，AC 上，则结论：PC ＝PE 成立（不要求证明）． 问题探究：把图1中的△AEF 绕点A 顺时针旋转．(1)如图2，若点E 落在边CA 的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(2)如图3，若点F 落在边AB 上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(3)记AC BC＝k ，当k 为何值时，△CPE 总是等边三角形？（请直接写出后的值，不必说）【答案】()1 PC PE =成立 ()2 ，PC PE =成立 ()3当k 为33时，CPE V 总是等边三角形【解析】【分析】 （1）过点P 作PM ⊥CE 于点M ，由EF ⊥AE ，BC ⊥AC ，得到EF ∥MP ∥CB ，从而有EM FP MC PB=，再根据点P 是BF 的中点，可得EM=MC ，据此得到PC=PE ．（2）过点F 作FD ⊥AC 于点D ，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，连接PD ，先证△DAF ≌△EAF ，即可得出AD=AE ；再证△DAP ≌△EAP ，即可得出PD=PE ；最后根据FD ⊥AC ，BC ⊥AC ，PM ⊥AC ，可得FD ∥BC ∥PM ，再根据点P 是BF 的中点，推得PC=PD ，再根据PD=PE ，即可得到结论．（3）因为△CPE 总是等边三角形，可得∠CEP=60°，∠CAB=60°；由∠ACB=90°，求出∠CBA=30°；最后根据AC k BC =，AC BC =tan30°，求出当△CPE 总是等边三角形时，k 的值是多少即可．【详解】解：（1）PC=PE 成立，理由如下：如图2，过点P 作PM ⊥CE 于点M ，∵EF ⊥AE ，BC ⊥AC ，∴EF ∥MP ∥CB ，∴EM FP MC PB=，∵点P 是BF 的中点，∴EM=MC ，又∵PM ⊥CE ，∴PC=PE ；（2）PC=PE 成立，理由如下：如图3，过点F 作FD ⊥AC 于点D ，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，连接PD ，∵∠DAF=∠EAF ，∠FDA=∠FEA=90°，在△DAF 和△EAF 中，∵∠DAF=∠EAF ，∠FDA=∠FEA ，AF=AF ，∴△DAF ≌△EAF （AAS ），∴AD=AE ，在△DAP 和△EAP 中，∵AD=AE ，∠DAP=∠EAP ，AP=AP ，∴△DAP ≌△EAP （SAS ），∴PD=PE ，∵FD ⊥AC ，BC ⊥AC ，PM ⊥AC ，∴FD ∥BC ∥PM ，∴DM FP MC PB=， ∵点P 是BF 的中点，∴DM=MC ，又∵PM ⊥AC ，∴PC=PD ，又∵PD=PE ，∴PC=PE ；（3）如图4，∵△CPE 总是等边三角形，∴∠CEP=60°，∴∠CAB=60°，∵∠ACB=90°，∴∠CBA=90°﹣∠ACB=90°﹣60°=30°，∵AC k BC ，AC BC=tan30°， ∴k=tan30°=3， ∴当k 为33时，△CPE 总是等边三角形．【点睛】考点：1．几何变换综合题；2．探究型；3．压轴题；4．三角形综合题；5．全等三角形的判定与性质；6．平行线分线段成比例．5．如图，在⊙O 的内接三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2BC ，过C 作AB 的垂线l 交⊙O 于另一点D ，垂足为E.设P 是上异于A ，C 的一个动点，射线AP 交l 于点F ，连接PC 与PD ，PD 交AB 于点G.(1)求证：△PAC ∽△PDF ；(2)若AB ＝5，，求PD 的长；(3)在点P 运动过程中，设＝x ，tan ∠AFD ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式．(不要求写出x的取值范围)【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）应用圆周角定理证明∠APD＝∠FPC，得到∠APC＝∠FPD，又由∠PAC＝∠PDC，即可证明结论.（2）由AC=2BC，设，应用勾股定理即可求得BC，AC的长，则由AC=2BC得，由△ACE∽△ABC可求得AE，CE的长，由可知△APB是等腰直角三角形，从而可求得PA的长，由△AEF是等腰直角三角形求得EF=AE=4，从而求得DF的长，由（1）△PAC∽△PDF得，即可求得PD的长.（3）连接BP，BD，AD，根据圆的对称性，可得，由角的转换可得，由△AGP∽△DGB可得，由△AGD∽△PGB可得，两式相乘可得结果.试题解析：（1）由APCB内接于圆O，得∠FPC＝∠B，又∵∠B＝∠ACE＝90°－∠BCE，∠ACE＝∠APD，∴∠APD＝∠FPC.∴∠APD＋∠DPC＝∠FPC＋∠DPC，即∠APC＝∠FPD.又∵∠PAC＝∠PDC，∴△PAC∽△PDF.（2）连接BP，设，∵∠ACB=90°，AB=5，∴.∴.∵△ACE∽△ABC，∴，即. ∴.∵AB⊥CD，∴.如图，连接BP，∵，∴△APB是等腰直角三角形. ∴∠PAB＝45°，.∴△AEF是等腰直角三角形. ∴EF=AE=4. ∴DF=6.由（1）△PAC∽△PDF得，即.∴PD的长为.（3）如图，连接BP，BD，AD，∵AC=2BC，∴根据圆的对称性，得AD=2DB，即.∵AB⊥CD，BP⊥AE，∴∠ABP＝∠AFD.∵，∴.∵△AGP∽△DGB，∴.∵△AGD∽△PGB，∴.∴，即.∵，∴.∴与之间的函数关系式为.考点：1.单动点问题；2.圆周角定理；3.相似三角形的判定和性质；4.勾股定理；5.等腰直角三角形的判定和性质；6.垂径定理；7.锐角三角函数定义；8.由实际问题列函数关系式.6．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC2＝2CD•OE；（3）若314cos,53BAD BE∠==，求OE的长．【答案】（1）DE为⊙O的切线，理由见解析；（2）证明见解析；（3）OE =356．【解析】试题分析：（1）连接OD，BD，由直径所对的圆周角是直角得到∠ADB为直角，可得出△BCD为直角三角形，E为斜边BC的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到CE=DE，从而得∠C=∠CDE，再由OA=OD，得∠A=∠ADO，由Rt△ABC中两锐角互余，从而可得∠ADO与∠CDE互余，可得出∠ODE为直角，即DE垂直于半径OD，可得出DE为⊙O的切线；（2）由已知可得OE是△ABC的中位线，从而有AC=2OE，再由∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，可得△ABC∽△BDC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得；（3）在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的长，根据三角形中位线定理OE的长即可求得．试题解析：（1）DE为⊙O的切线，理由如下：连接OD，BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，∴CE=DE=BE=BC，∴∠C=∠CDE，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∵∠ABC=90°，∴∠C+∠A=90°，∴∠ADO+∠CDE=90°，∴∠ODE=90°，∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，∴DE为⊙O的切线；（2）∵E是BC的中点，O点是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴AC=2OE，∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，∴△ABC∽△BDC，∴，即BC2=AC•CD．∴BC2=2CD•OE；（3）解：∵cos∠BAD=，∴sin∠BAC=，又∵BE=，E是BC的中点，即BC=，∴AC=．又∵AC=2OE，∴OE=AC=．考点：1、切线的判定；2、相似三角形的判定与性质；3、三角函数7．如图，在△ABC中，∠A=90°，∠ABC=30°，AC=3，动点D从点A出发，在AB边上以每秒1个单位的速度向点B运动，连结CD，作点A关于直线CD的对称点E，设点D运动时间为t（s）．（1）若△BDE是以BE为底的等腰三角形，求t的值；（2）若△BDE为直角三角形，求t的值；（3）当S△BCE≤92时，所有满足条件的t的取值范围（所有数据请保留准确值，参考数据：tan15°=23【答案】（1）332；（23秒或3秒；（3）6﹣3【解析】【分析】（1）如图1，先由勾股定理求得AB的长，根据点A、E关于直线CD的对称，得CD垂直平分AE，根据线段垂直平分线的性质得：AD=DE，所以AD=DE=BD，由3，可得t的值；（2）分两种情况：①当∠DEB=90°时，如图2，连接AE，根据t的值；②当∠EDB=90°时，如图3，根据△AGC≌△EGD，得AC=DE，由AC∥ED，得四边形CAED 是平行四边形，所以AD=CE=3，即t=3；（3）△BCE中，由对称得：AC=CE=3，所以点D在运动过程中，CE的长不变，所以△BCE 面积的变化取决于以CE作底边时，对应高的大小变化，①当△BCE在BC的下方时，②当△BCE在BC的上方时，分别计算当高为3时对应的t的值即可得结论．【详解】解：（1）如图1，连接AE，由题意得：AD=t，∵∠CAB=90°，∠CBA=30°，∴BC=2AC=6，∴∵点A、E关于直线CD的对称，∴CD垂直平分AE，∴AD=DE，∵△BDE是以BE为底的等腰三角形，∴DE=BD，∴AD=BD，∴；（2）△BDE为直角三角形时，分两种情况：①当∠DEB=90°时，如图2，连接AE，∵CD垂直平分AE，∴AD=DE=t，∵∠B=30°，∴BD=2DE=2t，∴∴②当∠EDB=90°时，如图3，连接CE，∵CD垂直平分AE，∴CE=CA=3，∵∠CAD=∠EDB=90°，∴AC∥ED，∴∠CAG=∠GED，∵AG=EG，∠CGA=∠EGD，∴△AGC≌△EGD，∴AC=DE，∵AC∥ED，∴四边形CAED是平行四边形，∴AD=CE=3，即t=3；综上所述，△BDE为直角三角形时，t的值为3秒或3秒；（3）△BCE中，由对称得：AC=CE=3，所以点D在运动过程中，CE的长不变，所以△BCE 面积的变化取决于以CE作底边时，对应高的大小变化，①当△BCE在BC的下方时，过B作BH⊥CE，交CE的延长线于H，如图4，当AC=BH=3时，此时S△BCE=12AE•BH=12×3×3=92，易得△ACG≌△HBG，∴CG=BG，∴∠ABC=∠BCG=30°，∴∠ACE=60°﹣30°=30°，∵AC=CE，AD=DE，DC=DC，∴△ACD≌△ECD，∴∠ACD=∠DCE=15°，tan∠ACD=tan15°=t3=2﹣3，∴t=6﹣33，由图形可知：0＜t＜6﹣33时，△BCE的BH越来越小，则面积越来越小，②当△BCE在BC的上方时，如图3，CE=ED=3，且CE⊥ED，此时S△BCE=12CE•DE=12×3×3=92，此时t=3，综上所述，当S△BCE≤92时，t的取值范围是6﹣33≤t≤3．【点睛】本题考查三角形综合题、平行四边形的判定和性质、直角三角形的性质、三角形的面积问题、轴对称等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用分类讨论的思想思考问题，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题．8．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线4y kx =+交x 轴、y 轴分别于点A 、点B ，且ABO ∆的面积为8.（1）求k 的值；（2）如图，点P 是第一象限直线AB 上的一个动点，连接PO ，将线段OP 绕点O 顺时针旋转90°至线段OC ，设点P 的横坐标为t ，点C 的横坐标为m ，求m 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，过点B 作直线BM OP ⊥，交x 轴于点M ，垂足为点N ，点K 在线段MB 的延长线上，连接PK ，且0PK KB P +=，2PMB KPB ∠=∠，连接MC ，求四边形BOCM 的面积.【答案】（1）1k =；（2）4m t =+；（3）32BOCM S =Y .【解析】【分析】（1）先求出A 的坐标，然后利用待定系数法求出k 的值；(2) 过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，过点C 作CE x ⊥轴，垂足为E ，证POD OCE ∆≅∆可得OE PD =，进一步得出m 与t 的函数关系式；（3）过点O 作直线OT AB ⊥，交直线BM 于点Q ，垂足为点T ，连接QP ，先证出QTB PTO ∆≅∆；再证出KPB BPN ∠=∠；设KPB x ∠=︒，通过计算证出PO PM =；再过点P 作PD x ⊥轴，垂足为点D ，根据tan tan OPD BMO ∠=∠得到OD BO PD MO=，列式可求得t=4；所以OM=8进一步得出四边形BOCM 是平行四边形，最后可得其面积为32.【详解】解：（1）把0x =代入4y kx =+，4y =，∴4BO =，又∵4ABO S ∆=， ∴142AO BO ⋅=，4AO =， ∴(4,0)A -，把4x =-，0y =代入4y kx =+，得044k =-+，解得1k =.故答案为1；（2）解：把x t =代入4y x =+，4y t =+， ∴(,4)P t t +如图，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，过点C 作CE x ⊥轴，垂足为E ，∴90PDO CEO ∠=∠=︒，∴90POD OPD ∠+∠=︒，∵线段OP 绕点O 顺时针旋转90°至线段OC ，∴90POC ∠=︒，OP OC =，∴90POD EOC ∠+∠=︒，∴OPD EOC ∠=∠，∴POD OCE ∆≅∆，∴OE PD =，4m t =+.故答案为4m t =+.（3）解：如图，过点O 作直线OT AB ⊥，交直线BM 于点Q ，垂足为点T ，连接QP ，由（1）知，4AO BO ==，90BOA ∠=︒，∴ABO ∆为等腰直角三角形，∴45ABO BAO ∠=∠=︒，9045BOT ABO ABO ∠=︒-∠=︒=∠，∴BT TO =，∵90BTO ∠=︒，∴90TPO TOP ∠+∠=︒，∵PO BM ⊥，∴90BNO ∠=︒，∴BQT TPO ∠=∠，∴QTB PTO ∆≅∆，∴QT TP =，PO BQ =，∴PQT QPT ∠=∠，∵PO PK KB =+，∴QB PK KB =+，QK KP =，∴KQP KPQ ∠=∠，∴PQT KQP QPT KPQ ∠-∠=∠-∠，TQB TPK ∠=∠，∴KPB BPN ∠=∠，设KPB x ∠=︒，∴BPN x ∠=︒，∵2PMB KPB ∠=∠，∴2PMB x ∠=︒，45POM PAO APO x ∠=∠+∠=︒+︒，9045NMO POM x ∠=︒-∠=︒-︒，∴45PMO PMB NMO x POM ∠=∠+∠=︒+︒=∠，∴PO PM =，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为点D ，∴22OM OD t ==，9045OPD POD x BMO ∠=︒-∠=︒-︒=∠，tan tan OPD BMO ∠=∠，OD BO PD MO =，442t t t=+， 14t =，22t =-（舍）∴8OM =，由（2）知，48m t OM =+==，∴CM y P 轴，∵90PNM POC ∠=∠=︒，∴BM OC P ，∴四边形BOCM 是平行四边形，∴4832BOCM S BO OM =⨯=⨯=Y .故答案为32.【点睛】本题考查了一次函数和几何的综合题，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，添加适当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．9．2018年12月10日，郑州市城乡规划局网站挂出《郑州都市区主城区停车场专项规划》，将停车纳入城市综合交通体系，计划到2030年，在主城区新建停车泊位33.04万个，2019年初，某小区拟修建地下停车库，如图是停车库坡道入口的设计图，其中MN 是水平线，MN ∥AD ，AD ⊥DE ，CF ⊥AB ，垂足分别为D ，F ，坡道AB 的坡度为1：3，DE ＝3米，点C 在DE 上，CD ＝0.5米，CD 是限高标志屏的高度（标志牌上写有：限高米），如果进入该车库车辆的高度不能超过线段CF 的长，则该停车库限高多少米？（结果精确到0.1米，参考数据2≈1.41， 3≈1.73）【答案】该停车库限高约为2.2米．【解析】【分析】据题意得出3tan 3B =，即可得出tan A ，在Rt △ADE 中，根据勾股定理可求得DE ，即可得出∠1的正切值，再在Rt △CEF 中，设EF ＝x ，即可求出x ，从而得出CF 3的长．【详解】解：由题意得，tan3B∵MN∥AD，∴∠A＝∠B，∴tan A，∵DE⊥AD，∴在Rt△ADE中，tan A＝DEAD，∵DE＝3，又∵DC＝0.5，∴CE＝2.5，∵CF⊥AB，∴∠FCE+∠CEF＝90°，∵DE⊥AD，∴∠A+∠CEF＝90°，∴∠A＝∠FCE，∴tan∠FCE＝3．在Rt△CEF中，设EF＝x，CF x（x＞0），CE＝2.5，代入得（52）2＝x2+3x2，解得x＝1.25，∴CFx≈2.2，∴该停车库限高约为2.2米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，坡面坡角问题和勾股定理，解题的关键是坡度等于坡角的正切值．10．如图，直线y＝12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣12x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）根据图象，直接写出满足12x+2≥﹣12x2+bx+c的x的取值范围；（3）设点D为该抛物线上的一点、连结AD，若∠DAC＝∠CBO，求点D的坐标．【答案】（1）213222y x x =--+；（2）当x ≥0或x ≤﹣4；（3）D 点坐标为（0，2）或（2，﹣3）．【解析】【分析】（1）由直线y ＝12x +2求得A 、B 的坐标，然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）观察图象，找出直线在抛物线上方的x 的取值范围；（3）如图，过D 点作x 轴的垂线，交x 轴于点E ，先求出CO ＝1，AO ＝4，再由∠DAC ＝∠CBO ，得出tan ∠DAC ＝tan ∠CBO ，从而有，DE CO AE BO =,最后分类讨论确定点D 的坐标． 【详解】解：（1）由y ＝12x +2可得： 当x ＝0时，y ＝2；当y ＝0时，x ＝﹣4，∴A （﹣4，0），B （0，2），把A 、B 的坐标代入y ＝﹣12x 2+bx +c 得： 322b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，， ∴抛物线的解析式为：213222y x x =--+ （2）当x ≥0或x ≤﹣4时，12x +2≥﹣12x 2+bx +c （3）如图，过D 点作x 轴的垂线，交x 轴于点E ， 由213222y x x =-+令y ＝0， 解得：x 1＝1，x 2＝﹣4，∴CO ＝1，AO ＝4，设点D 的坐标为（m ，213222m m --+）， ∵∠DAC ＝∠CBO ，∴tan ∠DAC ＝tan ∠CBO ，∴在Rt △ADE 和Rt △BOC中有DE CO AE BO=， 当D 在x 轴上方时，213212242--+=+m m m 解得：m 1＝0，m 2＝﹣4（不合题意，舍去），∴点D 的坐标为（0，2）．当D 在x 轴下方时，213(2)12242---+=+m m m 解得：m 1＝2，m 2＝﹣4（不合题意，舍去），∴点D 的坐标为（2，﹣3），故满足条件的D 点坐标为（0，2）或（2，﹣3）．【点睛】本题是二次函数综合题型，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式．解题的关键是能够熟练掌握一次函数和二次函数的有关知识解决问题，分类讨论是第（3）题的难点．11．如图，已知二次函数212y x bx c =++的图象经过点A （-3，6），并与x 轴交于点B （-1，0）和点C ，顶点为点P ．（1）求这个二次函数解析式；（2）设D 为x 轴上一点，满足∠DPC =∠BAC ，求点D 的坐标； （3）作直线AP ，在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，在直线AP 上是否存在点N ，使AM +MN 的值最小？若存在，求出M 、N 的坐标：若不存在，请说明理由．【答案】（1）点C 坐标为（3，0），点P （1，-2）；（2）点P （7，0）；（3）点N （-7 5，145）．【解析】【分析】（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）利用S△ABC= 12×AC×BH=12×BC×y A，求出sinα=222105BHAB==，则tanα=12，在△PMD中，tanα= MDPM=1222x=+，即可求解；（3）作点A关于对称轴的对称点A′（5，6），过点A′作A′N⊥AP分别交对称轴与点M、交AP于点N，此时AM+MN最小，即可求解．【详解】（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：9633212bb c⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩，解得：132bc=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，故：抛物线的表达式为：y=12x2-x-32，令y=0，则x=-1或3，令x=0，则y=-32，故点C坐标为（3，0），点P（1，-2）；（2）过点B作BH⊥AC交于点H，过点P作PG⊥x轴交于点G，设：∠DPC=∠BAC=α，由题意得：AB10，AC2BC=4，PC2，S△ABC=12×AC×BH=12×BC×y A，解得：BH2sinα=BHAB22210=5，则tanα=12，由题意得：GC=2=PG，故∠PCB=45°，延长PC，过点D作DM⊥PC交于点M，则MD=MC=x，在△PMD中，tanα=MDPM=22xx+=12，解得：x=22，则CD=2x=4，故点P（7，0）；（3）作点A关于对称轴的对称点A′（5，6），过点A′作A′N⊥AP分别交对称轴与点M、交AP于点N，此时AM+MN最小，直线AP表达式中的k值为：84-=-2，则直线A′N表达式中的k值为12，设直线A′N的表达式为：y=12x+b，将点A′坐标代入上式并求解得：b=72，故直线A′N的表达式为：y=12x+72…①，当x=1时，y=4，故点M（1，4），同理直线AP的表达式为：y=-2x…②，联立①②两个方程并求解得：x=-75，故点N（-75，145）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等知识，其中（3），利用对称点求解最小值，是此类题目的一般方法．12．关于三角函数有如下的公式：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ①cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ②tan（α+β）=③利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：tan105°=tan（45°+60°）==﹣（2+）．根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角α=60°，底端C点的俯角β=75°，此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42m，求建筑物CD的高．【答案】建筑物CD的高为84米．【解析】分析：如图，过点D作DE⊥AB于点E，由题意易得∠ACB=75°，∠ABC=90°，DE=BC=42m，∠ADE=60°，这样在Rt△ABC和在Rt△ADE中，结合题中所给关系式分别求出AB和AE的长，即可由CD=BE=AB-AE求得结果了.详解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，由题意可得∠ACB=75°，∠ABC=90°，DE=BC=42m，CD=BE，∠ADE=60°，∴在Rt△ABC和Rt△ADEAB=BC•tan75°=42tan75°=，AE=，∴CD=AB﹣AE=（米）.答：建筑物CD的高为84米.睛：读懂题意，把已知量和未知量转化到Rt△ABC和Rt△ADE中，这样利用直角三角形中边角间的关系结合题目中所给的“两角和的三角形函数公式”即可使问题得到解决.。
中考数学综合题专题复习【直角三角形的边角关系】专题解析附答案解析一、直角三角形的边角关系1．（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．【答案】．【解析】试题分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD的长，得到答案．试题解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，∴∠C=60°，在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=，则tanC=，∴CD==，∴BC=．故该船与B港口之间的距离CB的长为海里．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．2．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．（1）求证：直线CP是⊙O的切线．（2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离．（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．【答案】（1）证明见解析（2）4（3）20【解析】试题分析：（1）利用直径所对的圆周角为直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可；（2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可．试题解析：（1）∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∵AC为⊙O的直径，∴∠ANC=90°，∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB，∵∠CAB=2∠BCP，∴∠BCP=∠CAN，∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°，∵点D在⊙O上，∴直线CP是⊙O的切线；（2）如图，作BF⊥AC∵AB=AC，∠ANC=90°，∴CN=CB=，∵∠BCP=∠CAN，sin∠BCP=，∴sin∠CAN=，∴∴AC=5，∴AB=AC=5，设AF=x，则CF=5﹣x，在Rt△ABF中，BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2，在Rt△CBF中，BF2=BC2﹣CF2=2O﹣（5﹣x）2，∴25﹣x2=2O﹣（5﹣x）2，∴x=3，∴BF2=25﹣32=16，∴BF=4，即点B到AC的距离为4．考点：切线的判定3．下图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图.已知BC=4 m,AB=6 m,中间平台宽度DE=1 m,EN,DM,CB为三根垂直于AB的支柱,垂足分别为N,M,B,∠EAB=31°,DF⊥BC于点F,∠CDF=45°,求DM和BC的水平距离BM的长度.(结果精确到0.1 m.参考数据:sin31°≈0.52,cos 31°≈0.86,tan 31°≈0.60)【答案】2.5m.【解析】试题分析：设DF=x，在Rt△DFC中，可得CF=DF=x，则BF=4-x，根据线段的和差可得AN=5-x，EN=DM=BF=4－，在Rt△ANE中，∠EAB=，利用∠EAB的正切值解得x的值．试题解析：解：设DF=，在Rt△DFC中，∠CDF=，∴CF=tan·DF=，又∵CB=4，∴BF=4－，∵AB=6，DE=1，BM= DF=，∴AN=5－，EN=DM=BF=4－，在Rt△ANE中，∠EAB=，EN=4－，AN=5－，tan==0．60，解得=2．5，答：DM和BC的水平距离BM为2．5米．考点：解直角三角形．4．如图，在⊙O的内接三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E.设P是上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G.(1)求证：△PAC∽△PDF；(2)若AB＝5，，求PD的长；(3)在点P运动过程中，设＝x，tan∠AFD＝y，求y与x之间的函数关系式．(不要求写出x的取值范围)【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）应用圆周角定理证明∠APD＝∠FPC，得到∠APC＝∠FPD，又由∠PAC＝∠PDC，即可证明结论.（2）由AC=2BC，设，应用勾股定理即可求得BC，AC的长，则由AC=2BC得，由△ACE∽△ABC可求得AE，CE的长，由可知△APB是等腰直角三角形，从而可求得PA的长，由△AEF是等腰直角三角形求得EF=AE=4，从而求得DF的长，由（1）△PAC∽△PDF得，即可求得PD的长.（3）连接BP，BD，AD，根据圆的对称性，可得，由角的转换可得，由△AGP∽△DGB可得，由△AGD∽△PGB可得，两式相乘可得结果.试题解析：（1）由APCB内接于圆O，得∠FPC＝∠B，又∵∠B＝∠ACE＝90°－∠BCE，∠ACE＝∠APD，∴∠APD＝∠FPC.∴∠APD＋∠DPC＝∠FPC＋∠DPC，即∠APC＝∠FPD.又∵∠PAC＝∠PDC，∴△PAC∽△PDF.（2）连接BP，设，∵∠ACB=90°，AB=5，∴.∴.∵△ACE∽△ABC，∴，即. ∴.∵AB⊥CD，∴.如图，连接BP，∵，∴△APB是等腰直角三角形. ∴∠PAB＝45°，.∴△AEF是等腰直角三角形. ∴EF=AE=4. ∴DF=6.由（1）△PAC∽△PDF得，即.∴PD的长为.（3）如图，连接BP，BD，AD，∵AC=2BC，∴根据圆的对称性，得AD=2DB，即.∵AB⊥CD，BP⊥AE，∴∠ABP＝∠AFD.∵，∴.∵△AGP∽△DGB，∴.∵△AGD∽△PGB，∴.∴，即.∵，∴.∴与之间的函数关系式为.考点：1.单动点问题；2.圆周角定理；3.相似三角形的判定和性质；4.勾股定理；5.等腰直角三角形的判定和性质；6.垂径定理；7.锐角三角函数定义；8.由实际问题列函数关系式.5．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC2＝2CD•OE；（3）若314cos,53BAD BE∠==，求OE的长．【答案】（1）DE为⊙O的切线，理由见解析；（2）证明见解析；（3）OE =356．【解析】试题分析：（1）连接OD，BD，由直径所对的圆周角是直角得到∠ADB为直角，可得出△BCD为直角三角形，E为斜边BC的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到CE=DE，从而得∠C=∠CDE，再由OA=OD，得∠A=∠ADO，由Rt△ABC中两锐角互余，从而可得∠ADO与∠CDE互余，可得出∠ODE为直角，即DE垂直于半径OD，可得出DE为⊙O的切线；（2）由已知可得OE是△ABC的中位线，从而有AC=2OE，再由∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，可得△ABC∽△BDC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得；（3）在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的长，根据三角形中位线定理OE的长即可求得．试题解析：（1）DE为⊙O的切线，理由如下：连接OD，BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，∴CE=DE=BE=BC，∴∠C=∠CDE，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∵∠ABC=90°，∴∠C+∠A=90°，∴∠ADO+∠CDE=90°，∴∠ODE=90°，∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，∴DE为⊙O的切线；（2）∵E是BC的中点，O点是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴AC=2OE，∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，∴△ABC∽△BDC，∴，即BC2=AC•CD．∴BC2=2CD•OE；（3）解：∵cos∠BAD=，∴sin∠BAC=，又∵BE=，E是BC的中点，即BC=，∴AC=．又∵AC=2OE，∴OE=AC=．考点：1、切线的判定；2、相似三角形的判定与性质；3、三角函数6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm，AD是斜边BC上的高，垂足为D，BE=1cm．点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点N从点E出发，与点M 同时同方向以相同的速度运动，以MN为边在BC的上方作正方形MNGH．点M到达点D 时停止运动，点N到达点C时停止运动．设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，点G刚好落在线段AD上？（2）设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S，当重叠部分的图形是正方形时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围．（3）设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P，连接DP，当t为何值时，△CPD是等腰三角形？【答案】（1）3；（2）；（3）t=9s或t=（15﹣6）s.【解析】试题分析：（1）求出ED的距离即可求出相对应的时间t.（2）先求出t的取值范围，分为H在AB上时，此时BM的距离，进而求出相应的时间．同样当G在AC上时，求出MN的长度，继而算出EN的长度即可求出时间，再通过正方形的面积公式求出正方形的面积.（3）分DP=PC和DC=PC两种情况，分别由EN的长度便可求出t的值．试题解析：∵∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm∴AB=8cm，BD=4cm，AC=8cm，DC=12cm，AD=4cm.（1）∵当G刚好落在线段AD上时，ED=BD﹣BE=3cm∴t=s=3s．（2）∵当MH没有到达AD时，此时正方形MNGH是边长为1的正方形，令H点在AB 上，则∠HMB=90°，∠B=60°，MH=1∴BM=cm.∴t=s.当MH到达AD时，那么此时的正方形MNGH的边长随着N点的继续运动而增大，令G点在AC上，设MN=xcm，则GH=DH=x，AH=x，∵AD=AH+DH=x+x=x=4，∴x=3．当≤t≤4时，S MNGN=1cm2．当4＜t≤6时，S MNGH=（t﹣3）2cm2∴S关于t的函数关系式为：.（3）分两种情况：①∵当DP=PC时，易知此时N点为DC的中点，∴MN=6cm∴EN=3cm+6cm=9cm.∴t=9s故当t=9s的时候，△CPD为等腰三角形；②当DC=PC时，DC=PC=12cm∴NC=6cm∴EN=16cm﹣1cm﹣6cm=（15﹣6）cm∴t=（15﹣6）s故当t=（15﹣6）s时，△CPD为等腰三角形．综上所述，当t=9s或t=（15﹣6）s时，△CPD为等腰三角形．考点：1.双动点问题；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4.正方形的性质；5.由实际问题列函数关系式；6.等腰三角形的性质；7.分类思想的应用.7．在正方形ABCD中，AC是一条对角线，点E是边BC上的一点（不与点C重合），连接AE，将△ABE沿BC方向平移，使点B与点C重合，得到△DCF，过点E作EG⊥AC于点G，连接DG，FG．（1）如图，①依题意补全图；②判断线段FG与DG之间的数量关系与位置关系，并证明；（2）已知正方形的边长为6，当∠AGD＝60°时，求BE的长．BE【答案】（1）①见解析，②FG＝DG，FG⊥DG，见解析；（2）3【解析】【分析】（1）①补全图形即可，②连接BG，由SAS证明△BEG≌△GCF得出BG＝GF，由正方形的对称性质得出BG＝DG，得出FG＝DG，在证出∠DGF＝90°，得出FG⊥DG即可，（2）过点D作DH⊥AC，交AC于点H．由等腰直角三角形的性质得出DH＝AH＝2FG＝DG＝2GH＝6，得出DF2DG＝3Rt△DCF中，由勾股定理得出CF＝3得出结果．【详解】解：（1）①补全图形如图1所示，②FG＝DG，FG⊥DG，理由如下，连接BG，如图2所示，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°，∵EG ⊥AC ， ∴∠EGC ＝90°，∴△CEG 是等腰直角三角形，EG ＝GC ， ∴∠GEC ＝∠GCE ＝45°， ∴∠BEG ＝∠GCF ＝135°， 由平移的性质得：BE ＝CF ，在△BEG 和△GCF 中，BE CF BEG GCF EG CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEG ≌△GCF （SAS ）， ∴BG ＝GF ，∵G 在正方形ABCD 对角线上， ∴BG ＝DG ， ∴FG ＝DG ，∵∠CGF ＝∠BGE ，∠BGE+∠AGB ＝90°， ∴∠CGF+∠AGB ＝90°， ∴∠AGD+∠CGF ＝90°， ∴∠DGF ＝90°， ∴FG ⊥DG.（2）过点D 作DH ⊥AC ，交AC 于点H ．如图3所示, 在Rt △ADG 中， ∵∠DAC ＝45°， ∴DH ＝AH ＝2在Rt △DHG 中，∵∠AGD ＝60°， ∴GH 33236，∴DG ＝2GH ＝6， ∴DF 2DG ＝3 在Rt △DCF 中，CF ()22436-3∴BE ＝CF ＝3．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形的应用等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．8．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的边AB 在x 轴上，点B 坐标（﹣6，0），点C 在y 轴正半轴上，且cos B ＝35，动点P 从点C 出发，以每秒一个单位长度的速度向D 点移动（P 点到达D 点时停止运动），移动时间为t 秒，过点P 作平行于y 轴的直线l 与菱形的其它边交于点Q ．（1）求点D 坐标；（2）求△OPQ 的面积S 关于t 的函数关系式，并求出S 的最大值；（3）在直线l 移动过程中，是否存在t 值，使S ＝320ABCDS 菱形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）点D 的坐标为（10，8）．（2）S 关于t 的函数关系式为S ＝24(04)220(410)33t t t t t ⎧⎪⎨-+<⎪⎩剟…，S 的最大值为503．（3）3或7. 【解析】【分析】（1）在Rt △BOC 中，求BC,OC,根据菱形性质再求D 的坐标；（2）分两种情况分析：①当0≤t ≤4时和②当4＜t ≤10时，根据面积公式列出解析式，再求函数的最值；（3）分两种情况分析：当0≤t ≤4时，4t ＝12，；当4＜t ≤10时，22201233t t -+= 【详解】解：（1）在Rt △BOC 中，∠BOC ＝90°，OB ＝6，cos B ＝35， 10cos OB BC B∴==8OC ∴==∵四边形ABCD 为菱形，CD ∥x 轴，∴点D 的坐标为（10，8）．（2）∵AB ＝BC ＝10，点B 的坐标为（﹣6，0），∴点A 的坐标为（4，0）．分两种情况考虑，如图1所示．①当0≤t ≤4时，PQ ＝OC ＝8，OQ ＝t ，∴S ＝12PQ •OQ ＝4t ， ∵4＞0， ∴当t ＝4时，S 取得最大值，最大值为16；②当4＜t ≤10时，设直线AD 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将A （4，0），D （10，8）代入y ＝kx +b ，得：4k b 010k b 8+=⎧⎨+=⎩，解得：4k 316b 3⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴直线AD 的解析式为41633y x =-． 当x ＝t 时，41633y t =-， 41648(10)333PQ t t ⎛⎫∴=--=- ⎪⎝⎭ 21220233S PQ OP t t ∴=⋅=-+ 22202502(5),033333S t t t =-+=--+-<Q ∴当t ＝5时，S 取得最大值，最大值为503． 综上所述：S 关于t 的函数关系式为S ＝24(04)220(410)33t t t t t ⎧⎪⎨-+<⎪⎩剟…，S 的最大值为503． （3）S 菱形ABCD ＝AB •OC ＝80．当0≤t ≤4时，4t ＝12，解得：t ＝3；当4＜t ≤10时，222033t t -+＝12， 解得：t 1＝5﹣7（舍去），t 2＝5+ 7． 综上所述：在直线l 移动过程中，存在t 值，使S ＝320ABCD S 菱形，t 的值为3或5+7．【点睛】考核知识点：一次函数和二次函数的最值问题.数形结合，分类讨论是关键.9．关于三角函数有如下的公式： sin （α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ①cos （α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ②tan （α+β）=③利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如： tan105°=tan （45°+60°）==﹣（2+）．根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题： 如图，直升飞机在一建筑物CD 上方A 点处测得建筑物顶端D 点的俯角α=60°，底端C 点的俯角β=75°，此时直升飞机与建筑物CD 的水平距离BC 为42m ，求建筑物CD 的高．【答案】建筑物CD 的高为84米．【解析】分析：如图，过点D作DE⊥AB于点E，由题意易得∠ACB=75°，∠ABC=90°，DE=BC=42m，∠ADE=60°，这样在Rt△ABC和在Rt△ADE中，结合题中所给关系式分别求出AB和AE的长，即可由CD=BE=AB-AE求得结果了.详解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，由题意可得∠ACB=75°，∠ABC=90°，DE=BC=42m，CD=BE，∠ADE=60°，∴在Rt△ABC和Rt△ADEAB=BC•tan75°=42tan75°=，AE=，∴CD=AB﹣AE=（米）.答：建筑物CD的高为84米.睛：读懂题意，把已知量和未知量转化到Rt△ABC和Rt△ADE中，这样利用直角三角形中边角间的关系结合题目中所给的“两角和的三角形函数公式”即可使问题得到解决.10．如图，正方形ABCD的边长为2+1，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAC分别交BC、BD于E、F，（1）求证：△ABF∽△ACE；（2）求tan∠BAE的值；（3）在线段AC上找一点P，使得PE+PF最小，求出最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）tan∠EAB2﹣1；（3）PE+PF的最小值为22【解析】【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可；（2）如图1中，作EH ⊥AC 于H ．首先证明BE=EH=HC ，设BE=EH=HC=x ，构建方程求出x 即可解决问题；（3）如图2中，作点F 关于直线AC 的对称点H ，连接EH 交AC 于点P ，连接PF ，此时PF+PE 的值最小，最小值为线段EH 的长；【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ACE ＝∠ABF ＝∠CAB ＝45°，∵AE 平分∠CAB ，∴∠EAC ＝∠BAF ＝22.5°，∴△ABF ∽△ACE ．（2）解：如图1中，作EH ⊥AC 于H ．∵EA 平分∠CAB ，EH ⊥AC ，EB ⊥AB ，∴BE ＝EB ，∵∠HCE ＝45°，∠CHE ＝90°，∴∠HCE ＝∠HEC ＝45°，∴HC ＝EH ，∴BE ＝EH ＝HC ，设BE ＝HE ＝HC ＝x ，则EC 2，∵BC 2+1，∴x+x 2+1，∴x ＝1，在Rt △ABE 中，∵∠ABE ＝90°，∴tan ∠EAB ＝221BE AB ＝＝ 1． （3）如图2中，作点F 关于直线AC 的对称点H ，连接EH 交AC 于点P ，连接PF ，此时PF+PE 的值最小．作EM ⊥BD 于M ．BM ＝EM ＝2， ∵AC ＝22AB BC +＝2+2，∴OA ＝OC ＝OB ＝12AC ＝22+ ， ∴OH ＝OF ＝OA•tan ∠OAF ＝OA•tan ∠EAB ＝22+ •（2﹣1）＝2， ∴HM ＝OH+OM ＝222+， 在Rt △EHM 中，EH ＝2222222EM HM 22⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝ ＝22+．． ∴PE+PF 的最小值为22+．．【点睛】 本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，勾股定理，最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．11．如图，在航线l 的两侧分别有观测点A 和B ，点B 到航线l 的距离BD 为4km ，点A 位于点B 北偏西60°方向且与B 相距20km 处．现有一艘轮船从位于点A 南偏东74°方向的C 处，沿该航线自东向西航行至观测点A 的正南方向E 处．求这艘轮船的航行路程CE 的长度．（结果精确到0.1km ）（参考数据：3≈1.73，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49）【答案】20.9km【解析】分析：根据题意，构造直角三角和相似三角形的数学模型，利用相似三角形的判定与性质和解直角三角形即可.详解：如图，在Rt △BDF 中，∵∠DBF=60°，BD=4km ，∴BF=cos 60BD o =8km ， ∵AB=20km ，∴AF=12km ， ∵∠AEB=∠BDF ，∠AFE=∠BFD ，∴△AEF ∽△BDF ， ∴AE BD AF BF， ∴AE=6km ， 在Rt △AEF 中，CE=AE•tan74°≈20.9km ．故这艘轮船的航行路程CE 的长度是20.9km ．点睛：本题考查相似三角形，掌握相似三角形的概念，会根据条件判断两个三角形相似.12．如图所示，小华在湖边看到湖中有一棵树AB ，AB 与水面AC 垂直．此时，小华的眼睛所在位置D 到湖面的距离DC 为4米．她测得树梢B 点的仰角为30°，测得树梢B 点在水中的倒影B′点的俯角45°．求树高AB （结果保留根号）【答案】AB=（3）m ．【解析】【分析】设BE=x ，则BA=x+4，B′E=x+8，根据∠ADB′=45°，可知DE=B′E=x+8，再由tan30°=BE DE即可得出x 的值，进而得到答案，【详解】如图：过点D 作DE ⊥AB 于点E ，设BE=x ，则BA=x+4，B′E=x+8，∵∠ADB′=45°，∴DE=B′E=x+8，∵∠BDE=30°，∴tan30°=383BE x DE x ==+ ，解得x=4+43 ， ∴AB=BE+4=（8+43 ）m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答此题的关键。
《直角三角形的边角关系》专题专练专题一：锐角三角函数考点分析：在理解三角函数定义的基础上，理解并掌握三角函数有关的概念及性质； 典例剖析例1． 如图1，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则 sin α= ．分析：先用勾股定理求出第三边，再利用三角函数的定义求解 解：根据点P 的坐标利用勾股定理可以求得OP=2243+=5. 所以sin α=54=斜边的对边α. 点评：过已知点向坐标轴引垂线构造直角三角形，利用这点的坐标求出对应线段的长度，便可计算要求的锐角的三角函数值.例2．在Rt ABC △中，90C ∠=°，a b c ，，分别是A B C ∠∠∠，，的对边，若2b a =，则tan A = ．分析：由于正切与两条直角边有关，故直接利用三角函数的定义求解 解：因为tan A =122a ab a == 点评：本题重点考查学生对正切定义的理解和运用情况，只要记住定义，就可以把边的比转化为正切了专练一：1、在△ABC 中,∠C=90°,则cosB 的值为( ) A.1D.122、若且α为锐角,则cos α等于( ) A.12B.23、在△ABC 中,若21sin tan 02A B ⎫-+-=⎪⎪⎝⎭,则∠C 的度数为( ) A.30° B.60° C.90° D.120°图14、把Rt △ABC 的三边都扩大十倍，关于锐角A 的正弦值：甲同学说扩大十倍；乙同学说不变；丙同学说缩小十倍.那么你认为正确的说法应是A.甲B.乙C.丙D.都不正确5、（1）已知tan α则锐角α的度数为_____; （2）若cos 0α,则锐角α的度数为_____. 6、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝12，BC ＝15。
（1）求AB 的长； （2）求sinA 、cosA 的值； （3）求A A 22cos sin +的值； （4）比较sinA 、cosB 的大小。
第十四章直角三角形的边角关系基础知识梳理1．锐角三角函数．在Rt△ABC中，∠C是直角，如图所示．（1）正切：∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA=AA∠∠的对边的邻边．（2）正弦：∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA=A∠的对边邻边．（3）余弦：∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA=A∠的邻边邻边．（4）锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．（5）锐角的正弦和余弦之间的关系．任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值．即：如果∠A+∠B=90°，那么sinA=cos（90°-A）=cosB；cosA=sin（•90•°-•A）•=sinB．（6）一些特殊角的三角函数值（如下表）．三角函数角sin cos tan30°12323345°2222160°32123（7）已知角度可利用科学计算器求得锐角三角函数值；同样，•已知三角函数值也可利用科学计算器求得角度的大小．（8）三角函数值的变化规律．①当角度在0°～90°间变化时，正弦值（正切值）随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．②当角度在0°～90°间变化时，余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（•或增大）．（9）同角三角函数的关系．①sin2A+cos2A=1；②tanA=sincosAA．2．运用三角函数解直角三角形．由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．（1）三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理）．（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°．（3）边角之间的关系：sinA=ac，cosA=bc，tanA=ab．所以，在直角三角形中，只要知道除直角外的两个元素（其中至少有一个是边），•就可以求出其余三个未知元素．解直角三角形的基本类型题解法如下表所示：类型已知条件解法两边两直角边a，bc=22a b+，tanA=ab，B=90°-A一直角边a，斜边cb=22c a-，sinA=ac，B=90°-A一边、一锐角一直角边a，锐角AB=90°-A，b=tanaA，c=sinaA斜边a，锐角A B=90°-A，a=c·sin，b=c·cosA注意：解直角三角形需要注意的问题：（1）尽量使用原始数据，使计算更加准确；（2）不是解直角三角形的问题，添加合适的辅助线转化为解直角三角形的问题；（3）恰当使用方程或方程组的方法解决一些较复杂的解直角三角形的问题；（4）在选用三角函数式时，尽量做乘法，避免做除法，以使运算简便；（5）必要时画出图形，分析已知什么，求什么，它们在哪个三角形中，•应当选用什么关系式进行计算；（6）添加辅助线的过程应书写在解题过程中．3．解直角三角形的实际问题．解直角三角形的实际问题涉及到如下概念和术语．（1）坡度、坡角．如图所示，坡面的垂直高度h和水平宽度L的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母i表示，即i=hl．坡面与水平面的夹角记作α（叫做坡角），则i=hl=tanα．（2）仰角、俯角．当从低处观测高处的目标时，视线和水平线所成的锐角称为仰角．当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．如图所示．（3）方位角和方向角．①方位角：正北方向顺时针旋转与已知射线所成的角叫做方位角．如图所示的∠α（0°<α<360°）．②方向角：正北或正南方向与已知射线所成的锐角叫做方向角．如图14-5所示的∠β（0°<β<90°），若∠β=30°，则方向角可记作南偏西30°．（4）燕尾槽的深度、燕尾角．燕尾槽的横断面如图所示，AE是燕尾槽的深度，AD是外口宽，BC是里口宽，∠B是燕尾角．考点与命题趋向分析（一）能力1．通过实例认识锐角三角函数（sinA ，cosA ，tanA ），知道30°，45°，60•°角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角．2．运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题． （二）命题趋向分析1．三角函数是代数与几何衔接点之一，是三角学的基础，近年来锐角三角函数常与四边形、相似形、坐标系、圆等相结合出题，多涉及实际应用问题，如梯子的倾斜程度、坡度等问题．【例1】（2004年河南省）如图1，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为a 米，此时梯子的倾斜角为75°．如果梯子底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为b 米，梯子的倾斜角为45°，则这间房子的宽AB 是________米．(1) (2) 【分析一】AB=AC+CB=tan 75a ︒+tan 45b︒．如图2，在Rt △ACB 中，∠C=90°．∠A=15•°，•∠ABC=75°， 在∠ABC 内部作∠ABD=15°，则∠BDC=30°，∠DBC=60°， 设BC=1，则BD=2，3， ∵∠A=∠ABD=15° ∴AD=BD=2 ∴3 ∴tan75°=AC BC23+3∴∴sin75°=ACAB 如图1所示：NB=CB=b 米∴b 米∴米 在Rt △MAC 中，sin75°=AMMC∴4a=（）b解得-1）a∴AB=AC+CB=tan 75a ︒+tan 45b︒+b=（a+）a=a （米）【分析二】在图1中连MN ，可由MC=NC ，∠MCN=60°得等边三角形MCN ，作MH•⊥BN 于H ．由∠A=∠MHB=90°，∠MCA=∠MNH=75°，MC=MN ．可证△MAC ≌△MHN ，得AM=MH ．•再证四边形MABH 为矩形，可得AB=MH=AM=a 米． 【解】此空应填a ．2．涉及特殊角的三角函数值的应用题是近年中考中的热点，•对学生的综合能力要求较高，要勤于观察生活中的数学现象，并善于将生活中的实际问题转化为数学问题并加以解决．【例2】（2004年哈尔滨市）如图，在测量塔高AB 时，•选择与塔底在同一水平面的同一直线上的C 、D 两点，用测角仪器测得塔顶A 的仰角分别是30°和60°．•已知测角器高CE=1.5m ，CD=30m ．求塔高AB ．（答案保留根号） 【分析】由CD=30m ，可求EG=30m ，考虑到∠AGF 是△AEG 的外角，可知EG=AG ，故AG=30m ，在Rt △AGF 中可求AF 长．AB=AF+FB 问题得以解决． 【解】由题意可知：EG=CD=30米 ∵∠AEG=30°，∠AGF=60°∴∠EAG=30°∴EG=AG=30米在Rt△AFG中，sin60°=AF AG∴AF=AG·sin60°=30×32=153（米）∴AB=AF+FB=153+32（米）答：塔高AB为（153+32）米．【规律总结】本题发现EG=AG=30米，以及熟记特殊角三角函数值是关键．3．近10年来含特殊角的三角函数值的应用问题中中考中呈现上升趋势，•这类考题往往给定一些角的三角函数值供考生选用，且这类题多以中档解答题为主，望读者引起注意．【例3】（2004年沈阳市）某地一居民楼，窗户朝南，窗户的高度为h米，•此地一年中的冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最小为α，夏至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最大为β（如图1）．小明想为自己家的窗户设计一个直角形遮阳篷BCD，要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，•又能最大限度地使冬天温度的阳光射入室内．小明查阅了有关资料，获得了所在地区∠α和∠β的相应数据：∠α=24°36′，∠β=73°30′，小明又量得窗户的高AB=1.65米．若同时满足下面两个条件：（1）•当太阳光与地面夹角为α时，要想使太阳光刚好全部射入室内；（2）•当太阳光与地面夹角为β时，要想使太阳光刚好不射入室内．请你借助图形（如图2），帮助小明算一算，•遮阳篷BCD中，BC和CD的长各是多少？（精确到0.01米）以下数据供计算中选用:sin24°36′=0.416 cos24°36′=0.909tan24°36′=0.458 cot24°36′=2.184sin73°30′=0.959 cos73°30′=0.284tan73°30′=3.376 cot73°30′=0.296【分析】图中有两个直角三角形，即△BCD 和△ACD ．•利用这两个直角三角形求解．另外题中所给数据中cot24°36′实际上是tan24°36′的倒数，今后我们会学习到． 【解】∵在Rt △BCD 中，tan ∠CDB=BCCD，∠CDB=∠α ∴BC=CD ·tan ∠CDB=CD ·tan α ∵在Rt △ACD 中，tan ∠CDA=ACCD，∠CDA=∠β ∴AC=CD ·tan ∠CDA=CD ·tan β ∵AB=AC-BC=CD ·tan β-CD ·tan α =CD （tan β-tan α） ∴CD=tan tan AB βα-= 1.653.3760.458-≈0.57（米）∴BC=CD ·tan ∠CDB ≈0.57×0.458≈0.26（米） 答：BC 的长约为0.26米，CD 的长约为0.57米．【规律总结】本题的解决关键是把∠α、∠β置于两个直角三角形中，另外要细心体会把实际问题转化为数学模型的过程和方法．4．运用解直角三角形知识解决实际问题是近年中考的热点题型，•主要涉及测量（特别是底部不可到达的物体的高度的测量）、航空、航海、工程等领域，且说理性题（如船会不会触礁，速度应提高多少，巡逻艇能否追上走私船等）比重有所加大．这类题主要考查学生应用相关知识解决实际问题的能力． 【例4】（2003年青岛）如图14-11所示，•人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处位置O 点的正北方向10海里处的A 点有一涉嫌走私船只，正以24海里/时的速度向正东方向航行，为迅速实施检查，巡逻艇调整好航向，以26•海里/时的速度追赶，在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问 （1）需要几小时才能追上？（点B 为追上时的位置） （2）确定巡逻艇追赶方向（精确到0.1°）（参考数据：sin66.8°≈0.9191，cos66.8°≈0.3939，•sin67.•4•°≈0.•9231，cos67.4°≈0.3843，sin68.4°≈0.9298，cos68.4°≈0.3681，•sin70.•6•°≈0.9432，cos70.6°≈0.3322）．【分析】由于已知速度，本题第（1）问可利用直角△ABO 的各边长列方程求解，•第（2）问可利用sin ∠AOB=ABOB，求出∠AOB 的度数． 【解】（1）设需要t 小时才能追上，则AB=24t ，OB=26t ．在Rt △ABO 中，OB 2=AB 2+OA 2，即（26t ）2=（24t ）2+102，解得t=±1，t=-1不合题意，舍去，∴t=1，即需要1小时才能追上． （2）在Rt △ABO 中 ∵sin ∠AOB=AB OB =2426t t =1213≈0.9231， ∴∠AOB ≈67.4°即巡逻艇的追赶方向是北偏东67.4°．解题方法与技巧1．数形结合思想．【例1】已知tan α=34，求sin cos sin cos αααα+-的值． 【分析】利用数形结合思想，将已知条件tan α=34用图形表示．【解】如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=α，设BC=3k ，AC=4k ，则AB=22AC BC +=22(4)(3)k k +=5k ．∴sin α=BC AB =35k k =35 cos α=4455AC k AB k ==， ∴原式=34553455+-=-7.方法2：转化思想 【例2】已知tan α=34，求sin cos sin cos αααα+-的值． 【分析】可将所求式子的分子、分母都除以cos ，转化为含有sin cos αα的式子，•再利用tan α=sin cos αα进行转化求解． 【解】将式子sin cos sin cos αααα+-的分子、分母都除以cos α，得原式＝31tan143tan114αα++=--＝-7【规律总结】因为tanα=34所以α不等于90°，所以cosα≠0，因此分子分母可以同时除以cosα．实现转化的目的．方法3：方程思想【例3】去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，•为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2千米的A、B•两地之间修筑一条笔直的公路（即图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向，B地的西偏北45°的C处有一个半径为0.7千米的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？【分析】过C作AB的垂线段CM，把AM、BM用含x的代数式3x，x表示，利用AM+MB=2列方程得，3x+x=2，解出CM的长与0.7千米进行比较，本题要体会设出CM的长，列方程解题的思想方法．【解】作CM⊥AB，垂足为M，设CM为x千米，在Rt△MCB中，∠MCB=∠MBC=45°，则MB=CM=x千米．在Rt△AMC中，∠CAM=30°，∠ACM=60°tan∠ACM=AM CM∴AM=CM·tan60°=3x千米∵AM+BM=2千米∴3x+x=2∴x=3-1≈1.732-2=0.732∴CM长约为0.732千米，大于0.7千米∴这条公路不会穿过公园．方法4：建模思想【例4】如图所示，一艘轮船以20里/时的速度由西向东航行，•途中接到台风警报，台风中心正以40里/时的速度由南向北移动，距离台风中心2010•里的圆形区域（包括边界）都属台风区，当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A•正南方向的B处，且AB=100里．（1）若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，•试求轮船最初遇到台风的时间；若不，请说明理由．（2）现轮船自A处立即提高船速，向位于东偏北30°方向，相距60里的D港驶去，为使台风到来之前到达D港，问船速至少应提高多少？（取整数，13≈3.6）【分析】本题是航海问题，把航海问题抽象成纯数学问题，建立起“解直角三角形”的“数学模型”．【解】（1）设途中会遇到台风，且最初遇到台风的时间为t小时，此时，轮船位于C 处，台风中心移到E处，连结CE，则有AC=20t，AE=AB-EB=100-40t，EC=2010在Rt△ACE中，AE2+AC2=EC2∴（20t）2+（100-40t）2=（2010）2∴t2-4t+3=0△=（-4）2-4×1×3=4>0∴途中会遇到台风解方程①得t1=1，t2=3∴最初遇到台风的时间为1小时．（2）设台风抵达D港的时间为t小时，此时台风中心至M点，过D作DF⊥AB，垂足为F，连结DM．在Rt△ADF中，AD=60，∠FAD=60°∴DF=303，FA=30又FM=FA+AB-BM=130-40tMD=2010∴（303）2+（130-40t）2=（2010）2整理，得4t2-26t+39=0解之得t1=13134-，t2=13134+∴台风抵达D港的时间为13134-小时，到D港的速度为60÷13134-≈25.5（海里/时）．因此为使台风抵达D 港之前轮船到D 港，轮船应提高6海里/时．方法5：说理性问题的解法【例5】如图，MN 表示某引水工程的一段设计路线，从M 到N 的走向为南偏东30°，在M 的南偏东60°方向上有一点A ，以A 为圆心，500m 为半径的圆形区域为居民区，•取MN 上另一点B ，测得BA 的方向为南偏东75°，已知MB=400m ，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区？【分析】说明输水路线是否穿过居民区，应过A 作MN 的垂线段AH ，计算出AH 的长，然后把AH 与500m 比较大小．【解】过A 作AH ⊥MN ，垂足为H ∵MK ∥BG∴∠GBH=∠KMH=30°又∵∠GBA=75°，∠HBA=45° ∴∠BAH=45° ∴AH=BH设AH 为xm ，则BH=xm ，在Rt △MHA 中，∠HMA=∠KMA-∠KMB=60°-30°=30°． ∵tan ∠HMA=AHMH∴MH=tan 30x =33x =3x∵MB=MH-BH∴3x-x=400 解得x=200（3+1）∴AH ≈546.4m>500m答：输水路线不会穿过居民区．【规律总结】此题是说理性问题，这类题要求学生对基本概念、基本定理、基本思路有清醒的认识，能根据实际问题进行相关的计算，并利用计算所得结果说明问题的原因、依据．方法6：探索性问题【例6】某学校为了改善教职工居住条件，•准备在教学楼（正楼）的正南方向建一座住宅楼（正楼），要求住宅楼与教学楼等高，均为15.6米，已知该地区冬至正午时分太阳高度最低，太阳光线与水平线的夹角为30°，如果住宅楼与教学楼间相距19.2米，如图1所示．（1）此时住宅楼的影子落在教学楼上有多高？（精确到0.1米）（2）要使住宅楼的影子刚好落在教学楼的墙角，则两楼间的距离应是多少？•（精确到0.1米） 【分析】（1）如图所示，设冬至正午太阳最低时，住宅楼顶A•点的影子落在教学楼上的C 处，那么CD 的长就是影子落在教学楼上的高度．（2）如图2所示，BC 的长就是两楼间的距离．(1) (2) 【解】（1）如图1所示，作CE ⊥AB 于E ， 在Rt △ACE 中，∠ACE=30°，EC=19.2， ∴AE=EC ·tan30°=19.2319.2 1.7323⨯≈11.1 CD=EB=AB-AE≈15.6-11.1=4.5（米）∴住宅楼的影子落在教学楼上约有4.5米高 （2）如图2所示，在Rt △ABC 中，∠ACB=30° BC=tan 30AB ︒3315.6×1.732≈27.0（米）∴要使冬至正午的太阳能够照到教学楼的墙角，两楼间的距离至少应为27.0米．【规律总结】此题为探索性题，结论没有直接给出，需要通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等活动，逐步确定结论．方法7：开放性问题【例7】某处有一天线，高度超过10米，底部四周有铁丝网围墙，•使得不能直接到达天线底部，数学小组的同学们只有测倾器和测量长度用的量绳，请你为他们设计一个能测得天线高度的方案（包括测量方法，并推导计算公式）．【分析】本题是一道开放性试题，是近年来有关解直角三角形的中考试题中，开放程度很高的题目，着重考查学生如何借助解直角三角形知识解决这类测量问题．解题中要注意测量工具所能测得的数据，以免审题失误．【解】如图所示，测倾器离地面b 米，在点B 处测得天线顶端仰角为α，从B•点向前走a 米，到达点C ，在点C 处测得天线顶端仰角为β，设AG 为x 米． 在Rt △AGC 中，CG=tan tan AG xββ= 在Rt △AGB 中，BG=tan tan AG xαα=∵BC=BG-CG ∴tan x α-tan x β=a∴x=11()tan tan aαβ-=tan tan tan tan a αββα-∴AM=AG+GM=tan tan tan tan a αββα-+b【规律总结】对于开放性问题，一般都有多种解题方法，首先应对解直角三角形知识有关的基本图形非常熟悉，然后才能给出设计方案，选择适合自己的解题方法，灵活巧妙地解答问题．方法8：综合性问题【例8】如图所示，已知A 为∠POQ 的边OQ 上一点，以A•为顶点的∠MAN 的两边分别交射线OP 于M 、N 两点，且∠MAN=∠POQ=α（α为锐角），当∠MAN 以点A 为旋转中心，AM 边从与AO 重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MAN 保持不变）时，M 、N 两点在射线OP 上同时以不同的速度向右平移，设OM=x ，ON=y （y>x ≥0），△AOM•的面积为S ，且cos α，OA 是方程2z 2-5z+2=0的两个根．（1）当∠MAN 旋转30°（即∠OAM=30°）时，求点N 移动的距离； （2）求证：AN 2=ON ·MN ； （3）试求y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围．（4）试写出S 随x 变化的函数关系式，并确定S 的取值范围．【分析】本题把解直角三角形与一元二次方程、相似三角形、平移、旋转、函数等知识糅合在一起，形成一道综合性很强的考题．本题从解一元二次方程入手，逐步挖掘隐含条件，构造直角三角形，将其转化为解直角三角形问题．【解】（1）解方程2z2-5z+2=0，得z1=12，z2=2∵α为锐角∴O<cosα<1∴OA=2，cosα=1 2∴α=60°，即∠POQ=∠MAN=60°∴ON=OA=2，如图14-20所示．当AM旋转到AM′时，点N移动到N′∴∠M′N′A=30°，∠OAN′=90°，在Rt△OAN′中，ON′=2AO=2×2=4，∴MN′=ON′-ON=4-2=2∴点N移动距离为2（2）如图1所示，在△OAN和△AMN中，∠AON=∠MAN，∠ANO=∠MNA，∴△AON•∽△MAN，∴ANMN=ONAN，∴AN2=ON·MN(1) (2) （3）如图2所示，过A作AH⊥OP于点H．∵MN=ON-OM=x-y，∴AN2=ON·MN=y（y-x）=y2-xy在Rt△AOH中，OH=OA·cos60°=2×12=1∴AH=OA·sin60°3∴HN=ON-OH=y-1在△ANH中，AN2=AH2+HN2=32+（y-1）2=y2-2y+4，∴y2-xy=y2-2y+4，整理得y=42x．∵y>O ∴2-x>O ∴x<2 又∵x ≥O∴x 的取值范围是O ≤x<2（4）如图2所示，在△AOM 中，OM 边上的高AH 为，∴S=12OM ·AH=12·x 2x∵S 是x ∴S 随x 的增大而增大∴O ≤ 【规律总结】本题通过作OM 边上的高AH ，从而将其转化为解直角三角形问题，在解有关综合性问题时，要注意挖掘隐含条件，合理运用相应知识，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系沟通各知识点间的联系．中考试题归类解析（一）锐角三角函数 【例1】（2003，大连）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则B 的值为（ ） A ．45 B ．35 C ．43 D ．34【思路分析】由勾股定理可知AB=5，根据锐角三角函数的定义可知cosB=35BC AB 解：答案B 【例2】（2003，南京）在△ABC 中，∠C=90°，tanA=1，那么cotB 等于（ ）A C ．1 D ．3【思路分析】由互为余角的三角函数关系可知：cotB=tanA=1 解：答案C【规律总结】本题也可由tanA=1得到∠A=45•°，•所以∠B=•45•°，• 故cotB=cot45°＝1【例3】（2003，黄冈）已知∠A 为锐角，且cosA ≤12，那么（ ） A ．0°∠A ≤60° B ．60°≤A ∠90° C ．0°∠A ≤30° D ．30°≤A ∠90°【思路分析】锐角三角函数的余弦值随角度的增大而减小，因为∠A 为锐角，所以O<cosA ≤12，即cos90°<cosA ≤cos60°，所以60°≤A<90° 解：答案B【例4】（2004，山西）计算：sin 248°+sin 242°-tan44•°·•tan45•°·•tan46•°=_______．【思路分析】利用互为余函数的关系化为同角函数，再利用同角三角函数公式就可求出值．【解】sin 248°+sin 242°-tan44°·tna45°tan46°=sin 248°+cos 248°-tan44°·cot44°tan45° =1-1×1 =0 故应填：0【规律总结】解决这样的问题一是要善于互化函数，往公式上靠，二是特殊角的三角函数值要记住．【例5】（2004，宁波）计算：（π-3）°-（12）-2+（-1）3-sin 245° 【思路分析】按运算法则和运算顺序直接计算即可． 【解】（π-3）°-（12）-2+（-1）3-sin 245° =1-211()2+（-1）3-（2）2 =1-4-1-12=-412【规律总结】在中考题中象这样代数值的运算和三角函数值的运算结合在一起的比较多．（二）解直角三角形【例1】已知如图所示，在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ．【求证】S △ABC =12absinc=12bcsinA=12casinB ． 【思路分析】要求面积关键是作高，构造出直角三角形利用锐角三角函数的定义加以理解．【证明】过A 点作AD ⊥BC 垂足为D 在Rt △ABD 中，sinB=ADAB∴AD=AB ·sinB=c ·sinB∴S=12AD ·BC=12ac ·sinB 同理可证，S=12absinc=12bcsinA【例2】如图，若CD 是Rt △ABC 斜边上的高，AD=3，CD=4，则BC=_____．【思路分析】先利用勾股定理求出AC 长再利用相似比就可求出BC 【解】∵AC 2=AD 2+DC 2 而AD=3 CD=4 ∴AC=3234+=5 Rt △CDA ∽Rt △BDCAD CD =ACBCBC=542033AC CD AD ⨯⨯==故应填：203【规律总结】：本题也可以利用射影定理去解．【例3】一艘渔船在A 处观测到东北方向有一小岛C ，周围4.8海里范围内是水产养殖场，渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B 处，在B 处测得小岛C•在北偏东60°方向，这时渔船改变航线向正东（即BD ）方向航行，这艘船是否有进入养殖场的危险． 【思路分析】是否有进入养殖场的危险就是看C 点到BD 的距离是多少，•如果大于4．8海里就没有进入养殖场的危险，否则就有危险．【解】过C 点作BD 的垂线与BD 交于E 点 ∠BAC=60°-45°=15° ∠BCA=45°-30°=15° 在Rt △CBE 中， sin ∠CBE=CEBCCE=BC·sin∠CBE=10×1 2=5（海里）∵4.8<5∴没有进入养殖场的危险．【规律总结】这种类型题关键是要构建直角三角形计算距离，再根据距离大小来判断是否有危险．中考试题集萃（一）填空题1．（2004，宁波）sin45°=________．2．（2004，衡阳）∠A为锐角，若cosA=13，则sin（90°-A）=_______．3．（2004，芜湖）在直角三角形ABC中，∠C=90°，已知sinA=35，则cosB=________．4．（2004，常州）若∠α′的余角是30°，则∠α′=_______°，sin∠α′=________． 5．（2004，江西）在△ABC中，若AC=2，BC=7，AB=3，则cosA=________．6．（2004，沈阳）在Rt△ABC中∠C=90°，tanA=23，AC=4，则BC=_______．7．（2004，上海）在△ABC中，∠A=90°，设∠B=θ，AC=b，则AB=______．（用b和θ的三角比表示）8．（2004，深圳）计算：3tan30°+cot45°-2tan45°+2cos60°=________．9．（2004，西宁）某人沿倾斜角为β的斜坡走了100m，则他上升的高度是______m． 10．（2004，潍坊）某落地钟钟摆的摆长为0.5m，来回摆动的最大夹角为20°，已知在钟摆的摆运过程中，摆锤离地面的最低高度为am，最大高度为bm，则b-a=_______m（不取近似值）．（二）选择题1．小强和小明去测量一座古塔的高度（如图）他们在离古塔60m•的A处，用测角仪器测得塔顶的仰角为30°，已知测角仪器高AD=1.5m，则古塔BE的高为（• ）A．（203-1.5）m B．（203+1.5）mC．31.5m D．28.5m2．在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的正切值（）A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．没有变化3．用科学计算器计算锐角α的三角函数值时，•不能直接计算出来的三角函数值是（ ）A ．cot αB ．tan αC ．cos αD ．sin α 4．计算sin30°·cot45°的结果是（ ）A ．12B ．2C ．6D ．45．=（ ）A ．1-3 B -1 C ．3-1 D ． 6．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，cosA=1213，则tanA 等于（ ） A ．513 B ．1312 C ．125 D ．5127．已知α为锐角，tan αcos α等于（ ）A ．12B ．2C 8．在△ABC 中，∠C=90°，sinA=，则cosB 的值为（ ）A ．12B ．2C ．2D ．39．在△ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，CA=4，那么sinA 等于（ ） A ．34 B ．43 C ．35 D ．45（三）解答题1．（2004，芜湖）在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=12，，AB=10，•求△ABC 的面积．2．（2004，大连）如图，某校自行车棚的人字架棚顶为等腰三角形，D是AB的中点，•中柱CD=1m，∠A=72°，求跨度AB的长（精确到0.01m）．3．（2004，南京）如图，天空中有一个静止的广告气球C，从地面A点测得C点的仰角为45°，从地面B点测得C点的仰角为60°，已知AB=20m，点C和直线AB在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度．（结果保留根号）．4．（2004，贵阳）某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼（如图），该居民楼的一楼是高6m的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼的前面15m处要盖一栋高20m的新楼，当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°时，问：（1）超市以上的居民住房采光是否有影响？为什么？（2）若要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？（•结果保留整数，•参考数据：sin32°≈53100，cos32°≈106125，tan32°≈58）5．（2004，济南）如图表示一山坡路的横截面，•CM•是一段平路，•它高出水平地面24m，从A到B，从B到C是两段不同坡角的山坡路，山坡路AB的路面长100m，•把山坡路BC的坡角降到与AB的坡角相同，使得∠DBI=5°．（精确到0.01m）（1）求山坡路AB的高度BE．（2）降低坡度后，整个山坡的路面加长了多少米？（sin5°=0.0872，cos5°=0.9962，sin12°=0.2079，cos12°=0.9781）答案:一、填空题1．222．133．354．60°，325．236．837．b·cos或tanb83．100sinβ 10．12（1-cos10°）•二、选择题1．B 2．D 3．A 4．A 5．A 6．D 7．A 8．C 9．C 三、解答题1253 32．3.93m3．解：作CD⊥AB，垂足为D，设气球离地面的高度是xm在Rt△CBD中，∠CAD=45°∴AD=CD=x在Rt△CBD中，∠CBD=60°∴cot60°=BD CD∴BD=3 3∵AB=AD-BD，∴20=x-33x∴x=30+103．答：气球离地面的高度是（30+103）m．4．（1）如图设CE=x米，则AF=（20-x）米，tan32°=AFEF，即20-x=15·tan32°x=11∵11>6，∴居民住房的采光有影响．（2）如图：tan32°=ABBF，BF=20×85=32两楼应相距32米．5．（1）在Rt△ABE中BE=ABsin∠BAE=100sin5°=100×0.0872=8.72（米）．（2）在Rt△CBH中CH=CF-HF=15.28BC=sin CH CBH ∠=15.28sin12︒≈73.497在Rt△DBI中DB=sin DIDBI∠=15.28sin5︒≈175.229∴DB-BC≈175.229-73.497=101.732≈101.73（米）．。
