山东省恒台第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷Word版含答案

2019-2020年高二上学期期中质量检测数学试题含答案本试卷分第Ⅰ卷（1—2页，选择题）和第Ⅱ卷（3—8页，非选择题）两部分，共150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项符合题目要求。

1．若直线经过第二、四象限，则直线的倾斜角的范围是(A) (90°180°) (B) [ 90°,180°) (C) [ 0°,90°) (D)[ 0°,180°)2．下列说法正确的是(A) 任何物体的三视图都与物体的摆放位置无关(B) 任何物体的三视图都与物体的摆放位置有关(C) 有的物体的三视图与物体的摆放位置无关(D) 正方体的三视图一定是三个全等的正方形3．若点与点关于直线对称，则直线方程为(A) (B) (C) (D)4．设点是轴上一点，且点到与点的距离相等，则点的坐标是(A) (B) (C) (D)5．两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是(A) 垂直(B) 斜交(C) 平行(D) 重合6．设、是两条不同的直线，、是两个不重合的平面，则下列命题正确的是(A) 若∥，∥，则∥(B) 若⊥，⊥，则⊥(C) 若⊥，∥则⊥ (D) 若⊥，，则⊥7．直线（）在轴上的截距是(A) (B) (C) (D)8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱CC1与D1C1的中点，则直线EF 与A1C1 所成角的正弦值为(A) 1 (B) (C) (D)9．点P（x,y）在以A(－3,1)、B(－1,0)、C(－2,0)为顶点的△ABC内部运动（不包含边界），则的取值范围是(A) (B) (C) (D)10．若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且∠POQ=120°(其中O为原点)，则k的值为(A) 或(B) (C) 或(D)11．点到平面四边形四条边的距离相等，则四边形是(A) 某圆的内接四边形(B) 某圆的外切四边形(C) 正方形(D) 任意四边形两个半圆12．方程所表示的曲线是(A) 一个圆(B) 两个圆(C) 半个圆(D) 两个半圆二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在横线上。

2019-2020学年高二数学上学期期中试题文（含解析）一、选择题（本大题共12小题）椭圆的焦点坐标是A. B. C. D.双曲线的焦距是A. 3B. 6C.D.与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是A. B. C. D.双曲线上一点到右焦点的距离是5，那么点P到左焦点的距离是A. 5B. 30C. 10D. 15已知的顶点B，C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是．A. B. 6 C. D. 12已知命题p：对任意，总有；q：“”是“”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是A. B. C. D.椭圆的焦点为，点P在椭圆上，如果线段的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是A. B. C. D.已知命题p：，命题q：，则是的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分也非必要条件已知双曲线的左右焦点分别为，，若双曲线左支上有一点M到右焦点距离为18，N为中点，O为坐标原点，则等于A. B. 1 C. 2 D. 4椭圆经过点，则最小值为A. B. C. 28 D. 27已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，离心率为，过的直线l 交C于A、B两点，若的周长为，则C的方程为A. B. C. D.椭圆上有一点P，，是椭圆的左、右焦点，为直角三角形，则这样的点P有A. 3个B. 4个C. 6个D. 8个二、填空题（本大题共4小题）命题“，”的否定是______ ．直线被椭圆截得的弦长为______．如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是______．给定下列四个命题：其中为真命题的是______填上正确命题的序号“”是“”的充分不必要条件；若“”为真，则“”为真；已知，则“”是“”的充分不必要条件“若，则”的逆命题为真命题；三、解答题（本大题共6小题）求满足下列条件的曲线的方程：离心率为，长轴长为6的椭圆的标准方程与椭圆有相同焦点，且经过点的双曲线的标准方程．k为何值时，直线和椭圆有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？已知，经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆相交于A、B两点，求的面积．设声速为a米秒，在相距10a米的A、B两哨所，听到炮弹爆炸声的时间差6秒，求炮弹爆炸点所在曲线的方程．已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率，它与直线交于P、Q两点，若，求椭圆方程．为原点．备用题如图，已知椭圆到它的两焦点、的距离之和为4，A、B 分别是它的左顶点和上顶点．Ⅰ求此椭圆的方程及离心率；Ⅱ平行于AB的直线l与椭圆相交于P、Q两点，求的最大值及此时直线l的方程．2019-2020学年高二数学上学期期中试题文（含解析）一、选择题（本大题共12小题）椭圆的焦点坐标是A. B. C. D.双曲线的焦距是A. 3B. 6C.D.与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是A. B. C. D.双曲线上一点到右焦点的距离是5，那么点P到左焦点的距离是A. 5B. 30C. 10D. 15已知的顶点B，C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是．A. B. 6 C. D. 12已知命题p：对任意，总有；q：“”是“”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是A. B. C. D.椭圆的焦点为，点P在椭圆上，如果线段的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是A. B. C. D.已知命题p：，命题q：，则是的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分也非必要条件已知双曲线的左右焦点分别为，，若双曲线左支上有一点M到右焦点距离为18，N为中点，O为坐标原点，则等于A. B. 1 C. 2 D. 4椭圆经过点，则最小值为A. B. C. 28 D. 27已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，离心率为，过的直线l交C于A、B两点，若的周长为，则C的方程为A. B. C. D.椭圆上有一点P，，是椭圆的左、右焦点，为直角三角形，则这样的点P有A. 3个B. 4个C. 6个D. 8个二、填空题（本大题共4小题）命题“，”的否定是______ ．直线被椭圆截得的弦长为______．如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是______．给定下列四个命题：其中为真命题的是______填上正确命题的序号“”是“”的充分不必要条件；若“”为真，则“”为真；已知，则“”是“”的充分不必要条件“若，则”的逆命题为真命题；三、解答题（本大题共6小题）求满足下列条件的曲线的方程：离心率为，长轴长为6的椭圆的标准方程与椭圆有相同焦点，且经过点的双曲线的标准方程．k为何值时，直线和椭圆有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？已知，经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆相交于A、B两点，求的面积．设声速为a米秒，在相距10a米的A、B两哨所，听到炮弹爆炸声的时间差6秒，求炮弹爆炸点所在曲线的方程．已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率，它与直线交于P、Q两点，若，求椭圆方程．为原点．备用题如图，已知椭圆到它的两焦点、的距离之和为4，A、B分别是它的左顶点和上顶点．Ⅰ求此椭圆的方程及离心率；Ⅱ平行于AB的直线l与椭圆相交于P、Q两点，求的最大值及此时直线l的方程．。

2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案试题总分：150分 考试时间：120分钟一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1. 已知f(x)＝x 2＋ax ＋b ，满足f(1)＝0，f(2)＝0，则f(－1)= ▲ ． 2. 函数)4lg(2x x y -++=的定义域为 ▲ ．3.在直角坐标系中，直线330x y +-=的斜率是 ▲4. 若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相平行，那么a 的值等于 ▲5. 经过点)0,1(-，且与直线y x +＝0垂直的直线方程是 ▲6. 以)0,2(A ，)4,0(B 所连线段为直径的圆的方程是 ▲7. 直线0543=-+y x 到直线01543=++y x 的距离是 ▲8.直线032=-+y x 关于直线1=x 对称的直线的方程是 ▲9．设直线过点(0,),a 其斜率为1，且与圆222x y +=相切，则a 的值为 ▲ 10．直线250x y -+=与圆228x y +=相交于A 、B 两点，则AB∣∣= ▲ ． 11.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积 是为 ▲12.已知一个球体的半径为1cm,若使其表面积增加到原来的2倍,则表面积增加后球的体积为 ▲ 13．,a b 是异面直线，下面四个命题：①过a 至少有一个平面平行于b ； ②过a 至少有一个平面垂直于b ； ③至多有一条直线与,a b 都垂直；④至少有一个平面与,a b 都平行。

其中正确命题的个数是 ▲14．对于任意实数a ，点(),2P a a -与圆22:2C x y +=的位置关系的所有可能是 ▲ [ADCBPEG15．（本小题满分12分）已知直线1l ：(2)(3)50m x m y +++-=和2l ：6(21)5x m y +-=。

问m 为何值时，有：（1）1l ∥2l ？ （2）1l ⊥2l ？16．（本小题满分12分）过点()2,5A ，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程．17．（本小题满分14分）已知圆的方程是x 2 ＋ y 2 ＝ 5， 且圆的切线满足下列条件，求圆切线方程（1）过圆外一点Q （ 3， 1 ） （2）过圆上一点P （ -2， 1 ）18．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，1,PA AB G ==是PD 的中点，E 是AB 的中点（1）求证：GA ⊥面PCD ；（2）求证：//GA 面PCE .19、（本题满分14分）在平行四边形ABCD 中，(11)(71)(46)A B D ，，，，，，点M 是线段AB 的中点， 线段CM 与BD 交于点P ， （1）求直线CM 的方程 （2）求点P 的坐标．20．（本题满分14分）已知圆C 的圆心C 在x 轴的正半轴上，半径为5，圆C 被直线03=+-y x 截得的弦长为172． （1）求圆C 的方程；（2）设直线50ax y -+=与圆相交于,A B 两点，求实数a 的取值范围；一、填空题：1.62.「2,4)3. 3- 4、2 5、1+=x y 6、5)2()1(22=-+-y x7.4 8.012=+-y x 9. 2±. 10. 32 11.1 12.π33213. 2 14. 在圆上、圆外 二、解答题：15．解：由(2)(21)618m m m +-=+，得4m =或52m =-； ··············3分 当m=4时，l 1：6x+7y-5=0，l 2：6x+7y=5,即l 1与l 2重合；当25-=m 时，,566:,052121:21=-=-+-y x l y x l 即l 1∥l 2. ∴当25-=m 时，l 1∥l 2. · ·································6分（2）由6(2)(3)(21)0m m m +++-=得1m =-或92m =-；∴当m =-1或m =-29时，l 1⊥ l 2. · ································12分16．过点()2,5A ，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程．解：（１）截距不为０时设l 的方程为1=-+aya x Θ l 过()0,3A ，∴125=-+aa ∴ 3=a ∴ l 的方程为：03=--y x ························8分（２）截距为0时，l 的方程为：052=-y x终上（１）、（２）可得：直线l 的方程是03=--y x 或 052=-y x ．························12分17．已知圆的方程是x 2 ＋ y 2 ＝ 5， 且圆的切线满足下列条件，求圆的切线方程 （1）过圆外一点Q （ 3， 1 ） （2）过圆上一点P （ -2， 1 ）解：（1） 若直线不与x 轴垂直时，设切线方程为y - 1 ＝ k （ x -3 ）， 则圆心（ 0， 0 ）到切线的距离等于半径55|31|=-k 1-综上所述，所求的切线方程是：x ＋ 2y -5 ＝ 0， 2x -y -5 ＝ 0 ························7分18、解：（1）CD PAD CD AG ⊥⇒⊥平面AG PD ⊥，所以AG PCD ⊥平面···7分 （2）取PC 中点F ，得平行四边形AGFE ⇒//AG EF,AG PEC EF PEC ⊄⊆平面平面所以//AG 平面PEC ···········14分19、（1）3765-=x y ························7分 (2))38,6( ························14分20解：(1)设⊙C 的方程为22()25x m y -+=(0)m >解由题意设3251720m m ⎧+=-⎪⎨⎪>⎩…………………………2分 故1m =.故⊙C 的方程为22(1)25x y -+=. …………4分(2)由题设2551a a +<+ ……………………………6分故21250a a ->,所以0a <或512a >. 故,实数a 的取值范围为5(,0)(,)12-∞⋃+∞ …………………………8分(3)存在实数a ,使得,A B 关于l 对称.∴PC AB ⊥ ,又0a <或512a >即⎪⎩⎪⎨⎧><-=-⋅12501)34(a a a 或 ………………………………12分∴34a =，∴存在实数34a =,满足题设 ……………14分2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案注意事项：1. 本试题共分三大题，全卷共150分。

2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题1.抛物线的焦点是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先判断焦点的位置，再从标准型中找出即得焦点坐标.【详解】焦点在轴上，又，故焦点坐标为，故选D.【点睛】求圆锥曲线焦点坐标，首先要把圆锥曲线的方程整理为标准方程，从而得到焦点的位置和焦点的坐标.2.“”是“直线与直线垂直”的（）．A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】当直线与直线垂直时，，即，∴“”是“直线与直线垂直”的既不充分也不必要条件．3.若双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，且，则等于( )A. 11B. 9C. 5D. 3【答案】B【解析】【分析】由双曲线定义可构造方程求得结果.【详解】由双曲线定义可知：又故选：【点睛】本题考查双曲线定义的应用，属于基础题.4.直线被圆(为参数)截得的弦长为( )A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】将圆的参数方程化为普通方程，可确定圆心和半径；利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离；根据垂径定理求得弦长.【详解】由圆的参数方程可得圆的普通方程为：圆是以为圆心，为半径的圆圆心到直线距离弦长为故选：【点睛】本题考查直线被圆截得的弦长问题的求解，涉及到参数方程化普通方程、点到直线距离公式和垂径定理的应用，属于常考题型.5.如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将代入椭圆方程求得，可表示出，由垂直关系可知，从而构造出关于的齐次方程，由求得结果.【详解】将代入椭圆方程得：，又椭圆焦点，故选：【点睛】本题考查椭圆离心率的求解问题，关键是能够利用垂直关系构造出关于的齐次方程，从而根据求得离心率.6.设α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则下列命题中正确的为（）A. 若m∥n，n⊂α，则m∥αB. 若m∥α，n⊂α，则m∥nC. 若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD. 若m⊥β，m⊂α，则α⊥β【答案】D【解析】分析】在A中，m与α相交、平行或m⊂α；在B中，m与n平行或异面；在C中，m与β相交、平行或m⊂β；在D中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【详解】由α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，得：在A中，若m∥n，n⊂α，则m与α相交、平行或m⊂α，故A 错误；在B中，若m∥α，n⊂α，则m与n平行或异面，故B错误；在C中，若α⊥β，m⊂α，则m与β相交、平行或m⊂β，故C 错误；在D中，若m⊥β，m⊂α，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：D．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．7.已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为（）A 4 B. 8 C. 16 D. 32【答案】B【解析】【详解】F（2，0）,K（-2，0），过A作AM⊥准线，则|AM|=|AF|，∴|AK|=|AM|，三角形APM为等腰直角三角形，设A（m2，2m）（m＞0）,由得，解得则△AFK的面积=4×2m•=4m=8,故选：B.【此处有视频，请去附件查看】8.已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A. B. C. 1 D. 2【答案】A【解析】【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理，正弦定理即可得到结论．【详解】法1：设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，，半焦距为，则，设，，且，椭圆离心率为，双曲线离心率为，在中，由余弦定理得：，由椭圆和双曲线定义可得：，，，令，当时，，即由双曲线的对称性可知，当时，结论一致，的最大值为.法2：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，，半焦距为，则，则a1+a2＝m，则，由正弦定理得＝，即＝sin（120°﹣θ）≤＝.故选：A．【点睛】本题考查椭圆和双曲线离心率的求解问题，涉及到椭圆和双曲线定义、余弦，正弦定理的应用、函数最值的求解等知识，属于中档题.二、填空题9.已知直线的参数方程为为参数，则直线的倾斜角为_____________．【答案】【解析】【分析】先消去参数，化为普通方程，然后求解斜率，可得倾斜角.【详解】因为，所以，两式相除可得，斜率为，故倾斜角为.【点睛】本题主要考查直线的参数方程，掌握常用消参的方法是求解的关键.10.若圆与圆相切，则实数______.【答案】或9.【解析】分析：首先将圆C的方程化为标准方程，根据两圆相切，得到两圆心之间的距离要么等于两半径和，要么等于两半径差，得出相应的等量关系式，从而求得相应的结果.详解：圆C：可化为，因为与圆C相切，所以或，所以或，故答案是或点睛：该题考查的是有关两圆的位置关系的问题，根据两圆相切，得到两圆内切或外切，从而得到两圆心之间的距离所满足的关系式，从而求得结果，在解题的过程中，需要注意相切应分为外切和内切两种情况.11.若方程表示的是焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】根据椭圆标准方程的形式和焦点位置可构造不等式求得结果.【详解】由题意得：，解得：的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查根据椭圆焦点所在轴求解参数范围的问题，属于基础题.12.直线与双曲线相交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是_____.【答案】【解析】分析】由中点坐标公式可知，；利用点差法可求得直线斜率，进而得到直线方程.【详解】设，为中点，由两式作差可得：直线斜率直线方程为：，即故答案为：【点睛】本题考查根据弦中点求解直线方程的问题，关键是能够熟练应用点差法，将直线的斜率与中点坐标之间的关系表示出来，从而求得直线斜率.13.已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程是_____.【答案】【解析】【分析】由圆方程得到圆心和半径，根据两圆关于直线对称可知圆心关于直线对称，半径相同；由点关于直线对称点的求解方法构造方程求得圆的圆心，进而得到圆的标准方程.【详解】由圆的方程可知圆的圆心为，半径为设圆的圆心为与关于直线对称，解得：圆的圆心为，半径为圆的标准方程为：故答案为：【点睛】本题考查圆关于直线的对称圆的求解，关键是明确两圆关于直线对称则圆心关于直线对称，半径相同，进而利用点关于直线对称点的求解方法求得对称圆的圆心.14.已知椭圆：的两个焦点分别为和，短轴的两个端点分别为和，点在椭圆上，且满足，当变化时，给出下列三个命题：①点的轨迹关于轴对称；②的最小值为2；③存在使得椭圆上满足条件的点仅有两个，其中，所有正确命题的序号是__________．【答案】①②【解析】分析：运用椭圆的定义可得也在椭圆上，分别画出两个椭圆的图形，即可判断①正确；由图象可得当的横坐标和纵坐标的绝对值相等时，的值取得最小，即可判断②正确；通过的变化，可得③不正确.详解：椭圆的两个焦点分别为和，短轴的两个端点分别为和，设，点在椭圆上，且满足，由椭圆定义可得，，即有在椭圆上，对于①，将换为方程不变，则点的轨迹关于轴对称，故①正确.；对于②，由图象可得，当满足，即有，即时，取得最小值，可得时，即有取得最小值为，故②正确；对于③，由图象可得轨迹关于轴对称，且，则椭圆上满足条件的点有个，不存在使得椭圆上满足条件的点有个，故③不正确.，故答案为①②.点睛：本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的定义以及椭圆的简单性质，属于难题. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、离心率等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.三、解答题15.已知动点与平面上点，的距离之和等于.(1)试求动点轨迹方程.(2)设直线与曲线交于、两点，当时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由椭圆定义可知所求轨迹为，的椭圆，进而求得，从而得到所求轨迹；（2）将直线方程代入椭圆方程，得到韦达定理的形式；由弦长公式可构造方程求得，进而得到结果.【详解】（1）由椭圆定义可知点轨迹是以为焦点的椭圆，且，动点的轨迹方程为：（2）将直线代入椭圆方程得：则设，，，解得：直线的方程为：【点睛】本题考查轨迹方程的求解、弦长公式的应用；关键是能够熟练掌握椭圆的定义，进而得到动点所满足的方程，属于基础题.16.如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，，且，.(1)若点为上一点且，证明：平面.(2)求二面角的大小.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）作，根据比例关系可知，从而可证得四边形为平行四边形，进而得到，由线面平行判定定理可证得结论；（2）根据垂直关系可以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.【详解】（1）作交于，连接又且且四边形为平行四边形平面，平面平面（2）平面，平面又，则可以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系则，，，，，设平面法向量则，令，则，设平面的法向量则，令，则，二面角为锐二面角二面角的大小为【点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；关键是能够熟练掌握空间向量法求解立体几何中的角度问题的方法；需注意的是，法向量的夹角可能为二面角，也可能为二面角的补角.17.在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)设直线与圆相切，与椭圆相交于两点，求证：是定值.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用离心率可得，进而得到；将点代入椭圆方程可求得，从而得到椭圆方程；（2）①当直线斜率不存在时，可求得坐标，从而得到，得到；②当直线斜率存在时，设直线方程为，由直线与圆相切可得到；将直线方程与椭圆方程联立可得到韦达定理的形式，从而表示出，整理可得，得到；综合两种情况可得到结论.【详解】（1）由题意得：，即椭圆方程为将代入椭圆方程得：椭圆的方程为：（2）①当直线斜率不存在时，方程为：或当时，，，此时当时，同理可得②当直线斜率存在时，设方程为：，即直线与圆相切，即联立得：设，，代入整理可得：综上所述：为定值【点睛】本题考查根据椭圆上的点求解椭圆方程、直线与椭圆综合应用中的定值问题的求解；求解定值问题的关键是能够将所求量表示为韦达定理的形式，进而通过整理化简，消去变量得到常数，从而得到结果.18.设、分别为椭圆的左右顶点，设点为直线上不同于点的任意一点，若直线、分别与椭圆相交于异于、的点、.（1）判断与以为直径的圆的位置关系（内、外、上）并证明.（2）记直线与轴的交点为，在直线上，求点，使得.【答案】（1）点在以为直径的圆内，证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）设，，由在椭圆上可得且；由三点共线可得，表示出，可整理得到，从而可知为锐角，得到为钝角，从而得到在以为直径的圆内；（2）设，，由三点共线得到；根据可知，从而构造出关于的方程，求得，进而得到，求得点坐标.【详解】（1）点在以为直径的圆内．证明如下：由已知可得，，设，，在椭圆上，…①又点异于顶点，由三点共线可得：，即，…②将①代入②化简可得：为锐角，为钝角在以为直径的圆内（2）设，由三点共线可得：，即又等价于，，，解得：，【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到点与圆的位置关系的判定、共线向量的坐标表示等知识；关键是能够通过三点共线构造方程，从而减少变量的个数，进而利用已知条件中的等量关系求得结果.2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题1.抛物线的焦点是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先判断焦点的位置，再从标准型中找出即得焦点坐标.【详解】焦点在轴上，又，故焦点坐标为，故选D.【点睛】求圆锥曲线焦点坐标，首先要把圆锥曲线的方程整理为标准方程，从而得到焦点的位置和焦点的坐标.2.“”是“直线与直线垂直”的（）．A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】当直线与直线垂直时，，即，∴“”是“直线与直线垂直”的既不充分也不必要条件．3.若双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，且，则等于( )A. 11B. 9C. 5D. 3【答案】B【解析】【分析】由双曲线定义可构造方程求得结果.【详解】由双曲线定义可知：又【点睛】本题考查双曲线定义的应用，属于基础题.4.直线被圆(为参数)截得的弦长为( )A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】将圆的参数方程化为普通方程，可确定圆心和半径；利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离；根据垂径定理求得弦长.【详解】由圆的参数方程可得圆的普通方程为：圆是以为圆心，为半径的圆圆心到直线距离弦长为故选：【点睛】本题考查直线被圆截得的弦长问题的求解，涉及到参数方程化普通方程、点到直线距离公式和垂径定理的应用，属于常考题型.5.如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】将代入椭圆方程求得，可表示出，由垂直关系可知，从而构造出关于的齐次方程，由求得结果.【详解】将代入椭圆方程得：，又椭圆焦点，故选：【点睛】本题考查椭圆离心率的求解问题，关键是能够利用垂直关系构造出关于的齐次方程，从而根据求得离心率.6.设α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则下列命题中正确的为（）A. 若m∥n，n⊂α，则m∥αB. 若m∥α，n⊂α，则m∥nC. 若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD. 若m⊥β，m⊂α，则α⊥β【答案】D【解析】分析】在A中，m与α相交、平行或m⊂α；在B中，m与n平行或异面；在C中，m与β相交、平行或m⊂β；在D中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【详解】由α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，得：在A中，若m∥n，n⊂α，则m与α相交、平行或m⊂α，故A错误；在B中，若m∥α，n⊂α，则m与n平行或异面，故B错误；在C中，若α⊥β，m⊂α，则m与β相交、平行或m⊂β，故C错误；在D中，若m⊥β，m⊂α，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：D．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．7.已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为（）A 4 B. 8 C. 16 D. 32【答案】B【解析】【详解】F（2，0）,K（-2，0），过A作AM⊥准线，则|AM|=|AF|，∴|AK|=|AM|，三角形APM为等腰直角三角形，设A（m2，2m）（m＞0）,由得，解得则△AFK的面积=4×2m•=4m=8,故选：B.【此处有视频，请去附件查看】8.已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A. B. C. 1 D. 2【答案】A【解析】【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理，正弦定理即可得到结论．【详解】法1：设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，，半焦距为，则，设，，且，椭圆离心率为，双曲线离心率为，在中，由余弦定理得：，由椭圆和双曲线定义可得：，，，令，当时，，即由双曲线的对称性可知，当时，结论一致，的最大值为.法2：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，，半焦距为，则，则a1+a2＝m，则，由正弦定理得＝，即＝sin（120°﹣θ）≤＝.故选：A．【点睛】本题考查椭圆和双曲线离心率的求解问题，涉及到椭圆和双曲线定义、余弦，正弦定理的应用、函数最值的求解等知识，属于中档题.二、填空题9.已知直线的参数方程为为参数，则直线的倾斜角为_____________．【答案】【解析】【分析】先消去参数，化为普通方程，然后求解斜率，可得倾斜角.【详解】因为，所以，两式相除可得，斜率为，故倾斜角为.【点睛】本题主要考查直线的参数方程，掌握常用消参的方法是求解的关键.10.若圆与圆相切，则实数______.【答案】或9.【解析】分析：首先将圆C的方程化为标准方程，根据两圆相切，得到两圆心之间的距离要么等于两半径和，要么等于两半径差，得出相应的等量关系式，从而求得相应的结果.详解：圆C：可化为，因为与圆C相切，所以或，所以或，故答案是或点睛：该题考查的是有关两圆的位置关系的问题，根据两圆相切，得到两圆内切或外切，从而得到两圆心之间的距离所满足的关系式，从而求得结果，在解题的过程中，需要注意相切应分为外切和内切两种情况.11.若方程表示的是焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】根据椭圆标准方程的形式和焦点位置可构造不等式求得结果.【详解】由题意得：，解得：的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查根据椭圆焦点所在轴求解参数范围的问题，属于基础题.12.直线与双曲线相交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是_____.【答案】【解析】分析】由中点坐标公式可知，；利用点差法可求得直线斜率，进而得到直线方程.【详解】设，为中点，由两式作差可得：直线斜率直线方程为：，即故答案为：【点睛】本题考查根据弦中点求解直线方程的问题，关键是能够熟练应用点差法，将直线的斜率与中点坐标之间的关系表示出来，从而求得直线斜率.13.已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程是_____.【答案】【解析】【分析】由圆方程得到圆心和半径，根据两圆关于直线对称可知圆心关于直线对称，半径相同；由点关于直线对称点的求解方法构造方程求得圆的圆心，进而得到圆的标准方程.【详解】由圆的方程可知圆的圆心为，半径为设圆的圆心为与关于直线对称，解得：圆的圆心为，半径为圆的标准方程为：故答案为：【点睛】本题考查圆关于直线的对称圆的求解，关键是明确两圆关于直线对称则圆心关于直线对称，半径相同，进而利用点关于直线对称点的求解方法求得对称圆的圆心.14.已知椭圆：的两个焦点分别为和，短轴的两个端点分别为和，点在椭圆上，且满足，当变化时，给出下列三个命题：①点的轨迹关于轴对称；②的最小值为2；③存在使得椭圆上满足条件的点仅有两个，其中，所有正确命题的序号是__________．【答案】①②【解析】分析：运用椭圆的定义可得也在椭圆上，分别画出两个椭圆的图形，即可判断①正确；由图象可得当的横坐标和纵坐标的绝对值相等时，的值取得最小，即可判断②正确；通过的变化，可得③不正确.详解：椭圆的两个焦点分别为和，短轴的两个端点分别为和，设，点在椭圆上，且满足，由椭圆定义可得，，即有在椭圆上，对于①，将换为方程不变，则点的轨迹关于轴对称，故①正确.；对于②，由图象可得，当满足，即有，即时，取得最小值，可得时，即有取得最小值为，故②正确；对于③，由图象可得轨迹关于轴对称，且，则椭圆上满足条件的点有个，不存在使得椭圆上满足条件的点有个，故③不正确.，故答案为①②.点睛：本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的定义以及椭圆的简单性质，属于难题. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、离心率等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.三、解答题15.已知动点与平面上点，的距离之和等于.(1)试求动点轨迹方程.(2)设直线与曲线交于、两点，当时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由椭圆定义可知所求轨迹为，的椭圆，进而求得，从而得到所求轨迹；（2）将直线方程代入椭圆方程，得到韦达定理的形式；由弦长公式可构造方程求得，进而得到结果.【详解】（1）由椭圆定义可知点轨迹是以为焦点的椭圆，且，动点的轨迹方程为：（2）将直线代入椭圆方程得：则设，，，解得：直线的方程为：【点睛】本题考查轨迹方程的求解、弦长公式的应用；关键是能够熟练掌握椭圆的定义，进而得到动点所满足的方程，属于基础题.16.如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，，且，.(1)若点为上一点且，证明：平面.(2)求二面角的大小.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）作，根据比例关系可知，从而可证得四边形为平行四边形，进而得到，由线面平行判定定理可证得结论；（2）根据垂直关系可以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.【详解】（1）作交于，连接又且且四边形为平行四边形平面，平面平面（2）平面，平面又，则可以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系则，，，，，设平面法向量则，令，则，设平面的法向量则，令，则，二面角为锐二面角二面角的大小为【点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；关键是能够熟练掌握空间向量法求解立体几何中的角度问题的方法；需注意的是，法向量的夹角可能为二面角，也可能为二面角的补角.17.在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)设直线与圆相切，与椭圆相交于两点，求证：是定值.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用离心率可得，进而得到；将点代入椭圆方程可求得，从而得到椭圆方程；（2）①当直线斜率不存在时，可求得坐标，从而得到，得到；②当直线斜率存在时，设直线方程为，由直线与圆相切可得到；将直线方程与椭圆方程联立可得到韦达定理的形式，从而表示出，整理可得，得到；综合两种情况可得到结论.【详解】（1）由题意得：，即椭圆方程为将代入椭圆方程得：椭圆的方程为：（2）①当直线斜率不存在时，方程为：或当时，，，此时当时，同理可得②当直线斜率存在时，设方程为：，即直线与圆相切，即联立得：设，，代入整理可得：综上所述：为定值【点睛】本题考查根据椭圆上的点求解椭圆方程、直线与椭圆综合应用中的定值问题的求解；求解定值问题的关键是能够将所求量表示为韦达定理的形式，进而通过整理化简，消去变量得到常数，从而得到结果.18.设、分别为椭圆的左右顶点，设点为直线上不同于点的任意一点，若直线、分别与椭圆相交于异于、的点、.（1）判断与以为直径的圆的位置关系（内、外、上）并证明.（2）记直线与轴的交点为，在直线上，求点，使得.【答案】（1）点在以为直径的圆内，证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）设，，由在椭圆上可得且；由三点共线可得，表示出，可整理得到，从而可知为锐角，得到为钝角，从而得到在以为直径的圆内；（2）设，，由三点共线得到；根据可知，从而构造出关于的方程，求得，进而得到，求得点坐标.【详解】（1）点在以为直径的圆内．证明如下：由已知可得，，设，，在椭圆上，…①又点异于顶点，由三点共线可得：，即，…②将①代入②化简可得：为锐角，为钝角在以为直径的圆内（2）设，由三点共线可得：，即又等价于，，，解得：，【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到点与圆的位置关系的判定、共线向量的坐标表示等知识；关键是能够通过三点共线构造方程，从而减少变量的个数，进而利用已知条件中的等量关系求得结果.。