钢筋混凝土矩形梁正截面优化设计

式 中 ：Ａ —— 梁截 面尺 寸 ；
Ｌ—— 梁 长 ； ｒ — — 混 凝土 的容 重 ； ｃ Ｃ —— 混 凝 土 的单 价 ； Ａ —— 钢筋 截 面面积 ；
— —
众 多设 计方 案 中寻 求最 为经 济合 理 的设 计 方案 。本 文 以钢 筋砼 单 筋矩 形梁 正截 面计算 满 足强 度条 件为
・ ５ ・ ９
（） ５
（ ２ １）
强 度约束 条 件 ｇ （ ，ｈ ） ＝０在 正 截 面 强度 Ａｓ ０
计算 中有 以下 两式 ：
由以上计算 的最优配 筋率 和最 优有 效高 度可 计
算 出最 优 钢筋截 面 积 。
Ｍ 一
。 专ｌ 一
＼
（ ６ ）
Ａ ： ｏ ｈｏ ｂ
｛ ｘ—Ａ ｂ ｓ ｛
结 构有 效 高度 ｈ 。为 设计 变 量 ， 以梁 的造 价 为 目标
函数 ｆ Ａ ，ｈ ） （ 。 ，正截 面 的强 度条 件 为约束 约 束条 件 ｇ Ａ 。 ：Ｏ 以单 位 梁长 的造 价为 目标 函数 。 （ ，ｈ ）＝ 。 ＝
即：
由 （０ １ ）式 三个方 程联 立求解 并 引入 ：
… Ｍ）
（ ） ８
用一 常 数：
１ Ｕ ・
（ 一 １ 、… 、ｍ）乘 函 数 、２
式中： ａ一 ｏ （）式具 有无 条件 极值 的必 要条 件为 ： ８
ｇ （ 、ｚ 、… 、ｚ ） ０与 函数 Ｆ（ ｌ ｚ … ， Ｊ １ ２ 一 ｘ 、Ｘ 、
ｚ ）相加 得相 应拉格 朗 日函数 ：
凝 土 矩 形 梁 正截 面 优 化 设 计 。
【 关键词】 钢筋混凝土矩形梁
【 图分类号】 中
［ ＤＯＩ 码 】 编
强度条件 目标 函数
约束条件
ＴＵ３３ ３ 【 献 标 识 码 】 Ｂ 【 章 编 号 】 １ ７ — ２ ６ （ ０ １ ４ ０ ８ ２ ２ ． 文 文 ６ ２ ４ ９ ２ １ ）０ —０ ５ —０
一 一
计是在众多的设计方案 中求出最为经济的截面尺寸
（） ７
Ｍ ＝。
和钢筋截面积 ，使设计既满足强度和构造要求又最
为经 济合 理 的设计 方案 。
笔者 在实 际设 计 中 ，用本 文 推导 的公式 进行 计 算 ，再加 之设 计算机 辅 助设计 的普 遍应 用 ，使优 化
应 用 拉 格 朗 日乘 数 法 ，用 一 常 数 乘 函 数
由 （ ）式求 偏导 后得 ： ８
一 （＝ ：、 … 目）０ ＝ ２ 、 ｚ ＝ 、 Ｊ ｌ
差。 一
将 （）式 所 得 方 程 组 求 解 ，可 以得 出 ＋ ｍ ４
个 知 ， ｚ … ｚ和 未 数 、ｚ ， 击、去、… 、 、
１
，
则 ｘ、 。 、… ，
就是 最优解 。
钢筋 的容 重 ；
Ｃ —— 钢筋 的单 价 。
例 ，讨 论 了ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 面优化 设计 的一种方 法 。
４ 约 束 条 件
约束 条 件 是 结构 设 计 中必须 满 足 的 限制 条 件 ，
如强度 、裂缝 、剐 度等 约束 条件 ，以及规 范 中的有
２ 设 计 变 量
一
般 结构 的设 计方 案 由若干 个参 数来 描述 ，这
ｈ —— 结 构截 面有 效 高度 ； 。
— —
７ 结束 语
钢 筋混 凝土 设 计 ，在 满 足 强 度 和构 造 条 件 下 ，
结构 混凝 土受 压 区计算 高度 ；
—
—
混凝 土轴 心抗 压强度 设 计值 。
可有 多 种截 面尺 寸和钢 筋截 面积 的组 合 ，而优 化设
（ ）式 整理 后可 写成 ： ６
甏。 ， ｌ ０ 一 １） 一 Ｉ ＋ 。 ６ ＋ ｝ ’ ｇ，＝Ａ。Ｕ一一Ｊ ∞ ‰＝ 一 Ｍ。 。 ≤ １ ＝ ｆ ∞
（Ｏ １）
６ 算例
以钢 筋 混 凝 土单 筋 矩 形 梁 正 截 面 强 度 计 算 为 例 ，进行 优化设 计 。优 化设 计 中 以钢 筋 面 积 Ａ 和
些 参数 包含 截 面参 数 、结 构 总体 布置 的几何 参 数 以 及 反 映材 料特性 的参 数 等 。这些参 数 可 区分预 定参
关规定 ，包括 梁 内钢筋 的直 径 、最小 、最 大配 筋率
等 。这些 约束 条件 可表 示为 ：
ｇ（ ｉｚ）≤ ０ ， （ １ ２ … 、 ） 一 、 、 （） ２
Ｆ ） Ａ ・ ・ ｃ・ ｃ Ａ Ｌ ・ ・ 一 Ｌ ｒ Ｃ ＋ ｓ・ Ｇ （） １
统 的方 法设 计 ，大 多是按 照 工程任 务 ，凭借 经 验或
参 考 已有 的设计 ，事先 拟定好 构件 截 面尺 寸和 材料
的强度 指标 等 ，然 后进行 结 构强 度 、裂缝 、变 形验 算 。这 样 的设计 能满 足安 全 和正 常使用 的要 求 。但 其 设计 并非 都是 经 济合 理 的 。优化 设计 的任 务 是从
二 维空 间 ，从 而使 优化设 计 问题 相应 简单 。
５ 优 化 分 析
应用 拉 格 朗 日乘数 法 ，把带 约束 的优 化 问题转
化 为无 条件 极值 问题 ，其数 学模 型 可抽象 为求 个
设计 变量 ｚ 、 ２ … 、Ｘ ，使 目标 函数 Ｆ ｘ 、 ｚ １ 、 （ 、
ｇ Ａ ，ｈ ） （ 。 一０与 目标 函数 ｆ Ａ 。 （ ，ｈ ）相加 得 相 应 的拉 格 朗 日函数 。
Ｚ＝ ＡＣｒ ＋ ｂｈ （ ｏ＋ 口 ｅｒ ） ＋ 叫 Ａ （ ｈ ｏ一
设 计 的计算 较 为方便 。笔者愿 在此 提 出来 与 同行们
共 同探 讨 ，以兹 共享 。
２
结 构 的优 化设 计可 简述 为在 给定 预定参 数 的情
况下 寻求 设计 变量 Ｘ一 ｛ （ ＝１ 、… 、 ） ｚ ） 、２ 满足
诸 约束 条件 ｇ ≤ ０ 、２ ｊ （ 一１ 、… 、 ） ，求 出 目标 函
数 Ｆ（ ）为最 小或 最大 时 的设 计 点 。 ｚ
也 可 以从 （ ０ １ ）式直 接解 出钢 筋混凝 土 单筋矩
式 中 ：Ｍ —— 弯矩设 计值 ；
形 梁最 优 钢筋截 面 积 。
（３ １）
厂 — — 钢筋抗 拉 强度设 计 值 ； Ａ — 受拉 区纵 向钢筋 截 面面 积 ； —
ｂ —— 结 构矩 形截 面宽 度 ；
爰一 。
］
Ｚ—ｆ＋ ∑０ｇ ３』 Ｊ
（） ３
舞＿ ｏ
．
｝
一Ｉ ｏ
Ｊ
㈤
。 一 ］
此 函数 具有 无条 件极 值 的必要 条件 为 ：
Ｚ ｊ
．
Ｊ ｚ
ｚ ｊ 叫 ．Ｊ 『
：０ ＝ ＝
（ 、、 、 １ ２ … ） 一１
／ ｗ
一（ ｇ
Ｌ（ ４ ）
１ ． ９ ９ ｊ ｉｓ ． ６ ２ ４ ９ ２ １ ． ４ ０ １ ０ ３ ６ ／． ｓｎ １ ７ —２ ６ ． ０ １ ０ ． ２
１ 引 言
对 结构 的设 计 ，设计 者在 实 际工程 中往往用 传
优 化设 计 中 ，是 以结构造 价最 优作 为 目标 ，通 常取
结构 的造 价为 目标 函数 ， 目标 函数 可 写成 ：
数 或设 计 变量 。在 钢筋 混凝 土结 构设 计 中 ，一 般结 构 布置 和材 料 特性 等参数 都 已给定 ，而往往 是 把截
面有效 高 度 和 钢 筋 用 量 作 为 优 化 设 计 中 的 设 计 变 量 ，即 ｚ ， 。 写成 Ｘ一 ， ， 这样 就构 成 了一个 可 ，
作 者 简 介 ：龙 华 （ ９ ２年 一 ）男 ，高级 工 程 师 。 １７
３ 目标 函数
目标 函数 是 设 计 变 量 的 函数 ，可 记 为 Ｆ（ ）。 ｚ 优 化 的过 程就 是 找 这个 函数 的极 小 （ 或极 大 ）值 。
从 众 多 的设计 方案 中选 出最 优方 案 ， 目标 函数 是 用
来衡 量设 计优 劣 的重要 标 准 。在钢 筋混凝 土 梁结 构
・
５ ・ ８
设 计与 施工
…
水利 规划 与设 计
２ １ 年 第 ４期 ０１
、
ｚ） 最小 ，其约束条件为：
毋（ 、 ２ １ 、… 、 ）一 ０ ，（ 一 １ 、… 、ｍ） ＿ 『 、２
２ 厂 ６
一
设计 与施 工
水利 规划 与设 计
２ １ 年 第 ４期 ０１
钢 筋 混凝 土 矩 形 梁 正 截 面优 化 设 计
龙 华
（ 南省 昭通 市水 利水 电勘 测设 计 院 云 南 昭通 ６ ７ ０ ） 云 ５ ０ ０
【 摘 要】 本 文 以钢 筋 混 凝 土 单 筋 矩 形 梁 正 截 面 计算 满 足 强度 条 件 为 例 ，应 用 拉 格 朗 日乘 数 法 ，进 行 了 钢 筋 混
Ａ ｂｈ —
—
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可得 钢筋混 凝 土单筋 矩形 梁最 优配 筋率 ：
慨一 Ｌ ［
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十 ＋ 一 乒］
（） １ １
以代 入 （ ０ 式整理 得 钢筋混 凝 土单筋 矩形 梁 １）
最 优 有 效 高
， Ａ ， ） Ｃｒ ＋ Ｃ ｃ（ ＋ 口 （ 一 ， ，６ ）