等边三角形的例题

全等三角形经典习题汇集第一讲全等三角形的性质及判定【例1】 如图，AC DE ∥，BC EF ∥，AC DE =．求证：AF BD =．【补充】如图所示：AB CD ∥，AB CD =．求证：AD BC ∥．【例2】 已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB DC =，BE CF =，B C ∠=∠．求证：OA OD =．【补充】已知：如图，AD BC =，AC BD =，求证：C D ∠=∠．【补充】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 为CD 中点，连结AE 并延长AE 交BC 的延长线于点F ．求证：FC AD =．FEDCBA【例3】 如图，AB CD ，相交于点O ，OA OB =，E 、F 为CD 上两点，AE BF ∥，CE DF =．求证：FEDCBADCBA F E O D CB AO D CBAAC BD ∥．OF E DCBA【补充】已知，如图，AB AC =，CE AB ⊥，BF AC ⊥，求证：BF CE =．F E CBA【例4】 如图，90DCE CD CE AD AC BE AC ∠=︒=⊥⊥，，，，垂足分别为A B ，，试说明AD AB BE +=EDCBA【例10】 如图所示， 已知AB DC =，AE DF =，CE BF =，证明：AF DE =．【例11】 E 、F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点，且BE CF =．求证：AE BF ⊥．PFEDCBAF DC BA【补充】E 、F 、G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点，GE EF ⊥，GE EF =．求证：BG CF BC +=．GA BC DEF【例12】 在凸五边形中，B E ∠=∠，C D ∠=∠，BC DE =，M 为CD 中点．求证：AM CD ⊥．【补充】如图所示：AF CD =，BC EF =，AB DE =，A D ∠=∠．求证：BC EF ∥．A BCD EF【例13】 （1）如图，△ABC 的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连结EG ，试判断△ABC 与△AEG 面积之间的关系，并说明理由.（2）园林小路，曲径通幽，如图所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知中间的所有正方形的面积之和是a 平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b 平方米，这条小路一共占地多少平方米？GFEDCB AMEDC BA【例14】 如图，ABC ∆中，AB BC =，90ABC ∠=︒，D 是AC 上一点，且CD CB AB ==，DE AC ⊥交AB于E 点．求证：AD DE EB ==．CB DEA【例15】 ABC ∆中，90B ∠=︒，M 为AB 上一点，使得AM BC =，N 为BC 上一点，使得CN BM =，连AN 、CM 交于P 点．试求APM ∠的度数，并写出你的推理证明的过程．图3P DM N B C A【例16】 如图，I 是ABC △的内心，且CA AI BC +=．若80BAC ∠=︒，求ABC ∠和AIB ∠的大小．AB CI【例17】 已知：BD CE 、是ABC ∆的高，点P 在BD 的延长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =，求证：⑴AP AQ =；⑵AP AQ ⊥．PDQCBEA【例18】 ⑴ 如左下图，在矩形ABCD 中，E 为CB 延长线上一点且AC CE =，F 为AE 的中点．求证：BF FD ⊥．⑵ 如右下图，在ABC ∆中，BE 、CF 分别为边AC 、AB 的高，D 为BC 的中点，DM EF ⊥于M ．求证：FM EM =．F EDCBAMFED CB A18.补充：如图，已知60ABD ACD ∠=∠=︒，且1902ADB BDC ∠=︒-∠．求证：ABC ∆是等腰三角形．【例19】 如图，ABC ∆为边长是1的等边三角形，BDC ∆为顶角()BDC ∠是120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒角，角的两边分别交AB 于M ，AC于N ，连接MN ，形成一个AMN ∆．求AMN ∆的周长．AM NBCD【习题1】 已知：如图，AB DE ∥，AC DF ∥，BE CF =． 求证：AB DE =．FEDC B A【习题2】 已知：△DEF ≌△MNP ，且EF ＝NP ，∠F ＝∠P ，∠D ＝48°，∠E ＝52°，MN ＝12cm ，求：∠P 的度数及DE 的长.【习题3】如图，矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，CE EF ⊥交AB 于F 点，若2DE =，矩形周长为16，且CE EF =，求AE 的长．EDCBF A【习题4】在四边形ABCD 中，AD BC ∥，A ∠的平分线AE 交DC 于E ．求证：当BE 是B ∠的角平分线时，有AD BC AB +=．【备选1】 如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DAE ∠．月测备选家庭作业CE O【备选2】 如图所示，在ABC △中，AD BC ⊥于点D ，2B C ∠=∠．求证：AB BD CD +=．【备选3】 如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，过D 点的直线GF 交AC 于F ，交AC 的平行线BG 于G 点，DE ⊥DF ，交AB 于点E ，连结EG 、EF . （1）求证：BG ＝CF .（2）请你判断BE +CF 与EF 的大小关系，并说明理由.FE DCBAG第二讲 全等三角形与中点问题版块一 倍长中线【例1】 在△ABC 中，9,5==AC AB ，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？【补充】已知：ABC ∆中，AD 是中线．求证：1()2AD AB AC <+．C D B ABBC【例2】 已知：如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是CD 的中点，BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F ．求证：BCE FDE ∆∆≌．DFECBA【例3】 如图，在ABC ∆中，D 是BC 边的中点，F ，E 分别是AD 及其延长线上的点，CF BE ∥．求证：BDE CDF ∆∆≌．【例4】 如图，ABC ∆中，<AB AC ，AD 是中线．求证：<DAC DAB ∠∠．【例5】 如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．F E D C BAB C FED CBA【例6】 如图所示，在ABC ∆和A B C '''∆中，AD 、A D ''分别是BC 、B C ''上的中线，且AB A B ''=，AC A C ''=，AD A D ''=，求证ABC A B C '''∆∆≌．【例7】 如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交EF于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．【例8】 已知AD 为ABC ∆的中线，ADB ∠，ADC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．【例9】 在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED FD ⊥．以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？B F G E DC B AF E A B D CA【例10】 已知△ABC ，∠B =∠C ，D ，E 分别是AB 及AC 延长线上的一点，且BD =CE ，连接DE 交底BC 于G ，求证GD =GE ．GEDCBA【例11】 如图所示，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，DM 垂直于DN ，如果2222BM CN DM DN +=+，求证()22214AD AB AC =+．(勾股定理的内容，选做)NMDCBA【例10】 在Rt ABC ∆中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满足90DFE ∠=︒．若3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________．【习题1】 如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，过A 作AE DE ⊥，AF DF ⊥，且AE AF =．求证：EDB FDC ∠=∠．【习题2】 如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，AF 与EF 相等吗？为什么？【习题3】 如右下图，在ABC ∆中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =．A家庭作业图 6G EF D B C A F ED C BAD FE C B A【备选1】如图，已知AB=DC，AD=BC，O是BD中点，过O点的直线分别交DA、BC的延长线于E，F．求证：∠E=∠F【备选2】如图，ABC∆中，AB AC=，90BAC∠=︒，D是BC中点，ED FD⊥，ED与AB交于E，FD 与AC交于F．求证：BE AF=，AE CF=．第三讲全等三角形与角平分线问题【例1】在ABC∆中，D为BC边上的点，已知BAD CAD∠=∠，BD CD=，求证：AB AC=．D CBA【例2】已知ABC∆中，AB AC=，BE、CD分别是ABC∠及ACB∠平分线．求证：CD BE=．EDCBA【例3】如图，在ABC∆中，60B∠=︒，AD、CE分别平分BAC∠、BCA∠，且AD与CE的交点为F．求证：FE FD=．AB CDEFFBEDCA【例4】 如图，已知ABC ∆的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥于D ，且3OD =，求ABC ∆的面积．【补充】如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DAE ∠．【例5】 已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．OED CBA【例6】 如图，已知E 是AC 上的一点，又12∠=∠，34∠=∠．求证：ED EB =．E DC B A4321AOCB A B CD E O【例7】 如图所示，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，OA OC =，OB OD =．求证：AB CD =．PDBOCA【例8】 如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥ABFA CD E B【例10】 如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作CE AB E ⊥于，并且1()2AE AB AD =+，则ABC ADC ∠+∠等于多少？EDCBA【补充】长方形ABCD 中，AB =4，BC =7，∠BAD 的角平分线交BC 于点E ，EF ⊥ED 交AB 于F ，则EF =__________．FEDCBA【补充】在ABC ∆中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点．求证：AB AC PB PC ->-．CD B PA【例11】 如图，在ABC ∆中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：AB BD AC +=．DC B A【例12】 如图，ABC ∆中，AB AC =，108A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：BC AC CD =+．AB CD【巩固】已知等腰ABC ∆，100A ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于D ，则BD AD BC +=．【例13】 如图所示，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证2AB AC AM +=．MD CBACB【例14】 如图，ABC ∆中，AB AC =，BD 、CE 分别为两底角的外角平分线，AD BD ⊥于D ，AE CE⊥于E ．求证：AD AE =．HG D AB C E【例15】 如图，180A D ∠+∠=︒，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上．① 探讨线段AB 、CD 和BC 之间的等量关系． ② 探讨线段BE 与CE 之间的位置关系．EDCB A【习题2】如图，在ABC ∆中，AB BD AC +=，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：2B C ∠=∠．DC B A家庭作业【习题3】AD是ABC∆的角平分线，BE AD⊥交AD的延长线于E，EF AC∥交AB于F．求证：AF FB=．DECFBA【习题4】如图所示，AD平行于BC，DAE=EAB∠∠，ABE=EBC∠∠，AD=4，BC=2，那么AB=________．【习题5】ABC∆中，D为BC中点，DE BC⊥交BAC∠的平分线于点E，EF AB⊥于F EG AC⊥于G．求证：BF CG=．EGFDCBA【备选1】在ABC∆中，AD平分BAC∠，AB BD AC+=．求:B C∠∠的值．CDBA月测备选【备选2】如图，已知在ABC ∆中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．21ECBA【备选3】如图所示，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，A ∠的平分线AE 交DC 于E ，求证：当BE 是B∠的平分线时，有AD BC AB +=．EBCDA第四讲 全等三角形与旋转问题【例1】 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．（1）求证：AN BM =．A C（2）求证：CD=CE(3) 求证：CF 平分∠MCN（4） 求证：DE ∥AB【例2】 如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ．求证：AE CG ．AAC BA CG FEDCBA【例3】 如图，等边三角形ABC ∆与等边DEC ∆共顶点于C 点．求证：AE BD =．DECBA【例4】 如图，D 是等边ABC ∆内的一点，且BD AD =，BP AB =，DBP DBC ∠=∠，问BPD ∠的度数是否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由．PDC BA【例5】 如图，等腰直角三角形ABC 中，90B =︒∠，AB a =，O 为AC 中点，EO OF ⊥．求证：BE BF+为定值．OB ECF A【补充】如图，正方形OGHK 绕正方形ABCD 中点O 旋转，其交点为E 、F ，求证：AE CF AB +=．54321OHBE DKG CF A【例6】 (2004河北)如图，已知点E 是正方形ABCD 的边CD 上一点，点F 是CB 的延长线上一点，且EA AF ⊥． 求证：DE BF =．FED CBA【补充】如图所示，在四边形ABCD 中，90ADC ABC ∠=∠=︒，AD CD =，DP AB ⊥于P ，若四边形ABCD的面积是16，求DP 的长．PDCBA【例7】 E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且45EAF =︒∠，AH EF ⊥，H 为垂足，求证：AH AB =．【巩固】如图，正方形ABCD 的边长为1，点F 在线段CD 上运动，AE 平分BAF ∠交BC 边于点E ．⑴求证：AF DF BE =+．⑵设DF x =(01x ≤≤)，ADF ∆与ABE ∆的面积和S 是否存在最大值？若存在，求出此时x 的值及S ．若不存在，请说明理由．FEDC BA【补充】(1)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90︒，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=12∠BAD ．求证：EF ＝BE +FD ;FED CBAC HF E D BA(2) 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B+∠D ＝180︒，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=12∠BAD ， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明．FEDCB A【习题1】 如图，已知ABC ∆和ADE ∆都是等边三角形，B 、C 、D 在一条直线上，试说明CE 与AC CD+相等的理由．EDCBA【习题2】 (湖北省黄冈市2008年初中毕业生升学考试)已知：如图，点E 是正方形ABCD 的边AB 上任意一点，过点D 作DF DE ⊥交BC 的延长线于点F ．求证：DE DF =．FEDCBA【习题3】 在梯形ABCD 中，AB CD ∥，90A ∠=︒，2AB =，3BC =，1CD =，E 是AD中点，试判断EC 与EB 的位置关系，并写出推理过程．家庭作业CD【习题4】 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．CG 、CH 分别是ACN ∆、MCB ∆ 的高．求证：CG CH =．HG NM CBA【备选1】 在等腰直角ABC ∆中，90ACB ∠=，AC BC =，M 是AB 的中点，点P 从B 出发向C 运动，MQ MP ⊥ 交AC 于点Q ，试说明MPQ ∆的形状和面积将如何变化．【备选2】 如图，正方形ABCD 中，FAD FAE ∠=∠．求证：BE DF AE +=．FEDCBA月测备选APMCQ B【备选3】 等边ABD ∆和等边CBD ∆的边长均为1，E 是BE AD ⊥上异于A D 、的任意一点，F 是CD 上一点，满足1AE CF +=，当E F 、移动时，试判断BEF ∆的形状．DFE CBA第五讲 轴对称和等腰三角形【例1】 在ABC ∆中，AB AC =，BC BD ED EA ===．求A ∠．【补充】在ABC ∆中，AB AC =，BC BD =，AD ED EB ==．求A ∠．EDCB A【例2】 ABC ∆的两边AB 和AC 的垂直平分线分别交BC 于D 、E ，若150BAC DAE ∠+∠=︒，求BAC ∠．【例3】 如图，点O 是等边AO AD =内一点，110AOB ∠=，BOC α∠=．将BOC △绕点C 按顺时针方向旋转19060αα-=-∴°°得ADC △，连接OD ，则COD △是等边三角形；当α为多少度时，AOD △是等腰三角形？【例4】 如图，在ABC ∆中，B C ∠=∠，D 在BC 上，50BAD ∠=，在AC 上取一点E ，使得ADE AED ∠=∠，求EDC ∠的度数．【例5】 如图，ABC ∆为等边三角形，延长BC 到D ，又延长BA 到E ，使AE BD =，连接,CE DE ，求证：CDE ∆为等腰三角形．E D C B A O D C B AAB CD EE【例6】 如图，在ABC ∆中，B ∠，C ∠为锐角，,,M N D 分别为边AB 、AC 、BC 上的点，满足AM AN =，BD DC =，且BDM CDN ∠=∠．求证：AB AC =．板块三、轴对称在几何最值问题中的应用【例7】 已知点A 在直线l 外，点P 为直线l 上的一个动点，探究是否存在一个定点B ，当点P 在直线l 上运动时，点P 与A 、B 两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B ；若不存在，请说明理由．【例8】 如图，在公路a 的同旁有两个仓库A 、B ，现需要建一货物中转站，要求到A 、B 两仓库的距离和最短，这个中转站M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？aBA【例9】 如图，45AOB ∠=︒，角内有点P ，在角的两边有两点Q 、R (均不同于O 点)，求作Q 、R ，使得PQR ∆的周长的最小．ABCD MNPl【补充】如图，M 、N 为ABC ∆的边AC 、BC 上的两个定点，在AB 上求一点P ，使PMN ∆的周长最短．【例10】 已知如图，点M 在锐角AOB ∠的内部，在OB 边上求作一点P ，使点P 到点M 的距离与点P 到OA 的边的距离和最小．【补充】已知：A 、B 两点在直线l 的同侧， 在l 上求作一点M ，使得||AM BM -最小．【补充】已知：A 、B 两点在直线l 的同侧，在l 上求作一点M ，使得||BM AM -最大．【例11】 如图，正方形ABCD 中，8AB =，M 是DC 上的一点，且2DM =，N 是AC 上的一动点，求DN MN +的最小值与最大值．M BO A lBA NM D A【补充】例题中的条件不变，求DN MN -的最小值与最大值．【补充】如图，已知正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且2DM =，N 是AC 上的一个动点，则DN MN +的最小值是MD CBA【习题1】 (2007双柏中考)等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为 ． 【习题2】 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，则这个等腰三角形的底边的长为( )A ．17cmB ．5cmC ．17cm 或5cmD ．无法确定【习题3】 已知等腰三角形的周长为20，腰长为x ，求x 的取值范围．【习题4】 (2004天津)在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )【习题5】 判断下列图形(图)是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼家庭作业【备选1】 ABC ∆的一个内角的大小是040，且A B ∠=∠，那么C ∠的外角的大小是( )A ．140︒B ．80︒或100︒C ． 100︒或140︒D ． 80︒或140︒【备选2】 已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为12和15两部分，求腰长和底长． 【备选3】 (四川省竞赛题)如图，在等腰Rt ABC ∆中，3CA CB ==，E 的BC 上一点，满足2BE =，在斜边AB 上求作一点P 使得PC PE +长度之和最小．PECBA【备选4】 在正方形ABCD 中，E 在BC 上，2BE =，1CE =，P 在BD 上，求PE 和PC 的长度之和的最小值．E PDCB AE‘E PDCB A月测备选第六讲 全等三角形中的截长补短板块一、截长补短【例1】 已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．【例2】 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?【例3】 AD ⊥AB ，CB ⊥AB ，DM =CM =a ，AD =h ，CB =k ，∠AMD =75°，∠BMC =45°，则AB 的长为 ( )A . aB . kC .2k h+ D . h MDCBA【例4】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .D OECB ANEB M A DF DA【例5】 以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆，连结CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DOE ∠．FABCDEOOEDCBA【例6】 (北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题)如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．【例7】 五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，求证：AD 平分∠CDEN MDCB A板块二、全等与角度【例10】 如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数.【例11】 在正ABC ∆内取一点D ，使DA DB =，在ABC ∆外取一点E ，使DBE DBC ∠=∠，且BE BA =，求BED ∠.CEDB AD CBAD E CBA。

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7． 如图， 中， ∠ACB=90°， ∠A=30°， CD 是斜边上的高， CE 是中线， 若 AB=8， ABC 求 DE 长.
拓展思维： 如图所示， 一艘轮船以 15 海里/时的速度由南向北航行，在 A 处测得小岛 P 在北偏 西 15°方向上，两小时后，轮船在 B 处测得小岛 P 在北偏西 30°方向上，已知在小岛 周围 18 海里内有暗礁，若轮船继续向前航行有无触礁的危险？
二 30 度所对的直角边性质一 1.将两个含 30°角的三角尺按如图所示摆放在一起，观察并回答下面的问题： （1） 判断△ABD 的形状， 依据是什么？ （2） BC 与 CD 大小有什么关系关系？为什么？ （3）BC 与 AB 大小有什么关系？为什么？你能归纳含 30°角的直角三角形性质吗？ 含 30°角的直角三角形的边角性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 事实上， ：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它对的角等于 30 含 30°角的直角三角形是半个等边三角形，除了具有上述边角的特殊关系外，它 的三个角度数分别为 30°、60°、90°所以它是一个特殊的直角三角形. 【例题】如图，在 中，∠BAC=120°，AB=AC， ABC AD⊥AC 交 BC 于 D，求证：BC=3AD. 三、课堂训练 1 ．三角形三个内角的度数之比为 1 ∶ 2 ∶ 3 ，它的最短边长 4cm ，则它的最长边为 ______cm. 2．等腰三角形的顶角为 120°，腰长为 6，则底边上的高线长为_______. 3．等腰三角形的顶角为 150°，腰长为 6，则其面积为_______. 4．一个三角形的两个内角分别为 30°、75°，最长边为 8cm，则这个三角形的面积为 ______. ABC 5．在 Rt 中，∠C=90°，∠B=15°，AC=10，AB 的垂直平分线交 BC 于 D，则 DB=_______. ABC 6．如图，在 中，BD 是 AC 边上的中线，DB⊥BC 于 B，且∠ABC＝ 如图 8－3，已知Δ ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，DE 垂直平分 AC 交 BC 于 D， 垂足为 E，若 DE＝2cm，则 BC＝_____cm. 4(2012)．已知：如图 8－4，Δ ABC 和Δ BDE 都是等边三角形． （1）求证：AD＝CE； （2）当 AC⊥CE 时，判断并证明 AB 与 BE 的数量关系．

三角形的边角关系1、三角形的角：三角形内角和是180°。

按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形2、三角形的边：①三角形任意两边之和大于第三边. ②三角形任意两边之差小于第三边.按边分类：等边三角形、等腰三角形、不等边三角形【例1】（★★★）①下列长度的三条线段能组成三角形的是( )A．1cm，2cm，5cm B．4cm，5cm，9cmC．5cm，8cm，15cm D．6cm，8cm，9cm②一个等腰三角形的两边长分别为2和5 ，则它的周长为（）A．7 B．9 C．12 D．9或12③已知三角形的两边长分别为3 和8，则此三角形的第三边的长可能是（）A．4 B．5 C．6D．133、边和角的关系同一三角形中：大边对大角；等边对等角4、明星三角形等边三角形、等腰直角三角形【例2】（★★★）1已知三角形的两条边长度分别为3cm和5cm，那么三角形周长L的范围是什么？【例3】（★★★）【例3】（★★★）①如图，∠1＋∠2＋∠3＝_________度。

③如图，三角形是等边三角形，那么∠1＝____度，∠2＝___度，∠3＝____度。

②如图，三角形是等腰直角三角形，那么∠1＝____度，∠2＝___度，∠1＋∠2＝____度。

④如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝____度。

【例3】（★★★）【例4】（★★★）⑤如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝____度。

如图：将一个正五边形和一个正六边形放置在同一条直线上，请问∠ABH和∠CBG分别为多少度？⑥如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝______度。

⑦通过以上题目总结：n边形的内角和为______________度。

【例5】（★★★★）【例6】（★★★★）如图：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝_____度。

如图，八边形的8个内角都是135°，已知AB＝EF，BC＝20，DE＝10，FG＝30，则AH＝______ 。

全等三角形的判定一、知识点复习①"边角边〞定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

〔SAS 〕图形分析：书写格式：在△ABC 和△DEF 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=EF BC E B DE AB ∴△ABC ≌△DEF 〔SAS 〕②"角边角〞定理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

〔ASA)图形分析：书写格式：在△ABC 和△DEF 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠F C EF BC E B ∴△ABC ≌△DEF(ASA)③"角角边〞定理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

〔AAS 〕图形分析：书写格式：在△ABC 和△DEF 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠EF BC F C E B ∴△ABC ≌△DEF(AAS)图形分析：书写格式：在△ABC 和△DEF 中⎪⎩⎪⎨⎧===EF BC DF AC DE AB ∴△ABC ≌△DEF(AAS)⑤"斜边、直角边〞定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

〔HL 〕图形分析：书写格式：在△ABC 和△DEF 中⎩⎨⎧==DFAC DEAB∴△ABC ≌△DEF 〔HL 〕一个三角形共有三条边与三个角，你是否想到这样一问题了：除了上述四种识别法，还有其他的三角形全等识别法吗？比方说"SSA 〞、"AAA 〞能成为判定两个三角形全等的条件吗？ 两个三角形中对应相等的元素 两个三角形是否全等 反例SSA⨯AAA⨯二、常考典型例题分析第一局部：根底稳固1.以下条件，不能使两个三角形全等的是〔 〕A．两边一角对应相等B．两角一边对应相等C．直角边和一个锐角对应相等D．三边对应相等2.如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD〔〕A.∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD3.以下各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是〔〕A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙4.如图，E，B，F，C四点在一条直线上，EB=CF，∠A=∠D，再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF 的是〔〕A．AB=DE B．DF∥AC C．∠E=∠ABC D．AB∥DE5.如图，∠ABC=∠DCB，以下所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是〔〕A．∠A=∠D B．AB=DC C．∠ACB=∠DBC D．AC=BD 6.如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边一样的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线OC，作法用得的三角形全等的判定方法是〔〕A．SAS B．SSS C．ASA D．HL第二局部：考点讲解考点1：利用"SAS〞判定两个三角形全等1.如图，A 、D 、F 、B 在同一直线上，AD=BF ，AE=BC ，且AE ∥BC ．求证：△AEF ≌△BCD ．2.如图，AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE ．求证：△ABD ≌△ACE ．考点2：利用"SAS 〞的判定方法解与全等三角形性质有关的综合问题3.：如图，A 、F 、C 、D 四点在一直线上，AF=CD ，AB ∥DE ，且AB=DE ，求证：FEC CBF ∠=∠考点3:利用"SAS 〞判定三角形全等解决实际问题4.有一座小山，现要在小山A 、B 的两端开一条隧道，施工队要知道A 、B 两端的距离，于是先在平地上取一个可以直接到达A 和B 的点C ，连接AC 并延长到D ，使CD=CA ，连接BC 并延长到E ，使CE=CB ，连接DE ，则量出DE 的长，就是A 、B 的距离，你能说说其中的道理吗"考点4：利用"ASA 〞判定两个三角形全等5. 如图，AB=AD ，∠B=∠D ，∠1=∠2，求证：△AEC ≌△ADE ．6..jyeoo./math/report/detail/6ffc59c3-43e4-4008-9d1a-6c2c447db1f4如图，∠A=∠B ，AE=BE ，点D 在AC 边上，∠1=∠2，AE 和BD 相交于点O ．求证：△AEC ≌△BED ；考点6：利用"ASA 〞与全等三角形的性质解决问题:7.如图，EC=AC ，∠BCE=∠DCA ，∠A=∠E ；求证：BC=DC考点7：利用"SSS 〞证明两个三角形全等8.如图，A 、D 、B 、E 四点顺次在同一条直线上，AC=DF ，BC=EF ，AD=BE ，求证：△ABC ≌△EDF ．考点8：利用全等三角形证明线段〔或角〕相等9.如图，AE=DF ，AC=DB ，CE=BF ．求证：∠A=∠D ．考点9：利用"AAS 〞证明两个三角形全等10.如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，求证：△ABD ≌△ACE.考点10：利用"AAS 〞与全等三角形的性质求证边相等11.〔2017秋•娄星区期末〕：如下图，△ABC 中，∠ABC=45°，高AE 与高BD 交于点M ，BE=4，EM=3．〔1〕求证：BM=AC ；〔2〕求△ABC 的面积．考点11：利用"HL 〞证明两三角形全等12.如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，且DE=DF 。