等边三角形经典习题

等边三角形的判定和性质(参考用时:30分钟)1.下列三角形,①有两个角等于60°的三角形;②有一个角等于60°的等腰三角形;③一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中能判定是等边三角形的个数是( A )(A)3个(B)2个(C)1个(D)0个2.如图,在 Rt△ABC 中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC 交AC于点N,且MN平分∠AMC.若AN=1,则BC的长为( B )(A)4 (B)6 (C)4(D)8第2题图3.如图,在等边三角形ABC中,点D是边BC的中点,则∠BAD= 30°.第3题图4.如图,已知∠AOB=30°,点P在边OA上,点M,N在边OB上,且PM=PN=10,MN=12,则OP= 16 .第4题图5.如图,等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部,∠BDC=90°,连接AD,过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形,则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是120,150 度.第5题图6. 如图,等边△ABC中,点D为BC延长线上一点,点E为CA延长线上一点,且AE=DC,求证:AD=BE.证明:在等边△ABC中,∠BAC=∠ACB=60°,AB=AC,所以∠BAE=∠ACD=120°.因为AE=CD,所以△ABE≌△CAD.所以AD=BE.7. 已知:如图,点D在等边三角形ABC的边AB上,点F在边AC上,连接DF并延长交BC的延长线于点E,FE=FD.求证:AD=CE.证明: 过点D作DM∥BE交AC于点M,则有∠MDF=∠E.在△MDF与△CEF中,因为∠MFD=∠CFE,FD=FE,∠MDF=∠E,所以△MDF≌△CEF,所以DM=CE.因为△ABC为等边三角形,所以∠A=∠B=60°.因为DM∥BE,所以∠ADM=∠B=60°,∠ADM=∠A=60°,所以△ADM为等边三角形,所以DM=AD,所以AD=CE.8. 如图所示,已知a∥b,c∥b,试用反证法证明:a∥c.证明:假设a与c不平行,即a与c相交,不妨设交点为P,由于a∥b,c ∥b,于是可得经过P点有两条直线a,c与直线b平行,这与“经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾,故假设不成立.所以a∥c.9. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=3,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,连接CE,求CE的长.解:因为AD是△ABC的角平分线,所以∠EAD=∠CAD.因为∠ACB=90°,DE⊥AB,所以∠ACD=∠AED.在△ACD与△AED中,∠ACD=∠AED=90°,∠EAD=∠CAD,AD=AD,所以△ACD≌△AED,所以AE=AC.因为∠B=30°,所以∠BAC=60°,所以△ACE是等边三角形,所以CE=AC=3.10. (核心素养—逻辑推理)(2018荆门)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,E为AB边的中点,以BE为边作等边△BDE,连接AD,CD.(1)求证:△ADE≌△CDB;(2)若BC=,在AC边上找一点H,使得BH+EH最小,并求出这个最小值.(1)证明:在Rt△ABC中,∠BCA=90°,∠BAC=30°,所以BC=AB,E为AB边的中点,所以BE=AB,所以BC=EA,∠ABC=60°.因为△DEB是等边三角形,所以DB=DE,∠DEB=∠DBE=60°.所以∠DEA=∠DBC=120°,所以△ADE≌△CDB.(2)解:作点B关于AC的对称点B′,连接EB′交AC于点H,则点H即为所求.连接CE,则△CBE是等边三角形.所以CE=CB=CB′.所以∠BEB′=90°.所以BH+EH的最小值为EB′==3.。

第1课时等边三角形的性质和判定（课堂训练）一•选择题（共8小题）1 •如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中 / a+ / B的度数是（）A •180 ° B .220 ° C •240 ° D .300 °2 .下列说法正确的是（）A .等腰三角形的两条高相等C.有一个角是60。

的锐角三角形是等边三角形B .等腰三角形一定是锐角三角形 D •三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等3 .在△ABC中，①若AB=BC=CA，则△ABC为等边三角形；②若/ A= / B= / 6则厶ABC为等边三角形；③有两个角都是60。

的三角形是等边三角形；④一个角为60。

的等腰三角形B D EC 是等边三角形•上述结论中正确的有（）A •1个B •2个C •3个D •4个4 .如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△ BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E 处，则/ A 等于（）A . 25 °B . 30 °C. 45 °D . 60 °5 .如图，已知D、E、F分别是等边△ ABC的边AB、BC、AC上的点，且DE丄BC、EF丄AC、FD丄AB，则下列结论不成立的是（）A . △DEF 是等边三角形B . △ADF ◎△ BED ◎△ CFEC. DE=ABD. S △ABC=3S △DEF6 .如图，在厶ABC中，D、E在BC上，且BD=DE=AD=AE=EC ,则/ BAC的度数是（）A . 30 °B. 45 °C . 120 ° D . 15 °7 .如图，在△ ABC中，AB=AC , / A=120 °BC=6cm , AB的垂直平分线交BC于点M,交AB于点E , AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A. 4cmB. 3cmC. 2cmD. 1cm第1题第4题第5题第7题8 .已知/ AOB=30 °点P在/ AOB内部，P1与P关于0B对称，P2与P关于OA对称，则P l, 0 , P2三点所构成的三角形是（）A.直角三角形 B . 钝角三角形C. 等腰三角形D.等边三角形二.填空题（共10小题）9 .已知等腰△ABC 中，AB=AC , / B=60 °贝U / A= 度.10 . △ABC 中，/ A= / B=6 0 °且AB=10cm，贝U BC= __________________ cm .11 .在△ABC中，/ A= / B= /。

三角形全等习题荟萃（经典）1、如图,ABC ∆是等腰直角三角形,∠C ＝900,点M,N 分别是边AC 和BC 的中点,点D 在射线BM 上,且BD ＝2BM, 点E 在射线NA 上,且NE ＝2NA.求证:BD ⊥DE.2、如图,设P 为等腰直角三角形ABC 斜边AB 上任意一点,PE 垂直AC 于点E, PF 垂直BC 于点F, PG 垂直EF 于点G,延长GP 并在其延长线上取一点D,使得PD ＝PC.求证:BC ⊥BD, 且BC ＝BD.3、已知在ABC ∆中，=∠ACB 于F ，求证：AC EF 21=。

MNEDCBA4、如图，已知在ABC ∆︒=∠90ACB ︒=∠30CAB ACD ∆ABE ∆角形D E 交AB 于5、已知在ABC ∆6、已知ABC ∆和∆7、已知ABC ∆中，BDC ∠，求证：8、 等腰ABC ∆9、如图已知ABC ∆中，10、 如图，已知ABC ∆以D 为顶点作一个求证：AMN ∆11、AT 为ABC ∆的内角A 求证：BD=EC12、已知在ABC ∆中，作13、如图，已知在ABC 中，AD 是角平分线，CF ⊥AD 交AB 于F ，垂足为M ，CE ∥AD 交BA的延长线于E ，求证：AC=AE=AF 。

14、如图，△ABC 是等腰三角形，D 、E 分别是AB 及AC 延长线上的点，且BD=CE ， 连结DE 交BC 于点G ，求证：GD=GE15、如图，在△ABC 中,AB=5，AC=3，则边BC 上的中线AD 的取值范围是多少？16、如图，在△ABC 内一点，DB=DA ，BF=AB,∠DBF=∠DBC,求∠F 的度数。

17、如图，△ABC 是等边三角形，AE=CD,BQ ⊥AD,垂足为Q,BE 交AD 于点P,求证：BP=2PQ.A BE B CC BC B A18、如图，△ABC,△BDE 都是等边三角形，求证：∠BAD=∠BCE19、如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC 是直角，D 是AC 上一个点，AE ⊥BD,AE 的延长线交BC 与F,若∠ADB=∠FDC ，求证:D 是AC 的中点。

等边三角形的面积等边三角形环的面积练习题一、等边三角形的面积练题1. 已知等边三角形的边长为10cm，求其面积。

解答：等边三角形的面积可以通过以下公式计算：面积 = (边长的平方× √3) / 4代入已知条件，计算得到：面积= (10 × 10 × √3) / 4 = 25√3 cm²2. 已知等边三角形的面积为12√3 cm²，求其边长。

解答：等边三角形的边长可以通过以下公式计算：边长= √(面积× 4 / √3)代入已知条件，计算得到：边长= √(12√3 × 4/ √3) = √48 cm = 4√3 cm二、等边三角形环的面积练题1. 已知等边三角形环的边长为12cm，内部等边三角形的边长为8cm，求等边三角形环的面积。

解答：等边三角形环的面积可以通过以下公式计算：面积 = (外部等边三角形的面积 - 内部等边三角形的面积)外部等边三角形的面积可以使用之前提到的公式计算：外部等边三角形的面积 = (边长的平方× √3) / 4内部等边三角形的面积也可以使用之前提到的公式计算。

代入已知条件，计算得到：外部等边三角形的面积 = (12 ×12 × √3) / 4 = 36√3 cm²内部等边三角形的面积= (8 × 8 × √3) / 4 = 12√3 cm²面积= (36√3 - 12√3) cm² = 24√3 cm²2. 已知等边三角形环的面积为18√3 cm²，内部等边三角形的边长为6cm，求等边三角形环的边长。

解答：可以使用类似的方法解答这个题目。

首先，计算内部等边三角形的面积：内部等边三角形的面积= (6 × 6 × √3) / 4 = 9√3 cm²然后，计算外部等边三角形的面积：外部等边三角形的面积 = 内部等边三角形的面积 + 等边三角形环的面积代入已知条件，计算得到：外部等边三角形的面积= 9√3 + 18√3 = 27√3 cm²最后，通过计算外部等边三角形的边长，可以求得等边三角形环的边长：边长= √(面积× 4 / √3) = √(27√3 × 4 / √3) = √108 cm = 6√3 cm以上是等边三角形的面积和等边三角形环的面积的练习题解答。

等边三角形经典练习题(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--1、下图是屋架设计图的一部分,点D 是斜梁AB 的中点,立柱BC 、DE 垂直于横梁AC,AB ＝,∠A ＝30°立柱BC 、 DE 要多长 B2、如图：在Rt △ABC 中∠A=300,AB+BC=12cm 则AB=_____cm第2题图 第3题图 第4题图3、如图:△ABC 是等边三角形，AD ⊥BC,DE ⊥AB,若AB=8cm, BD=＿＿＿， BE=____4、如图在△ABC 中,AB=AC=2a,∠ABC=∠ACB=150,CD 是腰AB 上的高，求CD 的长5、要把一块三角形的土地均匀分给甲 、乙、丙三家农户去种植,如果∠C ＝90°∠B ＝30°,要使这三家农户所得土地的大小和形状都相同,请你试着分一分,在图上画出来.ACBＣ ＢＡ３００AC EBDDCBAA6、如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，∠B=30°，AD ⊥BC 于D 。

求证：BC=4CD7、如图， ∠AOB= 30°，P 是角平分线上的点，PM ⊥OB 于M ，PN8、等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半，则此三角形的三个角的度数分别是_________ ____________________________________9、如图，在正△ABC 的边BC 上任取一点D ，以CD 为边向外作正△CDE ， 求证：BE=AD 。

10、如图，已知△ABC 、 △DCE 都是等边三角形，B 、C 、E 三点在同一直线上. 求证：（1）BD=AE （2）连接FG ，说明△DCE 是等边三角形.ABCDEANM PBOABCD11、已知：如图，△ABC中，AB=BC=CA，AE=CD，AD、BE相交于P，BQ⊥AD于Q.求证：BP=2PQ12、Rt B=Rt1CAD=BAC D DE AC 2DE ADC1BD=DC2ABC∠∠∠∠⊥∠已知：如图，在中，，，过点作，恰好是的平分线.求证：C13、等腰三角形ABC中AB=AC，∠A=100°，∠ABC的平分线交AC于E，求证：AE+BE=BCAEB C14、如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE。

等边三角形练习题1. 已知等边三角形的边长为6cm，求其高。

解：设等边三角形的高为h，根据等边三角形的性质，高将底边平分，形成两个30°-60°-90°的直角三角形。

在这种三角形中，较短的直角边（即高）是斜边（即边长）的一半的根号3倍。

因此，h = √3 * (6/2)。

2. 若等边三角形的周长为18cm，求其面积。

解：设等边三角形的边长为a，则a = 18/3 = 6cm。

等边三角形的面积公式为A = √3/4 * a²，代入a = 6cm，得A = √3/4 * 6²。

3. 等边三角形的顶角为60°，求其底角。

解：等边三角形的三个内角都相等，每个角都是60°。

因此，底角也是60°。

4. 已知等边三角形的高为4cm，求其边长。

解：设等边三角形的边长为a，高为h。

根据30°-60°-90°三角形的性质，斜边（即边长）是高（即较短的直角边）的两倍的根号3倍。

因此，a = 2 * h / √3 = 2 * 4 / √3。

5. 等边三角形的面积为12平方厘米，求其边长。

解：设等边三角形的边长为a，面积为A。

等边三角形的面积公式为A = √3/4 * a²。

代入A = 12，得√3/4 * a² = 12，解得a = √(12 * 4/√3)。

6. 已知等边三角形的边长为8cm，求其内切圆半径。

解：设等边三角形的内切圆半径为r。

等边三角形的内切圆半径r 等于高h的1/3，而高h = √3 * (8/2)。

因此，r = (√3 * 8/2) /3。

7. 等边三角形的边长为10cm，求其外接圆半径。

解：设等边三角形的外接圆半径为R。

等边三角形的外接圆半径R等于边长a的一半的根号3倍。

因此，R = √3 * (10/2)。

8. 已知等边三角形的面积为27平方厘米，求其周长。

解：设等边三角形的边长为a，面积为A。

八年级数学《等边三角形》练习题班级姓名1、填空题（1）等边三角形的三条边都，三个内角都，且每个内角都等于。

（2）等边三角形有条对称轴。

（3）等边三角形的、、互相重合。

( 4 )等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是______．（5）如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，如果∠ABE=40°，那么∠CBD=度。

BCDAE2．△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则∠B=_______．3．已知AD是等边△ABC的高，BE是AC边的中线，AD与BE交于点F，则∠AFE=______．4．△ABC中，∠B=∠C=15°，AB=2cm，CD⊥AB交BA的延长线于点D，则CD的长度是_______．一、选择题1．正△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（）A．60°B．90°C．120°D．150°2．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④3．如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF的形状是（）A．等边三角形B．腰和底边不相等的等腰三角形C．直角三角形D．不等边三角形AFDB EC BAE12DC4．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是（）A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm5．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则对△ADE的形状最准备的判断是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．不能确定形状三、解答题1．已知D、E分别是等边△ABC中AB、AC上的点，且AE=BD，求BE与CD的夹角是多少度？2．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE•都是等边三角形．BE交AC 于F，AD交CE于H，①求证：△BCE≌△ACD；②求证：CF=CH；③判断△CFH•的形状并说明理由．AEFB C HD3．如图，点E是等边△ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D满足BD=AC，且BE 平分∠DBC，求∠BDE的度数．（提示：连接CE）ADEB4、如图，在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD，求证：DB=DEB ADCEC5、若a、b、c为△ABC的三边，且a+b+c=ab+bc+ca，求证：△ABC是等边三角形。

《等边三角形的判定》课后练习题篇一：等边三角形练习题篇二：《等边三角形》练习题(附答案)《等边三角形》练习题1．（2021?深圳）如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△2．（2021?凉山州）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠5．（2021?随州）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q9．（20xx?天津）如图，A、C、B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③10．（20xx?南宁）如图是一个等边三角形木框，甲虫P在边框AC上爬行（A，C端点除外），设甲虫P到另外两边的距离之和为d，等边三角形ABC的高为h，则d与h的大小关系是12．（20xx?曲靖）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰DF=DE，则∠E=度．14．（2021?日照）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60度．恒成立的结论有 _________ ．（把你认为正确的序号都填上）15．（20xx?扬州）如图，将边长为4的等边△ABC，沿x轴向左平移2个单位后，得到△A′B′C′，则点A′的坐标为．16．（20xx?茂名）如图，正三角形A1B1C1的边长为1，△A1B1C1的三条中位线组成△A2B2C2，△A2B2C2的三条中线又组成△A3B3C3，…，如此类推，得到△AnBnCn．则：（1）△A3B3C3的边长a3=；（2）△AnBnCn的边长an=（其中n为正整数）．17．（20xx?嘉峪关）△ABC为等边三角形， D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且AE=CD=BF，则△DEF为三角形．18．（1999?广州）如图，以A，B两点为其中两个顶点作位置不同的等边三角形，最多可以作出 _________ 个．19．如图所示，P是等边三角形ABC内一点，将△ABP绕点B 顺时针方向旋转60°，得到△CBP′，若PB=3，则PP′= _________ ．20．（2021?浙江）如图，在边长为4的正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，以AD为一边向右作正三角形ADE．（1）求△ABC的面积S；（2）判断AC、DE的位置关系，并给出证明．21．（2021?辽阳）如图，△ABC为正三角形，D为边BA延长线上一点，连接CD，以CD为一边作正三角形CDE，连接AE，判断AE与BC的位置关系，并说明理由．22．（2021?绍兴）附加题，学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题：如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60度．（1）请你完成这道思考题；（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？②若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？③若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，是否仍能得到∠BQM=60°？…请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①_________ ；② _________ ；③23．（20xx?河北）在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立（不用说明理由）．24．（20xx?苏州）已知：如图，正△ABC的边长为a，D为AC边上的一个动点，延长AB至E，使BE=CD，连接DE，交BC于点P．（1）求证：DP=PE；（2）若D为AC的中点，求BP的长．25．（2002?黑龙江）已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC 三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．“若点P在一边BC上（如图1），此时h3=0，可得结论h1+h2+h3=h”请直接应用上述信息解决下列问题：（1）当点P在△ABC内（如图2），（2）点P在△ABC外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，h1、h2、h3与h之间的关系如何？请写出你的猜想，不需证明．26．（2000?河南）如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形．（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB；（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．27．（2021?雅安）如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．（1）求证：AE=BD；（2）求证：MN∥AB．篇三：《等边三角形》练习题(附答案)[1]《等边三角形》练习题1．（2021?深圳）如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△2．（2021?凉山州）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠5．（2021?随州）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q9．（20xx?天津）如图，A、C、B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③10．（20xx?南宁）如图是一个等边三角形木框，甲虫P在边框AC上爬行（A，C端点除外），设甲虫P到另外两边的距离之和为d，等边三角形ABC的高为h，则d与h的大小关系是12．（20xx?曲靖）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰DF=DE，则∠E=度．14．（2021?日照）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60度．恒成立的结论有 _________ ．（把你认为正确的序号都填上）15．（20xx?扬州）如图，将边长为4的等边△ABC，沿x轴向左平移2个单位后，得到△A′B′C′，则点A′的坐标为_________ ．16．（20xx?茂名）如图，正三角形A1B1C1的边长为1，△A1B1C1的三条中位线组成△A2B2C2，△A2B2C2的三条中线又组成△A3B3C3，…，如此类推，得到△AnBnCn．则：（1）△A3B3C3的边长a3=；（2）△AnBnCn的边长an=（其中n为正整数）．17．（20xx?嘉峪关）△ABC为等边三角形， D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且AE=CD=BF，则△DEF为三角形．18．（1999?广州）如图，以A，B两点为其中两个顶点作位置不同的等边三角形，最多可以作出 _________ 个．19．如图所示，P是等边三角形ABC内一点，将△ABP绕点B 顺时针方向旋转60°，得到△CBP′，若PB=3，则PP′= _________ ．20．（2021?浙江）如图，在边长为4的正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，以AD为一边向右作正三角形ADE．（1）求△ABC的面积S；（2）判断AC、DE的位置关系，并给出证明．21．（2021?辽阳）如图，△ABC为正三角形，D为边BA延长线上一点，连接CD，以CD为一边作正三角形CDE，连接AE，判断AE与BC的位置关系，并说明理由．22．（2021?绍兴）附加题，学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题：如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60度．（1）请你完成这道思考题；（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？②若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？③若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，是否仍能得到∠BQM=60°？…请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①_________ ；② _________ ；③23．（20xx?河北）在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立（不用说明理由）．24．（20xx?苏州）已知：如图，正△ABC的边长为a，D为AC边上的一个动点，延长AB至E，使BE=CD，连接DE，交BC于点P．（1）求证：DP=PE；（2）若D为AC的中点，求BP的长．25．（2002?黑龙江）已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC 三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．“若点P在一边BC上（如图1），此时h3=0，可得结论h1+h2+h3=h”请直接应用上述信息解决下列问题：（1）当点P在△ABC内（如图2），（2）点P在△ABC外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，h1、h2、h3与h之间的关系如何？请写出你的猜想，不需证明．26．（2000?河南）如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形．（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB；（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．27．（2021?雅安）如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．（1）求证：AE=BD；（2）求证：MN∥AB．28．（20xx?临沂）如图，已知AD和BC交于点O，且△OAB 和△OCD均为等边三角形，以OD和OB为边作平行四边形ODEB，连接AC、AE和CE，CE和AD相交于点F．求证：△ACE为等边三角形．29．已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．（1）求证：AD=BE；（2）求∠DOE的度数；（3）求证：△MNC是等边三角形．30．如图，等边△ABC的边长为10，点P是边AB的中点，Q 为BC延长线上一点，CQ：BC=1：2，过P作PE⊥AC于E，连PQ交AC边于D，求DE的长？。

α+∠β的度数是（的度数是（ ）A ．180° B ． 220° C ． 240° D ． 300° 2C ．D ． 35．（2010•随州）如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当P A=CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为（的长为（ ） A ． B ． C ． D ． 不能确定能确定 6．（2009•攀枝花）如图所示，在等边△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AB 上，且BD=AE ，AD 与CE 交于点F ，则∠DFC 的度数为（的度数为（ ）A ．60° B ． 45° C ． 40° D ． 30° 7．（2007•绵阳）如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边△ADE ，BE 、CE 分别交AD 于G 、2S 1=S 2 D ． S 1=2S 2《等边三角形》练习题1．（2012•深圳）如图，已知：∠MON=30°，点A 1、A 2、A 3…在射线ON 上，点B 1、B 2、B 3…在射线OM 上，△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4…均为等边三角形，若OA 1=1，则△A 6B 6A 7的边长为（的边长为（） A ．6 B ． 12 C ． 32 D ． 64 2．（2012•凉山州）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个凉山州）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形四边形，则图中∠ 3．（2012•荆门）如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为点Q ．若BF=2，则PE 的长为（的长为（ ） A ． 2 B ． 4．（2011•南平）边长为4的正三角形的高为（的高为（ ）A ．2 B ． 4 C ． D ． 2H ，设△CDH 、△GHE 的面积分别为S 1、S 2，则（，则（） A ． 3S 1=2S 2 B ． 2S 1=3S 2 C ． 8．（2007•娄底）如图，△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中被截成三等分，则图中阴影阴影部分的面积为（部分的面积为（ ）A ． 4cm 2B ． 2cm 2C ． 3cm 2D ． 3cm 230° C ． 45° D ． 60° 13．（2011•茂名）如图，已知△ABC 是等边三角形，点B 、C 、D 、E 在同一直线上，且CG=CD ，DF=DE ，则∠E= _________ 度．度．14．（2008•日照）如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作同侧分别作正正三角形ABC 和正三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ ．以下五个结论：①AD=BE ；②PQ ∥AE ；③AP=BQ ；④DE=DP ；⑤∠AOB=60度．恒成立的结论有度．恒成立的结论有 _________ ．（把你认为正确的序号都填上）（把你认为正确的序号都填上）15．（2005•扬州）如图，将边长为4的等边△ABC ，沿x 轴向左平移2个单位后，得到△A ′B ′C ′，则点A 9．（2006•天津）如图，A 、C 、B 三点在同一条三点在同一条直线直线上，△DAC 和△EBC 都是都是等边三角形等边三角形，AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，有如下结论：①△ACE ≌△DCB ；②CM=CN ；③AC=DN ．其中，正确结论的个数是（．其中，正确结论的个数是（ ） A ． 3个 B ． 2个 C ． 1个 D ． 0个10．（2006•南宁）如图是一个等边三角形木框，甲虫P 在边框AC 上爬行（A ，C 端点除外），设甲虫P 到另外两边的距离之和为d ，等边三角形ABC 的高为h ，则d 与h 的大小关系是（ ）A ． d ＞h B ． d ＜h C ． d =h D ． 无法确定法确定11．（2007•南充）一艘一艘轮船轮船由海平面上A 地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B 地，再由B 地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C 地，则A 、C 两地相距（两地相距（ ） A ． 30海里海里 B ． 40海里海里 C ． 50海里海里 D ． 60海里海里12．（2006•曲靖）如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，将△BCD 沿CD 折叠，B 点恰好落在AB 的中点E 处，则∠A 等于（等于（ ）A ．25° B ．′的坐标为′的坐标为 _________ ．16．（2004•茂名）如图，正三角形A 1B 1C 1的边长为1，△A 1B 1C 1的三条的三条中位线中位线组成△A 2B 2C 2，△A 2B 2C 2的三条的三条中线中线又组成△A 3B 3C 3，…，如此类推，得到△A n B n C n ．则：．则：（1）△A 3B 3C 3的边长a 3= _________ ； （2）△A n B n C n 的边长a n = _________ （其中n 为正为正整数整数）．17．（2006•嘉峪关）△ABC 为等边三角形，为等边三角形，D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，且上，且AE=CD=BF ，则△DEF 为 _________ 三角形．三角形．；②；② _________ ；③；③ _________ ．并对②，③的判断，选择一个给出证明．．并对②，③的判断，选择一个给出证明．18．（1999•广州）如图，以A ，B 两点为其中两个顶点作位置不同的两点为其中两个顶点作位置不同的等边三角形等边三角形，最多可以作出作出 _________个．19．如图所示，P 是等边三角形ABC 内一点，将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转60°，得到△CBP ′，若PB=3，则PP ′= _________ ．20．（2009•浙江）如图，在边长为4的正三角形ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，以AD 为一边向右作正三角形ADE ．（1）求△ABC 的面积S ；（2）判断AC 、DE 的位置关系，并给出证明．的位置关系，并给出证明．21．（2009•辽阳）如图，△ABC 为正三角形，D 为边BA 延长线上一点，连接CD ，以CD 为一边作正三角形CDE ，连接AE ，判断AE 与BC 的位置关系，并说明理由．的位置关系，并说明理由．22．（2008•绍兴）附加题，学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题：一章后，老师布置了一道思考题：如图，点M ，N 分别在正三角形ABC 的BC ，CA 边上，且BM=CN ，AM ，BN 交于点Q ．求证：∠BQM=60度．度．（1）请你完成这道思考题；）请你完成这道思考题；（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如： ①若将题中“BM=CN ”与“∠BQM=60°”的位置的位置交换交换，得到的是否仍是真命题？，得到的是否仍是真命题？②若将题中的点M ，N 分别移动到BC ，CA 的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？ ③若将题中的条件“点M ，N 分别在正三角形ABC 的BC ，CA 边上”改为“点M ，N 分别在正方形ABCD 的BC ，CD 边上”，是否仍能得到∠BQM=60°？…请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①：① _________23．（2007•河北）在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角．一等腰直角边在一条直顶点为F，一条直角边与AC边在一条直所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角线上，另一条直角边恰好经过点B．数量关满足的数量关（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的，然后证明你的猜想；系，然后证明你的猜想；平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，（2）当三角尺沿AC方向方向平移另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；之间满足的数量关系，然后证明你的猜想； （3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立（不用说明理由）．24．（2004•苏州）已知：如图，正△ABC的边长为a，D为AC边上的一个动点，延长AB 至E，使BE=CD，连接DE，交BC于点P．（1）求证：DP=PE；的长．（2）若D为AC的中点，求BP的长．度．． ①②③⑤①②③⑤ ．.16；△ （或2） 17． 等边等边 三角形．18． 2 个．19 PP′= 3 ． 20． 解：（1）在正△ABC 中，AD=4×，（2分）分）∴S=BC ×AD=×4×2=4．（3分）分）（2）AC 、DE 的位置关系：AC ⊥DE ．（1分）分）在△CDF 中，∵∠CDE=90°﹣∠ADE=30°，（2分）分）∴∠CFD=180°﹣∠C ﹣∠CDE=180°﹣60°﹣30°=90°．∴AC ⊥DE ．（3分）分）（注：其它方法酌情给分）．21． E= 15解：AE ∥BC ．理由如下：．理由如下：∵△ABC 与△CDE 为正三角形，∴BC=AC ，CD=CE ，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD ，即∠BCD=∠ACE ，∴△BCD ≌△ACE ，∴∠B=∠EAC ，∵∠B=∠ACB ，∴∠EAC=∠ACB ， ∴AE ∥BC ．22．请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①：① 是 ；②；② 是 ；③；③ 否 ．并对 （1）证明：在△ABM 和△BCN 中，中，，∴△ABM ≌△BCN ，∴∠BAM=∠CBN ，∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60°．（2）①是；②是；③否．）①是；②是；③否．②的证明：如图，②的证明：如图，在△ACM 和△BAN 中，中，，∴△ACM ≌△BAN ，∴∠AMC=∠BNA ，∴∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°﹣60°=120°，∴∠BQM=60°．③的证明：如图，③的证明：如图，中，在Rt△ABM和Rt△BCN中，，∴Rt△ABM≌Rt△BCN，∴∠AMB=∠BNC．又∠NBM+∠BNC=90°，∴∠QBM+∠QMB=90°，∴∠BQM=90°，即∠BQM≠60°．23 解：（1）BF=CG；证明：在△ABF和△ACG中∵∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC ∴△ABF≌△ACG（AAS）∴BF=CG；（2）DE+DF=CG；证明：过点D作DH⊥CG于点H（如图2）∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG ∴四边形EDHG为矩形∴DE=HG，DH∥BG ∴∠GBC=∠HDC ∵AB=AC ∴∠FCD=∠GBC=∠HDC 又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC ∴△FDC≌△HCD（AAS）∴DF=CH ∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG；）仍然成立．（3）仍然成立．证明：过点D作DH⊥CG于点H（如图3）∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG 为矩形，∴四边形EDHG为矩形，∴DE=HG，DH∥BG，∴∠GBC=∠HDC，∵AB=AC，∴∠FCD=∠GBC=∠HDC，又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC，∴△FDC≌△HCD（AAS）∴DF=CH，∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG．24．（1）证明：过点D作DF∥AB，交BC于F．∵△ABC为正三角形，∴∠CDF=∠A=60°．为正三角形．∴△CDF为正三角形．∴DF=CD．又BE=CD，∴BE=DF．又DF∥AB，∴∠PEB=∠PDF．中，∵在△DFP和△EBP中，∵，∴△DFP≌△EBP（AAS）．∴DP=PE．（2）解：由（1）得△DFP≌△EBP，可得FP=BP．∵D为AC中点，DF∥AB，∴BF=BC=a．∴BP=BF=a．25．解：（1）当点P在△ABC内时，结论h1+h2+h3=h仍然成立．仍然成立．理由如下：过点P作BC的平行线，交AB于G，交AC于H，交AM于N，则可得结论h1+h2=AN．∵四边形MNPF是矩形，∴PF=MN，即h3=MN．∴h1+h2+h3=AN+MN=AM=h，即h1+h2+h3=h．（2）当点P在△ABC外时，结论h1+h2+h3=h不成立．此时，它们的关系是h1+h2﹣h3=h．理由如下：过点P作BC的平行线，与AB、AC、AM分别相交于G、H、N，则可得结论h1+h2=AN．是矩形，∵四边形MNPF是矩形，∴PF=MN，即h3=MN．∴h1+h2﹣h3=AN﹣MN=AM=h，即h1+h2﹣h3=h．26．解：（1）当CD22=AC•DB时，△ACP∽△PDB，∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD=∠PDC=60°，∴∠ACP=∠PDB=120°，若CD 2=AC •DB ，由PC=PD=CD 可得：PC •PD=AC •DB ， 即=， 则根据相似三角形的则根据相似三角形的判定定理判定定理得△ACP ∽△PDB （2）当△ACP ∽△PDB 时，∠APC=∠PBD ∵∠PDB=120°∴∠DPB+∠DBP=60°∴∠APC+∠BPD=60°∴∠APB=∠CPD+∠APC+∠BPD=120°即可得∠APB 的度数为120°． 27． 证明：（1）∵△ACD 和△BCE 是等边三角形， ∴AC=DC ，CE=CB ，∠DCA=60°，∠ECB=60°， ∵∠DCA=∠ECB=60°，∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE ，∠ACE=∠DCB ， 在△ACE 与△DCB 中，中，∵，∴△ACE ≌△DCB ，∴AE=BD ；（2）∵由（1）得，△ACE ≌△DCB ，∴∠CAM=∠CDN ，∵∠ACD=∠ECB=60°，而A 、C 、B 三点三点共线共线， ∴∠DCN=60°，在△ACM 与△DCN 中，中，∵，∴△ACM ≌△DCN ，∴MC=NC ，∵∠MCN=60°，∴△MCN 为等边三角形，为等边三角形，∴∠NMC=∠DCN=60°，∴∠NMC=∠DCA ，∴MN ∥AB ．。