2015年中考二次函数中含45度角题组专题

挑战2023年中考数学解答题压轴真题汇编专题04二次函数中角度问题压轴真题训练1．（2022•南充）抛物线y＝x2+bx+c与x轴分别交于点A，B（4，0），与y 轴交于点C（0，﹣4）．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，▱BCPQ顶点P在抛物线上，如果▱BCPQ面积为某值时，符合条件的点P有且只有三个，求点P的坐标．（3）如图2，点M在第二象限的抛物线上，点N在MO延长线上，OM＝2ON，连接BN并延长到点D，使ND＝NB．MD交x轴于点E，∠DEB与∠DBE均为锐角，tan∠DEB＝2tan∠DBE，求点M的坐标．【解答】解：（1）由题意得，，∴，∴y＝﹣；（2）如图1，作直线l∥BC且与抛物线相切于点P1，直线l交y轴于E，作直线m∥BC且直线m到BC的距离等于直线l到BC的距离，∵BC的解析式为y＝x﹣4，∴设直线l的解析式为：y＝x+m，由＝x+m得，x2﹣4x﹣3（m+4）＝0，∵Δ＝0，∴﹣3（m+4）＝4，∴m＝﹣，∴x2﹣4x+4＝0，y＝x﹣，∴x＝2，y＝﹣，∴P1（2，﹣），∵E（0，﹣），C（0，﹣4），∴F（0，﹣4×2﹣（﹣）），即（0，﹣），∴直线m的解析式为：y＝x﹣，∴，∴，，∴P2（2﹣2，﹣2﹣），P3（2+2，2﹣），综上所述：点P（2，﹣）或（2﹣2，﹣2﹣）或（2+2，2﹣）；（3）如图2，作MG⊥x轴于G，作NH⊥x轴于H，作MK⊥DF，交DF的延长线于K，设D点的横坐标为a，∵BN＝DN，∴BD＝2BN，N点的横坐标为：，∴OH＝，∵NH∥DF，∴△BHN∽△BFD，∴，∴DF＝2NH，同理可得：△OMG∽△ONH，∴＝，∴MG＝2NH，OG＝2OH＝a+4，∴KF＝MG＝DF，∵tan∠DEB＝2tan∠DBE∴＝2•，∴EF＝，∵BF＝4﹣a，∴EF＝，∵EF∥MK，∴△DEF∽△DMK，∴＝，∴，∴a＝0，∴OG＝a+4＝4，∴G（﹣4，0），当x＝﹣4时，y＝﹣﹣4＝，∴M（﹣4，）．2．（2022•益阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P在抛物线F：y＝ax2上，直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B．（1）求a的值；（2）将A，B的纵坐标分别记为y A，y B，设s＝y A﹣y B，若s的最大值为4，则m的值是多少？（3）Q是x轴的正半轴上一点，且PQ的中点M恰好在抛物线F上．试探究：此时无论m为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点G，使∠PQG总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意可知，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P的坐标为（m，2m2），∵点P在抛物线F：y＝ax2上，∴am2＝2m2，∴a＝2．（2）∵直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B，∴y A＝﹣（t﹣m）2+2m2＝﹣t2+2mt+m2，y B＝2t2，∴s＝y A﹣y B＝﹣t2+2mt+m2﹣2t2＝﹣3t2+2mt+m2＝﹣3（t﹣m）2+m2，∵﹣3＜0，∴当t＝m时，s的最大值为m2，∵s的最大值为4，∴m2＝4，解得m＝±，∵m＜0，∴m＝﹣．（3）存在，理由如下：设点M的横坐标为n，则M（n，2n2），∴Q（2n﹣m，4n2﹣2m2），∵点Q在x轴正半轴上，∴2n﹣m＞0且4n2﹣2m2＝0，∴n＝﹣m，∴M（﹣m，m2），Q（﹣m﹣m，0）．如图，过点Q作x轴的垂线KN，分别过点P，G作x轴的平行线，与KN分别交于K，N，∴∠K＝∠N＝90°，∠QPK+∠PQK＝90°，∵∠PQG＝90°，∴∠PQK+∠GQN＝90°，∴∠QPK＝∠GQN，∴△PKQ∽△QNG，∴PK：QN＝KQ：GN，即PK•GN＝KQ•QN．∵PK＝﹣m﹣m﹣m＝﹣m﹣2m，KQ＝2m2，GN＝﹣m﹣m，∴（﹣m﹣2m）（﹣m﹣m）＝2m2•QN解得QN＝．∴G（0，﹣）．3．（2022•西宁）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，点C在直线AB上，过点C作CD⊥x轴于点D（1，0），将△ACD 沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处．（1）求抛物线解析式；（2）连接BE，求△BCE的面积；（3）抛物线上是否存在一点P，使∠PEA＝∠BAE？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处，点A的坐标为（3，0），点D的坐标为（1，0），∴点E的坐标为（﹣1，0）．将A（3，0），E（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+3，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）当x＝0时，y＝﹣1×02+2×0+3＝3，∴点B的坐标为（0，3）．设直线AB的解析式为y＝mx+n（m≠0），将A（3，0），B（0，3）代入y＝mx+n，得：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3．∵点C在直线AB上，CD⊥x轴于点D（1，0），当x＝1时，y＝﹣1×1+3＝2，∴点C的坐标为（1，2）．∵点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（1，2），点E的坐标为（﹣1，0），∴AE＝4，OB＝3，CD＝2，＝S△ABE﹣S△ACE＝AE•OB﹣AE•CD＝×4×3﹣×4×2＝2，∴S△BCE∴△BCE的面积为2．（3）存在，理由如下：∵点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，3），∴OA＝OB＝3．在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB，∴∠BAE＝45°.∵点P在抛物线上，∴设点P的坐标为（m，﹣m2+2m+3）．①当点P在x轴上方时记为P1，过点P1作P1M⊥x轴于点M，在Rt△EMP1中，∠P1EA＝45°，∠P1ME＝90°，∴EM＝P1M，即m﹣（﹣1）＝﹣m2+2m+3，解得：m1＝﹣1（不合题意，舍去），m2＝2，∴点P1的坐标为（2，3）；②当点P在x轴下方时记为P2，过点P2作P2N⊥x轴于点N，在Rt△ENP2中，∠P2EN＝45°，∠P2NE＝90°，∴EN＝P2N，即m﹣（﹣1）＝﹣（﹣m2+2m+3），解得：m1＝﹣1（不合题意，舍去），m2＝4，∴点P2的坐标为（4，﹣5）．综上所述，抛物线上存在一点P，使∠PEA＝∠BAE，点P的坐标为（2，3）或（4，﹣5）．4．（2022•湖北）抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．（1）直接写出点B和点D的坐标；（2）如图1，连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO＝时，求点P的坐标；（3）如图2，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0＜m＜5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E．设△BEQ和△BEM的面积分别为S1和S2，求的最大值．【解答】解：（1）令y＝x2﹣4x＝x，解得x＝0或x＝5，∴B（5，5）；∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，∴顶点D（2，﹣4）．（2）如图，过点D作DE⊥y轴于点E，∴DE＝2，OE＝4，∴tan∠DOE＝，∵tan∠PDO＝，∴∠DOE＝∠PDO，①当点P在线段OD的右侧时，DP∥y轴，如图，∴P（2，0）；②当点P在线段OD左侧时，设直线DP与y轴交于点G，则△ODG是等腰三角形，∴OG＝DG，设OG＝t，则DG＝t，GE＝4﹣t，在Rt△DGE中，t2＝22+（4﹣t）2，解得t＝，∴G（0，﹣），∴直线DG的解析式为：y＝﹣x﹣，令y＝0，则﹣x﹣＝0，解得x＝﹣，∴P（﹣，0）．综上，点P的坐标为（2，0）或（﹣，0）．（3）∵点B（5，5）与点M关于对称轴x＝2对称，∴M（﹣1，5）．如图，分别过点M，Q作y轴的平行线，交直线OB于点N，K，∴N（﹣1，﹣1），MN＝6，∵点Q横坐标为m，∴Q（m，m2﹣4m），K（m，m），∴KQ＝m﹣（m2﹣4m）＝﹣m2+5m．∵S1＝QK（x B﹣x E），S2＝MN（x B﹣x E），∴＝＝﹣（m2﹣5m）＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴当m＝时，的最大值为．提示：本题也可分别过点M，Q作BO的垂线，用m分别表示高线，再求比，也可得出结论．5．（2022•苏州）如图，二次函数y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．（1）求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求∠OBC的度数；（2）若∠ACO＝∠CBD，求m的值；（3）若在第四象限内二次函数y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象上，始终存在一点P，使得∠ACP＝75°，请结合函数的图象，直接写出m的取值范围．【解答】解：（1）当y＝0时，﹣x2+2mx+2m+1＝0，解方程，得x1＝﹣1，x2＝2m+1，∵点A在点B的左侧，且m＞0，∴A（﹣1，0），B（2m+1，0），当x＝0时，y＝2m+1，∴C（0，2m+1），∴OB＝OC＝2m+1，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝45°；（2）如图1中，连接AE．∵y＝﹣x2+2mx+2m+1＝﹣（x﹣m）2+（m+1）2，∴D（m，（m+1）2），F（m，0），∴DF＝（m+1）2，OF＝m，BF＝m+1，∵A，B关于对称轴对称，∴AE＝BE，∴∠EAB＝∠OBC＝45°，∵∠ACO＝∠CBD，∠OCB＝∠OBC，∴∠ACO+∠OCB＝∠CBD+∠OBC，即∠ACE＝∠DBF，∵EF∥OC，∴tan∠ACE＝＝＝＝，∴＝m+1，∴m＝1或﹣1，∵m＞0，∴m＝1；（3）如图，设PC交x轴于点Q．当点P在第四象限时，点Q总是在点B的左侧，此时∠CQA＞∠CBA，即∠CQA＞45°，∵∠ACQ＝75°，∴∠CAO＜60°，∴2m+1＜，∴m＜，又∵∠CAQ＞15°，同法可得m＞，∵m＞0，∴0＜m＜．6．（2022•黄石）如图，抛物线y＝﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．（1）A，B，C三点的坐标为，，．（2）连接AP，交线段BC于点D，①当CP与x轴平行时，求的值；②当CP与x轴不平行时，求的最大值；（3）连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m 的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）令x＝0，则y＝4，∴C（0，4）；令y＝0，则﹣x2+x+4＝0，∴x＝﹣2或x＝3，∴A（﹣2，0），B（3，0）．故答案为：（﹣2，0）；（3，0）；（0，4）．（2）①∵CP∥x轴，C（0，4），∴P（1，4），∴CP＝1，AB＝5，∵CP∥x轴，∴＝＝．②如图，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，设点P的横坐标为m，则P（m，﹣m2+m+4），Q（m2﹣m，﹣m2+m+4）．∴PQ＝m﹣（m2﹣m）＝﹣m2+m，∵PQ∥AB，∴＝＝＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝时，的最大值为．另解：分别过点P，A作y轴的平行线，交直线BC于两点，仿照以上解法即可求解．（3）假设存在点P使得∠BCO+2∠BCP＝90°，即0＜m＜3．过点C作CF∥x轴交抛物线于点F，∵∠BCO+2∠PCB＝90°，∠BCO+∠BCM+∠MCF＝90°，∴∠MCF＝∠BCP，延长CP交x轴于点M，∵CF∥x轴，∴∠PCF＝∠BMC，∴∠BCP＝∠BMC，∴△CBM为等腰三角形，∵BC＝5，∴BM＝5，OM＝8，∴M（8，0），∴直线CM的解析式为：y＝﹣x+4，令﹣x2+x+4＝﹣x+4，解得x＝或x＝0（舍），∴存在点P满足题意，此时m＝．7．（2022•锦州）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（3，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）D是直线AC上方抛物线上一动点，连接OD交AC于点N，当的值最大时，求点D的坐标；（3）P为抛物线上一点，连接CP，过点P作PQ⊥CP交抛物线对称轴于点Q，当tan∠PCQ＝时，请直接写出点P的横坐标．【解答】解：（1）把点A（3，0）和B（﹣1，0）代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）过点D作DH∥y轴，交AC于点H，如图所示：设D（m，﹣m2+2m+3），直线AC的解析式为y＝kx+b，由（1）可得：C（0，3），∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，∴H（m，﹣m+3），∴DH＝﹣m2+3m，∵DH∥y轴，∴△OCN∽△DHN，∴，∵，∴当时，的值最大，∴；（3）由题意可得如图所示：过点P作y轴的平行线PH，分别过点C、Q作CG⊥PH于G，QH⊥PH于H，∵PQ⊥CP，∴∠CPQ＝∠CGP＝∠PHQ＝90°，∴∠CPG+∠PCG＝∠CPG+∠QPH＝90°，∴∠PCG＝∠QPH，∴△PCG∽△QPH，∴，∵，∴，设点P（n，﹣n2+2n+3），由题意可知：抛物线的对称轴为直线x＝1，C（0，3），∴QH＝|n﹣1|，PG＝|﹣n2+2n|，∴，当时，解得：，当时，解得：综上：点P的横坐标为或或或．8．（2022•西宁）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，点C在直线AB上，过点C作CD⊥x轴于点D（1，0），将△ACD 沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处．（1）求抛物线解析式；（2）连接BE，求△BCE的面积；（3）抛物线上是否存在一点P，使∠PEA＝∠BAE？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处，点A的坐标为（3，0），点D的坐标为（1，0），∴点E的坐标为（﹣1，0）．将A（3，0），E（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+3，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）当x＝0时，y＝﹣1×02+2×0+3＝3，∴点B的坐标为（0，3）．设直线AB的解析式为y＝mx+n（m≠0），将A（3，0），B（0，3）代入y＝mx+n，得：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3．∵点C在直线AB上，CD⊥x轴于点D（1，0），当x＝1时，y＝﹣1×1+3＝2，∴点C的坐标为（1，2）．∵点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（1，2），点E的坐标为（﹣1，0），∴AE＝4，OB＝3，CD＝2，＝S△ABE﹣S△ACE＝AE•OB﹣AE•CD＝×4×3﹣×4×2＝2，∴S△BCE∴△BCE的面积为2．（3）存在，理由如下：∵点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，3），∴OA＝OB＝3．在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB，∴∠BAE＝45°.∵点P在抛物线上，∴设点P的坐标为（m，﹣m2+2m+3）．①当点P在x轴上方时记为P1，过点P1作P1M⊥x轴于点M，在Rt△EMP1中，∠P1EA＝45°，∠P1ME＝90°，∴EM＝P1M，即m﹣（﹣1）＝﹣m2+2m+3，解得：m1＝﹣1（不合题意，舍去），m2＝2，∴点P1的坐标为（2，3）；②当点P在x轴下方时记为P2，过点P2作P2N⊥x轴于点N，在Rt△ENP2中，∠P2EN＝45°，∠P2NE＝90°，∴EN＝P2N，即m﹣（﹣1）＝﹣（﹣m2+2m+3），解得：m1＝﹣1（不合题意，舍去），m2＝4，∴点P2的坐标为（4，﹣5）．综上所述，抛物线上存在一点P，使∠PEA＝∠BAE，点P的坐标为（2，3）或（4，﹣5）．9．（2022•盘锦）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（4，0）两点（A 在B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣4）．点P在抛物线上，连接BC，BP．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P在第四象限，点D在线段BC上，连接PD并延长交x 轴于点E，连接CE，记△DCE的面积为S1，△DBP的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；（3）如图2，若点P在第二象限，点F为抛物线的顶点，抛物线的对称轴l 与线段BC交于点G，当∠PBC+∠CFG＝90°时，求点P的横坐标．【解答】解：（1）将B（4，0）、C（0，﹣4）两点代入y＝x2+bx+c得，，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4；（2）方法一：由y＝x2﹣3x﹣4可得，A（﹣1，0），设点P（m，m2﹣3m﹣4），则，，＝S1+S△BDE，S△BPE＝S2+S△BDE，S1＝S2，∵S△BCE＝S△BPE，∴S△BCE∴，解得：m1＝3，m2＝0（舍去），∴P（3，﹣4）；方法二：∵S1＝S2，＝S△CBE，∴S△PBE∴PC∥x轴，∴点P与C关于对称轴x＝对称，∴P（3，﹣4）；（3）如图，作CE⊥l于E，PQ⊥BC于Q，PN⊥x轴于N，连接PC交x轴于点H，设P（n，n2﹣3n﹣4），PC的表达式为：y＝kx+d（k≠0），将P，C代入y＝kx+d（k≠0）得，，解得：，∴PC的表达式为：y＝（n﹣3）x﹣4，将y＝0代入y＝（n﹣3）x﹣4得，0＝（n﹣3）x﹣4，即，∴，＝S△PHB+S△HCB，∵S△PCB∴PQ•BC＝PN•HB+OC•HB，∵BC＝＝，∴，∵，由题可知，，∴，将代入y＝x2﹣3x﹣4得，，∴，∴，∵∠PBC+∠CFG＝90°，PQ⊥BC，CE⊥l，∴∠PBQ＝∠FCE，∠CEF＝∠PQB，∴△CEF∽△PQB，∴，∴，解得：（舍去）．∴点P的横坐标为﹣，方法二：将CF绕点F顺时针旋转90°得C'，连接CC'，作CE⊥l于E，求出点C'（），从而求出直线CC'的解析式，∴∠ECF＝∠BCC'＝∠PBC，∴BP∥CC'，求出直线BP的解析式与抛物线求交点即可．10．（2022•新市区校级三模）综合与探究如图，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），与y 轴交于点C，连接BC．（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；（2）点P是抛物线对称轴上一点，点Q为平面内一点，当以点B、C、P、Q 为顶点的四边形是以BC为边的矩形时，请直接写出点P的坐标；（3）点D是第四象限内抛物线上一动点，当∠BCD＝2∠ABC时，求点D的坐标．【解答】解：（1）由题意得：y＝（x+1）（x﹣4）＝x2﹣x﹣2；当x＝0时，y＝﹣2，即点C（0，﹣2）；（2）以点B、C、P、Q为顶点的四边形是以BC为边的矩形时，如下图，分点P在BC上方和下方两种情况，当点P在BC的上方时，设抛物线的对称轴交x轴于点H，∵∠OBC+∠PBH＝90°，∠HPB+∠PBH＝90°，∴∠OBC＝∠HPB，∴∠OBC＝∠HPB＝，解得：PH＝5，即点P（，5）；当点P在BC的下方时，过点P作PH⊥y轴于点H，同理可得：tan∠HCP＝tan∠OBC＝，即，即，解得：HC＝3，则OH＝5，即点P（，﹣5）；综上，点P的坐标为：（，5）或（，﹣5）；（3）作点C关于x轴的对称点E（0，2），则∠CBE＝2∠ABC＝∠BCD，∴BE∥CD，设直线BE的表达式为：y＝kx+2，将点B的坐标代入上式得：0＝4k+2，解得：k＝﹣；∵BE∥CD，故设直线CD的表达式为：y＝﹣x+t，由点C的坐标知，t＝﹣2，即直线CD的表达式为：y＝﹣x﹣2，联立y＝x2﹣x﹣2和y＝﹣x﹣2，并解得：x＝0（舍去）或2，即点D（2，﹣3）．。

二次函数中的角度问题(4大题型)专练通用的解题思路：1、角的数量关系处理的一般方法如下：(1)证等角：常运用等腰三角形两底角相等，等角的余角相等，等角的补角相等、全等三角形和相似三角形的对应角相等及两角的锐角三角函数值相等，等等； (2)证二倍角：常构造辅助圆，利用圆周角定理； (3)证和差角：常旋转、翻折、平移构造角．2.特殊角问题处理的一般方法如下： (1)运用三角函数值；(2)遇45°构造等腰直角三角形； (3)遇30°，60°构造等边三角形； (4)遇90°构造直角三角形．题型一：角相等问题对于二次函数中的角相等问题，首选方法是利用等角的三角比解决问题(利用一线三等角模型或者拆分特殊角来发现等角)，其次选择利用相似三角形中的比例线段解决问题。

二次函数中的角相等问题比较灵活，在遇到具体问题时具体分析，合理构造等角，解决问题。

1(2024·山西太原·三模)综合与探究如图1，经过原点O 的抛物线y =-2x 2+8x 与x 轴的另一个交点为A ，直线l 与抛物线交于A ，B 两点，已知点B 的横坐标为1，点M 为抛物线上一动点．(1)求出A ，B 两点的坐标及直线l 的函数表达式．(2)如图2，若点M 是直线l 上方的抛物线上的一个动点，直线OM 交直线l 于点C ，设点M 的横坐标为m ，求MC OC的最大值．(3)如图3，连接OB ，抛物线上是否存在一点M ，使得∠MOA =∠BAO ，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．2(23-24九年级下·内蒙古赤峰·阶段练习)在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，顶点为D．(1)请直接写出A、B、D三点坐标．(2)如图1，点M是第四象限内抛物线上的一点，过点M作x轴的垂线，交直线BC于点N，求线段MN长度的最大值；(3)如图2，若点P在抛物线上且满足∠PCB=∠CBD，求点P的坐标；3(23-24九年级下·湖南永州·开学考试)综合与探究．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=-23x2+43x+2的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接BC．(1)求A，B，C三点的坐标；(2)若点P是x轴上一点，当△BCP为等腰三角形时，求点P的坐标；(3)点Q是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点Q使∠QCB=∠ABC？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4(2024·上海嘉定·二模)在平面直角坐标系xOy(如图)中，已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1,0)、B(-2,3)两点，与y轴的交点为C点，对称轴为直线l．(1)求此抛物线的表达式；(2)已知以点C为圆心，半径为CB的圆记作圆C，以点A为圆心的圆记作圆A，如果圆A与圆C外切，试判断对称轴直线l与圆A的位置关系，请说明理由；(3)已知点D在y轴的正半轴上，且在点C的上方，如果∠BDC=∠BAC，请求出点D的坐标．5(2023·海南·模拟预测)如图1，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，与y 轴交于点C(0,3)．直线y=x+1与抛物线交于A，D两点．点P是抛物线上一动点．(1)求该抛物线的表达式及点D的坐标；(2)当点P的坐标为(1,4)时，求四边形PCAD的面积；(3)抛物线上是否存在点P，使∠BAP=∠CAD？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；(4)如图2，点M、N是对称轴上的两个动点，且MN=1，点M在点N的上方，求四边形ACMN的周长的最小值．6(2024·上海静安·二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于直线x=52对称，且经过点A(0,3)和点B(3,0)，横坐标为4的点C在此抛物线上．(1)求该抛物线的表达式；(2)联结AB、BC、AC，求tan∠BAC的值；(3)如果点P在对称轴右方的抛物线上，且∠PAC=45°，过点P作PQ⊥y轴，垂足为Q，请说明∠APQ=∠BAC，并求点P的坐标．7(2024·广西·一模)如图，已知抛物线y =-13x 2+bx +c 交x 轴于A -3,0 ，B 4,0 两点，交y 轴于点C ，P 是抛物线上一点，连接AC 、BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)连接OP ，BP ，若S △BOP =2S △AOC ，求点P 的坐标；(3)若∠PBA =∠ACO ，直接写出点P 的坐标．8(2024·山东济南·一模)如图，二次函数y =x ²-2mx -2m -1(m >0). 的图象与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，顶点为D ，其对称轴与线段BC 交于点E ，与x 轴交于点F ．连接AC 、BD ．(1)若m =1,，求B 点和C 点坐标；(2)若∠ACO =∠CBD ,求m 的值；(3)若在第一象限内二次函数y =x ²-2mx -2m -1(m >0)的图象上，始终存在一点P ，使得∠ACP =75°.请结合函数的图象，直接写出m 的范围．9(2024·广东·一模)综合应用．如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y =-23x 2+43x +2的图象与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B的左侧)，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求A ，B ，C 三点的坐标，并直接写出直线BC 的函数表达式；(2)点P 是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点P 使∠PCB =∠ABC ？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，作出该二次函数图象的对称轴直线l，交x轴于点D．若点M是二次函数图象上一动点，且点M始终位于x轴上方，作直线AM，BM，分别交l于点E，F，在点M的运动过程中，DE+DF的值是否为定值？若是，请直接写出该定值；若不是，请说明理由．10(2024·江苏宿迁·二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A、B、C三点，已知A-1,0，B3,0．，C0,3(1)求抛物线的函数表达式；(2)点P是抛物线上任意一点，若∠PBC=∠ACO，求点P的坐标；(3)点M是抛物线上任意一点，若以M、B、C为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点M的坐标．题型二：二倍角关系问题对于平面直角坐标系中的二倍角问题，往往将其转化成等角问题。

专题15 二次函数的应用?解读考点
知识点名师点晴
二次函数的应用
1.实际背景下二次函数的关系
会运用二次函数的性质求函数的最大值或最小值来解决最优
化问题。

2.将实际问题转化为数学中二
次函数问题
会根据具体情景，建立适当的平面直角坐标系。

3.利用二次函数来解决实际问题
的基本思路
（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数
表达式表示出它们的关系；（4）利用二次函数的有关性质进
行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展。

?2年中考
【2015年题组】
1．）如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（）A．60m2 B．63m2 C．64m2 D．66m2
【答案】C．
考点：1．二次函数的应用；2．应用题；3．二次函数的最值；4．二次函数的最值．
2．河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函
数的关系式为
2
1
25
y x
，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（）
A．﹣20m B．10m C．20m D．﹣10m 【答案】C．
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tan∠NAM= =2．
∴∠BCP＝∠NAM．即∠ACB＝∠MAB．
例2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线 经过点N（2,－5），过点N作x轴的平行线交此抛物线左侧于点M，MN=6.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P（x,y）为此抛物线上一动点，连接MP交此抛物线的对称轴于点D，当△DMN为直角三角形时，求点P的坐标；
使得∠QMN=∠CNM.
①若点Q在MN上方，过点Q作QH⊥MN，
交MN于点H，则 .
即 .
解得 ， （舍）.
∴ （ ，3）. ……………………………7分
②若点Q在MN下方，
同理可得 （6， ）. …………………8分
例3、平面直角坐标系xOy中，抛物线 与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴交于点C，点A的坐标为(1, 0)，OB=OC，抛物线的顶点为D．
（3）设此抛物线与y轴交于点C，在此抛物线上是否存在点Q，使∠QMN=∠CNM？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】解：（1）∵ 过点M、N（2，－5）， ，
由题意，得M（ ， ）.
∴
解得
∴此抛物线的解析式为 . …………………………………2分
（2）设抛物线的对称轴 交MN于点G，
若△DMN为直角三角形，则 .
∵直线y=x+2与抛物线交于点D、E，与抛物线的对称轴交于点F，
∴F、D两点的坐标分别为F（3，5），D（-2，0）．
设抛物线的对称轴与x轴的交点为M，
可得CM=FM=MD=5，
∴F、D、C三点在以M为圆心，半径为5的圆上．
∴∠DCF= ∠DMF=45°．
（3）由抛物线解析式可知，抛物线顶点坐标为G（3，- ）
则有 ， ， ，Q，B， 三点在一条直线上．