第四章频域分析_4

arctan T
第四章 频率特性 • uo(t)表达式中第一项是瞬态分量，第二项是稳态 分量。显然上述RC电路的稳态响应为
lim uo (t )
t
U
2 2
1 T 1 1 U sin t 1 jT 1 jT
sin(t )
第四章 频率特性 应用频率特性分析系统性能的基本思路： 实际施加于控制系统的周期或非周期信号 都可表示成由许多谐波分量组成的傅立叶 级数或用傅立叶积分表示的连续频谱函数， 因此根据控制系统对于正弦谐波函数这类 典型信号的响应可以推算出它在任意周期 信号或非周期信号作用下的运动情况。
第四章 频率特性 频率特性的物理意义：频率特性表征了系 统或元件对不同频率正弦输入的响应特性； ()大于零时称为相角超前，小于零时称 为相角滞后。
由若干典型环节的频率特性组成的。
• 本节介绍六种常用的典型环节。
第四章 频率特性 4.2.1 典型环节的极坐标图 1 比例环节
G( s ) K
比例环节的奈氏图
G( j ) K
G( j) K U jV A e j
式中 U ( ) K －实频特性；
频率特性分别为：
G( j ) j G( j ) 1 j G( j ) 1 2 2 j 2
第四章 频率特性 ① 纯微分环节：G ( j ) j
纯微分环节的奈氏图
U ( ) 0 V ( )
e j (t G ( j )) e j (t G ( j )) R | G ( j ) | 2j R | G ( j ) | sin(t G ( j )) Ac sin(t )
式中，稳态输出的振幅和相位分别为

t ← ← ←第四章 连续时间系统的频域分析第三章中借助于傅里叶级数、傅里叶积分变换对周期及非周期信号的频谱进行了讨论。

利用 上面讨论所得结论，本章将对 LTI 系统进行频域分析。

LTI 系统的频域分析法是一种变换域分析法，即把时域中求解响应问题通过傅里叶级数或傅 里叶变换转换到频域之中，求解后再回到时域，从而得到最终结果。

采用傅里叶变换的方法对系统进行分析的目的，一方面是使一些系统分析问题得以简化，而 更重要的是接受一种变换的方法，真正体会时频变换在分析 L TI 系统中是一种不可替代的有效方 法，有了这种方法使得许多有实际意义的物理过程变得可能。

4.1 系统函数由 LTI 系统的时域分析可知，当输入信号为 x (t ) ，系统单位冲激响应为 h (t ) 时，其系统零状态响应 y zs ( )= x (t ) * h (t ) 。

由傅里叶变换的时域卷积定理，对上式两端同时取傅里叶变换可有F [y zs (t )]= F [x (t )]⋅ F [h (t )]Y zs ( j ω) = X ( j ω) ⋅ H ( j ω)其中 x (t ) −→ X ( j ω) ， y zs (t ) −→Y zs (j ω )， h (t ) −→ H (j ω)。

由(4.1)式可定义系统函数为(4.1)H (j ω )=Y zs (j ω )X (j ω )（4.2）(4.2)式说明 H ( j ω) 是频率 ω 的函数，故又称之为系统的频率响应函数。

一般情况下， H (j ω)是 一个复函数，因此可有H (j ω )= H (j ω )e j φ(ω)（4.3）其中， H (j ω) 为系统的响应幅度与激励幅度之比，称之为幅频特性函数，而φ(ω )则描述了系统响应与激励的相位关系，称之为相频特性函数。

由(4.2)系统函数的定义式可知，系统函数 H (j ω)反映系统自身的特性。

它由系统结构及参数 来决定，而与系统的外加激励及系统的初始状态无关。

h
(
)

t
0

线性相位
无失真传输
信号幅度不失真
信号放大、时延， 波形不失真
y(t) Kx(t t0 )
线性相位，波形 不失真
h ()
Y () KX ()e j t0
K H()

x(t)
Kx(t t0 )
t0
H ()
t
h ()
无失真传输的频域条件：
X ()
H ( )
Y ( )

×
k
2
＝
kπ/2
-3 -2 -1 0 1 2 3
-ωc
0 ωc
-ωc -1 0 1 ωc
根据以上图示，分三种情况讨论Y(ω)
(1) c 3
X () H()
Байду номын сангаас

2
- ωc -3 -2 -1 0
1 2 3 ωc
输入信号的频带完全被包含在低通滤 波器的通带内，有
系统的幅频特性是一个与频率无关的常 数，即在全部频带内，系统都具有恒定 的放大倍数
系统的相频特性与频率成线性关系。且 信号通过系统的延迟时间t0就是系统相频 特性 h () 斜率的负值，即
t0

dh () d
3、理想低通滤波器
H
()

1ge 0
jt0
H() 1

c
Sa[c (t
t0 )]
h(t)
c

0
t0

[例3] 求信号x(t)=Sa(t)cos(2t) 通过理想低通滤 波器（设通带内的放大倍数为k）后的输出响应。

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第4章 频率特性分析
频率响应：线性定常系统在谐波输入作用下的稳态响应
例4-1：设系统的传递函数为 G(s) K
Ts 1
若输入信号为： xi (t) Xi sin t 即
则
X
o
(s)

G(s)
X
i
(s)

K Ts 1

X i s2
2
Xi (s)
Xi
相频特性：稳态输出与输入谐波的相位差 ( )
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第4章 频率特性分析
频率特性：对系统频率响应特性的描述（频域中的数学模型）
频率特性
幅频特性：稳态输出与输入谐波的幅值比，
即 A() Xo ()
Xi
相频特性：稳态输出与输入谐波的相位差 ( )
图4-3 频率特性的极坐标表示
与正实轴的夹角，逆时针为正
2. 频率特性的极坐标图（Nyquist图）：
从0→∞时，G(j)端点的轨迹
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图4-5 频率特性极坐标图
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4.2 频率特性的Nyquist图
第4章 频率特性分析
频率特性的极坐标图称为Nyquist图，也称幅相频率特性图
同频率
幅值比 A() 相位差 ( )
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ω的非线性函数 （揭示了系统的频率响应特性）
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第4章 频率特性分析
频率特性：对系统频率响应特性的描述（频域中的数学模型）