第四章：连续系统的频域分析

f (t ) =
n = −∞
jnΩt F e ∑ n
∞
其功率信号显然为
∞ 1 1 P = ∫ f 2 (t )dt = ∫ | f (t ) |2 dt = ∑ | Fn |2 T T n=−∞
⎛ A0 ⎞ ∞ 1 2 = ⎜ ⎟ + ∑ An ⎝ 2 ⎠ n=1 2
2
§4.4 非周期信号的频谱
一 傅里叶变换
|F n| 2 1.5 1 0.4 1 1.5 1 0.4
4π 5π 6π
0.2
0.2
π
2π 3π
－
6π－5π
－ 4 π － 3 π － 2 π －π o
(a )
ω
ϕ
45° 30° 15°
n
45° 30° 20° 10°
π
－ 6 π － 5 π － 4 π － 3 π － 2 π －π
o
2π
3π
4π
二 傅里叶级数的指数形式
f (t) = F0 + F1e jΩt + F2e j 2Ωt +L+ F−1e− jΩt + F−2e
− j 2Ωt
+ L=
n=−∞
∑F e
n
∞
jnΩt
其中：
∫ F= ∫
n
t0 +T
t0 t0 +T
t0
1 t0 +T − jnΩt = ∫ f (t) ⋅ e dt t0 jnΩt jnΩt T e ⋅ e dt
山东科技大&Systems
主讲人：郭银景
第四章 连续系统的频域分析
目录
4.1信号分解为正交函数 4.2傅里叶级数 4.3周期信号的频谱 4.4非周期信号的频谱 4.5傅里叶变换的性质 4.6周期信号的傅里叶变换 4.7LTI系统的频域分析 4.8取样定理
f (t) 1 eαt o
(a) 双边指数函数；
α
e£-αt (α＞0) t
2
F(jω)
o
(b) 频谱
ω
解：双边指数信号可表示为
f (t) =
其频谱函数为
{
0
e−αt，t >0 eαt，t <0
(a > o)
+∞
F( jω) = ∫ e e
−∞
αt − jωt
dt + ∫ e−αt e− jωt dt
⎫ ⎪ ⎬ f ( t ) sin ω tdt ⎪ ⎭
F ( jω) = F (ω)e jϕ (ω ) = R(ω) + jX (ω)
存在下列关系： ⎧ F (ω ) = R 2 (ω ) + X 2 (ω ) ⎪ X (ω ) ⎪ ⎪ ϕ (ω ) = a r c t a n ⎨ R (ω ) ⎪ ⎪ R (ω ) = F (ω ) c o s ϕ (ω ) ⎪ ⎩ X (ω ) = F (ω ) s i n ϕ (ω )
a0 = 0
an = 0 4 T bn = ∫ 2 f (t ) sin nΩtdt T 0
当 f (t ) 为t的偶函数时，由于 f (t ) cos nΩt 为t的偶函数， f (t ) sin nΩt 为t的奇函数，有 4 T a 0 = ∫ 2 f ( t )dt T 0 4 T a n = ∫ 2 f ( t ) cos n Ω tdt T 0 bn = 0
§４.2 傅里叶级数
一 傅里叶级数的三角形式 设周期信号 f ( t ) ，其周期为T，角频Ω=2π/T，当满足狄 里赫利( D irich et)条件时，它可分解为如下三角级数—— 称为 f ( t ) 的傅里叶级数 ∞ f (t ) = a0 + ∑ (an cos nΩt + bn sin nΩt )
三 典型信号的傅里叶变换 1.门函数gτ (t)，幅度为1,宽度为τ.
gτ (t)
1
τ
t
F ( jω )
τ Sa(
ωτ
2
)
−
τ
2
0
τ
2
-
2π
1
gτ (t+mT)
τ
0
2π
τ
2π
Fn
τ
ω
τ Sa( ωτ
2 )
τ
2π
T
-T
0
+∞
T t
F ( jω ) = ∫
−∞
f (t )e
− jωt
dt = ∫ τ2 e
∫
+∞ −∞
f (t )e −
jω t
jω t
dt
∫
+∞ 0
e −α t ⋅ e −
dt
= 1 /(α + jω ). α > 0
函数与频谱特点： 若 f (t ) 是t的偶函数 → F(jω)是的实函数; 若 f (t ) 是t的奇函数 → F(jω)是的虚函数; 若 f (t ) 非奇非偶 → F(jω)为复函数, 用幅度和相位才能表示。 3.双边指数函数的频谱函数
5π
6π
ω
－10° －20° －30° －45°
(b )
－15° －30° －45°
图４.３－1：信号的双边频谱 (a) 振幅谱； (b) 相位谱
二 周期信号频谱的特点
A
A0 2
n
谱线
0
2Ω
4Ω
6Ω
8Ω
ω
离散性；谐波性（是基波频率的整数倍）。
第一为离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条 谱线代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离 散谱。 第二为谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波 频率Ω的整数倍频率上，即含有Ω的各次谐波分量，而 决不含有非Ω的谐波分量。 第三为收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随 nΩ 的变化有起伏变化，但总的趋势是随着 nΩ 的增大而 逐渐减小。当 nΩ→∞时，|Fn|→0。
f (t) ⋅ e
jnΩt
dt
jn Ω t 指数信号( )之和。 e 每个分量的大小用Fn来表示，分为幅度和相位。 例4.2-１ 把锯齿波信号展为傅里叶级数。
物理意义：周期信号可分解为许多不同频率(nΩ)的虚
f (t ) = t / T
1
−T
0
T
2T
§4.3 周期信号的频谱
一 频谱的概念： 频谱分为： ) 幅度频谱：以频率ω（或角频率Ω）为横坐标， Α n / F n 为纵坐标。 ) 相位频谱：以频率ω（或角频率Ω）为横坐标， φn为纵坐标。 （A0为直流分量幅度；An为n次谐波的振幅； φn 为n次谐波的初相角）
=∫
+∞
−∞
f (t )e
− jωt
dt
F ( jω) 称为非周期信号的频谱密度函数。
非周期信号的傅里叶变换可简记为 ：
f (t ) ↔ F ( jω )
傅里叶变换存在的充分条件为： f (t ) 应满足绝对可积， 即要求 ∞
∫
−∞
f ( t ) dt < ∞
傅里叶变换的充分条件： f (t )在无限区间内绝对可积，即
1.f(t)为实函数时
F ( jω ) = ∫ f (t )e − jωt dt
−∞ ∞
∞
= ∫ f (t ) cosωtdt − j ∫ f (t ) sin ωtdt
−∞ −∞
∞
= R(ω ) + jX (ω )
式中：
R (ω ) =
∫
∞
−∞
f ( t ) cos ω tdt
∞ −∞
X (ω ) = − ∫
周期信号 f (t ) ,其指数形式的傅里叶变换为
f (t ) =
其振幅为
n =−∞
∑ Fe
n
∞
jnΩt
1 Fn = T
∫
T 2 T − 2
f (t )e − jnΩt dt
T 2π Fn F ( jω) = lim = lim ∫ 2T f (t )e− jnΩt dt t →∞ t →∞ − Ω 2
ω=0~
为
2π
τ
这段频率范围称为矩形脉冲信号的频带宽度。记
Bω =
2π
τ
(rad / s)
B f = ( Hz )
1
τ
四 周期信号的功率 周期信号的能量是无限的，而其平均功率是有界的，因而 周期信号是功率信号。其平均功率为
1 P = T
T 2 T − 2
∫
T 2 T − 2
f
2
( t ) dt
T 2 T − 2
三 周期矩形脉冲的频谱
f(t) E E 5 Fn
Ω＝ 2
π T 4π
2π
τ
−
τ
2
o τ
2
T
2T
t (a)
o Ω
τ
ω
f(t) E E 10
−
Fn
Ω＝ 2
π T 2π
τ
4π
τ
2
o
τ
2
τ
T
t (b)
oΩ
ω
周期矩形脉冲信号含有无穷多条谱线，也就是说，周期
矩形脉冲信号可表示为无穷多个正弦分量之和。实际工作 中，应要求传输系统能将信号中的主要频率分量传输过去， 以满足失真度方面的基本要求。周期矩形脉冲信号的主要 能量集中在第一个零点之内。因而，常常将
Ee = ∫ f (t ) dt − ∑ ∫ ci gi (t ) dt
t2 2 t2 2 t1 i =1 t1
N
(4.1-3)
有
∫
t2
t1
f (t) dt = ∑∫ ci gi (t) dt