2019年高一(下)第三次月考数学试卷

2019年高一（下）第三次月考数学试卷一、选择题1. 下列程序框通常用来表示赋值、计算功能的是（ ） A.. B.C..D..2. 若a <b <0下列不等式中不成立的是的是（ ）A..|a|>|b|B.1a−b >1a C.1a >1b D.a 2>b23. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A =π3，a =√3，b =1，则c =( ) A.1 B.2C.√3−1D.√34. 已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3=S 6，则数列{1a n}的前5项和为（ ）A.158或5B.3116或5C.3116D.1585. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（ ）A.4B.5C.6D.76. 等比数列{a n }中，S 2=7，S 6=91，则S 4=( ) A.28 B.32 C.35 D.497. 不等式x+5(x−1)2≥2的解集是( ) A.[−3,12] B.[−12,3] C.[12,1)∪(1,3] D.[−12,1)∪(1,3]8. 设a >0，b >0．若√3是3a 与3b 的等比中项，则1a +1b 的最小值为（ ）A.8B.4C.1D.14二、填空题9. 在△ABC 中，sinA:sinB:sinC =3:2:4，则cosC 的值为________．10. 不等式|2x −1|≥3的解集是________．11. 设变量x ，y 满足{x −y ≥−1x +y ≤4y ≥2，则目标函数z =2x +4y 最大值为________．12. 设集合A ={x|x 2<9}，B ={x|1x ≤1}，则A ∩B =________．13. 阅读程序框图，若输入a =1，b =1，则输出的结果是________．14. 数列{a n }，a 1=1，a n =2n +a n−1(n ≥2)，a n =________．15. 在△ABC 中，若a ，b ，c 成等比数列且c =2a ，则cosB =________．16. 已知数列：1+1，2+12，3+14，…，n +12n−1，…．那么它的前10项和为________． 三、解答题17. 已知x ，y ∈R +，比较1x +1y 与yx 2+xy 2的大小．18. 解关于x 的不等式 （1）3−2x −x 2≤0；（2）x(x −1)2(x −2)≥0；（3）x 2−ax −2a 2<0；（4）已知不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x|2<x <3}，求不等式cx 2−bx +a >0的解集；（5）已知x <32，求函数y =2x +12x−3的最大值，并求出相应的x 值．19. 一段长为30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园 墙长18m ，问这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？20. 已知数列{a n }是等差数列，且a 1=2，a 1+a 2+a 3=12． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n =a n ⋅3n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．21. △ABC 中，a 、b 、c 是A ，B ，C 所对的边，S 是该三角形的面积，且cosB cosC =−b2a+c（1）求∠B 的大小；（2）若a =4，S =5√3，求b 的值．22. 数列{a n }满足a 1=1，12an+1=12a n+1(n ∈N ∗)．（1）求证{1a n}是等差数列；（2）若a 1a 2+a 2a 3+⋯+a n a n+1>1633，求n 的取值范围．23. 已知数列{a n }的前n 项和S n ，满足：S n =2a n −2n(n ∈N ∗) （1）求证：{a n +2}是等比数列（2）求数列{a n }的通项a n（3）若数列{b n }的满足b n =log 2(a n +2)，T n 为数列{b nan+2}的前n 项和，求证12≤T n ≤32．参考答案与试题解析一、选择题1.【答案】C【考点】程序框图【解析】逐一分析程序框图的功能，可得答案．【解答】解：A为起止框：表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不可少的．B为判断框：判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”．C为处理框：赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内．D为输入、输出框：表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置．∴在程序框图中，具有赋值、计算功能的基本程序框是处理框（执行框）．故选C．2.【答案】B【考点】不等式的概念【解析】由a<b<0，可得a<a−b<0，可得1a−b <1a．即可判断出．【解答】解：∵a<b<0，∴a<a−b<0，∴1a−b <1a．因此B不正确．故选：B．3.【答案】B【考点】正弦定理的应用余弦定理的应用【解析】方法一：可根据余弦定理直接求，但要注意边一定大于0；方法二：可根据正弦定理求出sinB，进而求出c，要注意判断角的范围．【解答】解：解法一：（余弦定理）由a2=b2+c2−2bccosA得：3=1+c2−2c×1×cosπ3=1+c2−c，∴c2−c−2=0，∴c=2或−1（舍）．解法二：（正弦定理）由asinA=bsinB，得：√3sinπ3=1sinB，∴sinB=12，∵b<a，∴B=π6，从而C=π2，∴c2=a2+b2=4，∴c=2．4.【答案】C【考点】等比数列的前n项和等比数列的性质【解析】利用等比数列求和公式代入9S3=S6求得q，进而根据等比数列求和公式求得数列{1an}的前5项和．【解答】解：显然q≠1，所以9(1−q3)1−q=1−q61−q⇒1+q3=9⇒q=2，所以{1an}是首项为1，公比为12的等比数列，前5项和T5=1−(12)51−12=3116．故选C.5.【答案】A【考点】程序框图【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】当S=0时，满足继续循环的条件，故S=1，k=1；当S=1时，满足继续循环的条件，故S=3，k=2；当S=3时，满足继续循环的条件，故S=11，k=3；当S=11时，满足继续循环的条件，故S=2059，k=4；当S=2049时，不满足继续循环的条件，故输出的k值为4，6.【答案】A【考点】等比数列的性质 【解析】利用等比数列中每相邻两项的和也成等比数列可得 7，S 4−7，91−S 4 成等比数列，故有(S 4−7)2=7(91−S 4)，由此求得S 4的值． 【解答】解：∵ 正项等比数列{a n }中，若S 2=7，S 6=91，由于每相邻两项的和也成等比数列， ∴ S 2、S 4−S 2、S 6−S 4 成等比数列，即 7，S 4−7，91−S 4 成等比数列． ∴ (S 4−7)2=7(91−S 4)，解得 S 4=28， 故选：A ． 7.【答案】 D【考点】其他不等式的解法 【解析】本题为选择题，可考虑用排除法，也可直接求解． 【解答】解：由不等式x+5(x−1)2≥2得x+5(x−1)2−2≥0， 变形得−2x 2+5x+3(x−1)2≥0，即{(x +12)(x −3)≤0,x −1≠0， 解得 [−12,1)∪(1,3]. 故选D . 8.【答案】 B【考点】 基本不等式 等比数列的性质 【解析】由题设条件中的等比关系得出a +b =1，代入1a +1b 中，将其变为2+ba +ab ，利用基本不等式就可得出其最小值【解答】解：因为3a ⋅3b =3，所以a +b =1，1a+1b =(a +b)(1a +1b )=2+ba +ab ≥2+2√ba ⋅ab =4， 当且仅当ba =ab 即a =b =12时“=”成立， 故选择B ． 二、填空题 9. 【答案】−14【考点】 余弦定理 正弦定理 【解析】由正弦定理化简已知的比例式，得到a ，b 及c 的比值，根据比例设出a ，b 及c ，再利用余弦定理表示出cosC ，将表示出的三边长代入，即可求出cosC 的值． 【解答】解：∵ 在△ABC 中，sinA:sinB:sinC =3:2:4， ∴ 根据正弦定理得：a:b:c =3:2:4， 设a =3k ，b =2k ，c =4k ， 则由余弦定理得cosC =a 2+b 2−c 22ab=9k 2+4k 2−16k 212k 2=−14．故答案为：−14 10.【答案】(−∞, −2]∪[3, +∞) 【考点】绝对值不等式的解法 【解析】利用绝对值不等式的解法可知，|2x −1|≥3⇔2x −1≥3或2x −1≤−3，从而可得答案． 【解答】解：∵ |2x −1|≥3，∴ 2x −1≥3或2x −1≤−3， 解得x ≥3或x ≤−2，∴ 不等式|2x −1|≥3的解集是：(−∞, −2]∪[3, +∞)． 故答案为：(−∞, −2]∪[3, +∞)． 11.【答案】 13【考点】 简单线性规划 【解析】先画出约束条件{x −y ≥−1x +y ≤4y ≥2的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数z =2x +4y 的最大值． 【解答】解：由约束条件{x −y ≥−1x +y ≤4y ≥2得如图所示的三角形区域，三个顶点坐标为A(1, 2)，B(2, 2)，C(32, 52) 将三个代入得z 的值分别为10，12，13直线z=2x+4y过点C时，z取得最大值为13；故答案为：1312.【答案】{x|−3<x<0或1≤x<3}【考点】交集及其运算【解析】求出集合A，B的等价条件，根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：集合A={x|x2<9}={x|−3<x<3}，B={x|1x≤1}={x|x<0或x≥1}，则A∩B={x|−3<x<0或1≤x<3}，故答案为：{x|−3<x<0或1≤x<3}．13.【答案】2【考点】程序框图【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是当a>1时计算并输出b的值．【解答】解：当a=1时，满足a≤1，执行循环体，b=2b=2，a=a+1=2此时a=2，不满足a≤1，退出循环体，输出b=2，故答案为：2．14.【答案】2n+1−3【考点】数列的概念及简单表示法【解析】根据题意，由数列{a n}的递推公式，利用累加法，结合等比数列的前n项和，求出{a n}的通项公式．【解答】解：∵数列{a n}中，a1=1，a n=2n+a n−1(n≥2)，∴a n−a n−1=2n，∴a n−1−a n−2=2n−1…a2−a1=22∴a n−a1=22+...+2n−1+2n∴a n=1+(22+23+...+2n)=1+4(1−2n−1)1−2=2n+1−3．故答案为：2n+1−3．15.【答案】34【考点】余弦定理等比数列的性质【解析】由a，b，c成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再将c=2a代入，开方用a表示出b，然后利用余弦定理表示出cosB，将表示出的b和c代入，整理后即可得到cosB的值．【解答】解：∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，又c=2a，∴b2=2a2，即b=√2a，则cosB=a2+c2−b22ac=a2+(2a)2−(√2a)22a⋅2a=34．故答案为：3416.【答案】57−129【考点】数列的求和【解析】利用分组求和法求解．【解答】解：∵数列：1+1，2+12，3+14，…，n+12n−1，…，它的前10项和S10=(1+2+3+...+10)+(1+12+14+⋯+129)=10(1+10)2+1−12101−12=57−129．故答案为：57−129．三、解答题17.【答案】解：∵x，y∈R+，∴1x+1y−(yx2+xy2)=x−yx2+y−xy2=−(x−y)2(x+y)x2y2≤0，当且仅当x=y时取等号．∴1x+1y≤yx2+xy2．【考点】利用不等式比较两数大小【解析】利用“作差法”，利用实数的性质、不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x，y∈R+，∴1x +1y−(yx2+xy2)=x−yx2+y−xy2=−(x−y)2(x+y)x2y2≤0，当且仅当x=y时取等号．∴1x +1y≤yx2+xy2．18.【答案】解：（1）3−2x−x2≤0化为x2+2x−3≥0，解得x≤−3或x≥1，其解集为{x|x≤−3或x≥1}；（2）x(x−1)2(x−2)≥0，当x=1时，满足不等式；当x≠1时，化为x(x−2)≥0，解得x≥2或x≤0．综上可得不等式的解集为{x|x≥2或x≤0, 或x=1}．（3）x2−ax−2a2<0化为(x−2a)(x+a)<0，当a>0时，不等式的解集为{x|−a<x<2a}；当a=0时，不等式的解集为⌀；当a<0时，不等式的解集为{x|2a<x<−a}．（4）已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3}，∴2，3是ax2+bx+c=0的两个实数根，且a<0．∴2+3=−ba ，2×3=ca，即ba=−5，ca=6．∴不等式cx2−bx+a>0和ca x2−bax+1<0，即6x2+5x+1<0，解得−12<x<−13．∴不等式的解集为{x|−12<x<−13}．（5）∵x<32，∴3−2x>0．∴函数y=2x+12x−3=−(3−2x+13−2x)+3≤−2√(3−2x)⋅13−2x+3=1，当且仅当x=1时取等号．∴函数y=2x+12x−3的最大值为1，此时x=1．【考点】一元二次不等式的解法【解析】（1）3−2x−x2≤0化为x2+2x−3≥0，利用一元二次不等式的解法即可得出；（2）x(x−1)2(x−2)≥0，当x=1时，满足不等式；当x≠1时，化为x(x−2)≥0，解出即可；（3）x2−ax−2a2<0化为(x−2a)(x+a)<0，对a分a>0，a=0，a<0讨论即可解出；（4）不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3}，可得2，3是ax2+bx+c=0的两个实数根，且a< 0．利用一元二次方程的根与系数的关系即可解出．（5）由x<32，可得3−2x>0．变形为函数y=2x+12x−3=−(3−2x+13−2x)+3，利用基本不等式即可解出．【解答】解：（1）3−2x−x2≤0化为x2+2x−3≥0，解得x≤−3或x≥1，其解集为{x|x≤−3或x≥1}；（2）x(x−1)2(x−2)≥0，当x=1时，满足不等式；当x≠1时，化为x(x−2)≥0，解得x≥2或x≤0．综上可得不等式的解集为{x|x≥2或x≤0, 或x=1}．（3）x2−ax−2a2<0化为(x−2a)(x+a)<0，当a>0时，不等式的解集为{x|−a<x<2a}；当a=0时，不等式的解集为⌀；当a<0时，不等式的解集为{x|2a<x<−a}．（4）已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3}，∴2，3是ax2+bx+c=0的两个实数根，且a<0．∴2+3=−ba，2×3=ca，即ba=−5，ca=6．∴不等式cx2−bx+a>0和cax2−bax+1<0，即6x2+5x+1<0，解得−12<x<−13．∴不等式的解集为{x|−12<x<−13}．（5）∵x<32，∴3−2x>0．∴函数y=2x+12x−3=−(3−2x+13−2x)+3≤−2√(3−2x)⋅13−2x+3=1，当且仅当x=1时取等号．∴函数y=2x+12x−3的最大值为1，此时x=1．19.【答案】解：设矩形的宽为xm，面积为Sm2，根据题意得：S=x(30−2x)=−2x2+30x=−2(x−7.5)2+2252，∵{x>00<30−2x≤18，∴6≤x<15∴当x=7.5时，S最大，即长15m，宽7.5m时，面积最大为2252m2【考点】函数最值的应用【解析】设矩形的宽为xm，可得面积表达式，求得x的范围，利用配方法，即可求得结论．【解答】解：设矩形的宽为xm，面积为Sm2，根据题意得：S=x(30−2x)=−2x2+30x=−2(x−7.5)2+2252，∵{x>00<30−2x≤18，∴6≤x<15∴当x=7.5时，S最大，即长15m，宽7.5m时，面积最大为2252m220.【答案】解：（1）∵数列{a n}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12，∴2+2+d+2+2d=12，解得d=2，∴a n=2+(n−1)×2=2n．（2）∵a n=2n，∴ b n =a n ⋅3n =2n ⋅3n ，∴ S n =2×3+4×32+6×33+...+2(n −1)×3n−1+2n ×3n ，① 3S n =2×32+4×33+6×34+...+2(n −1)×3n +2n ×3n+1，② ①-②得−2S n =6+2×32+2×33+2×34+...+2×3n −2n ×3n+1 =2×3(1−3n )1−3−2n ×3n+1=3n+1−2n ×3n+1−3 =(1−2n)×3n+1−3 ∴ S n =2n−12×3n+1+32．【考点】 数列的求和等差数列的通项公式 【解析】（1）由数列{a n }是等差数列，且a 1=2，a 1+a 2+a 3=12，利用等差数列的通项公式先求出d =2，由此能求出数列{a n }的通项公式．（2）由a n =2n ，知b n =a n ⋅3n =2n ⋅3n ，所以S n =2×3+4×32+6×33+...+2(n −1)×3n−1+2n ×3n ，再由错位相减法能够求出数列{b n }的前n 项和S n ． 【解答】 解：（1）∵ 数列{a n }是等差数列，且a 1=2，a 1+a 2+a 3=12， ∴ 2+2+d +2+2d =12， 解得d =2，∴ a n =2+(n −1)×2=2n ． （2）∵ a n =2n ，∴ b n =a n ⋅3n =2n ⋅3n ，∴ S n =2×3+4×32+6×33+...+2(n −1)×3n−1+2n ×3n ，① 3S n =2×32+4×33+6×34+...+2(n −1)×3n +2n ×3n+1，② ①-②得−2S n =6+2×32+2×33+2×34+...+2×3n −2n ×3n+1 =2×3(1−3n )1−3−2n ×3n+1=3n+1−2n ×3n+1−3 =(1−2n)×3n+1−3 ∴ S n =2n−12×3n+1+32．21.【答案】解：（1）由正弦定理得：asinA =bsinB =csinC =2R ， ∴ a =2RsinA ，b =2RsinB ，c =2RsinC ， 代入已知的等式得：cosBcosC =−sinB2sinA+sinC ，化简得：2sinAcosB +sinCcosB +cosCsinB=2sinAcosB +sin(C +B)=2sinAcosB +sinA =sinA(2cosB +1)=0， 又A 为三角形的内角，得出sinA ≠0， ∴ 2cosB +1=0，即cosB =−12，∵ B 为三角形的内角，∴ ∠B =2π3；（2）∵ a =4，sinB =√32，S =5√3，∴ S =12acsinB =12×4c ×√32=5√3，解得c =5，又cosB =−12，a =4，根据余弦定理得：b 2=a 2+c 2−2ac ⋅cosB =16+25+20=61， 解得b =√61． 【考点】 正弦定理 【解析】（1）根据正弦定理化简已知的等式，然后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，提取sinA ，可得sinA 与1+2sinB 至少有一个为0，又A 为三角形的内角，故sinA 不可能为0，进而求出sinB 的值，由B 的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B 的度数；（2）由第一问求出的B 的度数求出sinB 和cosB 的值，再由a 的值及S 的值，代入三角形的面积公式求出c 的值，然后再由cosB 的值，以及a 与c 的值，利用余弦定理即可求出b 的值． 【解答】解：（1）由正弦定理得：asinA =bsinB =csinC =2R ， ∴ a =2RsinA ，b =2RsinB ，c =2RsinC ， 代入已知的等式得：cosBcosC =−sinB2sinA+sinC ，化简得：2sinAcosB +sinCcosB +cosCsinB=2sinAcosB +sin(C +B)=2sinAcosB +sinA =sinA(2cosB +1)=0， 又A 为三角形的内角，得出sinA ≠0， ∴ 2cosB +1=0，即cosB =−12， ∵ B 为三角形的内角，∴ ∠B =2π3；（2）∵ a =4，sinB =√32，S =5√3，∴ S =12acsinB =12×4c ×√32=5√3，解得c =5，又cosB =−12，a =4，根据余弦定理得：b 2=a 2+c 2−2ac ⋅cosB =16+25+20=61， 解得b =√61． 22.【答案】 解：（1）由12an+1=12a n+1可得：1an+1=1a n+2所以数列{1a n}是等差数列，首项1a 1=1，公差d =2∴ 1a n=1a 1+(n −1)d =2n −1∴ a n =12n−1（2）∵ a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)∴ a 1a 2+a 2a 3++a n a n+1=12(11−13+13−15++12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1 ∴ n 2n+1>1633解得n >16 【考点】数列与不等式的综合 数列递推式 【解析】 （1）由12an+1=12a n+1可得：1a n+1=1a n+2，从而可证；（2）由（1）知a n =12n−1，从而有a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，因此可化简为n2n+1>1633，故问题得解．【解答】 解：（1）由12an+1=12a n+1可得：1an+1=1a n+2所以数列{1a n}是等差数列，首项1a 1=1，公差d =2∴ 1a n=1a 1+(n −1)d =2n −1 ∴ a n =12n−1（2）∵ a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)∴ a 1a 2+a 2a 3++a n a n+1=12(11−13+13−15++12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1 ∴ n 2n+1>1633解得n >1623.【答案】（1）证明：当n ∈N ∗时，S n =2a n −2n ， 则当n ≥2时，S n−1=2a n−1−2(n −1) 两式相减得a n =2a n −2a n−1−2， 即a n =2a n−1+2，∴ a n +2=2(a n−1+2)， ∴ a n +2an−1+2=2， 当n =1时，S 1=2a 1−2，则a 1=2，∴ {a n +2}是以a 1+2=4为首项，2为公比的等比数列．（2）解：∵ {a n +2}是以a 1+2=4为首项，2为公比的等比数列， ∴ a n +2=4×2n−1， ∴ a n =2n+1−2．（3）证明：b n =log 2(a n +2)=log 22n+1=n +1， ∴ b nan+2=n+12n+1， 则T n =222+323+⋯+n+12n+1，①12T n =223+324+⋯+n 2n+1+n+12n+2，②①-②，得：12T n =222+123+124+⋯+12n+1−n+12n+2 =12+18(1−12n−1)1−12−n +12n+2=12+14−12n+1−n +12n+2 =34−n+32n+2，∴ T n =32−n+32n+1．当n ≥2时，T n −T n−1=−n+12n+1+n+22n =n+12n+1>0，∴ {T n }为递增数列，∴ T n ≥T 1=12， 又∵ n+22n+1>0，∴ T n =32−n+32n+1<32． ∴ 12≤T n <32．【考点】 数列的求和 【解析】（1）由已知条件推导出a n =2a n −2a n−1−2，所以a n +2=2(a n−1+2)，由此能证明{a n +2}是以a 1+2=4为首项，2为公比的等比数列．（2）{a n +2}是以a 1+2=4为首项，2为公比的等比数列，由此能求出数列{a n }的通项a n ． （3）由b nan+2=n+12n+1，由此利用错位相减法能求出T n =32−n+32n+1．由此能证明12≤T n <32． 【解答】（1）证明：当n ∈N ∗时，S n =2a n −2n ， 则当n ≥2时，S n−1=2a n−1−2(n −1) 两式相减得a n =2a n −2a n−1−2， 即a n =2a n−1+2，∴ a n +2=2(a n−1+2)， ∴ a n +2an−1+2=2，当n =1时，S 1=2a 1−2，则a 1=2，∴ {a n +2}是以a 1+2=4为首项，2为公比的等比数列．（2）解：∵ {a n +2}是以a 1+2=4为首项，2为公比的等比数列， ∴ a n +2=4×2n−1， ∴ a n =2n+1−2．（3）证明：b n =log 2(a n +2)=log 22n+1=n +1， ∴ b nan+2=n+12n+1，则T n=222+323+⋯+n+12n+1，①1 2T n=223+324+⋯+n2n+1+n+12n+2，②①-②，得：12T n=222+123+124+⋯+12n+1−n+12n+2=12+18(1−12n−1)1−12−n+12n+2=12+14−12n+1−n+12n+2=34−n+32n+2，∴T n=32−n+32n+1．当n≥2时，T n−T n−1=−n+12n+1+n+22n=n+12n+1>0，∴{T n}为递增数列，∴T n≥T1=12，又∵n+22n+1>0，∴T n=32−n+32n+1<32．∴12≤T n<32．。