2.2区间

第30卷 第3期 湖北广播电视大学学报 V ol.30, No.3 2010年3月 Journal of HuBei TV University March. 2010, 159～160Riemann 积分和Lebesgue 积分性质的比较林秋红（肇庆科技职业技术学院，广东 肇庆 526100）[内容提要] 本文主要对Riemann 积分和Lebesgue 积分进行归纳总结，并着重比较了这两种积分性质上的异同，以及它们在极限、微分等方面的应用。

[关键词] Riemann 积分；Lebesgue 积分；可积函数[中图分类号] O15 [文献标识码] A [文章编号] 1008-7427（2010）03-0159-02Riemann 积分是通过特殊和式（即Riemann 和）取极限来实现，但是，由于Riemann 积分存在着很大的局限性，引进了Lebesgue 积分，Lebesgue 积分是Riemann 积分的推广。

本文归纳总结了这两种积分，并着重比较了这两种积分在性质上的异同，以及它们在极限、微分等方面的应用。

1．预备知识定义1.1：（Riemann 积分概念）请读者参考文献[1]P202。

定义1.2：（Lebesgue 积分概念）请读者参考文献[2]P108。

定义1.4[2][4]：设f (x )的定义域n R E ⊂可分为有限个互不相交的可测集12,,,,s E E E 1sii E E==∪，使在每个E i 上都等于某一常数C i ,则称f (x )为E 上的简单函数.特别地，当每个E i 是长方体时，称f (x )为E 上的阶梯函数。

定义1.5[2]：（下方图形）设f (x )是n R E ⊂上的非负函数，则R n +1中的点集{(,)|,0()},x z x E z f x ∈≤<称f (x )为在E 上的下方图形，记为G (E ,f )。

定义1.6[5]：（1）设X 为一非空集，F 为X 上的σ代数.称二元组合（X ,F ）为可测空间。

积分中值定理与推广积分中值定理区间问题一、积分中值定理的基本概念1.1 积分中值定理的定义积分中值定理是微积分中的重要定理之一，它是对函数在闭区间上的平均值与极限值之间的关系进行了精确的描述。

积分中值定理的内容主要包括了两个部分：第一部分是零点定理，即如果函数在闭区间上连续，并且在该闭区间上取得了最大值和最小值，那么在该闭区间上一定存在至少一个点使得函数的导数等于零；第二部分是平均值定理，即如果一个函数在一个闭区间上连续，那么一定存在至少一个点，使得该点的导数等于函数在该区间上的平均增量。

积分中值定理的内容简单而深刻，它为我们理解函数在闭区间上的性质提供了重要的依据。

1.2 积分中值定理的应用积分中值定理在实际问题中有着广泛的应用，它不仅可以帮助我们理解函数的性质，还可以为我们提供在实际问题中对函数的特定取值进行估计的依据。

比如在物理学中，积分中值定理可以用来描述物体在某一时刻的速度与位移之间的关系；在经济学中，积分中值定理可以用来解释市场上产品的供求关系；在生物学中，积分中值定理可以用来分析生物体在生长过程中的变化规律等等。

积分中值定理是微积分中的基础定理之一，它在我们的日常生活和各个学科领域中都有着重要的地位。

二、推广积分中值定理区间问题2.1 区间问题的提出在积分中值定理的基础上，我们可以进一步进行推广，即考虑函数在开区间上的性质。

具体来说，我们可以考虑以下问题：如果一个函数在一个开区间上连续，那么它在该开区间上是否一定存在着一个点，使得该点的导数等于函数在该开区间上的平均增量呢？这个问题就是推广积分中值定理区间问题。

2.2 区间问题的解决针对区间问题，我们可以通过微积分中的基本原理进行研究。

我们可以利用函数的连续性和导数的存在性来证明函数在开区间上的平均增量一定存在，然后利用积分中值定理的零点定理和平均值定理来证明在该开区间上一定存在着一个点，使得该点的导数等于函数在该开区间上的平均增量。

区间协议是什么目录1. 引言2. 定义和术语3. 区间协议的范围和目标4. 协议的执行和监督5. 责任和赔偿6. 争议解决7. 终止和解除8. 一般条款9. 附件1. 引言2. 定义和术语2.1 区间协议：指双方在一定的区间内，就特定事项达成的具有约束力的协议。

2.2 双方：指甲方和乙方。

2.3 甲方：指本协议中约定的权利和义务的承担方。

2.4 乙方：指本协议中约定的权利和义务的另一方。

2.5 区间：指本协议中约定的具体区间。

3. 区间协议的范围和目标3.1 范围：本协议适用于双方在区间内进行的所有活动。

（1）明确双方在区间内的权利和义务；（2）促进双方的互利合作；（3）确保区间内的活动符合法律法规和道德规范；（4）维护双方在区间内的合法权益。

4. 协议的执行和监督4.1 双方应按照本协议的约定，履行各自的义务。

4.2 双方应定期对区间内的活动进行监督，确保活动符合本协议的约定。

4.3 双方应就区间内的重大事项进行协商，共同解决。

5. 责任和赔偿5.1 双方应确保区间内的活动符合法律法规和道德规范，如因一方原因导致活动违法或违规，责任方应承担相应的法律责任。

5.2 双方应按照本协议的约定，履行赔偿义务。

6. 争议解决6.1 双方应友好解决因本协议产生的争议。

6.2 如协商不成，双方可向有管辖权的人民法院提起诉讼。

7. 终止和解除7.1 本协议自双方签字之日起生效，有效期为____年。

7.2 双方均有权在协议有效期内提前终止本协议，但应提前____日通知对方。

8. 一般条款8.1 本协议未尽事宜，双方可另行协商补充。

8.2 本协议的修改和补充，应以书面形式进行，经双方签字后生效。

8.3 本协议一式两份，甲乙双方各执一份。

9. 附件（附件内容可根据实际情况添加）甲方（盖章）：____________乙方（盖章）：____________签订日期：____________签订地点：____________特殊应用场合及增加的条款：1. 特殊应用场合：房地产买卖增加的条款：a. 房屋信息条款：详细描述房屋的位置、面积、户型、建筑年份等。

做闭区间，只含有左端点的区间叫做右半开区间，只含有
右端点的区间叫做左半开区间.
学习 与 只是符号，而不表示具体的数.
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上述知识内容总结成下表：
定义
名称
符号
{x|a≤x≤b}
闭区间
[ a, b ]
{x|a<x<b}
开区间
( a, b )
{x|a≤x<b} 半开半闭区间
[ a, b )
{x|a<x≤b} 半Байду номын сангаас半闭区间
不
不等式
等
不等式
不等式
式2.2.1 区间的概念
知识探究（一）
思考1：设a，b是两个实数，且a<b，介于这两个 数之间的实数x用不等式表示有哪几种可能情况？
a x b, a x b, a x b, a x b
思考2：满足上述每个不等式的实数x的集合可看 成一个区间，为了区分，它们分别叫什么名称？
思考3：如果把满足不等式的实数x的集合用符号 [a，b）表示，那么满足其它三个不等式的实数x的 集合可分别用什么符号表示？
区间是数集的一种表示形式，其表示形式与集合 的表示形式相同。区间分为有限区间和无限区间.
由数轴上两点之间的所有实数所组成的集合叫做区间，
概 这两个点叫做区间端点.
念
不含端点的区间叫做开区间，含有两个端点的区间叫
( a, b ]
数轴表示
a
b
ab
a
b
a
b
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.
知识探究（二）
思考1：变量x相对于常数a有哪几种大小关系？用 不等式怎样表示？
思考2：满足不等式 x a, x a, x a, x a