第4章 数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：(1) ∫f (x )ⅆx h−h ≈A −1f (−h )+A 0f (0)+A 1f (h )解：将f(x) = 1，x ，x 2分别代入公式两端并令其左右相等，得： A −1+A 0+A 1=2ℎ −ℎA −1+ℎA 1=0 ℎ2A −1+ℎ2A 1=23ℎ3解得A -1 = ℎ3 ，A 0 = 4ℎ3，A 1 = ℎ3. 即所求公式至少具有2次代数精度， 又由于：∫x 3ⅆx ℎ−ℎ=ℎ3(−ℎ)3+ℎ3⋅ℎ3 且 ∫x 4ⅆx ℎ−ℎ≠ℎ3(−ℎ)4+ℎ3⋅ℎ4∴ ∫f (x )ⅆx ℎ−ℎ≈A −1f (−ℎ)+A 0f (0)+A 1f (ℎ) 具有3次代数精度(2) ∫f (x )ⅆx 2h−2h ≈A −1f (−h )+A 0f (0)+A 1f (h )解：将f(x) = 1，x ，x 2分别代入公式两端并令其左右相等，得： A −1+A 0+A 1=4ℎ −ℎA −1+ℎA 1=0 ℎ2A −1+ℎ2A 1=163ℎ3解得A -1 = 8ℎ3 ，A 0 = -4ℎ3，A 1 = 8ℎ3. 即所求公式至少具有2次代数精度， 又由于：∫x 3ⅆx 2ℎ−2ℎ=8ℎ3(−ℎ)3+8ℎ3⋅ℎ3 且 ∫x 4ⅆx 2ℎ−2ℎ≠8ℎ3(−ℎ)4+8ℎ3⋅ℎ4∴ ∫f (x )ⅆx 2ℎ−2ℎ≈A −1f (−ℎ)+A 0f (0)+A 1f (ℎ) 具有3次代数精度2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分： (2)∫√x ⅆx 91，n = 4解：h =b−a n=9−14= 2根据复合梯形公式：∫√x ⅆx 91= ℎ2[f (1)+f (9)+2∑f (x k )3k=1] =(1 + 3 + 2√3+2√5+2√7) ≈17.228 根据复合辛普森求积公式： ∫√x ⅆx 91= ℎ6[f (1)+4∑f(x k+12)3k=0+2∑f (x k )3k=1+f (9)]= 13(1 + 4√2+4√4+4√6+4√8 + 2√3+2√5+2√7 + 3) ≈ 17.3326. 若用复合梯形公式计算积分I = ∫ⅇx ⅆx 10，问区间[0, 1]应分多少等份才能使截断误差不超过12×10-5 ？若改用复合辛普森公式，要达到同样精度区间[0, 1]应分多少等份？解：f(x) = e x , f’’(x) = f (4)(x) = e x , b-a = 1, h = 1n , ∴根据复合梯形公式： | R n (f) | = | -b−a 12ℎ2f ′′(η) | =ⅇx 12n≤ ⅇ12n≤ 12× 10-5 求得n ≥ 212.85, 取n = 213, 即将区间[0, 1]分为213等份时，用复合梯形公式计算，截断误差不超过12×10-5。
.精品精品第5章复习与思考题1、用高斯消去法为什么要选主元？哪些方程组可以不选主元？答：使用高斯消去法时，在消元过程中可能出现0k kka = 的情况，这时消去法无法进行；即时主元素0kkk a ≠，但相对很小时，用其做除数，会导致其它元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散，最后也使得计算不准确。
最后也使得计算不准确。
因此高斯消去法需要选主元，因此高斯消去法需要选主元，因此高斯消去法需要选主元，以保证计算的进行和计以保证计算的进行和计算的准确性。
当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时，当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时，可以不用选择主元。
可以不用选择主元。
可以不用选择主元。
计算时一般选计算时一般选择列主元消去法。
2、高斯消去法与LU 分解有什么关系？用它们解线性方程组Ax = b 有何不同？A 要满足什么条件？答：高斯消去法实质上产生了一个将A 分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解，其中一个为上三角矩阵U ，一个为下三角矩阵L 。
用LU 分解解线性方程组可以简化计算，减少计算量，提高计算精度。
A 需要满足的条件是，顺序主子式（需要满足的条件是，顺序主子式（1,21,21,2，…，，…，，…，n-1n-1n-1）不为零。
）不为零。
3、楚列斯基分解与LU 分解相比，有什么优点？楚列斯基分解是LU 分解的一种，当限定下三角矩阵L 的对角元素为正时，的对角元素为正时，楚列斯基分解具楚列斯基分解具有唯一解。
4、哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。
平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长，平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长，切对角元素恒为正数，切对角元素恒为正数，因此，是一个稳定的算法。
5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？ 对角占优的三对角方程组6、何谓向量范数？给出三种常用的向量范数。
第一章 绪论（12）欧阳家百（2021.03.07）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x xx x x ，相对误差为****ln ln )(ln )(ln xxx x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++；[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k kεεεε；（2）*3*2*1x x x ； [解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。
解：近似值*x 的相对误差为*****r e x xe x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求nx 的相对误差。
解：设()nf x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=Q , 1||n p x nx C n n-⋅∴==又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅Q 且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯ 解：*1 1.1021x =是五位有效数字；*20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。
4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。
解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x xεεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===g g (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=g又(*)1r V ε=Q故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=⨯≈6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？解：1n n Y Y -=-Q10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =-……10Y Y =依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =-，27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯ 100Y ∴的误差限为31102-⨯。
