5.4 数列求和(课时测试)-2017届高三数学(理)一轮复习(解析版)
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高三一轮复习 5.4数列求和（检测教师版）
时间:50分钟 总分：70分
班级： 姓名：
一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分）
1.(北京市石景山区2016届高三第一学期期末数学理4)已知数列na是等差数列，348,4aa，则前n项和nS中最大的是（ ）
A.3S B.4S或5S C.5S或6S D.6S
【答案】B
【解析】由已知43484daa，3(3)8(3)(4)204naandnd，由2040nan得5n，所以40a，50a，60a，所以45SS是nS中的最大值．故选B．
2. 已知等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝2，设Tn＝1a1a2＋1a2a3＋1a3a4＋…＋1anan＋1，n∈N*，则下列判断正确的是( )
A.12
C.12≤Tn<23 D.Tn≥23
【答案】 C
【解析】 ∵an＝2n－1，1anan＋1＝12n－12n＝24n，Tn＝214＋142＋…＋14n＝231－14n是关于n的增函数，
当n＝1时，Tn＝12，当n→＋∞时，Tn→23，所以12≤Tn<23.
3.【石景山区2016二模】已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则S2 016＝( )
A．22 016－1 B．3·21 008－3
C．3·21 008－1 D．3·21 007－2
【答案】 B
【解析】 a1＝1，a2＝2a1＝2，又an＋2·an＋1an＋1·an＝2n＋12n＝2.
∴an＋2an＝2.∴a1，a3，a5，…成等比数列；a2，a4，a6，…成等比数列，
∴S2 016＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋…＋a2 015＋a2 016＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2 015)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2 016)
＝1－21 0081－2＋2（1－21 008）1－2＝3·21 008－3.故选B.
4.【西城区2016一模】数列a1＋2，…，ak＋2k，…，a10＋20共有十项，且其和为240，则a1＋…＋ak＋…＋a10的值为 ( )
A．31 B．120
C．130 D．185
【答案】 C
【解析】 a1＋…＋ak＋…＋a10＝240－(2＋…＋2k＋…＋20)＝240－（2＋20）×102＝240－110＝130.
5.已知函数f(n)＝n2cos(nπ)，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝( )
A．－100 B．0
C．100 D．10 200
【答案】 A
【解析】 若n为偶数，则an＝f(n)＋f(n＋1)＝n2－(n＋1)2＝－(2n＋1)，为首项为a2＝－5，公差为－4的等差数列；若n为奇数，则an＝f(n)＋f(n＋1)＝－n2＋(n＋1)2＝2n＋1，为首项为a1＝3，公差为4的等差数列．
所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝50×3＋50×492×4＋50×(－5)－50×492×4＝－100.
6.【海淀区2016届第一学期期末】已知正项数列{an}为等比数列且5a2是a4与3a3的等差中项，若a2＝2，则该数列的前5项的和为( )
A.3312 B.31
C.314 D.以上都不正确
【答案】 B
【解析】 设公比为q，由题意得10a2＝a4＋3a3，则20＝2q2＋3×2q，q2＋3q－10＝0，又q＞0，∴q＝2.又a2＝2，∴a1＝1，S5＝1·（1－25）1－2＝31，故选B.
二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）
7. 【北京市丰台区2016届高三第一学期期末】在等差数列{an}中，a1>0，a10·a11<0，若此数列的前10项
和S10＝36，前18项和S18＝12，则数列{|an|}的前18项和T18的值是________．
【答案】 60
【解析】 由a1>0，a10·a11<0可知d<0，a10>0，a11<0，
∴T18＝a1＋…＋a10－a11－…－a18＝S10－(S18－S10)＝60.
8.已知函数f(n)＝n2 （当n为奇数时），－n2 （当n为偶数时），且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于 【答案】100
【解析】 由题意，得a1＋a2＋a3＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012
＝－(1＋2)＋(3＋2)＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)
＝－50×101＋50×103＝100.
9.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)，记Sn为{an}的前n项和，则S2 013＝________．
【答案】 －1 005
【解析】 由a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)可得a1＝1，a2＝－2，a3＝－1，a4＝0，该数列是周期为4的数列，
所以S2 013＝503(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2 013＝503×(－2)＋1＝－1 005.
10.【东城区高三第一学期期中数学】数列{an}满足an＋an＋1＝12(n∈N*)，且a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，
则S21＝
A.212 B．6 C．10 D．11
【答案】 6
【解析】 依题意得an＋an＋1＝an＋1＋an＋2＝12，则an＋2＝an，即数列{an}中的奇数项、偶数项分别相等，则a21＝a1＝1，S21＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a19＋a20)＋a21＝10(a1＋a2)＋a21＝10×12＋1＝6，故选B.
三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）
11．(北京市东城区2016届高三第一学期期末数学15)已知等差数列{}na的前n项和为nS，且满足12a，312S．
（1） 求数列{}na的通项公式；
（2）若31,,kkaaS成等比数列，求正整数k的值．
【解析】（1）设数列{}na的公差为d，由题意知2310aa，即12310ad，
由12a，解得2d，所以22(1)2nann，即*2,nannN；
（2）由（1）可得2(22)2nnnSnn，所以2kSkk，又3236a，12(1)kak，
由已知可得213kkaaS，即22(22)6()kkk，整理得220kk，*kN，
解得1k（舍去）或2k，故2k. 12．已知数列{an}，{bn}，其中a1＝12，数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n∈N*)，数列{bn}满足b1＝2，bn＋1＝2bn.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)是否存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有1＋1b1＋1b2＋…＋1bn－1＜m－84恒成立？若存在，求出m的最小值.
【解析】 (1)因为Sn＝n2an(n∈N*)，当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2an－1.
所以an＝Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1.
所以(n＋1)an＝(n－1)an－1.即anan－1＝n－1n＋1.又a1＝12，
所以an＝anan－1·an－1an－2·an－2an－3·…·a3a2·a2a1·a1＝n－1n＋1·n－2n·n－3n－1·…·24·13·12＝1n（n＋1）.
当n＝1时，上式成立，故an＝1n（n＋1）.
因为b1＝2，bn＋1＝2bn，所以{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，故bn＝2n.
(2)由(1)知，bn＝2n.则1＋1b1＋1b2＋…＋1bn－1＝1＋12＋122＋…＋12n－1＝2－12n－1.
假如存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有1＋1b1＋1b2＋…＋1bn－1＜m－84恒成立，
即2－12n－1＜m－84恒成立.由m－84≥2，解得m≥16.
所以存在自然数m，使得任意n∈N*，n≥2，有1＋1b1＋1b2＋…＋1bn－1＜m－84恒成立.此时m的最小值为16.
