最新高考数学艺术生百日冲刺专题等差数列和等比数列测试题
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1 专题6等差数列和等比数列测试题
命题报告：
1. 高频考点：等差（等比数列）定义，通项公式以及求和公式以及数列的性质等。
2. 考情分析：本部分是高考必考内容，多以选择题、填空题形式出现，突出小巧活的特征，有时候在解答题中出现，考察数列的基本量的计算，数列的性质，求数列的通项公式，利用定义法证明等差数列（等比数列）等，求和（裂项求和、错位相减法、分组求和等）。
3.重点推荐：第12题，需要探索出数列的周期，再利用周期求解。
一．选择题（共12小题，每一题5分）
1. 已知等差数列{an}满足a2=2，前5项和S5=25，若Sn=39，则n的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】：B
【解析】设等差数列{an}的公差为d，则a2=a1+d=2，S5=5a1+d=25，
联立解得a1=﹣1，d=3，∴Sn=na1+d=﹣n+×3=39，
解得n=6，故选：B．
2. (2019华南师范大学附属中学月考)在数列中，若，且对所有满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】：依题意，；；；，所以.
3. （2018 •滨州期末）设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=2Sn，则S12=（ ）
A．310 B．311 C． D．
【答案】：B
【解析】∵a1=1，an+1=2Sn，∴Sn+1﹣Sn=2Sn，即Sn+1=3Sn，S1=1．
∴数列{Sn}是等比数列，首项为1，公比为3．∴S12=1×311=311．故选：B．
4. (2018—2019赣州市十四县(市)期中)已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
2 A. 1009 B. 1010 C. 2018 D. 2019
【答案】A
【解析】由题得，所以，所以=.故答案为：A
5. 已知{an}为等比数列，下面结论中正确的是（ ）
A．a22+a42≥2a32 B．a3+a5≥2a4
C．若a2＜a4，则a1＜a3 D．若a2=a4，则a2=a3
【答案】：A
6. 设直线与两坐标轴围成的三角形面积为Sn，则S1+S2+…+S2018的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】：C
【解析】直线与两坐标轴的交点为：（0，）和（，0），则Sn=••==﹣，则S1+S2+…+S2018=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．故选：C．
7. （2018•双流区期末）已知{an}是首项为2的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且28S3=S6，则数列{}的前3项和为等于（ ）
A． B． C．或 D．或3
【答案】：B
【解析】设等比数列{an}的公比为q≠1，∵28S3=S6，
∴28（1+q+q2）=1+q+q2+q3+q4+q5，∵1+q+q2≠0，可得：28=1+q3，
解得q=3．∴an=2×3n﹣1．∴=（）n﹣1则数列{}的前3项和为=×=，故选：B． 3 8. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=an+1﹣1，则bn=log4an，Tn为数列{bn}的前n项和，则T100=（ ）
A．4950 B．99log46+4851
C．5050 D．99log46+4950
【答案】：B
【解析】a1=1，Sn=an+1﹣1，a1=a2﹣1，
可得a2=6，可得n≥2时，Sn﹣1=an﹣1，
又Sn=an+1﹣1，两式相减可得an=Sn﹣Sn﹣1=an+1﹣1﹣an+1，
即有an+1=4an，则an=6•4n﹣2，n≥2，
bn=log4an=，
T100=0+99×（log46﹣2）+×99×（2+100）
=4851+99log46．故选：B．
9. 在一个排列中，如果一个大数排在一个小数前面，就称它们为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称作这个排列的逆序数．如排列2，3，7，5，1中2，1；3，1；7，5；7，1；5，1为逆序，逆序数是5．现有1～50这50个自然数的排列：2，4，6，8，…50，49，47…5，3，1，则此排列的逆序数是（ ）
A．625 B．720 C．925 D．1250
【答案】：A
【解析】根据题意，在排列：2，4，6，8，…50，49，47…5，3，1中，
1的逆序有49个，即2，4，6，8，…50，49，47…5，3；
3的逆序有47个，即4，6，8，…50，49，47…5；
……
49的逆序有1个，即50，
其逆序为首项为49，末项为1，项数为25的等差数列，
则此排列的逆序数：49+47+……+1==625；
故选：A．
10. 设Sn为等差数列{an}的前n项和，a1=﹣2016，﹣=2，则S2018的值为（ ）
A．﹣2 018 B．2 018 C．2 017 D．﹣2 019
【答案】：B
4
11. （2018春•黔东南州期末）己知数列{an}满足a1=1，a2=3，an+2=3an（n∈N*），则数列{an}的前2018项的和S2018等于（ ）
A．2（31008﹣1） B．2（31009﹣1） C．2（32018﹣1） D．2（32017﹣1）
【答案】：B
【解析】由an+2=3an（n∈N*），即，当n=1时，可得a1，a3……a2n﹣1成等比，首项为1，公比为3．
当n=2时，可得a2，a4……a2n成等比，首项为2，公比为3．
那么：，
前2018项中，奇数项和偶数项分别有1009项
故得S2018==2×31009﹣2=2（31009﹣1）．
故选：B．
12. （2018•蚌埠期末）定义函数f（x）如下表，数列{an}满足an+1=f（an），n∈N*，若a1=2，则a1+a2+a3+…+a2018=（ ）
x 1 2 3 4 5
6
f（x） 3 5 4 6 1 2
A．7042 B．7058 C．7063 D．7262
【答案】：C
【解析】由题意，∵a1=2，且对任意自然数均有an+1=f（an），
∴a2=f（a1）=f（2）=5，a2=5，
a3=f（a2）=f（5）=1，a3=1，
a4=f（a3）=f（1）=3，a4=3，
a5=f（a4）=f（3）=4，a5=4，
a6=f（a5）=f（4）=6，a6=6，
a7=f（a6）=f（6）=2，a7=2，
故数列{an}满足：2，5，1，3，4，6，2，5，1…是一个周期性变化的数列，周期为：6．
a1+a2+a3+…+a6=21． 5 a1+a2+a3+…+a2018=336×（a1+a2+a3+…+a6）+a1+a2=7056+2+5=7063．
故选：C．
二．填空题（共4题，每小题5分）
13. 在各项均为正数的等比数列中，若，，则的值是 .
【答案】4
【解析】设等比数列的公比为．∵，∴，化为，解得．∴．故答案为：4．
14. （2018•宁波期末）数列{an}满足，则通项公式an=
．
【答案】：
【解析】当n=1时，a1=1；当n≥2时，a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）an﹣1=（n﹣1）2，
，作差可得，nan=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，
故an=，a1=1也满足上式；故an=，故答案为：．
15. （2018•江门一模）设[x]表示不超过x的最大整数，如[π]=3，[﹣3.2]=﹣4，则[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg100]=
．
【答案】：92
【解析】∵[lg1]=[lg2]=[lg3]=…[lg9]=0，
[lg10]=[lg11]=…+[lg99]=1，[lg100]=2．
∴[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg100]=90×1+2=92．
故答案为：92．
16（2018•黄浦区二模）已知数列{an}是共有k个项的有限数列，且满足，若a1=24，a2=51，ak=0，则k= ．
【思路分析】根据题意，将an+1=an﹣1﹣变形可得an+1an﹣an﹣1an=﹣n，据此可得（a3a2﹣a2a1）=﹣2，（a4a3﹣a3a2）=﹣3，……akak﹣1﹣ak﹣1ak﹣2=﹣（k﹣1），用累加法分析可得akak﹣1﹣a1a2=﹣[1+2+3+……（k﹣1）]，代入数据变形可得k2﹣k﹣2450=0，解可得k的值，即可得答案．
【解析】：根据题意，数列{an}满足an+1=an﹣1﹣，
变形可得：an+1an﹣an﹣1an=﹣n，
则有（a3a2﹣a2a1）=﹣2，
（a4a3﹣a3a2）=﹣3，
（a5a4﹣a4a3）=﹣4，
6 ……
akak﹣1﹣ak﹣1ak﹣2=﹣（k﹣1），
相加可得：akak﹣1﹣a1a2=﹣[1+2+3+……（k﹣1）]，
又由a1=24，a2=51，ak=0，
则有k2﹣k﹣2450=0，
解可得：k=50或﹣49（舍）；
故k=50；故答案为：50．
三解答题（本大题共6小题）
17. 数列{an}的前n项和为Sn且Sn=n2+1．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．
【分析】（I）由Sn=n2+1．可得n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，n=1时，a1=S1=2．即可得出an．
（II）n=1时，T1=2．n≥2时，bn===，利用裂项求和方法即可得出．
【解析】：（I）∵Sn=n2+1．∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2+1﹣[（n﹣1）2+1]=2n﹣1．
n=1时，a1=S1=2．
∴an=．…………4分
（II）n=1时，T1=2．
n≥2时，bn===，…………6分
∴数列{bn}的前n项和Tn=2++……+
=2+．
n=1时，上式也成立．
∴Tn=2+．…………10分
18. 已知是一个公差大于的等差数列,且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列和数列满足等式,求数列的前项和.
