_学年高中数学2.5第2课时数列求和练习新人教A版必修5

1 【成才之路】2015-2016学年高中数学 2.5第2课时 数列求和练习

新人A教版必修5

一、选择题

1．数列112，314，518，7116，…的前n项和Sn为( )

A．n2＋1－12n B．n2＋1－12n－1

C．n2＋2－12n D．n2＋2－12n－1

[答案] A

[解析] 由题设知，数列的通项为an＝2n－1＋12n，显然数列的各项为等差数列{2n－1}和等比数列{12n}相应项的和，从而Sn＝[1＋3＋…＋(2n－1)]＋(12＋14＋…＋12n)＝n2＋1－12n.

2．已知数列{an}的通项公式是an＝1n＋n＋1，若前n项和为10，则项数n为( )

A．11 B．99

C．120 D．121

[答案] C

[解析] 因为an＝1n＋n＋1＝n＋1－n，所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n＋1－n)＝n＋1－1＝10，解得n＝120.

3．已知等比数列的前n项和Sn＝4n＋a，则a的值等于( )

A．－4 B．－1

C．0 D．1

[答案] B

[解析] a1＝S1＝4＋a，

a2＝S2－S1＝42＋a－4－a＝12，

a3＝S3－S2＝43＋a－42－a＝48，

由已知得a22＝a1a3，

∴144＝48(4＋a)，

∴a＝－1.

4．数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于( ) 2 A．200 B．－200

C．400 D．－400

[答案] B

[解析] S100＝1－5＋9－13＋…＋(4×99－3)－(4×100－3)＝50×(－4)＝－200.

5．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝1nn＋1，则S5等于( )

A．1 B．56

C．16 D．130

[答案] B

[解析] an＝1nn＋1＝1n－1n＋1，

∴S5＝1－12＋12－13＋13－14＋14－15＋15－16＝1－16＝56.

6．数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则a21＋a22＋a23＋…＋a2n等于( )

A．(3n－1)2 B．12(9n－1)

C．9n－1 D．14(3n－1)

[答案] B

[解析] ∵a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，

∴a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝3n－1－1(n≥2)，

两式相减得an＝3n－3n－1＝2·3n－1，

又a1＝2满足上式，

∴an＝2·3n－1.

∴a2n＝4·32n－2＝4·9n－1，

∴a21＋a22＋…＋a2n＝4(1＋9＋92＋…＋9n－1)

＝41－9n1－9＝12(9n－1)．

二、填空题

7．数列22，422，623，…，2n2n，…前n项的和为________．

[答案] 4－n＋22n－1 3 [解析] 设Sn＝22＋422＋623＋…＋2n2n ①

12Sn＝222＋423＋624＋…＋2n2n＋1 ②

①－②得

(1－12)Sn＝22＋222＋223＋224＋…＋22n－2n2n＋1＝2－12n－1－2n2n＋1.

∴Sn＝4－n＋22n－1.

8．(2015·广东理，10)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.

[答案] 10

[解析] 本题考查等差数列的性质及简单运算，属于容易题．

因为{an}是等差数列，所以a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25 即a5＝5，a2＋a8＝2a5＝10.

三、解答题

9．(2014·全国大纲文，17)数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2.

(1)设bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列；

(2)求{an}的通项公式．

[解析] (1)证明：由an＋2＝2an＋1－an＋2得

an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2.

即bn＋1＝bn＋2.

又b1＝a2－a1＝1.

所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．

(2)由(1)得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，

即an＋1－an＝2n－1.

于是k＝1n (ak＋1－ak)＝k＝1n (2k－1)，

所以an＋1－a1＝n2，即an＋1＝n2＋a1.

又a1＝1，所以{an}的通项公式为an＝n2－2n＋2.

10．(2015·山东理，18)设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn＝3n＋3.

(1)求{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}满足anbn＝log3an，求{bn}的前n项和Tn.

[解析] (1)因为2Sn＝3n＋3，

所以2a1＝3＋3，故a1＝3， 4 当n≥2时，2Sn－1＝3n－1＋3，

此时2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1，即an＝3n－1，

所以an＝ 3， n＝1.，3n－1，n≥2.

(2)因为anbn＝log3an，所以b1＝13，

当n≥2时，bn＝31－nlog33n－1＝(n－1)·31－n.

所以T1＝b1＝13；

当n≥2时，

Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn

＝13＋(1×3－1＋2×3－2＋…＋(n－1)×31－n)，

所以3Tn＝1＋[1×30＋2×3－1＋…＋(n－1)×32－n]．

两式相减，得

2Tn＝23＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n)－(n－1)×31－n

＝23＋1－31－n1－3－1－(n－1)×31－n

＝136－6n＋32×3n.

所以Tn＝1312－6n＋34×3n

经检验，n＝1时也适合．

综上可得Tn＝1312－6n＋34×3n.

一、选择题

11．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且SnTn＝7n＋1n＋3，则a2＋a5＋a17＋a22b8＋b10＋b12＋b16＝( )

A．315 B．325

C．6 D．7

[答案] A

[解析] ∵a2＋a5＋a17＋a22b8＋b10＋b12＋b16＝a2＋a22＋a5＋a17b8＋b16＋b10＋b12 5 ＝2a12＋2a112b12＋2b11

＝a11＋a12b11＋b12＝a1＋a22b1＋b22，

又∵S22T22＝a1＋a22×22b1＋b22×22＝a1＋a22b1＋b22，

∴a1＋a22b1＋b22＝7×22＋122＋3＝315.

∴a2＋a5＋a17＋a22b8＋b10＋b12＋b16＝315.

12．数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为( )

A．3690 B．3660

C．1845 D．1830

[答案] D

[解析] 不妨令a1＝1，则a2＝2，a3＝a5＝a7＝…＝1，a4＝6，a6＝10，…，所以当n为奇数时，an＝1；当n为偶数时，各项构成以2为首项，4为公差的等差数列，所以前60项的和为30＋2×30＋30×30－12×4＝1830.

13．数列{an}的通项公式是an＝2sin(nπ2＋π4)，设其前n项和为Sn，则S12的值为( )

A．0 B．2

C．－2 D．1

[答案] A

[解析] a1＝2sin(π2＋π4)＝1，

a2＝2sin(π＋π4)＝－1，

a3＝2sin(3π2＋π4)＝－1，

a4＝2sin(2π＋π4)＝1，

同理，a5＝1，a6＝－1，

a7＝－1，a8＝1，a9＝1，

a10＝－1，a11＝－1，a12＝1，

∴S12＝0.

14．(2015·江西省质检)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an(n∈N*)，则数列{an}的前2015项的和S2015等于( ) 6 A．31008－2 B．31008－3

C．32015－2 D．32015－3

[答案] A

[解析] 因为a1＝1，a2＝3，an＋2an＝3，

所以S2015＝(a1＋a3＋…＋a2015)＋(a2＋a4＋…＋a2014)＝1－310081－3＋31－310071－3＝31008－2.

二、填空题

15．设f(x)＝12x＋2，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值为________．

[答案] 32

[解析] f(0)＋f(1)＝11＋2＋12＋2＝22，

f(x)＋f(1－x)＝12x＋2＋121－x＋2

＝222x＋2＋2x22＋2x＝22，

∴f(－5)＋f(－4)＋…＋f(5)＋f(6)

＝12[ f－5＋f6＋f－4＋f5＋…＋f6

]＋f－5＝12×12×(f(0)＋f(1))＝32.

16．求和1＋(1＋3)＋(1＋3＋32)＋(1＋3＋32＋32)＋…＋(1＋3＋…＋3n－1)＝________.

[答案] 34(3n－1)－n2

[解析] a1＝1，a2＝1＋3，a3＝1＋3＋32，……

an＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝12(3n－1)，

∴原式＝12(31－1)＋12(32－1)＋……＋12(3n－1)＝12[(3＋32＋…＋3n)－n]＝34(3n－1)－n2.

三、解答题

17．(2015·全国Ⅰ理，17)Sn为数列{an}的前n项和．已知an>0，a2n＋2an＝4Sn＋3.

(1)求{an}的通项公式；