【步步高】届高三数学大一轮复习 7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题教案 理 新人教A版

§7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

2014高考会这样考 1.考查二元一次不等式组表示的区域面积和目标函数最值(或取值范围)；2.考查约束条件、目标函数中的参变量的取值范围；3.利用线性规划方法设计解决实际问题的最优方案．

复习备考要这样做 1.掌握确定平面区域的方法(线定界、点定域)；2.理解目标函数的几何意义，掌握解决线性规划问题的方法(图解法)，注意线性规划问题与其他知识的综合．

1． 二元一次不等式表示的平面区域

(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．

(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．

2． 线性规划相关概念

名称 意义

约束条件 由变量x，y组成的一次不等式

线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组

目标函数 欲求最大值或最小值的函数

线性目标函数 关于x，y的一次解析式

可行解 满足线性约束条件的解

可行域 所有可行解组成的集合

最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解

线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

3. 应用

利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：

(1)在平面直角坐标系内作出可行域．

(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．

(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．

(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.

[难点正本 疑点清源]

1． 确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧

确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．

2． 求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－abx＋zb，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值．要注意：当b>0时，截距zb取最大值时，z也取最大值；截距zb取最小值时，z也取最小值；当b<0时，截距zb取最大值时，z取最小值；截距zb取最小值时，z取最大值．

1． 若点(1,3)和(－4，－2)在直线2x＋y＋m＝0的两侧，则m的取值范围是__________．

答案 －5

解析 由题意可得(2×1＋3＋m)[2×(－4)－2＋m]<0，

即(m＋5)(m－10)<0，∴－5

2． 如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式____________．

答案 x＋y－1>0

解析 平面区域的边界线方程为x1＋y1＝1，

即x＋y－1＝0.所以平面区域满足不等式是

x＋y－1>0.

3． 完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成．请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人的约束条件是________________．

答案

 50x＋40y≤2 000x∈N*y∈N*

4． (2012·课标全国)设x，y满足约束条件 x－y≥－1，x＋y≤3，x≥0，y≥0，则z＝x－2y的取值范围为

________．

答案 [－3,3]

解析 作出不等式组的可行域，如图阴影部分所示，

作直线x－2y＝0，并向左上，右下平移，当直线过点A时，z＝x－2y取最大值；当直线过点B时，z＝x－2y取最小值．

由 x－y＋1＝0，x＋y－3＝0得B(1,2)，由 y＝0，x＋y－3＝0得A(3,0)．

∴zmax＝3－2×0＝3，zmin＝1－2×2＝－3，∴z∈[－3,3]．

5． (2012·四川)某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是 ( )

A．1 800 元 B．2 400 元

C．2 800 元 D．3 100 元

答案 C

解析 设生产甲产品x桶，乙产品y桶，每天利润为z元，

则 x＋2y≤12，2x＋y≤12，x≥0，y≥0，z＝300x＋400y.

作出可行域，如图阴影部分所示．

作直线300x＋400y＝0，向右上平移，过点A时，

z＝300x＋400y取最大值，

由 x＋2y＝12，2x＋y＝12得 x＝4，y＝4，

∴A(4,4)，

∴zmax＝300×4＋400×4＝2 800.

题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域

例1 若不等式组 x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4所表示的平面区域被直线y＝kx＋43分为面积相等的两部分，则k的值是

( )

A.73 B.37 C.43 D.34

思维启迪：画出平面区域，显然点0，43在已知的平面区域内，直线系过定点0，43，结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可．

答案 A

解析 不等式组表示的平面区域如图所示．

由于直线y＝kx＋43过定点0，43.因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx＋43能平分平面

区域．

因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB中点D12，52.

当y＝kx＋43过点12，52时，52＝k2＋43，

所以k＝73.

探究提高 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点集的交集，画出图形后，面积关系可结合平面知识探求．

已知关于x，y的不等式组 0≤x≤2，x＋y－2≥0，kx－y＋2≥0所表示的平面区域的面积为4，则k的值为 ( )

A．1 B．－3

C．1或－3 D．0

答案 A

解析 其中平面区域kx－y＋2≥0是含有坐标原点的半平面．直线kx

－y＋2＝0又过定点(0,2)，这样就可以根据平面区域的面积为4，确定

一个封闭的区域，作出平面区域即可求解．

平面区域如图所示，根据平面区域面积为4，得A(2,4)，代入直线方程，

得k＝1.

题型二 求线性目标函数的最值

例2 已知x，y满足条件 7x－5y－23≤0x＋7y－11≤04x＋y＋10≥0，求4x－3y的最大值和最小值．

思维启迪：目标函数z＝4x－3y是直线形式，可通过平行移动，求最值．

解 不等式组 7x－5y－23≤0x＋7y－11≤04x＋y＋10≥0表示的区域如图所示．

可观察出4x－3y在A点取到最大值，在B点取到最小值．

解方程组

 7x－5y－23＝04x＋y＋10＝0，

得 x＝－1y＝－6，

则A(－1，－6)．

解方程组 x＋7y－11＝04x＋y＋10＝0，得 x＝－3y＝2.

则B(－3,2)，因此4x－3y的最大值和最小值分别为14，－18.

探究提高 (1)线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．

(2)求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系．

(2011·广东)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组 0≤x≤2，y≤2，x≤2y给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(2，1)，则z＝OM→·OA→的最大值为 ( )

A．3 B．4 C．32 D．42

答案 B

解析 由线性约束条件

 0≤x≤2，y≤2，x≤2y

画出可行域如图阴影部分所示，目标函数z＝OM→·OA→＝2x＋y，将其化为y＝－2x＋z，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z最大，将点(2，2)的坐标代入z＝2x＋y得z的最大值为4.

题型三 线性规划的简单应用

例3 某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？

思维启迪：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题．

解 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得

 x＋y≤300，500x＋200y≤90 000，x≥0，y≥0.

目标函数为z＝3 000x＋2 000y.

二元一次不等式组等价于

 x＋y≤300，5x＋2y≤900，x≥0，y≥0.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，

即可行域，如图：

作直线l：3 000x＋2 000y＝0，

即3x＋2y＝0.

平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值．

联立 x＋y＝300，5x＋2y＝900.

解得x＝100，y＝200.

∴zmax＝3 000x＋2 000y＝700 000(元)．

即该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．

探究提高 解线性规划应用问题的一般步骤是：(1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条件和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结合求解；(4)作答．

(1)(2012·江西)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表

年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价

黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元